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3.3 解一元一次方程——去括号与去分母
解一元一次方程的一般步骤：
变形名称 具体做法 注意事项
(1)不要漏乘不含分母的项
在方程两边都乘以各分母的最小公倍
去分母
数 (2)分子是一个整体的，去分母后应加上括
号
(1)不要漏乘括号里的项
先去小括号，再去中括号，最后去大
去括号
括号
(2)不要弄错符号
把含有未知数的项都移到方程的一 (1)移项要变号
移项 边，其他项都移到方程的另一边(记住
移项要变号) (2)不要丢项
合并同类项 把方程化成ax＝b(a≠0)的形式 字母及其指数不变
在方程两边都除以未知数的系数 a，
系数化成1 不要把分子、分母写颠倒
得到方程的解 ．
注意；（1）解方程时，表中有些变形步骤可能用不到，而且也不一定要按照自上而下的顺序，有些步骤
可以合并简化．
（2）去括号一般按由内向外的顺序进行，也可以根据方程的特点按由外向内的顺序进行.
（3）当方程中含有小数或分数形式的分母时，一般先利用分数的性质将分母变为整数后再去分母，注意
去分母的依据是等式的性质，而分母化整的依据是分数的性质，两者不要混淆．
题型1：去括号解一元一次方程
1.解方程：
5(x+8)−5=0
8+3(x−2)=5(x−2)．
【变式1-1】解方程：x−2(x−1)=1−3x.解方程：4−(y+2)=3(2−y)．
【变式1-2】解方程：3(3x−1)−4=17x
2−3(x+1)=1−2(1+0.5x)
题型2：找公分母与去分母
x x+1
2.把方程 − =1 去分母，下列变形正确的是（ ）
3 6
A．2x−(x+1)=1 B．2x−(x+1)=6 C．2x−x+1=1 D．2x−x+1=6
3x−1 1+2x
【变式2-1】解方程 − =−4 时，去分母后得到的方程正确的是（ ）
2 4
A．2(3x−1)−1+2x=−4 B．2(3x−1)−(1+2x)=−1
C．2(3x−1)−(1+2x)=−4 D．2(3x−1)−(1+2x)=−16
2x−2 3x−5
【变式2-2】在解方程 − =2时，去分母正确的是（ ）
3 2
A．2(2x−2)−3(3x−5)=2 B．(2x−2)−(3x−5)=2
C．2(2x−2)−3(3x−5)=12 D．2(2x−2)−(3x−5)=12
题型3：去分母解一元一次方程
3.解方程
2 1
（1） −8x=3− x
3 2
1−x x+2
（2） −x=3−
3 4
3x+1 3x−2 2x+3
【变式3-1】解方程： −2= −
2 10 5
1−2x 3x+1
解方程： ＝ ﹣1．
3 7
【变式3-2】解方程
t−3 6−t 1+2t
（1） ＋ ＝
2 3 4
x−1 x+2
（2） =2−
2 5题型4：方程的解与含参问题
2x−1 x+a
4.如果方程 4(x−1)−3(x+1)=−4 和 − =1 的解相同，求出a的值．
5 3
x−m
【变式4-1】方程 2(1−x)=x−1 的解与方程 =2x+m 的解相同，求 m 的值.
3
1 3 2 k
【变式4-2】已知关于x的方程 (1−x)=1+k的解与方程 (x−1)− (3x+2)= 的解互为相反数，
2 4 5 10
求k的值.
题型5：解方程与新定义问题
2a+b
5.在有理数范围内定义运算“*”，其规则为a*b＝ − ，则方程（2*3）（4*x）＝49的解为
3
（ ）
A．﹣3 B．﹣55 C．﹣56 D．55
【变式5-1】定义运算：a*b＝a(ab＋7)，则方程3*x＝2*(－8)的解为 ．
【变式5-2】定义一种新运算“※”，其规则为x※y=xy-x+y.例如6※5=6×5-6+5=29．再如：（2a）※3=
（2a）×3-2a+3．
（1）计算5※6值为
（2）若（2m）※3=2※m,求m的值．
（3）有理数的加法和乘法运算都满足交换律，即a+b=b+a,ab=ba,“※”运算是否满足交换律？若满足，
请说明理由；若不满足，请举例说明．
题型6：列方程解决实际问题4-航行问题
6.轮船沿江从A港顺流行驶到B港，比从B港返回A港少用3小时，若船速为26千米/时，水速
为2千米/时，求A港和B港相距多少千米.设A港和B港相距x千米.根据题意，可列出的方程是（
）
x x x x
A． = −3 B． = +3
26+2 26−2 26+2 26−2
x+2 x−2 x−2 x+2
C． = +3 D． = −3
26 26 26 26
【变式6-1】一条河中有甲、乙两艘船，现它们同时从 A地顺流而行．乙船到B地时接到通知要立即调
头（调头时间不计）到 A，B两地之间的C地执行任务，甲船则继续顺流而行，已知甲、乙两艘船在
静水中的速度都是7.5千米/时，水流速度是2.5千米/时，A，C两地的距离为10千米．如果乙船由A
地经B地再到C地共用4小时，那么乙船从B地到C地时，甲船驶离B地多远？
【变式6-2】轮船在静水中的航行速度25km/h,水流速度为5km/h,从甲码头顺流航行到乙码头，再返回甲码头，共用6h（不计停留时间），求甲、乙两码头间的距离．
题型7：列方程解决实际问题5-相遇问题
7.甲、乙两人在 400 米的环形跑道上进行早锻炼，甲慢跑速度为 105 米/分，乙步行速度为 25
米/分，两人同时同地同向出发，经过多少时间，两人第一次相遇？
【变式7-1】甲车从A地出发开往B地，速度是60 km/h,乙车同时从B地出发开往A地，速度是90
km/h.已知A，B两地相距200 km,两车相遇时距离B地多远？
【变式7-2】小刚和小强从 A、B 两地同时出发，小刚骑自行车，小强步行．沿同一平面路线相向匀
速而行，出发 1.5 小时相遇，相遇后小强又走了 6 千米到达 A，B 两地的中点，相遇后 0.5 小时
小刚到达 B 地，小强的行进速度为 千米/时．
题型8：列方程解决实际问题6-追及问题
8.古代名著《算学启蒙》中有一题：良马日行二百里．驽马日行一百二十里．驽马先行一十二日，
问良马几何追及之．意思是：跑得快的马每天走 200里，跑得慢的马每天走120里．慢马先走12天，
快马几天可追上慢马？
．
【变式8-1】小丽从家到学校有公路和小路两种路径，已知公路比小路远 320米．早上小丽以61米/分
钟的速度从公路去上学，10分钟后，爸爸发现她的作业忘带了，就以 90米/分钟的速度沿小路去追
赶，结果恰好在学校门口追上小丽．问小丽从家到学校的公路有多少米？
【变式8-2】甲、乙两人相距 40km,甲先出发 1.5 小时后，乙再出发，甲的速度为 8km/h,乙的速度为
6km/h.
（1）两人相向而行，乙用了几小时与甲相遇？
（2）甲在后，乙在前，两人同向而行，甲出发几小时后追上乙？
一、单选题
x−1 2x+3
1．在解方程 − =1时，去分母正确的是( )
2 3
A．3(x-1)-2(2x+3)= 1 B．2(x-1)-3(2x+3)=6
C．3(x-1)-2(2x+3)=3 D．3(x-1)-2(2x+3)=6
2．下列方程变形中，正确的是（ ）
A．方程5x﹣2＝2x+1，移项，得5x﹣2x＝﹣1+2
B．方程3﹣x＝2﹣5（x﹣1），去括号，得3﹣x＝2﹣5x+1
4 3
C．方程 x＝ ，系数化为1，得x＝1
3 4x+1 3x−1
D．方程 ＝ ，去分母得x+1＝3x﹣1
5 5
2x−1 3−x
3．把方程 =1− 去分母后，正确的结果是（ ）
4 8
A．2(2x−1)=8−(3−x) B．2(2x−1)=1−(3−x)
C．2(2x−1)=8−3−x D．2x−1=1−(3−x)
2x−1 1+3x
4．解方程 − =−2 时，去分母后得到的方程正确的是（ ）
3 6
A．2(2x−1)−(1+3x)=−2 B．2(2x−1)−1+3x=−12
C．2(2x−1)−(1+3x)=−12 D．2(2x−1)−(1+3x)=−1
1
5．在等式S= （a+b）h中，已知a=3，h=4，S=20，则b等于（ ）
2
A．1 B．3 C．5 D．7
6．下列解方程去分母正确是( )
x 1−x
A．由 −1= ，得2x﹣1＝3﹣3x
3 2
x−2 x
B．由 − =−1 ，得2x﹣2﹣x＝﹣4
2 4
y y
C．由 −1= ，得2y-15=3y
3 5
y+1 y
D．由 = +1 ，得3(y+1)＝2y+6
2 3
二、填空题
1 1
7．如果代数式 6( x−4)+2x 与 7−( x−1) 的值相等，那么x＝ ．
2 3
a−1 2a−3
8．当a= 时， 1− 与 互为相反数.
2 32
9．方程 x−2=4 的解是
3
10．方程5(x+1)=x+1的解为x＝ ．
三、解答题
11．解方程
（1）3x−7(x−1)=3−2(x+3)
2x−1 x+1
（2） − =1 ．
3 2
2x−6 x+a
12．小明解方程 +1= 时，由于粗心大意，在去分母时，方程左边的 1 没有乘以 10 ，
5 2
由此得到方程的解为 x=−1 ，试求 a 的值，并正确地求出原方程的解.
1
13．若代数式 a+2与5﹣2a是互为相反数，则关于x的方程3a+（3x+1）＝a﹣6（3x+2）的解是多
4
少？
2x−1 x+a
14．小李在解关于x的方程 = －1去分母时，方程右边的－1漏乘了3，因而求得方程的
3 3
解为x＝－2，请你帮小李同学求出a的值，并且求出原方程的解.
（1）求2⊗（﹣3）的值；
（2）若（﹣a2）⊗2＝m，求m的最大整数；
3
（3）若关于n的方程满足：1⊗n＝﹣ n﹣2，求n的值；
2
1 1 8 1 1
（4）若− A= t3− t2−2t−2， B=− t3+2t2+3t+1，且A⊗B＝﹣2，求5+12t﹣2t3的值．
3 3 3 2 2
