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3.3 解一元一次方程(一)——去括号与去分母
1. 掌握解一元一次方程的基本步骤,会用去括号与去分母的方法解一元一次方程,体会解一
元一次方程中的转化思想.
2. 能够根据具体问题中的数量关系准确列出方程,进一步体会建模思想，并能够检验结果
是否合理
知识点一 解一元一次方程——去括号
1.去括号的方法
把括号外的数或式子(带着符号)与括号内的每一项(带着符号)相乘,再把所得的
积相加.
2.去括号的一般顺序
先去小括号,再去中括号,最后去大括号，一般是由内向外去括号；也可以由外
向内去括号,先去大括号,再去中括号,最后去小括号,此时，要注意把里面的括
号看作一个整体.
3.去括号的依据
乘法分配律: (其中 可以是一个数,也可以是整式，即单
项式或多项式).
4.去括号的目的
与移项、合并同类项、系数化为 1等变形相结合,最终将一元一次方程转化为
(常数)的形式.注意：
同学们，我们在解方程中的去括号法则与整式运算中的去括号法则相同,括号外
的因数是正数时,去括号后原括号内各项的符号与原来的符号相同;括号外的因
数是负数时,去括号后原括号内各项的符号与原来的符号相反；如果括号前是数
字时,应利用分配律先将数与括号内的各项分别相乘,以免发生错误.
即学即练（2022上·浙江台州·七年级校考期中）解方程： ；
【答案】
【分析】先去括号，再移项，合并同类项，未知项系数化为1，求解即可；
【详解】解：去括号，得 ，
移项，得 ，
合并同类项， 得 ，
系数化为1，解得 ，
所以， 是原方程的解.
知识点二 解一元一次方程——去分母
1.去分母
根据等式的性质2,方程各项都乘所有分母的最小公倍数，从而约去分母,把方
程中各项的系数化成整数.
2.去分母的一般步骤
(1)确定各分母的最小公倍数:
(2)方程两边同乘这个最小公倍数,约去分母
3.去分母时的注意事项
(1)各项都要乘所有分母的最小公倍数,不要漏乘没有分母的项；
(2)如果分子是一个多项式,去分母时要将分子作为一个整体加上括号;
(3)分母含有小数的应先化小数，分母为整数分母,再去分母;
(4)化分母中的小数为整数不同于去分母，不是将方程两边乘同一个数,而是将
分子、分母乘同一个数.即学即练（2022上·浙江绍兴·七年级统考期末）解方程 时，去分母后正
确的是（ ）
A． B．
C．3 D．3
【答案】D
【分析】根据去分母和去括号法则，化简后进行判断即可．
【详解】解：方程去分母，得： ，
即： ；
故选：D．
【点睛】本题考查一元一次方程去分母，去括号．熟练掌握去分母和去括号法则，是解题
的关键．
知识点三 一元一次方程的解法综合归类
解一元一次方程的基本思路是通过对方程变形，把含有未知数的项归到方程的
一边,把常数项归到方程的另一边，最终把方程转化成“ ”的形式.
解一元一次方程的一般步骤如下表：
步骤 具体做法 根据 注意事项
(1)不要漏乘不含分母
的项;(2)分数线有括号
在方程两边都乘各分母的最 的作用,去分母时,分子
去分母 等式的性质2
小公倍数 是多项式的要加上括号
（ 简 记 为 “ 见 多 必
括”）
去括号法则、乘 (1)不要漏乘括号里的
将括号前面的系数与括号内
去括号 法分 任何一项;(2)不要弄错
的各项相乘
配律 符号
把含有未知数的项移到方程 (1)移项要变号;(2)不
移项 等式的性质1
的一边,常数项移到另一边 要丢项
把方程中的同类项分别合
合并同 未知数及其指数不变,
并,化“ax=b(a≠0)”的形 合并同类项法则
类项 系数相加
式
两边同 (1)对于化简后含字母
除以未 方程两边同时除以未知数的 等式的性质 2 系数的方程,要确保系
知数的 数不为0时才能将系数化为 1;(2)分子、分母
系数 系数 ,得
不能颠倒
注意：
（1）同学们，我们在学习移项时一定要注意去分母与应用分数的基本性质变形的区别.
去分母是把方程中的每一项都乘各分母的最小公倍数，与方程中的每一项都有关;而应
用分数的基本性质变形只是对方程中的某一个分数进行变形,与其他项无关.
（2）ax=b变形为 (a≠0),当a为整数时,两边直接除以a较为方便;当a为分数时,
两边都乘它的倒数不容易出错.
解一元一次方程的常见错误
(1)去分母时漏乘,忘记添括号;
(2)去括号时没注意符号变化或漏乘:
(3)移项时没改变符号;
(4)方程两边同乘负数时容易出现符号的问题，导致解方程错误.
知识点四 列一元一次方程解应用题
1.分析分量关系
利用一元一次方程解决实际问题时,要找出问题中的已知量与未知量的关系，并
能够找出题目中的等量关系
2.列一元一次方程解决实际问题的基本步骤
(1)仔细审题:认真读题，反复审题，弄清问题中的已知量是什么,未知量是什
么，并找出各数量之间的等量关系；
(2)设未知数:一般设题目里所求的未知数是 ,特殊情况下也可设与所求量相
关的另一个未知数为 ;（直接设元与间接设元）
(3)列方程:根据所设的未知数 和题目中的已知条件，利用等量关系列出方程;
(4)解方程:求未知数 的值;
(5)检验所得的解是否正确，是否符合题意；（第一检验等式是否成立；第二
检验时候复合题意）
(6)写出答案.
简言之，审设列解验答.
注意：
(1)设未知数列方程时,要注意单位的统一噢！这是题目常见陷阱哈！一般如果我们计算的数据非常极端时，就要考虑单位是否出现问题.
(2)对于实际问题中的方程的解，必须检验是否符合实际意义,对与现实生活不符的结
果,要进行必要的取舍.
即学即练（2022上·广东河源·七年级统考期末）在甲处工作的有132人，在乙处工作的有
108人，如要使乙处工作的人数是甲处工作人数的 ，应从乙处调多少人到甲处？若设应
从乙处调x人到甲处，则下列方程中正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】用含x的式子表示出调动后甲处和乙处的人数，再根据等量关系列方程即可．
【详解】解：设应从乙处调x人到甲处，则甲处现有的工作人数为 人，乙处现有
的工作人数为 人．
根据“乙处工作的人数是甲处工作人数的 ”列方程得： ，
故选D．
题型1 去括号、去分母解一元一次方程
例1（2023上·安徽六安·七年级六安市第九中学校考期中）解方程：
(1) ；
(2) ．
【答案】(1)
(2)
【分析】此题主要考查一元一次方程的解法，解题的关键是熟知等式的性质．根据等式的性质进行去分母，去括号，移项，合并同类项，未知数系数化为1即可．
【详解】（1）解：
（2）解：
举一反三1（2023上·安徽六安·七年级校考期中）解方程：
(1) ；
(2) ．
【答案】(1)
(2)
【分析】本题考查了解一元一次方程，
（1）方程去分母，去括号，移项，合并同类项，把系数化为 ，即可求出解；
（2）方程去分母，去括号，移项，合并同类项，把系数化为 ，即可求出解；
熟练掌握解一元一次方程的步骤是解题的关键．
【详解】（1）解： ，
方程左右同乘 得： ，
去括号得： ，
移项得： ，合并同类项得： ，
解得： ；
（2）解： ，
方程左右同乘 得： ，
去括号得： ，
移项得： ，
合并同类项得： ，
解得： ．
举一反三2（2023上·北京西城·七年级北京市西城外国语学校校考期中）解下列方程：
(1) ；
(2) ．
【答案】(1)
(2)
【分析】本题主要考查了解一元一次方程；
（1）先去括号，再移项合并同类项，最后未知数系数化为1；
（2）先去分母，然后去括号，再移项合并同类项，最后未知数系数化为1；
解题的关键是熟练掌握解一元一次方程的一般步骤，准确计算．
【详解】（1）解：
去括号得： ，
移项合并同类项得： ，
系数化为1得： ；
（2）解：
去分母得： ，
去括号得： ，移项合并同类项得： ，
系数化为1得： ；
题型2 已知方程的解求参数的值
例2（2021下·广东深圳·七年级深圳中学校考开学考试）已知关于 的方程
的解满足 ，则 的值是（ ）
A． B．10 C． D．
【答案】B
【分析】先求出方程 的解；再把求出的解代入方程 ，求关于
m的一元一次方程即可．
【详解】解：∵ ，
解得： ，
将 代入方程 得： ，
解得： ，
故选：B．
【点睛】此题考查了一元一次方程的解以及解一元一次方程，解题的关键是熟练掌握方程
的解即为能使方程左右两边相等的未知数的值．
举一反三1（2021上·辽宁沈阳·七年级统考期末）已知 是关于 的方程
的解，则 的值是 ．
【答案】
【分析】根据方程解的定义，把 代入方程即可得出 的值．【详解】解： 关于 的方程 的解是 ，
，
．
故答案为： ．
【点睛】本题考查了一元一次方程的解，掌握方程解的定义，以及一元一次方程的解法是
解答本题的关键．
举一反三2（2023上·七年级课时练习）已知关于 的方程 的解为 ，
则 等于（ ）
A．4 B． C．3 D．
【答案】A
【分析】把 代入方程 得 ，再解方程即可得到答案．
【详解】解：把 代入方程 得：
，
解得： ，
故选：A．
【点睛】本题考查了一元一次方程的解和解一元一次方程，正确进行计算是解题的关键．
题型3 相反数、倒数与解方程的综合问题
例3若方程 与 的解互为相反数，则 的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】先解 ，由两个方程的解互为相反数，则把 代入 ，
解方程即可．【详解】解：
，
，
∵方程 与 的解互为相反数，
∴ 的解为： ，
∴ ，
，
，解得： ，
故选： ．
【点睛】此题考查了解一元一次方程和一元一次方程的解，能得出关于 的一元一次方程
是解此题的关键．
举一反三1（2021上·黑龙江哈尔滨·七年级校考阶段练习）已知方程 的解和
方程 的解互为相反数，求a的值．
【答案】
【分析】通过解方程 求得 的值．然后根据相反数的定义把 的值代入方程
，列出关于 的新方程，通过解新方程可以求得 的值．
【详解】解：解方程 ，解得： ，
则依题意，得
，
解得， ．【点睛】本题考查了一元一次方程的解的定义．使一元一次方程左右两边相等的未知数的
值叫做一元一次方程的解，掌握一元一次方程解的定义是解题的关键．
举一反三2（2023下·福建福州·七年级统考开学考试）已知方程 的解与关于
x的方程 的解互为倒数，求k的值．
【答案】
【分析】先求出第一个方程的解是 ，把 代入第二个方程得出 ，
求出k的值即可．
【详解】解方程 得： ，
∵方程 的解与关于 的方程 的解互为倒数，
∴关于 的方程 的解是 ，
把 代入方程 得： ，
解得 ．
【点睛】本题考查了倒数的定义，解一元一次方程和一元一次方程的解等知识点，能得出
关于k的一元一次方程是解此题的关键．
题型4 解方程中的相同解问题
例4（2022上·浙江台州·七年级校考期中）若方程 的解与关于x的方程
的解相同，求k的值．
【答案】 的值为
【分析】先根据题意求出方程 的解，之后把解代入方程 即
可求出．
【详解】解： ，去括号，得 ，
移项，得 ，
合并，得 ，
系数化为1，得 ，
方程的解也是方程 的解，
，
解得 ，
的值为 ．
【点睛】本题考查解一元一次方程和一元一次方程的解，掌握定义是关键．
举一反三1（2022上·黑龙江大庆·七年级期末）若 与 的解相同，则k的
值为（ ）
A． B．4 C．6 D．
【答案】B
【分析】先求解方程 ，得到 ，再把 代入方程 求解即可.
【详解】解：解方程 ，得 ，
把 代入方程 ，得 ，
解得 ；
故选：B.
【点睛】本题考查了一元一次方程的解和解一元一次方程，正确理解题意、熟练掌握一元
一次方程的解法是关键.
举一反三2（2023上·重庆南岸·七年级校考期末）已知关于 的方程 与
的解相同，则 ．
【答案】 /0.5
【分析】分别解出两方程的解，两解相等，就得到关于m的方程，从而可以求出m的值．【详解】解：由 ，得 ，
由 ，得 ，
由关于 的方程 与 的解相同，得
，
解得 ．
故答案为： ．
【点睛】本题考查了同解方程，解决的关键是能够求解关于y的方程，根据同解的定义建
立方程．
题型5 求方程的特殊解（整数解）问题
例5（2021下·上海徐汇·六年级校考期中）关于 的方程 的解是正整数，则
整数 的值为 ．
【答案】8或 / 或8
【分析】解一元一次方程，可得出 ，结合原方程的解是正整数且 为整数，可得出
或 ，解之即可得出 的值．
【详解】解： ，
，
．
又 原方程的解是正整数，且 为整数，
或 ，
或 ．
故答案为：8或 ．
【点睛】本题考查了解一元一次方程，解题的关键是根据方程的解是正整数及 是整数，
找出关于 的一元一次方程．
举一反三1（2022下·黑龙江齐齐哈尔·七年级克东县第三中学校考开学考试）关于 的方程 的解为自然数，则整数 的值为 ．
【答案】l或3
【分析】解关于 的一元一次方程，分情况讨论 的取值．
【详解】解∶∵关于 的方程 的解为自然数， 为整数，
∴ ，
∴ 或 时，x为 或 ，符合题意，
故答案为∶ 或 ．
【点睛】本题考查了一元一次方程的解，解题的关键是掌握一元一次方程的解的定义，解
一元一次方程．
举一反三2（2023上·浙江宁波·八年级统考期末）用 表示不大于 的最大整数，如
， ，则方程 的解是 ．
【答案】 或
【分析】利用不等式 ，求出 的范围，然后再代入原方程求出 的值．
【详解】解：令 代入原方程得 ，即 ，
又 ，
，
整理得 ，
即 ，
或 ，
将 代入原方程得： ，解得 ，
将 代入原方程得： ，解得 ，
经检验， 或 是原方程的解．故答案为： 或 ．
【点睛】此题考查了取整函数的性质，不等式组与方程的综合．注意 性质的
应用．
举一反三3（2022上·广东广州·九年级广州大学附属中学校考自主招生）已知关于x的方
程 的解都是整数，求整数 的值．
【答案】 ， ， ，
【分析】用因式分解法可得到根的简单表达式，因方程的类型未指明，故须按一次方程、
二次方程两种情形讨论，这样确定的值才能全面而准确．
【详解】解：当 时，原方程为 ，所以 ，符合题意；
当 时，原方程为 ，所以 ，符合题意；
当 且 时，原方程化为 ，解得 ， ．
为整数，且 ， 均为整数根，
， ， ， ，得 ， ， ， ， ， ，
或 ， ， ，得 ， ， ， ， ．
综上所述，当 的值为 ， ， ， 时，原方程的根都为整数．
【点睛】本题考查了解一元二次方程，解一元一次方程，整除，掌握一元二次方程的整数
根与有理根的相关知识是解答本题的关键．
举一反三4（2018上·北京·七年级首都师范大学附属中学校考期中）已知关于x的一元一
次方程kx+x=5(k≠-1)
(1)解方程(用含k的式子表示出此方程的解)；
(2)当k为哪些整数值时，此方程的解也为整数？
【答案】（1）x= ；（2）-6，-2，0，4
【分析】（1）合并关于x的同类项，然后把系数化为1即可；
（2）根据（1）中求得的结果讨论即可.
【详解】（1）∵kx+x=5，
∴(k+1)x =5，∵k≠-1∴x= ;
（2）∵ x= ，k为整数，方程的解为整数，
∴k+1=-5，-1，1，5，
∴k=-6，-2，0，4，
【点睛】本题主要考查了解一元一次方程，去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化
为1，这仅是解一元一次方程的一般步骤，针对方程的特点，灵活应用，各种步骤都是为
使方程逐渐向x＝a形式转化．
题型6 题型去分母解小数型方程
例6解方程： ．
【答案】
【分析】利用分数的基本性质，先将含有的小数化为整数，再按步骤：去分母，去括号，
移项，合并同类项，系数化为 ，进行求解即可．
【详解】解：原方程可化为：
，
去分母，得： ，
去括号，得： ，
移项，得： ，
合并同类项，得： ，
系数化为 ，得： .
【点睛】本题考查了一元一次方程的解法，掌握解一元一次方程的步骤是解题的关键．
举一反三1解方程: ；
【答案】
【分析】先把小数都处理成整数，再按解一元一次方程的步骤计算即可．
【详解】解：原方程可化为： ，去分母，可得： ，
去括号，可得： ，
移项，可得： ，
合并同类项，可得： ，
系数化为1，可得： ．
【点睛】本题考查一元一次方程的解法，一般解方程步骤为：去分母，去括号，移项，合
并同类项，系数化1．
举一反三2（2023下·河南周口·七年级校考阶段练习）阅读与思考
阅读以下材料，完成任务．
分子、分母含小数的一元一次方程的解法
我们知道，解一元一次方程的一般步骤是去分母、去括号、移项、合并同类项、系数
化为1，那么像 这样分子、分母均含有小数的方程如何求出它的解
呢？下面是某同学的解答过程：
解：原方程可化为 ，去分母，得 ，移项、合并
同类项，得 ，系数化为1，得 ．
任务：
(1)该同学由 变形到 是利用了（ ）
A．等式的基本性质1 B．等式的基本性质2
C．分数的基本性质 D．去分母
(2)请仿照上述方法解方程： ．
【答案】(1)C
(2)
【分析】（1）根据分式的基本性质即可解答．
（2）根据题目中的解答过程解答即可．
【详解】（1） 变形到 ，是 分子与分母乘10， 分子与分母乘2，
分式的分子与分母乘（或除以）同一个不等于0的整数，分式的值不变：分式的基本性质
故选：C．
（2）方程可化为
去分母，得 ，
去括号，得 ，
移项、合并同类项，得 ，
系数化为1，得 ．
【点睛】本题考查了分数的基本性质，解一元一次方程．掌握解一元一次方程的步骤是解
题关键．
题型7绝对值方程
例7先阅读下列解题过程，然后回答问题．
解方程： ．
解：当 时，原方程可化为 ，解得 ；
当 时，原方程可化为 ，解得 ．
原方程的解是 或 ．
根据上面的解题过程，解方程： ．
【答案】 或
【分析】根据绝对值的意义，去掉绝对值，然后化为一元一次方程即可求得．
【详解】解：当 时，原方程可化为 ，解得 ；
当 时，原方程可化为 ，解得 ．
所以原方程的解是 或 ．
【点睛】本题主要考查含绝对值符号的一元一次方程，解题的关键是根据绝对值的性质将
绝对值符号去掉，从而化为一般的一元一次方程求解．
举一反三1（2022上·山西太原·七年级太原师范学院附属中学校考阶段练习）探究发现
阅读下列解题过程并解答下列问题：
解方程 .解：①若 时，原方程可化为一元一次方程 ，∴ ；
②若 时，原方程可化为一元一次方程 ，∴ ；
③若 时，则原式中 ，这显然不成立，∴原方程的解是 或 .
(1)解方程 .
(2)若方程 的解也是方程 的解，求 的值.
【答案】(1) 或
(2)
【分析】（1）根据例题可以分 大于0、小于0和等于0三种情况进行讨论，去掉绝对
值符号，转化为一元一次方程即可求解；
（2）首先解方程求得 的值，然后代入 求得 的值，进而求得代数式的值．
【详解】（1）解：原方程可以化成 ，
当 时，原方程可以化成 ，解得： ，
当 时，原方程可化成 ，解得： ，
当 时，原式不成立．
原方程的解是 或 ；
（2）∵
解得 或
∵
∴
∴ 或 ，
当 时 ，当 时 ．
【点睛】本题考查了含有绝对值的方程的解法，正确进行讨论，去掉绝对值符号，转化为一般的方程是解题的关键．
举一反三2解方程： ．
【答案】
【分析】根据题意，当 时，则 ，当 ，则 ，
当 时，则 ，分别解一元一次方程，求得 的值，即可求解．
【详解】解：当 时，原方程可化为： ，
，
解得： ，
∵ ，
∴ 不符合题意，舍去；
当 时，原方程可化为： ，
．
；
当 时，原方程可化为： ，
与 不相符，舍去；
综上所述，方程的解为： ．
【点睛】本题考查了绝对值的意义，解一元一次方程，代数式求值，求得 的值是解题的
关键．
题型8 已知错解求原方程的解
例8（2021上·江西吉安·七年级校考阶段练习）某同学在解方程 时，方程右边的 没有乘6，其他步骤正确，结果方程的解为 ．求a的值，并求出该方程正确
的解．
【答案】 ，该方程正确的解为
【分析】根据错误步骤得到， 为方程 的解，求出 ，将
代入原方程，依次去分母、去括号、移项、合并同类项，即可解方程．
【详解】解：由题意可知， 为方程 的解，
，
解得： ，
将 代入原方程，得： ，
去分母，得： ，
去括号，得： ，
移项，得： ，
合并同类项，得： ，
该方程正确的解为 ．
【点睛】本题考查了一元一次方程的解以及解一元一次方程，熟练掌握一元一次方程的解
法和步骤是解题关键．
举一反三1（2023上·河北保定·七年级统考期末）解方程 时，小刚在去分
母的过程中，右边的“ ”漏乘了公分母6，因而求得方程的解为 ，则方程正确的解
是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据题意按照小刚的解方程步骤解方程，再根据解为 求出a的值，再按照正
确的步骤解方程即可．
【详解】解：由题意得，小刚的解题过程如下：去分母得： ，
去括号得： ，
移项得： ，
合并同类项得： ，
∵小刚的求解结果为 ，
∴ ，
∴ ，
正确过程如下：
去分母得： ，
去括号得： ，
移项得： ，
合并同类项得： ，
故选D．
【点睛】本题主要考查了解一元一次方程，正确理解题意还原小刚的解题过程从而求出a
的值是解题的关键．
举一反三2（2022上·湖北恩施·七年级校考期末）小军同学在解关于x的方程
去分母时，方程右边的 没有乘 ，因而求得方程的解为 ，则m的值和
方程的正确的解分别为（ ）
A．2，2 B． ，3 C． ， D．3，3
【答案】C
【分析】根据题意，解得 ，根据方程的解为2，求得 ，然后将 代入原方程，
求得正确的解，即可求解．
【详解】解：∵ 去分母时，方程右边的 没有乘 ，即 ，
∴
解得： ，
∵求得方程的解为 ，
即
∴
原方程为
∴
即
解得： ，
故选：C．
【点睛】本题考查了解一元一次方程，掌握解一元一次方程的步骤是解题的关键．
举一反三3（2022上·安徽芜湖·七年级统考期末）小马虎在解关于 的方程
去分母时，方程右边的“ ”没有乘以6，最后他求得方程的解为3．
(1)求 的值；
(2)求该方程正确的解．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据题意可得 是方程 的解，将之代入即可求出
的值；
（2）根据解一元一次方程的一般步骤：去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化为 ；
进行计算即可．
【详解】（1）解：由题意得， 是方程 的解，∴ ，
解得 ；
（2）原方程为 ，
去分母得： ，
去括号得： ，
移项合并得： ，
系数化为 得： ．
【点睛】本题考查了一元一次方程的解以及解一元一次方程，熟练掌握解一元一次方程的
一般步骤是解本题的关键．
题型9 特殊解最值问题
例9（2021上·福建福州·七年级福建省福州第十九中学校考期中）对于两个不相等的有理
数a、b，我们规定：min{a，b}表示a、b两数中较小的数，例如：min{﹣1，3}＝﹣1．按照
这个规定，解决下列问题：
（1）填空：min{|﹣5|，2}＝ ．
（2）解方程：min{﹣4，x²+1}＝min{x﹣1，3﹣2x}．
【答案】（1）2；（2）方程的解为 或x=-3．
【分析】（1）根据|﹣5|=5＞2比较大小得出2最小即可；
（2）根据x²+1＞0＞-4，得出min{﹣4，x²+1}=-4，根据x﹣1=3﹣2x，解得 ，分两种情
况讨论当 时x﹣1＞3﹣2x，得出min{x﹣1，3﹣2x}=3-2x，当 时x﹣1＜3﹣2x，得
出min{x﹣1，3﹣2x}= x﹣1，然后列方程3-2x=-4，或x﹣1=-4解方程即可．
【详解】解：（1）∵|﹣5|=5＞2，
∴min{|﹣5|，2}＝2，故答案为2；
（2）∵x²+1＞0＞-4，
∴min{﹣4，x²+1}=-4，
∵x﹣1=3﹣2x，
解得 ，
当 时x﹣1＞3﹣2x，
∴min{x﹣1，3﹣2x}=3-2x，
∴3-2x=-4，
解得 ；
当 时x﹣1＜3﹣2x，
min{x﹣1，3﹣2x}= x﹣1，
x﹣1=-4，
解得x=-3．
综合得方程的解为 或x=-3．
【点睛】本题考查新定义最小值问题，仔细阅读题目，抓住两个数比较大小，得出最小值，
利用等式列方程是解题关键．
举一反三1（2023下·重庆·七年级统考期末）我们常用符号 表示小于或者等于x的最大
整数．例如 ， ， ， ．由此可以知道，当x为整数时，
．
请根据以上信息，解决下列问题：
(1) ______； ______； ______．
(2)计算并找规律
______； ______ ______；______
根据以上计算，可归纳出：
①当x为整数时， ______．
②当x不为整数时， ______．
(3)计算：
(4)解关于x的方程：
【答案】(1)1， ，6
(2)0，0， ， ，0，
(3)
(4)无解
【分析】（1）依据题意，逐个计算即可得解；
（2）依据题目信息，逐个计算可以得解；
（3）根据题意，结合（1）（2）列出算式计算即可得解；
（4）依据题意，分成两种情况：①若 为整数；② 不是整数分别列方程计算即可得解．
【详解】（1）解： ， ， ．
故答案为：1， ，6；
（2） ， ，
， ．
根据以上计算，可归纳出：
①当 为整数时， ．
②当 不为整数时， ．
故答案为：0，0， ， ，0， ；
（3）；
（4）由题意，
①当 为整数时， ，
．
．
．
为整数，
不合题意；
②当 是不是整数时，
结果必为整数，
结果必然包含小数，原方程不成立；
综上所述，方程无解．
【点睛】本题考查了有理数的混合运算和解一元一次方程，解决本题的关键是明确 表示
不超过 的最大整数．
举一反三2（2023上·四川成都·七年级统考期末）已知当 时，代数式 的值
为0；关于y的方程 的解为 ；
(1)求 的值；
(2)若规定 表示不超过a的最大整数，例如： ，请在此规定下求 的值．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）把 时，代数式 ，根据代数式值为0，得出m的值，将m的值和 代入 ，求出n的值，即可求出 ；
（2）先计算出 ，再根据题目所给新定义即可求解．
【详解】（1）解：∵当 时，代数式 的值为0，
∴将 代入，得 ，解得
∵关于 的方程 的解为 ，
∴将 代入，得 ，
解得 ．
∴ ．
（2）解：由（1）知， ，
∴ ．
【点睛】本题考查了方程的解的定义，以及解方程，正确求得m，n的值是关键．
题型10 巧算解方程
例10解方程： ．
【答案】
【分析】把方程左右两边分别通分后再去分母，即可求解．
【详解】方程两边分别通分后相加，得 ．
化简，得 ，去分母得： ，
去括号得： ，
移项合并得：
解得： ．
【点睛】本题考查了解一元一次方程，本题若直接去分母，则两边应同乘各分母的最小公
倍数420，运算量大容易出错，但是把方程左右两边分别通分后再去分母，会给解方程带
来方便．
举一反三1（2022上·云南昆明·七年级校考期中）在解一元一次方程时，巧妙利用整体法，
可以达到简化计算的效果．例如，在解方程 时，把 看作一
个整体．
令 ，得： ，
去括号，得： ，
合并同类项，得： ，
系数化为1，得： ，
故 ，解得 ．
阅读以上材料，请用同样的方法解方程：
【答案】x=
【分析】把x+2看作一个整体，再按照解一元一次方程的方法求解即可．
【详解】解：令a=x+2，则2a=2x+4，
原方程得： ，
去括号，得：4a-20=1，
移项，得：4a=21，
系数化为1，得：a= ．故x+2= ，
解得x= ．
【点睛】本题考查了解一元一次方程，能正确换元是解此题的关键．
举一反三2（2019上·河南许昌·七年级校联考竞赛）解方程，（1）
（2）
【答案】（1）x=6；（2） .
【分析】（1）首先把分子和分母中的小数化为整数，然后按照去分母、去括号、合并同类
项、移项、系数化为1的步骤解方程即可；
（2）先变形为 ，再整理得
，即可解.
【详解】解：（1）方程 变形为 ，
去分母得 ，
去括号合并同类项得-10x+60=0,
移项得-10x=-60,
系数化为1得x=6.
（2）方程 变形为
，
∴
∴
∴ ，
∴ .【点睛】此题主要考查了解一元一次方程，正确掌握解方程的方法是解题关键．
举一反三3（2021上·湖南郴州·七年级校考阶段练习）将4个数a、b、c、d排成2行2列，
两边各加一条竖直线记成 ，定义 ，例如： ，解
方程： ．
【答案】x=1
【分析】根据新定义运算列方程，故可求解．
【详解】解：∵
∴-5（x-3）-2（-3x+5）=6
-5x+15+6x-10=6
x=1．
【点睛】此题主要考查解一元一次方程，解题的关键是根据题意列出方程求解．
举一反三4解方程： ．
【答案】
【分析】方法1：先去中括号，再去大括号，化成一元一次方程的一般形式进而求解；
方法2：设 ，则则原方程可化为 ，解出y，然后再代回去解出x
即可．
【详解】【方法1】去中括号得到： ，
整理得： ，
，
，
解得： ．【方法2】设 ，则原方程可化为 ．
整理，得 ．
解得 ，即 ，
∴ ．
【点睛】仔细观察，发现方程中含有未知数x的地方都有 ，遇到这种情况，我们可以
先将 看成一个整体，即利用换元法设 ，代入原方程求得y ，再求x．对比两
种方法，方法一的计算比较烦琐，容易将符号写错，而方法二显得简捷很多．
题型11整体思想之换元法解方程
例11（2023上·七年级课时练习）解方程： ．
【答案】
【分析】按照解一元一次方程的步骤，把 看成整体来计算．
【详解】解：原方程可化为 ，
，
，
解得 ．
【点睛】本题考查解一元一次方程，把 看成整体是关键．
举一反三1（2021上·山西忻州·七年级统考期末）阅读材料，完成任务．
七年级同学在学完解一元一次方程后，已掌握了一元一次方程的一般解法，有同学发现在
一元一次方程的部分习题和练习题中，存在着许多解题技巧，只要在解题中注重研究其结
构特点和特殊规律，巧妙地运用某些基本性质、法则，就可以达成“一点通”的效果．小
明是一名喜欢动脑筋的学生，在解方程 时，不是直接给方程去括号，
而是假设 ，然后把方程变形为：
，
，．
，
解，得 ．
上面的问题中利用新的未知量来代替原来的未知量，求出新的未知量后，再利用其替代原
来的未知量，从而得以求解，这种解方程的方法叫做换元法．
任务：参照材料中的解题方法解方程 ．
【答案】x=-4
【分析】根据题示的方法，设7-2x=a，将原方程转化为关于a的方程求解即可．
【详解】解：
设7-2x=a，则原方程变形为：
∴
解得，a=15
即7-2x=15，
解得，x=-4
【点睛】本题考查了换元法解方程．换元法的一般步骤为：设元，换元，解元，还原．
举一反三2先看例子，再解类似的题目.
例：解方程： .
解：设 ，则原方程化为 .
解得 .
所以 .
解得 .
问题：用你发现的规律解方程： .
【答案】
【分析】根据例子，可设 ，则可将 化为 ，解得方程即可.
【详解】解：设 ，则原方程化为 .
解得 ，所以 .
解得 .
【点睛】本题考查解一元一次方程，熟练掌握计算法则是解题关键.
举一反三3解方程 ．
【答案】
【分析】方程去分母，去括号，移项合并，将y系数化为1即可求出解．
【详解】解：原方程可化为 ，即 ．
将 看作一个整体进行合并，得 ，所以 ，移项，得 ．
【点睛】本题考查了解一元一次方程，其步骤为：去分母，去括号，移项合并，将未知数
系数化为1，求出解．
题型12利用方程思想求代数式的项和系数
例12（2022上·河北·七年级校联考阶段练习）方程 中被阴影盖住的是一个
常数，若该方程的解是 ，则这个常数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】直接把y的值代入，进而计算得出答案．
【详解】解：把 代入方程 得解得： ，
故选：B．
【点睛】此题主要考查了一元一次方程的解，解一元一次方程，正确代入解方程是解题关
键．
举一反三1（2023上·陕西咸阳·七年级统考期末）已知两个关于x的整式
，其中系数□被污染
(1)若□是 ，化简 ；
(2)若 时， 的值为28，求原题中系数□所表示的数
【答案】(1)
(2)10
【分析】（1）根据整式的加减，先去括号，然后合并同类项；
（2）把x的值代入计算即可；
【详解】（1）因为□是 ，
所以
；
（2）设 ，当 时，
依题意得：
解得
故原题中系数□所表示的数是10
【点睛】本题考查的是整式的加减，解一元一次方程，属于基础题.整式的加减的实质就是
去括号、合并同类项，一般步骤是：先去括号，然后合并同类项．
举一反三2（2023上·河北唐山·七年级统考期末）已知两个整式 ， ，
其中系数■被污染．
(1)若■是 ，化简 ；
(2)若 时， 的值为18．①说明原式中■是几？
②若 的倒数等于本身， 的值是多少？
【答案】(1)
(2)① ；② 或
【分析】
（1）去括号，合并同类项即可求解；
（2）①把 代入，解方程即可求解；
②根据倒数的定义求得 ，分别代入求解即可．
【详解】（1）
解：
（2）解：①依题意得， ，
解得， ；
（2）∵ 的倒数等于本身，∴ ，
∵ ，
∴ 或 .
【点睛】本题考查整式的加减混合运算，解一元一次方程，掌握基本的运算法则和顺序，
并注意题中要求，是解题关键．
题型13 裂项相消法解方程
例13下列求和方法，相信你还记得：
+ + +…+ ＝（1﹣ ）+（ - ）+（ - ）+…+（ - ）．
请利用这个方法解方程 + + +…+ ＝2017，得x＝ ．
【答案】2018
【分析】将原方程提出x化简得：x[（1 ）+（ ）+（ ）+…+（）]=2017，再根据已知信息即可求得x的值．
【详解】∵ （1 ）+（ ）+（ ）+…+（
），∴由 2017
可得：x[（1 ）+（ ）+（ ）+…+（ ）]=2017
即x（1 ）=2017， ，x=2018．
故答案为2018．
【点睛】本题考查了解一元一次方程，解题的关键是将原方程提出x化简得：x[（1 ）+
（ ）+（ ）+…+（ ）]=2017，进而解答．
举一反三1（2022上·广东惠州·七年级统考期中）解方程：
【答案】
【分析】先裂项化简，再通分，然后系数化为1即可．
【详解】
裂项，得
化简，得
通分，得
系数化为1，得
【点睛】本题考查了解一元一次方程，熟练掌握解一元一次方程的一般步骤是解题的关键．
举一反三2（2021上·江西抚州·七年级南城县第二中学校考阶段练习）解方程：．
【答案】
【分析】由题意可知 然后问题可求解．
【详解】解：
．
【点睛】本题主要考查一元一次方程的解法，解题的关键是根据裂项相消法进行求解方程．
题型14 利用框图解方程
例14（2022上·江苏南京·七年级统考期末）阅读下面解方程的途径．
(1)按照上述途径，填写下面的空格．(2)已知关于 的方程 的解是 或 （ 、 、 均为常数），求关于
的方程 （ 、 为常数， ）的解（用含 、 的代数式表
示）．
【答案】(1)① ；②
(2) ，详见解析
【分析】（1）①把 看作①的x,即可得到 ；解一元一次方程即可求得方程的解；
（2）按照图1途径得到 或 ，然后解关于x的一元一次方程即可．
【详解】（1）根据图1可得：① ；② ．
故答案为： ，
（2）由题意得： 或 ，
解得： ．
【点睛】本题考查了解方程的整体思想与一元一次方程的解法，根据题意得出新的一元一
次方程是解题的关键．
举一反三1（2023上·江苏南京·七年级统考期末）阅读下面解方程的途径．
解方程 方程 的解是 ，
→
(1)按照上述途径，填写下面的空格．
解方程
方程 的解是 ，
→(2)已知关于x的方程 的解是 或 （a、b、c均为常数），求关于x
的方程 （k、m为常数， ）的解（用含k、m的代数式表示）．
【答案】(1) ， ；
(2) 或 ．
【分析】（1）仿照材料可知 ，即可求解；
（2）仿照材料可知 或 ，进而可求解．
【详解】（1）解：由题意可知： ，解得： ，
故答案为： ， ；
（2）∵关于x的方程 的解是 或 ，
∴方程 中 或 ，
当 时， ，
当 时， ；
故方程 的解为 或 ．
【点睛】本题考查了解一元一次方程及含绝对值的方程，利用换元的思想是解决问题的关
键．
举一反三2（2023下·四川内江·七年级统考期末）阅读解方程的途径：
按照图1所示的途径，已知关于x的方程 的解是 或 （a、b、c均为常数），则关于x的方程 （k、m为常数， ）的解为
（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】设 ，则 ，则方程 ，即为方程
，根据题意可得方程 的解为 或 ，由此求出对应
的x的值即可．
【详解】解：设 ，则 ，
∴ 即为方程 ，
∵关于x的方程 的解是 或 （a、b、c均为常数），
∴关于y的方程 的解是 或 （a、b、c均为常数），
∴ 或 ，
∴ ，
故选B．
【点睛】本题主要考查了一元一次方程的特殊解法，正确理解题意利用换元的思想求解是
解题的关键．
题型15 新定义之和差积商型解方程
例15（2022下·四川资阳·七年级校考阶段练习）我们规定：若关于x的一元一次方程ax＝
b的解为b+a，则称该方程为“和解方程”． 例如：方程2x＝﹣4的解为x＝﹣2，而﹣2＝﹣4+2，则方程2x＝﹣4为“和解方程”．
请根据上述规定解答下列问题：
(1)已知关于x的一元一次方程3x＝m是“和解方程”，求m的值；
(2)请自行写出一个除上述你方程外的“和解方程”：______
(3)已知关于x的一元一次方程﹣2x＝mn+n是“和解方程”，并且它的解是x＝n，求m，n
的值．
【答案】(1)
(2) （答案不唯一）
(3)
【分析】（1）根据和解方程的定义即可得出关于m的一元一次方程，解之即可得出结论；
（2）根据和解方程的定义写出关于x的一元一次方程，即可；
（3）根据和解方程的定义即可得出关于m、n的二元二次方程组，解之即可得出m、n的
值．
【详解】（1）解：3x＝m，
解得： ，
∵方程3x＝m是“和解方程”，
∴ ，
解得： ；
（2）解：方程 是“和解方程”，理由：
方程 ，
解得： ，
∵ ，∴方程 是“和解方程”；
故答案为： （答案不唯一）
（3）解：关于x的一元一次方程﹣2x＝mn+n是“和解方程”，并且它的解是x＝n，
∴ ，且 ，
解得： ．
【点睛】本题考查了一元一次方程的解、解一元一次方程以及二元二次方程组，解题的关
键是：根据“和解方程“的定义列出关于m的一元一次方程；根据和解方程的定义列出关
于m、n的二元二次方程组．
举一反三1（2023上·江西赣州·七年级于都县第二中学校考期末）我们规定关于x的一元
一次方程 的解为 ，则称该方程是“差解方程”，例如： 的解为
，则该方程 就是“差解方程”，请根据上述规定解答下列问题：
【定义理解】
（1）判断：方程 ________差解方程；（填“是”或“不是”）
（2）若关于x的一元一次方程 是“差解方程”，求m的值；
【知识应用】
（3）已知关于x的一元一次方程 是“差解方程”，则 __________．
（4）已知关于x的一元一次方程 和 都是“差解方程”，求代数
式 的值．
【答案】（1）是；（2） ；（3）16；（4）0
【分析】（1）根据差解方程的定义判断即可；
（2）根据差解方程的定义即可得出关于m的一元一次方程，解之即可得出结论；
（3）根据差解方程的定义即可得出关于a、b的二元二次方程，整理即可得出；
（4）根据差解方程的概念列式得到关于m、n的两个方程，联立求解得到m、n的关系，
得出 ， ，然后代入代数式进行计算即可求解．
【详解】解：（1）∵方程 的解为 ，
∴方程 是差解方程．故答案为：是；
（2）由题意可知 ，由一元一次方程可知 ，
∴ ，
解得 ；
（3）∵方程 是“差解方程”，
∴ ，
解方程 ，得 ，
∴ ，
∴ ，即 ．
故答案为：16；
（4）∵一元一次方程 是“差解方程”，
∴ ，
解方程一元一次方程 得
∴ ，
整理得 ，
∵一元一次方程 是“差解方程”，
∴ ，
解方程一元一次方程 得
∴ ，
整理得 ，
∴
．【点睛】本题考查了一元一次方程的解，解题的关键是读懂题意，理解差解方程的概念并
根据概念列出方程．
举一反三2（2022上·江苏扬州·七年级统考期末）我们规定：若关于 的一元一次方程
的解为 ，则称该方程为“积解方程”．例如： 的解为
且 ，则称方程 是“积解方程”，请回答下列问题：
(1)判断一元一次方程 是不是“积解方程”，并说明理由．
(2)若关于 的一元一次方程 是“积解方程”，求 的值并求出该方程的解．
【答案】(1)是，理由见解析
(2) ，方程的解为
【分析】（1）根据“积解方程”的概念直接进行判断即可；
（2）由题意易得 ，然后求解m的值，最后代入原方程进行求解即可．
【详解】（1）解：由题意得：
∵ 的解为 ，且 ，
∴一元一次方程 是“积解方程”；
（2）解：∵一元一次方程 是“积解方程”，
∴ ，
∵一元一次方程 ，
∴ ，
∴ ，
解得： ，∴方程的解为 ．
【点睛】本题主要考查一元一次方程的解法，熟练掌握一元一次方程的解法是解题的关键．
举一反三3（2022上·河南驻马店·七年级统考期末）我们规定：若关于x的一元一次方程
a＋x＝b（a≠0）的解为 ，则称该方程为“商解方程”．例如：2＋x＝4的解为x＝2且
，则方程2＋x＝4是“商解方程”．请回答下列问题：
(1)判断3＋x＝5是不是“商解方程”．
(2)若关于x的一元一次方程6＋x＝3（m﹣3）是“商解方程”，求m的值．
【答案】(1)不是
(2)m＝
【分析】（1）求出方程的解是 ，再进行判断即可；
（2）先求出方程的解，再根据题意得出关于 的方程，最后求出方程的解即可．
【详解】（1） ，
，
而 ，
所以 不是“商解方程”；
（2） ，
，
，
关于 的一元一次方程 是“商解方程”，
，
解得： ．
【点睛】本题考查了一元一次方程的解和解一元一次方程，能熟记方程的解的定义（使方
程左右两边相等的未知数的值，叫方程的解）是解此题的关键．题型16 方程其他新定义问题
例16（2023上·黑龙江哈尔滨·七年级哈尔滨市虹桥初级中学校校考阶段练习）已知关于
的一元一次方程 （其中 ， 、 为常数），若这个方程的解恰好为 ，
则称这个方程为“恰解方程”，例如：方程 的解为 ，恰好为 ，则方
程 为“恰解方程”
(1)已知关于 的一元一次方程 是“恰解方程”，则 的值为______
(2)已知关于 的一元一次方程 是“恰解方程”，且解为 ．求
的值；
(3)已知关于 的一元一次方程 和 都是“恰解方程”，求代数式
的值．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）利用“恰解方程”的定义，得出关于 的一元一次方程，解方程即可得出
的值；
（2）将 代入方程可得 ，得到 ，由 是“恰解方程”得
到 ，即可得到 ，将 的值代入计算即可求解；
（3）根据“恰解方程”方程的定义可得 ， ，利用等式基本性质可
得 ，代入计算即可求解；
【详解】（1）解：解方程 ，得： ，
∵ 是“恰解方程”，
∴ ，∴ ，
，
故答案为： ；
（2）解：∵ 解为 ，代入得：
整理得： ，
∵ ，
∴ ，
∵ 是“恰解方程，即 是“恰解方程，
∴ ，
∴ ，
将 代入得： ，
解得： ，
将 ， 代入得： ；
（3）解：解方程 ，得： ，
∵ 是“恰解方程”，即： 是“恰解方程”，
∴ ，
∴ ，
整理得： ，①
解方程 ，得：
∵ 是“恰解方程”，即： 是“恰解方程”，
∴ ，
∴ ，
整理得； ，②② ①得： ，
将 ， ， 代入得：
【点睛】本题考查了一元一次方程的解，正确理解“恰解方程”的定义是解决本题的关键．
举一反三1（2022上·江苏泰州·七年级校考阶段练习）已知关于x的一元一次方程
（其中 ，b为常数）若这个方程的解恰好为 ，则称这个方程为“缘
解方程”，例如：方程 的解为 ，且 ．则方程 为“缘
解方程”．
(1)已知关于x的一元一次方程 是“缘解方程”则b的值为______；
(2)已知关于x的一元一次方程 是“缘解方程”，且解为 ，求m，n的值；
(3)已知关于x的一元一次方程 是“缘解方程”，求代数式
的值．
【答案】(1)
(2) ，
(3)
【分析】（1）先解方程表示出x，再利用“缘解方程”的定义表示出x，进而得出关于b
的一元一次方程，解方程即可得出b的值；
（2）由 是“缘解方程”得出 ，将 代入方程可得 ，
然后把 ， 代入 可求出n的值，进而可得m的值；
（3）先解方程表示出x，再利用“缘解方程”的定义表示出x，进而得出，求得 ，再把原式化简成含 的式子计算即可．
【详解】（1）解：解方程 得： ，
∵ 是“缘解方程”，
∴ ，
∴ ，
解得： ，
故答案为： ；
（2）解：∵ 是“缘解方程”，
∴ ，
∵解为 ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
解得： ，
∴ ，
解得： ；
（3）解：解方程 得： ，
∵方程 是“缘解方程”，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴．
【点睛】本题考查了解一元一次方程，整式的化简求值，理解“缘解方程”的定义是解题
的关键．
举一反三2（2022上·江苏南通·七年级统考期末）定义：如果一个一元一次方程的一次项
系数与常数项的差刚好是这个方程的解的2倍，则称这个方程为妙解方程．如：方程
中， ，方程的解为 ，则方程 为妙解方程．请根据上述
定义解答：关于x的一元一次方程 是妙解方程，则 ．
【答案】
【分析】先解出方程，可得 ，再由妙解方程的定义，可得
，即可求解．
【详解】解： ，
解得： ，
根据题意得： ，
解得： ．
故答案为：
【点睛】本题主要考查了解一元一次方程，理解新定义是解题的关键．
举一反三3（2021上·湖南长沙·七年级长沙市开福区青竹湖湘一外国语学校校考阶段练
习）定义：对于一个有理数x，我们把 称作x的“青一值”．若 ，则有理数x的
“青一值” ；若 ，则有理数x的“青一值” ．例： ；
．
（1）求有理数 和 的“青一值”；（2）已知有理数 ， ，且它们的“青一值”相等，叫 ，试求代数式
的值；
（3）解方程： ．
【答案】（1） ； ；（2）8；（3）
【分析】（1）根据 ， ，直接利用公式计算即可得到答案；
（2）根据“青一值”定义化简得 ，然后代入代数式即可求解；
（3）分三种情况化简方程，解方程即可；
【详解】（1） ，
（2） ，
，
（3）当 时，方程为： ，解得：
当 时，方程为： ，解得： （舍去）
当 时，方程为： ，解得： （舍去）所以方程的解为：
【点睛】本题考查了有理数的加减混合运算，代数式求值，解一元一次方程，正确理解题
中的公式是解题关键．
举一反三4（2023上·安徽淮北·七年级淮北市第二中学校考期中）定义：关于x的方程
与方程 （a，b均为不等于0的常数）互为“反对方程”
例如：方程 与方程 互为“反对方程”．
(1)若方程 与方程 互为“反对方程”，则 ______．
(2)若关于x的方程 与方程 互为“反对方程”，求m，n的值．
(3)若关于x的方程 与其“反对方程”的解都是整数，求常数b的值．
【答案】(1)2
(2)
(3) 或2
【分析】（1）根据“反对方程”的定义，求解即可；
（2）根据“反对方程”的定义，得到 ，求解即可；
（3）先根据“反对方程”的定义，得到 的反对方程，求出两个方程的解，根
据两个方程的解都是整数，进行求解即可．
本题考查解一元一次方程，掌握“反对方程”的定义，是解题的关键．
【详解】（1）解：∵方程 与方程 互为“反对方程”，
∴ ；
故答案为：2．
（2）将 写成 的形式，
将 写成 的形式，
因为 与方程 互为“反对方程”，
所以 ，所以 ，
所以m，n的值分别是 ，2；（3） 的“反对方程”为 ，
由 得 ，
由 得 ，
因为 与 的解均为整数，
所以 与 都为整数，
所以当 即 时， ，与 ，都为整数，
当 即 时， ， ，都为整数，
所以b的值为 或2．
举一反三5（2020上·山西吕梁·七年级统考期末）规定：若两个一元一次方程所含未知数
相同，并且其中一个方程的解是另一个方程解的2倍，则这个方程叫做另一个方程的倍解
方程.如一元一次方程 的解是 ， 的解是 .10是5的2倍，因此一
元一次方程 是 的倍解方程.已知关于 的一元一次方程 是
的倍解方程，求 的值.
【答案】
【分析】先求出方程 的解，在根据倍解方程的定义求出方程 的
解，代入即可求得a的值.
【详解】
去括号得
移项，合并同类项得
系数化为1得
又因为关于 的一元一次方程 是 的倍解方程，
所以 的解是
所以 ， ，【点睛】本题考查的是一元一次方程的新定义问题，掌握一元一次方程的解法及理解新定
义是关键.
题型17 题型解比例方程
例17（2022上·湖北黄石·七年级统考期末）解比例或解方程．
(1)
(2)
(3)
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）根据比例的性质，内项之积等于外项之积，得出方程，进而解方程；
（2）将百分数化为分数然后解方程即可；
（3）先去括号，然后解方程即可求解．
【详解】（1） ，
解： ，
，
；
（2） ，
解： ，
，；
（3） ，
解： ，
，
．
【点睛】本题考查了解比例或解方程，正确的计算是解题的关键．
举一反三1（2022上·黑龙江大庆·六年级统考期末）解方程．
(1) ；
(2) ；
(3)
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）根据 ，可得 ，据此求出x的值即可；
（2）根据 ，可得 ，据此求出x的值即可；
（3）根据 ，可得 ，据此求出x的值即可．
【详解】（1）解：
整理得：
系数化为1得：
（2）解：
合并同类项得：
系数化为1得：（3）解：
整理得：
系数化为1得：
．
【点睛】此题主要考查了解一元一次方程的方法，熟记解题步骤是关键．
举一反三2（2022下·黑龙江绥化·六年级校考期末）解比例：
(1)
(2)3.6∶x = 2∶4.5
(3)15∶3＝12∶x
(4)34∶210 ＝x∶35
【答案】(1)10
(2)8.1
(3)
(4)
【分析】根据解一元一次方程的步骤求解即可；
【详解】（1）
解：
；
（2）3.6∶x=2∶4.5
解：
；
（3）15∶3＝12∶x
解：
；
（4）34∶210＝x∶35解：
．
【点睛】本题主要考查解一元一次方程，掌握解一元一次方程的方法步骤是解题的关键．
举一反三3（2021上·广东珠海·七年级统考开学考试）解方程或解比例．
(1)
(2)
(3)
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）按照去分母，合并同类项，化系数为1的步骤求解即可；
（2）根据比例的基本性质，比例前项与后项乘积等于比例中项的乘积，即可求解；
（3）按照去括号，移项，合并同类项，化系数为1的步骤求解即可．
【详解】（1）解： ，
去分母，得： ，
合并同类项，得： ，
化系数为1，得： ；
（2）解： ，
，
，
，
；
（3）解： ，
去括号，得： ，移项，得：
合并同类项，得： ，
化系数为1，得： ．
【点睛】本题主要考查了解一元一次方程，解题的关键是掌握解一元一次方程的方法和步
骤．
题型18 题型定义新运算
例18（2023上·黑龙江绥化·七年级校考期中）定义一种新的运算：对于任意的有理数a，
b，c，d都有 ，应用新运算计算：
(1)求 的值；
(2)如果 ，求x的值．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）先根据新运算进行变形，再根据有理数的运算法则进行计算即可；
（2）先根据新运算进行变形，再根据等式的性质求出方程的解即可．
【详解】（1）解：
；（2） ，
，
，
，
，
．
【点睛】本题考查了解一元一次方程和有理数的混合运算，能正确根据有理数的运算法则
进行计算是解（1）的关键，能正确根据等式的性质进行变形是解（2）的关键．
举一反三1（2023上·广东广州·七年级校考阶段练习）广大附中的学生们不仅喜欢钻研数
学问题，他们还喜欢自己命题相互考．下面是小张同学命制的试题，对于任意四个有理数
， ， ， ，我们给它一个规定： ，例如：
请根据上述规定的运算解决下列问题：
(1)计算： ；
(2)计算： ；
(3)若有理数 ，求 的值．
【答案】(1)15
(2)58
(3)
【分析】（1）根据新定义的运算法则计算即可；
（2）根据新定义的运算法则计算即可；（3）根据新定义的运算法则对原方程进行整理，再求解即可．
【详解】（1）解：
；
（2）解：
；
（3）解：
，
整理，得： ，
解得： ．
【点睛】本题考查有理数的混合运算，解一元一次方程．理解题意，掌握新定义的运算法
则是解题关键．
举一反三2（2023上·北京西城·七年级北京市第十三中学分校校考期中） 是新规定的
这样一种运算法则： ，例如 ．
(1)求 的值；
(2)若 ，求x的值．
【答案】(1)16
(2)
【分析】本题考查了解一元一次方程，其步骤为：去分母，去括号，移项合并，将未知数
系数化为1，求出解，（1）利用题中的新定义化简原式，计算即可得到结果；
（2）利用题中的新定义化简已知等式，求出方程的解即可得到 的值．
【详解】（1）解：根据题中新定义得： ※ ；
（2）根据题意： ，
整理得： ，
解得： ．
举一反三3（2023上·江苏南京·七年级校考阶段练习）课堂上，老师说：“我定义了一种
新的运算，叫☆运算．”老师根据规律，写出了几组按照☆运算法则进行运算的式子：
第一组： ； ；
第二组： ； ；
第三组： ； ； ； ．
小明说：我知道老师定义的☆运算法则了，聪明的你看出来了吗？请你帮忙归纳☆运算法
则：
(1)归纳☆运算法则，填写下列空白部分：
①同号两个数进行☆运算时，结果的符号为负，数值部分取绝对值相加；
②异号两个数进行☆运算时，____________；
③特别地，0和任何数进行☆运算，或是任何数和0进行☆运算都等于______；
(2)填空： ______； ______；
(3)若 ，求 的值．
【答案】(1)结果的符号为正，数值部分取绝对值相加；该数的绝对值
(2) ；
(3) 或1
【分析】（1）从题中分别观察同号运算，异号运算，以及与0进行运算时的结果，进行总
结即可；
（2）结合新定义的运算法则，求解即可；（3）分 为负数、 为正数和 为0三种情况，分别求解即可．
【详解】（1）解：归纳☆运算法则，填写下列空白部分：
①同号两个数进行☆运算时，结果的符号为负，数值部分取绝对值相加；
②异号两个数进行☆运算时，结果的符号为正，数值部分取绝对值相加；
③特别地，0和任何数进行☆运算，或是任何数和0进行☆运算都等于该数的绝对值．
故答案为：结果的符号为正，数值部分取绝对值相加；该数的绝对值；
（2） ；
．
故答案为： ； ；
（3）若 为负数，即 ，
则有 ，
解得 ；
若 为正数，即 ，
则有 ，
解得 ；
若 为0，
则有 ，
解得 ，不符合题意，舍去．
综上所述， 的值为 或1．
【点睛】本题主要考查了新定义运算、有理数运算、化简绝对值以及解一元一次方程等知
识，理解新定义的运算是解题关键．
题型19 解方程纠错问题
例19（2023上·山西太原·七年级校考期末）下面是小愉同学解一元一次方程的过程，请认
真阅读并解答问题．解方程：
解：去分母，得 ．…第一步
去括号，得 ．…第二步
移项，得 ．…第三步
合并同类项，得 ，…第四步
方程两边同除以 ，得 ．…第五步
(1)以上求解过程中，第三步的依据是 ；
(2)从第 步开始出现错误，具体的错误是 ；
(3)该方程正确的解为 ．
【答案】(1)等式的基本性质
(2)一；去分母时，常数项没有乘最小公倍数
(3)
【分析】（1）根据等式的基本性质，进行作答即可；
（2）第一步出现错误，去分母时，常数项没有乘最小公倍数；
（3）正确的进行求解即可．
【详解】（1）解：第三步的依据是：等式的基本性质；
故答案为：等式的基本性质；
（2）从第一步开始出错，具体的错误是去分母时，常数项没有乘最小公倍数；
故答案为：一；去分母时，常数项没有乘最小公倍数．
（3）解：去分母，得 ．
去括号，得 ．
移项，得 ．
合并同类项，得 ，
方程两边同除以 ，得 ．
故答案为： ．
【点睛】本题考查解一元一次方程．熟练掌握解一元一次方程的步骤，是解题的关键．注
意去分母时，不要漏乘．
举一反三1（2023上·山西太原·七年级统考期末）（1）解方程： ；（2）下面是小亮同学解一元一次方程的过程，请认真阅读并解答相应问题．
解方程： ．
解：去分母，得 ． 第一步
去括号，得 ． 第二步
移项，得 ． 第三步
合并同类项，得 第四步
方程两边同除以 ，得 ． 第五步
填空：
①以上求解步骤中，第________步开始出现错误，具体的错误是
_____________________________；
②该方程正确的解为________．
【答案】（1） ；（2）①二，去括号时没有变号；②
【分析】（1）移项，合并同类项，系数化成1即可求解；
（2）①根据等式的性质得出即可；②去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化成1即
可．
【详解】解：（1） ，
移项得： ，
合并得：
系数化为1得： ；
（2）①第二步开始出现错误，
具体的错误是：去括号时没有变号；
② ，
去分母，得 ，
去括号，得 ，
移项，得 ，
合并同类项，得 ，
系数化成1，得 ．
【点睛】本题考查了解一元一次方程，能正确根据等式的性质进行变形是解此题的关键．举一反三2（2023上·河北张家口·七年级统考期末）嘉琪同学在解方程： 时，
步骤如下：
嘉琪的计算从第几步开始出错，错误的原因什么？请给出正确的解答过程．
【答案】第①步，原因是应用乘法分配律时漏乘了项（去括号时漏乘了项），解答过程见
解析
【分析】根据解一元一次方程的方法，去括号，移项，合并同类项，系数化为 的方法即
可求解．
【详解】解：第①步，原因是应用乘法分配律时漏乘了项（去括号时漏乘了项）
正解如下： ，
去括号， ，
移项，
合并同类项，
系数化为 ，
∴原方程的解为 ．
【点睛】本题主要考查解一元一次方程的方法，掌握以上知识是解题的关键．
举一反三3（2022上·河南郑州·七年级校联考期末）下面是小颖同学解一元一次方程的过
程，请认真阅读并完成相应任务．
解方程： ．
解：去分母，得 ，⋯第一步
去括号，得 ，⋯第二步
___________，得 ，⋯第三步
合并同类项，得 ，⋯第四步
方程两边同除以3，得 ，⋯第五步(1)以上求解步骤中，第三步进行的是___________，这一步的依据是___________；
(2)以上求解步骤中，第___________步开始出现错误，具体的错误原因是___________；
(3)请写出正确解方程的过程．
【答案】(1)移项，等号两边同时减去同一个数，等式仍成立
(2)一，等号右边的1没有乘以最小公分母
(3) ，过程见解析
【分析】（1）根据第三步中，等号左边的2到等号右边去了可知，这一步是移项，依据是
等式的性质；
（2）根据去分母的步骤可得，第一步开始出现错误，等号右边的1没有乘以最小公分母；
（3）按照去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化为1的步骤，进行解答即可．
【详解】（1）解：根据题意可得：第三步进行的是移项，这一步的依据是等号两边同时减
去同一个数，等式仍成立；
故答案为：移项，等号两边同时减去同一个数，等式仍成立；
（2）解：根据题意可得：
．
去分母，得 ，⋯第一步
∴第一步开始出现错误，等号右边的1没有乘以最小公分母；
故答案为：一，等号右边的1没有乘以最小公分母；
（3）解： ．
解：去分母，得 ，
去括号，得 ，
移项，得 ，
合并同类项，得 ，
方程两边同除以3，得 ．
【点睛】本题主要考查了解一元一次方程，解题的关键是熟练掌握解一元一次方程的方法
和步骤．举一反三4（2023下·河南南阳·七年级统考期末）老师让同学们解方程 ，
某同学给出了如下的解答过程：
解：去分母得： ，
去括号得： ，
移项得： ，
合并得： ，
两边都除以7，得 ，
根据该同学的解答过程，你发现：
(1)从第_______步开始出现错误，该步错误的原因是______________________；
(2)请你给出正确的解答过程．
【答案】(1)①， 没有乘以6
(2)
【分析】（1）根据题意逐步检查各个步骤即可得到答案；
（2）按照步骤重新解即可得到答案；
【详解】（1）解：由题意可得，
第①开始出现错误，该步错误的原因是： 没有乘以6，
故答案是：①， 没有乘以6；
（2）解：去分母得： ，
去括号得： ，
移项得： ，
合并得： ，
两边都除以 ，得 ，
【点睛】本题考查解一元一次方程，解题的关键是去分母及去括号注意别漏项及注意符号
选取．
题型20 解一元一次方程分类讨论问题例20（2014上·七年级课时练习）已知方程 的解满足 ，则
．
【答案】-6或-12
【详解】由 ，得
当 时，由 ，得 ，解得 ；
当 时，由 ，得 ，解得 .
综上可知，
举一反三1（2020上·浙江杭州·七年级统考期末）对于三个互不相等的有理数a，b，c，
我们规定符号 表示a，b，c三个数中较大的数，例如 .按照这个
规定则方程 的解为 ．
【答案】
【分析】分 时， 时和 时三种情况讨论，列出方程求解即可．
【详解】解：当 时， ，
即 ，解得 （不符合题意，舍去）；
当 时， ，
即 ，解得 ，
当 时， ，
即 ，解得 （不符合题意，舍去），
综上所述， ，
故答案为： ．
【点睛】本题考查解一元一次方程．能结合 的定义分情况讨论是解题关键．
举一反三2（2022下·上海·八年级校考阶段练习）解关于x的方程： ．
【答案】当 时，原方程无解；当 时，【分析】根据题意，分两种情况：① 时，② 时，根据解一元一次方程的方法，
求出方程的解即可．
【详解】解：∵ ，
∴ ，
①当 时， ，
故方程无解．
②当 时，
∴系数化为1得： ；
∴关于x的方程 的解为：当 时，原方程无解；当 时，
．
【点睛】此题主要考查了解一元一次方程的方法，掌握解一元一次方程是解题的关键．
举一反三3（2022上·浙江湖州·七年级统考期末）定义一种对正整数 的“ ”运算：
．以 表示对正整数 进行 次“ ”运算．例如， 表
示对2进行2次“ ”运算，由于2是偶数，因此，第一次运算的结果为 ，由于第
一次运算的结果1是奇数，故第二次运算的结果为 ，所以 的运算结果是6．
据此回答：
(1)求 的运算结果；
(2)若 为偶数，且 的运算结果为8，求 的值；(3)求 的运算结果．
【答案】(1)
(2) 的值是6或32
(3)
【分析】（1）根据新定义的对正整数 进行 次“ ”运算求解即可；
（2）根据 是偶数，可得 ，然后分 为奇数和 为偶数两种情况分别求解
即可；
（3）找到 的“ ”运算结果呈现的规律，然后根据该规律求解即可．
【详解】（1）解：依题意可得， ．
（2）∵ 是偶数，
∴ ，
若 为奇数，则 ，令 ，解得 ；
若 为偶数，则 ，令 ，解得 ．
故 的值是6或32；
（3） 的“ ”运算结果呈现的规律为：8，4，2，1，6，3，8，4，2，1，…，
∴运算结果以8，4，2，1，6，3为一组循环，
∵ ，
∴ ．
【点睛】本题主要考查了新定义下的运算、代数式求值、解一元一次方程，数字类规律探
索等知识，理解新定义的对正整数 进行 次“ ”运算是解题关键．
一、单选题1．（2023上·江苏淮安·七年级统考期中）根据如图所示的程序计算，若输入的 值为 时，
输出的值为 ，输入值为-1时，输出值为( )
A． B．1 C．3 D．4
【答案】C
【分析】本题主要考查了有理数的运算；先根据输入 输出 确定 的值，再输入 计算
即可．
【详解】解：∵输入的x值为5时，输出的值为 ，
∴ ．
解得 ．
当输入值为 时，
．
故选：C．
2．（2023上·湖南长沙·七年级校考期中）方程 的解为（ ）
A．2 B． C．3 D．
【答案】A
【分析】本题考查的是一元一次方程的解法．移项，合并同类项，再把未知数的系数化“
”，从而可得答案．
【详解】解：移项得 ，
合并同类项得： ，
系数化“ ”得： ，
故选：A．
3．（2023上·四川南充·七年级统考期末）解方程 去分母不小心，变为
，得到解为 ．原方程正确的解应为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】将 代入 得出 ，代回原方程，解方程即可求解．【详解】解：∵ ，得到解为 ．
∴ ，
解得： ，
∴原方程为 ，
去分母得：
移项得：
合并同类项得：
化系数为1： ，
故选：C．
【点睛】本题考查了一元一次方程的解，解一元一次方程，掌握解一元一次方程的步骤是
解题的关键．
4．（2023下·江苏连云港·七年级校考阶段练习）已知方程 的解是正数，则
的最小整数解是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】C
【分析】依次去括号、移项、合并同类项、系数化1解方程，求得 ，再根据方程
的解是正数，求出 ，即可得到 的最小整数解．
【详解】解： ，
去括号，得： ，
移项，得： ，
合并同类项，得： ，
系数化1，得： ，
方程 的解是正数，
，
，
的最小整数解是3，
故选：C．
【点睛】本题考查了根据一元一次方程的解的情况求参数，熟练掌握一元一次方程的解法
是解题关键．5．（2023上·江苏常州·七年级统考期末）若 是关于x的方程
的解，则a等于（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】B
【分析】直接把x的值代入进而得出答案．
【详解】解：∵ 是关于x的方程 的解，
∴ ，
解得 ．
故选：B．
【点睛】本题主要考查了一元一次方程的解，正确解方程是解题的关键．
二、填空题
6．（2022上·浙江湖州·七年级统考期末）我们规定：如果关于 的一元一次方程 的
解为 ，则称该方程为和解方程．例如： 的解为 ，且 ，故
方程 是和解方程．若关于 的一元一次方程 是和解方程，则
．
【答案】
【分析】先求出 的解，根据题意得出关于m的方程，再求出方程的解即可．
【详解】解：由题意可得方程为 ，
．
方程为和解方程，
，
，
解得 ，故答案为： ．
【点睛】本题考查了解一元一次方程和一元一次方程的解，能求出每个方程的解是解此题
的关键．
7．（2023上·广东广州·七年级广州大学附属中学校考期中）若关于 的方程
的解是整数，则整数 的值有（ ）
A．4个 B．8个 C．12个 D．16个
【答案】D
【分析】本题考查的是含参数的一元一次方程的整数解问题，先把方程整理为
，再根据方程的解为整数，例举 的因数，再建立简单方程求解即可．
【详解】解： ，
整理，得 ，
由于x、k均为整数，
∴当 时， 或 ，
当 时， 或 ，
当 时， 或 ，
当 时， 或 ，
当 时， 或 ，
当 时， 或 ，
当 时， 或 ，
当 时， 或 ；
所以k的取值共有16个．
故选D．
8．（2023下·福建福州·七年级统考开学考试）若 是关于方程 的一个解，
则 的值是 ．
【答案】
【分析】先把 代入方程 得关于m的方程，然后解关于m的方程即可．【详解】解：把 代入方程 得
解得：
故答案为： ．
【点睛】本题考查了方程的解，解一元一次方程，熟练掌握能使方程左右两边相等的未知
数的值是方程的解是解题的关键．
三、解答题
9．（2017上·广东深圳·七年级深圳中学校考期末）解方程：
(1) ；
(2) ；
(3) ；
(4) ．
【答案】(1)
(2)
(3)
(4)
【分析】（1）移项合并同类项，系数化为1，可解；
（2）去分母，移项合并同类项，系数化为1，可解；
（3）去分母，去括号，移项合并同类项，系数化为1，可解；
（4）去分母，去括号，移项合并同类项，系数化为1，可解．
【详解】（1）解： ，
移项合并得， ，
系数化为1得， ；（2）解： ，
去分母得， ，
移项合并得， ，
系数化为1得， ；
（3）解： ，
去分母得， ，
去括号得， ，
移项合并得，5x=5，
系数化为1得， ；
（4）解： ，
去分母得，
去括号得，
移项合并得，
系数化为1得， ．
【点睛】本题考查了解一元一次方程的解法．解题关键在于熟练掌握解一元一次方程，先
去分母，去括号，移项合并，最后系数化为1．
10．（2023上·湖北黄冈·七年级统考期末）关于x的方程 与方程 的
解相同，求m的值．
【答案】
【分析】先求出方程 的解，再代入方程 中，即可求出m的值．
【详解】解： ，
，
，
解得： ，
两个方程的解相同，
把 代入 ，得： ，
解得： ．
【点睛】本题考查的是解一元一次方程，熟练掌握一元一次方程的解法是解题关键．
11．（2022上·江苏·七年级专题练习）解方程： ．【答案】 时， ； 时
【分析】令 ， ，得 ， ，根据这两个数进行分段，去绝对值符
号求 值.
【详解】解：①当 时， ，
，不存在；
②当 时， ， ；
③当 时， ， ，
的解是 时， ； 时 ．
【点睛】本题主要考查了含绝对值符号的一元一次方程的解法，解题的方法是令每个绝对
值部分为0，将 的值分段去绝对值解方程．
12．（2023下·吉林长春·七年级统考期中）花花同学完成了一道解一元一次方程的作业题，
解答过程如下：
解方程： ．
解： ．⋯
①
．⋯②
．⋯③
．⋯④
．⋯⑤
(1)上面的解题过程从第 步开始出现错误（填入编号），错误的原因是 ．
(2)请完整地写出正确的解答过程．
【答案】(1)②，去括号没变符号且漏乘括号外面的数
(2) ，过程见解析
【分析】（1）根据解方程的一般步骤找出错误即可；
（2）根据去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1解一元一次方程即可．【详解】（1）解：由解析可知，第②步出现，括号前面是负号，去括号时要改变里面的符
号．
故答案为：②，去括号没变符号且漏乘括号外面的数；
（2）去分母得， ．
去括号得， ，
移项得， ，
合并同类项得， ，
系数化为1得， ．
【点睛】本题考查的是解一元一次方程，熟知解一元一次方程的一般步骤是解题的关键．
13．（2023上·浙江金华·七年级统考期末）计算： ．
圆圆在做作业时，发现题中有一个数字被墨水污染了．
(1)如果被污染的数字是 ，请计算 ．
(2)如果计算结果等于14，求被污染的数字．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）先利用乘法分配律去括号，再根据有理数的乘法和加减法运算法则求解即可；
（2）列一元一次方程求解即可．
【详解】（1）解：
；
（2）解：设
根据题意，得 ，
去括号，得 ，移项、合并同类项，得 ，
化系数为1，得 ，
即被污染的数字为 ．
【点睛】本题考查有理数的四则混合运算、解一元一次方程，熟练掌握运算法则和解一元
一次方程时解法步骤是解答的关键．
14．（2023上·河南商丘·七年级统考期末）我们规定，若关于x的一元一次方程 的解
为 ，则称该方程为“差解方程”．
例如： 的解为2，且 ，则方程 是差解方程．请根据上述规定解答下列
问题：
(1)判断 是否为差解方程，并说明理由．
(2)若关于x的一元一次方程 是差解方程，求 的值．
【答案】(1) 是差解方程，理由见解析；
(2) ．
【分析】（1）解方程，并计算对应 的值与方程的解恰好相等，所以是差解方程；
（2）解方程，根据差解方程的定义列式求解即可．
【详解】（1）是差解方程；
理由：
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ 是差解方程；
（2）解方程 ，得，
，
∵关于 的一元一次方程 是差解方程，
∴
解得： ．【点睛】本题考查了一元一次方程的解与新定义：差解方程，解好本题是做好两件事：①
熟练掌握一元一次方程的解法；②根据差解方程的定义列出方程求解．
15．（2020上·湖南长沙·七年级雅礼中学校考期末）定义：对于一个有理数x，我们把[x]称
作x的对称数.
若 ，则[x]=x-2:若x<0，则[x]=x+2.例：[1]=1-2=-1，[-2]=-2+2=0
（1）求[ ]，[-1]的值；
（2）已知有理数a>0.b<0，且满足[a]=[b]，试求代数式 的值：
（3）解方程：[2x]+[x+1]=1
【答案】（1） ；（2） ；（3） 或 .
【分析】（1）利用题中新定义计算即可得到结果
（2）根据已知条件及新定义计算得到 ，对原式化简整理再整体代入计算即可；
（3）分三种情况讨论： ； ；
【详解】（1）[ ][-1] ；
（2）∵a>0.b<0，且满足[a]=[b]，
∴ ，即：
∴
；
（3）当 时：
∴ ，符合题意，∴
当 时：
∴ ，不在 之中，不符合题意，舍去；
当 时：∴ ，符合题意，∴
综上方程的解是： 或 .
【点睛】本题主要考查了解一元一次方程、整式的加减及有理数的混合运算，第(3)小题解
题的关键是掌握分类讨论的方法.
