文档文本内容
专题02 利用一元二次方程的解求值（举一反三专项训练）
【新教材人教版】
【题型1 逢解必带-定义法】...................................................................................................................................1
【题型2 逢解必带-整体法】...................................................................................................................................3
【题型3 逢解必带-消参法】...................................................................................................................................5
【题型4 逢解必带-降次法】...................................................................................................................................7
【题型5 逢解必带-换元法】...................................................................................................................................9
【题型6 含参定根-与根无关】.............................................................................................................................11
【题型7 含参定根-比较系数】.............................................................................................................................12
【题型8 公共根-设根消参】.................................................................................................................................13
【题型1 逢解必带-定义法】
【例1】（2026·江西上饶·三模）已知关于x 的一元二次方程(𝑎−2)𝑥2−3𝑥+ 𝑎2−4 = 0有一个根为𝑥= 0，则
𝑎= ______．
【答案】−2
【分析】根据一元二次方程的概念得到𝑎−2 ≠0，再把𝑥= 0代入计算，由此得到a 的值．
【详解】解：关于x 的一元二次方程(𝑎−2)𝑥2−3𝑥+ 𝑎2−4 = 0有一个根为𝑥= 0，
∴𝑎−2 ≠0，𝑎2−4 = 0，
∴𝑎1 = −2,𝑎2 = 2且𝑎≠2，
∴𝑎= −2 ．
【变式1-1】（2026·四川宜宾·一模）已知关于x 的一元二次方程(𝑎+ 1)𝑥2−2𝑥+ 𝑎2 +𝑎= 0有一个根为
𝑥= 0，则a 的值为__________.
【答案】0
【分析】根据题意得到𝑎+ 1 ≠0且𝑎2 +𝑎= 0，即可求出a 的值．
【详解】解：∵关于x 的一元二次方程(𝑎+ 1)𝑥2−2𝑥+ 𝑎2 +𝑎= 0有一个根为𝑥= 0，
∴𝑎+ 1 ≠0且𝑎2 +𝑎= 0，
解得𝑎= 0．
题型归纳
【变式1-2】（25-26 九年级上·重庆·期中）已知𝑥= −1是一元二次方程(𝑘−3)𝑥2 + (𝑘2−4)𝑥−𝑘+ 8 = 0的一
个根，则𝑘的值是（ ）
A．3
B．−3
C．−3或3
D．−2或2
【答案】B
【分析】本题考查了一元二次方程的定义，一元二次方程的解，把𝑥= −1代入方程，求出k 的值，然后结
合一元二次方程定义求解即可．
【详解】解：∵𝑥= −1是一元二次方程(𝑘−3)𝑥2 + (𝑘2−4)𝑥−𝑘+ 8 = 0的一个根，
∴(𝑘−3) ⋅(−1)2 + (𝑘2−4) ⋅(−1)−𝑘+ 8 = 0，
解得 𝑘=± 3，
∵方程(𝑘−3)𝑥2 + (𝑘2−4)𝑥−𝑘+ 8 = 0是一元二次方程，
∴ 𝑘−3 ≠0，
解得𝑘≠3
∴𝑘= −3
故选 ：B．
【变式1-3】（25-26 九年级下·江西九江·期中）已知一元二次方程(𝑚−1)𝑥2 + (2𝑚+ 1)𝑥+ 𝑚= 0有一个根
是1，则另一个根是（ ）
A．−1
B．2
C．1
D．0
【答案】D
【分析】本题考查一元二次方程的根，根据方程根的定义，将已知根𝑥= 1代入原方程求出𝑚的值，再将𝑚
代回原方程求解，即可得到另一个根，解题需注意一元二次方程二次项系数不为0 的隐含条件.
【详解】解：∵一元二次方程(𝑚−1)𝑥2 + (2𝑚+ 1)𝑥+ 𝑚= 0有一个根是1
∴将𝑥= 1代入原方程得(𝑚−1) ⋅12 + (2𝑚+ 1) ⋅1 + 𝑚= 0，
化简得𝑚−1 + 2𝑚+ 1 + 𝑚= 0，即4𝑚= 0，解得𝑚= 0.
∵原方程是一元二次方程，
∴二次项系数𝑚−1 ≠0，
𝑚= 0满足该条件，符合要求.
将𝑚= 0代入原方程，得−𝑥2 +𝑥= 0，
提取公因式得𝑥(−𝑥+ 1) = 0解得𝑥1 = 1，𝑥2 = 0
∴方程的另一个根是0.
故选：D.
【题型2 逢解必带-整体法】
【例2】（24-25 九年级上·湖南衡阳·月考）已知：𝑎是方程𝑥2 +2023𝑥−1 = 0的一个根，求代数式𝑎(𝑎+ 1)(𝑎−1)
+2023𝑎2 +1的值是_________．
【答案】1
【分析】本题考查了整式的混合运算-化简求值，一元二次方程的解，准确熟练地进行计算是解题的关键．先
根据一元二次方程的解得出𝑎2 +2023𝑎= 1，然后对代数式去括号，合并同类项，最后把𝑎2 +2023𝑎= 1代
入化简后的式子进行计算，即可解答．
【详解】解：∵a 是方程𝑥2 +2023𝑥−1 = 0的一个根，
∴𝑎2 +2023𝑎= 1
∴原式= 𝑎(𝑎2−1) +2023𝑎2 +1
= 𝑎3 + 2023𝑎2−𝑎+ 1
= 𝑎(𝑎2 + 2023𝑎)−𝑎+ 1
= 𝑎−𝑎+ 1
= 1．
故答案为：1
【变式2-1】（25-26 九年级上·河北保定·期末）若𝑥= 𝑎为方程𝑥2−7𝑥+ 6 = 0的一个解，则代数式2014−2𝑎2
+14𝑎的值为（ ）
A．2007
B．2019
C．2025
D．2026
【答案】D
【分析】本题考查一元二次方程的解、代数式求值，理解方程的解满足方程是解答的关键．
将𝑥= 𝑎代入方程得到𝑎2−7𝑎= −6，代入所求代数式2014−2𝑎2 +14𝑎= 2014−2(𝑎2−7𝑎)求解即可．
【详解】解：∵𝑥= 𝑎为方程𝑥2−7𝑥+ 6 = 0的一个解，
∴𝑎2−7𝑎+ 6 = 0，即𝑎2−7𝑎= −6，
∴2014−2𝑎2 +14𝑎
= 2014−2(𝑎2−7𝑎)
= 2014−2 × (−6)
= 2014 + 12
= 2026．
故选：D．
【变式2-2】（25-26 九年级上·重庆·期末）若a，b 是方程𝑥2 +𝑥−4 = 0的两个实数根，则(𝑎2 + 3𝑎−3)
(𝑏2 + 3𝑏−3)的值为_____．
【答案】−17
【分析】本题考查了根与系数的关系以及一元二次方程的解，根据一元二次方程的解及根与系数的关系找
出𝑎2 = −𝑎+ 4、𝑎+ 𝑏= −1，𝑎𝑏= −4是解题的关键．
根据一元二次方程的解得出𝑎2 +3𝑎−3 = 2𝑎+ 1，𝑏2 +3𝑏−3 = 2𝑏+ 1，进而求出(𝑎2 + 3𝑎−3)(𝑏2 + 3𝑏−3) =
(2𝑎+ 1)(2𝑏+ 1) = 4𝑎𝑏+ 2(𝑎+ 𝑏) +1，再利用根与系数的关系可得出 𝑎+ 𝑏= −1， 𝑎𝑏= −4，整体代入
化简后的表达式计算．
【详解】解：∵𝑎是方程 𝑥2 +𝑥−4 = 0 的根，
∴𝑎2 +𝑎−4 = 0，即𝑎2 = −𝑎+ 4，
∴ 𝑎2 +3𝑎−3 = (−𝑎+ 4) +3𝑎−3 = 2𝑎+ 1，
同理：𝑏2 = −𝑏+ 4．
∴(𝑎2 + 3𝑎−3)(𝑏2 + 3𝑏−3) = (2𝑎+ 1)(2𝑏+ 1) = 4𝑎𝑏+ 2(𝑎+ 𝑏) +1，
∵𝑎+ 𝑏= −1， 𝑎𝑏= −4，
∴原式= 4 × (−4) +2 × (−1) +1 = −16−2 + 1 = −17．
故答案为：−17．
【变式2-3】（25-26 九年级上·广东·期中）已知𝑎是方程𝑥2−2026𝑥+ 1 = 0的一个根，则𝑎2−2025𝑎+
2026
𝑎2+1的
值为（ ）
A．2023
B．2024
C．2025
D．2026
【答案】C
【分析】本题考查了一元二次方程的根，已知式子的值求代数式的值，正确掌握相关性质内容是解题的关
键．先理解题意，则把𝑥= 𝑎代入𝑥2−2026𝑥+ 1 = 0，得𝑎2−2026𝑎+ 1 = 0，整理得𝑎2 = 2026𝑎−1，再把
𝑎2−2025𝑎+
2026
𝑎2+1整理得
𝑎2+1
𝑎−1，然后代数进行计算，即可作答．
【详解】解：∵𝑎是方程𝑥2−2026𝑥+ 1 = 0的一个根，
∴𝑎2−2026𝑎+ 1 = 0，
即𝑎2 +1 = 2026𝑎，
∴𝑎2 = 2026𝑎−1，
则𝑎2−2025𝑎+
2026
𝑎2+1
= 2026𝑎−1−2025𝑎+ 2026
2026𝑎
= 𝑎−1 + 1
𝑎
= 𝑎2 + 1
𝑎
−1
= 2026𝑎
𝑎
−1
= 2025．
故选：C．
【题型3 逢解必带-消参法】
【例3】已知条件 方程ax2 +bx + c = 0(a ≠0) 的两个根分别是 2， -3，则
a+b
c 的值为____________．
【答案】−
1
3
【详解】解：∵关于𝑥的一元二次方程𝑎𝑥2 +𝑏𝑥+ 𝑐= 0(𝑎≠0)的两根分别为−3，2，
∴ −3 + 2 = −
𝑏
𝑎,−3 × 2 =
𝑐
𝑎，
∴b=a,c=-6a,
∴a+b
c = a+a
−6a = −
1
3，
故答案为：−
1
3．
【变式3-1】（25-26 九年级上·贵州铜仁·月考）已知关于𝑥的一元二次方程𝑎𝑥2 +𝑏𝑥+ 𝑐= 0(𝑎≠0)的两根分
别为−2，1，则
𝑏
𝑐的值为____________．
【答案】−
1
2
【分析】根据一元二次方程根与系数关系，结合关于𝑥的一元二次方程𝑎𝑥2 +𝑏𝑥+ 𝑐= 0(𝑎≠0)的两根分别为
−2，1 得到−2 + 1 = −
𝑏
𝑎,−2 × 1 =
𝑐
𝑎，从而两式相除即可得到
𝑏
𝑐的值．
【详解】解：∵关于𝑥的一元二次方程𝑎𝑥2 +𝑏𝑥+ 𝑐= 0(𝑎≠0)的两根分别为−2，1，
∴ −2 + 1 = −
𝑏
𝑎,−2 × 1 =
𝑐
𝑎，
∴
𝑏
𝑐=
𝑏
𝑎
𝑐
𝑎
=
1
−2 = −
1
2，
故答案为：−
1
2．
【点睛】本题考查一元二次方程根与系数关系，熟记关于𝑥的一元二次方程𝑎𝑥2 +𝑏𝑥+ 𝑐= 0(𝑎≠0)的两根分
别为𝑥1、𝑥2，则𝑥1 + 𝑥2 = −
𝑏
𝑎,𝑥1𝑥2 =
𝑐
𝑎是解决问题的关键．
【变式3-2】已知关于 x 的一元二次方程 ax2 +bx +c =0(a ≠0)的两根为x1, x2,若满足 x1 +x2 = 2，且 x1 x
2= -3，求代数式
a+b
c 的值。
【答案】
1
3
【详解】 𝑥1 +𝑥2 = 2=−𝑏
𝑎, b = -2a
𝑥1 𝑥2= -3 = 𝑐
𝑎 , c = -3a, 𝑎+𝑏
𝑐= 𝑎−2𝑎
−3𝑎= 1
3
【变式3-3】（25-26 八年级下·浙江温州·期中）已知𝑎，𝑏，𝑐是非零实数，关于𝑥的一元二次方程𝑎𝑥2 +𝑏𝑥+
𝑐
4 = 0，𝑐𝑥2 +𝑎𝑥+
𝑏
4 = 0，𝑏𝑥2 +𝑐𝑥+
𝑎
4 = 0，有公共解，则代数式
𝑐2
𝑎𝑏−
𝑎
𝑏−
𝑏
𝑎的值为______．
【答案】2或−1
【分析】设公共解为𝑡，根据一元二次方程根的定义得到𝑎𝑡2 +𝑏𝑡+
𝑐
4 = 0，𝑐𝑡2 +𝑎𝑡+
𝑏
4 = 0，𝑏𝑡2 +𝑐𝑡+
𝑎
4
= 0，三式相加可得：𝑎+ 𝑏+ 𝑐= 0或𝑡= −
1
2，分别代入所求式可解答．
【详解】解：设公共解为𝑡，
则𝑎𝑡2 +𝑏𝑡+
𝑐
4 = 0，𝑐𝑡2 +𝑎𝑡+
𝑏
4 = 0，𝑏𝑡2 +𝑐𝑡+
𝑎
4 = 0，
三式相加得(𝑎+ 𝑏+ 𝑐)𝑡2 + (𝑎+ 𝑏+ 𝑐)𝑡+
𝑎+𝑏+𝑐
4
= 0，
即(𝑎+ 𝑏+ 𝑐) 𝑡2 + 𝑡+
1
4 = 0，
因为𝑡2 +𝑡+
1
4 = (𝑡+
1
2 )
2
≥0，
所以𝑎+ 𝑏+ 𝑐= 0或𝑡= −
1
2，
当𝑎+ 𝑏+ 𝑐= 0时，𝑐= −𝑎−𝑏，
∴原式=
𝑐2−𝑎2−𝑏2
𝑎𝑏
=
𝑎2+2𝑎𝑏+𝑏2−𝑎2−𝑏2
𝑎𝑏
= 2；
当𝑡= −
1
2时，
1
4𝑎−
1
2𝑏+
𝑐
4 = 0，
1
4𝑐−
1
2𝑎+
𝑏
4 = 0，
∴𝑐= 2𝑏−𝑎= 2𝑎−𝑏，
∴𝑎= 𝑏，
∴原式=
4𝑏2−4𝑎𝑏+𝑎2−𝑎2−𝑏2
𝑎𝑏
=
3𝑏2−4𝑎𝑏
𝑎𝑏
=
−𝑏2
𝑏2
= −1，
综上，代数式
𝑐2
𝑎𝑏−
𝑎
𝑏−
𝑏
𝑎的值为2或−1．
故答案为：2或−1．
【点睛】本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的
解，理解方程解的定义是解题的关键．
【题型4 逢解必带-降次法】
【例4】（25-26 九年级上·山东德州·期末）若𝑎是方程𝑥2−𝑥−1 = 0的一个根，则−𝑎3 +2𝑎+ 2026的值为
（ ）
A．2025
B．−2025
C．2026
D．−2026
【答案】A
【分析】本题考查了一元二次方程的根，以及代数式求值，利用方程根的性质，将𝑎2、𝑎3表示出来，然后
代入表达式化简计算，即可解题．
【详解】解：∵ a 是方程𝑥2−𝑥−1 = 0的根，
∴𝑎2−𝑎−1 = 0，即𝑎2 = 𝑎+ 1，
∴𝑎3 = 𝑎⋅𝑎2 = 𝑎⋅(𝑎+ 1) = 𝑎2 +𝑎= (𝑎+ 1) +𝑎= 2𝑎+ 1，
∴−𝑎3 +2𝑎+ 2026 = −(2𝑎+ 1) +2𝑎+ 2026 = −2𝑎−1 + 2𝑎+ 2026 = 2025．
故选：A．
【变式4-1】（25-26 八年级上·上海·期中）已知𝛼与𝛽是方程𝑥2 +𝑥−3 = 0的两个不同的根，那么代数式𝛼3−4
𝛽2 +10的值为______．
【答案】−9
【分析】本题主要考查一元二次方程根与系数关系定理，熟练掌握根与系数关系定理，活用代数式的变形
是解题的关键．由根与系数的关系可得𝛼+ 𝛽= −1，𝛼𝛽= −3，利用方程根的性质，将𝛼³和𝛽2用𝛼和𝛽表示，
代入代数式化简，最后利用𝛼+ 𝛽的值求解．
【详解】解：∵ 𝛼与𝛽是方程𝑥2 +𝑥−3 = 0的两个不同的根，
∴𝛼² = −𝛼+ 3，𝛽² = −𝛽+ 3，
∴𝛼³ = 𝛼·𝛼² = 𝛼(−𝛼+ 3) = −𝛼2 +3𝛼= −(−𝛼+ 3) +3𝛼= 4𝛼−3，
∴𝛼³−4𝛽2 +10 = (4𝛼−3)−4(−𝛽+ 3) +10 = 4𝛼−3 + 4𝛽−12 + 10 = 4𝛼+ 4𝛽−5．
由根与系数的关系可得，𝛼+ 𝛽= −1，
∴4𝛼+ 4𝛽−5 = 4(𝛼+ 𝛽)−5 = −4−5 = −9，
∴原式= −9．
故答案为：−9．
【变式4-2】（24-25 九年级上·湖北武汉·月考）如果m，n 是一元二次方程𝑥2 +𝑥−3 = 0的两个根，那么多
项式𝑚3 +3𝑛−𝑚𝑛+
3
𝑛+2032的值是_______．
【答案】2029
【分析】本题考查了根与系数的关系，一元二次方程的解，熟练掌握𝑥1，𝑥2是一元二次方程𝑎𝑥2 +𝑏𝑥+ 𝑐= 0
(𝑎≠0)的两根时，𝑥1 + 𝑥2 = −
𝑏
𝑎，𝑥1𝑥2 =
𝑐
𝑎是解题的关键．先根据根与系数的关系得出𝑚+ 𝑛= −1，
𝑚𝑛= −3，再利用一元二次方程解的定义得到𝑚2 = −𝑚+ 3，
1
𝑛=
𝑛+1
3 ，从而得到𝑚3 = 4𝑚−3，
3
𝑛= 𝑛+ 1，
则原式化简为4(𝑚+ 𝑛)−𝑚𝑛+ 2032，最后利用整体代入的方法计算即可．
【详解】解：∵𝑚、𝑛是一元二次方程𝑥2 +𝑥−3 = 0的两个实数根
∴𝑚+ 𝑛= −1，𝑚𝑛= −3，𝑚2 +𝑚−3 = 0，𝑛2 +𝑛−3 = 0
∴𝑚2 = −𝑚+ 3，𝑛(𝑛+ 1) = 3
∴𝑚3 = 𝑚(−𝑚+ 3) = −𝑚2 + 3𝑚= −(−𝑚+ 3) + 3𝑚= 4𝑚−3
1
𝑛=
𝑛+1
3 ，即
3
𝑛= 𝑛+ 1
∴𝑚3 + 3𝑛−𝑚𝑛+ 3
𝑛+ 2032
= 4𝑚−3 + 3𝑛−𝑚𝑛+ 𝑛+ 1 + 2032
= 4𝑚+ 4𝑛−𝑚𝑛−2 + 2032
= 4(𝑚+ 𝑛)−𝑚𝑛+ 2030
= 4 × (−1)−(−3) + 2030
= 2029
故答案为：2029．
【变式4-3】设α 是方程𝑥2 +4𝑥−1 = 0的一个根，则𝛼4 +8𝛼3 +14𝛼2−8𝛼−15的值为__________．
【答案】−16
【分析】本题考查一元二次方程的解、整式的化简求值，根据题意得，𝛼2 +4𝛼−1 = 0，进行整体代入求值
即可．
【详解】解：∵α 是方程𝑥2 +4𝑥−1 = 0的一个根，
∴𝛼2 +4𝛼−1 = 0，
∴𝛼4 +8𝛼3 +14𝛼2−8𝛼−15
= 𝛼2(𝛼2 + 4𝛼−1) + 4𝛼(𝛼2 + 4𝛼−1)−(𝛼2 + 4𝛼−1)−16
= −16，
故答案为：−16．
【题型5 逢解必带-换元法】
【例5】（24-25 八年级下·浙江宁波·期中）关于𝑥的方程𝑎(𝑥+ 𝑚+ 2)2 +𝑏= 0的解是𝑥1 = −3，𝑥2 = 6（𝑎，
𝑚，𝑏均为常数，𝑎≠0），则方程𝑎(𝑥+ 𝑚)2 +𝑏= 0的解是________．
【答案】𝑥1 = −1，𝑥2 = 8
【分析】此题考查了方程解的定义，把方程𝑎(𝑥+ 𝑚)2 +𝑏= 0变为𝑎[(𝑥−2)+ 𝑚+ 2]2 +𝑏= 0，进而根据方
程解的定义可得𝑥−2 = −3或𝑥−2 = 6，解之即可求解，理解方程解的定义是解题的关键．
【详解】解：方程𝑎(𝑥+ 𝑚)2 +𝑏= 0可变为𝑎[(𝑥−2)+ 𝑚+ 2]2 +𝑏= 0，
∵方程𝑎(𝑥+ 𝑚+ 2)2 +𝑏= 0的解是𝑥1 = −3，𝑥2 = 6，
∴𝑥−2 = −3或𝑥−2 = 6，
∴𝑥1 = −1，𝑥2 = 8，
故答案为：𝑥1 = −1，𝑥2 = 8．
【变式5-1】（2025·山东烟台·一模）若𝑥= 2025是关于𝑥的方程𝑎𝑥2 +𝑏𝑥+ 1 = 0的一个根，则关于𝑥的方程
𝑎(𝑥+ 2)2 +𝑏𝑥+ 2𝑏= −1必有一个根为（ ）
A．2023
B．2024
C．2025
D．2027
【答案】A
【分析】本题考查了一元二次方程的解，由关于x 的一元二次方程𝑎𝑥2 +𝑏𝑥+ 1 = 0有一个根为2025，可得
出关于(𝑥+ 2)的一元二次方程𝑎(𝑥+ 2)2 +𝑏𝑥+ 2𝑏= −1有一个根为2025，解之可得出x 的值，此题得解．
【详解】解：∵关于x 的一元二次方程𝑎𝑥2 +𝑏𝑥+ 1 = 0有一个根为2025，
∴关于(𝑥+ 2)的一元二次方程𝑎(𝑥+ 2)2 +𝑏(𝑥+ 2) +1 = 0即𝑎(𝑥+ 2)2 +𝑏𝑥+ 2𝑏= −1有一个根为2025，
即𝑥+ 2 = 2025，
解得：𝑥= 2023，
故选：A．
【变式5-2】（24-25 九年级上·湖北省直辖县级单位·月考）关于𝑥的方程𝑎𝑥2 +𝑏𝑥+ 𝑐= 0两根分别为−3，7，
则方程𝑎(𝑥+ 1)2 +𝑏(𝑥+ 1) + 𝑐= 0的两根为（ ）
A．−4，6
B．−2，8
C．3，−7
D．−3，7
【答案】A
【分析】本题考查了一元二次方程的解，由关于𝑥的方程𝑎𝑥2 +𝑏𝑥+ 𝑐= 0两根分别为−3，7，则方程𝑎(𝑥+ 1)2
+𝑏(𝑥+ 1) + 𝑐= 0的两根为𝑥+ 1 = −3或𝑥+ 1 = 7，然后解方程即可，正确理解能使一元二次方程左右两
边相等的未知数的值是一元二次方程的解是解题的关键．
【详解】∵关于𝑥的方程𝑎𝑥2 +𝑏𝑥+ 𝑐= 0两根分别为−3，7，
∴方程𝑎(𝑥+ 1)2 +𝑏(𝑥+ 1) + 𝑐= 0的两根为𝑥+ 1 = −3或𝑥+ 1 = 7，
解得𝑥1 = −4，𝑥2 = 6，
故选：A．
【变式5-3】（25-26 八年级上·上海·期中）关于 𝑥 的一元二次方程 𝑎𝑥2 +𝑏𝑥+ 𝑐= 0(𝑎≠0) 的两个根分别
𝑥1 = −1,𝑥2 = 2 ，则方程 𝑐(𝑥−1)2 +𝑏(𝑥−1) +𝑎= 0 的两个根分别是_____
【答案】𝑥1 =
3
2，𝑥2 = 0
【分析】本题考查根与系数的关系，换元法解一元二次方程，根据根与系数的关系得到−
𝑏
𝑎= 1,
𝑐
𝑎= −2，设
𝑦= 𝑥−1，将方程 𝑐(𝑥−1)2 +𝑏(𝑥−1) +𝑎= 0化为𝑐𝑦2 +𝑏𝑦+ 𝑎= 0，再将方程两边同时除以𝑎，将方程化为
−2𝑦2−𝑦+ 1 = 0，进行求解即可．
【详解】解：∵𝑎𝑥2 +𝑏𝑥+ 𝑐= 0（𝑎≠0）的两个根分别 𝑥1 = −1,𝑥2 = 2，
∴𝑥1 + 𝑥2 = 1 = −
𝑏
𝑎，即
𝑏
𝑎= −1，𝑥1𝑥2 = −2 =
𝑐
𝑎，即
𝑐
𝑎= −2．
设𝑦= 𝑥−1，
则方程𝑐(𝑥−1)2 +𝑏(𝑥−1) +𝑎= 0化为 𝑐𝑦2 +𝑏𝑦+ 𝑎= 0．
两边除以𝑎（𝑎≠0），得
𝑐
𝑎𝑦2 +
𝑏
𝑎𝑦+ 1 = 0．
代入
𝑐
𝑎= −2，
𝑏
𝑎= −1， 得−2𝑦2−𝑦+ 1 = 0， 即2𝑦2 +𝑦−1 = 0．
解得𝑦1 =
1
2，𝑦2 = −1．
由𝑦= 𝑥−1，得𝑥= 𝑦+ 1，
∴𝑥1 =
1
2 +1 =
3
2，𝑥2 = −1 + 1 = 0．
∴方程𝑐(𝑥−1)2 +𝑏(𝑥−1) +𝑎= 0的两个根为𝑥1 =
3
2，𝑥2 = 0．
故答案为：𝑥1 =
3
2，𝑥2 = 0．
【题型6 含参定根-与根无关】
【例6】关于𝑥的一元二次方程m𝑥2十𝑥−m+1=0 必有一根为 ．
【答案】-1
【详解】解：mx2十x−m+1=0
(x2-1)m+x+1=0
(x+1)(xm−m + 1)=0
则x = −1．
故答案为-1．
【变式6-1】关于 x 的方程 k𝑥2 - (2k + 3)x + k + 3 = 0，必有一根为多少？
【答案】1
【详解】解：原方程展开为：kx2 − 2kx − 3x + k + 3 = 0
重新分组：k(x2 − 2x + 1) − 3(x − 1) = 0，
方程变为：k(x − 1)² − 3(x − 1) = 0，
(x − 1)[k(x − 1) − 3] = 0，
无论参数 k 取何值，只要令第一个因式为 0，即 x − 1 = 0，方程就恒成立。
因此，该方程必有一根为 x = 1。
故答案为1．
【变式6-2】若𝑎≠𝑏，则关于𝑥的方程(𝑎−𝑏)𝑥2 +(𝑐−𝑏)𝑥+ 𝑐−𝑎= 0必有一根是 ．
【答案】x = −1
【分析】本题主要考查一元二次方程的解和解一元二次方程的能力，熟练掌握因式分解法解一元二次方程
是解题的关键．
将原方程左边因式分解可得(x + 1)[(a−b)x + (c−a)] = 0，即x + 1 = 0或(a−b)x + (c−a) = 0，从而得出答案．
【详解】解：∵原方程左边因式分解后可得：(x + 1)[(a−b)x + (c−a)] = 0，
∴x + 1 = 0或(a−b)x + (c−a) = 0，
则方程必有一根为x = −1，
故答案为：x = −1．
【变式6-3】已知关于 x 的一元二次方程 (m+n)𝑥2 + 2(m-n)x + (m-3n) = 0， 若该方程对于任意实数 m, n
（m+n ≠0）都必有一个公共的实数根，求这个根是多少？
【答案】x =−1
【详解】解：(m+n)𝑥2 + 2(m-n)x + (m-3n) = 0
m𝑥2 + n𝑥2 + 2mx - 2nx + m - 3n = 0
分组得：m(𝑥2 + 2x + 1) + n(𝑥2 - 2x - 3) = 0
变形为： m(x+1)² + n(x+1)(x-3) = 0
(x+1) [ m(x+1) + n(x-3) ] = 0
无论 m 和 n 取什么值，只要令第一个因式为 0，方程就恒成立。
即 x + 1 = 0，解得 x = -1。
所以，这个必有的公共实数根是 x = -1。
【题型7 含参定根-比较系数】
【例7】已知4𝑎+ 𝑐= 2𝑏，则一元二次方程𝑎𝑥2 +𝑏𝑥+ 𝑐= 0必有一根是____________．
【答案】𝑥= −2
【分析】此题考查了一元二次方程的解，由4𝑎+ 𝑐= 2𝑏得到4𝑎−2𝑏+ 𝑐= 0，然后和𝑎𝑥2 +𝑏𝑥+ 𝑐= 0比较求
解即可．
将𝑥= 1代入𝑎𝑥2 +𝑏𝑥+ 𝑐= 0，得𝑎+ 𝑏+ 𝑐= 0，问题可求．
【详解】解：∵4𝑎+ 𝑐= 2𝑏，
∴4𝑎−2𝑏+ 𝑐= 0，
∴𝑎× (−2)2 +𝑏× (−2) +𝑐= 0，
∴一元二次方程𝑎𝑥2 +𝑏𝑥+ 𝑐= 0必有一个根是𝑥= −2．
故答案为：𝑥= −2．
【变式7-1】（25-26 九年级上·广东茂名·月考）关于𝑥的一元二次方程𝑎𝑥2−𝑏𝑥−2025 = 0满足𝑎+ 𝑏= 2025，
则方程必有一根为（ ）
A．1
B．−1
C．± 1
D．无法确定
【答案】B
【分析】本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的
解．由于𝑥= −1时，有𝑎+ 𝑏= 2025，于是可判断此方程必有一根为−1．
【详解】解：当𝑥= −1时，𝑎+ 𝑏−2025 = 0，则𝑎+ 𝑏= 2025，
所以若𝑎+ 𝑏= 2025，则此方程必有一根为−1．
故选：B．
【变式7-2】若𝑎−𝑏+ 𝑐= 0，𝑎≠0，则关于𝑥的一元二次方程𝑎𝑥2 +𝑏𝑥+ 𝑐= 0中（ ）
A．必有一根为1 B．必有一根为−1
C．必有一根为0
D．必有一根为2
【答案】B
【分析】本题考查了一元二次方程的解：根据𝑎−𝑏+ 𝑐= 0，得𝑎× (−1)2−𝑏× (−1) +𝑐= 0，即可作答．
【详解】解：∵𝑎−𝑏+ 𝑐= 0，𝑎≠0，
∴𝑎× (−1)2−𝑏× (−1) +𝑐= 0，
∴必有一根为−1，
故选：B．
【变式7-3】若关于x 的一元二次方程ax2+bx+c=0 中二次项系数与常数项之和等于一次项系数,那么方程必
有一根为____.
【答案】-1
【分析】二次项系数与常数项之和等于一次项系数即a+c=b，即可得a-b+c=0；在关于x 的一元二次方程
ax2+bx+c=0（a≠0）中，令x=-1 时，就得到a-b+c=0，所以-1 必是该方程的一个根．由此即可解答.
【详解】根据题意，得：a+c=b，即a-b+c=0；
当x=-1 时，ax2+bx+c=a（-1）2+b（-1）+c=a-b+c=0，
∴-1 必是关于x 的一元二次方程ax2+bx+c=0 的一个根．
故答案为-1.
【点睛】本题考查的是一元二次方程的根的定义，熟记使方程左右两边相等的未知数的值是方程的解是解
题的关键．
【题型8 公共根-设根消参】
【例8】如果两个一元二次方程x2+x+k＝0 与x2+kx+1＝0 有且只有一个根相同，那么k 的值是_____．
【答案】-2
【分析】：设它们的相同根为t，利用方程根的定义得到t2+t+k＝0①，t2+kt+1＝0②，利用②﹣①得
（k﹣1）t＝k﹣1，则t＝1，然后把t＝1 代入①中可求出k 的值．
【详解】解：设它们的相同根为t，
根据题意得t2+t+k＝0①，t2+kt+1＝0②，
②﹣①得（k﹣1）t＝k﹣1，
∵t 有且只有一个值，
∴k﹣1≠0，
∴t＝1，
把t＝1 代入①得1+1+k＝0，
∴k＝﹣2．
故答案为﹣2．
【点睛】本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的
解．
【变式8-1】已知一元二次方程𝑥2 +𝑎𝑥+ 𝑏= 0①，𝑥2 +𝑏𝑥+ 𝑎= 0②，方程①与方程②有且只有一个公共
根，则𝑎与𝑏之间应满足的关系式为________．
【答案】𝑎+ 𝑏+ 1 = 0
【分析】设两个方程的公共根，将公共根代入方程，即可求出公共根，然后即可代入方程得到a 与b 之间
的关系式．
【详解】设两个方程的公共根是m，分别把m 代入两方程有：
m2+am+b=0 ①
m2+bm+a=0 ②
把①-②有：（a-b）m+b-a=0
解得m=1．
故把m=1 代入方程②得：a+b+1=0，
故答案是：a+b+1=0
【点睛】考查的是一元二次方程的解，解题关键是设方程的公共根，代入方程相减，求出公共根．
【变式8-2】（25-26 八年级下·山东青岛·期中）定义：若两个一元二次方程有且只有一个相同的实数根,我们
就称这两个方程为“牵手方程”,例如方程𝑥2 = 4和𝑥2−2𝑥= 0有且仅有一个相同的实数根𝑥= 2,所以这两个方
程为“牵手方程”．若方程𝑥2 +2𝑥−3 = 0和(𝑥−3)(𝑥+ 𝑚) = 0为“牵手方程”,则m 的值为__________．
【答案】3 或−1
【分析】先求出一元二次方程𝑥2 +2𝑥−3 = 0的解𝑥1 = 1，𝑥2 = −3，根据方程𝑥2 +2𝑥−3 = 0和(𝑥−3)(𝑥+ 𝑚)
= 0为“牵手方程”,分情况求解即可．
【详解】解：𝑥2 +2𝑥−3 = 0，
(𝑥−1)(𝑥+ 3) = 0，
解得：𝑥1 = 1，𝑥2 = −3，
当相同的根是𝑥= 1时，
代入方程(𝑥−3)(𝑥+ 𝑚) = 0可得(1−3)(1 + 𝑚) = 0，
解得：𝑚= −1；
此时方程为(𝑥−3)(𝑥−1) = 0，可得：𝑥1 = 3，𝑥2 = 1，符合题意；
当相同的根是𝑥= −3时，
代入方程(𝑥−3)(𝑥+ 𝑚) = 0得(−3−3)(−3 + 𝑚) = 0，
解得：𝑚= 3，
此时方程为(𝑥−3)(𝑥+ 3) = 0，可得：𝑥1 = 3，𝑥2 = −3，符合题意；
∴m 的值是3 或−1．
【变式8-3】已知关于𝑥的两个一元二次方程：①(𝑎−1)𝑥2−(𝑎2 + 2)𝑥+ (𝑎2 + 2𝑎) = 0，②(𝑏−1)𝑥2-(𝑏2 + 2)
𝑥+ (𝑏2 + 2𝑏) = 0，其二次项系数不相等且a，b 均为正整数，若这两个方程有一个公共根，则𝑎+ 𝑏= ____．
【答案】6
【分析】本题考查了一元二次方程的解的定义，解题时需要注意𝑎、𝑏是互不相等的正整数，掌握以上知识
是解题的关键；
本题分别求得两个方程的根，然后结合已知条件得到关于𝑎、𝑏的数量关系，再由限制性条件“𝑎、𝑏为正整数”
来求𝑎、𝑏的值即可；
【详解】解：∵(𝑎−1)𝑥2−(𝑎2 + 2)𝑥+ (𝑎2 + 2𝑎) = 0，
∴化简为：𝑥2-
𝑎2+2
𝑎−1 𝑥+
(𝑎+2)𝑎
𝑎−1 = 0，
∵𝑥1 + 𝑥2 =
𝑎2+2
𝑎−1 ，
(𝑎+2)𝑎
𝑎−1 ，
∴原方程化简为：(𝑥−𝑎) 𝑥−
𝑎+2
𝑎−1 = 0，
∴𝑥1 = 𝑎，𝑥2 =
𝑎+2
𝑎−1，
故同理可得(𝑏−1)𝑥2−(𝑏2 + 2)𝑥+ (𝑏2 + 2𝑏) = 0的方程解为：𝑥3 = 𝑏，𝑥4 =
𝑏+2
𝑏−1，
∵两个一元二次方程的二次项系数不相等，
∴𝑎−1 ≠𝑏−1，即𝑎≠𝑏，
∵两个一元二次方程有一个公共根，
∴𝑏=
𝑎+2
𝑎−1，𝑎=
𝑏+2
𝑏−1，
通过化简整理均得到方程𝑎𝑏−𝑎−𝑏= 2，
∴(𝑎−1)(𝑏−1) = 3，
∵a，b 均为正整数，
∴𝑎= 4，𝑏= 2或𝑎= 2，𝑏= 4；
∴𝑎+ 𝑏= 6，
故答案为：6．
