文档内容
期末真题必刷易错 60 题（34 个考点专练）
一．一元二次方程的定义（共1小题）
1．（2023春•福田区校级期末）下列方程中，是一元二次方程的是（ ）
A．2x2﹣9＝0 B．x＝
C．x2+7x﹣3y＝0 D．x2+4＝（x﹣1）（x﹣2）
二．一元二次方程的解（共3小题）
2．（2023春•石景山区期末）已知x＝2是关于x的一元二次方程x2+bx﹣5＝0的一个根，则b的值是
．
3．（2023春•慈溪市期末）若a是方程x2﹣5x+3＝0的一个根，则代数式1﹣2a2+10a的值是 ．
4．（2023春•丽水期末）已知a，b是方程x2﹣3x+2＝0的两个根，则数据：3，a，4，b，5的平均数是
．
三．解一元二次方程-配方法（共3小题）
5．（2023春•延庆区期末）用配方法解方程x2﹣4x＝1 时，原方程变形正确的是（ ）
A．（x+2）2＝5 B．（x﹣2）2＝5 C．（x+2）2＝1 D．（x﹣2）2＝1
6．（2023春•开福区校级期末）把方程x2+4x+4＝0变形为（x+h）2＝k的形式后，h+k＝ ．
7．（2023春•青秀区校级期末）解一元二次方程：x2﹣8x+1＝0．
四．解一元二次方程-公式法（共1小题）
8．（2023春•鼓楼区校级期末）用公式法解关于x的一元二次方程，得x＝ ，则该一
元二次方程是 ．
五．解一元二次方程-因式分解法（共3小题）
9．（2023春•江州区期末）方程x2＝4x的根是（ ）
A．x＝0 B．x＝4
C．x ＝4，x ＝0 D．x ＝﹣4，x ＝0
1 2 1 210．（2023春•延庆区期末）解方程：
（1）x2﹣2x﹣3＝0； （2）2x2﹣1＝2x．
11．（2023春•福山区期末）用适当的方法解方程：
（1）2x2﹣4x﹣1＝0； （2）4（x+2）2﹣9（x﹣3）2＝0．
六．根的判别式（共1小题）
12．（2023春•丽水期末）已知关于 x的方程 ax2+bx+c＝0（a≠0），当 b2﹣4ac＝0时，方程的解为
（ ）
A． ， B． ，
C． D．
七．根与系数的关系（共3小题）
13．（2023春•钱塘区期末）已知x ，x 是关于x的一元二次方程x2﹣2（t+1）x+t2+5＝0的两个实数根，
1 2
若 + ＝36，则t的值是（ ）
A．﹣7或3 B．﹣7 C．3 D．﹣3或7
14．（2023 春•沙坪坝区校级期末）已知 m，n 是方程 x2+2x﹣3＝0 的两个根，则 ＝
．
15．（2023春•环翠区期末）已知：关于x的方程x2+（8﹣4m）x+4m2＝0．
（1）若方程有两个相等的实数根，求m的值，并求出这时方程的根．
（2）问：是否存在正数m，使方程的两个实数根的平方和等于136？若存在，请求出满足条件的m值；
若不存在，请说明理由．八．一元二次方程的应用（共1小题）
16．（2023春•曾都区期末）某商场计划购进甲、乙两种商品共 80件进行销售，已知甲种商品的进价为
120元/件，乙种商品的进价为80元/件，甲种商品的销售单价为 150元/件，乙种商品的销售单价y
（元/件）与购进乙种商品的数量x（件）之间的函数关系如图所示．
（1）求y（元/件）关于x（件）的函数关系式（不要求写出自变量x的取值范围）；
（2）当购进乙种商品30件时，求销售完80件甲、乙两种商品获得的总利润；
（3）实际经营时，因原材料价格上涨，甲、乙两种商品的进价均提高了10%，为保证销售完后总利润
不变，商场决定将这两种商品的销售单价均提高m元，且m不超过乙种商品原销售单价的9%，求m的
最大值．
九．配方法的应用（共2小题）17．（2023春•青原区期末）阅读下列材料：利用完全平方公式，将多项式 x2+bx+c变形为（x+m）2+n的
形式，然后由（x+m）2≥0就可求出多项式x2+bx+c的最小值．
例题：求x2﹣12x+37的最小值；
解：x2﹣12x+37＝x2﹣2x•6+62﹣62+37＝（x﹣6）2+1；
因为不论x取何值，（x﹣6）总是非负数，即（x﹣6）2≥0；
所以（x﹣6）2+1≥1；
所以当x＝6时，x2﹣12x+37有最小值，最小值是1．
根据上述材料，解答下列问题：
（1）填空：
x2﹣8x+18＝x2﹣8x+16+ ＝（x﹣ ）2+2；
（2）将x2+16x﹣5变形为（x+m）2+n的形式，并求出x2+16x﹣5最小值；
（3）如图所示的第一个长方形边长分别是2a+5、3a+2，面积为S ；如图所示的第二个长方形边长分别
1
是5a、a+5，面积为S ，试比较S 与S 的大小，并说明理由．
2 1 2
18．（2023春•高州市期末）把代数式通过配方等手段得到完全平方式，再运用完全平方式的非负性这一
性质解决问题，这种解题方法叫做配方法．配方法在代数式求值，解方程，最值问题等都有广泛的应用．
如利用配方法求最小值，求a2+6a+8的最小值．解：a2+6a+8＝a2+6a+32﹣32+8＝（a+3）2﹣1，因为不论a取何值，（a+3）2总是非负数，即（a+3）
2≥0．
所以（a+3）2﹣1≥﹣1，所以当a＝﹣3时，a2+6a+8有最小值﹣1．
根据上述材料，解答下列问题：
（1）在横线上添上一个常数项使之成为完全平方式：a2+14a+ ；
（2）将x2﹣10x+27变形为（x﹣m）2+n的形式，并求出x2﹣10x+27的最小值；
（3）若代数式N＝﹣a2+8a+1，试求N的最大值；
一十．反比例函数的性质（共1小题）
19．（2023春•淮阴区期末）反比例函数 的图象分布在第一、三象限内，则 k的取值范围为
．
一十一．反比例函数系数k的几何意义（共2小题）
20．（2023春•锡山区期末）如图，在平面直角坐标系中，坐标原点 O为矩形ABCD的对角线AC的中点，
点E是x轴上一点，连接AE、BE，若AD平分∠OAE，点F是AE的中点，反比例函数 （k＜0，x
＜0）的图象经过点A、F，已知△ABE的面积为24，则k的值为（ ）
A．﹣12 B．﹣16 C．﹣18 D．﹣20
21．（2023春•北碚区校级期末）如图，在平面直角坐标系中， ABOC的边OB在y轴的正半轴上，反比
▱例函数 的图象经过点C，交AB于点D．若BD：AD＝1：3，△ADC的面积为3，则k的
值为 ．
一十二．反比例函数图象上点的坐标特征（共1小题）
22．（2023春•烟台期末）反比例函数 的图象上有一点P（m，n），当n≥﹣1，则m的取值范围是
．
一十三．反比例函数与一次函数的交点问题（共5小题）
23．（2023春•淮阴区校级期末）如图，已知直线y＝kx（k≠0）与双曲线y＝ 交于A（m，2）、B两点
则点B的坐标为 ．
24．（2023 春•宜兴市期末）如图，在平面直角坐标系中，一次函数 y＝x+2 的图象与反比例函数
的图象交于点A（1，m），与x轴交于点C．点B是反比例函数图象上一点且纵坐标是
1，连接AB，CB，则△ACB的面积为 ．25．（2023春•高新区期末）已知一次函数y ＝kx+b（k≠0）与反比例函数 相交于点A
1
（﹣3，a），B（﹣1，c），不等式 的解集是 ．
26．（2023春•仪征市期末）反比例函数 的图象与一次函数y＝x﹣1的图象交于点A（a，b），则a﹣
ab﹣b的值是 ．
27．（2023春•慈溪市期末）如图，直线AB交反比例函数 的图象于A，B两点（点A，B在第一象限，
且点A在点B的左侧），交x轴于点C，交y轴于点D，连接BO并延长交该反比例函数图象的另一支
于点E，连接AE交y轴于点F，连接BF，OA，且AB＝AD．
（1）若k＝3，则S△OAB ＝ ；
（2）若S△OBF ＝5，则k的值为 ．
一十四．二次函数图象与系数的关系（共1小题）
28．（2023春•北碚区校级期末）已知抛物线y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数），开口向下，过点A（﹣2，
0），B（m，0），且1＜m＜2，下列四个结论：
①a＜b＜0；
②若c＝2，则﹣1＜b＜0；
③若 ，c＝3，当﹣2＜x＜3时，直线y＝2x+n与该二次函数只有一个公共点，则﹣ 或n
＝ ；
④当 时，关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝1必有两个不相等的实数根．
以上结论，正确的有（ ）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
一十五．抛物线与x轴的交点（共1小题）
29．（2023春•鼓楼区校级期末）如图，抛物线y＝ax2+bx﹣6交x轴于A（2，0），B（﹣6，0）两点，交
y轴于点C，点Q为线段BC上的动点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）求QA+QO的最小值；
（3）过点Q作QP∥AC交抛物线的第三象限部分于点P，连接PA，PB，记△PAQ与△PBQ的面积分别
为S ，S ，设S＝S +S ，当 时，求点P的坐标．
1 2 1 2一十六．二次函数的应用（共1小题）
30．（2023春•高新区期末）一个球被竖直向上抛起，球升到最高点，垂直下落，直到地面．下列可以近
似刻画此运动过程中球的高度与时间的关系的图象是（ ）
A． B．
C． D．
一十七．二次函数综合题（共4小题）
31．（2023春•长沙期末）在平面直角坐标系中，我们把纵坐标是横坐标 3倍的点称为“开心点”，例如：
点（﹣1，﹣3），（2，6），（ ，3 ），…都是“开心点”．又如：抛物线y＝x2﹣4上存在两个
“开心点”（﹣1，﹣3），（4，12）．
（1）在下列函数中：①y＝3x﹣1，②y＝2x2，③y＝x2+4，存在“开心点”的函数有： ；（填
序号）
（2）若抛物线y＝x2﹣2mx+m2上存在唯一一个“开心点”点H，求点H的坐标；
（3）若抛物线y＝﹣x2+（2n+4）x﹣n2+6n+2上存在两个“开心点”A（x ，y ）和B（x ，y ）（其中x
1 1 2 2 1
＜x ），令t＝ + ，当t＝23时，求A，B两点的坐标．
232．（2023春•长沙期末）若函数G在m≤x≤n（m＜n）上的最大值记为y ，最小值记为y ，且满足
max min
y ﹣y ＝1，则称函数G是在m≤x≤n上的“美好函数”．
max min
（1）函数①y＝x+1；②y＝|2x|；③y＝x2，其中函数 是在1≤x≤2上的“美好函数”；（填
序号）
（2）已知函数G：y＝ax2﹣2ax﹣3a（a≠0）．
①函数G是在1≤x≤2上的“美好函数”，求a的值；
②当a＝1时，函数G是在t≤x≤t+1上的“美好函数”，请直接写出t的值；
（3）已知函数G：y＝ax2﹣2ax﹣3a（a＞0），若函数G是在m+2≤x≤2m+1（m为整数）上的“美好
函数”，且存在整数k，使得k＝ ，求a的值．33．（2023春•长沙期末）如图1，抛物线y＝ax2+bx+3交x轴于点A（3，0）和点B（﹣1，0），交y轴于
点C．
（1）求抛物线的表达式；
（2）若点D是直线AC上方抛物线上一动点，连接BC，AD和BD，BD交AC于点M，设△ADM的面
积为S ，△BCM的面积为S ，当S ﹣S ＝1时，求点D的坐标；
1 2 1 2
（3）如图2，若点P是抛物线上一动点，过点P作PQ⊥x轴交直线AC于Q点，请问在y轴上是否存在
点E，使以P，Q，E，C为顶点的四边形是菱形，若存在，请直接写出点E的坐标；若不存在，请说明
理由．
34．（2023春•渝中区校级期末）如图1，在平面直角坐标系中，抛物线 与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，其中 A（﹣3，0），∠ACB＝90°．
（1）求该抛物线的函数解析式；
（2）点P是直线AC上方抛物线上的一动点，过P作PM⊥AC 于M点，在射线MA上取一点N，使得
2MN＝AC，连接PN，求△PMN面积的最大值及此时点P的坐标；
（3）如图2，在（2）中△PMN面积取得最大值的条件下，将抛物线向左平移，当平移后的抛物线过点
P时停止平移，平移后点C的对应点为 C'，D为原抛物线上一点，E为直线AC上一点，若以O、
C′、D、E为顶点的四边形为平行四边形，求符合条件的D点横坐标．
一十八．点与圆的位置关系（共1小题）
35．（2023春•槐荫区期末）如图，菱形ABCD中对角线AC与BD相交于点F，且AC＝8， ，若
点P是对角线BD上一动点，连接AP，将AP绕点A逆时针旋转得到AE，使得∠PAE＝∠BAD，连接PE、EF，则在点P的运动过程中，线段EF的最小值为（ ）
A．4 B．6 C． D．12
一十九．旋转的性质（共2小题）
36．（2023春•武功县期末）如图，在△ABC中，AB＝2，将△ABC以点A为旋转中心按逆时针方向旋转
60°，得到△AB'C'，连接BB'，则BB'等于（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
37．（2023春•乐平市期末）如图，将△AOB绕点O逆时针方向旋转到△COD的位置，下列结论不正确的
是（ ）
A．∠AOC＝∠BOD B．∠AOB＝∠BOC C．∠B＝∠D D．∠A＝∠C
二十．中心对称图形（共2小题）
38．（2023春•通川区期末）在以下回收、绿色食品、节能、节水四个标志中，是中心对称图形的是（
）A． B． C． D．
39．（2023春•峄城区期末）手势密码是在手机触屏上设置的一笔连成的九宫格图案，登录软件时画一下
设定的图案即可．下列四种手势密码图案中，是中心对称图形但不是轴对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
二十一．比例的性质（共5小题）
40．（2023春•文登区期末）若x：y＝5：6，则下列运算不正确的是（ ）
A． B． C． D．
41．（2023春•泰山区期末）如果6m＝7n（n≠0），那么下列比例式成立的是（ ）
A． B． C． D．
42．（2023春•泉港区期末）对等式 进行变形，则下列等式成立的是（ ）
A．2x＝3y B．3x＝2y C． D．
43．（2023春•沙坪坝区校级期末）已知 ，且a+b＝10，则a＝ ．
44．（2023春•武昌区期末）已知 ，满足a﹣b+2c＝18，则a+b+c＝ ．
二十二．黄金分割（共3小题）
45．（2023春•长沙期末）黄金分割数 是一个很奇妙的数，大量应用于艺术、建筑和统计决策等方
面，请你估算 的值（ ）
A．在0和1之间 B．在1和2之间
C．在2和3之间 D．在3和4之间
46．（2023春•姑苏区校级期末）我们把顶角为36°的等腰三角形称为“黄金三角形”，它的底与腰的比值为 ．如图，在△ABC中，∠A＝36°，AB＝AC，BD平分∠ABC交AC于点D，若BC＝2，则CD
的长为（ ）
A． B． C． D．
47．（2023春•垦利区期末）某品牌20寸的行李箱拉杆拉开后放置如图所示，经测量该行李箱从轮子底部
到箱子上沿的高度AB与从轮子底部到拉杆顶部的高度CD之比是黄金比（约等于0.618）．已知CD＝
80cm，则AB约是 cm（结果保留整数）．
二十三．相似三角形的性质（共1小题）
48．（2023春•广饶县期末）△ABC中，AB＝9cm，AC＝6cm，D是AC上的一点，且AD＝2cm，过点D
作直线DE交AB于点E，使所得的三角形与原三角形相似，则AE＝ cm．
二十四．相似三角形的判定与性质（共1小题）
49．（2023春•丹东期末）如图，在直线l上摆放着三个正三角形：△ABC、△HFG、△DCE，已知BC＝
CE，F、G分别是BC、CE的中点，FM∥AC∥HG∥DE，GN∥DC∥HF∥AB．设图中三个四边形的
面积依次是S ，S ，S ，若S +S ＝20，则S ＝ ，S ＝ ．
1 2 3 1 3 1 2二十五．相似三角形的应用（共1小题）
50．（2023春•荣成市期末）四分仪是一种十分古老的测量仪器．其出现可追溯到数学家托勒密的《天文
学大成》．图1是古代测量员用四分仪测量一方井的深度，将四分仪置于方井上的边沿，通过窥衡杆测
望井底点F、窥衡杆与四分仪的一边 BC交于点H．图2中，四分仪为正方形 ABCD．方井为矩形
BEFG．若测量员从四分仪中读得AB为1，BH为0.5，实地测得BE为2.5．则井深BG为（ ）
A．4 B．5 C．6 D．7
二十六．位似变换（共1小题）
51．（2023春•海阳市期末）视力表用来测试一个人的视力，如图是视力表的一部分，图中的“E”均是相
似图形，其中不是位似图形的是（ ）
A．①和④ B．②和③ C．①和② D．②和④
二十七．特殊角的三角函数值（共1小题）
52．（2022秋•周村区校级期末）在Rt△ABC中，2sin（ +20°）＝ ，则锐角 的度数为 ．
α α
二十八．解直角三角形（共1小题）
53．（2022秋•扶沟县校级期末）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90，CD⊥AB，垂足为D，若AC＝ ，
BC＝2．则sin∠ACD的值为（ ）A． B． C． D．
二十九．解直角三角形的应用-仰角俯角问题（共1小题）
54．（2022秋•东明县校级期末）为了疫情防控工作的需要，某学校在学校门口的大门上方安装了一个人
体体外测温摄像头，学校大门高ME＝7.5米，学生身高BD＝1.5米，当学生准备进入识别区域时，在点
B时测得摄像头M的仰角为30°，当学生刚好离开识别区域时，在点A时测得摄像头M的仰角为60°，
求体温监测有效识别区域AB的长．
三十．简单组合体的三视图（共1小题）
55．（2023春•杜尔伯特县期末）如图是一把做工精湛的紫砂壶“景舟石瓢”，其俯视图是（ ）
A． B．C． D．
三十一．随机事件（共2小题）
56．（2023春•西安期末）彩民李大叔购买1张彩票中奖，这个事件是（ ）
A．随机事件 B．确定性事件
C．不可能事件 D．必然事件
57．（2023春•高新区校级期末）从数学的观点看，对以下成语或诗句中的事件判断正确的是（ ）
A．诗句“清明时节雨纷纷”是必然事件
B．诗句“离离原上草，一岁一枯荣”是不可能事件
C．成语“守株待兔”是随机事件
D．成语“水中捞月”是随机事件
三十二．概率的意义（共1小题）
58．（2023春•丹东期末）下列说法中正确的是（ ）
A．天宫六号货运飞船发射前各零件的检查是抽样调查
B．某小组有13名同学，至少有2名同学的生日在同一个月
C．可能性是1%的事件在一次试验中一定不会发生
D．为了解近十年宿迁初中生的视力变化趋势，采用扇形统计图最合适
三十三．概率公式（共1小题）
59．（2023春•开江县校级期末）用6个球设计一个摸球的游戏，小明想出了下面四个方案，你认为不能
成功的是（ ）
A．摸到黄球的概率是 ，摸到红球的概率是
B．摸到黄球的概率是 ，摸到红球、白球的概率是
C．摸到黄球、红球、白球的概率是
D．摸到黄球的概率是 ，摸到红球的概率是 ，摸到白球的概率是
三十四．列表法与树状图法（共1小题）
60．（2023春•宁德期末）掷一枚质地均匀的骰子．小明掷了 3次，其中2次点数为5，1次点数为2．若
他再掷1次，则点数为5的概率是（ ）A．0 B． C． D．
