文档内容
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新时代数学编写组 编著
上海科学技术出版社
书书书主 编 吴之季 苏 淳
副 主 编 杜先能 徐子华
本册主编 胡 涛
策划编辑 苏德敏
责任编辑 王韩欢 李 刚
美术编辑 陈 蕾
义务教育教科书
数 学
八年级 下册
新时代数学编写组 编著
上海世纪出版（集团）有限公司
出版
上 海 科 学 技 术 出 版 社
（上海市闵行区号景路 弄 座 邮政编码 ）
１５９ Ａ ９Ｆ １０Ｆ ２０１１０１
新华书店发行
安徽芜湖新华印务有限责任公司印刷
开本 印张 字数
７８７×１０９２ １／１６ １０ １６４０００
年 月第 版 年 月第 次印刷
２０１３ １１ １ ２０２２ １ １２
·
ＩＳＢＮ ９７８ ７ ５４７８ １９７２ ２／Ｇ ４５４
定价： 元
１０．１８
如发现印装质量问题或对内容有意见建议，请与本社联系
电话： ，邮箱：
０２１ ６４８４８０２５ ｊｃ＠ｓｓｔｐ．ｃｎ
审批编号：皖费核（ 年春季）第 号 举报电话：
２０２２ ０１６０ １２３１５
书书书目 录
第 章 二次根式
…………………… １
１６．１ 二次根式……………………………………… ２
１６．２ 二次根式的运算……………………………… ６
阅读与思考 海伦 秦九韶公式
…………… １３
小结·评价 …………………………………………… １４
复习题
……………………………………… １５
第 章 一元二次方程
……………… １８
１７．１ 一元二次方程 ……………………………… １９
１７．２ 一元二次方程的解法 ……………………… ２３
数学活动 挪球游戏
……………………… ３１
１７．３ 一元二次方程根的判别式 ………………… ３４
１７．４ 一元二次方程的根与系数的关系 ………… ３７
１７．５ 一元二次方程的应用 ……………………… ４１
数学史话 一元高次方程
………………… ４５
小结·评价 …………………………………………… ４６
复习题
……………………………………… ４７
第 章 勾股定理
…………………… ５１
１８．１ 勾股定理 …………………………………… ５２
１
目 录１８．２ 勾股定理的逆定理 ………………………… ５８
阅读与思考 两点之间的距离公式
……… ６０
数学史话 勾股定理
……………………… ６２
小结·评价 …………………………………………… ６４
复习题
……………………………………… ６４
第 章 四边形
……………………… ６９
１９．１ 多边形内角和 ……………………………… ７０
１９．２ 平行四边形 ………………………………… ７５
阅读与思考 三角形的重心
……………… ８２
１９．３ 矩形、菱形、正方形 ………………………… ８６
阅读与欣赏 完美矩形与完美正方形
…… ９５
阅读与思考 梯形
………………………… ９６
１９．４ 综合与实践 多边形的镶嵌 ……………… ９９
数学史话 几何定理的机器证明
………… １００
小结·评价 ………………………………………… １０２
复习题
……………………………………… １０３
第 章 数据的初步分析
………… １０６
２０．１ 数据的频数分布…………………………… １０７
２
目 录数学活动 对课外作业时间的统计
分析
…………………………… １１４
阅读与欣赏 风向频率玫瑰图
…………… １１４
２０．２ 数据的集中趋势与离散程度……………… １１７
信息技术应用 用 求方差
Ｅｘｃｅｌ ………… １３２
２０．３ 综合与实践 体重指数…………………… １３８
小结·评价 ………………………………………… １４１
复习题
……………………………………… １４２
附录 部分中英文词汇索引……………………… １５０
后记………………………………………………… １５３
３
目 录二次根式
二次根式
１６．１
二次根式的运算
１６．２
，
!" #$%&’()*+,-./&． 01234
？
56()*+789:;’4< =>4?
@ABCDE)3FGHIJ．１７．
一元二次方程
１
问题 某蔬菜队 年全年无公害蔬菜产量为
? ２００９
，计划 年无公害蔬菜的产量比 年翻一番（即
１００ ｔ ２０１１ ２００９
为 ）要实现这一目标， 年和 年无公害蔬菜产
２００ ｔ ． ２０１０ ２０１１
量的年平均增长率应是多少？
设这个队 年无公害蔬菜产量的年平均增长
２０１０ ～２０１１
率是 ，那么： 年无公害蔬菜产量为
ｘ ２０１０ １００ ＋ １００ｘ ＝
（ ）（）； 年无公害蔬菜产量为 （ ）
１００ １ ＋ｘ ｔ ２０１１ １００ １ ＋ ｘ ＋
（ ）· （ ）（），如图 （）
１００ １ ＋ｘ ｘ ＝ １００ １ ＋ｘ ２ ｔ １７ １ ２ ．
图 １７ １
根据题意， 年无公害蔬菜产量为 ，得
２０１１ ２００ ｔ
（ ） ，
１００ １ ＋ｘ ２ ＝ ２００
即 （ ）
１ ＋ｘ ２ ＝ ２．
整理，得
ｘ２ ＋２ｘ －１ ＝ ０．
问题 在一块宽 、长 的长方形空地上，修
? ２０ ｍ ３２ ｍ 图 １７ ２
１９
一元二次方程
１７．１筑宽相等的三条小路（两条纵向，一条横向，纵向与横向垂
直），把这块空地分成大小一样的 块，建成小花坛 如图
６ ．
，要使花坛的总面积为 （图中长度的单位： ），
有位同学列 １７ ２ ５７０ ｍ２ ｍ
问小路的宽应是多少？
出的方程是（
２０ －
设小路的宽是 ，则横向小路的面积是 ，纵向
）（ ） ｘ ｍ ３２ｘ ｍ２
ｘ ３２ － ２ｘ ＝
你知道他是 小路的面积是 ，两者重叠部分的面积是 由
５７０． ２ ×２０ｘ ｍ２ ２ｘ２ ｍ２．
怎样思考的吗？ 于花坛的总面积是 ，则
５７０ ｍ２
（ ）
３２ ×２０ － ３２ｘ ＋２ ×２０ｘ ＋２ｘ２ ＝ ５７０．
整理，得
ｘ２ －３６ｘ ＋３５ ＝ ０．
像 ， 这样的方程，都是
ｘ２ ＋ ２ｘ －１ ＝０ ｘ２ －３６ｘ ＋ ３５ ＝０
只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是 的整式方
２
程，叫 做 一 元 二 次 方 程 （
ｑｕａｄｒａｔｉｃ ｅｑｕａｔｉｏｎ ｗｉｔｈ ｏｎｅ
）
ｕｎｋｎｏｗｎ ．
任何一个关于 的一元二次方程，经过整理都可以
ｘ
化为
（ ）
ａｘ２ ＋ｂｘ ＋ｃ ＝ ０ ａ ≠０
的一般形式（又叫做标准形式）其中 叫做二次项， 是
． ａｘ２ ａ
二次项的系数； 叫做一次项， 是一次项的系数； 叫做
ｂｘ ｂ ｃ
常数项 ，，是任意实数，且
． ａ ｂ ｃ ａ ≠ ０．
例 把方程 （ ） （ ） 化成一般形式，
３ｘ ｘ －１ ＝ ２ ｘ －２ － ４
并写出它的二次项系数、一次项系数及常数项
．
解 去括号，得
３ｘ２ －３ｘ ＝ ２ｘ － ４ －４．
移项，合并同类项，得方程的一般形式：
３ｘ２ － ５ｘ ＋８ ＝ ０．
它的二次项系数是 ，一次项系数是 ，常数项是
３ －５ ８．
２０
第 章 一元二次方程
１７判断下列方程中，哪些是关于 的一元二次方程？
１ ｘ
（） １ ； （） （ ）；
１ ｘ２ ＋ －３ ＝ ０ ２ ４ｘ２ ＋３ｘ －２ ＝ ２ｘ －１ ２
２ｘ
（） ； （） ；
３ ｘ３ －ｘ ＋４ ＝ ０ ４ ｘ２ －２ｙ －３ ＝ ０
（）（ ） ； （）
５ ｍ ＋１ ｘ２ ＋３ｘ ＋１ ＝ ０ ６ ２ｘ２ ＝ ０．
将下列一元二次方程化成一般形式，并指出它们的二次项系数、一次项系数及常数项：
２
（） ； （）１ ；
１ ５ｘ２ ＝ ６ｘ －８ ２ －２ｘ２ ＝ ０
２
（） （ ） ； （）（ 槡）（ 槡）
３ ｘ ｘ －１ ＝ ０ ４ ｘ － ２ ｘ ＋ ３ ＝ ０．
将 张桌子排成若干行，且每行的桌子数目相同，已知每一行的桌子数比总行数多
３ ４８
，设这些桌子排了 行，写出排成的行数所满足的方程，并将其化为标准形式
２ ｘ ．
下面哪些数是方程 的根？
４ ｘ２ ＋ｘ －２ ＝ ０
， ， ， ， ， ，
－３ －２ －１ ０ １ ２ ３．
习题
１７． １
根据下列问题中的条件，列出关于 的方程，并将其化为标准形式
１ ｘ ．
（）一个长方形的长比宽多 ，面积是 ，求这个长方形的长 ；
１ ２ １２０ ｘ
（）一个直角三角形的两条直角边之和为 ，它的面积为 ，求这个三角形的其中
２ ７ ６
一条直角边长 ；
ｘ
（）某小组同学元旦互赠贺年卡一张，全组共赠贺年卡 张，求这个小组的同学
３ ９０
数 ；
ｘ
（）一个小组的同学元旦见面时，每两人都握手一次，所有人共握手 次，求这
４ １０
组同学数 ；
ｘ
（）某村计划建造如图所示的长方形蔬菜温室，要
５
求长与宽的比为 ，在温室内，前侧内墙保留
２∶１
宽的空地，其他三侧内墙各保留 宽的
３ ｍ １ ｍ
通道，要使蔬菜种植区域的面积为 ，求
２８８ ｍ２
长方形温室的长
ｘ． ［第１（５）题］
２１
一元二次方程
１７．１
书书书将下列一元二次方程化为一般形式，并指出它的二次项系数、一次项系数及常数项：
２
（） ；
１ ４ｘ２ ＝ ３ｘ
（）（ ） ；
２ ｘ －１ ２ －９ ＝ ０
（） （ ） （ ）；
３ ｘ ｘ ＋２ ＝ ３ ｘ ＋２
（）（ ） （ ）
４ ｘ ＋１ ２ －２ ｘ ＋１ ＝ ０．
已知关于 的方程 （ ） （ ） 的一个根为 ，求 的值
３ ｘ ｘ２ － ２ｍ ＋１ ｘ － ２ｍ －１ ＝ ０ １ ｍ ．
２２
第 章 一元二次方程
１７１７．
一元二次方程的解法
２
以前我们实际上已解过一些特殊的一元二次方程，比
如，求 中 的值 它的解法，就是开平方，即
ｘ２ ＝ ９ ｘ ．
槡，
ｘ ＝± ９ ｘ ＝±３．
所以直接开平方就可求得方程 的两个根： ，
ｘ２ ＝９ ｘ ＝３
１
ｘ ＝－３．
２
直接开平方解下列方程：
（） ； （） ；
１ ｘ２ ＝ ２５ ２ ｘ２ －０．８１ ＝ ０
（） （ ） ； （） （ ）
３ ３ ｘ ＋１ ２ ＝ ４８ ４ ２ ｘ －２ ２ －４ ＝ ０．
配方法
１．
怎样解上节问题 中得到的方程 ？
１ ｘ２ ＋２ｘ －１ ＝０
这个方程，显然不能通过直接开平方来解，能否把这个
方程转化成直接开平方来解的形式？
下面，对这个方程进行变形：
２３
一元二次方程的解法
１７．２把常数项移到等号右边，得
ｘ２ ＋２ｘ ＝ １．
对等号左边配方，得
为什么在方
，
ｘ２ ＋２ｘ ＋１ ＝ １ ＋１
程两边同时加上
即 （ ）
数“”而不是其 ｘ ＋１ ２ ＝ ２．
１ 这时，对上式直接开平方，得
他数？
槡
ｘ ＋１ ＝± ２．
所以原方程的根是
槡 ， 槡
ｘ ＝ ２ －１ ｘ ＝－ ２ －１．
１ ２
“化归方法”是 （考虑到问题 的实际情况，这里只能取 槡
１ ｘ ＝ ２ －
１
将待解的问题转化 ，即：年平均增长率应是 ）
１ ≈０．４１ ４１％
成先前已经解决的 像这种先对原一元二次方程配方，使它出现完全平方式
问题的一种数学思
后，再直接开平方求解的方法，叫做配方法（
想方法，配方法就 ｓｏｌｖｉｎｇ ｂｙ
）
是将一元二次方程 ｃｏｍｐｌｅｔｉｎｇ ｓｑｕａｒｅ ．
通过配方转化成可
例 用配方法解下列方程：
直接开平方解方程 １
（） ；
的方法 ． １ ｘ２ －４ｘ －１ ＝ ０
（）
２ ２ｘ２ －３ｘ －１ ＝ ０．
解 （）移项，得
１
ｘ２ －４ｘ ＝ １．
配方，得
，
ｘ２ －２ ×２ｘ ＋ ＝ １ ＋
即 （ ）
ｘ － ２ ＝ ．
开平方，得
．
所以原方程的根是
，
ｘ ＝ ｘ ＝ ．
１ ２
（）先把 的系数变为 ，即把原方程两边同除
２ ｘ２ １
以 ，得
２
３ １
ｘ２ － ｘ － ＝ ０．
２ ２
２４
第 章 一元二次方程
１７移项，得
３ １
ｘ２ － ｘ ＝ ．
２ ２
下面的过程由你来完成：
根据上面的例题，请你归纳出用配方法解一般
一元二次方程应有的步骤 其中，最关键的是配哪一
．
项，这一项怎样确定？
填空：
１
（） （ ） （ ）；
１ ｘ２ －８ｘ ＋ ２ ＝ ｘ － ２
（） （ ） （ ）；
２ ｙ２ ＋５ｙ ＋ ２ ＝ ｙ ＋ ２
（） ５ （ ） （ ）；
３ ｘ２ － ｘ ＋ ２ ＝ ｘ － ２
２
（） （ ） （ ）
４ ｘ２ ＋ｐｘ ＋ ２ ＝ ｘ ＋ ２．
用配方法解下列方程：
２
（） ； （） ；
１ ｘ２ ＋ｘ －１ ＝ ０ ２ ｘ２ －３ｘ －２ ＝ ０
（） ； （）
３ ２ｘ２ ＋５ｘ －１ ＝ ０ ４ ３ｘ２ －６ｘ ＋１ ＝ ０．
２５
一元二次方程的解法
１７．２公式法
２．
如何解一般的一元二次方程
（ ）
ａｘ２ ＋ｂｘ ＋ｃ ＝ ０ ａ ≠０
呢？
因为 ，把方程的两边都除以 ，得
ａ ≠０ ａ
ｂ ｃ
ｘ２ ＋ ｘ ＋ ＝ ０．
ａ ａ
移项，得
ｂ ｃ
ｘ２ ＋ ｘ ＝－ ．
ａ ａ
配方，得
· ｂ ( ｂ )２ ｃ ( ｂ )２，
ｘ２ ＋２ ｘ ＋ ＝－ ＋
２ａ ２ａ ａ ２ａ
即
( ｂ )２ ｂ２ －４ａｃ
ｘ ＋ ＝ ． ○
２ａ ４ａ２
因为 ，
ａ ≠０ ４ａ２ ＞ ０．
当 时，ｂ２ －４ａｃ ，将方程 两边开平方，
ｂ２ －４ａｃ≥０ ≥０ ○
４ａ２
得
槡
ｂ ｂ２ －４ａｃ
ｘ ＋ ＝± ．
２ａ ２ａ
槡
于是得 ｂ ｂ２ －４ａｃ
ｘ ＝－ ± ．
２ａ ２ａ
２６
第 章 一元二次方程
１７槡
－ｂ ± ｂ２ －４ａｃ （ ）
ｘ ＝ ｂ２ －４ａｃ ≥０ ．
２ａ
这就是一元二次方程 （ 且
ａｘ２ ＋ ｂｘ ＋ ｃ ＝ ０ ａ ≠ ０
）的求根公式
ｂ２ －４ａｃ ≥０ ．
有了求根公式，要解一个一元二次方程，只要先把它整
理成一般形式，确定出 ， ， 的值，然后，把 ， ， 的值代
ａ ｂ ｃ ａ ｂ ｃ
入求根公式，就可以得出方程的根 这种解法叫做公式法
．
（ ）
ｍｅｔｈｏｄ ｏｆ ｆｏｒｍｕｌａ ．
例 用公式法解下列方程：
２
（） ； （） 槡
１ ２ｘ２ ＋７ｘ －４ ＝ ０ ２ ｘ２ ＋３ ＝ ２ ３ｘ．
解 （） ， ， ，
１ ａ ＝ ２ ｂ ＝ ７ ｃ ＝－４
（ ）
ｂ２ －４ａｃ ＝ ７２ －４ ×２ × －４ ＝ ８１ ＞ ０．
代入求根公式，得
槡
－７ ± ８１ －７ ±９
ｘ ＝ ＝ ．
２ ×２ ４
１ ，
∴ ｘ ＝ ｘ ＝－４．
１ ２ ２
（）将原方程化为标准形式，得
２
槡
ｘ２ －２ ３ｘ ＋３ ＝ ０．
， 槡， ，
ａ ＝ １ ｂ ＝－２ ３ ｃ ＝ ３
（ 槡）
ｂ２ －４ａｃ ＝ －２ ３ ２ －４ ×１ ×３ ＝ ０．
代入求根公式，得
槡 槡
２ ３ ± ０ 槡
ｘ ＝ ＝ ３．
２
槡
∴ ｘ ＝ ｘ ＝ ３．
１ ２
２７
一元二次方程的解法
１７．２例 解方程： （精确到 ）
３ ｘ２ ＋ｘ －１ ＝ ０． ０．００１
解 ， ， ，代入求根公式，得
ａ ＝ １ ｂ ＝ １ ｃ ＝－１
槡 （ ）
－１ ± １２ －４ ×１ × －１
ｘ ＝
２
槡
－１ ± ５
＝ ．
２
用计算器求得 槡
５ ≈２．２３６１．
，
∴ ｘ ≈０．６１８ ｘ ≈－１．６１８．
１ ２
把下列方程化成 的形式，并写出其中 ， ， 的值：
１ ａｘ２ ＋ｂｘ ＋ｃ ＝ ０ ａ ｂ ｃ
（） ； （） ；
１ ｘ２ －５ｘ ＝ ２ ２ ３ｘ２ －１ ＝ ２ｘ
（） （ ） ； （）（ ）
３ ２ｘ ｘ －１ ＝ ｘ ＋４ ４ ｘ ＋１ ２ ＝ ３ｘ －２．
用公式法解下列方程：
２
（） ； （） ；
１ ３ｘ２ ＋５ｘ －２ ＝ ０ ２ ２ｘ２ ＋５ｘ －１２ ＝ ０
（） 槡 ； （） 槡 ；
３ ｔ２ ＋２ ２ｔ ＋２ ＝ ０ ４ ４ｘ２ －４ ３ｘ ＋３ ＝ ０
（） （ ） ； （） （ ）
５ ｐ ２ －ｐ ＝ ５ ６ ０．３ｘ ｘ －２ ＋０．４ ＝ ０．
用公式法解方程： （精确到 ）
３ ｘ２ －３ｘ －１ ＝ ０． ０．１
解关于 的方程：
４ ｘ ２ｘ２ －ｍｘ －ｎ２ ＝ ０．
因式分解法
３．
一个一元二次方程用公式法总可以求解 对于一些特殊
．
的一元二次方程，还可以有别的解法 如解方程 ，除了
． ｘ２ ＝９
直接开平方求解外，还可以把它变形为
ｘ２ －９ ＝ ０．
再将方程左边分解因式，得
２８
第 章 一元二次方程
１７（ ）（ ）
ｘ －３ ｘ ＋３ ＝ ０．
我们知道，如果两个因式的积等于 ，那么这两个因式
０
中至少有一个等于 ；反过来，如果两个因式中有一个等于
０
，那么它们的积就等于 因此，有
０ ０．
或
ｘ －３ ＝ ０ ｘ ＋３ ＝ ０．
解这两个一次方程，得
这里用到
，
ｘ ＝ ３ ｘ ＝－３．
１ ２ 了什么样的数
这种通过因式分解，将一个一元二次方程转 化 为 两 个一
学思想方法？
元一次方程来求解的方法叫做因式分解法（
ｍｅｔｈｏｄ ｏｆ
）
ｆａｃｔｏｒｉｚａｔｉｏｎ ．
解下列方程，并与同学交流，检查解得的结果
１
是否正确
．
（） ； （）
１ ｘ２ ＋３ｘ ＝ ０ ２ ｘ２ ＝ ｘ．
在解上面的方程（）时，如果像下面这样做：
２ ２
两边同除以 ，得
ｘ ｘ ＝ １．
故方程的根为
ｘ ＝ １．
这样对吗？为什么？
总结前面内容你能否归纳出缺项的二次
３
方程：
（， 异号）， （ ）
ａｘ２ ＋ｃ ＝０ ａ ｃ ａｘ２ ＋ｂｘ ＝０ ａ≠０
的解法？
例 解方程：
４ ｘ２ －５ｘ ＋６ ＝ ０．
解 把方程左边分解因式，得
（ ）（ ）
ｘ －２ ｘ －３ ＝ ０．
因此，有
２９
一元二次方程的解法
１７．２或
ｘ －２ ＝ ０ ｘ －３ ＝ ０．
解方程，得
，
ｘ ＝ ２ ｘ ＝ ３．
１ ２
例 解方程：（ ）（ ）
５ ｘ ＋４ ｘ －１ ＝ ６．
解 将原方程化为标准形式，得
ｘ２ ＋３ｘ －１０ ＝ ０．
把方程左边分解因式，得
（ ）（ ）
ｘ ＋５ ｘ －２ ＝ ０．
或
∴ ｘ ＋５ ＝ ０ ｘ －２ ＝ ０．
解方程，得
，
ｘ ＝－５ ｘ ＝ ２．
１ ２
用因式分解法解下列方程：
（）（ 槡）（ 槡） ； （） ；
１ ｘ － ２ ｘ － ３ ＝ ０ ２ ４ｘ２ －３ｘ ＝ ０
（） （ ） （ ）； （） ；
３ ３ ｘ ＋１ ＝ ｘ ｘ ＋１ ４ ｘ２ －６ｘ －７ ＝ ０
（）（ ） ； （）（ ）（ ）
５ ｔ ｔ ＋３ ＝ ２８ ６ ｘ ＋１ ｘ ＋３ ＝ １５．
习题
１７． ２
直接开平方解下列方程：
１
（） ； （） １ ；
１ ｘ２ －４９ ＝ ０ ２ ２ｘ２ － ＝ ０
８
（）（ ） ； （） （ ） ；
３ ｘ －１ ２ ＝ ２ ４ ２ ｘ －２ ２ －８ ＝ ０
（）（槡 ） ； （）（ 槡） （ 槡）
５ ２ｘ －２ ２ ＝ ６ ６ ｘ ＋ ２ ２ ＝ １ ＋ ２ ２．
３０
第 章 一元二次方程
１７用配方法解下列方程：
２
（） ； （） ；
１ ｘ２ ＋６ｘ －７ ＝ ０ ２ ｘ２ ＋５ｘ ＋２ ＝ ０
（） ； （）
３ ２ｘ２ －５ｘ ＋１ ＝ ０ ４ ２ｘ２ －３ｘ －７ ＝ ０．
用配方法解关于 的方程：
３ ｘ ｘ２ ＋ｐｘ ＋ｑ ＝ ０．
用公式法解下列方程：
４
（） ； （） ；
１ ｘ２ －ｘ －３ ＝ ０ ２ ２ｘ２ ＋４ｘ －３ ＝ ０
（） ； （）
３ ３ｘ２ －ｘ －１ ＝ ０ ４ ２ｙ２ ＋３ｙ －１ ＝ ０．
用因式分解法解下列方程：
５
（） ； （） ；
１ ｘ２ ＝ ７ｘ ２ ２ｘ２ ＋ｘ ＝ ０
（）（ ） （ ） ； （）
３ ｘ ＋１ ２ －２ ｘ ＋１ ＝ ０ ４ ｘ２ －３ｘ ＋２ ＝ ０．
用适当方法解下列方程：
６
（） ；
１ ｘ２ －３ｘ －４ ＝ ０
（） ；
２ ６ｘ２ －１３ｘ －１５ ＝ ０
（）（ ） ；
３ ３ －ｘ ２ ＋ｘ２ ＝ ９
（）（ ） ；
４ ｙ －２ ２ ＝ ３
（）（ 槡） 槡 ；
５ ｙ ＋ ３ ２ ＝ ４ ３ｙ
（）（ ）（ ） ；
６ ２ｘ －１ ｘ ＋３ ＝ ４
（）（ ） （ ）
７ ２ｙ ＋１ ２ ＋３ ２ｙ ＋１ ＋２ ＝ ０．
解下列方程，并求根的近似值（精确到 ）：
７ ０．０１
（） ； （）
１ ５ｘ２ ＋２ｘ －１ ＝ ０ ２ ｘ２ －３ｘ ＋１ ＝ ０．
当 是什么数时， 的值与 的值相等？
８ ｘ ３ｘ２ ＋６ｘ －８ ２ｘ２ －１
挪 球 游 戏
下面我们来做一个数学游戏：
一些球被分成了许多堆，我们可以任意选择甲、乙
两堆按照以下规则挪动：若甲堆的球数 不少于乙堆
ｐ
３１
一元二次方程的解法
１７．２的球数 ，则从甲堆拿 个球放到乙堆去，这算是挪动一
ｑ ｑ
次 继续这个过程，可以经过有限次挪动把所有的球合
．
并成至多两堆
．
我们从最简单的情形着手：设有 ， ， 三堆球，
Ａ Ｂ Ｃ
它们中分别有球 个， 个和 个 不妨设 ，易
ａ ｂ ｃ ． ａ≤ｂ≤ｃ
知，如果其中有等号成立，那么一步就可以把它们并成
至多两堆 所以下面设
． ａ ＜ ｂ ＜ ｃ．
给出几组具体数据，自己试着做一做 做起来会很
．
有趣，即使没有做成功，也会有所体会和收获 在下面的
．
情况中，都有 ，
ａ ＝ １ ａ ＋ ｂ ＋ ｃ ＝ ５０．
情形 ： ， ，
１ ａ ＝ １ ｂ ＝ ９ ｃ ＝ ４０．
Ａ Ｂ Ｃ
操作步骤
１ ９ ４０
第一步： ，移动 个球
Ｂ→Ａ １ ２ ８ ４０
第二步： ，移动 个球
Ｃ→Ａ ２ ４ ８ ３８
第三步： ，移动 个球
Ｃ→Ａ ４ ８ ８ ３４
第四步： ，移动 个球
Ｂ→Ａ ８ １６ ０ ３４
情形 ： ， ，
２ ａ ＝ １ ｂ ＝ １１ ｃ ＝ ３８．
Ａ Ｂ Ｃ
操作步骤
１ １１ ３８
第一步： ，移动 个球
Ｂ→Ａ １ ２ １０ ３８
第二步： ，移动 个球
Ｂ→Ａ ２ ４ ８ ３８
第三步： ，移动 个球
Ｃ→Ａ ４ ８ ８ ３４
第四步： ，移动 个球
Ｂ→Ａ ８ １６ ０ ３４
３２
第 章 一元二次方程
１７情形 ： ， ，
３ ａ ＝ １ ｂ ＝ ２２ ｃ ＝ ２７．
Ａ Ｂ Ｃ
操作步骤
１ ２２ ２７
第一步： ，移动 个球
Ｃ→Ａ １ ２ ２２ ２６
第二步： ，移动 个球
Ｂ→Ａ ２ ４ ２０ ２６
第三步： ，移动 个球
Ｂ→Ａ ４ ８ １６ ２６
第四步： ，移动 个球
Ｃ→Ａ ８ １６ １６ １８
第五步： ，移动 个球
Ｂ→Ａ １６ ３２ ０ １８
活动 ：通过观察，得到规律
１ ．
（）观察 堆中的球数变化情况；
１ Ａ
（）观察操作步骤中各次移动的球数变化情况；
２
（）观察操作步骤中各次移动中分别移往何处？
３
（）观察操作步骤中各次移动时分别由何处移出？
４
（）观察 堆中球数变化的情况；
５ Ｂ
（）总结你所观察到的规律，想一想为什么？
６
活动 ：感兴趣的同学可以试着寻找当 时的
２ ａ ＞ １
规律
．
完成上述游戏后，说说你对解决问题的策略和方法
的感悟
．
３３
一元二次方程的解法
１７．２１７．
一元二次方程根的判别式
３
在前面的学习中，你是否注意到：方程
ａｘ２ ＋
（ ）有实数根的条件是什么？何时有
ｂｘ ＋ｃ ＝ ０ ａ≠０
两个相等的实数根？何时有两个不相等的实数根？
前面，通过配方，得到了一元二次方程
ａｘ２ ＋ ｂｘ ＋ ｃ ＝
（ ）的求根公式：
０ ａ ≠０
槡
－ｂ ± ｂ２ －４ａｃ
ｘ ＝ ．
２ａ
因为 ，所以
ａ ≠０
（）当 时，槡 是正实数，因此，方程
１ ｂ２ －４ａｃ ＞０ ｂ２ －４ａｃ
有两个不相等的实数根：
槡
－ｂ ＋ ｂ２ －４ａｃ，
ｘ ＝
１ ２ａ
槡
－ｂ － ｂ２ －４ａｃ；
ｘ ＝
２ ２ａ
（）当 时，槡 ，因此，方程有两
２ ｂ２ －４ａｃ ＝０ ｂ２ －４ａｃ ＝０
个相等的实数根： ｂ ；
ｘ ＝ ｘ ＝－
１ ２ ２ａ
（）当 时，槡 在实数范围内无意
３ ｂ２ －４ａｃ ＜ ０ ｂ２ －４ａｃ
义，因此方程没有实数根
．
３４
第 章 一元二次方程
１７可见，一元二次方程 （ ）根的情况
ａｘ２ ＋ｂｘ ＋ｃ ＝０ ａ≠０
由 来确定 我们把 叫做一元二次方程
ｂ２ －４ａｃ ． ｂ２ － ４ａｃ
（ ）根的判别式，通常用符号“ ”来表
ａｘ２ ＋ｂｘ ＋ｃ ＝ ０ ａ ≠０ Δ
示，即
Δ ＝ ｂ２ －４ａｃ．
一般地，一元二次方程 （ ），
ａｘ２ ＋ ｂｘ ＋ ｃ ＝ ０ ａ ≠０
当 时，有两个不相等的实数根；
Δ＞０
当 时，有两个相等的实数根；
Δ＝０
当 时，没有实数根
Δ＜０ ．
例 不解方程，判别下列方程根的情况：
（） ；
１ ５ｘ２ －３ｘ －２ ＝ ０
（） ；
２ ２５ｙ２ ＋４ ＝ ２０ｙ
（）
槡
３ ２ｘ２ ＋ ３ｘ ＋１ ＝ ０．
解 （）因为 （ ） （ ） ，
１ Δ ＝ －３ ２ －４ ×５ × －２ ＝ ４９ ＞ ０
所以原方程有两个不相等的实数根
．
（）原方程可变形为
２
２５ｙ２ －２０ｙ ＋４ ＝ ０．
因为 （ ） ，
Δ ＝ －２０ ２ －４ ×２５ ×４ ＝ ０
所以原方程有两个相等的实数根
．
（）因为 （槡） ，
３ Δ ＝ ３ ２ －４ ×２ ×１ ＝－５ ＜ ０
所以原方程没有实数根
．
不解方程，判别下列方程根的情况：
１
（） ；
１ ２ｘ２ －５ｘ －４ ＝ ０
（） ；
２ ７ｔ２ －５ｔ ＋２ ＝ ０
（） （ ） ；
３ ｘ ｘ ＋１ ＝ ３
（） 槡
４ ３ｙ２ ＋２５ ＝ １０ ３ｙ．
３５
一元二次方程根的判别式
１７．３已知关于 的方程 ，问 取何值时，这个方程：
２ ｘ ｘ２ －３ｘ ＋ｋ ＝ ０ ｋ
（）有两个不相等的实数根？
１
（）有两个相等的实数根？
２
（）没有实数根？
３
习题
１７． ３
不解方程，判别下列方程根的情况：
１
（） （ ） ；
１ ４ｙ ｙ －１ ＋１ ＝ ０
（） ３ ；
２ ０．２ｘ２ －５ ＝ ｘ
２
（） ；
３ ２ｙ２ ＋４ｙ ＋３５ ＝ ０
（）
４ ｘ２ ＋０．０９ ＝ ０．６ｘ．
求证：关于 的方程 （ ） 有两个不相等的实数根
２ ｘ ｘ２ ＋ ２ｋ ＋１ ｘ ＋ｋ －１ ＝ ０ ．
取什么值时，关于 的方程 （ ） 有两个相等的实数根？求
３ ｋ ｘ ４ｘ２ － ｋ ＋２ ｘ ＋ｋ －１ ＝０
出这时方程的根
．
关于 的一元二次方程 （ ） 有实数根，求 的取值范围
４ ｘ ｍ －１ ｘ２ －２ｍｘ ＋ｍ ＝ ０ ｍ ．
求证：关于 的方程ｘ２ （ ） 没有实数根
５ ｘ ＋ ｍ ＋１ ｘ ＋ｍ２ ＋ｍ ＋１ ＝ ０ ．
２
３６
第 章 一元二次方程
１７１７．
一元二次方程的根与系数的关系
４
在前面 节中，我们学过，一元二次方程的每
１７．２
一个根都可由它的各项系数通过运算得到
．
进一步，你是否注意到每个方程中的两根之和
（ ）、两根之积（ ）与该方程的各项系数之间
ｘ ＋ｘ ｘ ｘ
１ ２ １ ２
有怎样的关系？填写下表，然后观察根与系数的关系：
方 程
ｘ ｘ ｘ ＋ｘ ｘ ｘ
１ ２ １ ２ １ ２
ｘ２ ＋２ｘ －１５ ＝０
３ｘ２ －４ｘ ＋１ ＝０
２ｘ２ －５ｘ ＋１ ＝０
根据你的观察，猜想：方程 （
ａｘ２ ＋ｂｘ ＋ｃ ＝０ ａ≠
）的根如果是 ， ，那么 ，
０ ｘ ｘ ｘ ＋ｘ ＝ ｘ ｘ ＝
１ ２ １ ２ １ ２
．
你能证明上面的猜想吗？
我们知道，一元二次方程 （ ）的两
ａｘ２ ＋ｂｘ ＋ｃ ＝ ０ ａ ≠０
根为
槡 槡
－ｂ ＋ ｂ２ －４ａｃ， －ｂ － ｂ２ －４ａｃ，
ｘ ＝ ｘ ＝
１ ２ａ ２ ２ａ
槡 槡
所以 －ｂ ＋ ｂ２ －４ａｃ －ｂ － ｂ２ －４ａｃ
ｘ ＋ｘ ＝ ＋
１ ２ ２ａ ２ａ
３７
一元二次方程的根与系数的关系
１７．４－２ｂ ｂ；
＝ ＝－
２ａ ａ
槡 槡
－ｂ ＋ ｂ２ －４ａｃ·－ｂ － ｂ２ －４ａｃ
ｘ ｘ ＝
１ ２ ２ａ ２ａ
（ ） （槡 ）
－ｂ ２ － ｂ２ －４ａｃ ２ ４ａｃ ｃ
＝ ＝ ＝ ．
４ａ２ ４ａ２ ａ
由此得出，一元二次方程的根与系数之间存在下列关系：
如果 （ ）的两个根为 ， ，那
ａｘ２ ＋ ｂｘ ＋ ｃ ＝ ０ ａ ≠０ ｘ ｘ
１ ２
么 ｂ， ｃ
ｘ ＋ｘ ＝ － ｘ ｘ ＝ ．
１ ２ ａ １ ２ ａ
这个关系通常称为韦达定理（ ）
Ｖｉｅｔａｓ ｔｈｅｏｒｅｍ ．
当一元二次方程的二次项系数为 时，它的标准形式为
１
设它的两个根为 ， ，这时韦达定理
ｘ２ ＋ｐｘ ＋ｑ ＝ ０． ｘ ｘ
１ ２
应是：
，
ｘ ＋ｘ ＝－ｐ ｘ ｘ ＝ ｑ．
１ ２ １ ２
例 已知关于 的方程 的一个根是
１ ｘ ２ｘ２ ＋ｋｘ －４ ＝ ０
，求它的另一个根及 的值
－４ ｋ ．
解 设方程的另一个根是 ，则
ｘ
２
ｋ ，
－４ ＋ｘ ＝－
本题还有别 ２ ２
的解法吗？
－４ｘ ＝－
４
．
２ ２
１ ，
ｘ ＝
解方程组，得 { ２ ２
ｋ ＝ ７．
答：方程的另一个根为１ ，的值为
ｋ ７．
２
例 方程 的两个根记作 ， ，不解
２ ２ｘ２ －３ｘ ＋１ ＝ ０ ｘ ｘ
１ ２
方程，求 的值
ｘ －ｘ ．
１ ２
解 由韦达定理，得
３８
第 章 一元二次方程
１７３ ， １
ｘ ＋ｘ ＝ ｘ ｘ ＝ ．
１ ２ １ ２
２ ２
（ ） （ ）
ｘ －ｘ ２ ＝ ｘ ＋ｘ ２ －４ｘ ｘ
１ ２ １ ２ １ ２
( ３ )２ １ １
＝ －４ × ＝ ．
２ ２ ４
１
∴ ｘ －ｘ ＝± ．
１ ２
２
下列各方程中，两根之和与两根之积各是多少？
１
（） ；
１ ｘ２ －３ｘ ＋１ ＝ ０
（） ；
２ ３ｘ２ －２ｘ －２ ＝ ０
（） ；
３ ２ｘ２ －９ｘ ＋５ ＝ ０
（） ；
４ ４ｘ２ －７ｘ ＋１ ＝ ０
（） ；
５ ２ｘ２ ＋３ｘ ＝ ０
（）
６ ３ｘ２ ＝ １．
判定下列各方程后面括号内的两个数是不是它的两个根
２ ．
（） ，（， ）；
１ ｘ２ ＋５ｘ ＋４ ＝ ０ １ ４
（） ，（ ， ）；
２ ｘ２ －６ｘ －７ ＝ ０ －１ ７
（
３
）
２ｘ２ －３ｘ ＋１ ＝ ０
，( １ ，
１
)；
２
（
４
）
３ｘ２ ＋５ｘ －２ ＝ ０
，(
－
１ ，
２
)；
３
（） ，（ 槡， 槡）
５ ｘ２ －８ｘ ＋１１ ＝ ０ ４ － ５ ４ ＋ ５ ．
已知关于 的方程 的一个根是 ，求它的另一个根及 的值
３ ｘ ３ｘ２ －１９ｘ ＋ｍ ＝ ０ １ ｍ ．
设 ， 是方程 的两个根，利用根与系数的关系，求下列各式的值
４ ｘ ｘ ２ｘ２ ＋４ｘ －３ ＝０ ．
１ ２
（）（ ）（ ）；
１ ｘ ＋１ ｘ ＋１
１ ２
（）１ １
２ ＋ ．
ｘ ｘ
１ ２
３９
一元二次方程的根与系数的关系
１７．４习题
１７． ４
若长方形的长和宽是方程 的两个根，求该长方形的周长和面积
１ ４ｘ２ －１２ｘ ＋３ ＝０ ．
不解方程，试说明一元二次方程 必有实数根，并求出两根之和与两根之积
２ ３ｘ２ －５ｘ ＝７ ．
已知关于 的方程 的一个根是１ ，求它的另一个根及 的值
３ ｘ ２ｘ２ ＋ｍｘ －３ ＝ ０ ｍ ．
２
已知关于 的方程 的根为 ，且根的判别式为 ，求 ， 的值
４ ｘ ｘ２ ＋ｍｘ ＋２ｍ －ｎ ＝０ ２ ０ ｍ ｎ ．
已知两数的和为 ，积为 ，求这两个数
５ ２ －２ ．
４０
第 章 一元二次方程
１７１７．
一元二次方程的应用
５
例 节中的问题
１ １７．１ ２．
解 设小路的宽是 根据题意，得
ｘ ｍ．
（ ）
３２ ×２０ － ３２ｘ ＋２ ×２０ｘ ＋２ｘ２ ＝ ５７０．
整理，得
ｘ２ －３６ｘ ＋３５ ＝ ０．
（ ）（ ）
ｘ －１ ｘ －３５ ＝ ０．
，
∴ ｘ ＝ １ ｘ ＝ ３５．
１ ２
结合题意， 不可能，因此，只能取
ｘ ＝ ３５ ｘ ＝１．
答：所求小路的宽应为
１ ｍ．
例 原来每盒 元的一种药品（图 ），经两次降
２ ２７ １７ ３
价后每盒售价为 元 求该药品两次降价的平均降价率是多
９ ．
少？（精确到 ）
１％
解 设该种药品两次平均降价率是 根据题意，得
ｘ．
（ ）
２７ １ －ｘ ２ ＝ ９．
整理，得 图 １７ ３
（ ） １
１ －ｘ ２ ＝ ．
３
解这个方程，得
，
ｘ ≈１．５８ ｘ ≈０．４２．
１ ２
不合题意，所以
ｘ ≈１．５８ ｘ ≈０．４２．
１
答：该药品两次降价的平均降价率约是
４２％．
４１
一元二次方程的应用
１７．５例 如图 ，一农户原来种植的花生，每公顷产
３ １７ ４
量为 ，出油率为 （即每 花生可加工出
３ ０００ ｋｇ ５０％ １００ ｋｇ
花生油 ）现在种植新品种花生后，每公顷收获的花
５０ ｋｇ ．
生可加工出花生油 ，已知花生出油率的增长率是
１ ９８０ ｋｇ
产量增长率的１ 求新品种花生产量的增长率
． ．
２
图 １７ ４
分析：设新品种花生产量的增长率为 ，则新品种花生
ｘ
出油率的增长率为１ ，根据“新品种花生每公顷产量 新品
ｘ ×
２
种花生出油率 ”可列出方程
＝１９８０ ．
解 设新品种花生产量的增长率为 根据题意，得
ｘ．
（ ）·
[ ( １ )]
３０００ １ ＋ｘ ５０％ １ ＋ ｘ ＝ １９８０．
２
解方程，得 ， （不合题意，
ｘ ＝ ０．２ ＝ ２０％ ｘ ＝－３．２
１ ２
舍去）
．
答：新品种花生产量的增长率为
２０％．
例 正方形金属片一块，将其四个角各截去一个相同
４
大小的小正方形，围成高 ，容积为 的开口方
２０ ｃｍ ２ ８８０ ｃｍ３
盒 问原金属片的边长是多少？
．
４２
第 章 一元二次方程
１７图 １７ ５
解 设原金属片的边长为 ，则方盒的底边长是
ｘ ｃｍ
（ ）
ｘ －４０ ｃｍ．
根据题意，得
（ ）
２０ ｘ －４０ ２ ＝ ２８８０．
整理，得
（ ）
ｘ －４０ ２ ＝ １４４．
解方程，得
，
ｘ ＝ ５２ ｘ ＝ ２８．
１ ２
不合题意，所以
ｘ ＝ ２８ ｘ ＝ ５２．
２
答：原金属片的边长是
５２ ｃｍ．
建立方程解决实际问题可能出现分式方程，如：
例 一组学生组织春游，预计共需费用 元 后来
５ １２０ ．
又有 人参加进来，费用不变，这样每人可少分摊 元 问原
２ ３ ．
来这组学生的人数是多少？
分析：设原来这组学生的人数是 人，则把题中信息整
ｘ
理成下表：
总费用 元 人数 人 每人费用 元
／ ／ ／
原 来 １２０
１２０ ｘ
ｘ
现 在 １２０
１２０ ｘ＋２
ｘ＋２
４３
一元二次方程的应用
１７．５本题的等量关系是：
原来这组学生每人分摊的费用 加人后该组学生每人
－
分摊的费用 元
＝３ ．
由此可得方程
．
解 设原来这组学生的人数是 人，那么每人分摊的费
ｘ
用是１２０元，增加 人后这组学生每人分摊的费用是 １２０ 元
２ ．
ｘ ｘ ＋２
根据增加 人后每人可少分摊 元，得
２ ３
１２０ １２０
－ ＝ ３．
ｘ ｘ ＋２
方程两边同乘以 （ ），整理，得
ｘ ｘ ＋２
解分式方程
应用题时，所得
ｘ２ ＋２ｘ －８０ ＝ ０．
根不仅要检验根
解这个方程，得
是否为增根，还
，
要考虑它是否符
ｘ ＝－１０ ｘ ＝ ８．
１ ２
合题意
． 经检验， ， 都是原方程的根，但
ｘ ＝－１０ ｘ ＝８ ｘ ＝－１０
１ ２ １
不合题意，所以取
ｘ ＝ ８．
答：原来这组学生是 人
８ ．
如果两个连续偶数的积是 ，求这两个数
１ ２８８ ．
一根水管因使用日久，内壁均匀地形成一层厚 的附着物，而导致流通截面减少
２ ３ ｍｍ
至原来的４ 求这根水管原来的内壁直径
． ．
９
某磷肥厂去年 月份生产磷肥 ；因管理不善，月份的磷肥产量减少了 ；从 月
３ ４ ５００ｔ ５ １０％ ６
份起强化了管理，产量逐月上升，月份产量达到 求该厂 月份、月份产量的月
７ ６４８ ｔ． ６ ７
平均增长率
．
４４
第 章 一元二次方程
１７习题
１７． ５
在没有空气阻力的条件下，自由下落物体的下落距离 （单
１ ｈ
位： ）与下落时间 （单位：）有如下关系：
ｍ ｔ ｓ
ｈ ＝ ４．９ｔ２．
今有一铁球从 的高处自由落下（如图），求铁球
ｈ ＝ ４４．１ ｍ
落到地面所用的时间
．
一个两位数，个位上的数字比十位上的数字大 ，且个位上
２ ３
数字的平方等于这个两位数，求这个两位数
． （第１ 题）
有一张长方形的桌子，长 ，宽 ，将一块长方形桌布铺在桌面上时，各边垂
３ ２ ｍ １ ｍ
下的长度相同，并且桌布的面积是桌面面积的 倍 求桌布的长和宽各是多少？
２ ．
某中学开展植树活动，连续四年共植树 棵 已知第一年植树 棵，第二年
４ １９９９ ． ３４４
植树 棵 如果第三年和第四年植树棵数的增长率相同，那么该校第三年和第
５００ ．
四年各植树多少棵？
把 张图片平均分给若干名学生，已知每人分得的图片数比人数少 问学生有
５ １９５ ２．
多少人？
果园内种了 棵橘子树，每行所种的棵数比行数的 倍少 ，问每行种多少棵
６ ６００ ２ １０
橘子树？
一元高次方程
公元 世纪，阿拉伯数学家已经得到了一般形式的一元二次
９
方程 的求根公式
ｘ２ ＋ｐｘ ＋ｑ ＝ ０
槡
ｐ ( ｐ )２
ｘ ＝－ ± －ｑ．
２ ２
从公元 世纪起，欧洲数学家们开始寻找一元三次方程的
１５
求根公式 年，意大利数学家卡尔丹在他的《大法》一书中，公
．１５４５
开了意大利的另一位数学家塔尔塔里亚发现的一元三次方程的
４５
一元二次方程的应用
１７．５求根公式 同时，卡尔丹的学生费尔拉里在他的指导下，圆满地得
．
出了一元四次方程的求根公式
．
对于五次及五次以上的一元高次方程情形如何呢？ 年，
１８２４
年仅 岁的挪威数学家阿贝尔成功地证明：五次及五次以上的
２２
一般形式的一元高次方程用根式求解是不可能的，即不能仅仅依
靠对其系数施以加减乘除与开方而获解 在阿贝尔证明之后，数
．
学家面临的问题是：什么样的特殊方程可以用根式求解呢？法国
数学家伽罗瓦，在 年间完成的几篇论文中，给出了判
１８２９ ～１８３１
别方程是否可用根式求解的充分必要条件，从而宣告这一困扰了
数学家 年的难题的彻底解决 伽罗瓦的工作可以看成是近世
３００ ．
代数的开端，这不仅是因为它解决了方程是否可用根式求解这个
难题，更重要的是“群”的概念的引进引发了代数学在对象、内容
和方法上的深刻变革
．
一、内容整理
二、主要知识回顾
一元二次方程的一般形式是 ，其中
１． ａｘ２ ＋ｂｘ ＋ｃ ＝ ０ ａ ≠０．
一元二次方程的解法有：
２．
．
一元二次方程根的判别式有什么作用？
３．
４６
第 章 一元二次方程
１７一元二次方程的根与系数有怎样的关系？
４．
三、自评与互评
我们已经学习了一元一次方程、一元二次方程、二元一次方程组及一
１．
元一次不等式、一元一次不等式组，就它们的共同特征及它们之间的相互关系
作一个书面总结，和同学进行交流
．
利用方程（组）解决实际问题的关键是什么？结合本章的学习，谈谈你
２．
的体会！
“化归方法”是一种重要的数学思想方法，在本章学习中不止一次用
３．
到，你能总结一下前面还有哪些地方也用到过这种方法吗？
解下列方程：
１
（） ； （） ；
１ ｘ ２ ＝ ６４ ２ ｘ２ ＝ ８
（）（ ） （ ）； （）槡 ；
３ ３ｘ ＋２ ２ ＝ ４ ｘ －３ ２ ４ ２ｙ２ －３ｙ ＝ ０
（）（ ）
５ ２ｘ ＋１ ２ ＝ ２ｘ ＋１．
用配方法解下列方程：
２
（） ； （） ；
１ ｘ２ －ｘ －１ ＝ ０ ２ ３ｘ２ ＝－１ －５ｘ
（） ； （） 槡
３ ５ｙ －８４ ＋ｙ２ ＝ ０ ４ ２ｘ２ ＋ ３ｘ ＝ ３．
用公式法解下列方程：
３
（） 槡 ；
１ ｘ２ ＋２ ＝ ２ ２ｘ
（） ；
２ ９ｘ２ ＋４ ＝ １２ｘ
（）（ ） （ ）；
３ ２ｘ －１ ２ －５ ＝ ｘ ｘ －５
（） ｙ２ －１
４ ｙ － ＝ １．
２
用适当方法解下列方程：
４
（） ；
１ ｘ２ ＋６ｘ －５ ＝ ０
（）（ ）（ ） ；
２ ｘ ＋３ ｘ －３ ＝ ２
４７
小结·评价（）（ 槡） 槡 ；
３ ｔ － ２ ２ ＋４ ２ｔ ＝０
（） （ ）
４ ３ｘ ｘ －１ ＝ ２ －２ｘ．
已知关于 的方程 的一个根是
５ ｘ ２ｘ２ －５ｘ ＋ｋ ＝ ０ １．
（）求 的值；
１ ｋ
（）解这个方程
２ ．
设 ， 是方程 的两个根，不解方程，求下列式子的值
６ ｘ ｘ ２ｘ２ ＋５ｘ －７ ＝ ０ ．
１ ２
（） ；
１ ｘ２ ＋ｘ２
１ ２
（）ｘ ｘ
２ １
２ ＋ ．
ｘ ｘ
１ ２
有一块长 、宽 的长方形硬纸板，如果在纸板的四个角上各截去一个相
７ ２５ ｃｍ １５ ｃｍ
同大小的小正方形，然后把四边折起来，做成一个底面积为 的无盖长方
２３１ ｃｍ２
体盒子 求截去的小正方形的边长
． ．
某商厦 月份的营业额是 万元，第四季度的营业额是 万元 问第四季度后
８ １０ ５０ １８２ ．
两个月的月平均营业额的增长率是多少？
已知
１ ｙ ＝ ｘ２ －２ｘ －３．
（） 是什么数时， ？
１ ｘ ｙ ＝０
（） 是什么数时， ？
２ ｘ ｙ ＝ －４
有三个连续奇数，已知它们的平方和等于 ，求这三个数
２ ２５１ ．
已知：关于 的一元二次方程 （ ） （ ） （ ） 有两个相等的
３ ｘ ｂ －ｃ ｘ２ ＋ ｃ －ａ ｘ ＋ ａ －ｂ ＝０
实数根 求证：
． ２ｂ ＝ ａ ＋ｃ．
要建一个面积为 的长方形养鸡场，为了节省材料，养鸡场的一边利用原有
４ １５０ ｍ２
的一道墙，另三边用铁丝网围成，如果铁丝网的长为
３５ ｍ．
（）若墙足够长，则养鸡场的长与宽各为多少？
１
（）若给定墙长为 ，则墙长 对题目的解是否有影响？
２ ａ ｍ ａ
４８
第 章 一元二次方程
１７如图， ， 是一条射线， ，一小虫由点 以 的
５ ＯＡ ＝ ＯＢ ＝ ５０ｃｍ ＯＣ ＯＣ⊥ＡＢ Ａ ２ ｃｍ／ｓ
速度向 爬行，同时另一小虫由点 以 的速度沿 爬行，则在几秒时，
Ｂ Ｏ ３ ｃｍ／ｓ ＯＣ
两小虫所在位置与点 组成的三角形的面积等于 ？
Ｏ ４５０ ｃｍ２
（第５ 题）
某公司实行年薪工资制，职工的年薪工资由基本工资、工龄工资和岗位工资三项
６
组成，具体规定如下：
项 目 第一年的工资（万元） 一年后的计算方法
基本工资 每年增长率相同
２
工龄工资 每年增加 万元
０．０８ ０．０８
岗位工资 固定不变
０．２７６８
（）设基本工资每年增长率为 ，用含 的代数式表示第三年的基本工资；
１ ｘ ｘ
（）某人在公司工作了 年，他这 年拿到的工龄工资和岗位工资正好是这 年
２ ３ ３ ３
基本工资总额的 ，问基本工资每年的增长率是多少？
１８％
在一次象棋比赛中，实行单循环赛制（即每个选手
７
都与其他选手比赛一局），每局赢者记 分，负者
２
记 分，如果平局，两个选手各记 分 今有 个
０ １ ． ４
同学统计了比赛中全部选手的得分总和，结果分
别为 ， ， ， ，经核实确定只有一
２００５ ２００４ ２ ０７０ ２ ００８
位同学统计正确，试计算这次比赛中共有多少名
选手参赛
． （第７ 题）
一小艇顺流航行 到达目的地，然后逆流回到出发地，航行时间共 已知
８ ２４ ｋｍ ６ ｈ．
水流速度是 求小艇在静水中的速度
３ ｋｍ／ｈ． ．
４９
小结·评价某商店以 元购进一种盒装茶叶，第一个月每盒按进价增加 作为售价，
９ ２４００ ２０％
售出 盒 第二个月每盒以低于进价 元作为售价，售完余下的茶叶 全部售完
５０ ． ５ ．
后共盈利 元，求每盒茶叶的进价
３５０ ．
一商店用 元买进玩具若干个，其中有 个损坏无法出售，剩余的每个以比
１０ １８００ ２
进价多 元的价格出售 若剩余的全部卖完，则这批玩具共赚 元 问这批玩
５ ． ４００ ．
具每个进价是多少元？共买进了多少个玩具？
５０
第 章 一元二次方程
１７勾股定理
勾股定理
１８．１
勾股定理的逆定理
１８．２
，
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， ，
(cid:127)’(cid:128)(cid:129) =T(cid:128)(cid:129)(cid:130)O(cid:131)(cid:132)(cid:127)(cid:133)． (cid:134)(cid:135)K(cid:136) ３ (cid:137)(cid:138) #(cid:139)
&(cid:140)(cid:141)(cid:142)(cid:143)(cid:144)(cid:145)(cid:146)(cid:147)(cid:148)(cid:149).=f(cid:127)(cid:133)．
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