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专题04 二次函数图象与面积（举一反三专项训练）
【新教材人教版】
【题型1 二次函数中割补法求图形面积】............................................................................................................1
【题型2 二次函数中铅锤法求图形面积】............................................................................................................2
【题型3 二次函数中平行转化法求图形面积】..................................................................................................4
【题型4 二次函数中面积转化技巧】....................................................................................................................6
知识点1 割补法
类型
割补法
图示
解题思路
𝑆△𝑃𝐴𝐵= 𝑆四边形𝐴𝑀𝑁𝐵−𝑆△𝑃𝐴𝑀−𝑆△𝑃𝐵𝑁
𝑆△𝑃𝐵𝐶= 𝑆△𝑃𝑂𝐶+ 𝑆△𝑃𝑂𝐵−𝑆△𝑂𝐵𝐶
【题型1 二次函数中割补法求图形面积】
【例1】如图，已知抛物线过点𝑂(0,0)，𝐴(5,5)，且它的对称轴为𝑥= 2，点𝐵是抛物线对称轴上的一点，且
点𝐵在第一象限．当△𝑂𝐴𝐵的面积为15 时，求𝐵的坐标为________．
【变式1-1】（25-26 九年级上·上海浦东新·阶段检测）如图所示，二次函数𝑦= 𝑥2 +𝑏𝑥−4的图象与x 轴分别
交于A，D 两点，与y 轴交于点C，点E 坐标(−2,0)，过点E 且垂直x 轴的直线𝐸𝐵交抛物线于点B，若
𝑆△𝐵𝐶𝐷= 3，则𝑏= ____________．
题型归纳
【变式1-2】（2026·江苏徐州·三模）已知如图，抛物线𝑦= 𝑎𝑥2 +𝑏𝑥+ 3与x 轴交于点𝐴(−1,0),𝐵(3,0)两点，
与y 轴交于点C．
(1)求抛物线解析式及顶点坐标；
(2)已知点P 是抛物线对称轴上一点，若𝑆△𝑃𝐶𝐴= 5，求P 点的坐标．
【变式1-3】（2026·海南省直辖县级单位·一模）如图，已知二次函数𝑦= −𝑥2 +𝑏𝑥+ 𝑐（𝑏，𝑐为常数）的图
象经过点𝐶(0,4)，且交𝑥轴于点𝐴(−1,0)、B，D 是抛物线的顶点．
(1)求二次函数的解析式；
(2)求△𝐵𝐶𝐷的面积；
(3)当−2 ≤𝑥≤2时，求𝑦的取值范围；
(4)当𝑚≤𝑥≤3时，若𝑦的最大值与最小值之和为10，求𝑚的值．
知识点2 铅锤法
类型
铅锤法
图示
解题
思路
𝑆△𝐴𝐵𝐶= 1
2 𝐶𝐷⋅|𝑥𝐵−𝑥𝐴|
𝑆△𝐴𝐵𝐶= 1
2 𝐴𝐷⋅|𝑥𝐵−𝑥𝐶|
𝑆△𝐴𝐵𝐶= 1
2 𝐵𝐷⋅|𝑥𝐶−𝑥𝐴|
【题型2 二次函数中铅锤法求图形面积】
【例2】已知抛物线𝑦= −𝑥2 +𝑚𝑥+ 𝑚+ 1与𝑥轴交于𝐴(−1,0)、𝐵(𝑚+ 1,0)两点（A 在B 左边），与𝑦轴交于
点C．直线𝑙1经过B、C 两点．
(1)若B 点坐标为（4,0）
①求此时抛物线的解析式和直线𝑙1的解析式；
②如图1，点P 为𝑙1上方抛物线上一点，连接𝑃𝐵，𝑃𝐶，当𝑆△𝑃𝐵𝐶=
3
4𝑆△𝑂𝐵𝐶时，求点P 的坐标．
(2)如图2，直线𝑙1沿𝐵𝐴方向，向左平移3 个单位得到直线𝑙2，将直线𝑙1上方的抛物线图象沿直线𝑙1翻折后恰
好与直线𝑙2有且只有一个交点，求此时直线𝑙2的解析式．
【变式2-1】（2026·安徽阜阳·二模）在平面直角坐标系中，抛物线𝑦= −𝑥2 +𝑏𝑥+ 𝑐与𝑥轴交于点𝐴(−1,0)，
𝐵(3,0)，与𝑦轴交于点𝐶．
(1)求该抛物线的顶点坐标；
(2)点𝑃是抛物线上的一个动点且位于𝐵𝐶上方．
（i）如图1，连接𝐵𝑃，𝐶𝑃，若△𝐵𝐶𝑃的面积为3，求点𝑃的坐标；
（ii）如图2，直线𝑙是抛物线的对称轴且与𝑥轴交于点𝐷，直线𝐴𝑃，𝐵𝑃分别与直线𝑙交于点𝑁，𝑀，求𝐷𝑀+ 𝐷𝑁
的值．
【变式2-2】如图，直线𝑦= −𝑥+ 3与𝑥轴、𝑦轴分别交于𝐵、𝐶两点，抛物线𝑦= −𝑥2 +𝑏𝑥+ 𝑐经过𝐵、𝐶两点，
与𝑥轴另一交点为𝐴，顶点为𝐷．
(1)求抛物线的解析式；
(2)点𝑃在抛物线第一象限内，连接𝑃𝐵，𝑃𝐶， 求△𝑃𝐵𝐶的面积𝑆的最大值．
【变式2-3】（2026·黑龙江佳木斯·一模）如图，抛物线 𝑦= 𝑎𝑥2−2𝑥+ 𝑐与x 轴分别交于𝐴(−1,0)，B 两点
（点 A 在点B 的左侧），与 y 轴交于点𝐶(0,−3)．
(1)求抛物线的函数表达式；
(2)线段𝐵𝐶下方的抛物线上是否存在一点E，使 𝑆△𝐵𝐶𝐸=
1
3𝑆四边形𝐴𝐶𝐸𝐵?若存在，请直接写出点E 的坐标；若不
存在，请说明理由．
知识点3 平行转化法
类型
平行转化法
图示
条件
PM∥AC
PM∥AB
结论
𝑆△𝑃𝐴𝐶= 𝑆△𝑀𝐴𝐶
𝑆△𝑃𝐴𝐵= 𝑆△𝑀𝐴𝐵
【题型3 二次函数中平行转化法求图形面积】
【例3】（24-25 九年级上·河南洛阳·期中）已知：二次函数 𝑦= 𝑥2 +𝑏𝑥+ 𝑐的图象与x 轴交于A，B 两点，
其中A 点坐标为 (−3,0)，与y 轴交于点 C，点 𝐷(−2,−3)在抛物线上．
(1)求抛物线的解析式；
(2)若抛物线上有一动点P，且P 在x 轴上方，要使 △𝐴𝐵𝑃的面积为6，求P 点坐标．
【变式3-1】（2026·黑龙江鸡西·模拟预测）2026年“中国航天日”黑龙江分会场活动在哈尔滨举行．其中“水
火箭”制作比赛要求选手用废弃饮料瓶制作水火箭并记录飞行高度．某小组在实验中，水火箭的飞行高度𝑦
（米）与飞行时间𝑥（秒）近似满足二次函数𝑦= 𝑎𝑥2 +𝑏𝑥+ 𝑐已知发射后2秒时高度达到最高点16米，发射
后3秒时高度为15米．
(1)求该二次函数的解析式；
(2)如图，连接𝐴𝐶、𝐵𝐶，在直线𝐵𝐶上方的抛物线上是否存在点𝑃，使得𝑆△𝐵𝐶𝑃=
1
2𝑆△𝐴𝐵𝐶，若存在，请直接写
出点𝑃的坐标；若不存在，请说明理由．
【变式3-2】（2026·福建三明·二模）在平面直角坐标系𝑥𝑂𝑦中，已知抛物线𝑦= 𝑎𝑥2−𝑏𝑥(𝑎> 0)．
(1)当𝑥≤2时，𝑦随𝑥的增大而减小，当𝑥> 2时，𝑦随𝑥的增大而增大，用等式表示𝑎与𝑏关系，并说明理由；
(2)若抛物线经过点𝐴(−1,3)，𝐵(2,0)，且与直线𝑦= 𝑥在第一象限内交于点𝐶；𝐷为抛物线在第四象限的图象
上一点，是否存在这样的点𝐷，使得𝑆△𝐴𝐷𝐶= 2𝑆△𝑂𝐴𝐶？若存在，请求出点𝐷的坐标；若不存在，请说明理由．
【变式3-3】（2026·江苏常州·二模）如图，在平面直角坐标系𝑥𝑂𝑦中，抛物线𝑦= 𝑎𝑥2−2𝑥−3与x 轴交于点
A、B（A 在B 的左边），与y 轴交于点C，抛物线顶点D 的横坐标为1．
(1)点𝐶(0,___)，𝑎= ________，点𝐷(1,___)；
(2)P、Q 是该抛物线上的两个动点（不与点B、C 重合），横坐标分别为m、𝑚+ 2．
①设抛物线在P、Q 两点之间的部分（含P、Q 两点）为图像W，当−1 < 𝑚< 1且𝑚≠0时，若图像W 的
最高点与最低点的纵坐标之差为3，求m 的值；
②当𝑚> 0且𝑚≠1和3 时，若△𝐵𝐶𝑃的面积等于△𝐵𝐶𝑄的面积，求m 的值．
知识点4 面积转化技巧
类型
面积比⟶底的比
面积比⟶高的比
图示
解题思路
𝑆△𝑃𝐴𝐷
𝑆△𝑃𝐵𝐷
⇒𝐴𝐷
𝐵𝐷
𝑆△𝑃𝐴𝐷
𝑆△𝐶𝐴𝐷
⇒𝑃𝐻
𝑂𝐶
【题型4 二次函数中面积转化技巧】
【例4】如图1，抛物线𝑦= −𝑥2 +𝑏𝑥+ 3与x 轴交于A，B 两点，过A 点的直线𝐿:𝑦= −𝑥−1与y 轴交于点
C，点P 为直线L 上方的抛物线上一动点．
(1)求抛物线的解析式；
(2)若过点C 的直线交线段𝐴𝐵于点M，且𝑆△𝐴𝐶𝑀:𝑆△𝐵𝐶𝑀= 3:1，求直线𝐶𝑀的解析式；
(3)如图2，过P 点作𝑃𝐸∥𝑦轴交直线AC 于点E，连接𝐴𝑃．当△𝐴𝑃𝐸为直角三角形时，求点P 的坐标．
【变式4-1】（2026·福建厦门·模拟预测）如图，抛物线𝑦= 𝑎𝑥2 +𝑏𝑥+ 𝑐与y 轴交于点𝐶(0,3)，顶点为D，对
称轴为直线𝑥= −1，点P 在抛物线上，点P 的纵坐标为2，过点P 作x 轴的平行线交抛物线于另一点M，
交y 轴于点E．若△𝐷𝑀𝑃的面积是△𝐶𝑀𝑃的面积的3 倍，求抛物线的解析式．
【变式4-2】如图，抛物线𝑦= 𝑎𝑥2 +𝑏𝑥+ 𝑐与x 轴交于点𝐴(−1,0)和点B，其顶点坐标为(1,4)，P 是第一象
限内抛物线上的动点，过点P 向x 轴作垂线，交直线𝐵𝐶于点M，交x 轴于点N，连接𝑃𝐵、𝑃𝐶．
(1)求该抛物线的解析式；
(2)当𝑃𝑀取得最大值时，求线段𝑀𝑁的长；
(3)若直线𝐵𝐶把△𝐵𝑃𝑁的面积分成2:3两部分，求点P 的坐标．
【变式4-3】（2026·四川自贡·中考真题）平面直角坐标系中，抛物线𝑦= −
1
2𝑥2 +𝑚𝑥+ 𝑛经过(0,6)和(2,4)两
点．
(1)求𝑚，𝑛的值．
(2)如图，过原点𝑂的两条直线与该抛物线相交于点𝐴，𝐵，𝐶，𝐷（点𝐴在第三象限，点𝐶在第二象限）．
①求线段𝑂𝐶长度的最小值；
②连接𝐴𝐶，𝐵𝐷分别交𝑥轴于𝐸，𝐹两点，设△𝑂𝐴𝐸，△𝑂𝐵𝐹的面积分别为𝑆1，𝑆2，是否存在直线𝐴𝐵使𝑆1 = 2
𝑆2?若存在，求出直线𝐴𝐵的解析式；若不存在，请说明理由．
