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专题05 根与系数的关系及其应用（举一反三专项训练）
【新教材人教版】
【题型1 利用根与系数的关系直接求值】............................................................................................................1
【题型2 利用根与系数的关系降次求值】............................................................................................................2
【题型3 利用根与系数的关系求参数】................................................................................................................5
【题型4 利用根与系数的关系分式化整求值】....................................................................................................7
【题型5 根与系数的关系关联根的判别式】......................................................................................................10
【题型6 利用根与系数的关系分类解析根分布】..............................................................................................13
【题型7 利用方程的根和根与系数的关系构建方程】......................................................................................16
【题型1 利用根与系数的关系直接求值】
【例1】（25-26 八年级下·浙江温州·期中）已知𝑚，𝑛是方程𝑥2−4𝑥−5 = 0的两个根，则
1
𝑚+
1
𝑛= ________．
【答案】−
4
5/−0.8
【分析】根据根与系数的关系得到方程两根之和与两根之积，再将所求代数式通分变形后，代入数值计算
即可得到结果．
【详解】解：∵ 𝑚，𝑛是方程𝑥2−4𝑥−5 = 0的两个根，
根据根与系数的关系可得
𝑚+ 𝑛= 4，𝑚𝑛= −5，
对
1
𝑚+
1
𝑛通分得
1
𝑚+
1
𝑛=
𝑚+𝑛
𝑚𝑛，
将𝑚+ 𝑛= 4，𝑚𝑛= −5代入得
原式=
4
−5 = −
4
5．
【变式1-1】（2026·山东淄博·一模）若a，b 是方程𝑥2−3𝑥+ 1 = 0的两个根，则𝑎+ 𝑏+ 𝑎𝑏的值为___．
【答案】4
【分析】利用一元二次方程根与系数的关系，得到𝑎+ 𝑏与𝑎𝑏的值，代入计算即可．
题型归纳
【详解】解：∵𝑎，𝑏是方程𝑥2−3𝑥+ 1 = 0的两个根，
∴根据根与系数的关系可得 𝑎+ 𝑏= 3，𝑎𝑏= 1，
∴𝑎+ 𝑏+ 𝑎𝑏= 3 + 1 = 4．
【变式1-2】（2026·山东东营·一模）若𝑥1，𝑥2是方程𝑥2 +𝑥−1 = 0的两根，则(𝑥1−2)(𝑥2−2)的值为_____．
【答案】5
【分析】根据一元二次方程根与系数的关系得到两根之和与两根之积，再将所求代数式展开整理，代入计
算即可．
【详解】解：∵𝑥1，𝑥2是方程𝑥2 +𝑥−1 = 0的两根，
∴𝑥1 + 𝑥2 = −
𝑏
𝑎= −
1
1 = −1，𝑥1𝑥2 =
𝑐
𝑎=
−1
1 = −1，
∴(𝑥1−2)(𝑥2−2)
= 𝑥1𝑥2−2𝑥1−2𝑥2 + 4
= 𝑥1𝑥2−2(𝑥1 + 𝑥2) + 4
= −1−2 × (−1) + 4
= −1 + 2 + 4
= 5．
【变式1-3】（25-26 八年级下·黑龙江哈尔滨·期中）一元二次方程𝑥2−2𝑥= 3的两个根分别是𝑥1，𝑥2，那么
代数式𝑥2
1 + 𝑥2
2的值为______．
【答案】10
【分析】先化为一般形式，再利用一元二次方程根与系数的关系求出两根之和与积，将代数式完全平方公
式变形，再代入求值，即可求解．
【详解】解：𝑥2−2𝑥= 3化为一般形式为𝑥2−2𝑥−3 = 0
∵一元二次方程𝑥2−2𝑥−3 = 0的两个根分别是𝑥1，𝑥2，
∴𝑥1 + 𝑥2 = 2,𝑥1𝑥2 = −3
∴𝑥2
1 + 𝑥2
2 = (𝑥1 + 𝑥2)2−2𝑥1𝑥2
= 4−2 × (−3)
= 10
【题型2 利用根与系数的关系降次求值】
【例2】（25-26 九年级上·湖北咸宁·月考）已知𝛼，𝛽是一元二次方程𝑥2−2𝑥−1 = 0的两根，则𝛼3−𝛼2−2𝛼+ 𝛽
的值为（ ）
A．1
B．3
C．-1
D．-3
【答案】B
【分析】本题主要考查了一元二次方程的解、根与系数的关系、代数式求值等知识点，灵活运用整体思想
是解题的关键．
根据一元二次方程解的定义以及根与系数的关系可得𝛼2−2𝛼−1 = 0，𝛼+ 𝛽= 2，进而得到𝛼3 = 2𝛼2 +𝛼，
然后对所求代数式变形并整体代入原式即可解答．
【详解】解：∵𝛼，𝛽是一元二次方程𝑥2−2𝑥−1 = 0的两根，
∴𝛼2−2𝛼−1 = 0，𝛼+ 𝛽= 2，
∴𝛼2 = 2𝛼+ 1，即𝛼3 = 2𝛼2 +𝛼，
∴𝛼3−𝛼2−2𝛼+ 𝛽
= 2𝛼2 + 𝛼−𝛼2−2𝛼+ 𝛽
= 2𝛼+ 1−𝛼+ 𝛽
= 𝛼2−𝛼+ 𝛽
= 𝛼2−2𝛼+ 𝛼+ 𝛽
= 1 + 𝛼+ 𝛽
= 1 + 2
= 3．
故选B．
【变式2-1】（25-26 九年级上·四川成都·期中）设𝛼、𝛽是方程𝑥2−𝑥−2025 = 0的两个实数根，则𝛼3
−2027𝛼−𝛽+ 1的值为_______．
【答案】2025
【分析】本题考查了一元二次方程的解以及根与系数的关系．根据方程的解得到𝛼2−𝛼= 2025，根据根与
系数的关系得到𝛼+ 𝛽= 1，然后将表达式进行变形，利用整体代入的方法计算即可．
【详解】解：因为α 是方程𝑥2−𝑥−2025 = 0的实数根，
所以𝛼2−𝛼= 2025，
即𝛼2 = 2025 + 𝛼．
因为α，β 是方程𝑥2−𝑥−2025 = 0的两个实数根，
所以根据根与系数的关系，𝛼+ 𝛽= 1．
∴𝛼3−2027𝛼−𝛽+ 1
= 𝛼(𝛼+ 2025)−2027𝛼−𝛽+ 1
= 𝛼2 + 2025𝛼−2027𝛼−𝛽+ 1
= 𝛼2−𝛼−𝛼−𝛽+ 1
= 2025−1 + 1
= 2025
故答案为：2025．
【变式2-2】（25-26 九年级上·四川宜宾·期末）若一元二次方程𝑥2 +𝑥−1 = 0的两根为𝛼、𝛽，则𝛼3 + 𝛼2
+𝛽+ 2026的值为______．
【答案】2025
【分析】本题考查了一元二次方程的解，一元二次方程根与系数的关系．先根据题意得到𝛼2 +𝛼−1 = 0，
𝛼+ 𝛽= −1，则𝛼3 = 𝛼−𝛼2，再整体代入即可求解．
【详解】解：∵一元二次方程𝑥2 +𝑥−1 = 0的两根为𝛼, 𝛽，
∴𝛼2 +𝛼−1 = 0，𝛼+ 𝛽= −1，
∴𝛼3 = 𝛼−𝛼2，
∴𝛼3 + 𝛼2 +𝛽+ 2026
= 𝛼−𝛼2 + 𝛼2 + 𝛽+ 2026
= 𝛼+ 𝛽+ 2026
= −1 + 2026
= 2025，
故答案为：2025．
【变式2-3】（25-26 九年级上·江苏南京·月考）已知𝑥1、𝑥2是方程𝑥2−𝑥−2025 = 0的两个实数根，则代数式
𝑥3
1−2025𝑥1 + 𝑥2
2的值是_______
【答案】4051
【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，一元二次方程根的定义，掌握一元二次方程根与系数
的关系是解题的关键．
根据一元二次方程的解，以及一元二次方程根与系数的关系即可求解．
【详解】解：∵𝑥1,𝑥2是方程𝑥2−𝑥−2025 = 0的两个实数根，
∴𝑥1
2−2025 = 𝑥1，𝑥1𝑥2 = −2025，𝑥1 + 𝑥2 = 1，
∴𝑥3
1−2025𝑥1 + 𝑥2
2 = 𝑥1(𝑥1
2−2025) + 𝑥2
2 = 𝑥1
2 + 𝑥2
2
= (𝑥1 + 𝑥2)2−2𝑥1𝑥2 = 1−2 × (−2025) = 4051．
故答案为：4051．
【题型3 利用根与系数的关系求参数】
【例3】（2026·安徽六安·一模）已知关于x 的一元二次方程𝑥2 +2𝑎𝑥= 2(𝑎−1)．若𝑥1，𝑥2是该方程不相等
的两个实数根，如果(𝑥1 + 𝑎)2 + (𝑥2 + 𝑎)2 = 12，那么a 的值为（ ）
A．2 或−4
B．−2或4
C．3 或−4
D．−3或4
【答案】A
【分析】先结合𝑥1，𝑥2是该方程不相等的两个实数根，得出𝑎2 +2𝑎−2 > 0，以及𝑥1 + 𝑥2 = −2𝑎,𝑥1𝑥2 = −2
(𝑎−1),再整理得𝑥1
2 + 𝑥2
2 = 4𝑎2 +4𝑎−4，然后将用𝑎表示的𝑥1 + 𝑥2与𝑥2
1 + 𝑥2
2的代数式代入该展开式𝑥1
2 + 𝑥2
2
+2𝑎(𝑥1 + 𝑥2) +2𝑎2 = 12中计算，最后验算，当𝑎= 2时，则22 +2 × 2−2 = 6 > 0；当𝑎= −4时，则
(−4)2 +2 × (−4)−2 = 6 > 0，即可作答．
【详解】解：∵𝑥2 +2𝑎𝑥= 2(𝑎−1)，
∴𝑥2 +2𝑎𝑥−2(𝑎−1) = 0
∵𝑥1，𝑥2是该方程不相等的两个实数根，
∴Δ = (2𝑎)2−4 × 1 × [−2(𝑎−1)] > 0
∴4𝑎2 +8𝑎−8 > 0
∴𝑎2 +2𝑎−2 > 0
则𝑥1 + 𝑥2 = −
2𝑎
1 = −2𝑎,𝑥1𝑥2 =
−2(𝑎−1)
1
= −2(𝑎−1),
∴𝑥1
2 + 𝑥2
2 = (𝑥1 + 𝑥2)2−2𝑥1𝑥2 = (−2𝑎)2−2 × −2(𝑎−1) = 4𝑎2 +4𝑎−4
∵(𝑥1 + 𝑎)2 + (𝑥2 + 𝑎)2 = 12，
∴𝑥1
2 +2𝑎𝑥1 + 𝑎2 + 𝑥2
2 +2𝑎𝑥2 + 𝑎2 = 12，
则𝑥1
2 + 𝑥2
2 +2𝑎(𝑥1 + 𝑥2) +2𝑎2 = 12
∴4𝑎2 +4𝑎−4 + 2𝑎× (−2𝑎) +2𝑎2 = 12
∴4𝑎2 +4𝑎−4−4𝑎2 +2𝑎2 = 12
∴𝑎2 +2𝑎−8 = (𝑎−2)(𝑎+ 4) = 0
解得𝑎1 = 2,𝑎2 = −4
当𝑎= 2时，则22 +2 × 2−2 = 6 > 0；
当𝑎= −4时，则(−4)2 +2 × (−4)−2 = 6 > 0；
∴a 的值为2 或−4．
【变式3-1】（2024·四川乐山·中考真题）若关于x 的一元二次方程𝑥2 +2𝑥+ 𝑝= 0两根为𝑥1、𝑥2，且
1
𝑥1 +
1
𝑥2
= 3，则p 的值为（ ）
A．−
2
3
B．
2
3
C．−6
D．6
【答案】A
【分析】本题考查了一元二次方程𝑎𝑥2 +𝑏𝑥+ 𝑐= 0(𝑎≠0)根与系数的关系：若方程的两实数根为𝑥1,𝑥2，则
𝑥1 + 𝑥2 = −
𝑏
𝑎,𝑥1 ⋅𝑥2 =
𝑐
𝑎．
根据一元二次方程𝑎𝑥2 +𝑏𝑥+ 𝑐= 0(𝑎≠0)根与系数的关系得到𝑥1 + 𝑥2 = −
2
1 = −2,𝑥1 ⋅𝑥2 = 𝑝，然后通分，
1
𝑥1 +
1
𝑥2 =
𝑥1+𝑥2
𝑥1𝑥2 =
−2
𝑝，从而得到关于p 的方程，解方程即可．
【详解】解：∵𝑥1 + 𝑥2 = −
2
1 = −2,𝑥1 ⋅𝑥2 = 𝑝，
∴
1
𝑥1 +
1
𝑥2 =
𝑥1+𝑥2
𝑥1𝑥2 =
−2
𝑝，
而
1
𝑥1 +
1
𝑥2 = 3，
∴
−2
𝑝= 3，
∴𝑝= −
2
3，
故选：A．
【变式3-2】定义(𝑎,𝑏,𝑐)为方程𝑎𝑥2 +𝑏𝑥+ 𝑐= 0的特征数．若特征数为(1,2𝑘−2,𝑘2−𝑘)的方程的两实数根的
平方和为12，则𝑘的值为（ ）
A．−1或4
B．−4
C．−1
D．−4或1
【答案】C
【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系、一元二次方程根的判别式、解一元二次方程，由题意
得出该方程为𝑥2 + (2𝑘−2)𝑥+ 𝑘2−𝑘= 0，由一元二次方程根的判别式得出𝑘≤1，设两实数根为𝑥1，𝑥2，则
𝑥1 + 𝑥2 = −(2𝑘−2)，𝑥1 ⋅𝑥2 = 𝑘2−𝑘，结合方程的两实数根的平方和为12，列出关于𝑘的方程，解方程即可
得出答案．
【详解】解：根据题意可知，该方程为𝑥2 + (2𝑘−2)𝑥+ 𝑘2−𝑘= 0，
∵方程的两实数根的平方和为12，
∴Δ = (2𝑘−2)2−4(𝑘2−𝑘) = 4𝑘2−8𝑘+ 4−4𝑘2 +4𝑘= −4𝑘+ 4 ≥0，
∴𝑘≤1，
设两实数根为𝑥1，𝑥2，则𝑥1 + 𝑥2 = −(2𝑘−2)，𝑥1 ⋅𝑥2 = 𝑘2−𝑘，
∵𝑥1
2 + 𝑥2
2 = (𝑥1 + 𝑥2)2−2𝑥1 ⋅𝑥2 = 12
∴−(2𝑘−2)
2
−2(𝑘2−𝑘) = 12，
整理得：𝑘2−3𝑘−4 = 0，
解得：𝑘1 = 4，𝑘2 = −1，
∵𝑘≤1，
∴𝑘= −1，
故选：C．
【变式3-3】已知关于x 的一元二次方程𝑥2−6𝑥+ 𝑚+ 4 = 0有两个实数根𝑥1，𝑥2，若𝑥1，𝑥2满足3𝑥1 = |𝑥2|
+2，则m 的值为_____________
【答案】4
【分析】由韦达定理得出x1+x2=6，x1·x2=m+4，将已知式子3x1= | x2|+2 去绝对值，对x2 进行分类讨论，列
方程组求出x1、x2 的值，即可求出m 的值.
【详解】由韦达定理可得x1+x2=6，x1·x2=m+4，
①当x2≥0 时，3x1=x2+2，
3𝑥1 = 𝑥2 + 2
𝑥1 + 𝑥2 = 6
，解得
𝑥1 = 2
𝑥2 = 4
，
∴m=4；
②当x2＜0 时，3x1=2﹣x2，
3𝑥1 = 2−𝑥2
𝑥1 + 𝑥2 = 6
，解得
𝑥1 = −2
𝑥2 = 8
，不合题意，舍去.
∴m=4.
故答案为4.
【点睛】本题主要考查一元二次方程根与系数的关系，其中对x2 分类讨论去绝对值是解题的关键.
【题型4 利用根与系数的关系分式化整求值】
【例4】已知互不相等的三个实数a、b、c 满足
𝑐
𝑎= −𝑎−3，
𝑐
𝑏= −𝑏−3，求
𝑎2
𝑐+
𝑏2
𝑐−
9
𝑐的值_____．
【答案】﹣2
【分析】将已知的两等式去分母得到关系式a2+3a+c=0 和b2+3b+c=0，把a、b 看成方程x2+3x+c=0 的两根，
由根与系数的关系得到a+b=﹣3，ab=c，所求式子变形后，把a+b=﹣3，ab=c 代入，即可求出值．
【详解】由
𝑐
𝑎=﹣a﹣3 得：a2+3a+c=0①；
由
𝑐
𝑏=﹣b﹣3 得： b2+3b+c=0②；
∵a≠b，∴a、b 可以看成方程x2+3x+c=0 的两根，∴a+b=﹣3，ab=c；
∴
𝑎2
𝑐+
𝑏2
𝑐﹣
9
𝑐=
𝑎2+𝑏2−9
𝑐
=
(𝑎+𝑏)2−2𝑎𝑏−9
𝑐
=
9−2𝑐−9
𝑐
=
−2𝑐
𝑐=﹣2．
故答案为﹣2．
【点睛】本题考查了根与系数的关系以及分式的加减运算，灵活变换已知等式是解答本题的关键．
【变式4-1】已知𝛼、𝛽是方程𝑥2−7𝑥+ 8 = 0的两根，且𝛼> 𝛽，则
2
𝛼+3𝛽2的值为（ ）
A．
1
8(403−85 17)
B．
1
4(403−85 17)
C．95
D．17
【答案】A
【分析】本题考查了完全平方公式、一元二次方程的根与系数的关系，熟练掌握一元二次方程的根与系数
的关系是解题关键．先设𝑝=
2
𝛼+3𝛽2，𝑞=
2
𝛽+3𝛼2，则可用𝛼、𝛽表示𝑝+ 𝑞，𝑝−𝑞，再根据一元二次方程的
根与系数的关系可得𝛼+ 𝛽= 7，𝛼𝛽= 8，则可得𝑝+ 𝑞，𝑝−𝑞的值，然后将两个式子相加即可得．
【详解】解：设𝑝=
2
𝛼+3𝛽2，𝑞=
2
𝛽+3𝛼2，
∴𝑝+ 𝑞=
2
𝛼+3𝛽2 +
2
𝛽+3𝛼2 =
2(𝛼+𝛽)
𝛼𝛽
+3(𝛼+ 𝛽)2−6𝛼𝛽，
𝑝−𝑞=
2
𝛼+3𝛽2−
2
𝛽−3𝛼2 =
2(𝛽−𝛼)
𝛼𝛽
−3(𝛼−𝛽)(𝛼+ 𝛽)，
∵𝛼、𝛽是方程𝑥2−7𝑥+ 8 = 0的两根，
∴𝛼+ 𝛽= 7，𝛼𝛽= 8，
∴(𝛼−𝛽)2 = (𝛼+ 𝛽)2−4𝛼𝛽= 17，
∵𝛼> 𝛽，
∴𝛼−𝛽=
17（负值已舍去），
∴𝑝+ 𝑞=
2×7
8 +3 × 72−6 × 8 =
403
4 ，
𝑝−𝑞=
−2 17
8
−3 17 × 7 = −
85 17
4
，
将两个式子相加得：2𝑝=
403
4 −
85 17
4
，
∴𝑝=
1
8(403−85 17)，
即
2
𝛼+3𝛽2 =
1
8(403−85 17)，
故选：A．
【变式4-2】（2025·四川南充·一模）若m，n 是方程𝑥2 +𝑥−3 = 0的两个不相等的实数根，则2𝑚+ 𝑛+
3
𝑛的
值为（ ）
A．−1
B．1
C．−3
D．3
【答案】A
【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，利用二次方程根与系数的关系，得到 𝑚+ 𝑛= −1和
𝑚𝑛= −3，并将表达式中的
3
𝑛 转化为−𝑚，从而简化原式．
【详解】解：∵ m，n 是方程 𝑥2 +𝑥−3 = 0 的两个根，
∴ 𝑚+ 𝑛= −1，𝑚𝑛= −3，
∴
3
𝑛=
−𝑚⋅𝑛
𝑛
= −𝑚，
∴ 2𝑚+ 𝑛+
3
𝑛= 2𝑚+ 𝑛−𝑚= 𝑚+ 𝑛= −1，
故选：A．
【变式4-3】（24-25 九年级上·湖北武汉·月考）如果m，n 是一元二次方程𝑥2 +𝑥−3 = 0的两个根，那么多
项式𝑚3 +3𝑛−𝑚𝑛+
3
𝑛+2032的值是_______．
【答案】2029
【分析】本题考查了根与系数的关系，一元二次方程的解，熟练掌握𝑥1，𝑥2是一元二次方程𝑎𝑥2 +𝑏𝑥+ 𝑐= 0
(𝑎≠0)的两根时，𝑥1 + 𝑥2 = −
𝑏
𝑎，𝑥1𝑥2 =
𝑐
𝑎是解题的关键．先根据根与系数的关系得出𝑚+ 𝑛= −1，
𝑚𝑛= −3，再利用一元二次方程解的定义得到𝑚2 = −𝑚+ 3，
1
𝑛=
𝑛+1
3 ，从而得到𝑚3 = 4𝑚−3，
3
𝑛= 𝑛+ 1，
则原式化简为4(𝑚+ 𝑛)−𝑚𝑛+ 2032，最后利用整体代入的方法计算即可．
【详解】解：∵𝑚、𝑛是一元二次方程𝑥2 +𝑥−3 = 0的两个实数根
∴𝑚+ 𝑛= −1，𝑚𝑛= −3，𝑚2 +𝑚−3 = 0，𝑛2 +𝑛−3 = 0
∴𝑚2 = −𝑚+ 3，𝑛(𝑛+ 1) = 3
∴𝑚3 = 𝑚(−𝑚+ 3) = −𝑚2 + 3𝑚= −(−𝑚+ 3) + 3𝑚= 4𝑚−3
1
𝑛=
𝑛+1
3 ，即
3
𝑛= 𝑛+ 1
∴𝑚3 + 3𝑛−𝑚𝑛+ 3
𝑛+ 2032
= 4𝑚−3 + 3𝑛−𝑚𝑛+ 𝑛+ 1 + 2032
= 4𝑚+ 4𝑛−𝑚𝑛−2 + 2032
= 4(𝑚+ 𝑛)−𝑚𝑛+ 2030
= 4 × (−1)−(−3) + 2030
= 2029
故答案为：2029．
【题型5 根与系数的关系关联根的判别式】
【例5】已知：关于𝑥的方程𝑥2−2(𝑚+ 1)𝑥+ 𝑚2 +2 = 0．
(1)若方程有两个实数根，求𝑚的取值范围；
(2)若两实数根𝑥1、𝑥2满足𝑥1 + 𝑥2 = 𝑥1𝑥2，求𝑚的值．
【答案】(1)𝑚≥
1
2
(2)𝑚= 2
【分析】本题考查一元二次方程根的判别式及根与系数的关系的应用；
（1）利用一元二次方程有两个实数根时，判别式Δ ≥0，列不等式求解𝑚的取值范围
（2）根据一元二次方程根与系数的关系，用含𝑚的代数式表示两根之和与两根之积，结合已知等式列方程
求解，再结合第一问中𝑚的取值范围舍去不符合题意的解．
【详解】（1）解： 对于方程𝑥2−2(𝑚+ 1)𝑥+ 𝑚2 +2 = 0，
其中𝑎= 1，𝑏= −2(𝑚+ 1)，𝑐= 𝑚2 +2
Δ = 𝑏2−4𝑎𝑐= [−2(𝑚+ 1)]2−4 × 1 × (𝑚2 +2)
= 4(𝑚2 + 2𝑚+ 1)−4𝑚2−8
= 4𝑚2 +8𝑚+ 4−4𝑚2−8
= 8𝑚−4
∵方程有两个实数根 ，
∴Δ ≥0 ，即8𝑚−4 ≥0，
解得𝑚≥
1
2；
（2）解： ∵𝑥1、𝑥2是方程𝑥2−2(𝑚+ 1)𝑥+ 𝑚2 +2 = 0的两个实数根
∴𝑥1 + 𝑥2 = 2(𝑚+ 1)，𝑥1𝑥2 = 𝑚2 +2
∵𝑥1 + 𝑥2 = 𝑥1𝑥2
∴2(𝑚+ 1) = 𝑚2 +2
整理得𝑚2−2𝑚= 0
因式分解得𝑚(𝑚−2) = 0
解得𝑚= 0或𝑚= 2
又∵由（1）知𝑚≥
1
2
∴𝑚= 0不符合题意，舍去
∴𝑚= 2
【变式5-1】（25-26 九年级上·四川成都·期末）已知关于𝑥的一元二次方程𝑥2−3𝑥+ 𝑚+ 1 = 0．
(1)若该方程有实数根，求𝑚的取值范围；
(2)若该方程的一个根是−1，求它的另一个根及𝑚的值．
【答案】(1)𝑚≤
5
4
(2)4，−5
【分析】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，根与系数的关系，一元二次方程的解，熟练掌握相关
知识点是解题的关键．
（1）利用一元二次方程根的判别式，即可求解；
（2）把𝑥= −1代入方程，可求出m 的值，再利用一元二次方程根与系数的关系，即可求解．
【详解】（1）解：∵方程有实数根，
∴Δ = (−3)2−4 × 1 × (𝑚+ 1) ≥0，即5−4𝑚≥0，
解得：𝑚≤
5
4，
∴m 的取值范围是𝑚≤
5
4．
（2）解：把𝑥= −1代入方程得：(−1)2−3 × (−1) +𝑚+ 1 = 0，
解得：𝑚= −5，
∴原方程为𝑥2−3𝑥−4 = 0，
设方程的另一个根为a，
∵方程有一个根是𝑥= −1，
∴𝑎+ (−1) = 3，
解得：𝑎= 4，
即方程的另一个根为4，𝑚的值为−5．
【变式5-2】（25-26 九年级上·四川宜宾·期末）关于𝑥的一元二次方程𝑥2−(2𝑚−1)𝑥−2𝑚2 = 0．
(1)求证：无论𝑚为何值，方程总有实数根；
(2)若𝑥1,𝑥2是关于𝑥的方程𝑥2−(2𝑚−1)𝑥−2𝑚2 = 0的两个根，且|
𝑥1
𝑥2| = 2，求𝑚的值．
【答案】(1)见解析
(2)𝑚= 1或𝑚=
1
3
【分析】本题考查一元二次方程根的情况与判别式关系，一元二次方程根与系数的关系，解一元二次方程，
熟记一元二次方程根的判别式及根与系数的关系是解决问题的关键．
（1）根据一元二次方程根的情况与判别式的关系，只要判定Δ ≥0即可得到答案；
（2）根据一元二次方程根与系数的关系得到𝑥1 + 𝑥2 = 2𝑚−1，𝑥1𝑥2 = −2𝑚2，由已知得到𝑥1 = 2𝑥2或𝑥1
= −2𝑥2，代入整理得到3𝑚2−4𝑚+ 1 = 0，然后解方程即可得到答案．
【详解】（1）证明：∵关于𝑥的一元二次方程𝑥2−(2𝑚−1)𝑥−2𝑚2 = 0，
∴𝑎= 1，𝑏= −(2𝑚−1)，𝑐= −2𝑚2，
∴Δ = 𝑏2−4𝑎𝑐= −(2𝑚−1)
2
−4 × 1 × (−2𝑚2) = (2𝑚−1)2 +8𝑚2，
∵(2𝑚−1)2 ≥0（𝑚=
1
2时取等号），8𝑚2 ≥0（𝑚= 0时取等号），
∴Δ > 0，
∴不论𝑚为何值，方程总有实数根；
（2）解：∵𝑥1，𝑥2是关于x 的一元二次方程𝑥2−(2𝑚−1)𝑥−2𝑚2 = 0的两个实数根，
∴𝑥1 + 𝑥2 = 2𝑚−1，𝑥1𝑥2 = −2𝑚2，
∵|
𝑥1
𝑥2| = 2，
∴𝑥2 ≠0且𝑥1 = 2𝑥2或𝑥1 = −2𝑥2，
∴𝑚≠0，
当𝑥1 = 2𝑥2时，𝑥1 + 𝑥2 = 3𝑥2 = 2𝑚−1，𝑥1𝑥2 = 2𝑥2
2 = −2𝑚2（舍去），
当𝑥1 = −2𝑥2时，𝑥1 + 𝑥2 = −𝑥2 = 2𝑚−1，𝑥1𝑥2 = −2𝑥2
2 = −2𝑚2，
∴𝑥2 = 1−2𝑚，𝑥2
2 = 𝑚2，
∴(1−2𝑚)2 = 𝑚2，即3𝑚2−4𝑚+ 1 = 0，
解得𝑚= 1或𝑚=
1
3．
【变式5-3】（25-26 九年级上·山东枣庄·期末）【知识技能】
材料1：小明在学习一元二次方程解时，发现：若关于𝑥的一元二次方程𝑎𝑥2 +𝑏𝑥+ 𝑐= 0 (𝑎≠0)的两个实
数根为𝑥1，𝑥2和系数𝑎，𝑏，𝑐有如下关系：
𝑥1 + 𝑥2 = −
𝑏
𝑎，𝑥1𝑥2 =
𝑐
𝑎．
材料2：已知一元二次方程𝑥2−𝑥−1 = 0的两个实数根分别为𝑚，𝑛，在不解方程的情况下，求𝑚2𝑛+ 𝑚𝑛2的
值．
解：∵一元二次方程𝑥2−𝑥−1 = 0的两个实数根分别为𝑚，𝑛，∴𝑚+ 𝑛= 1，𝑚𝑛= −1，则𝑚2𝑛+ 𝑚𝑛2 = 𝑚𝑛
(𝑚+ 𝑛) = −1 × 1 = −1．
【数学理解】
（1）若一元二次方程4𝑥2−𝑥−2 = 0的两个实数根为𝑥1，𝑥2，则𝑥1 + 𝑥2 = ___________，𝑥1𝑥2 = ____________．
【拓展探索】
（2）已知一元二次方程2𝑥2 +3𝑥−1 = 0的两个实数根分别为𝑠，𝑡，在不解方程的情况下，求𝑠2 + 𝑡2的值．
【答案】（1）
1
4，−
1
2；（2）
13
4 ．
【分析】本题考查了根与系数的关系，通过完全平方公式进行变形求值，掌握一元二次方程根与系数的关
系是解题的关键．
（1）利用根与系数的关系即可求解；
（2）利用根与系数的关系得𝑠+ 𝑡= −
3
2，𝑠𝑡= −
1
2，然后根据𝑠2 + 𝑡2 = (𝑠+ 𝑡)2−2𝑠𝑡即可求解．
【详解】（1）解：∵一元二次方程4𝑥2−𝑥−2 = 0的两个实数根为𝑥1，𝑥2，
∴𝑥1 + 𝑥2 =
1
4，𝑥1𝑥2 = −
1
2，
故答案为：
1
4，−
1
2；
（2）解：∵𝑠、𝑡是方程2𝑥2 +3𝑥−1 = 0的两个实数根，
∴𝑠+ 𝑡= −
3
2，𝑠𝑡= −
1
2，
∴𝑠2 + 𝑡2 = (𝑠+ 𝑡)2−2𝑠𝑡= −
3
2
2
−2 × −
1
2 =
13
4 ．
【题型6 利用根与系数的关系分类解析根分布】
【例6】（25-26 九年级上·湖北恩施·期末）已知关于𝑥的一元二次方程𝑥2−(𝑚−2)𝑥−2𝑚= 0．
(1)判断此方程的根的情况；
(2)若该方程的两根异号，且负根的绝对值较大，求整数𝑚的值．
【答案】(1)该方程总有两个实数根；
(2)𝑚= 1．
【分析】本题考查了根的判别式及一元二次方程根与系数的关系．
（1）利用根的判别式求得Δ = (𝑚+ 2)2 ≥0，即可得到方程总有两个实数根；
（2）根据根与系数的关系求得𝑥1 + 𝑥2 = 𝑚−2，𝑥1𝑥2 = −2𝑚，根据题意得到𝑥1𝑥2 < 0，𝑥1 + 𝑥2 < 0，据此
计算得出答案即可．
【详解】（1）解：𝑥2−(𝑚−2)𝑥−2𝑚= 0，
∴Δ = −(𝑚−2)
2
−4 × (−2𝑚) = 𝑚2 +4𝑚+ 4 = (𝑚+ 2)2，
∵(𝑚+ 2)2 ≥0，
∴该方程总有两个实数根；
（2）解：设两根为𝑥1和𝑥2且𝑥2 > 𝑥1，
由根与系数的关系得：𝑥1 + 𝑥2 = 𝑚−2，𝑥1𝑥2 = −2𝑚，
∵该方程的两根异号，且负根的绝对值较大，
∴𝑥1𝑥2 < 0，𝑥1 + 𝑥2 < 0，
∴−2𝑚< 0，𝑚−2 < 0，
解得0 < 𝑚< 2，
∴整数𝑚= 1．
【变式6-1】关于𝑥的方程(𝑥−2)(𝑥+ 1) = 𝑝2（𝑝为常数）根的情况，下列结论中正确的是（ ）
A．有两个相异正根
B．有两个相异负根
C．有一个正根和一个负根
D．无实数
根
【答案】C
【分析】先对方程进行化简，然后再根据一元二次方程根的判别式可进行求解．
【详解】解：由题意得：方程可化为𝑥2−𝑥−2−𝑝2 = 0，
∴Δ = (−1)2−4(−2−𝑝2) = 1 + 8 + 4𝑝2 = 4𝑝2 +9 > 0，
∴该方程有两个不相等的实数根，
设该方程的两个根为𝑥1,𝑥2，则根据根与系数的关系可知：𝑥1 ⋅𝑥2 = −2−𝑝2 < 0，
∴该方程的两个根为一正一负，
故选C．
【点睛】本题主要考查一元二次方程根的判别式及根与系数的关系，熟练掌握一元二次方程根的判别式及
根与系数的关系是解题的关键．
【变式6-2】关于 𝑥 的一元二次方程 𝑥2−(𝑚−2)𝑥−
𝑚2
4 = 0 有一个正根、一个负根，且正根的绝对值不大
于负根的绝对值，则𝑚的取值范围是_____________
【答案】𝑚≤2且m≠0
【分析】根据根与系数的关系判断即可．
【详解】设方程得两个根为𝑥1,𝑥2，𝑥1 < 0 < 𝑥2，|𝑥1| ≥|𝑥2|
∴𝑥1 + 𝑥2 ≤0
∵于 𝑥 的一元二次方程 𝑥2−(𝑚−2)𝑥−
𝑚2
4 = 0 有一个正根、一个负根，
∴𝑥1 + 𝑥2 = 𝑚−2 ≤0且m≠0
解得𝑚≤2且m≠0
故答案为：𝑚≤2且m≠0．
【点睛】本题考查一元二次方程的根与系数的关系，熟记𝑥1 + 𝑥2 = −
𝑏
𝑎是解题的关键．
【变式6-3】关于𝑥的方程𝑥2−2(𝑘−1)𝑥+ 𝑘2 = 0有两个不相等的实数根𝑥1，𝑥2．
(1)求𝑘的取值范围．
(2)若𝑘≠0，试说明此方程有两个负根．
(3)在(2)的条件下，若|𝑥1|−|𝑥2| = 4，求𝑘的值．
【答案】（1）𝑘<
1
2；（2）详见解析；（3）𝑘= −
3
2．
【分析】（1）根据判别式的意义得到△=4（k-1）2-4k2＞0，然后解不等式即可；
（2）根据根与系数的关系得到x1+x2=2（k-1），x1•x2=k2，由于k＜
1
2，k≠0，所以x1+x2=2（k-1）＜0，x1•x2=k2
＞0，然后根据有理数乘法的运算性质得到x1，x2 都为负数；
（3）先根据x1，x2 都为负数，去绝对值得到-x1+x2=4，两边平方后变形得到（x1+x2）2-4x1x2=16，则4（k-1）
2-4k2=16，然后解方程即可．
【详解】（1）根据题意得△= 4(k−1)2−4k2 > 0，
解得k <
1
2；
（2）∵k <
1
2，k ≠0，
∴x1 + x2 = 2(k−1) < 0，x1 ⋅x2 = k2 > 0，
∴x1，x2都为负数，即此方程有两个负根；
（3）∵x1，x2都为负数，|x1|−|x2| = 4，
∴−x1 + x2 = 4，
∴(x1 + x2)2−4x1x2 = 16，
∴4(k−1)2−4k2 = 16，
∴k = −
3
2．
【点睛】本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根的判别式△=b2-4ac 以及一元二次方程的根与系数
的关系，当△＞0，方程有两个不相等的实数根；当△=0，方程有两个相等的实数根；当△＜0，方程没有实
数根．
【题型7 利用方程的根和根与系数的关系构建方程】
【例7】（25-26 八年级下·浙江杭州·期中）思维拓展：已知实数s，t 分别满足19𝑠2 +99𝑠+ 1 = 0，𝑡2
+99𝑡+ 19 = 0,(𝑠𝑡≠0)则
𝑠𝑡+4𝑠+1
𝑡
= ____________
【答案】−5
【分析】根据题意可知s 与
1
𝑡是方程19𝑥2 +99𝑥+ 1 = 0的两个根，由根与系数的关系分别求出两根的和与两
根的积，代入代数式即可求出代数式的值．
【详解】解：∵𝑠𝑡≠0，
∴𝑡≠0，
方程𝑡2 +99𝑡+ 19 = 0两边除以𝑡2得到：19
1
𝑡2 +99
1
𝑡+1 = 0，
即19
1
𝑡
2
+99
1
𝑡+1 = 0，
∴s 与
1
𝑡是方程19𝑥2 +99𝑥+ 1 = 0的两个根，
∴𝑠+
1
𝑡= −
99
19，𝑠⋅
1
𝑡=
1
19，
∴
𝑠𝑡+4𝑠+1
𝑡
= 𝑠+
1
𝑡+
4𝑠
𝑡= −
99
19 +
4
19 = −
95
19 = −5，
故
𝑠𝑡+4𝑠+1
𝑡
的值为−5．
【变式7-1】（2025·湖南湘西·模拟预测）若实数a，b 满足𝑎2−8𝑎+ 5 = 0，𝑏2−8𝑏+ 5 = 0，则
𝑏−1
𝑎−1 +
𝑎−1
𝑏−1的
值为（ ）
A．
1
2
B．−2或20
C．2 或−20
D．−20
【答案】C
【分析】本题考查了根与系数的关系，关键是把a、b 看作是方程𝑥2−8𝑥+ 5 = 0的解，然后根据根与系数
的关系解题．分两种情况：当𝑎= 𝑏时，直接计算表达式；当𝑎≠𝑏时，将a 和b 视为方程𝑥2−8𝑥+ 5 = 0的
两个根，利用根与系数关系求𝑎+ 𝑏和𝑎𝑏，再化简表达式即可．
【详解】解：①当𝑎= 𝑏时：
∵a 和b 满足𝑎2−8𝑎+ 5 = 0，且𝑎≠1（因为代入𝑎= 1得1−8 + 5 = −2 ≠0），
∴原式=
𝑎−1
𝑎−1 +
𝑎−1
𝑎−1 = 1 + 1 = 2；
②当𝑎≠𝑏时：
∵a 和b 是方程𝑥2−8𝑥+ 5 = 0的两个根，
∴𝑎+ 𝑏= 8，𝑎𝑏= 5，
原式=
(𝑏−1)2+(𝑎−1)2
(𝑎−1)(𝑏−1)
=
𝑎2+𝑏2−2(𝑎+𝑏)+2
𝑎𝑏−(𝑎+𝑏)+1
，
∵𝑎2 + 𝑏2 = (𝑎+ 𝑏)2−2𝑎𝑏= 64−10 = 54，
∴分子= 54−2 × 8 + 2 = 40，分母= 5−8 + 1 = −2，
∴原式=
40
−2 = −20，
综上所述，原式的值为2 或−20．
故选：C．
【变式7-2】（25-26 八年级下·山东淄博·期中）已知𝑎≠𝑏，且𝑎2−5𝑎−1 = 0，𝑏2−5𝑏−1 = 0，则
1
3𝑎+
1
3𝑏的
值为___________．
【答案】−
5
3/−1
2
3
【分析】由题意可得𝑎、𝑏是一元二次方程𝑥2−5𝑥−1 = 0的两个不相等的实数根，由一元二次方程根与系数
的关系可得𝑎+ 𝑏= 5，𝑎𝑏= −1，再将所求式子进行变形，整体代入计算即可得出结果．
【详解】解：∵𝑎≠𝑏，且𝑎2−5𝑎−1 = 0，𝑏2−5𝑏−1 = 0，
∴𝑎、𝑏是一元二次方程𝑥2−5𝑥−1 = 0的两个不相等的实数根，
∴𝑎+ 𝑏= −
−5
1 = 5，𝑎𝑏=
−1
1 = −1，
∴
1
3𝑎+
1
3𝑏=
𝑏+𝑎
3𝑎𝑏=
5
3×(−1) = −
5
3．
【变式7-3】（25-26 九年级上·江苏徐州·期中）已知实数𝑎、𝑏、𝑐满足𝑎+ 𝑏+ 𝑐= 2，𝑏𝑐=
1
4𝑎2−1，则实数𝑎
的最大值为______．
【答案】2
【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，根的判别式，解题关键是利用根与系数的关系构造一
元二次方程．
由已知条件，将𝑏和𝑐视为二次方程的两个根，利用根与系数的关系构造一元二次方程，根据实数根的条件
判别式非负，求解𝑎的取值范围，从而得到最大值．
【详解】解：∵𝑎+ 𝑏+ 𝑐= 2，
∴𝑏+ 𝑐= 2−𝑎，
又∵𝑏𝑐=
1
4𝑎2−1，且𝑏和𝑐为实数，
∴以𝑏、𝑐为根的二次方程𝑥2−(𝑏+ 𝑐)𝑥+ 𝑏𝑐= 0有实数根，
即判别式𝛥= (𝑏+ 𝑐)2−4𝑏𝑐≥0，
将𝑏+ 𝑐= 2−𝑎，𝑏𝑐=
1
4𝑎2−1代入，
得(2−𝑎)2−4
1
4 𝑎2−1 ≥0，
解得𝑎≤2，
即𝑎的最大值为2．
故答案为：2．
