文档内容
猜想 01 一元二次方程的应用（8 种常见题型专练）
题型一：数字问题 题型二：传播问题
题型三：单循环问题 题型四：双循环问题
题型五：增长率问题 题型六：商品销售问题
题型七：图形面积问题 题型八：动态几何问题
题型一：数字问题
一．选择题（共1小题）
1．（2021春•包河区校级期末）一个两位数，个位上的数字比十位上的数字小 4，且个位数字与十位数字
的平方和比这个两位数大4．设个位数字为x，则方程为（ ）
A．x2+（x﹣4）2＝10（x﹣4）+x﹣4
B．x2+（x﹣4）2＝10（x﹣4）+x+4
C．x2+（x﹣4）2＝10x+x﹣4﹣4
D．x2+（x+4）2＝10（x+4）+x+4
【分析】根据个位数与十位数的关系，可知十位数为 x+4，那么这两位数为：10（x+4）+x，这两个数
的平方和为：x2+（x+4）2，再根据两数的值相差4即可得出答案．
【解答】解：依题意得：十位数字为：x+4，这个数为：x+10（x+4）
这两个数的平方和为：x2+（x+4）2，
∵两数相差4，
∴x2+（x+4）2＝x+10（x+4）+4．
故选：D．
【点评】本题考查了数的表示方法，要会利用未知数表示两位数，然后根据题意列出对应的方程求解．
二．填空题（共1小题）
2．（2022秋•山亭区期末）方程x2﹣2x+m＝0有两个相等的实数根，则m的值为 1 ．
【分析】由题可得Δ＝（﹣2）2﹣4×1×m＝0，即可得m的值．
【解答】解：∵方程x2﹣2x+m＝0有两个相等的实数根，
∴Δ＝（﹣2）2﹣4×1×m＝0，
解得m＝1．
故答案为：1．
【点评】本题考查一元二次方程根的判别式，若一元二次方程有两个不相等的实数根，则Δ＝b2﹣4ac＞0；若一元二次方程有两个相等的实数根，则Δ＝b2﹣4ac＝0；若一元二次方程没有实数根，则Δ＝b2﹣
4ac＜0．
三．解答题（共2小题）
3．（2021秋•新民市期末）2021年7月1日是建党100周年纪念日，在本月日历表上可以用小方框圈出四
个数（如图所示），圈出的四个数中，最小数与最大数的乘积能否为 33或65，若能求出最小数；若不
能请说明理由．
【分析】设这个最小数为x，则最大数为（x+8），根据最小数与最大数的乘积为65或33，即可得出关
于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论．
【解答】解：设最小的数为x，
由题意得x（x+8）＝33，
解得x ＝﹣11，x ＝3．由表格知不符合实际舍去；
1 2
由题意得x（x+8）＝65，
解得x ＝﹣13（舍去），x ＝5，
1 2
所以当最大数与最小数乘积为65时，最小的数是5．
【点评】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
4．（2022秋•连云港期末）一个两位数，个位数字比十位数字大3，个位数字的平方刚好等于这个两位数，
则这个两位数是多少？
【分析】先设个位数字为x，那么十位数字是（x﹣3），这个两位数是[10（x﹣3）+x]，然后根据个位
数字的平方刚好等于这个两位数即可列出方程求解即可．
【解答】解：设个位数字为x，那么十位数字是（x﹣3），这个两位数是10（x﹣3）+x，
依题意得：x2＝10（x﹣3）+x，
∴x2﹣11x+30＝0，
∴x ＝5，x ＝6，
1 2∴x﹣3＝2或3．
答：这个两位数是25或36．
【点评】此题考查了一元二次方程的应用，正确理解关键描述语，找到等量关系准确地列出方程是解决
问题的关键．
题型二：传播问题
一．选择题（共5小题）
1．（2022秋•邢台期末）德尔塔（Delta）是一种全球流行的新冠病毒变异毒株，其传染性极强．某地有 1
人感染了德尔塔，因为没有及时隔离治疗，经过两轮传染后，一共有144人感染了德尔塔病毒，设每轮
传染中平均1人传染了x人，下面所列方程正确的是（ ）
A．1+x+x2＝144 B．x（x+1）＝144
C．1+x+x（x+1）＝144 D．1+（1+x）+x（x+1）＝144
【分析】设每轮传染中平均1人传染了x人，则第一轮传染中有x人被传染，第二轮传染中有x（x+1）
人被传染，根据“某地有1人感染了德尔塔，因为没有及时隔离治疗，经过两轮传染后，一共有 144人
感染了德尔塔病毒”，即可得出关于x的一元二次方程，此题得解．
【解答】解：设每轮传染中平均1人传染了x人，则第一轮传染中有x人被传染，第二轮传染中有x
（x+1）人被传染，
根据题意得：1+x+x（x+1）＝144．
故选：C．
【点评】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的
关键．
2．（2022秋•江津区期末）奥密克戎是新冠病毒的变异毒株，传染性强，有一人感染了此病毒，未被有效
隔离，经过两轮传染，共有196名感染者，在每轮传染中，设平均一个人传染了 x人，则可列方程为（
）
A．1+x＝196 B．（1+x）2＝196
C．1+x2＝196 D．1+x+x2＝196
【分析】由“在每轮传染中，平均一个人传染了x人”，可得出在第一轮及第二轮传染中的感染人数，
结合“经过两轮传染，共有196名感染者”，即可得出关于x的一元二次方程，此题得解．
【解答】解：∵在每轮传染中，平均一个人传染了x人，
∴第一轮传染中有x人被感染，第二轮传染中有x（1+x）人被感染．
根据题意得：1+x+x（1+x）＝196，
即（1+x）2＝196．故选：B．
【点评】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的
关键．
3．（2022秋•自贡期末）某地有两人患了流感，经过两轮传染后又有70人患了流感，每轮传染中平均一
个人传染的人数为（ ）
A．5人 B．6人 C．7人 D．8人
【分析】设每轮传染中平均一个人传染 x个人，则第一轮传染中有 2x人被传染，第二轮传染中有 x
（2+2x）人被传染，根据“某地有两人患了流感，经过两轮传染后又有 70人患了流感”，可得出关于
x的一元二次方程，解之取其符合题意的值即可得出结论．
【解答】解：设每轮传染中平均一个人传染x个人，则第一轮传染中有2x人被传染，第二轮传染中有x
（2+2x）人被传染，
根据题意得：2x+x（2+2x）＝70，
整理得：x2+2x﹣35＝0，
解得：x ＝5，x ＝﹣7（不符合题意，舍去），
1 2
∴每轮传染中平均一个人传染的人数为5人．
故选：A．
【点评】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
4．（2022秋•齐河县期末）新冠病毒传染性极强，如果有1人患病，经过两轮传染后有361人患病，设每
轮传染中平均一个人传染了x个人，下列方程正确的是（ ）
A．（1+x）2＝361 B．x2＝361
C．1+x+x2＝361 D．x（1+x）＝361
【分析】由每轮传染中平均一个人传染了x个人，可得出第一轮传染中有x人被传染，第二轮传染中有
x（1+x）人被传染，结合“有1人患病，经过两轮传染后有361人患病”，即可得出关于x的一元二次
方程，化简后即可得出结论．
【解答】解：∵每轮传染中平均一个人传染了x个人，
∴第一轮传染中有x人被传染，第二轮传染中有x（1+x）人被传染．
根据题意得：1+x+x（1+x）＝361，
即（1+x）2＝361．
故选：A．
【点评】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的
关键．5．（2022秋•新华区校级期末）有一人患了流感，经过两轮传染后，共有81人患了流感，每轮传染中平
均每人传染了x个人，下列结论：①1轮后有（x+1）个人患了流感；②第2轮又增加（x+1）2个人患
流感；③依题意可得方程（x+1）2＝81；④不考虑其他因素经过三轮一共会有648人感染．所以正确
的结论为（ ）
A．①③ B．①②③ C．①③④ D．①②③④
【分析】根据每轮传染中平均每人传染了x个人，可得出第1轮传染中有x人被传染，第2轮传染中有
x（1+x）人被传染，进而可得出1轮后有（x+1）个人患了流感，结合“有一人患了流感，经过两轮传
染后，共有81人患了流感”，可得出关于x的一元二次方程，解之即可得出x的值，将其正值代入81
（x+1）中，可求出经过三轮传染后患病人数．
【解答】解：∵有一人患了流感，且每轮传染中平均每人传染了x个人，
∴第1轮传染中有x人被传染，第2轮传染中有x（1+x）人被传染，结论②不符合题意；
∴1轮后有（x+1）个人患了流感，结论①符合题意；
根据题意得：1+x+x（1+x）＝81，
即（x+1）2＝81，结论③符合题意；
解得：x ＝8，x ＝﹣10（不符合题意），
1 2
∴不考虑其他因素经过三轮一共会有81（x+1）＝81×（8+1）＝729人感染，结论④不符合题意．
故选：A．
【点评】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
二．填空题（共2小题）
6．（2022秋•绥中县期末）鸡瘟是一种传播速度很强的传染病，一轮传染为一天时间，红发养鸡场某日发
现一例，两天后发现共有169只鸡患有这种病．若每例病鸡传染健康鸡的只数均相同，设每只病鸡传染
健康鸡的只数为x只，则可列方程为 1+ x + x （ 1+ x ）＝ 16 9 ．
【分析】由每只病鸡传染健康鸡的只数为x只，可得出第一天有x只鸡被传染，第二天有x（1+x）只鸡
被传染，结合“红发养鸡场某日发现一例，两天后发现共有 169只鸡患有这种病”，即可得出关于x的
一元二次方程，此题得解．
【解答】解：∵每只病鸡传染健康鸡的只数为x只，
∴第一天有x只鸡被传染，第二天有x（1+x）只鸡被传染，
根据题意得：1+x+x（1+x）＝169．
故答案为：1+x+x（1+x）＝169．
【点评】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
7．（2022 秋•万全区期末）请根据图片内容填空：每轮传染中，平均一个人传染了 10 人.
【分析】设每轮传染中，平均一个人传染了x人，根据“感染1个人，此人未被有效隔离，经过两轮传
染后共有121名感染者”，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论．
【解答】解：设每轮传染中，平均一个人传染了x人，
依题意得：1+x+x（1+x）＝121，
即（1+x）2＝121，
解得：x ＝10，x ＝﹣12（不符合题意，舍去），
1 2
∴每轮传染中，平均一个人传染了10人．
故答案为：10．
【点评】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
三．解答题（共7小题）
8．（2021秋•海陵区校级期末）流行病学中有一个叫做基本传染数 R 的数字，简单来说，就是一个人在
0
一个周期内会感染几个人，有一个人感染了新冠病毒，经过两个周期的传染后共有 36人感染，求新冠
病毒的基本传染数R ．
0
【分析】利用经过两个周期的传染后感染新冠的人数＝1×（1+R ）2，即可得出关于R 的一元二次方程，
0 0
解之取其正值即可得出结论．
【解答】解：依题意得：（1+R ）2＝36，
0
解得：R ＝5或R ＝﹣7（不合题意，舍去）．
0 0
答：新冠病毒的基本传染数R 为5．
0
【点评】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
9．（2021秋•驿城区期末）新型冠状病毒肺炎是一种急性感染性肺炎．2020年2月7日，国家卫健委决定将“新型冠状病毒感染的肺炎”命名为“新型冠状病毒肺炎”，简称“新冠肺炎”．2021年10月30日，
张文宏教授表示，未来全国和全世界都接种疫苗后，人们还是应该尽量减少聚集，在室内拥挤的地方戴
口罩，加强通风．2020年1月，武汉某小区有一人患了新冠肺炎，经过两轮传染后共有169人患了新冠
肺炎，求每轮传染中平均一个人传染了多少人？
【分析】设每轮传染中平均一个人传染了x人，则第一轮有x人被传染，第二轮有（1+x）x人被传染，
根据经过两轮传染后共有169人患了新冠肺炎，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其正值即可得
出结论．
【解答】解：设每轮传染中平均一个人传染了x人，则第一轮有x人被传染，第二轮有（1+x）x人被传
染，
依题意得：1+x+（1+x）x＝169，
解得：x ＝12，x ＝﹣14（不符合题意，舍去）．
1 2
答：每轮传染中平均一个人传染了12人．
【点评】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
10．（2022秋•宁强县期末）新冠肺炎是一种传染性极强的疾病，如果有一人患病，经过两轮传染后有121
人患病，设每轮传染中平均一个人传染了多少个人？
【分析】设每轮传染中平均一个人传染了 x个人，则第一轮传染中有 x人被传染，第二轮传染中有 x
（1+x）人被传染，根据“有一人患病，经过两轮传染后有121人患病”，可得出关于x的一元二次方
程，解之取其符合题意的值，即可得出结论．
【解答】解：设每轮传染中平均一个人传染了x个人，则第一轮传染中有x人被传染，第二轮传染中有
x（1+x）人被传染，
根据题意得：1+x+x（1+x）＝121，
即（1+x）2＝121，
解得：x ＝10，x ＝﹣12（不符合题意，舍去）．
1 2
答：每轮传染中平均一个人传染了10个人．
【点评】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
11．（2022秋•天河区校级期末）截止到2022年1月，新冠肺炎疫情在中国已经得到有效控制，但在全球
却持续蔓延，这是对人类的考验，将对全球造成巨大影响．新冠肺炎具有人传人的特性，若一人携带病
毒，未进行有效隔离，经过两轮传染后共有196人患新冠肺炎，求每轮传染中平均每个人传染了几个人？
【分析】设每轮传染中平均每个人传染了x个人，则第一轮中有x人被传染，第二轮中有x（1+x）人被
感染，根据“若一人携带病毒，未进行有效隔离，经过两轮传染后共有196人患新冠肺炎”，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其符合题意的值，即可得出结论．
【解答】解：设每轮传染中平均每个人传染了x个人，则第一轮中有x人被传染，第二轮中有x（1+x）
人被感染，
根据题意得：1+x+x（1+x）＝196，
整理得：（1+x）2＝196，
解得：x ＝13，x ＝﹣15（不符合题意，舍去）．
1 2
答：每轮传染中平均每个人传染了13个人．
【点评】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
12．（2021秋•凤翔县期末）有一个人患了流感，经过两轮传染后有若干人被传染上流感．假设在每轮的
传染中平均一个人传染了x个人．
（1）第二轮被传染上流感人数是 x （ x + 1 ） ；（用含x的代数式表示）
（2）在进入第二轮传染之前，如果有4名患者被及时隔离（未治愈），经过两轮传染后是否会有81人
患病的情况发生，并说明理由．
【分析】（1）利用第二轮被传染上流感人数＝在每轮的传染中平均一个人传染的人数×（第一轮被传染
上流感人数+1），即可用含x的代数式表示出第二轮被传染上流感人数；
（2）经过两轮传染后会有81人患病的情况发生，利用经过两轮传染后患病的人数＝1+第一轮被传染上
流感人数+第二轮被传染上流感人数，即可得出关于x的一元二次方程，解之即可得出x的值，由其正
值为正整数，可得出第二轮传染后会有81人患病的情况发生．
【解答】解：（1）∵在每轮的传染中平均一个人传染了x个人，
∴第一轮被传染上流感人数是x，第二轮被传染上流感人数是x（x+1）．
故答案为：x（x+1）．
（2）经过两轮传染后会有81人患病的情况发生，理由如下：
依题意得：1+x+x（x+1﹣4）＝81，
整理得：x2﹣2x﹣80＝0，
解得：x ＝10，x ＝﹣8（不合题意，舍去），
1 2
∵x ＝10为正整数，
1
∴第二轮传染后会有81人患病的情况发生．
【点评】本题考查了一元二次方程的应用以及列代数式，解题的关键是：（1）根据各数量之间的关系
用含x的代数式表示出第二轮被传染上流感人数；（2）找准等量关系，正确列出一元二次方程．
13．（2021秋•玉山县期末）某种病毒传播速度非常快，如果最初有两个人感染这种病毒，经两轮传播后，
就有五十个人被感染，求每轮传播中平均一个人会传染给几个人？若病毒得不到有效控制，三轮传播后将有多少人被感染？
【分析】设每轮传播中平均一个人会传染给 x个人，则第一轮会传染给 2x人，第二轮会传染给 x
（2+2x）人，根据经两轮传播后共五十个人被感染，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其正值即
可得出每轮传播中平均一个人会传染给4个人，再利用经过三轮传播后被感染的人数＝经过两轮传播后
被感染的人数×（1+每轮传播中平均一个人传染的人数），即可求出结论．
【解答】解：设每轮传播中平均一个人会传染给x个人，则第一轮会传染给2x人，第二轮会传染给x
（2+2x）人，
依题意得：2+2x+x（2+2x）＝50，
整理得：x2+2x﹣24＝0，
解得：x ＝4，x ＝﹣6（不合题意，舍去），
1 2
∴50（1+4）＝50×5＝250（人）．
答：每轮传播中平均一个人会传染给4个人，若病毒得不到有效控制，三轮传播后将有250人被感染．
【点评】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
14．（2021秋•衡山县期末）某种流感病毒，有一人患了这种流感，在每轮传染中一人将平均传给x人．
（1）求第一轮后患病的人数；（用含x的代数式表示）
（2）在进入第二轮传染之前，有两位患者被及时隔离并治愈，问第二轮传染后总共是否会有21人患病
的情况发生，请说明理由．
【分析】（1）设每轮传染中平均每人传染了x人．开始有一人患了流感，第一轮的传染源就是这个人，
他传染了x人，则第一轮后共有（1+x）人患了流感；
（2）第二轮传染中，这些人中的每个人又传染了 x人，因进入第二轮传染之前，有两位患者被及时隔
离并治愈，则第二轮后共有x﹣1+x（x﹣1）人患了流感，而此时患流感人数为21，根据这个等量关系
列出方程若能求得正整数解即可会有21人患病．
【解答】解：（1）（1+x）人，
（2）设在每轮传染中一人将平均传给x人
根据题意得：x﹣1+x（x﹣1）＝21
整理得：x2﹣1＝21
解得： ，
∵x ，x 都不是正整数，
1 2
∴第二轮传染后共会有21人患病的情况不会发生．
【点评】本题考查了一元二次方程的应用，解题的关键是能根据进入第二轮传染之前，有两位患者被及时隔离并治愈列出方程并求解．
题型三：单循环问题
一．选择题（共6小题）
1．（2022秋•大丰区期末）为了迎接第二十二届世界杯足球赛，卡塔尔某地区举行了足球邀请赛，规定参
赛的每两个队之间比赛一场，赛程计划安排7天，每天安排4场比赛．设比赛组织者邀请了x个队参赛，
则下列方程正确的是（ ）
A． B．x（x﹣1）＝4
C．x（x+1）＝28 D．
【分析】利用比赛的总场数＝参赛队伍数×（参赛队伍数﹣1）÷2，即可得出关于x的一元二次方程，此
题得解．
【解答】解：根据题意得： x（x﹣1）＝4×7，
即 x（x﹣1）＝28．
故选：D．
【点评】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的
关键．
2．（2022秋•潼南区期末）第22届世界杯足球赛于2022年11月21日至12月18日在卡塔尔举行，在此
期间足球成为某市热点话题．为满足广大足球爱好者的需求，某市准备举行足球邀请赛，规定参赛的每
两个队之间比赛一场，共安排了66场比赛，设比赛组织者邀请了x个队比赛，则下列方程正确的是（
）
A．x（x﹣1）＝66 B．x（x+1）＝66
C． ＝66 D． ＝66
【分析】利用比赛的总场数＝参赛队伍数×（参赛队伍数﹣1）÷2，即可得出关于x的一元二次方程，此
题得解．
【解答】解：根据题意得 x（x﹣1）＝66．
故选：C．
【点评】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的
关键．3．（2022秋•离石区期末）2022年11月20日，第二十二届世界杯足球赛在卡塔尔开幕．为了迎接世界杯
的到来，某市举行了足球邀请赛，规定参赛的每两个队之间比赛一场，共安排了 60场比赛．设比赛组
织者邀请了x个队参赛，则下列方程正确的是（ ）
A． x（x+1）＝60 B．x（x﹣1）＝60
C．x（x+1）＝60 D． x（x﹣1）＝60
【分析】利用比赛的总场数＝参赛队伍数×（参赛队伍数﹣1）÷2，可得出关于x的一元二次方程，此题
得解．
【解答】解：根据题意得 x（x﹣1）＝60．
故选：D．
【点评】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的
关键．
4．（2022秋•河西区校级期末）男篮世界杯小组赛，每两队之间进行一场比赛，小组赛共进行了 6场比赛，
设该小组有x支球队，则可列方程为（ ）
A．x（x﹣1）＝6 B．x（x+1）＝6
C． D．
【分析】设该小组有x支球队，则每个队参加（x﹣1）场比赛，则共有 x（x﹣1）场比赛，从而可以列
出一个一元二次方程．
【解答】解：设该小组有x支球队，则共有 x（x﹣1）场比赛，
由题意得： x（x﹣1）＝6，
故选：C．
【点评】此题考查了一元二次方程的应用，关要求我们掌握单循环制比赛的特点：如果有n支球队参加，
那么就有 n（n﹣1）场比赛，此类虽然不难求出x的值，但要注意舍去不合题意的解．
5．（2022秋•开封期末）为响应“足球进校园”的号召，某校组织足球比赛，赛制为单循环形式（每两个
队之间都要比赛一场），计划安排28场比赛，则参赛的足球队个数为（ ）
A．6 B．7 C．8 D．9【分析】设共有x个球队参赛，利用计划安排比赛的总场数＝参赛队伍个数×（参赛队伍个数﹣1）÷2，
可得出关于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论．
【解答】解：设共有x个球队参赛，
根据题意得： x（x﹣1）＝28，
整理得：x2﹣x﹣56＝0，
解得：x ＝8，x ＝﹣7（不符合题意，舍去），
1 2
∴共有8个球队参赛．
故选：C．
【点评】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
6．（2022秋•番禺区校级期末）学校要组织一次篮球赛，赛制为单循环，共21场比赛．若比赛组织者计
划邀请x个队参赛，则x满足的关系式为
（ ）
A． x（x+1）＝21 B． x（x﹣1）＝21
C．x（x+1）＝21 D．x（x﹣1）＝21
【分析】关系式为： ×球队总数×每支球队需赛的场数＝21，把相关数值代入即可．
【解答】解：每支球队都需要与其他球队赛（x﹣1）场，但两队之间只有一场比赛，
所以可列方程为： x（x﹣1）＝21．
故选：B．
【点评】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，解决本题的关键是得到比赛总场数的等量关系，
注意，若2队之间的比赛只有1场，最后的总场数应除以2．
二．填空题（共4小题）
7．（2022秋•荔湾区校级期末）卡塔尔足球世界杯小组赛，每两队之间进行一场比赛，小组赛共进行了 6
场比赛，则该小组有 4 支球队．
【分析】设该小组有x支球队，利用比赛的总场数＝小组球队数×（小组球队数﹣1）÷2，可得出关于x
的一元二次方程，解之取其符合题意的值，即可得出结论．
【解答】解：设该小组有x支球队，
根据题意得： x（x﹣1）＝6，整理得：x2﹣x﹣12＝0，
解得：x ＝4，x ＝﹣3（不符合题意，舍去），
1 2
∴该小组有4支球队．
故答案为：4．
【点评】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
8．（2022秋•和平区期末）一次会议上，每两个参加会议的人都相互握了一次手，经统计所有人一共握了
10次手，则这次会议到会的人数是 5 人．
【分析】设这次会议到会的人数是x人，利用握手总次数＝参会人数×（参会人数﹣1）÷2，可得出关于
x的一元二次方程，解之取其符合题意的值，即可得出结论．
【解答】解：设这次会议到会的人数是x人，
根据题意得： x（x﹣1）＝10，
整理得：x2﹣x﹣20＝0，
解得：x ＝5，x ＝﹣4（不符合题意，舍去），
1 2
∴这次会议到会的人数是5人．
故答案为：5．
【点评】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
9．（2021秋•襄州区期末）某校九年级举行篮球赛，初赛采用单循环制（每两个班之间都进行一场比赛），
据统计，比赛共进行了28场，则九年级共有 8 个班．
【分析】赛制为单循环形式（每两班之间都赛一场），x个班比赛总场数＝x（x﹣1）÷2，即可列方程求
解．
【解答】解：设九年级共有x个班级．
依题意得： x（x﹣1）＝28．
解得：x ＝8，x ＝﹣7（不合题意舍去）．
1 2
故答案为：8．
【点评】本题主要考查了一元二次方程的应用，根据比赛场数与参赛队之间的关系为：比赛场数＝队数
×（队数﹣1）÷2，进而得出方程是解题关键．
10．（2021秋•滦州市期末）要组织一次篮球联赛，赛制为单循环形式（每两队之间都赛一场），计划安
排21场比赛，应邀请 7 个球队参加比赛．
【分析】赛制为单循环形式（每两队之间都赛一场），x个球队比赛总场数＝ ．即可列方程求解．
【解答】解：设有x个队，每个队都要赛（x﹣1）场，但两队之间只有一场比赛，
x（x﹣1）÷2＝21，
解得x＝7或﹣6（舍去）．
故应邀请7个球队参加比赛．
【点评】解决本题的关键是读懂题意，得到总场数的等量关系．
三．解答题（共2小题）
11．（2021秋•鲁甸县期末）某校在冬运会中，其中一项为乒乓球赛，赛制为参赛的每两个人之间都要比
赛一场，根据胜场积分确定排名，由于场地和时间等条件，赛程安排3天，每天安排15场比赛，求共
有多少学生参加了冬运会乒乓球赛？
【分析】设共有x名学生参加了冬运会乒乓球赛，利用比赛的总场数＝参赛学生人数×（参赛学生人数
﹣1）÷2，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其正值，即可得出结论．
【解答】解：设共有x名学生参加了冬运会乒乓球赛，
根据题意得： x（x﹣1）＝15×3，
整理得：x2﹣x﹣90＝0，
解得：x ＝10，x ＝﹣9（不符合题意，舍去）．
1 2
答：共有10名学生参加了冬运会乒乓球赛．
【点评】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
12．（2021秋•老河口市期末）列方程解应用题：参加一次商品交易会的每两家公司之间都签订一份合同，
所有公司共签订了45份合同，共有多少家公司参加商品交易会？
【分析】设共有x家公司参加商品交易会，就可以得出有 份合同，根据总共有45份合同建立
方程组，求出其解即可．
【解答】解：设共有x家公司参加商品交易会，由题意，得
＝45，
解得：x ＝10，x ＝﹣9（舍去）．
1 2
答：共有10家公司参加商品交易会．
【点评】本题考查了列一元二次方程解实际问题的运用，一元二次方程的解法的运用，解答时根据单循
环问题的数量关系建立方程是关键．
题型四：双循环问题一．选择题（共5小题）
1．（2022秋•呈贡区期末）在一次新年聚会中，小朋友们互相赠送礼物，全部小朋友共互赠了 110件礼物，
若假设参加聚会小朋友的人数为x人，则根据题意可列方程为（ ）
A．x（x﹣1）＝110 B．x（x+1）＝110
C．（x+1）2＝110 D．（x﹣1）2＝110
【分析】由参加聚会小朋友的人数为x人，可得出每人需赠送出（x﹣1）件礼物，根据全部小朋友共互
赠了110件礼物，即可得出关于x的一元二次方程，此题得解．
【解答】解：∵参加聚会小朋友的人数为x人，
∴每人需赠送出（x﹣1）件礼物．
根据题意得：x（x﹣1）＝110．
故选：A．
【点评】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的
关键．
2．（2022秋•江门期末）九（1）班毕业时，每一个同学都将自己的照片向全班其他同学各送一张作为留
念，全班共送了1560张照片，如果全班有x名学生，根据题意可列方程为（ ）
A．x（x﹣1）＝1560 B．x（x+1）＝1560
C．2x（x+1）＝1560 D．2x（x﹣1）＝1560
【分析】由全班人数，可得出每人需送出（x﹣1）张照片，结合全班共送了1560张照片，即可得出关
于x的一元二次方程，此题得解．
【解答】解：∵全班共有x名学生，
∴每人需送出（x﹣1）张照片．
根据题意得：x（x﹣1）＝1560．
故选：A．
【点评】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的
关键．
3．（2022秋•鸡西期末）一个班级里共有x人，每人都分别给班里的其他同学发一条信息，共发信息 1980
条，则可列方程为（ ）
A． B．x（x﹣1）＝1980
C． D．x（x+1）＝1980【分析】由班级的人数，可得出每人需发送（x﹣1）条信息，结合该班级共发信息1980条，即可得出
关于x的一元二次方程，此题得解．
【解答】解：∵一个班级里共有x人，
∴每人需发送（x﹣1）条信息．
根据题意得：x（x﹣1）＝1980，
故选：B．
【点评】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的
关键．
4．（2022秋•番禺区期末）某中学一生物兴趣小组的每位同学将自己收集的标本向本组其他成员各赠送一
件，全组共赠送了90件，设组员有x名同学，则根据题意列出的方程是（ ）
A．x（x﹣1）＝90 B．x（x+1）＝90
C．x（x﹣1）＝90×2 D．x（x+1）＝90×2
【分析】由全组的人数可得出每名同学需赠送出（x﹣1）件标本，结合全组共赠送了90件标本，即可
得出关于x的一元二次方程，此题得解．
【解答】解：∵全组共有x名同学，
∴每名同学需赠送出（x﹣1）件标本．
根据题意得：x（x﹣1）＝90．
故选：A．
【点评】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的
关键．
5．（2022秋•昌图县期末）初中毕业时，某班学生都将自己的照片向全班其他同学各送一张表示留念，全
班共送1260张照片．设全班有x名同学，可列方程为（ ）
A．x（x﹣1）＝1260 B．x（x+1）＝1260
C．x（x﹣1）＝1260×2 D．x（x+1）＝1260×2
【分析】如果全班有x名同学，那么每名同学要送出（x﹣1）张，共有x名学生，那么总共送的张数应
该是x（x﹣1）张，即可列出方程．
【解答】解：∵全班有x名同学，
∴每名同学要送出（x﹣1）张；
又∵是互送照片，
∴总共送的张数应该是x（x﹣1）＝1260．
故选：A．【点评】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程．计算全班共送多少张，首先确定一个人送出多少
张是解题关键．
二．填空题（共3小题）
6．（2021秋•峡江县期末）某校九（1）班的学生互赠新年贺卡，共用去1560张贺卡，则九（1）班有
40 名学生．
【分析】设九（1）班有x名学生，则每名学生需送出（x﹣1）张新年贺卡，利用九（1）班共用去贺卡
的数量＝人数×每人送出新年贺卡的数量，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出结
论．
【解答】解：设九（1）班有x名学生，则每名学生需送出（x﹣1）张新年贺卡，
依题意得：x（x﹣1）＝1560，
整理得：x2﹣x﹣1560＝0，
解得：x ＝40，x ＝﹣39（不合题意，舍去），
1 2
∴九（1）班有40名学生．
故答案为：40．
【点评】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
7．（2021秋•虎林市校级期末）2021年10月10日，第七届黑龙江绿色食品产业博览会开幕，虎林市组建
团队参加，为增进了解，在参加会议前团队每两个人间互送了一次名片，一共送出 90张名片，则这个
团队有 1 0 人．
【分析】设这个团队有x人，则每人需送出（x﹣1）张名片，根据在参加会议前该团队共送出90张名
片，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论．
【解答】解：设这个团队有x人，则每人需送出（x﹣1）张名片，
依题意得：x（x﹣1）＝90，
整理得：x2﹣x﹣90＝0，
解得：x ＝10，x ＝﹣9（不合题意，舍去），
1 2
∴这个团队有10人．
故答案为：10．
【点评】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
8．（2022秋•蔚县校级期末）一个小组有若干人，新年互送贺卡一张，共送贺卡72张，共有 9 人．
【分析】设该小组共有x人，则每人需送出（x﹣1）张贺卡，根据全组共送贺卡72张，即可得出关于x
的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论．
【解答】解：设该小组共有x人，则每人需送出（x﹣1）张贺卡，依题意得：x（x﹣1）＝72，
整理得：x2﹣x﹣72＝0，
解得：x ＝9，x ＝﹣8（不符合题意，舍去），
1 2
∴该小组共有9人．
故答案为：9．
【点评】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
三．解答题（共1小题）
9．（2022秋•白云区期末）一次足球联赛，赛制为双循环形式（每两队之间都赛两场），共要比赛 90场，
共有多少个队参加比赛？
【分析】每个队都要与其余队比赛一场，2队之间要赛2场．等量关系为：队的个数×（队的个数﹣1）
＝90，把相关数值代入计算即可．
【解答】解：设有x队参加比赛．
依题意，得x（x﹣1）＝90，
（x﹣10）（x+9）＝0，
解得x ＝10，x ＝﹣9（不合题意，舍去）．
1 2
答：共有10支队参加比赛．
【点评】本题考查一元二次方程的应用；得到比赛总场数的等量关系是解决本题的关键．
题型五：增长率问题
一．选择题（共2小题）
1．（2022秋•万州区期末）某公司今年10月的营业额为2500万元，按计划12月的营业额要达到3600万
元，设该公司11，12两月的营业额的月平均增长率为x，根据题意列方程，则下列方程正确的是
（ ）
A．2500（1+2x）＝3600 B．2500（1+2x%）＝3600
C．2500（1+x）2＝3600 D．2500（1+x%）2＝3600
【分析】利用该公司12月的营业额＝该公司10月份的营业额×（1+该公司11，12两月的营业额的月平
均增长率）2，即可得出关于x的一元二次方程，此题得解．
【解答】解：根据题意得：2500（1+x）2＝3600．
故选：C．
【点评】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的
关键．
2．（2022秋•九龙坡区期末）某棉签生产工厂2022年十月棉签产值达100万元，第四季度总产值达331万元，问十一、十二月份的月平均增长率是多少？设月平均增长率的百分数是x，则由题意可得方程为（
）
A．100（x+1）2＝331
B．100（x+1）+100（x+1）2＝331
C．100+100（x+1）2＝331
D．100+100（x+1）+100（x+1）2＝331
【分析】由该棉签生产工厂2022年十月棉签产值及月平均增长率，可得出该棉签生产工厂 2022年十一
月棉签产值达100（x+1）万元，十二月棉签产值达100（x+1）2万元，结合该棉签生产工厂2022年第
四季度总产值达331万元，即可得出关于x的一元二次方程，此题得解．
【解答】解：∵该棉签生产工厂2022年十月棉签产值达100万元，且月平均增长率的百分数是x，
∴该棉签生产工厂2022年十一月棉签产值达100（x+1）万元，十二月棉签产值达100（x+1）2万元．
根据题意得：100+100（x+1）+100（x+1）2＝331．
故选：D．
【点评】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的
关键．
二．填空题（共4小题）
3．（2022秋•法库县期末）2021年是中国共产党建党100周年，全国各地积极开展“弘扬红色文化，重走
长征路”主题教育活动．据了解，某展览中心3月份的参观人数为10万人，5月份的参观人数增加到
12.1万人．设参观人数的月平均增长率为x，则可列方程为 1 0 （ 1+ x ） 2 ＝ 12. 1 ．
【分析】利用5月份的参观人数＝3月份的参观人数×（1+月平均增长率）2，即可得出关于x的一元二
次方程，此题得解．
【解答】解：依题意得：10（1+x）2＝12.1．
故答案为：10（1+x）2＝12.1．
【点评】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的
关键．
4．（2022秋•丹东期末）为了响应全民阅读的号召，某校图书馆利用节假日面向社会开放．据统计，第一
个月进馆560人次，进馆人次逐月增加，第三个月进馆830人次．设该校图书馆第二个月、第三个月进
馆人次的平均增长率为x，则可列方程为 56 0 （ 1+ x ） 2 ＝ 83 0 ．
【分析】利用第三个月进馆人次＝第一个月进馆人次×（1+平均增长率）2，即可得出关于x的一元二次
方程，此题得解．【解答】解：依题意得：560（1+x）2＝830．
故答案为：560（1+x）2＝830．
【点评】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的
关键．
5．（2022秋•市北区校级期末）某区为了大力推进义务教育均衡发展，加强学校标准化建设，计划用三年
时间对全区学校的设施和设备进行全面改造和更新，2022年区政府已投资5亿元人民币，若每年投资的
增长率相同，预计2024年投资7.2亿元人民币，设每年投资的增长率x，根据题意，可列方程为 5
（ 1+ x ） 2 ＝ 7. 2 ．
【分析】利用预计2024年投资金额＝2022年投资金额×（1+每年投资的增长率）2，即可得出关于x的
一元二次方程，此题得解．
【解答】解：根据题意得5（1+x）2＝7.2，
故答案为：5（1+x）2＝7.2．
【点评】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的
关键．
6．（2022秋•宜宾期末）我市某新能源汽车因物美价廉而深受大众喜爱，在某地区的销售量从 1月份的
100辆增长到3月份的121辆，则从1月份到3月份的月平均增长率为 10% ．
【分析】设从1月份到3月份的月平均增长率为x，利用3月份的销售量＝1月份的销售量×（1+从1月
份到3月份的月平均增长率）2，可得出关于x的一元二次方程，解之取其正值，即可得出结论．
【解答】解：设从1月份到3月份的月平均增长率为x，
根据题意得：100（1+x）2＝121，
解得：x ＝0.1＝10%，x ＝﹣2.1（不符合题意，舍去）．
1 2
∴从1月份到3月份的月平均增长率为10%．
故答案为：10%．
【点评】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
三．解答题（共8小题）
7．（2022秋•陵水县期末）某商场今年1月份的营业额为1250万元，2月份的营业额比1月份增加20%，
4月份的营业额达到1815万元．求：
（1）该商场2月份的营业额；
（2）该商场2月份到4月份营业额的月平均增长率．
【分析】（1）利用该商场2月份的营业额＝该商场1月份的营业额×（1+20%），即可求出该商场2月份的营业额；
（2）设该商场2月份到4月份营业额的月平均增长率为x，利用该商场4月份的营业额＝该商场2月份
的营业额×（1+月平均增长率）2，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论．
【解答】解：（1）1250×（1+20%）
＝1250×1.2
＝1500（万元）．
答：该商场2月份的营业额为1500万元．
（2）设该商场2月份到4月份营业额的月平均增长率为x，
依题意得：1500（1+x）2＝1815，
解得：x ＝0.1＝10%，x ＝﹣2.1（不合题意，舍去）．
1 2
答：该商场2月份到4月份营业额的月平均增长率为10%．
【点评】本题考查了一元二次方程的应用以及全等图形，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题
的关键．
8．（2022秋•建邺区期末）劳动教育已纳入人才培养全过程，某学校加大投入，建设校园农场，该农场一
种作物的产量两年内从300千克增加到363千克．若平均每年的增产率相同，求平均每年的增产率．
【分析】设平均每年的增产率为x，根据该作物的产量两年内从300千克增加到363千克，即可得出关
于x的一元二次方程，解之取其正值，即可得出结论．
【解答】解：设平均每年的增产率为x，
根据题意得：300（1+x）2＝363，
解得：x ＝0.1＝10%，x ＝﹣2.1（不符合题意，舍去）．
1 2
答：平均每年的增产率为10%．
【点评】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
9．（2022秋•同心县期末）今年某村农产品喜获丰收，该村村委会在网上直播销售优质农产品礼包，今年
1月份销售该农产品礼包256包，2、3月该礼包十分畅销，销售量持续走高，在售价不变的基础上，3
月份的销售量达到400包，若设2、3两个月销售量的月平均增长率为x，求平均增长率．
【分析】利用3月份的销售量＝1月份的销售量×（1+2、3两个月销售量的月平均增长率）2，可得出关
于x的一元二次方程，解之取其符合题意的值即可得出结论．
【解答】解：根据题意得：256（1+x）2＝400，
解得：x ＝0.25＝25%，x ＝﹣2.25（不符合题意，舍去）．
1 2
答：2、3两个月销售量的月平均增长率为25%．
【点评】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．10．（2022秋•郸城县期末）2022年北京冬季奥运会于2月4日至2月20日在北京市和河北省张家口市联
合举行，冬奥会吉祥物为“冰墩墩”．
（1）据市场调研发现，某工厂今年二月份共生产500个“冰墩墩”，为增大生产量，该工厂平均每月
生产量增长率相同，四月份该工厂生产了720个“冰墩墩”，求该工厂平均每月生产量增长率是多少？
（2）已知某商店“冰墩墩”平均每天可销售20个，每个盈利40元，在每个降价幅度不超过10元的情
况下，每下降2元，则每天可多售10件．如果每天要盈利1440元，则每个“冰墩墩”应降价多少元？
【分析】（1）设该工厂平均每月生产量增长率为x，利用该工厂四月份生产“冰墩墩”的数量＝该工
厂二月份生产“冰墩墩”的数量×（1+该工厂平均每月生产量的增长率）2，即可得出关于x的一元二次
方程，解之取其正值即可得出结论；
（2）设每个“冰墩墩”降价y元，则每个盈利（40﹣y）元，平均每天可售出（20+5y）个，利用总利
润＝每个的销售利润×日销售量，即可得出关于y的一元二次方程，解之取其符合题意的值即可得出结
论．
【解答】解：（1）设该工厂平均每月生产量的增长率为x，
依题意得：500（1+x）2＝720，
解得：x ＝0.2＝20%，x ＝﹣2.2（不符合题意，舍去）．
1 2
答：该工厂平均每月生产量的增长率为20%．
（2）设每个“冰墩墩”降价y元，则每个盈利（40﹣y）元，平均每天可售出20+10× ＝（20+5y）个，
依题意得：（40﹣y）（20+5y）＝1440，
整理得：y2﹣36y+128＝0，
解得：y ＝4，y ＝32（不符合题意，舍去）．
1 2
答：每个“冰墩墩”应降价4元．
【点评】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
11．（2022秋•芜湖期末）为防控新冠疫情，减少交叉感染，某超市在线上销售优质农产品，该超市于今
年一月底收购一批农产品，二月份销售256盒，三、四月该商品十分畅销，销售量持续走高，在售价不
变的基础上，四月份的销售量达到400盒．若农产品每盒进价25元，原售价为每盒40元．
（1）求三、四这两个月销售量的月平均增长率；（2）该超市五月份降价促销，经调查发现，若该农产品每盒降价1元，销售量可增加5盒，当农产品
每盒降价多少元时，这种农产品在五月份可获利4250元？
【分析】（1）设三、四这两个月销售量的月平均增长率为x，利用四月份的销售量＝二月份的销售量×
（1+三、四这两个月销售量的月平均增长率）2，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其正值即可
得出结论；
（2）设农产品每盒降价y元，则每盒的销售利润为（40﹣y﹣25）元，五月份可售出（400+5y）盒，利
用五月份的销售总利润＝每盒的销售利润×五月份的销售量，即可得出关于y的一元二次方程，解之取
其正值即可得出结论．
【解答】解：（1）设三、四这两个月销售量的月平均增长率为x，
依题意得：256（1+x）2＝400，
解得：x ＝0.25，x ＝﹣2.25（不符合题意，舍去）．
1 2
答：三、四这两个月销售量的月平均增长率为25%．
（2）设农产品每盒降价y元，则每盒的销售利润为（40﹣y﹣25）元，五月份可售出（400+5y）盒，
依题意得：（40﹣y﹣25）（400+5y）＝4250，
整理得：y2+65y﹣350＝0，
解得：y ＝5，y ＝﹣70（不符合题意，舍去）．
1 2
答：当农产品每盒降价5元时，这种农产品在五月份可获利4250元．
【点评】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
12．（2022秋•锦江区期末）电影《长津湖》是一部讲述抗美援朝题材影片，该片以朝鲜长津湖战役为背
景，讲述一个志愿军连队在极寒严酷环境下坚守阵地奋勇杀敌、为战役胜利作出重要贡献的故事，2022
年清明节来临之际，某电影院开展“清明祭英烈，共铸中华魂”系列活动，对团体购买该电影票实行优
惠，决定在原定零售票价基础上每张降价16元，这样按原定零售票价需花费2000元购买的门票，现在
只花费了1200元．
（1）求每张电影票的原定零售票价；
（2）为了弘扬爱国主义精神，该影院决定对网上购票的个人也采取优惠，原定零售票价经过连续两次
降价后票价为每张32.4元，求平均每次降价的百分率．
【分析】（1）设每张电影票的原定零售票价是x元，则降价后的零售票价是（x﹣16）元，利用数量＝
总价÷单价，可得出关于x的分式方程，解之经检验后，即可得出结论；
（2）设平均每次降价的百分率为y，利用经过两次降价后的价格＝原价×（1﹣平均每次降价的百分
率）2，可得出关于y的一元二次方程，解之取其符合题意的值，即可得出结论．【解答】解：（1）设每张电影票的原定零售票价是x元，则降价后的零售票价是（x﹣16）元，
根据题意得： ＝ ，
解得：x＝40，
经检验，x＝40是所列方程的解，且符合题意．
答：每张电影票的原定零售票价是40元；
（2）设平均每次降价的百分率为y，
根据题意得：40（1﹣y）2＝32.4，
解得：y ＝0.1＝10%，y ＝1.9（不符合题意，舍去）．
1 2
答：平均每次降价的百分率为10%．
【点评】本题考查了分式方程的应用以及一元二次方程的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，
正确列出分式方程；（2）找准等量关系，正确列出一元二次方程．
13．（2022秋•林州市期末）口罩是一种卫生用品，正确佩戴口罩能阻挡有害气体、飞沫、病毒等物质，
对进入肺部的空气有一定的过滤作用，N95口罩的防护等级为N95级，表示在NIOSH标准规定的检测
条件下，口罩滤料对非油性颗粒物（如粉尘、酸雾、漆雾、微生物等）的过滤效率达到 95%．据调查，
2022年9月份某厂家N95口罩产量为80万只，10月份比9月份增加了25%，第四季度N95口罩的总产
量为436万只．
（1）该厂家10月份的N95口罩产量为 10 0 万只；
（2）该厂家第四季度N95口罩产量的月平均增长率是多少？
【分析】（1）利用该厂家10月份的N95口罩产量＝该厂家9月份的N95口罩产量×（1+25%），即可
求出结论；
（2）设该厂家第四季度N95口罩产量的月平均增长率是x，则该厂家2022年11月份N95口罩产量为
100（1+x）万只，12月份N95口罩产量为100（1+x）2万只，根据该厂家第四季度N95口罩的总产量为
436万只，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其符合题意的值即可得出结论．
【解答】解：（1）∵80×（1+25%）＝100（万只），
∴该厂家10月份的N95口罩产量为100万只．
故答案为：100；
（2）设该厂家第四季度N95口罩产量的月平均增长率是x，则该厂家2022年11月份N95口罩产量为
100（1+x）万只，12月份N95口罩产量为100（1+x）2万只，
根据题意得：100+100（1+x）+100（1+x）2＝436，
化简得：x2+3x﹣1.36＝0，解得：x ＝0.4＝40%，x ＝﹣3.4（不符合题意，舍去）．
1 2
答：该厂家第四季度N95口罩产量的月平均增长率是40%．
【点评】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
14．（2022秋•南川区期末）抗击“新冠肺炎”疫情期间，口罩是重要的防护物资，今年 10月，某社区根
据实际需要，采购了10000个口罩，一部分用于社区家庭，其余部分用于社区工作人员．
（1）为了保证社区抗疫工作顺利开展，用于社区工作人员的口罩个数应不少于用于社区家庭口罩个数
的1.5倍，问用于该社区家庭的口罩最多有多少个？
（2）据统计，10月份，该社区有400户家庭有口罩需求，平均每户需要10个，其余口罩刚好满足社区
工作人员的抗疫需要，随着疫情的发展，11月份，该社区对口罩的总需求量比10月份增加了20%，需
要口罩的家庭户数比10月份增加了a%，社区工作人品需要口罩的个数比10月份增加了1.5a%，同时，
由于该社区加大了管控力度，平均每户家庭的口罩需求量减少了a%，求a的值．
【分析】（1）设用于该社区家庭的口罩有x个，则用于社区工作人员的口罩有（10000﹣x）个，根据
用于社区工作人员的口罩个数应不少于用于社区家庭口罩个数的1.5倍，即可得出关于x的一元一次不
等式，解之取其中的最大值即可得出结论；
（2）根据11月份该社区对口罩的总需求量比10月份增加了20%，即可得出关于a的一元二次方程，
取其较小值即可得出结论．
【解答】解：（1）设用于该社区家庭的口罩有x个，则用于社区工作人员的口罩有（10000﹣x）个，
依题意，得：10000﹣x≥1.5x，
解得：x≤4000．
答：用于该社区家庭的口罩最多有4000个．
（2）依题意，得：400（1+a%）×10（1﹣a%）+（10000﹣400×10）（1+1.5a%）＝10000×
（1+20%），
整理，得：a2﹣225a+5000＝0，
解得：a ＝25，a ＝200（不合题意，舍去）．
1 2
答：a的值为25．
【点评】本题考查了一元二次方程的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：（1）根据各数
量之间的关系，正确列出一元一次不等式；（2）找准等量关系，正确列出一元二次方程．
题型六：商品销售问题
一．选择题（共2小题）
1．（2022秋•江北区校级期末）端午节又称端阳节，是中华民族重要的传统节日，我国各地都有吃粽子的
习俗．某超市以10元每袋的价格购进一批粽子，根据市场调查，售价定为每袋16元，每天可售出200袋；若售价每降低1元，则可多售出80袋，问此种粽子售价降低多少元时，超市每天售出此种粽子的
利润可达到1440元？若设每袋粽子售价降低x元，则可列方程为（ ）
A．（16﹣x﹣10）（200+80x）＝1440
B．（16﹣x）（200+80x）＝1440
C．（16﹣x﹣10）（200﹣80x）＝1440
D．（16﹣x）（200﹣80x）＝1440
【分析】当每袋粽子售价降低 x 元时，每袋粽子的销售利润为（16﹣x﹣10）元，每天可售出
（200+80x）袋，利用总利润＝每袋的销售利润×每天的销售量，即可得出关于x的一元二次方程，此题
得解．
【解答】解：当每袋粽子售价降低x元时，每袋粽子的销售利润为（16﹣x﹣10）元，每天可售出
（200+80x）袋，
依题意得：（16﹣x﹣10）（200+80x）＝1440．
故选：A．
【点评】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的
关键．
2．（2022秋•荥阳市校级期末）某药店营业员在卖布洛芬时发现，当布洛芬以每盒50元销售时，每天销
售是30盒，若单价每降低1元，每天就可以多售出4盒，已知布洛芬的成本是每盒30元，设每盒布洛
芬降低x元，如果药店一天能盈利1000元，可列方程为（ ）
A．（20﹣x）（30+x）＝1000 B．（50﹣x）（30+x）＝1000
C．（20﹣x）（30+4x）＝1000 D．（30﹣x）（30+4x）＝1000
【分析】当每盒布洛芬降低 x 元时，每盒的销售利润为 50﹣x﹣30＝（20﹣x）元，每天可销售
（30+4x）盒，利用总利润＝每盒的销售利润×日销售量，即可得出关于x的一元二次方程，此题得解．
【解答】解：当每盒布洛芬降低 x元时，每盒的销售利润为50﹣x﹣30＝（20﹣x）元，每天可销售
（30+4x）盒，
根据题意得：（20﹣x）（30+4x）＝1000．
故选：C．
【点评】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的
关键．
二．填空题（共1小题）
3．（2022秋•江北区校级期末）在刚刚过去的“五一”假期中，某超市为迎接“五一”小长假购物高潮，经销甲、乙两种品牌的洗衣液．市场上甲种品牌洗衣液的进价比乙种品牌洗衣液的进价每瓶便宜 10元，
该超市用6000元购进的甲种品牌洗衣液与用8000元购进的乙种品牌洗衣液的瓶数相同．
（1）求甲品牌的洗衣液的进价 3 0 元；（不要带单位）
（2）在销售中，该超市决定将甲种品牌的洗衣液以每瓶45元售出，每天固定售出100瓶；但调查发现，
乙种品牌的洗衣液每瓶售价50元时，每天可售出140瓶，并且当乙种品牌的洗衣液每瓶售价每提高 1
元时，乙种品牌的洗衣液每天就会少售出2瓶，当乙种品牌的洗衣液的每瓶售价为 80 元时，两种
品牌的洗衣液每天的利润之和可达到4700元？（不要带单位）
【分析】（1）设甲品牌的洗衣液的进价为x元，则乙品牌的洗衣液的进价为（x+10）元，利用数量＝
总价÷单价，结合该超市用6000元购进的甲种品牌洗衣液与用8000元购进的乙种品牌洗衣液的瓶数相
同，可得出关于x的分式方程，解之经检验后即可得出结论；
（2）设乙种品牌的洗衣液的每瓶售价为y元，则乙种品牌的洗衣液的每瓶销售利润为（y﹣30﹣10）元，
每天的销售量为（240﹣2y）瓶，利用总利润＝每瓶的销售利润×日销售量，可得出关于y的一元二次方
程，解之即可得出结论．
【解答】解：（1）设甲品牌的洗衣液的进价为x元，则乙品牌的洗衣液的进价为（x+10）元，
根据题意得： ＝ ，
解得：x＝30，
经检验，x＝30是所列方程的解，且符合题意，
∴甲品牌的洗衣液的进价为30元．
故答案为：30；
（2）设乙种品牌的洗衣液的每瓶售价为y元，则乙种品牌的洗衣液的每瓶销售利润为（y﹣30﹣10）元，
每天的销售量为140﹣2（y﹣50）＝（240﹣2y）瓶，
根据题意得：（45﹣30）×100+（y﹣30﹣10）（240﹣2y）＝4700，
整理得：y2﹣160y+6400＝0，
解得：y ＝y ＝80，
1 2
∴当乙种品牌的洗衣液的每瓶售价为80元时，两种品牌的洗衣液每天的利润之和可达到4700元．
故答案为：80．
【点评】本题考查了分式方程的应用以及一元二次方程的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，
正确列出分式方程；（2）找准等量关系，正确列出一元二次方程．
三．解答题（共11小题）
4．（2022秋•青羊区期末）新华商场销售某种彩电，每台进价为3500元，调查发现，当销售价为3900元时，平均每天能售出8台，而当销售价每降低75元，平均每天能多卖6台．
（1）若每台彩电降价x元，则每天彩电的销量为多少？（请用含有x的式子表示）
（2）商场要想使这种彩电的销售利润平均每天达到5000元，则每台彩电应降价多少元？
【分析】（1）利用日销售量＝8+6× ，即可用含x的代数式表示出每天彩电的销
量；
（2）利用总利润＝每天彩电的销售利润×日销售量，可得出关于x的一元二次方程，解之即可得出结论．
【解答】解：（1）当每台彩电降价x元时，每天彩电的销量为8+6× ＝（8+ x）台；
（2）根据题意得：（3900﹣x﹣3500）（8+ x）＝5000，
整理得：x2﹣300x+22500＝0，
解得：x ＝x ＝150．
1 2
答：每台彩电应降价150元．
【点评】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
5．（2023春•东阳市期末）澄泥砚是全国四大名砚之一，其历史可上溯到唐代，为陶砚，以泥沙再造而成，
其质细腻，柔中有坚，贮水不涸，历寒不冰，发墨护毫，兼具陶石双重优点，某电商直播销售一款澄泥
砚，每块澄泥砚的成本为30元，当每块售价定为48元时，平均每月可售出500块澄泥砚，通过市场调
查发现，若售价每上涨1元，其月销售量就减少10块，若想获得销售澄泥砚的月利润恰好为 11200元，
且每块售价上涨不超过20元，问每块澄泥砚的售价应上涨多少元？
【分析】设每块澄泥砚的售价应上涨x元，则每块的销售利润为（48+x﹣30）元，平均每月可售出
（500﹣10x）块，利用总利润＝每块的销售利润×月销售量，可得出关于x的一元二次方程，解之取其
符合题意的值即可得出结论．
【解答】解：设每块澄泥砚的售价应上涨x元，则每块的销售利润为（48+x﹣30）元，平均每月可售出
（500﹣10x）块，
根据题意得：（48+x﹣30）（500﹣10x）＝11200，整理得：x2﹣32x+220＝0，
解得：x ＝10，x ＝22（不符合题意，舍去）．
1 2
答：每块澄泥砚的售价应上涨10元．
【点评】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
6．（2022秋•文山市期末）一人一盔，安全守规，为保证市民安全出行，某商店以每顶50元的价格购进
一批头盔，售价为每顶80元时，每月可售出200顶，在“创建文明城市”期间，计划将头盔降价销售，
经调查发现：每降价1元，每月可多售出20顶，若该商店每月获得的利润为8000元，求每顶头盔的售
价是多少元？
【分析】设每顶头盔的售价是x元，则每顶头盔的销售利润是（x﹣50）元，每月可售出200+20（80﹣
x）＝（1800﹣20x）顶，利用总利润＝每顶头盔的销售利润×月销售量，可得出关于x的一元二次方程，
解之即可得出结论．
【解答】解：设每顶头盔的售价是x元，则每顶头盔的销售利润是（x﹣50）元，每月可售出200+20
（80﹣x）＝（1800﹣20x）顶，
根据题意得：（x﹣50）（1800﹣20x）＝8000，
整理得：x2﹣140x+4900＝0，
解得：x ＝x ＝70．
1 2
答：每顶头盔的售价是70元．
【点评】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
7．（2022秋•潼南区期末）某商店经销甲、乙两种商品，现有如下信息：
信息1：甲乙两种商品的进货单价之和是3元．
信息2：甲商品零售单价比进货单价多2元，乙商品零售单价比进货单价的2倍少1元．
信息3：按零售单价购买甲商品3件和乙商品2件，共付了15元．
请根据以上信息，解答请根据以上信息，解答下列问题：
（1）求甲、乙两种商品的进货单价；
（2）该商店平均每天卖出甲商品600件和乙商品400件，经调查发现，甲种商品零售单价每降0.1元，
甲种商品每天可多销售100件，商店决定在2022年“双十一”期间把甲种商品的零售单价下调，乙种
商品的零售单价不变，在不考虑其他因素的条件下，商店每天销售甲、乙两种商品获取的总利润为
2000元，问甲种商品的零售单价定为多少元？
【分析】（1）设甲种商品的进货单价为x元，乙种商品的进货单价为y元，则甲种商品的零售单价为
（x+2）元，乙种商品的零售单价为（2y﹣1）元，根据“甲乙两种商品的进货单价之和是3元；按零售单价购买甲商品3件和乙商品2件，共付了15元”，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可
得出结论；
（2）设甲种商品的零售单价定为m元，则每件甲种商品的销售利润为（m﹣1）元，平均每天的销售量
为（3600﹣1000m）件，利用总利润＝每件的销售利润×平均每天的销售量，即可得出关于 m的一元二
次方程，解之即可得出结论．
【解答】解：（1）设甲种商品的进货单价为x元，乙种商品的进货单价为y元，则甲种商品的零售单
价为（x+2）元，乙种商品的零售单价为（2y﹣1）元，
根据题意得： ，
解得： ．
答：甲种商品的进货单价为1元，乙种商品的进货单价为2元；
（2）设甲种商品的零售单价定为m元，则每件甲种商品的销售利润为（m﹣1）元，平均每天的销售量
为600+100× ＝（3600﹣1000m）件，
根据题意得：（m﹣1）（3600﹣1000m）+（2×2﹣1﹣2）×400＝2000，
整理得：5m2﹣23m+26＝0，
解得：m ＝2，m ＝2.6．
1 2
答：甲种商品的零售单价定为2元或2.6元．
【点评】本题考查了二元一次方程组的应用以及一元二次方程的应用，解题的关键是：（1）找准等量
关系，正确列出二元一次方程组；（2）找准等量关系，正确列出一元二次方程．
8．（2022秋•忠县期末）忠县柑橘品种主要包括有爱媛、沃柑、金秋砂糖橘等．A网店仅将“爱媛”和
“沃柑”装箱售卖，张老师买了 2箱“爱媛”，1箱“沃柑”，支付了110元；王老师买了1箱“爱
媛”，2箱“沃柑”，支付了130元．
（1）问A网店每箱“爱媛”和“沃柑”的售价是多少元？
（2）A网店经市场调查，按以上售价两种柑橘每天共能销售100箱，但若一箱“沃柑”的售价每降低2
元，则每天两种柑橘的销售总量将增加4箱．所以，该店决定对“沃柑”降价销售，“爱媛”价格不变．
降价销售后的第一天统计，销售总量中有60%是“爱媛”，且总销售金额为4080元，若降价后“沃
柑”的单价还是不低于“爱媛”的单价．求每箱“沃柑”的售价降低了多少元？
【分析】（1）设A网店每箱“爱媛”的售价是x元，每箱“沃柑”的售价是y元，根据张老师买了2箱
“爱媛”，1箱“沃柑”，支付了110元及王老师买了1箱“爱媛”，2箱“沃柑”，支付了130元，可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论；
（2）设每箱“沃柑”的售价降低了m元，利用总销售金额＝销售单价×销售数量，可得出关于m的一
元二次方程，解之即可得出m的值，再结合降价后“沃柑”的单价还是不低于“爱媛”的单价，即可得
出结论．
【解答】解：（1）设A网店每箱“爱媛”的售价是x元，每箱“沃柑”的售价是y元，
根据题意得： ，
解得： ．
答：A网店每箱“爱媛”的售价是30元，每箱“沃柑”的售价是50元；
（2）设每箱“沃柑”的售价降低了m元，
根据题意得：（50﹣m）×（1﹣60%）（100+4× ）+30×60%（100+4× ）＝4080，
整理得：m2﹣45m+350＝0，即（m﹣10）（m﹣35）＝0，
解得：m ＝10，m ＝35，
1 2
又∵50﹣m≥30，
∴m≤20，
∴m＝10．
答：每箱“沃柑”的售价降低了10元．
【点评】本题考查了二元一次方程组的应用以及一元二次方程的应用，解题的关键是：（1）找准等量
关系，正确列出二元一次方程组；（2）找准等量关系，正确列出一元二次方程．
9．（2022秋•方城县期末）某商店准备销售一种多功能旅行背包，计划从厂家以每个30元的价格进货，
经过市场发现当每个背包的售价为40元时，月均销量为280个，售价每增长1元，月均销量就相应减
少10个．
（1）若使这种背包的月均销量不低于130个，每个背包售价应不高于 5 5 元；
（2）在（1）的条件下，当该这种书包销售单价为多少元时，销售利润是3120元？
（3）这种书包的销售利润有可能达到3700元吗？若能，请求出此时的销售单价；若不能，请说明理由．
【分析】（1）设每个背包售价为x元，根据这种背包的月均销量不低于130个，即可得出关于x的一元
一次不等式，解之即可得出x的取值范围；
（2）利用总利润＝每个的销售利润×月销售量，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其符合题意的
值即可得出结论；
（3）这种书包的销售利润不能达到3700元，利用总利润＝每个的销售利润×月销售量，即可得出关于x的一元二次方程，由根的判别式Δ＝﹣36＜0，即可得出该方程没有实数根，即这种书包的销售利润不
能达到3700元．
【解答】解：（1）设每个背包售价为x元，
依题意得：280﹣10（x﹣40）≥130，
解得：x≤55，
∴x的最大值为55，
即每个背包售价应不高于55元．
故答案为：55．
（2）依题意得：（x﹣30）[280﹣10（x﹣40）]＝3120，
整理得：x2﹣98x+2352＝0，
解得：x ＝42，x ＝56（不符合题意，舍去）．
1 2
答：当该这种书包销售单价为42元时，销售利润是3120元．
（3）这种书包的销售利润不能达到3700元，理由如下：
依题意得：（x﹣30）[280﹣10（x﹣40）]＝3700，
整理得：x2﹣98x+2410＝0，
∵Δ＝（﹣98）2﹣4×1×2410＝﹣36＜0，
∴该方程没有实数根，
即这种书包的销售利润不能达到3700元．
【点评】本题考查了一元二次方程的应用、一元一次不等式的应用以及根的判别式，解题的关键是：
（1）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式；（2）找准等量关系，正确列出一元二次方程；
（3）牢记“当Δ＜0时，方程无实数根”．
10．（2022秋•渝北区期末）世界杯是世界上级别最高的足球赛事，2022年世界杯在卡塔尔隆重举行，今
年世界杯的吉祥物是“拉伊卜”，它的设计灵感来源于阿拉伯标志型的白头巾，某网店现售有一大一小
两种型号的“拉伊卜”摆件，已知每个大摆件的售价是每个小摆件售价的 2倍还多60元，420元可购买
一个大摆件和一个小摆件．
（1）每个“拉伊卜”大摆件和小摆件的售价分别是多少？
（2）第一天该网店按照原售价卖出大摆件30个，小摆件100个，因为小摆件库存量大，第二天商家调
整了销售方案，大摆件的价格不变，小摆件的价格下调2m元，调整后，当天大摆件的销量下降了个，小摆件的销量增加了 个，当天的销售额达到了20520元，求降价后的小摆件的价格．
【分析】（1）设每个“拉伊卜”大摆件的售价是x元，小摆件的售价是y元，根据“每个大摆件的售
价是每个小摆件售价的2倍还多60元，420元可购买一个大摆件和一个小摆件”，可得出关于x，y的
二元一次方程组，解之即可得出结论；
（2）利用销售总额＝销售单价×销售数量，可得出关于m的一元二次方程，解之即可得出m的值，将
符合题意的值代入（120﹣2m）中即可得出结论．
【解答】解：（1）设每个“拉伊卜”大摆件的售价是x元，小摆件的售价是y元，
根据题意得： ，
解得： ．
答：每个“拉伊卜”大摆件的售价是300元，小摆件的售价是120元；
（2）根据题意得：300×（30﹣ m）+（120﹣2m）×（100+ m）＝20520，
整理得：m2+10m﹣96＝0，
解得：m ＝6，m ＝﹣16（不符合题意，舍去），
1 2
∴120﹣2m＝120﹣2×6＝108．
答：降价后每个小摆件的价格是108元．
【点评】本题考查了一元二次方程的应用以及二元一次方程组的应用，解题的关键是：（1）找准等量
关系，正确列出二元一次方程组；（2）找准等量关系，正确列出一元二次方程．
11．（2022秋•合川区期末）2022年暑期，我区遭遇连续高温和干旱，一居民小区的部分绿化树枯死．小
区物业管理公司决定补种绿化树，计划购买小叶榕和香樟共50棵进行栽种．其中小叶榕每棵680元，
香樟每棵1000元，经测算，购买两种树共需38800元．
（1）原计划购买小叶榕、香樟各多少棵？
（2）实际购买时，经物业管理公司与商家协商，每棵小叶榕和香樟的售价均下降10m元（m≤10），
且两种树的售价每降低10元，物业管理公司将在原计划的基础上多购买小叶榕2棵，香樟1棵．物业
管理公司实际购买的费用比原计划多3600元，求物业管理公司实际购买两种树共多少棵？
【分析】（1）设原计划购买小叶榕x棵，香樟y棵，利用总价＝单价×数量，结合计划用38800元购买
小叶榕和香樟共50棵，可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论；
（2）利用总价＝单价×数量，可得出关于m的一元二次方程，解之即可得出m的值，再将其符合题意的值代入（35+2× +15+ ）中，即可求出结论．
【解答】解：（1）设原计划购买小叶榕x棵，香樟y棵，
根据题意得： ，
解得： ．
答：原计划购买小叶榕35棵，香樟15棵；
（2）根据题意得：（680﹣10m）（35+2× ）+（1000﹣10m）（15+ ）＝38800+3600，
整理得：m2﹣62m+120＝0，
解得：m ＝2，m ＝60（不符合题意，舍去），
1 2
∴35+2× +15+ ＝35+2× +15+ ＝56．
答：物业管理公司实际购买两种树共56棵．
【点评】本题考查了一元二次方程的应用以及二元一次方程组的应用，解题的关键是：（1）找准等量
关系，正确列出二元一次方程组；（2）找准等量关系，正确列出一元二次方程．
12．（2022秋•江阴市期末）某校为表彰“学生节”中表现优异的学生，计划购买古典诗词和散文两类图
书作为奖品．已知古典诗词类图书每本60元，散文类图书每本40元．为弘扬中国传统文化，商家决定
对古典诗词类图书推出销售优惠活动，但是散文类图书售价不变．若购买古典诗词类图书不超过 40本
时，均按每本60元价格销售；超过40本时，每增加2本，单价降低1元．
（1）如果购买古典诗词类图书46本，则每本古典诗词类图书的单价是 5 7 元；
（2）如果该校共购进图书100本，用去购书款4750元．求该校购进古典诗词类图书多少本？
【分析】（1）利用每本古典诗词类图书的单价＝60﹣1× ，即可求出结论；
（2）设该校购进古典诗词类图书x本，则购进散文类图书（100﹣x）本，分x≤40及x＞40两种情况考
虑，当x≤40时，利用总价＝单价×数量，可得出关于x的一元一次方程，解之可得出x的值，结合x为
正整数，可得出该情况不符合题意，舍去；当x＞40时，利用总价＝单价×数量，可得出关于x的一元
二次方程，解之取其符合题意的值即可得出结论．
【解答】解：（1）根据题意得：60﹣1× ＝60﹣1× ＝60﹣3＝57（元）．
故答案为：57；
（2）设该校购进古典诗词类图书x本，则购进散文类图书（100﹣x）本．当x≤40时，60x+40（100﹣x）＝4750，
解得：x＝ ，
又∵x为正整数，
∴x＝ 不符合题意，舍去；
当x＞40时，（60﹣1× ）x+40（100﹣x）＝4750，
整理得：x2﹣80x+1500＝0，
解得：x ＝30（不符合题意，舍去），x ＝50．
1 2
答：该校购进古典诗词类图书50本．
【点评】本题考查了一元二次方程的应用、一元一次方程的应用以及有理数的混合运算，找准等量关系，
正确列出一元一次方程（一元二次方程）是解题的关键．
13．（2022秋•万州区期末）某水果店以相同的进价购进两批樱桃，第一批 80千克，每千克16元出售；
第二批60千克，每千克18元出售，两批车厘子全部售完，店主共获利960元．
（1）求樱桃的进价是每千克多少元？
（2）该水果店一相同的进价购进第三批樱桃若干，第一天将樱桃涨价到每千克20元出售，结果仅售出
40千克；为了尽快售完第三批樱桃，第二天店主决定在第一天售价的基础上降价促销，若在第一天售
价基础上每降价1元，第二天的销售量就在第一天的基础上增加10千克．到第二天晚上关店时樱桃售
完，店主销售第三批樱桃获得的利润为850元，求第二天樱桃的售价是每千克多少元？
【分析】（1）设樱桃的进价是每千克x元，根据总利润＝两批樱桃利润之和列出方程，解方程即可；
（2）设第二天的售价为每千克y元，则第二天的销量为[40+（20﹣y）×10]千克，根据两天樱桃获得的
利润之和＝850列出一元二次方程，解方程即可．
【解答】解：（1）设樱桃的进价是每千克x元，
依题意得：16×80+18×60﹣（80+60）x＝960，
解得：x＝10，
答：樱桃的进价是每千克10元；
（2）设第二天的售价为每千克y元，则第二天的销量为[40+（20﹣y）×10]千克，
依题意得：20×40+y[40+（20﹣y）×10]﹣10[80+（20﹣y）×10]＝850，
整理得：y2﹣34y+285＝0，
解得：y ＝15，y ＝19，
1 2
∵为了尽快售完第三批樱桃，∴y＝15，
答：第二天樱桃的售价是每千克15元．
【点评】本题考查一元二次方程和一元一次方程的应用，关键是找到等量关系列出方程．
14．（2022秋•云浮校级期末）商场服装柜在销售中发现：某牌童装平均每天可售出 20件，每件盈利40
元．为了迎接“六一”儿童节，商场决定采取适当的降价措施，扩大销售量，增加盈利，减少库存，经
市场调查发现，如果每件童装每降价4元，那么平均每天就可多售出8件，
（1）若商场要想平均每天在销售这种童装上盈利1200元，那么每件童装应降价多少元？
（2）若商场要想平均每天在销售这种童装上盈利最多，那么每件童装应降价多少元？
【分析】（1）利用童装平均每天售出的件数×每件盈利＝每天销售这种童装利润列出方程解答即可；
（2）设每天销售这种童装利润为y，利用上面的关系列出函数，利用配方法解决问题．
【解答】解：（1）设每件童装应降价x元，根据题意列方程得，
（40﹣x）（20+2x）＝1200，
解得x ＝20，x ＝10
1 2
∵增加盈利，减少库存，
∴x＝20，
答：每件童装降价20元；
（2）设每天销售这种童装利润为y，
则y＝（40﹣x）（20+2x）＝﹣2x2+60x+800＝﹣2（x﹣15）2+1250，
答：当每件童装降价15元时，能获最大利润1250元．
【点评】此题考查利用基本数量关系：平均每天售出的件数×每件盈利＝每天销售这种童装利润列方程
与函数解决实际问题．
题型七：图形面积问题
一．选择题（共3小题）
1．（2022秋•松滋市期末）如图，某小区居民休闲娱乐中心是一块长方形（长30米，宽20米）场地，被
3条宽度相等的绿化带分为总面积为480平方米的活动场所（羽毛球，乒乓球）如果设绿化带的宽度为
x米，由题意可列方程为（ ）
A．（30﹣x）（20﹣x）＝480 B．（30﹣2x）（20﹣x）＝480C．（30﹣2x）（20﹣x）＝600 D．（30﹣x）（20﹣2x）＝480
【分析】由绿化带的宽度，可得出六块活动场所可合成长为（30﹣2x）米，宽为（20﹣x）米的长方形，
结合活动场所的总面积为480平方米，可得出关于x的一元二次方程，此题得解．
【解答】解：∵绿化带的宽度为x米，
∴六块活动场所可合成长为（30﹣2x）米，宽为（20﹣x）米的长方形．
根据题意得：（30﹣2x）（20﹣x）＝480．
故选：B．
【点评】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的
关键．
2．（2022秋•龙岗区期末）如图，把一块长为40cm，宽为30cm的矩形硬纸板的四角剪去四个相同小正方
形，然后把纸板的四边沿虚线折起，并用胶带粘好，即可做成一个无盖纸盒．若该无盖纸盒的底面积为
600cm2，设剪去小正方形的边长为x cm，则所列方程正确的为（ ）
A．（30﹣2x）（40﹣2x）＝600
B．（30+2x）（40+2x）＝600
C．30×40﹣2×30x﹣2×40x＝600
D．30×40+2×30x+2×40x＝600
【分析】由剪去小正方形的边长为x cm，可得出制作的无盖纸盒的底面为长（40﹣2x）cm，宽（30﹣
2x）cm的矩形，根据该无盖纸盒的底面积为600cm2，即可得出关于x的一元二次方程，此题得解．
【解答】解：∵剪去小正方形的边长为x cm，
∴制作的无盖纸盒的底面为长（40﹣2x）cm，宽（30﹣2x）cm的矩形．
根据题意得：（40﹣2x）（30﹣2x）＝600．
故选：A．
【点评】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的
关键．
3．（2022秋•汉阳区校级期末）如图，某农家乐老板计划在一块长 130米，宽60米的空地开挖两块形状
大小相同的垂钓鱼塘，它们的面积之和为5750平方米，两块垂钓鱼塘之间及周边留有宽度相等的垂钓
通道，则垂钓通道的宽度为（ ）A．4.5m B．5m C．5.5m D．6m
【分析】设垂钓通道的宽度为x米，则两块垂钓鱼塘可合成长为（130﹣3x）米、宽为（60﹣2x）米的
矩形，根据矩形的面积公式结合绿地的面积为5750平方米，即可得出关于x的一元二次方程，解之取
其较小值即可得出结论．
【解答】解：设垂钓通道的宽度为x米，则两块垂钓鱼塘可合成长为（130﹣3x）米、宽为（60﹣2x）
米的矩形，
根据题意得：（130﹣3x）（60﹣2x）＝5750，
整理得：3x2﹣220x+1025＝0，
解得：x ＝ ＞60（舍去），x ＝5．
1 2
即垂钓通道的宽度为5米．
故选：B．
【点评】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
二．填空题（共3小题）
4．（2022秋•澄迈县期末）如图，在宽为20米，长为32米的矩形地面上修筑同样宽的道路（图中阴影部
分），余下部分种植草坪，要使草坪的面积为 540 平方米，设道路的宽为 x 米，则可列方程为
（ 3 2 ﹣ x ）（ 2 0 ﹣ x ）＝ 54 0 ．
【分析】由道路的宽为x米，可得出种植草坪的部分可合成长为（32﹣x）米，宽为（20﹣x）米的矩形，
根据草坪的面积为540平方米，即可得出关于x的一元二次方程，此题得解．
【解答】解：∵道路的宽为x米，
∴种植草坪的部分可合成长为（32﹣x）米，宽为（20﹣x）米的矩形．
依题意得：（32﹣x）（20﹣x）＝540．
故答案为：（32﹣x）（20﹣x）＝540．
【点评】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
5．（2022秋•山西期末）如图，李大爷要建一个矩形羊圈，羊圈的一边利用长为12m的住房墙，另外三边
用25m长的彩钢围成，为了方便进出，在垂直于住房墙的一边留了一扇1m宽的门．若要使羊圈的面积
为80m2，则所围矩形与墙垂直的一边长为 8 m．
【分析】设所围矩形与墙垂直的一边长为x m，则与墙平行的一边长为（25+1﹣2x）m，根据羊圈的面
积为80m2，可得出关于x的一元二次方程，解之取其符合题意的值，即可得出结论．
【解答】解：设所围矩形与墙垂直的一边长为x m，则与墙平行的一边长为（25+1﹣2x）m，
根据题意得：x（25+1﹣2x）＝80，
整理得：x2﹣13x+40＝0，
解得：x ＝5，x ＝8，
1 2
当x＝5时，25+1﹣2x＝25+1﹣2×5＝16＞12，不符合题意，舍去；
当x＝8时，25+1﹣2x＝25+1﹣2×8＝10＜12，符合题意，
∴x＝8，
∴所围矩形与墙垂直的一边长为8m．
故答案为：8．
【点评】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
6．（2022秋•遵义期末）如图，在一个长为60m，宽为40m的矩形场地内修筑两条等宽的道路，剩余部分
为绿化用地，如果绿化用地的面积为2204m2，那么道路的宽为 2 m．
【分析】设道路的宽为x m，则剩余部分可合成长为（60﹣x）m，宽为（40﹣x）m的矩形，根据绿化
用地的面积为2204m2，可得出关于x的一元二次方程，解之取其符合题意的值，即可得出结论．
【解答】解：设道路的宽为x m，则剩余部分可合成长为（60﹣x）m，宽为（40﹣x）m的矩形，
根据题意得：（60﹣x）（40﹣x）＝2204，整理得：x2﹣100x+196＝0，
解得：x ＝2，x ＝98（不符合题意，舍去），
1 2
∴道路的宽为2m．
故答案为：2．
【点评】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
三．解答题（共10小题）
7．（2023春•二道区校级期末）哈市某展览馆计划将长60米，宽40米的矩形场馆重新布置，展览馆的中
间是个1500平方米的矩形展览区，四周留有等宽的通道．求通道的宽为多少米？
【分析】设通道的宽为x米，则展览区的长为（60﹣2x）米，宽为（40﹣2x）米，根据矩形展览区的面
积为1500平方米，可得出关于x的一元二次方程，解之取其符合题意的值即可得出结论．
【解答】解：设通道的宽为x米，则展览区的长为（60﹣2x）米，宽为（40﹣2x）米，
根据题意得：（60﹣2x）（40﹣2x）＝1500，
整理得：x2﹣50x+225＝0，
解得：x ＝5，x ＝45（不符合题意，舍去）．
1 2
答：通道的宽为5米．
【点评】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
8．（2022秋•天山区校级期末）如图，某中学准备建一个面积为 150m2的矩形花园，它的一边利用图书馆
的后墙，另外三边所围的栅栏的总长度是40m，求垂直于墙的边AB的长度？（后墙MN最长可利用25
米）
【分析】设AB为x m，则BC为（40﹣2x）m，根据题意可得等量关系：矩形的长×宽＝150，根据等量
关系列出方程，再解即可．
【解答】解：设AB为x m，则BC为（40﹣2x）m，根据题意得方程：x（40﹣2x）＝150，
2x2﹣40x+150＝0，
解得；x ＝15，x ＝5，
1 2
∵40﹣2x≤25，
解得：x＝15，
答：垂直于墙的边AB的长度为15米．
【点评】此题主要考查了一元二次方程的应用，关键是正确理解题意，找出题目中的等量关系，设出未
知数，列出方程．
9．（2022秋•德城区期末）如图，某校要在校门口建一个体温超标临时隔离区，隔离区为长方形，面积为
10平方米，隔离区的一面利用学校边墙（墙长4.5米），其它三面用防疫隔离材料搭建，与墙垂直的一
边还要开一扇1米宽的进出口（不需材料），已知共用防疫隔离材料8米，求这个隔离区的长AB是多
少米？
【分析】设这个隔离区的长AB是x米，则另一边BC的长为 （8﹣x+1）米，根据隔离区的面积为10
平方米，可得出关于x的一元二次方程，解之可得出x的值，再结合墙长4.5米，即可得出结论．
【解答】解：设这个隔离区的长AB是x米，则另一边BC的长为 （8﹣x+1）米，
根据题意得：x• （8﹣x+1）＝10，
整理得：x2﹣9x+20＝0，
解得：x ＝5，x ＝4，
1 2
∵墙长4.5米，
∴x＝4．
答：这个隔离区的长AB是4米．
【点评】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
10．（2022秋•钦州期末）如图①，某校进行校园改造，准备将一块正方形空地划出部分区域栽种鲜花，
原空地一边减少了4m，另一边减少了5m，剩余部分面积为650m2．（1）求原正方形空地的边长；
（2）在实际建造时，从校园美观和实用的角度考虑，按图②的方式进行改造，先在正方形空地一侧建
成1m宽的画廊，再在余下地方建成宽度相等的两条小道后，其余地方栽种鲜花，如果栽种鲜花区域的
面积为812m2，求小道的宽度．
【分析】（1）设原正方形空地的边长为x m，则剩余部分长（x﹣4）m，宽（x﹣5）m，根据剩余部分
面积为650m2，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论；
（2）设小道的宽度为y m，则栽种鲜花的区域可合成长（30﹣y）m，宽（30﹣1﹣y）m的矩形，根据
栽种鲜花区域的面积为812m2，即可得出关于y的一元二次方程，解之取其符合题意的值即可得出结论．
【解答】解：（1）设原正方形空地的边长为x m，则剩余部分长（x﹣4）m，宽（x﹣5）m，
依题意得：（x﹣4）（x﹣5）＝650，
整理得：x2﹣9x﹣630＝0，
解得：x ＝30，x ＝﹣21（不合题意，舍去）．
1 2
答：原正方形空地的边长为30m．
（2）设小道的宽度为y m，则栽种鲜花的区域可合成长（30﹣y）m，宽（30﹣1﹣y）m的矩形，
依题意得：（30﹣y）（30﹣1﹣y）＝812，
整理得：y2﹣59y+58＝0，
解得：y ＝1，y ＝58（不合题意，舍去）．
1 2
答：小道的宽度为1m．
【点评】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
11．（2022秋•南岸区期末）如图，一个长为a cm，宽为b cm的矩形铁片．
（1）如果a＝30，b＝20，在矩形的中央挖掉一个200cm2的矩形后，成为一个各条边一样宽的铁框，求
这个铁框的宽度；
（2）如果a＝2b，在四个角上分别裁掉四个边长为4cm的正方形，把它制作成一个体积为4576cm3的无
盖长方体，求原矩形的面积．【分析】（1）直接利用已知表示出里面矩形的边长，进而得出答案；
（2）利用已知表示出长方体的体积，进而求出a，b的值，进而得出答案．
【解答】解：（1）设这个铁框的宽度为x cm，根据题意可得：
（30﹣2x）（20﹣2x）＝200，
解得：x ＝5，x ＝20（不合题意舍去），
1 2
答：这个铁框的宽度为5cm；
（2）由题意可得：4（a﹣8）（b﹣8）＝4576，
则4（2b﹣8）（b﹣8）＝4576，
解得：b ＝30，b ＝﹣18（不合题意舍去），
1 2
则a＝30×2＝60（cm），
故ab＝30×60＝1800（cm2），
答：原矩形的面积为1800cm2．
【点评】此题主要考查了一元二次方程的应用，正确表示出长方体的体积是解题关键．
12．（2022秋•鞍山期末）如图1，将一张宽10cm的矩形硬纸片裁剪掉图中阴影部分（两个正方形，两个
矩形）之后，恰好折成如图 2的底面为正方形的有盖纸盒（底面积大于侧面积），纸盒侧面积为
32cm2，求该有盖纸盒的底面边长．（单位：cm）
【分析】设剪掉的小正方形的边长为x cm，则该有盖纸盒的底面边长为（10﹣2x）cm，根据纸盒侧面
积为32cm2，可得出关于x的一元二次方程，解之即可得出x的值，结合底面积大于侧面积，可确定x的值，再将其代入（10﹣2x）中，即可求出结论．
【解答】解：设剪掉的小正方形的边长为x cm，则该有盖纸盒的底面边长为（10﹣2x）cm，
根据题意得：4x（10﹣2x）＝32，
整理得：x2﹣5x+4＝0，
解得：x ＝1，x ＝4，
1 2
当x＝1时，（10﹣2x）2＝（10﹣2×1）2＝64＞32，符合题意，此时10﹣2x＝10﹣2×1＝8；
当x＝4时，（10﹣2x）2＝（10﹣2×4）2＝4＜32，不符合题意，舍去．
答：该有盖纸盒的底面边长为8cm．
【点评】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
13．（2022秋•官渡区期末）2022年9月，教育部正式印发《义务教育课程方案》，《劳动教育》成为一
门独立的课程，官渡区某学校率先行动，在校园开辟了一块劳动教育基地：一面利用学校的墙（墙的最
大可用长度为22米），用长为34米的篱笆，围成中间隔有一道篱笆的矩形菜地，在菜地的前端各设计
了两个宽1米的小门，供同学们进行劳动实践，若设菜地的宽AB为x米．
（1）BC＝ （ 3 6 ﹣ 3 x ） 米（用含x的代数式表示）；
（2）若围成的菜地面积为96平方米，求此时的宽AB．
【分析】（1）根据各边之间的关系，可得出长BC为（36﹣3x）米；
（2）根据围成的菜地面积为96平方米，可得出关于x的一元二次方程，解之取其符合题意的值，即可
得出结论．
【解答】解：（1）∵篱笆的总长为34米，菜地的前端各设计了两个宽1米的小门，且菜地的宽AB为
x米，
∴长BC为34+2﹣3x＝（36﹣3x）米．
故答案为：（36﹣3x）；
（2）根据题意得：x（36﹣3x）＝96，
整理得：x2﹣12x+32＝0，
解得：x ＝4，x ＝8．
1 2
当x＝4时，36﹣3x＝36﹣3×4＝24＞22，不符合题意，舍去；
当x＝8时，36﹣3x＝36﹣3×8＝12＜22，符合题意．答：当围成的菜地面积为96平方米时，宽AB为8米．
【点评】本题考查了一元二次方程的应用以及列代数式，解题的关键是：（1）根据各边之间的关系，
用含x的代数式表示出BC的长；（2）找准等量关系，正确列出一元二次方程．
14．（2022秋•安次区期末）某小区计划用40米的篱笆围一个矩形花坛，其中一边靠墙（墙足够长，篱笆
要全部用完）．
（1）如图1，问AB为多少米时，矩形ABCD的面积为200平方米？
（2）如图2，矩形EMNF的面积比（1）中的矩形ABCD面积减小20平方米，小明认为只要此时矩形
的长MN比图①中矩形的长BC少2米就可以了．请你通过计算，判断小明的想法是否正确．
【分析】（1）设AB＝x米，则BC＝（40﹣2x）米，根据矩形ABCD的面积为200平方米，即可得出关
于x的一元二次方程，解之即可得出结论；
（2）代入x＝10可求出BC的长，由MN＝BC﹣2，可求出MN的长，结合篱笆要全部用完，可求出EM
的长，再利用矩形的面积计算公式，即可求出矩形EMNF的面积，将其与（200﹣20）比较后即可得出
结论．
【解答】解：（1）设AB＝x米，则BC＝（40﹣2x）米，
依题意得：x（40﹣2x）＝200，
整理得：x2﹣20x+100＝0，
解得：x ＝x ＝10．
1 2
答：AB为10米时，矩形ABCD的面积为200平方米．
（2）由（1）可知：BC＝40﹣2x＝40﹣2×10＝20．
∵MN＝BC﹣2＝20﹣2＝18（米），
∴EM＝ ＝ ＝11（米），
∴矩形EMNF的面积＝MN•EM＝18×11＝198（平方米），200﹣20＝180≠198，
∴小明的想法不正确．
【点评】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
15．（2022秋•渝中区期末）渝中区正在进行旧城改造和旅游升级，即将改造完毕的大田湾体育场外广场
正在打造体育生态公园，实现体育与环境的完美结合，为周边群众创造更加舒适的健身休闲环境．体育场准备利用一堵呈“L”形的围墙（粗线A﹣B﹣C表示墙，墙足够高）改建室外篮球场，如图所示，已
知AB⊥BC，AB＝10米，BC＝70米，现计划用总长为121米的围网围建呈“日”字形的两个篮球场，
并在每个篮球场开一个宽2米的门，如图所示（细线表示围网，两个篮球场之间用围网 GH隔开），为
了充分利用墙体，点F必须在线段BC上．
（1）如图，设EF的长为x米，则DE＝ （ 13 5 ﹣ 3 x ） 米；（用含x的代数式表示）
（2）若围成的篮球场BDEF的面积为1500平方米，求篮球场的宽EF的长；（围网及墙体所占面积忽
略不计）
（3）篮球场BDEF的面积能否达到2000平方米？请说明理由．
【分析】（1）根据各边之间的关系，即可用含x的代数式表示出DE的长；
（2）根据围成的篮球场BDEF的面积为1500平方米，可得出关于x的一元二次方程，解之取其符合题
意的值，即可得出结论；
（3）篮球场BDEF的面积不能达到2000平方米，根据围成的篮球场BDEF的面积为2000平方米，可
得出关于x的一元二次方程，由根的判别式Δ＝﹣5775＜0，可得出该方程没有实数根，即篮球场BDEF
的面积不能达到2000平方米．
【解答】解：（1）设EF的长为x米，则DE的长为121+2+2﹣（3x﹣10）＝（135﹣3x）米．
故答案为：（135﹣3x）；
（2）根据题意得：x（135﹣3x）＝1500，
整理得：x2﹣45x+500＝0，
解得：x ＝20，x ＝25，
1 2
当x＝20时，135﹣3x＝135﹣3×20＝75＞70，不符合题意，舍去；
当x＝25时，135﹣3x＝135﹣3×25＝60＜70，符合题意．
答：篮球场的宽EF的长为25米；
（3）篮球场BDEF的面积不能达到2000平方米，理由如下：
根据题意得：x（135﹣3x）＝2000，
整理得：3x2﹣135x+2000＝0，
∵Δ＝（﹣135）2﹣4×3×2000＝﹣5775＜0，
∴该方程没有实数根，即篮球场BDEF的面积不能达到2000平方米．
【点评】本题考查了一元二次方程的应用、列代数式以及根的判别式，解题的关键是：（1）根据各边
之间的关系，用含x的代数式表示出DE的长；（2）找准等量关系，正确列出一元二次方程；（3）牢
记“当Δ＜0时，方程无实数根”．
16．（2022秋•赫山区期末）某扶贫单位为了提高贫困户的经济收入，购买了39m的铁栅栏，准备用这些
铁栅栏为贫困户靠墙（墙长15m）围建一个中间带有铁栅栏的矩形养鸡场（如图所示）．
（1）若要建的矩形养鸡场面积为120m2，求鸡场的长AB和宽BC；
（2）该扶贫单位想要建一个130m2的矩形养鸡场，这一想法能实现吗？请说明理由．
【分析】（1）设BC＝x m，则可表示出长AB，由面积关系即可列出方程，解方程即可．
（2）设BC＝x m，则可表示出长AB，由面积关系即可列出方程，根据方程是否有解或方程的解是否符
合题意，即可作出判断．
【解答】解：（1）设BC＝x m，则AB＝（39﹣3x）m，
由题意得：x（39﹣3x）＝120，
整理得：x2﹣13x+40＝0，
解得：x ＝5，x ＝8，
1 2
当x＝5时，39﹣3x＝24＞15，不符合题意；当x＝8时，39﹣3x＝15，符合题意；
答：鸡场的长AB和宽BC分别为15m与8m．
（2）设BC＝x m，则AB＝（39﹣3x）m，
由题意得：x（39﹣3x）＝130，
整理得：3x2﹣39x+130＝0，
Δ＝（﹣39）2﹣4×3×130＝1521﹣1560＜0，
方程无实数解；
所以想法不能实现．
【点评】本题考查了一元二次方程的应用，正确列出方程是解题的关键．
题型八：动态几何问题
一．选择题（共1小题）
1．（2020秋•来宾期末）如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝8cm，BC＝6cm．动点P，Q分别从点A，B同时开始移动，点P在AB上以1cm/s的速度向B点移动，点Q在BC上以2cm/s的速度向C点移
动．当点Q移动到点C后停止，点P也随之停止移动．下列时刻中，能使△PBQ的面积为15cm2的是
（ ）
A．2s B．3s C．4s D．5s
【分析】设当运动时间为t秒时，△PBQ的面积为15cm2，利用三角形面积的计算公式，可得出关于 t
的一元二次方程，解之即可得出t值，再结合当点Q移动到点C后停止点P也随之停止移动，即可确定
t值．
【解答】解：设当运动时间为t秒时，△PBQ的面积为15cm2，
依题意得： ×（8﹣t）×2t＝15，
整理得：t2﹣8t+15＝0，
解得：t ＝3，t ＝5．
1 2
又∵2t≤6，
∴t≤3，
∴t＝3．
故选：B．
【点评】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
二．填空题（共1小题）
2．（2021秋•兰山区期末）如图，在Rt△ACB中，∠C＝90°，AC＝30cm，BC＝25cm，动点P从点C出
发，沿CA方向运动，速度是2cm/s；同时，动点Q从点B出发，沿BC方向运动，速度是1cm/s，则经
过 1 0 s后，P，Q两点之间相距25cm．
【分析】设x秒后P、Q两点相距25cm，用x表示出CP、CQ，根据勾股定理列出方程，解方程即可．【解答】解：设x秒后P、Q两点相距25cm，
则CP＝2xcm，CQ＝（25﹣x）cm，
由题意得，（2x）2+（25﹣x）2＝252，
解得，x ＝10，x ＝0（舍去），
1 2
则10秒后P、Q两点相距25cm．
故答案为：10．
【点评】本题考查了一元二次方程的应用．解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出
合适的等量关系，列出方程，再求解．
三．解答题（共2小题）
3．（2022秋•青云谱区校级期末）如图，△ABC中，∠C＝90°，AC＝16cm，BC＝8cm，一动点P从点C
出发沿着CB方向以2cm/s的速度运动，另一动点Q从A出发沿着AC边以4cm/s的速度运动，P、Q两
点同时出发，运动时间为t（s）．
（1）若△PCQ的面积是△ABC面积的 ，求t的值？
（2）△PCQ的面积能否与四边形ABPQ面积相等？若能，求出t的值；若不能，说明理由．
【分析】（1）当运动时间为t s时，CP＝2t，CQ＝（16﹣4t）cm，根据△PCQ的面积是△ABC面积的
，即可得出关于t的一元二次方程，解之即可得出结论；
（2）△PCQ的面积不能与四边形ABPQ面积相等，根据△PCQ的面积与四边形ABPQ面积相等（即
△PCQ的面积是△ABC面积的 ），即可得出关于t的一元二次方程，由根的判别式Δ＝﹣16＜0，即
可得出该方程没有实数根．进而可得出△PCQ的面积不能与四边形ABPQ的面积相等．
【解答】解：（1）当运动时间为t s时，CP＝2t，CQ＝（16﹣4t）cm，根据题意得： ×2t（16﹣4t）＝ × ×8×16，
整理得：t2﹣4t+4＝0，
解得：t ＝t ＝2．
1 2
答：t的值为2．
（2）△PCQ的面积不能与四边形ABPQ面积相等，理由如下：
当运动时间为t s时，CP＝2t，CQ＝（16﹣4t）cm，
根据题意得： ×2t（16﹣4t）＝ × ×8×16，
整理得：t2﹣4t+8＝0，
∵Δ＝（﹣4）2﹣4×1×8＝﹣16＜0，
∴该方程没有实数根．
∴△PCQ的面积不能与四边形ABPQ的面积相等．
【点评】本题考查了一元二次方程的应用以及根的判别式，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确
列出一元二次方程；（2）牢记“当Δ＜0时，方程无实数根”．
4．（2022秋•澄迈县期末）如图，△ABC中，∠B＝90°，AB＝5cm，BC＝7cm，点P从点A开始沿AB边
向点B以1cm/s的速度移动，同时点Q从点B开始，沿BC边向点C以2cm/s的速度移动，点Q到达点
C后，点P停止运动．
（1）经过t s后（t＞0），△PBQ的面积等于4cm2，求t的值；
（2）经过t s后，（t＞0），PQ的长度为5cm，求t的值；
（3）△PBQ的面积能否等于8cm2？
【分析】利用时间＝路程÷速度，可求出点P到达点B及点Q到达点C所需时间，比较后可得出0＜t≤
，当运动时间为t s时，BP＝（5﹣t）cm，BQ＝2t cm．
（1）根据△PBQ的面积等于4cm2，可得出关于t的一元二次方程，解之取其符合题意的值即可得出结论；
（2）利用勾股定理，可得出关于t的一元二次方程，解之取其符合题意的值即可得出结论；
（3）△PBQ的面积不能等于8cm2，假设△PBQ的面积能等于8cm2，根据△PBQ的面积等于8cm2，可
得出关于t的一元二次方程，由根的判别式 Δ＝﹣7＜0，可得出该方程没有实数根，假设不成立，即
△PBQ的面积不能等于8cm2．
【解答】解：∵5÷1＝5（s），7÷2＝ （s），5＞ ，
∴0＜t≤ ．
当运动时间为t s时，BP＝（5﹣t）cm，BQ＝2t cm．
（1）根据题意得： BP•BQ＝4，
即 （5﹣t）×2t＝4，
整理得：t2﹣5t+4＝0，
解得：t ＝1，t ＝4（不符合题意，舍去）．
1 2
答：t的值为1；
（2）根据题意得：（5﹣t）2+（2t）2＝52，
整理得：t2﹣2t＝0，
解得：t ＝0（不符合题意，舍去），t ＝2．
1 2
答：t的值为2；
（3）△PBQ的面积不能等于8cm2，理由如下：
假设△PBQ的面积能等于8cm2，根据题意得： BP•BQ＝8，
即 （5﹣t）×2t＝8，
整理得：t2﹣5t+8＝0，
∵Δ＝（﹣5）2﹣4×1×8＝﹣7＜0，
∴该方程没有实数根，
∴假设不成立，即△PBQ的面积不能等于8cm2．
【点评】本题考查了一元二次方程的应用、勾股定理以及根的判别式，找准等量关系，正确列出一元二
次方程是解题的关键．
