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期末真题必刷易错 60 题（34 个考点专练）
一．正数和负数（共2小题）
1．（2022秋•沈河区期末）如图，检测四个足球的质量，其中超过标准质量的克数记为正
数，不足标准质量的克数记为负数，从质量角度看，最接近标准的是（ ）
A． B． C． D．
【分析】求出每个数的绝对值，根据绝对值的大小找出绝对值最小的数即可．
【解答】解：∵|﹣0.7|＜|﹣0.85|＜|﹣1.2|＜|+1.3|，
∴﹣0.7最接近标准，
故选：C．
【点评】本题考查了绝对值以及正数和负数的应用，掌握正数和负数的概念和绝对值的
性质是解题的关键．
2．（2022秋•洛阳期末）2020年6月小黄到银行开户，存入了3000元钱，以后的每月都
根据家里的收支情况存入一笔钱，如表为小黄从7月到12月的存款情况：
月份 7 8 9 10 11 12
与上一月比 ﹣400 ﹣100 +500 +300 +100 ﹣500
较/元
（1）从7月到12月中，哪个月存入的钱最多？哪个月最少？
（2）截止到12月，存折上共有多少元存款？
【分析】（1）分别算出每个月存入的钱，进一步比较得出答案即可；
（2）利用（1）中的计算得出答案即可．
【解答】解：（1）7月：3000﹣400＝2600（元）；
8月：2600﹣100＝2500（元）；
9月：2500+500＝3000（元）；
10月：3000+300＝3300（元）；
11月：3300+100＝3400（元）；
12月：3400﹣500＝2900（元）；
所以存钱最多的是11月，存钱最少的是8月．
（2）截止到 12 月份存折上共有：3000+2600+2500+3000+3300+3400+2900＝20700（元）．
【点评】此题考查正数和负数，掌握正负数的意义，理解题意，正确计算即可．
二．数轴（共1小题）
3．（2022秋•易县期末）在数轴上，把原点记作点O，表示数1的点记作点A．对于数轴
上任意一点P（不与点O，点A重合），将线段PO与线段PA的长度之比定义为点P的
特征值，记作 ，即 ＝ ，例如：当点P是线段OA的中点时，因为PO＝PA，所以
＝1．
（1）如图，点P ，P ，P 为数轴上三个点，点P 表示的数是﹣ ，点P 与P 关于原
1 2 3 1 2 1
点对称．
① ＝ ；
②比较 ， ， 的大小 ＜ ＜ （用“＜”连接）；
（2）数轴上的点M满足OM＝ OA，求 ；
（3）数轴上的点P表示有理数p，已知 ＜100且 为整数，则所有满足条件的p的倒
数之和为 19 8 ．
【分析】（1）①根据定义求出线段P A与P O的值即可解答；
2 2
②根据定义分别求出 ， 的值即可比较；
（2）分两种情况，点M在原点的右侧，点M在原点的左侧；
（3）根据题意可知，分两种情况，点P在点A的右侧，点P在OA之间．
【解答】解：（1）①∵点P 表示的数是﹣ ，点P 与P 关于原点对称，
1 2 1
∴点P 表示的数是 ，
2
∵点A表示的数是1，∴P A＝1﹣ ＝ ，P O＝ ，
2 2
∴ ＝ ＝ ＝ ，
②∵点P 表示的数是﹣ ，
1
∴P A＝1﹣（﹣ ）＝ ，P O＝ ，
1 1
∴ ＝ ＝ ＝ ，
∵1＜P ＜2，
3
∴1＜P O＜2，0＜P A＜1，
3 3
∴ ＝ ＞1，
∴ ＜ ＜ ，
故答案为：① ，② ＜ ＜ ；
（2）分两种情况：
当点M在原点的右侧，
∵OM＝ OA，
∴OM＝ ，
∴点M表示的数为： ，
∴MO＝ ，MA＝1﹣ ＝ ，
∴ ＝ ＝ ＝ ，当点M在原点的左侧，
∵OM＝ OA，
∴OM＝ ，
∴点M表示的数为：﹣ ，
∴MO＝ ，MA＝1﹣（﹣ ）＝ ，
∴ ＝ ＝ ＝ ，
∴ 的值为： 或 ；
（3）∵ ＜100且 为整数，
∴ ＝ 为整数，
∴PO＞PA且PO为PA的倍数，
当 ＝ ＝1时，
∴PO＝PA，
即点P为OA的中点，
∴p＝ ，
∴当 ＝1时，p的值为 ，
当 ＝ ＝2时，
∴PO＝2PA，
当点P在OA之间，
∴p＝2（1﹣p），
∴p＝ ，
当点P在点A的右侧，∴p＝2（p﹣1），
∴p＝2，
∴当 ＝2时，p的值为：2或 ，
当 ＝ ＝3时，
∴PO＝3PA，
当点P在OA之间，
∴p＝3（1﹣p），
∴p＝ ，
当点P在点A的右侧，
∴p＝3（p﹣1），
∴p＝ ，
∴当 ＝3时，p的值为： 或 ，
当 ＝ ＝4时，
∴PO＝4PA，
当点P在OA之间，
∴p＝4（1﹣p），
∴p＝ ，
当点P在点A的右侧，
∴p＝4（p﹣1），
∴p＝ ，
∴当 ＝4时，p的值为： 或 ，
…
当 ＝ ＝99时，
∴PO＝99PA，当点P在OA之间，
∴p＝99（1﹣p），
∴p＝ ，
当点P在点A的右侧，
∴p＝99（p﹣1），
∴p＝ ，
∴当 ＝99时，p的值为： 或 ，
∴所有满足条件的p的倒数之和为：
2+ + + + + + +...+ +
＝2+（ + ）+（ + ）+（ + ）+...+（ + ）
＝2+2+2+2+...+2
＝2×99
＝198，
故答案为：198．
【点评】本题考查了数轴，有理数的混合运算，理解题目中的定义，线段PO与线段PA
的长度之比定义为点P的特征值，记作 ，是解题的关键，同时渗透了分类讨论的数学
思想．
三．绝对值（共1小题）
4．（2022秋•海珠区校级期末）若a+b+c＜0，abc＞0，则 的值为
4 或 0 或 2 ．
【分析】根据a+b+c＜0，abc＞0，推导出a、b、c三个数中必定是一正两负，进而分类
讨论即可．
【解答】解：∵a+b+c＜0，abc＞0，
∴a、b、c三个数中必定是一正两负，
∴当a＜0，b＜0，c＞0时，ab＞0，此时＝﹣1+2+3＝4；
当a＜0，b＞0，c＜0时，ab＜0，此时
＝﹣1﹣2+3＝0
当a＞0，b＜0，c＜0时，ab＜0，此时
＝1﹣2+3＝2
故答案为：4或0或2．
【点评】本题考查了与绝对值有关的代数式化简问题，熟练运用分类讨论思想是解题的
关键．
四．倒数（共1小题）
5．（2022秋•馆陶县期末）若|m﹣1|+|n+3|＝0，则m的相反数是 ﹣ 1 ，n的倒数是
﹣ ．
【分析】先根据非负数的性质列出方程求出m、n的值，再根据相反数、倒数的定义解
答即可．
【解答】解：由题意得，m﹣1＝0，n+3＝0，
解得，m＝1，n＝﹣3，
则m的相反数是﹣1，n的倒数是﹣ ．
故答案为：﹣1，﹣ ．
【点评】本题考查了非负数的性质．解题的关键是掌握非负数的性质：几个非负数的和
为0时，这几个非负数都为0．
五．有理数大小比较（共1小题）
6．（2022秋•滨海新区校级期末）比较大小： ＞ （填“＞”“＝”或
“＜”）．
【分析】根据两个负数比较大小，绝对值大的反而小，即可得出答案．【解答】解： ＝ ，
∵| |＝ ，|﹣ |＝ ，而 ，
∴ ＞ ，
故答案为：＞．
【点评】本题主要考查有理数的大小比较，关键是要牢记有理数的大小规定．
六．有理数的减法（共1小题）
7．（2021秋•湖州期末）如图是湖州市某日的天气预报，该天最高气温比最低气温高（
）
A．7℃ B．﹣70℃ C．3℃ D．﹣3℃
【分析】根据温差＝最高气温﹣最低气温，列式计算．
【解答】解：根据题意得：5﹣（﹣2）
＝5+2
＝7（℃）．
故选：A．
【点评】本题主要考查了有理数减法，熟练掌握有理数减法法则，根据题意列出式子是
解题关键．
七．有理数的加减混合运算（共1小题）
8．（2022秋•昌图县期末）把﹣（﹣3）﹣4+（﹣5）写成省略括号的代数和的形式，正确
的是（ ）
A．3﹣4﹣5 B．﹣3﹣4﹣5 C．3﹣4+5 D．﹣3﹣4+5
【分析】括号前面是加号时，去掉括号，括号内的算式不变．括号前面是减号时，去掉
括号，括号内加号变减号，减号变加号．
【解答】解：根据去括号的原则可知：﹣（﹣3）﹣4+（﹣5）＝3﹣4﹣5．
故答案为：A．
【点评】本题考查有理数的加减混合运算，主要考查去括号运算，掌握去括号的方法便可解决问题．
八．有理数的乘方（共1小题）
9．（2022秋•九龙坡区校级期末）下列各组数中，相等的一组是（ ）
A．﹣（﹣1）与﹣|﹣1| B．﹣32与（﹣3）2
C．（﹣4）3与﹣43 D． 与（ ）2
【分析】根据有理数的乘方的定义，绝对值的性质对各选项分别计算，然后利用排除法
求解．
【解答】解：A、﹣|﹣1|＝﹣1，﹣（﹣1）＝1，﹣（﹣1）≠﹣|﹣1|，故本选项错误；
B、（﹣3）2＝9，﹣32＝﹣9，9≠﹣9，故本选项错误；
C、（﹣4）3＝﹣64，﹣43＝﹣64，（﹣4）3＝﹣43，故本选项正确；
D、 ＝ ， ＝ ， ≠ ，故本选项错误．
故选：C．
【点评】本题考查了绝对值、有理数的乘方．解题的关键是掌握有理数的乘方运算法则，
要注意﹣43与（﹣4）3的区别．
九．有理数的混合运算（共5小题）
10．（2022秋•岳麓区校级期末）小梅同学在学习完第二章《有理数》后，对运算产生了
浓厚的兴趣，她借助有理数的运算，定义了一种新运算“※”，规则如下：对于任意有
理数a、b，都有a※b＝a2﹣3b，如：1※3＝12﹣3×3＝﹣8．则﹣5※（﹣2※3）的值为
40 ．
【分析】按照定义的新运算，进行计算即可解答．
【解答】解：由题意得：
﹣5※（﹣2※3）
＝﹣5※[（﹣2）2﹣3×3]
＝﹣5※（4﹣9）
＝﹣5※（﹣5）
＝（﹣5）2﹣3×（﹣5）
＝25+15
＝40，故答案为：40．
【点评】本题考查了有理数的混合运算，理解定义的新运算是解题的关键．
11．（2022秋•沁县期末）现规定一种运算a*b＝ab﹣a2﹣|﹣b|+1，那么（﹣3）*4＝ ﹣
24 ．
【分析】根据定义的新运算，进行计算即可解答．
【解答】解：由题意得：
（﹣3）*4
＝（﹣3）×4﹣（﹣3）2﹣|﹣4|+1
＝﹣12﹣9﹣4+1
＝﹣24，
故答案为：﹣24．
【点评】本题考查了有理数的混合运算，理解定义的新运算是解题的关键．
12．（2022秋•微山县期末）计算：
（1）﹣32×2﹣4×（﹣3）+15；
（2） ．
【分析】（1）先算乘方，再算乘法，后算加减，即可解答；
（2）先把有理数的除法转化为乘法，然后再利用乘法分配律，进行计算即可解答．
【解答】解：（1）﹣32×2﹣4×（﹣3）+15
＝﹣9×2+12+15
＝﹣18+12+15
＝﹣6+15
＝9；
（2）
＝（ ﹣ + ）×36
＝ ×36﹣ ×36+ ×36
＝3﹣27+20
＝﹣24+20
＝﹣4．
【点评】本题考查了有理数的混合运算，准确熟练地进行计算是解题的关键．13．（2022秋•渠县校级期末）计算：
（1） ；
（2） ．
【分析】（1）先乘除，后算加减，即可解答；
（2）先算乘方，再算乘法，后算加减，有括号先算括号里，即可解答．
【解答】解：（1）
＝﹣8﹣（﹣ ）×（﹣4）
＝﹣8﹣5
＝﹣13；
（2）
＝﹣1+[16﹣（﹣2）2×（﹣ ）]
＝﹣1+[16﹣4×（﹣ ）]
＝﹣1+（16+ ）
＝﹣1+16
＝15 ．
【点评】本题考查了有理数的混合运算，准确熟练地进行计算是解题的关键．
14．（2022秋•溧水区期末）计算．
（1） ；
（2） ．
【分析】（1）先算乘除，后算加减，即可解答；
（2）先算乘方，再算乘法，后算加减，有括号先算括号里，即可解答．【解答】解：（1）
＝﹣1+2×（﹣ ）
＝﹣1+（﹣3）
＝﹣4；
（2）
＝8﹣12×（﹣ ）
＝8+1
＝9．
【点评】本题考查了有理数的混合运算，准确熟练地进行计算是解题的关键．
一十．科学记数法—表示较大的数（共3小题）
15．（2022秋•安岳县期末）黄河是中华民族的母亲河，发源于巴颜喀拉山脉北麓，注入
渤海，流域面积为750000km2，将数750000用科学记数法表示为（ ）
A．7.5×104 B．75×104 C．75×105 D．7.5×105
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的
值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相
同．当原数绝对值≥10时，n是正整数；当原数的绝对值＜1时，n是负整数．
【解答】解：750000＝7.5×105．
故选：D．
【点评】本题考查了科学记数法表示绝对值较大的数的方法，掌握科学记数法的表示形
式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数是关键．
16．（2022秋•江北区期末）刘慈欣科幻巨作《三体》中所描述的三体文明距地球大约
42000000光年，它们之间被大量氢气和暗物质纽带连接，看起来似乎是连在一起的“三
体星系”．其中数字42000000用科学记数法表示为（ ）
A．4.2×107 B．4.2×106 C．0.42×108 D．4200×104
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的
值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相
同．当原数绝对值＞10时，n是正整数；当原数的绝对值＜1时，n是负整数．
【解答】解：42000000＝4.2×107．故选：A．
【点评】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其
中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
17．（2022秋•南京期末）中国空间站“天宫”的建设引起了全世界的瞩目，其重量为
180000千克，把180000用科学记数法表示为 1.8×1 0 5 ．
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的
值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相
同．当原数绝对值≥10时，n是正整数；当原数的绝对值＜1时，n是负整数．
【解答】解：180000＝1.8×105．
故答案为：1.8×105．
【点评】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其
中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要确定a的值以及n的值．
一十一．代数式（共1小题）
18．（2022秋•榆树市校级期末）下列代数式符合书写要求的是（ ）
A．ab3 B．1 a C．a+4 D．a÷b
【分析】对各选项进行分析，看是否符合代数式正确的书写要求，即可求出答案．
【解答】解：A、正确的书写为3ab，原书写错误，故此选项不符合题意；
B、正确的书写为 a，原书写错误，故此选项不符合题意；
C、原书写正确，故此选项符合题意；
D、正确的书写为 ，原书写错误，故此选项不符合题意．
故选：C．
【点评】本题主要考查了代数式的书写要求．解题的关键是掌握代数式的书写要求：
（1）在代数式中出现的乘号，通常简写成“•”或者省略不写；（2）数字与字母相乘
时，数字要写在字母的前面；（3）在代数式中出现的除法运算，一般按照分数的写法
来写．带分数要写成假分数的形式．
一十二．代数式求值（共1小题）
19．（2022秋•枣阳市期末）按如图所示的程序进行计算，如果输入x的值是正整数，输出
结果是150，则开始输入x的值可能是 3 或 1 0 或 3 8 ．【分析】当输入数字为x，输出数字为150时，4x﹣2＝150，解得x＝38；当输入数字为
x，输出数字为38时，得到4x﹣2＝38，解得x＝10，当输入数字为x，输出数字为10时，
4x﹣2＝10，解得x＝3，当输入数字为x，输出数字为3时，4x﹣2＝3，解得x＝ 不合
题意．
【解答】解：当4x﹣2＝150时，解得；x＝38；
当4x﹣2＝38时，解得；x＝10；
当4x﹣2＝10时，解得；x＝3；
当4x﹣2＝3时，解得；x＝ 不合题意．
所以开始输入x的值可能是3或10或38．
故答案为：3或10或38．
【点评】本题主要考查的是代数式求值，能够根据题意列出关于x的方程是解题的关键．
一十三．同类项（共5小题）
20．（2022秋•东西湖区期末）下列各式与ab2是同类项的是（ ）
A．﹣5ab2 B．2ab2c C．4a2b D．﹣3ab
【分析】所含字母相同，并且相同字母的指数也相同，这样的项叫做同类项，由此结合
各选项进行判断即可．
【解答】解：A、﹣5ab2与ab2是同类项，故本选项符合题意；
B、2ab2c与ab2，所含字母不尽相同，不是同类项，故本选项不符合题意；
C、4a2b与ab2，相同字母的指数不相同，不是同类项，故本选项不符合题意；
D、﹣3ab与ab2，字母b的指数不相同，不是同类项，故本选项不符合题意；
故选：A．
【点评】本题考查了同类项的知识，属于基础题，掌握同类项的定义是关键．
21．（2022秋•澄迈县期末）若2x4yn与﹣5xmy是同类项，则nm＝ 1 ．
【分析】所含字母相同，并且相同字母的指数也相同，这样的项叫做同类项．据此可得
m、n的值，再代入所求式子计算即可．
【解答】解：∵2x4yn与﹣5xmy是同类项，
∴m＝4，n＝1，∴nm＝1．
故答案为：1．
【点评】本题主要考查的是同类项的定义，熟练掌握同类项的概念是解题的关键．
22．（2022秋•君山区期末）若 与2x2yn是同类项，则n﹣m＝ 4 ．
【分析】根据同类项的定义求出m、n，代入计算即可．
【解答】解：∵﹣ xm+ny3与2x2yn是同类项，
∴m+n＝2，n＝3，
解得：m＝﹣1．
∴n﹣m＝3﹣（﹣1）＝3+1＝4．
故答案为：4．
【点评】本题考查了同类项的知识，解答本题的关键是掌握同类项定义中的两个“相
同”：相同字母的指数相同，是易混点．
23．（2022秋•新兴县期末）若单项式3x2y3与单项式﹣2x2yn﹣1是同类项，则n的值是 4
．
【分析】所含字母相同，并且相同字母的指数也相同，这样的项叫做同类项．
【解答】解：∵单项式3x2y3与单项式﹣2x2yn﹣1是同类项，
∴n﹣1＝3，
解得n＝4．
故答案为：4
【点评】本题主要考查的是同类项的定义，熟练掌握同类项的概念是解题的关键．
24．（2022秋•新丰县期末）若4a2bn﹣1与a2mb3是同类项，则m+n＝ 5 ．
【分析】根据同类项的定义可得m、n的值，再代入所求式子计算即可．
【解答】解：∵4a2bn﹣1与a2mb3是同类项，
∴2m＝2，n﹣1＝3，
解得：m＝1，n＝4，
∴m+n＝1+4＝5．
故答案为：5．
【点评】本题考查了同类项，掌握同类项的定义是解答本题的关键．所含字母相同，并
且相同字母的指数也相同，这样的项叫做同类项．
一十四．合并同类项（共2小题）25．（2022秋•梁子湖区期末）下列计算正确的是（ ）
A．3a+2b＝5ab B．5y﹣3y＝2x
C．7a+a＝8 D．3x2y﹣2yx2＝x2y
【分析】合并同类项的法则：把同类项的系数相加，所得结果作为系数，字母和字母的
指数不变．
【解答】解：A.3a与2b不是同类项，所以不能合并，故本选项不合题意；
B.5y﹣3y＝2y，故本选项不合题意；
C.7a+a＝8a，故本选项不合题意；
D.3x2y﹣2yx2＝x2y，故本选项符合题意；
故选：D．
【点评】本题考查了合并同类项，掌握合并同类项法则是解答本题的关键．
26．（2023春•青冈县期末）下列各式中正确的是（ ）
A．3m﹣m＝2 B．a2b﹣ab2＝0
C．3x+3y＝6xy D．3xy﹣5xy＝﹣2xy
【分析】合并同类项的法则：把同类项的系数相加，所得结果作为系数，字母和字母的
指数不变．
【解答】解：A．3m﹣m＝2m，故本选项不合题意；
B．a2b与﹣ab2不是同类项，所以不能合并，故本选项不合题意；
C．3x与3y不是同类项，所以不能合并，故本选项不合题意；
D．3xy﹣5xy＝﹣2xy，故本选项符合题意；
故选：D．
【点评】本题考查了合并同类项，掌握合并同类项法则是解答本题的关键．
一十五．去括号与添括号（共2小题）
27．（2022秋•丰泽区期末）下列各题中去括号正确的是（ ）
A．1+2（x﹣1）＝1+2x﹣1 B．1﹣2（x﹣1）＝1﹣2x﹣2
C．1﹣2（x﹣1）＝1﹣2x+2 D．1﹣2（x﹣1）＝1+2x+2
【分析】根据去括号法则和乘法分配律计算即可．
【解答】解：A选项，原式＝1+2x﹣2，故该选项不符合题意；
B选项，原式＝1﹣2x+2，故该选项不符合题意；
C选项，原式＝1﹣2x+2，故该选项符合题意；
D选项，原式＝1﹣2x+2，故该选项不符合题意；故选：C．
【点评】本题考查了去括号法则，解题的关键是：如果括号外的因数是正数，去括号后
原括号内各项的符号与原来的符号相同；如果括号外的因数是负数，去括号后原括号内
各项的符号与原来的符号相反．
28．（2022秋•佛山期末）下列去括号正确的是（ ）
A．﹣（a+b）＝﹣a+b B．﹣3（a﹣b）＝﹣3a+3b
C．a﹣（b+c）＝a+b﹣c D．a﹣3（b﹣c）＝a﹣3b+c
【分析】去括号法则：如果括号外的因数是正数，去括号后原括号内各项的符号与原来
的符号相同；如果括号外的因数是负数，去括号后原括号内各项的符号与原来的符号相
反，由此即可判断．
【解答】解：A．﹣（a+b）＝﹣a﹣b，故本选项不符合题意；
B．﹣3（a﹣b）＝﹣3a+3b，故本选项符合题意；
C．a﹣（b+c）＝a﹣b﹣c，故本选项不符合题意；
D．a﹣3（b﹣c）＝a﹣3b+3c，故本选项不符合题意；
故选：B．
【点评】本题考查去括号，关键是掌握去括号法则．
一十六．单项式（共1小题）
29．（2022秋•马尾区期末）下列关于单项式﹣4x5y6的说法中，正确的是（ ）
A．它的系数是4 B．它的次数是5
C．它的次数是11 D．它的次数是15
【分析】根据单项式的概念及单项式的次数、系数的定义解答即可．
【解答】解：单项式﹣4x5y6的系数是﹣4，次数是11．
故选：C．
【点评】本题考查了单项式的次数和系数，确定单项式的系数和次数时，把一个单项式
分解成数字因数和字母因式的积，是找准单项式的系数和次数的关键．
一十七．整式的加减（共1小题）
30．（2022秋•越秀区期末）一个两位数m的十位上的数字是a，个位上的数字是b，我们
把十位上的数字a与个位上的数字b的和叫做这个两位数m的“衍生数”，记作 f
（m），即f（m）＝a+b．如f（52）＝5+2＝7．现有2个两位数x和y，且满足x+y＝
100，则f（x）+f（y）＝ 1 9 或 1 0 ．
【分析】依据2个两位数x和y，且满足x+y＝100，分两种情况进行讨论，依据f（m）＝a+b进行计算即可得到f（x）+f（y）的值．
【解答】解：①当2个两位数x和y的个位数字为0，且满足x+y＝100时，x和y的十
位数字的和为10，个位数字的和为0，
故f（x）+f（y）＝10；
②当2个两位数x和y的个位数字均不为0，且满足x+y＝100时，x和y的十位数字的
和为9，个位数字的和为10，
故f（x）+f（y）＝19；
综上所述，f（x）+f（y）的值为10或19．
故答案为：19或10．
【点评】本题主要考查了整式的加减和列代数式，关键是正确理解和运用两位数 m的
“衍生数”，即f（m）＝a+b．
一十八．整式的加减—化简求值（共3小题）
31．（2022秋•黄石期末）已知M＝2x2﹣xy+y2，N＝x2﹣2xy+y2．
（1）化简：2M﹣N；
（2）当x为最大的负整数，y取m2﹣3的最小值时，求2M﹣N的值．
【分析】（1）把M，N的值代入式子中，进行化简计算，即可解答；
（2）根据题意可得x＝﹣1，y＝﹣3，然后把x，y的值代入（1）中化简后的式子，进
行计算即可解答．
【解答】解：（1）∵M＝2x2﹣xy+y2，N＝x2﹣2xy+y2，
∴2M﹣N＝2（2x2﹣xy+y2）﹣（x2﹣2xy+y2）
＝4x2﹣2xy+2y2﹣x2+2xy﹣y2
＝3x2+y2；
（2）∵x为最大的负整数，y取m2﹣3的最小值，
∴x＝﹣1，y＝﹣3，
∴当x＝﹣1，y＝﹣3时，原式＝3×12+（﹣3）2
＝3×1+9
＝3+9
＝12．
【点评】本题考查了整式的加减﹣化简求值，偶次方的非负性，准确熟练地进行计算是
解题的关键．
32．（2022秋•榆阳区校级期末）已知A＝2a2b﹣ab﹣2a，B＝a2b﹣a+3ab．（1）化简：A﹣2（A﹣B）；（结果用含a、b的代数式表示）
（2）当a＝﹣ ，b＝3时，求A﹣2（A﹣B）的值．
【分析】（1）先去括号，合并同类项，然后把A，B的值代入化简后的式子，进行计算
即可解答；
（2）把a，b的值代入（1）中的结论，进行计算即可解答．
【解答】解：（1）∵A＝2a2b﹣ab﹣2a，B＝a2b﹣a+3ab，
∴A﹣2（A﹣B）＝A﹣2A+2B
＝﹣A+2B
＝﹣（2a2b﹣ab﹣2a）+2（a2b﹣a+3ab）
＝﹣2a2b+ab+2a+2a2b﹣2a+6ab
＝7ab；
（2）当a＝﹣ ，b＝3时，A﹣2（A﹣B）＝7×（﹣ ）×3
＝﹣6．
【点评】本题考查了整式的加减﹣化简求值，准确熟练地进行计算是解题的关键．
33．（2022秋•郸城县期末）先化简，再求值：7a2b+3（2a2b﹣ab2）﹣2（4a2b﹣3ab2），
其中|a﹣2|与（b+1）2互为相反数．
【分析】先去括号，再合并同类项，然后把a，b的值代入化简后的式子，进行计算即
可解答．
【解答】解：7a2b+3（2a2b﹣ab2）﹣2（4a2b﹣3ab2）
＝7a2b+6a2b﹣3ab2﹣8a2b+6ab2
＝5a2b+3ab2，
∵|a﹣2|与（b+1）2互为相反数，
∴|a﹣2|+（b+1）2＝0，
∴a﹣2＝0，b+1＝0，
∴a＝2，b＝﹣1，
当a＝2，b＝﹣1时，原式＝5×22×（﹣1）+3×2×（﹣1）2
＝5×4×（﹣1）+3×2×1
＝﹣20+6
＝﹣14．
【点评】本题考查了整式的加减﹣化简求值，绝对值和偶次方的非负性，准确熟练地进行计算是解题的关键．
一十九．等式的性质（共3小题）
34．（2021秋•细河区期末）如果x＝y，那么根据等式的性质下列变形正确的是（ ）
A．x+y＝0 B． ＝ C．x﹣2＝y﹣2 D．x+7＝y﹣7
【分析】利用等式的性质变形得到结果，即可作出判断．
【解答】解：A、由x＝y，得到x﹣y＝0，原变形错误，故此选项不符合题意；
B、由x＝y，得到 ＝ ，原变形错误，故此选项不符合题意；
C、由x＝y，得到x﹣2＝y﹣2，原变形正确，故此选项符合题意；
D、由x＝y，得到x+7＝y+7，原变形错误，故此选项不符合题意；
故选：C．
【点评】此题考查了等式的性质，熟练掌握等式的性质是解本题的关键．
35．（2022秋•开江县校级期末）运用等式的性质，下列变形不正确的是（ ）
A．若a＝b．则a﹣5＝b﹣5 B．若a＝b，则ac＝bc
C．若a＝b．则 ＝ D．若 ＝ ，则a＝b
【分析】根据等式的两边同时加上（或减去）同一个数（或字母），等式仍成立；等式
的两边同时乘以同一个数，或除以同一个不为0的数，等式仍成立．
【解答】解：A、两边都﹣5，等式仍成立，故本选项不符合题意；
B、两边都乘以c，等式仍成立，故本选项不符合题意；
C、两边都除以c，且c≠0，等式才成立，故本选项符合题意．
D、两边都乘以c，等式仍成立，故本选项不符合题意．
故选：C．
【点评】本题考查了等式的性质，熟记等式的性质是解题的关键．
36．（2022秋•永兴县期末）下列运用等式的性质进行的变形，错误的是（ ）
A．如果x+2＝y+2，则x＝y B．如果x＝y，则
C．如果mx＝my，则x＝y D．如果 ，则x＝y
【分析】根据等式的性质判断即可．
【解答】解：A、如果x+2＝y+2，则x＝y，故A不符合题意；B、如果x＝y，则 ＝ ，故B不符合题意；
C、如果mx＝my（m≠0），则x＝y，故C符合题意；
D、如果 ，则x＝y，故D不符合题意；
故选：C．
【点评】本题考查了等式的性质，熟练掌握等式的性质是解题的关键．
二十．一元一次方程的定义（共1小题）
37．（2022秋•禹城市期末）下列各式中，是一元一次方程的是（ ）
A．3x﹣2＝y B．x2﹣1＝0 C． ＝2 D． ＝2
【分析】根据一元一次方程的定义，即含有一个未知数，未知数的最高次数为1的整式
方程叫一元一次方程，逐项判断即可．
【解答】解：A．3x﹣2＝y，含有两个未知数，不是一元一次方程，故本选项不符合题
意；
B．x2﹣1＝0，未知数的最高次数为2，不是一元一次方程，故本选项不符合题意；
C． 是一元一次方程，故本选项符合题意；
D． ，不是整式方程，故本选项不符合题意；
故选：C．
【点评】本题主要考查了一元一次方程的定义，解题的关键是熟练掌握含有一个未知数，
未知数的最高次数为1的整式方程叫一元一次方程．
二十一．一元一次方程的解（共4小题）
38．（2022秋•封开县期末）下列方程中解是x＝2的方程是（ ）
A．3x+6＝0 B．﹣2x+4＝0 C． D．2x+4＝0
【分析】将x＝2分别代入选项，使方程成立的即为所求．
【解答】解：A．将x＝2代入3x+6＝0，可得6+6＝12≠0，
故A不符合题意；
B．将x＝2代入﹣2x+4＝0，可得﹣4+4＝0，
故B符合题意；C．将x＝2代入 ，可得 ＝1≠2，
故C不符合题意；
D．将x＝2代入2x+4＝0，可得4+4＝8≠0，
故D不符合题意；
故选：B．
【点评】本题考查一元一次方程的解，使一元一次方程左右两边相等的未知数的值叫做
一元一次方程的解．
39．（2022秋•荔湾区期末）x＝3是一元一次方程3x+2a﹣4＝5的解，则a的值等于 0
．
【分析】把x＝3代入方程计算即可求出a的值．
【解答】解：把x＝3代入方程得：9+2a﹣4＝5，
解得a＝0．
故答案为：0．
【点评】此题考查了一元一次方程的解，方程的解即为能使方程左右两边相等的未知数
的值．
40．（2022秋•南充期末）若x＝﹣1是关于x的方程3x﹣2a＝﹣2的解，则a的值为 ﹣
．
【分析】将x＝﹣1代入方程进行求解即可．
【解答】解：由题意得，3×（﹣1）﹣2a＝﹣2，
解得a＝﹣ ，
故答案为：﹣ ．
【点评】此题考查了一元一次方程的求解能力，关键是能准确确定运算方法，并能进行
正确地计算．
41．（2022秋•和平区期末）若a、b为定值，关于x的一次方程 无论k
为何值时，它的解总是x＝1，则（2a+3b）2022的值为 1 ．
【分析】将x＝1代入原方程，可得出（4+b）k+2a﹣13＝0，结合原方程的解与k值无关，
可求出a，b的值，再将其代入（2a+3b）2022中，即可求出结论．【解答】解：将x＝1代入原方程得 ﹣ ＝2，
∴（4+b）k+2a﹣13＝0．
∵关于x的一次方程 无论k为何值时，它的解总是x＝1，
∴4+b＝0，2a﹣13＝0，
∴b＝﹣4，a＝ ，
∴（2a+3b）2022＝[2× +3×（﹣4）]2022＝12022＝1．
故答案为：1．
【点评】本题考查了一元一次方程的解，由方程的解与k值无关，求出a，b的值是解题
的关键．
二十二．解一元一次方程（共5小题）
42．（2022秋•西峰区校级期末）新规定的一种运算法则：a b＝a3+ab，例如3 （﹣2）
＝33+3×（﹣2）＝21，若（﹣2） x＝6，则x的值为 ﹣⊗ 7 ． ⊗
【分析】根据定义的新运算可得：⊗（﹣2）3+（﹣2）x＝6，然后按照解一元一次方程的
步骤，进行计算即可解答．
【解答】解：∵（﹣2） x＝6，
∴（﹣2）3+（﹣2）x＝6⊗，
﹣8﹣2x＝6，
﹣2x＝6+8，
﹣2x＝14，
x＝﹣7，
故答案为：﹣7．
【点评】本题考查了解一元一次方程，有理数的混合运算，理解定义的新运算是解题的
关键．
43．（2022秋•平城区校级期末）解方程：
（1）5x+6＝2（x﹣3）；
（2） ＝1．
【分析】（1）按照解一元一次方程的步骤：去括号，移项，合并同类项，系数化为1，
进行计算即可解答；（2）按照解一元一次方程的步骤：去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化为1，
进行计算即可解答．
【解答】解：（1）5x+6＝2（x﹣3），
5x+6＝2x﹣6，
5x﹣2x＝﹣6﹣6，
3x＝﹣12，
x＝﹣4；
（2） ＝1，
4（x﹣1）﹣3（2x+1）＝12，
4x﹣4﹣6x﹣3＝12，
4x﹣6x＝12+4+3，
﹣2x＝19，
x＝﹣ ．
【点评】本题考查了解一元一次方程，熟练掌握解一元一次方程的步骤是解题的关键．
44．（2022秋•江阴市期末）解方程：
（1）2（x﹣1）＝6；
（2） ．
【分析】（1）按照解一元一次方程的步骤：去括号，移项，合并同类项，系数化为1，
进行计算即可解答；
（2）按照解一元一次方程的步骤：去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化为1，
进行计算即可解答．
【解答】解：（1）2（x﹣1）＝6，
去括号得：2x﹣2＝6，
移项得：2x＝6+2，
合并同类项得：2x＝8，
系数化为1得：x＝4；
（2） ，
去分母得：3（x+1）＝8x+6，
去括号得：3x+3＝8x+6，移项得：3x﹣8x＝6﹣3，
合并同类项得：﹣5x＝3，
系数化为1得： ．
【点评】本题考查了解一元一次方程，熟练掌握解一元一次方程的步骤解题的关键．
45．（2022秋•溧水区期末）解方程．
（1）﹣3（x+1）＝9；
（2） ．
【分析】（1）按照解一元一次方程的步骤：进行计算即可解答；
（2）按照解一元一次方程的步骤：去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化为1，
进行计算即可解答．
【解答】解：（1）﹣3（x+1）＝9，
x+1＝﹣3，
x＝﹣3﹣1，
x＝﹣4；
（2） ，
2（2x﹣1）﹣4＝x﹣2，
4x﹣2﹣4＝x﹣2，
4x﹣x＝﹣2+2+4，
3x＝4，
．
【点评】本题考查了解一元一次方程，熟练掌握解一元一次方程的步骤是解题的关键．
46．（2022秋•兴山县期末）解方程： ﹣ ＝1．
【分析】根据解一元一次方程的一般步骤解出方程．
【解答】解：去分母，得2（2x﹣1）﹣3（x+1）＝6
去括号，得4x﹣2﹣3x﹣3＝6
移项，得4x﹣3x＝6+2+3
合并同类项，得x＝11．
【点评】本题考查的是一元一次方程的解法，解一元一次方程的一般步骤：去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1．
二十三．一元一次方程的应用（共2小题）
47．（2022秋•崇阳县校级期末）一商家进行促销活动，某商品的优惠措施是“第二件商
品半价”．现购买2件该商品，相当于这2件商品共打了（ ）
A．5 折 B．5.5折 C．7折 D．7.5折
【分析】根据题意设第一件商品x元，买两件商品共打y折，利用价格列出方程即可求
解．
【解答】解：设第一件商品x元，买两件商品共打了y折，根据题意可得：
x+0.5x＝2x• ，
解得：y＝7.5
即相当于这两件商品共打了7.5折．
故选：D．
【点评】此题考查了一元一次方程的应用，找到正确的等量关系是解题关键．
48．（2022秋•吉州区期末）已知数轴上顺次有A、B、C三点，分别表示数a、b、c，并
且满足（a+12）2+|b+5|＝0，b与c互为相反数．一只电子小蜗牛从A点向正方向移动，
速度为2个单位/秒．
（1）请求出A、B、C三点分别表示的数；
（2）运动多少秒时，小蜗牛到点B的距离为1个单位长度；
（3）设点P在数轴上点A的右边，且点P分别到点A、点B、点C的距离之和是20，
那么点P所表示的数是 ﹣ 8 或﹣ 2 ．
【分析】（1）由平方的非负性，绝对值的非负性，相反数的定义求出 A、B、C三点分
别表示的数为﹣12，﹣5，5；
（2）由绝对值在数轴上求两点之间的距离，一元一次方程求出小蜗牛到点B的距离为1
个单位长度时的时间为3秒或4秒；
（3）由限制条件的点P到A、B、C三点的距离和为20，求出点B表示的数为﹣8或﹣
2．
【解答】解：（1）∵（a+12）2+|b+5|＝0，
∴a+12＝0，b+5＝0，
解得：a＝﹣12，b＝﹣5，
又∵b与c互为相反数，∴b+c＝0，
∴c＝5；
（2）若小蜗牛运动到B前相距1个单位长度时，
运动时间为x秒，
∵AB的距离为|﹣12﹣（﹣5）|＝7，
∴2x+1＝7，
解得：x＝3；
若小蜗牛运动到B后相距1个单位长度时，
运动时间为y秒，依题意得：
2y＝7+1，
解得：y＝4，
综合所述：经过3秒或4秒时，小蜗牛到点B的距离为1个单位长度；
（3）设点P表示数为z，
∵AC的距离为|﹣12﹣5|＝17，
BC的距离为|5﹣（﹣5）|＝10，
∴点P只能在AC之间，不可能在点C的右边；
又∵PA+PC＝17，PA+PB+PC＝20，
∴|PB|＝3
∴|z﹣（﹣5）|＝3，
解得：z＝﹣8或z＝﹣2．
【点评】本题综合考查了绝对值的非负性，平方的非负性，一元一次方程的应用，数轴
上的点与实数的对应关系等相关知识点，重点掌握一元一次方程的应用，易错点是分类
计算中做到不重不漏．
二十四．几何体的展开图（共1小题）
49．（2022秋•市中区期末）如图是正方体的一种展开图，表面上的语句为北京 2022年冬
奥会和冬残奥会的主题口号“一起向未来!”，那么在正方体的表面与“!”相对的汉字
是 一 ．【分析】由平面图形的折叠及立体图形的表面展开图的特点解题．
【解答】解：对于正方体的平面展开图中相对的面一定相隔一个小正方形，由图形可知，
与“!”字相对的字是“一”．
故答案为：一．
【点评】本题考查生活中的立体图形与平面图形，注意正方体的空间图形，从相对面入
手，分析及解答问题．
二十五．展开图折叠成几何体（共1小题）
50．（2022秋•衡南县期末）如图，在下面的四个图形中，折叠后不能围成正方体的是（
）
A． B．
C． D．
【分析】根据正方体展开图的11种形式对各选项分析判断即可得解．
【解答】解：正方体共有11种表面展开图，A、B、C能围成正方体；
D不能，折叠后有两个面重合，不能折成正方体，
故选：D．
【点评】本题考查了正方体的展开图，熟记展开图的11种形式是解题的关键，利用不
是正方体展开图的“一线不过四、田凹应弃之”（即不能出现同一行有多于4个正方形
的情况，不能出现田字形、凹字形的情况，）判断也可．
二十六．专题：正方体相对两个面上的文字（共2小题）
51．（2022秋•恩施州期末）一个小立方块六个面分别标有字母A，B，C，D，E，F，从
三个不同方向看到的情形如图所示，则C，D，F对面的字母分别是（ ）
A．A、B、E B．A、E、B C．E、B、A D．F、E、B
【分析】由图1和图3可得：字母A与字母B，F，D，E是相邻面，从而可得字母A与字母C是相对面，然后再根据图1和图2可得：字母B与字母A，F，C，E是相邻面，
从而可得字母B与字母D是相对面，即可解答．
【解答】解：由图1和图3可得：
字母A与字母B，F，D，E是相邻面，
∴字母A与字母C是相对面，
由图1和图2可得：
字母B与字母A，F，C，E是相邻面，
∴字母B与字母D是相对面，
∴字母E与字母F是相对面，
故选：A．
【点评】本题考查了正方体相对两个面上的文字，熟练掌握正方体的相对面与相邻面是
解题的关键．
52．（2022秋•渠县校级期末）一个正方体的表面展开图如图所示，这个正方体的每一个
面上都填有一个数字，且各相对面上所填的数字互为倒数，则（yz）x的值为 ﹣ ．
【分析】根据正方体的表面展开图找相对面的方法：一线隔一个，“Z”字两端是对面
可得x与 是相对面，y与2是相对面，z与﹣1是相对面，然后根据倒数的意义可得x＝
3，y＝ ，z＝﹣1，最后代入式子中进行计算即可解答．
【解答】解：由题意得：
x与 是相对面，y与2是相对面，z与﹣1是相对面，
∵各相对面上所填的数字互为倒数，
∴x＝3，y＝ ，z＝﹣1，
∴（yz）x的值＝[ ×（﹣1）]3＝（﹣ ）3＝﹣ ，故答案为：﹣ ．
【点评】本题考查了正方体相对两个面上的文字，倒数，熟练掌握正方体相对两个面上
的文字是解题的关键．
二十七．截一个几何体（共1小题）
53．（2022秋•高碑店市期末）下列几何体中，截面不可能是长方形的是（ ）
A． 长方体 B． 圆柱体
C． 球体 D． 三棱柱
【分析】根据每一个几何体的截面形状判断即可．
【解答】解：上列几何体中，长方体，圆柱体，三棱柱的截面都可能是长方形，球体的
截面不可能是长方形，
故选：C．
【点评】本题考查了截一个几何体，熟练掌握每一个几何体的截面形状是解题的关键．
二十八．直线、射线、线段（共1小题）
54．（2022秋•薛城区期末）如图，已知线段AB，点C在AB上，点P在AB外．
（1）根据要求画出图形：画直线PA，画射线PB，连接PC；
（2）写出图中的所有线段．
【分析】（1）根据题中的几何语言画出对应的几何图形即可；
（2）利用线段的定义解答即可．
【解答】解：（1）如图，直线PA，射线PB，线段PC为所作；（2）图中的所有线段为：PA、PC、PB、AC、AB、CB．
【点评】本题考查了直线、射线、线段及其作图．解题的关键是掌握直线、射线、线段
的定义，理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
二十九．线段的性质：两点之间线段最短（共1小题）
55．（2022秋•焦作期末）高速公路的建设带动我国经济的快速发展．在高速公路的建设
中，通常要从大山中开挖隧道穿过，把道路取直，以缩短路程．这样做蕴含的数学道理
是 两点之间，线段最短 ．
【分析】此题为数学知识的应用，由题意将弯曲的道路改直以缩短路程，就用到两点之
间线段最短的性质．
【解答】解：从大山中开挖隧道穿过，把道路取直，使两点处于同一条线段上．
这样做包含的数学道理是：两点之间，线段最短．
故答案为：两点之间，线段最短．
【点评】此题主要考查了两点之间线段最短的性质，正确将数学定理应用于实际生活是
解题的关键．
三十．两点间的距离（共1小题）
56．（2022秋•和平区校级期末）两根木条，一根长20cm，一根长24cm，将它们一端重合
且放在同一条直线上，此时两根木条的中点之间的距离为 2 或 2 2 cm．
【分析】根据两点间的距离分两种情况计算即可．
【解答】解：当两条线段一端重合，另一端在同一方向时，
此时两根木条的中点之间的距离为12﹣10＝2（cm）；
当两条线段一端重合，另一端方向相反时，
此时两根木条的中点之间的距离为10+12＝22（cm）；
故答案为2或22．
【点评】本题考查了两点之间的距离，解决本题的关键是分两种情况讨论．
三十一．钟面角（共1小题）
57．（2022秋•龙岗区校级期末）3：30时钟表上的时针与分针的夹角是 7 5 度．【分析】根据时针与分针相距的份数乘每份的度数，可得答案．
【解答】解：下午3：30时时针与分针相距2+ ＝ 份，
每份之间相距30°，
下午3：30时，钟表上的时针与分针间的夹角是30°× ＝75°．
故答案为：75．
【点评】本题考查了钟面角，确定时针与分针相距的份数是解题的关键．
三十二．方向角（共1小题）
58．（2022秋•建昌县期末）如图所示，岛P位于岛Q的正西方，船R位于岛Q的西北方
向上，船R位于岛P的 北偏东 60 ° 方向上（用方位角表示）．
【分析】根据题意可得：∠APQ＝90°，∠RPQ＝30°，从而利用角的和差关系可得
∠APR＝60°，然后根据方向角的定义，即可解答．
【解答】解：如图：
由题意得：∠APQ＝90°，∠RPQ＝30°，
∴∠APR＝∠APQ﹣∠RPQ＝60°，
∴船R位于岛P的北偏东60°方向上，
答案为：北偏东60°．
【点评】本题考查了方向角，熟练掌握方向角的定义是解题的关键．
三十三．角的计算（共1小题）
59．（2022秋•裕华区期末）一副三角尺（分别含45°，45°，90°和30°，60°，90°）按如图
1所示摆放在量角器上，边PD与量角器0°刻度线重合，边AP与量角器180°刻度线重合
（∠APB＝45°，∠DPC＝30°），将三角尺ABP绕量角器中心点P以每秒15°的速度顺时针旋转，当边PB与0°刻度线重合时停止运动，设三角尺ABP的运动时间为t．
（1）当t＝3时，边PB经过的量角器刻度线对应的度数是 9 0 度；
（2）如图2，若在三角尺ABP开始旋转的同时，三角尺PCD也绕点P以每秒5°的速度
逆时针旋转，当三角尺ABP停止旋转时，三角尺PCD也停止旋转，∠MPN＝180°．
①用含t的代数式表示：∠NPD＝ （ 5 t ） ° ；∠MPB＝ （ 1 5 t +4 5 ） ° ；当t为何值
时，∠BPC＝5°？
②从三角尺ABP与三角尺PCD第一对直角边和斜边重叠开始起到另一对直角边和斜边
重叠结束止，经过的时间t为 秒．
【分析】（1）当t＝3秒时，计算出BP旋转的角度的大小即可得出结论；
（2）①分PB与PC相遇前和相遇后两种情况分析解答即可；②当PA与PD重合时，
即PA与PD共旋转了75°，即可解答．
【解答】解：（1）当t＝3秒时，由旋转可知：
边BP旋转的角度为：15°×3＝45°，
∴边PB经过的量角器刻度线对应的度数为：180°﹣（45°+3×15°）＝90°，
故答案为：90°；
（2）①∵三角尺PCD也绕点P以每秒5°的速度逆时针旋转，
∴∠NPD＝（5t）°，
∵∠APB＝45°，
∴∠MPB＝∠MPA+∠APB＝（15t）°+45°＝（15t+45）°，故答案为：（5t）°，（15t+45）°，
在三角尺ABP和三角尺PCD旋转前，∠BPC＝180°﹣45°﹣30°＝105°，
现在∠BPC＝5°，分两种情况：
PB与PC相遇前，则：
15t+5t＝105﹣5，
解得：t＝5，
PB与PC相遇后，则：
15t+5t＝105+5，
解得：t＝5.5，
∴当t为秒5或5.5秒时，∠BPC＝5°；
②∵∠APB＝45°，∠CPD＝30°，
∴当PB与PC重合时，∠APD＝45°+30°＝75°，
当PA与PD重合时，即PA与PD共旋转了75°，
∴15t+5t＝75，
∴t＝ ，
故答案为： ．
【点评】本题是几何变换综合题，主要考查了旋转的变化，量角器的识别，角的计算，
一元一次方程的应用，设运动时间为t，用含t的代数式表示出∠APD与∠BPC是解题
的关键．
三十四．余角和补角（共1小题）
60．（2022秋•南平期末）已知∠A与∠B互为补角，且∠A＝65°，则∠B＝ 115 ° ．
【分析】根据补角的定义，进行计算即可解答．
【解答】解：∵∠A与∠B互为补角，
∴∠A+∠B＝180°，
∵∠A＝65°，
∴∠B＝180°﹣∠A＝115°，
故答案为：115°．
【点评】本题考查了余角和补角，熟练掌握补角的定义是解题的关键．
