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专题 04 几何图形易错考点强化练（十六大类）
学校：__________ 班级：__________姓名：__________学号：__________
考点目录
一、直线、射线、线段定义的理解与辨析。.................................................................1
二、直线交点个数问题：最少一个，最多公式。............................2
三、几何体的展开图：找准长宽高........................................3
四、从不同方向看几何体。..............................................5
五、两点确定一直线与两点之间线段最短的应用。..........................7
六、线段的和差关系—加减乘除都可以，看准线段两端点。..................9
七、重难题型：线段中点之双中模型。...................................11
八、重难题型：线段的n等分点。.......................................14
九、压轴必会：线段的动点精选。.......................................17
十、两点之间线段最短的理解与灵活运用。...............................19
十一、钟面角与方向角的计算。.........................................21
十二、超级易错：角度的四则混合运算。.................................22
十三、经典难点：角平分线的双中模型。.................................23
十四、经典难点：角的n等分与分类讨论思想。...........................27
十五、压轴必会：角的动边，仿照动点，转化为行程类问题。...............30
十六、余角和补角的理解与应用。.......................................38
一、直线、射线、线段定义的理解与辨析。
1．下列几何图形与相应语言描述不相符的有（ ）
A．如图1所示，直线a和直线b相交于点A
B．如图2所示，延长线段BA到点C
C．如图3所示，射线BC不经过点A
D．如图4所示，射线CD和线段AB会有交点
【答案】B
【详解】解：A、如图1所示，直线a和直线b相交于点A，几何图形与相应语言描述
相符，不符合题意，选项错误；
B、如图2所示，延长线段BA到点C，则点C左侧就应该没有线了，故几何图形与相
应语言描述不相符，符合题意，选项正确；
C、如图3所示，射线BC不经过点A，几何图形与相应语言描述相符，不符合题意，选项错误；
D、如图4所示，射线CD和线段AB会有交点，几何图形与相应语言描述相符，不符
合题意，选项错误；
故选：B
2．下列说法错误的是（ ）
A．线段AB的长度表示AB两点之间的距离
B．过一点能作无数条直线
C．射线AB和射线BA表示不同射线
D．平角是一条直线
【答案】D
【详解】解：A. 线段AB的长度表示AB两点之间的距离，说法正确，不符合题意；
B. 过一点能作无数条直线，说法正确，不符合题意；
C. 射线AB和射线BA表示不同射线，说法正确，不符合题意；
D. 平角是两条互为反向延长的射线组成的，说法错误，符合题意；
故选D．
3．下列说法中，正确的个数是（ ）
①线段AB和线段BA是同一条线段； ②射线AB与射线BA是同一条射线；
③直线AB与直线BA是同一条直线； ④射线AB的长是5cm．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】B
【详解】解：对于①，根据线段的定义可知，线段AB和线段BA是同一条线段，故①
正确；
对于②，射线AB的端点是A，射线BA的端点是B，所以射线AB和射线BA不是同一
条射线，故②错误；
对于③，根据直线的表示方法可知，直线AB和直线BA是同一条直线，故③正确；
对于④，由射线的定义可知，射线是不能度量的，故④错误，
综上可知，①③正确．
故选：B．
二、直线交点个数问题：最少一个，最多公式。
4．平面上10条直线两两相交，最多有m个交点，最少有n个交点，则m+n=
．
【答案】46
试卷第2页，共41页【详解】解：根据题意可得：10条直线相交于一点时交点最少，此时交点为1个，即
n=1；
任意两直线相交都产生一个交点时，交点最多，
∴此时交点为：10×(10−1)÷2=45，即m=45；
则m+n=45+1=46．
故答案为：46．
5．如图，两条直线相交只有1交点，三条直线相交最多有3个交点，四条直线相交最
多有6个交点，则
（1）五条直线相交最多有 个交点；
（2）n条直线相交最多有 个交点（n≥2，且n为正整数）.
n(n−1)
【答案】 10
2
【详解】解：三条直线交点最多为1+2=3个，
四条直线交点最多为3+3=6个，
五条直线交点最多为6+4=10个，
六条直线交点最多为10+5=15个；
……
n(n−1)
n条直线交点最多为1+2+3+…+(n−1)= ．
2
n(n−1)
故答案为：10； ．
2
6．观察下列图形，并阅读图形下面的相关文字：
①两直线相交，最多1个交点；②三条直线相交最多有3个交点；③四条直线相交最
多有6个交点；那么十条直线相交交点个数最多有（ ）
A．40个 B．45个 C．50个 D．55个
【答案】B
【详解】解：①两直线相交，最多1个交点；②三条直线相交最多有1+2个交点；
③四条直线相交最多有1+2+3个交点；
……
由此可得10条直线相交交点个数最多为1+2+3+4+5+6+7+8+9=45（个），
故选：B．
三、几何体的展开图：找准长宽高
7．如图是一个正方体的展开图，折叠后相对两个面上的数字之和相等，求x2−y的值．
【答案】0
【详解】解：根据题意可得−1+ y−3=3+2，3x−2−2=3+2，
解得y=9，x=3，
所以x2−y=32−9=0.
8．一个无盖的长方体盒子的展开图如图所示．
(1)该盒子的底面的周长为______；（用含a的代数式表示）
(2)若①，②，③，④四个面上分别标有整式2(x+1)，3x，−2，4，且该盒子的相对
两个面上的整式的和相等，求x的值．
【答案】(1)10a
(2)x=−4
【详解】（1）解：由题可知，无盖的长方体高为a，底面的宽为3a−a=2a，
∴底面的长为5a−2a=3a，
∴底面的周长为2(3a+2a)=10a，
故答案为：10a；
（2）解：∵①，②，③，④四个面上分别标有整式2(x+1)，3x，−2，4，且该盒子
试卷第4页，共41页的相对两个面上的整式的和相等，
∴2(x+1)+(−2)=3x+4，
解得：x=−4．
9．如图是一个长方体纸盒的平面展开图，纸盒中相对两个面上的数互为相反数．
(1)填空：a=______，b=______，c=______；
(2)在（1）的条件下，先化简，再求值：5a2b−3a2b−2(3abc2−a2b)+4abc2．
【答案】(1)1；−3；2
(2)12
【详解】（1）解：由题意a与−1是相对面上的数，3与b是相对面上的数，−2与c
是相对面上的数，
∴a=1,b=−3,c=2；
（2）原式=5a2b−3a2b−6abc2+2a2b+4abc2=4a2b−2abc2，
当a=1，b=−3，c=2时，
原式=4×1×(−3)−2×1×(−3)×4=12．
四、从不同方向看几何体。
10．如图，是由一些大小相同的小正方体组合成的简单几何体．
(1)图中有______块小正方体；
(2)该几何体的从正面看如图所示，请在下面网格中分别画出从左面看和从上面看的图
形．
【答案】(1)11；
(2)见解析．
【详解】（1）找到所有正方体的个数，让它们相加即可；图中有11个小正方体，
故答案为：11；
（2）如图所示：主视图有4列，每列小正方形数目分别为2，2，2，1；左视图有2列，每列小正方形数
目分别为2，2；俯视图有4列，每列小正方形数目分别为2，2，1，1．
11．如图所示的几何体是由若干个相同的小正方体组成的．
(1)填空：这个几何体由______个小正方体组成；
(2)画出从正面、左面、上面观察所看到的几何体的形状图；
(3)在不改变此几何体从正面、左面观察所看到的形状图的情况下，最多还可以添加
______个小正方体．
【答案】(1)6
(2)见解析
(3)4
【详解】（1）解：由图可得：这个几何体由6个小正方体组成，
故答案为：6；
（2）解：画出从正面、左面、上面观察所看到的几何体的形状图如图所示：
；
（3）解：根据题意得：
保持主视图和俯视图不变，在第一层第二列第一行和第三行各加一个，第一层第三列
第一行和第三行各加一个，
∵1+1+1+1=4（个），
∴最多还可以添加4个小正方体，
故答案为：4．
12．用相同的小立方体搭一个几何体，从正面、上面看到的形状图如图所示，从上面
看到的形状图中小正方形中的字母表示在该位置上小立方体的个数，请回答下列问题：
试卷第6页，共41页(1)填空：a=_________，b=_________；
(2)这个几何体最多由_________个小立方体搭成；
(3)当d=f =1，e=2时，画出这个几何体从左面看得到的形状图．
【答案】(1)3；1
(2)11
(3)见解析
【详解】（1）解：由该组合体的主视图、俯视图可知，
a=3，b=c=1，
故答案为：3；1；
（2）解：根据该组合体的从正面、上面看到的形状图相应位置所摆放的小立方体的个
数可知，
需要最多小立方体时，d=e=f =2，
此时需要的个数为：2+2+2+3+1+1=11（个），
答：这个几何体最多由11个小立方体搭成；
（3）解：当d=f =1，e=2时，这个几何体从左面看得到的形状图如下：
五、两点确定一直线与两点之间线段最短的应用。
13．下列现象：其中能用“两点确定一条直线”来解释的现象是（ ）
①用两个钉子就可以把木条固定在墙上；
②从A地到B地架设电线，总是尽可能沿着线段AB架设；
③植树时，只要确定两棵树的位置，就能确定同一行树所在的直线；
④把弯曲的公路改直，就能缩短路程．
A．①③ B．①② C．②④ D．③④
【答案】A【详解】解：①有两个钉子就可以把木条固定在墙上，是利用两点确定一条直线；
②A从地到B地架设电线，总是尽可能沿着线段AB架设，是利用两点之间，线段最短；
③植树时，只要定出两棵树的位置，就能确定同一行所在的直线，利用两点确定一条
直线；
④把弯曲的公路改直，就能缩短路程，利用两点之间，线段最短．
故选A．
14．如图，已知同一平面内的四个点A、B、C、D，根据下列语句画出图形：
(1)画直线AD；
(2)连接AB并反向延长AB；
(3)连接AC，在线段AC上找一点P，使他到点B、点D的距离的和PB+PD最小．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
(3)见解析
【详解】（1）解：如图，AD即为所求作的直线；
（2）解：如图，线段AB即为所求；
（3）解：如图，点P即为所求．
15．如图，平面上有A，B，C，D四个点，请根据下列语句画出图形：
试卷第8页，共41页(1)画直线BC；
(2)连接AB，并延长线段AB至点E，使点B为AE中点；
(3)在直线BC上找一点P，使点P到A，D两点的距离之和最小.
【答案】(1)见详解
(2)见详解
(3)见详解
【详解】（1）解：直线BC如图所示：
（2）解：如图所示：
（3）解：如图所示：
六、线段的和差关系—加减乘除都可以，看准线段两端点。1
16．线段MN=16cm，点A在线段MN上，且MA= NA，B为线段NA的中点，则线
3
段MB的长为（ ）
A．8cm B．10cm C．12cm D．14cm
【答案】B
1
【详解】解：∵线段MN=16cm，点A在线段MN上，且MA= NA，
3
1
∴MA+NA= NA+NA=16cm
3
∴NA=12cm，MA=4cm
∵B为线段NA的中点，
1
∴AB=NB= NA=6cm
2
∴MB=MA+AB=10cm
故选：B
17．如图，点M是线段AB的中点，点C在线段AM上，点N是线段AC的中点，若
AC=4，MN=3，求线段CM和AB的长．
【答案】CM=1,AB=10
【详解】解：∵AC=4,N是线段AC的中点，
1 1
∴NC= AC= ×4=2，
2 2
∵MN=3，
∴CM=MN−NC=3−2=1．
∴AM=AC+CM=4+1=5，
∵M是线段AB的中点，
∴AB=2AM=2×5=10．
18．如图，点C在线段AB上，点M是AC的中点，AB=15，BC=11．
(1)图中共有 条线段．
(2)求线段AM的长；
(3)在线段BC上取一点N，使得CN：NB=5：6，求线段MN的长．
【答案】(1)10
(2)2
试卷第10页，共41页(3)7
【详解】（1）解：图中线段为线段AM、AC
、AN、AB、MC、MN、MB、CN、CN、NB，共10条线段，
故答案为：10．
（2）解：∵点C在线段AB上， AB=15，BC=11
∴AC=AB−BC=15−11=4，
∵点M是AC的中点，
1 1
∴AM= AC= ×4=2
2 2
（3）解：∵点M是AC的中点，
1
∴MC= AC=2
2
∵点N在线段BC上，BC=11，
所以CN+NB=BC=11，
∵CN：NB=5：6，
5 5
所以CN= BC= ×11=5
5+6 11
所以MN=MC+CN=2+5=7．
七、重难题型：线段中点之双中模型。
19．如图，线段AD=16，长度为2的线段BC在线段AD上运动，分别取线段AC、
BD的中点M、N，则MN= ．
【答案】7
【详解】解：∵AD=16，BC=2，
∴AC+BD=AC+BC+CD=AD+BC=18，
∵线段AC、BD的中点为M、N，
1 1
∴AM= AC，DN= BD，
2 2
∴MN=AD−(AM+DN)
1
=AD− (AC+BD)
2
1
=16− ×18
2
=16−9=7．
故答案为：7．
3
20．如图，已知点C为线段AB上一点，AC=10cm，且CB= AC，D，E分别为线
5
段AC，AB的中点，求线段DE的长．
【答案】3cm
3
【详解】解：∵AC=10cm，CB= AC，
5
3
∴CB= ×10=6cm，AB=AC+CB=10+6=16cm，
5
∵D，E分别为线段AC，AB的中点，
1 1 1 1
∴DC= AC= ×10=5cm，BE= AB= ×16=8cm，
2 2 2 2
∴DE=DC+CB−BE=5+6−8=3cm
21．如图，点C在线段AB上，点M、N分别是AC、BC的中点．
(1)若AC=12cm，CB=8cm，求线段MN的长；
(2)若C为线段AB上任一点，满足AC+CB=m，其他条件不变，你能猜想MN的长度
吗？请直接写出你的答案．
(3)若C在线段AB的延长线上，且满足AC−BC=n，M 、N分别为AC、BC的中点，
你能猜想MN的长度吗？请在备用图中画出图形，写出你的结论，并说明理由．
【答案】(1)10cm
m
(2)
2
n
(3) ，图及理由见解析
2
【详解】（1）解：∵M、N分别是AC、BC的中点，
1 1
∴MC= AC,CN= BC，
2 2
1 1 1 1
∴MN=MC+CN= AC+ BC= (AC+BC)= (12+8)=10cm
2 2 2 2
∴线段MN的长为10cm．
（2）解∶ ∵M、N分别是AC,BC的中点，
试卷第12页，共41页1 1
∴MC= AC,CN= BC，
2 2
∵AC+CB=m，
1 1 1 1
∴MN=MC+CN= AC+ BC= (AC+BC)= m；
2 2 2 2
1
（3）解∶ MN= n，理由如下∶
2
如图:
∵M、N分别是AC,BC的中点，
1 1
∴MC= AC,CN= BC，
2 2
∵AC−BC=n，
1 1 1 1
∴MN=MC−CN= AC− BC= (AC−BC)= n．
2 2 2 2
22．（1）如图1，已知线段AB的长为6cm，点P是线段AB上的任一点，且C、D分
别是PA、PB的中点，求线段CD的长．
（2）若点P在线段AB或线段BA的延长线上，如图2、3所示，且C、D分别是PA、
PB的中点，则线段CD的长还与（1）中所求线段CD的长相等了吗？请分别就图2和
图3的情况进行说明．
【答案】（1）3cm；（2）相等，理由见解析
【详解】解：（1）∵C、D分别是PA、PB的中点，
1 1
∴PC= PA，PD= PB，
2 2
1 1 1 1
∴CD=PC+PD= PA+ PB= (PA+PB)= AB，
2 2 2 2
∵AB=6cm，
1
∴CD= ×6=3cm；
2（2）线段CD的长还与（1）中所求线段CD的长相等，理由：
①当点P在线段AB的延长线上时，
∵C、D分别是PA、PB的中点，
1 1
∴PC= PA，PD= PB，
2 2
1 1 1 1
∴CD=PC−PD= PA− PB= (PA−PB)= AB，
2 2 2 2
∵AB=6cm，
1
∴CD= ×6=3cm，
2
②当点P在线段BA的延长线上时，
∵C、D分别是PA、PB的中点，
1 1
∴PC= PA，PD= PB，
2 2
1 1 1 1
∴CD=PD−PC= PB− PA= (PB−PA)= AB，
2 2 2 2
∵AB=6cm，
1
∴CD= ×6=3cm，
2
综上，线段CD的长还与（1）中所求线段CD的长相等，均等于3cm．
23．如图，点M在线段AN的延长线上，且线段MN=10，第一次操作：分别取线段
AM和AN的中点M 、N ；第二次操作：分别取线段AM 和AN 的中点M ，N ；
1 1 1 1 2 2
第三次操作：分别取线段AM 和AN 的中点M ，N ；…连续这样操作2023次，则
2 2 3 3
每次的两个中点所形成的所有线段之和M N +M N +⋅⋅⋅+M N =（ ）
1 1 2 2 2023 2023
5 5 5 5
A．10+ B．10+ C．10− D．10−
22022 22023 22022 22023
【答案】C
【详解】解：∵MN=10，M 、N 分别为AM、AN的中点，
1 1
1 1 1 1 1
∴M N =AM −AN = AM− AN= (AM−AN)= MN= ×10=5，
1 1 1 1 2 2 2 2 2
∵M 、N 分别为AM 、AN 的中点，
2 2 1 1
试卷第14页，共41页1 1 1 1 1 5
∴M N =AM −AN = AM − AN = (AM −AN )= M N = ×5= ，
2 2 2 2 2 1 2 1 2 1 1 2 1 1 2 2
∵M 、N 分别为AM 、AN 的中点，
3 3 2 2
1 1 1 1 1 5 5
∴M N =AM −AN = AM − AN = (AM −AN )= M N = × = ，
3 3 3 3 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 22
……
5
由此可得：M N = ，
n n 2n−1
∴
5 5 5 (1 1 1 ) ( 1 ) 5
M N +M N +⋯+M N =5+ + +⋯+ =10× + +⋯+ =1，0× 1− =10−
1 1 2 2 2023 ❑ 2023 2 22 22022 2 22 22023 22023 22022
故选C．
八、重难题型：线段的n等分点。
24．数轴是初中数学的一个重要工具，利用数轴可以将数与形完美的结合．研究数轴
我们发现了许多重要的规律：数轴上A点，B点表示的数为a，b，则A，B两点之间的
距离AB=|a−b|，若a>b，则可化简为AB=a−b．
如图，数轴上有A，B两点，分别表示的数为−11，10．
(1)A，B两点的距离为____________．
(2)若P为线段AB的三等分点，求P点对应的数．
(3)点A以每秒1个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，点B以每秒2个单位长度的
速度向左匀速运动．设运动时间为t秒（t>0）．A，B两点经过多少秒相距5个单位长
度？
【答案】(1)21
(2)−4或3
16 26
(3)A，B两点经过 秒或 秒相距5个单位长度
3 3
【详解】（1）解：AB=|−11−10|=21．
故答案为：21；
（2）解：∵P为线段AB的三等分点，
1 2
∴PA= AB=7或PA= AB=14，
3 3∴P点对应的数为−11+7=−4或−11+14=3；
（3）分类讨论：①当点A，B相遇之前，
由题意有：t+5+2t=21，
16
解得：t= ；
3
②当点A，B相遇之后，
由题意有：t+2t−5=21，
26
解得：t= ．
3
16 26
综上可知A，B两点经过 秒或 秒相距5个单位长度．
3 3
25．小明在学习了比较线段的长短时对下面一道题产生了探究的兴趣：
如图1，点C在线段AB上，M，N分别是AC，BC的中点．若AB=6，AC=2，求
MN的长．
(1)根据题意，小明求得MN=______．
(2)小明在求解（1）的过程中，发现MN的长度具有一个特殊性质，于是他先将题中的
条件一般化，并开始深入探究．
设AB=a，C是线段AB上任意一点（不与点A，B重合），小明提出了如下三个问题，
请你帮助小明解答．
①如图1，M，N分别是AC，BC的中点，则MN=______．
1 1
②如图2，M，N分别是AC，BC的三等分点，即AM= AC，BN= BC，求MN
3 3
的长．
1 1
③若M，N分别是AC，BC的n(n≥2)等分点，即AM= AC，BN= BC，则
n n
MN=______．
【答案】(1)3
1 2 n−1
(2)① a；② a；③ a
2 3 n
【详解】（1）解：∵AB=6，AC=2，
∴BC=AB−AC=4，
∵M，N分别是AC，BC的中点，
试卷第16页，共41页1 1
∴CM= AC=1，CN= BC=2，
2 2
∴MN=CM+CN=3；
故答案为：3；
（2）解：①∵M，N分别是AC，BC的中点，
1 1
∴CM= AC，CN= BC，
2 2
1 1 1
∴MN= AC+ BC= AB，
2 2 2
∵AB=a，
1
∴MN= a；
2
1
故答案为： a；
2
1 1
②∵AM= AC，BN= BC，
3 3
2 2
∴CM= AC，CN= BC，
3 3
2 2 2
∴MN=CM+CN= AC+ BC= AB，
3 3 3
∵AB=a，
2
∴MN= a；
3
1 1
③∵AM= AC，BN= BC，
n n
n−1 n−1
∴CM= AC，CN= BC，
n n
n−1 n−1 n−1
∴MN=CM+CN= AC+ BC= AB，
n n n
∵AB=a，
n−1
∴MN= a，
n
n−1
故答案为： a．
n
九、压轴必会：线段的动点精选。
26．如图，P是线段AB上一点，AB=18cm，C，D两动点分别从点P，B同时出发沿
射线BA向左运动，到达点A处即停止运动．(1)若点C，D的速度分别是1cm/s，2cm/s．
①若2cm<AP<14cm，当动点C，D运动了2s时，求AC+PD的值；
②若点C到达AP中点时，点D也刚好到达BP的中点，求AP:PB；
(2)若动点C，D的速度分别是1cm/s，3cm/s，点C，D在运动时，总有PD=3AC，
求AP的长度．
【答案】(1)①12cm；②1:2
9
(2) cm
2
【详解】（1）解：①由题意得：BD=2×2=4(cm)，PC=1×2=2(cm)．
∴AC+PD=AB−PC−BD=18−2−4=12(cm)．
② 点C到达AP中点时，点D也刚好到达BP的中点，设运动时间为t，
则：AP=2PC=2t，BP=2BD=4t，
∴AP:PB=2t:4t=1:2．
（2）解：设运动时间为ts，则PC=tcm，BD=3tcm，
∴BD=3PC，
∵PD=3AC．
∴PB=PD+BD=3PC+3AC=3(PC+AC)=3AP
1 9
∴AP= AB= (cm)．
4 2
27．线段AB＝10，AB上有一动点C，以每秒2个单位的速度，按A一B一A的路径从
点A出发，到达点B后又返回到点A停止，设运动时间为t（0≤t≤10）秒．
(1)当t＝6时，AC＝ ．
(2)用含t的式子表示线段AC的长；
当0≤t≤5时，AC＝ ；
当5＜t≤10时，AC＝ ．
(3)M是AC的中点，N是BC的中点，在点C运动的过程中，MN的长度是否发生变化？
若不变化，求出MN的长，
【答案】(1)8
(2)2t，20−2t；
(3)MN的长度不变，长度为5
【详解】（1）当t=6时，动点C运动了2×6=12个单位，
∵AB=10，
试卷第18页，共41页∴BC=2．
∴AC=10−2=8．
故答案为：8；
（2）当0⩽t⩽5时，AC=2t；
当5<t⩽10时，BC=2t−10
∴AC=AB−BC=10−(2t−10)=20−2t．
故答案为：2t，20−2t；
（3）当0⩽t⩽5时，
1 1 1 1
MN=MC+NC= AC+ BC= ⋅2t+ (10−2t)=5；
2 2 2 2
当5<t⩽10时，
1 1 1 1
MN=MC+NC= AC+ BC= (20−2t)+ (2t−10)=5；
2 2 2 2
故MN的长度不变，长度为5．
28．如图，P是线段AB上一点，AB=12cm，C，D两点分别从P、B出发以
1cm/s、2cm/s的速度沿直线AB向左运动（C在线段AP上，D在线段BP上），运动
的时间为t．
(1)当t=1时，PD=2AC，请求出AP的长；
(2)当t=2时，PD=2AC，请求出AP的长；
(3)若C、D运动到任一时刻时，总有PD=2AC，请求出AP长；
【答案】(1)4cm
(2)4cm
(3)4cm
【详解】（1）解：依题意知，当t=1时，PC=1×1=1(cm),BD=2×1=2(cm)，
∴BD=2PC
∵PD=2AC，
∴BD+PD=2(PC+AC)
即PB=2AP，
∴AB=AP+PB=3AP
又AB=12cm，
1 1
∴AP= AB= ×12=4(cm)；
3 3
（2）解：当t=2时，PC=1×2=2(cm),BD=2×2=4(cm)，∴BD=2PC
又PD=2AC，
∴BD+PD=2(PC+AC)，
即PB=2AP，
∴AB=AP+PB=3AP
又AB=12cm，
1 1
∴AP= AB= ×12=4(cm)
3 3
（3）解：当运动时间为t时，PC=t(cm),BD=2t(cm)，
∴BD=2PC
又PD=2AC，
∴BD+PD=2(PC+AC)，
即PB=2AP
∴AB=AP+PB=3AP
又AB=12cm，
1 1
∴AP= AB= ×12=4(cm)
3 3
十、两点之间线段最短的理解与灵活运用。
29．如图，已知四点A、B、C、D，请按要求作图并解答．
(1)按要求作图：
①作射线AB；
②连接BD；
③在射线AB上截取AM，使AM=DB；
④在线段BD上取点P，使PA+PC的值最小；
(2)小明同学根据图形写出了四个结论：①图中有8条线段；②点B在线段DP的延长线
上；③射线AB和射线AM是两条射线；④点M在射线AB的延长线上；其中正确的结
论是_________．
试卷第20页，共41页【答案】(1)见解析
(2)②③
【详解】（1）解：①射线AB即为所求；
②线段BD即为所求；
③线段AM即为所求；
④点P即所求．
（2）解：①图中的线段有AB、AM、BM、AP、AC、PC、BD、PB、DP，
共9条，则①错误；
②由AC与BD的交点，则点P是点B在线段DP的延长线上，即②正确；
③图中射线AM、BM，共2条，则③正确；图中共有6条线段的说法是正确的；
④由射线AB本来就无限延伸，故不需要延长，则④错误．
故答案为②③．
十一、钟面角与方向角的计算。
30．钟面上，下列时刻分针与时针构成的角是直角的是（ ）
A．3点整 B．12点15分 C．6点45分 D．1点20分
【答案】A
【详解】解：A、30°×3=90°，故A符合题意；
( 15)
B、30°× 3− =82.5°，故B不符合题意；
60
( 45)
C、30°× 9−6− =67.5°，故C不符合题意；
60
( 20 )
D、30°× 4− −1 =80°，故D不符合题意；
60
31．如图，点B在点O的北偏东58°24'方向上，∠BOC=119°，则点C在点O的
（ ）A．西偏北60°36'方向上 B．北偏西60°36'方向上
C．西偏北29°54'方向上 D．北偏29°24'方向上
【答案】B
【详解】解： 119°−58°24'=60°36'，
则点C在点O的北偏西60°36'方向上，
故选：B．
32．钟表上2时25分时，时针与分针所成的角是 ．
【答案】77.5°/77.5度
【详解】解：如图，
我们把时针指向2，分针指向12作为起始位置，
当分针指向25时，转了25×6°=150°，
1
此时时针转动了150°× =12.5°，
12
则时针和3之间还有30°−12.5°=17.5°，
故时针和分针之间夹角为30°×2+17.5°=77.5°．
故答案为：77.5°．
33．如图，一渔船在海上点E开始绕点O航行，开始时点E在点O的北偏东43°40'，
然后绕点O航行到C，测得∠COE=2∠AOE，继续绕行，最后到达D点且
1
∠COD= ∠COB．
2
试卷第22页，共41页(1)求∠BOC的度数；
(2)说明该渔船最后到达的D点在点O的什么方向？
【答案】(1)∠BOC=49°
(2)点D在点O的北偏西73°30'
【详解】（1）∵开始时E点在O点的北偏东43°40'
∴∠EOA=90−43°40'=46°20'，∠BOE=43°40'
∴∠COE=2∠AOE=92°40',，
∴∠COB=∠COE−∠BOE=92°40'−43°40'=49°．
1 1
（2）解：∵∠COD= ∠COB= ×49°=24°30'，
2 2
∴∠BOD=∠COB+∠COD=49°+24°30'=73°30'，
∴D点在O点的北偏西73°30'的方向．
十二、超级易错：角度的四则混合运算。
34．计算：32°45'48″+21°25'14″= ；27°14'24″= °；
当时钟指向时间为15：30时，钟表上的时针与分针的夹角为 度．
【答案】 54°11'2″ 27.24° 75
【详解】解：①32°45'48″+21°25'14″=53°70'62″=54°11'2″，
故答案为：54°11'2″；
②27°14'24″=27°+14'+24″，
24× ( 1 ) ' =0.4' ，
60
( 1 )
14.4× °=0.24°，
60
∴27°14'24″=27.24°，
故答案为：27.24°；
③当时钟指向时间为15：30时，时针走过3.5小时，分钟走过30分钟，时针与0点的夹角为30°×3.5=105°，
分针与0点的夹角为6°×30=180°，
∴钟表上的时针与分针的夹角为180°−105°=75°，
故答案为：75．
35．计算：153°29'42″+26°40'32″．
【答案】180°10'14″
【详解】解：153°29'42″+26°40'32″
=179°69'74″
=180°10'14″．
36．计算：
(1)把15°48'36″用度表示；
(2)33°16'28″+24°46'37″．
【答案】(1)15.81°
(2)58°3'5″
【详解】（1）36″= ( 1 ) ' ×36=0.6'
60
48'+0.6'=48.6'，
48.6'= ( 1 ) °×48.6=0.81°
60
所以15°48'36″=15.81°．
（2）33°16'28″+24°46'37″=57°62'65″=58°3'5″；
十三、经典难点：角平分线的双中模型。
37．（1）如图1，已知点C、D为线段AB上两点，且AB=4AD=5BC，点M和点N
分别是线段AC和BD的中点．若线段AB=20cm，则线段AD=_______cm，BC=
_______cm，MN=_______cm．
（2）已知OC、OD为从∠AOB顶点出发的两条射线，∠AOB=5∠BOC且
∠AOB=120°，射线OM和射线ON分别平分∠AOC、∠BOD．
①如图2，若OC、OD均为∠AOB内的两条射线，且∠AOB=4∠AOD，求
∠MON的度数．
②如图3，若OC为∠AOB外的一条射线，且∠MON=20°，则∠AOD=_______°．
试卷第24页，共41页【答案】（1）5，4，4.5；（2）①27°；②64或16
【详解】（1）∵AB=20cm，AB=4AD=5BC，
∴AD=5cm，BC=4cm，BD=AB−AD=20−5=15cm，
AC=AB−BC=20−4=16cm，
∵点M和点N分别是线段AC和BD的中点．
1 15 1
∴BN= BD= cm，AM= AC=8cm，
2 2 2
15
∴MN=AB−BN−AM=20− −8=4.5cm．
2
（2）①∵∠AOB=5∠BOC=120°，
∴∠BOC=24°，∠AOC=120°−24°=96°，
∵射线OM平分∠AOC，
∴∠AOM=∠COM=48°，
∵∠AOB=4∠AOD=120°，
∴∠AOD=30°，
∴∠BOD=90°，∠DOM=18°，
∵射线ON平分∠BOD，
∴∠DON=∠BOD=45°，
∴∠MON=45°−18°=27°．
②当OD在∠AOB内部时，
∵∠AOC=120°+24°=144°，射线OM平分∠AOC，
∴∠AOM=∠COM=72°，
则∠BOM=72°−24°=48°，
∵∠MON=20°，
∴∠BON=28°，
∵射线ON平分∠BOD，∴∠DON=∠BON=28°，
∴∠DOM=8°，
∴∠AOD=72°−8°=64°，
当OD在∠AOB外部时，∠DON=∠BON=20°+48°=68°
∵∠AOM=∠COM=72°，
∴∠AON=72°−20°=52°，
∴∠AOD=68°−52°=16°．
38．如图1，线段AB=16cm，CD=1cm，E、F分别是AC、BD的中点．
【问题发现】（1）若AC=7cm，则EF=___________cm．
【拓展探究】（2）当线段CD在线段AB上运动时，试判断EF的长度是否发生变化？
如果不变，求出EF的长度；如果变化，请说明理由．
【问题解决】（3）我们发现角的很多规律和线段一样，如图2，OE、OF分别平分
∠AOC和∠BOD．若∠AOB=120°，∠COD=16°，求∠EOF的度数．
【答案】（1）8.5；（2）EF的长度不变，EF=8.5cm；（3）68°
【详解】解：（1）∵AB=16cm，CD=1cm，AC=7cm，
∴BD=AB−AC−CD=16−7−1=8cm
∵E、F分别是AC、BD的中点，
1 1
∴CE= AC=3.5cm，DF= BD=4cm，
2 2
∴EF=CE+CD+DF=3.5+1+4=8.5cm，
故答案为：8.5；
（2）EF的长度不变，理由如下：
∵AB=16cm，CD=1cm，
∴AC+BD=AB−CD=16−1=15cm，
∵E、F分别是AC、BD的中点，
1 1
∴CE= AC，DF= BD，
2 2
∵EF=CE+CD+DF，
1 1 1 1
∴EF= AC+1+ BD= (AC+BD)+1= ×15+1=8.5cm;
2 2 2 2
试卷第26页，共41页∴当线段CD在线段AB上运动时， EF的长度不变，EF=8.5cm；
（3）∵∠AOB=120°，∠COD=16°，
∴∠AOC+∠BOD=∠AOB−∠COD=120°−16°=104°，
∵OE、OF分别平分∠AOC和∠BOD，
1 1
∴∠COE= ∠AOC，∠DOF= ∠BOD，
2 2
∵∠EOF=∠COE+∠COD+∠DOF，
1 1 1 1
∴∠EOF= ∠AOC+∠COD+ ∠BOD= (∠AOC+∠BOD)+∠COD= ×10．4°+16°=68°
2 2 2 2
39．【问题回顾】我们曾解决过这样的问题：如图1，点O在直线AB上，OC，OD分
别平分∠AOE，∠BOE，可求得∠OOD=90°．（不用求解）
【问题改编】点O在直线AB上，∠COD=90°，OE平分∠BOC．
(1)如图2，若∠AOC=50°，求∠DOE的度数；
(2)将图2中的∠COD按图3所示的位置进行放置，写出∠AOC与∠DOE度数间的
等量关系，并写明理由．
【答案】(1)∠DOE=25°；
1
(2)∠DOE= ∠AOC．
2
【详解】（1）∵∠COD=90°，
∴∠AOC+∠BOD=90°．
∵∠AOC=50°，
∴∠BOD=40°．
∴∠COB=∠COD+∠BOD=90°+40°=130°．
∵OE平分∠BOC，
1 1
∴∠COE= ∠BOC= ×130°=65°．
2 2
∴∠DOE=∠COD−∠COE=90°−65°=25°．
（2）设∠AOC=α，则∠BOC=180°−α．
∵OE平分∠BOC，1 1 1
∴∠BOE= ∠BOC= ×(180°−α)=90°− α．
2 2 2
∵∠BOD=∠COD−∠BOC=90°−(180°−α)=α−90°，
1 1
∴∠DOE=∠DOB+∠BOE=α−90°+90°− α= α．
2 2
∴将图2中的∠COD按图3所示的位置放置时，∠AOC与∠DOE度数间的等量关系
1
为∠DOE= ∠AOC．
2
十四、经典难点：角的n等分与分类讨论思想。
40．定义：从∠AOB的顶点出发，在角的内部引一条射线OC，把∠AOB分成1:2的
两部分，射线OC叫做∠AOB的三等分线．若在∠MON中，射线OP是∠MON的三
等分线，射线OQ是∠MOP的三等分线，设∠MOQ=x，则∠MON用含x的代数式
表示为（ ）
9 9 9 9 9
A． x或3x或 x B． x或3x或9x C． x或 x或
4 2 4 4 2
9
9x D．3x或 x或9x
2
【答案】C
【详解】解：如图：射线OP是∠MON(∠MOP=2∠NOP)的三等分线，射线OQ是
∠MOP(∠QOP=2∠MOQ)的三等分线，
1 1 3
则∠QOP=2x，∠NOP= ∠MOP= ×(x+2x)= x，
2 2 2
3 9
∴∠MON=∠MOQ+∠QOP+∠NOP=x+2x+ x= x；
2 2
如图：射线OP是∠MON(∠MOP=2∠NOP)的三等分线，射线OQ是
∠MOP(∠MOQ=2∠QOP)的三等分线，
试卷第28页，共41页1 1 1 ( 1 ) 3
则∠QOP= x，∠NOP= ∠MOP= × x+ x = x，
2 2 2 2 4
1 3 9
∴∠MON=∠MOQ+∠QOP+∠NOP=x+ x+ x= x；
2 4 4
如图：射线OP是∠MON(∠NOP=2∠MOP)的三等分线，射线OQ是
∠MOP(∠MOQ=2∠QOP)的三等分线，
1 ( 1 )
则∠QOP= x，∠NOP=2∠MOP=2× x+ x =3x，
2 2
1 9
∴∠MON=∠MOQ+∠QOP+∠NOP=x+ x+3x= x；
2 2
如图：射线OP是∠MON(∠NOP=2∠MOP)的三等分线，射线OQ是
∠MOP(∠QOP=2∠MOQ)的三等分线，
则∠QOP=2x，∠NOP=2∠MOP=2×(x+2x)=6x，
∴∠MON=∠MOQ+∠QOP+∠NOP=x+2x+6x=9x；
9 9
综上，∠MON为 x或 x或9x，
4 2
故选：C．
41．如图，设锐角∠AOB的度数为α，若一条射线平分∠AOB，则图中所有锐角的
和为2α．若四条射线五等分∠AOB，则图中所有锐角的和为( )A．7α B．6α C．5α D．4a
【答案】A
【详解】∵四条射线五等分∠AOB，
1
∴每个小角的度数为 α．如图，
5
图中所有锐角的和为
(∠AOC+∠COD+∠DOE+∠EOF+∠BOF)+(∠AOD+∠COE+∠DOF+∠BOE)+
(∠AOE+∠COF+∠BOD)+(∠AOF+∠BOC)+∠AOB=
1 2 3 4
5× α+4× α+3× α+2× α+α
5 5 5 5
=7α，
故选：A．
42．定义：从一个角的顶点出发，把这个角分成1:2两个部分的射线，叫做这个角的
三分线，一个角的三分线有两条．如图1，∠AOB=2∠BOC，则OB是∠AOC的一
条三分线．
（1）如图1，若∠AOC=57°，则∠BOC= ；
（2）如图2，若∠AOB=120°，OC，OD是∠AOB的两条三分线，且
∠BOC<∠AOC．
①则∠COD= ；
②若以点O为中心，将∠COD顺时针旋转n°（0<n<90）得到∠C'OD'，当OA恰好
是∠C'OD'的三分线时，n的值为 ．
试卷第30页，共41页160 200
【答案】 19°/19度 40°/40度 或
3 3
【详解】（1）解：∵∠AOC=57°，则OB是∠AOC的一条三分线．
∵∠AOB=2∠BOC
1
∴∠BOC= ∠AOC=19°,
3
故答案为：19°
（2）①∵OC，OD是∠AOB的两条三分线，∠AOB=120°，
1
∴∠COD= = ∠AOB=40°，
3
故答案为：40°；
②∵∠AOB=120°，OC，OD是∠AOB的两条三分线，
∴∠BOC=∠COD=∠AOD=30°，
由旋转得：∠C'OD'= ∠COD=30°，
分两种情况：
当OA是∠C'OD'的三分线，且∠AOD'>∠AOC'时，可得
1 40°
∠AOC'= ∠C'OD'=
，
3 3
40° 80°
∴∠DOC'=40°− = ，
3 3
80° 200° 200°
∴∠COC'= +40°= ，即n= ；
3 3 3
当OA是∠C'OD'的三分线，且∠AOD'<∠AOC'时，可得
1 40°
∠AOD'= ∠C'OD'=
，
3 3
40° 160° 160
∴∠DOD'=40°+ = ，即n= ；
3 3 3
160 200
故答案为： 或 ．
3 3
十五、压轴必会：角的动边，仿照动点，转化为行程类问题。
43．已知，OC是过点O的一条射线，OD，OE分别平分∠AOC，∠BOC．(1)如图①，如果射线OC在∠AOB的内部，∠AOB=80°，则∠DOE=______°；
(2)如图②，如果射线OC在∠AOB的内部绕点O旋转，∠AOB=x°，则∠DOE=
______°；
(3)如果射线OC在∠AOB的外部绕点O旋转，∠AOB=x°，请借助图③探究∠DOE
的度数．
【答案】(1)40
(x)
(2)
2
(x) (360−x)
(3) °或 °
2 2
【详解】（1）解：（1）∵OD、OE分别平分∠AOC、∠BOC，
1 1
∴∠COD=∠AOD= ∠AOC，∠COE=∠BOE= ∠BOC，
2 2
1 1 1
∴∠DOE=∠COD+∠COE= ∠AOC+ ∠BOC= ∠AOB=40°．
2 2 2
故答案为：40；
（2）∵OD、OE分别平分∠AOC、∠BOC，
1 1
∴∠COD=∠AOD= ∠AOC，∠COE=∠BOE= ∠BOC，
2 2
1 1 1
∴∠DOE=∠COD+∠COE= ∠AOC+ ∠BOC= ∠AOB，
2 2 2
(x)
∴∠DOE= °；
2
(x)
故答案为： ；
2
（3）分两种情况：
①如图，当OC在OA右侧：
试卷第32页，共41页∵OD、OE分别平分∠AOC、∠BOC，
1 1
∴∠COD=∠AOD= ∠AOC，∠COE=∠BOE= ∠BOC，
2 2
1 1 1
∴∠DOE=∠COD−∠COE= ∠AOC− ∠BOC= ∠AOB，
2 2 2
(x)
∴∠DOE= °；
2
②如图，当OC在OA左侧：
∵OD、OE分别平分∠AOC、∠BOC，
1 1
∴∠COD=∠AOD= ∠AOC，∠COE=∠BOE= ∠BOC，
2 2
1 1 1
∴∠DOE=∠COD+∠COE= ∠AOC+ ∠BOC= (360°−∠AOB)，
2 2 2
1 (360−x)
∴∠DOE= ×(360°−x°)= °．
2 2
(x) (360−x)
综上所述，∠DOE的度数为 °或 °．
2 2
44．【综合探究】：如图1，一副三角板如图所示放置在直线MN上，∠ABO=90°，
∠AOB=60°，∠COD=90°，∠DCO=45°．三角板∠AOB的顶点与另一个三角
板∠COD的顶点重合在点O处，三角板的边OC，OB与直线MN重合，三角板其它
的边都在直线MN的上方．
【实践探究】：
（1）如图2，若三角板AOB不动，将三角板COD绕点O以每秒6°的速度按顺时针方向旋转一周，经过t秒时，三角板COD的边OC恰好分∠AOB．
①此时t=_____秒；
②此时∠AOD=_____°=______❑ '；
【解决问题】：
（2）如图2，在（1）的条件下，边OC恰好平分∠AOB时，同一时刻三角板AOB开
始也绕点O以每秒10°的速度按相同方向旋转，那么再经过多长时间边OA与边OD第
一次重合？（如图3）请说明理由；
【拓展研究】：
（3）如图3，在（2）的条件下，当边OA与边OD第一次重合时，两个三角板同时按
顺时针方向再次转动一周后停止，请问两个三角板再次转动后，经过多少秒，边OB恰
好平分∠COD？请说明理由．
15 115
【答案】（1）①5；②60°，360；（2）15秒，理由见解析；（3）经过 或 秒，
4 2
边OB恰好平分∠COD，理由见解析
【详解】（1）①解：∵边OC恰好分∠AOB，
1
∴∠BOC=∠AOC= ∠AOB=30°，
2
依题意得，6°⋅t=30°，
解得，t=5，
故答案为：5；
②解：由题意知，∠AOD=∠COD−∠AOC=60°=360'，
故答案为：60°，360；
试卷第34页，共41页（2）解：再经过15秒边OA与边OD第一次重合，理由如下：
设再经过x秒边OA与边OD第一次重合，则OA转过的角度为10°⋅x，OD转过的角度
为6°⋅x，∠AOD=0°，
依题意得，10°⋅x−60°=6°⋅x，
解得，x=15，
∴再经过15秒边OA与边OD第一次重合；
15 115
（3）解：经过 或 秒，边OB恰好平分∠COD，理由如下：
4 2
360° 360°
由题意知，△AOB旋转一周用时 =36秒，△COD旋转一周用时 =60秒，
10° 6°
∴36秒后△AOB停止旋转，△COD继续旋转，
由（2）可知，边OA与边OD第一次重合时，∠BOD=∠AOB=60°，
设经过y秒后，边OB恰好平分∠COD，
由题意知，分△AOB停止旋转前，△AOB停止旋转后两种情况下，边OB恰好平分
∠COD，
当△AOB停止旋转前，则OB转过的角度为10°⋅y，OD转过的角度为6°⋅y，OB恰
1
好平分∠COD时，∠BOD= ∠COD=45°，如图4，
2
依题意得，6°⋅y+60°−10°⋅y=45°，
15
解得 ，y= ；
4
当△AOB停止旋转，则OB转过的角度为360°，OD转过的角度为6°⋅y，
1
∠BOD= ∠COD=45°，∠AOD=∠AOB−∠BOD=15°，如图5，
2依题意得，360°−6°⋅y=15°，
115
解得，y= ；
2
15 115
综上所述，经过 或 秒，边OB恰好平分∠COD．
4 2
45．已知O是直线AB上一点，∠COD是直角，OE平分∠BOC．
(1)如图1，当∠AOC=40°，求∠DOE的度数；
(2)如图2，OF平分∠BOD，求∠EOF的度数；
(3)当∠AOC=36°时，∠COD绕点O以每秒6°沿逆时针方向旋转t秒(0≤t<36)，旋
转过程中OE始终平分∠BOC，请直接写出∠AOC和∠DOE之间的数量关系．
【答案】(1)∠DOE=20°
(2)∠EOF=45°
(3)∠AOC=2∠DOE(0≤t≤6)，∠AOC+2∠DOE=360°(6<t≤36)
【详解】（1）解：∵∠AOC=40°，
∴∠BOC=180°−∠AOC=180°−40°=140°，
∵OE平分∠BOC，
1 1
∴∠COE= ∠BOC= ×140°=70°，
2 2
∵∠COD=90°，
∴∠DOE=∠COD−∠COE=90°−70°=20°；
（2）解：∵OE平分∠BOC，OF平分∠BOD，
试卷第36页，共41页1 1
∴∠BOE= ∠BOC，∠BOF= ∠BOD，
2 2
1 1
∴∠EOF=∠BOE−∠BOF= (∠BOC−∠BOD)= ∠COD，
2 2
∵∠COD=90°，
∴∠EOF=45°；
（3）解：①0≤t≤6时，由题意得∠AOC=36°−6t°，
∴∠DOE=∠COD−∠COE
=90°−[180°−(36°−6°t)]
=18°−3t°，
∴∠AOC=2∠DOE；
②6<t≤36时，
由题意得∠AOC=6t°−36°，
∴∠DOE=∠COD+∠COE
=90°+[180°−(6t°−36°)]
=198°−3t°，
∴∠AOC+2∠DOE=360°；
综上所述，∠AOC=2∠DOE(0≤t≤6)，∠AOC+2∠DOE=360°(6<t≤36)．
46．将直角三角板OMN的直角顶点O放在直线AB上，射线OC平分∠AON．(1)如图，若∠BON=60°，求∠AOM的度数；
(2)若∠AOM=2∠COM，求∠AON的度数；
(3)将直角三角板OMN绕顶点O按逆时针方向旋转，在旋转过程中，当
∠BON=120°时，求∠COM的度数．
【答案】(1)30°
(2)135°
(3)60°或120°
【详解】（1）解：∵直角三角板OMN的直角顶点为点O，
∴∠MON=90°，
∵∠BON=60°，
∴∠AOM=180°−∠MON−∠BON=30°．
（2）解：设∠COM=x，则∠AOM=2x，
∴∠AOC=∠AOM+∠COM=3x，
∵射线OC平分∠AON，
∴∠AON=2∠AOC=6x，
又∵∠AON=∠AOM+∠MON，
∴6x=2x+90°，
解得x=22.5°，
∴∠AON=6x=135°．
（3）解：①如图，当ON在直线AB上方时，
∵∠BON=120°，
∴∠AON=60°，
∵射线OC平分∠AON，
1
∴∠CON= ∠AON=30°，
2
∵∠MON=90°，
∴∠COM=∠MON−∠CON=60°；
试卷第38页，共41页②如图，当ON在直线AB下方时，
∵∠BON=120°，
∴∠AON=60°，
∵射线OC平分∠AON，
1
∴∠CON= ∠AON=30°，
2
∵∠MON=90°，
∴∠COM=∠MON+∠CON=120°，
综上，∠COM的度数为60°或120°．
47．已知∠AOB=120°，∠COD=40°，OE平分∠AOC，OF平分∠BOD．
(1)如图1，当OB，OC重合时，求∠AOE−∠BOF的值；
(2)如图2，当∠COD从图1所示的位置开始绕点O以每秒2°的速度顺时针旋转
ts(0<t<10)．在旋转过程中，∠AOE− ∠BOF的值是否会因t的变化而变化？若
不变化，请求出该定值；若变化，请说明理由；
(3)在（2）的条件下，求当∠COD旋转多少秒时，∠COF=12°．
【答案】(1)40°
(2)不变，40°
(3)8s
【详解】（1）解：因为OE平分∠AOC，OF平分∠BOD，
1 1 1
所以∠AOE= ∠AOC=60°，∠BOF= ∠BOD= ×40°=20°．
2 2 2
所以∠AOE−∠BOF=60°−20°=40°；（2）解：∠AOE−∠BOF的值是定值．
根据题意，得：∠BOC=2t°，则∠AOC=∠AOB+2t°=120°+2t°，
∠BOD=∠COD+2t°=40°+2t°．
因为OE平分∠AOC，OF平分∠BOD，
1 1
所以∠AOE= ∠AOC=60°+t°，∠BOF= ∠BOD=20°+t°，
2 2
所以∠AOE−∠BOF=40°；
（3）解：根据题意，得∠BOF=(2t+12)°，
所以2t+12=20+t，
解得t=8，
所以当∠COD旋转8s时，∠COF=12°．
十六、余角和补角的理解与应用。
48．如图所示，直线AB、CD、EF交于点O，OG平分∠BOF，且CD⊥EF，
∠AOE=62°．
(1)写出一对互余的角．
(2)求∠DOG的度数．
【答案】(1)∠AOE与∠AOC互余
(2)∠DOG=59°
【详解】（1）∵CD⊥EF，
∴∠COE=90°，
∴∠AOE+∠AOC=90°，
∴∠AOE与∠AOC互余；
（2）∵CD⊥EF，
∴∠DOF=90°，
∵∠AOE=∠BOF，∠AOE=62°，
∴∠BOF=62°，
∵OG平分∠BOF，
试卷第40页，共41页1
∴∠FOG= ∠BOF，
2
1
∴∠FOG= ×62°=31°，
2
∵∠DOG=∠DOF−∠FOG，
∴∠DOG=90°−31°=59°．
49．点O为直线AB上一点，将一直角三角板OMN的直角顶点放在O处，射线OC平
分∠MOB．
(1)如图（1），若∠AOM=40°，则∠CON=______；
(2)将图（1）中的直角三角板OMN绕顶点O顺时针旋转至图（2）的位置，一边OM在
直线AB上方，另一边ON在直线AB下方．
①试探究∠AOM−∠BON的结果是否为定值？若为定值，求出这个值，若不是定值，
请说明理由；
②当∠AOC=3∠BON时，求∠BON的度数．
【答案】(1)20°
(2)①∠AOM−∠BON=90°②54°
【详解】（1）解： ∵ ∠AOM=40°，
∴∠BOM=180°−∠AOM
=180°−40°=140°，
∵射线OC平分∠MOB，
∴∠BOC=∠COM
1
= ∠BOM=70°，
2
∵∠MON=90°，
∴∠CON=∠MON−∠COM
=90°−70°
=20°，
故答案：20°；
（2）解：①是定值，∠AOM−∠BON=90°，
理由如下：∵∠MON=90°，
∴ ∠BOM=∠MON−∠BON
=90°−∠BON，
∴ ∠AOM=180°−∠BOM，
=180°−(90°−∠BON)
=90°+∠BON，
∴ ∠AOM−∠BON
=90°+∠BON−∠BON
=90°；
②设∠BOC=x，
∵射线OC平分∠MOB，
∴ ∠COM=x，
∴ ∠AOM=180°−2x，
∠BON=90°−2x，
∴∠AOC=∠AOM+∠COM
=(180°−2x)+x
=180°−x，
∵ ∠AOC=3∠BON，
∴ 180°−x=3(90°−2x)，
解得：x=18°，
∴ ∠BON=90°−2×18°
=54°．
50．如果∠α和∠β互补，且∠α>∠β，则下列表示∠β的余角的式子中：①
1 1
90°−∠β；②∠α−90°；③ (∠α+∠β)；④ (∠α−∠β)，正确的有
2 2
．(填所有正确式子的序号)
【答案】①②④
【详解】解：∵∠α和∠β互补，且∠α>∠β，
∴∠α+∠β=180°,∠β<90°，
∴∠β=180°−∠α，∠β的余角是90°−∠β，故①正确；
∠β的余角是90°−(180°−∠α)=∠α−90°，故②正确；
1
∵ (∠α+∠β)=90°，
2
1
∴ (∠α+∠β)不是∠β的余角，故③错误；
2
试卷第42页，共41页1 1
∵ (∠α−∠β)= (180°−∠β−∠β)=90°−∠β，
2 2
1
∴ (∠α−∠β)是∠β的余角，故④正确．
2
故答案为：①②④
