专题26.3 二次函数的图象和性质（提高篇）（举一反三讲义）
【新教材人教版】
【题型1 二次函数y=ax²+bx+c 图象上点的坐标特征】......................................................................................2
【题型2 二次函数y=ax²+bx+c 的性质】..............................................................................................................4
【题型3 二次函数y=ax²+bx+c 的图象】..............................................................................................................7
【题型4 二次函数图象与各项系数符号】..........................................................................................................10
【题型5 一次函数的图象综合判断】..................................................................................................................13
【题型6 两个二次函数图象的综合判断】..........................................................................................................17
【题型7 用“一般式”求二次函数解析式】...........................................................................................................23
【题型8 用“顶点式”求二次函数解析式】...........................................................................................................26
【题型9 用“交点式”求二次函数解析式】...........................................................................................................30
【题型10 二次函数关于点或直线对称的解析式】..............................................................................................33
【题型11 二次函数图象的平移】..........................................................................................................................37
【题型12 二次函数的对称性】..............................................................................................................................39
【题型13 二次函数的最值】..................................................................................................................................42
【题型14 二次函数的取值范围】..........................................................................................................................44
【题型15 利用二次函数的对称性求最短路径】..................................................................................................47
知识点1 二次函数y=ax²+bx+c(a≠0)的图象和性质
1. 一般式与顶点式的转化
利用配方法，可以将二次函数的一般式𝑦= 𝑎𝑥2 +𝑏𝑥+ 𝑐(𝑎≠0)转化成顶点式𝒚= 𝒂(𝒙−𝒉)𝟐+𝒌，其中𝒉= −
𝒃
𝟐𝒂，𝒌=
𝟒𝒂𝒄−𝒃𝟐
𝟒𝒂
，所以二次函数𝑦= 𝑎𝑥2 +𝑏𝑥+ 𝑐图象的对称轴是直线𝒙= −
𝒃
𝟐𝒂，顶点坐标为−𝒃
𝟐𝒂，
𝟒𝒂𝒄−𝒃𝟐
𝟒𝒂
．
2. 二次函数y=ax²+bx+c(a≠0)的图象和性质
符号
𝑎> 0
𝑎< 0
函数图像
题型归纳
考点1
二次函数y＝ax2+bx+c 的图象和性质
开口方向
向上
向下
对称轴
𝒙= −𝒃
𝟐𝒂
顶点坐标
−
𝒃
𝟐𝒂，
𝟒𝒂𝒄−𝒃𝟐
𝟒𝒂
增减性
在对称轴右侧时，y 随x 的增大
而增大；
在对称轴左侧时，y 随x 的增大
而减小
在对称轴左侧时，y 随x 的增大而
增大；
在对称轴右侧时，y 随x 的增大而
减小
最值
当𝒙= −
𝒃
𝟐𝒂时,𝑦最小值= 4𝑎𝑐−𝑏2
4𝑎
当𝒙= −
𝒃
𝟐𝒂时,𝑦最大值= 4𝑎𝑐−𝑏2
4𝑎
【题型1 二次函数y=ax²+bx+c 图象上点的坐标特征】
【例1】已知二次函数𝑦= 2𝑥2−𝑚𝑥+ 𝑛的顶点坐标为(1,−3)，则（1）𝑚+ 𝑛的值为________；
（2）当0 ≤𝑥≤𝑎时，若y 的最小值与最大值之和为12，则a 的值为________．
【答案】
3
4
【分析】（1）根据二次函数的顶点坐标公式，列式计算即可得解；
（2）分两种情况进行讨论：①当0 ≤𝑎≤2时；②当𝑎> 2时；分别计算即可求出𝑎的值．
【详解】解：（1）∵二次函数𝑦= 2𝑥2−𝑚𝑥+ 𝑛的顶点坐标为(1,−3)，
∴−
−𝑚
2×2 = 1,
4×2×𝑛−(−𝑚)2
4×2
= −3，
∴𝑚= 4,𝑛= −1，
∴𝑚+ 𝑛= 3；
故答案为：3；
（2）由（1）可知：𝑦= 2𝑥2−4𝑥−1 = 2(𝑥−1)2−3，
∵抛物线的对称轴为直线𝑥= 1，
①当0 ≤𝑎≤2时，𝑦的最大值为−1，显然不符合题意；
②当𝑎> 2时，𝑦的最小值为−3，𝑦的最大值为2𝑎2−4𝑎−1，
由−3 + 2𝑎2−4𝑎−1 = 12得
𝑎2−2𝑎−8 = 0，
∴𝑎= 4或𝑎= −2（舍去）
故𝑎= 4；
故答案为：4．
【点睛】此题考查了二次函数的图像与性质，熟练掌握二次函数的顶点坐标、对称轴与运用分类思想与数
形结合思想求函数的最值是解答此题的关键．
【变式1-1】（25-26 九年级上·广东清远·期末）把二次函数𝑦= 𝑥2−2𝑥+ 4变形为𝑦= 𝑎(𝑥−ℎ)2 +𝑘的形式，
则ℎ+ 𝑘的值为______ ．
【答案】4
【分析】先把二次函数化为顶点式，再求出ℎ，𝑘的值，进而可得出结论．
【详解】∵𝑦= 𝑥2−2𝑥+ 4 = 𝑥2−2𝑥+ 1 + 3 = (𝑥−1)2 +3，
∴ℎ= 1，𝑘= 3，
∴ℎ+ 𝑘= 1 + 3 = 4．
【变式1-2】（2025 九年级上·全国·专题练习）如果抛物线𝑦= 𝑥2−6𝑥+ 𝑐−2的顶点到𝑥轴的距离是4，那么𝑐
的值等于( )
A．7
B．15
C．7 或15
D．−7或−15
【答案】C
【分析】本题考查了二次函数的性质和把二次函数解析式化为顶点式；抛物线顶点到𝑥轴的距离是4，即顶
点纵坐标的绝对值为4． 先配方把二次函数解析式化为顶点式，求出顶点纵坐标表达式，解方程即可．
【详解】解：∵𝑦= 𝑥2−6𝑥+ 𝑐−2 = (𝑥−3)2 +𝑐−11
∴顶点坐标为(3,𝑐−11)
依题意，|𝑐−11| = 4
解得：𝑐= 7或𝑐= 15
故选：C．
【变式1-3】（2025·江苏宿迁·三模）定义：抛物线𝑦= 𝑎(𝑥−𝑚)2 +𝑘（a，m，k 为常数，𝑎> 0）中存在一点
𝑃(𝑥0,𝑦0)使得
𝑦0−𝑘
𝑥0−𝑚= 2，则称𝑦0−𝑘为该抛物线的“相对深度”．根据上述定义解答问题：已知抛物线𝑦= 𝑎𝑥2
+2𝑎𝑥+ 1(𝑎> 0)的“相对深度”为6，则a 的值为______．
【答案】
2
3
【分析】本题考查二次函数的应用．理解新定义的意义并应用到二次函数中解决问题是解决本题的关键；
难点是得到用𝑎表示的点𝑃的坐标．
把所给抛物线解析式整理成顶点式，可得𝑚和𝑘的值，易得𝑦0−𝑘= 6，则可得用𝑎表示的𝑦0的值及𝑥0−𝑚的值，
进而可得用𝑎表示的𝑥0的式子，把用𝑎表示的𝑃(𝑥0,𝑦0)代入抛物线解析式，可得𝑎的值．
【详解】解：∵𝑦= 𝑎𝑥2 +2𝑎𝑥+ 1 = 𝑎(𝑥2 + 2𝑥+ 1) +1−𝑎= 𝑎(𝑥+ 1)2 +1−𝑎，
∴𝑚= −1，𝑘= 1−𝑎，
∵抛物线𝑦= 𝑎𝑥2 +2𝑎𝑥+ 1(𝑎> 0)的“相对深度”为6，
∴𝑦0−𝑘= 6，
∴𝑦0 = 6 + 𝑘= 6 + 1−𝑎= 7−𝑎，
∵
𝑦0−𝑘
𝑥0−𝑚= 2，
∴𝑥0−𝑚= 3，
∴𝑥0 = 𝑚+ 3 = −1 + 3 = 2，
∴𝑃(2,7−𝑎)
∴7−𝑎= 𝑎(2 + 1)2 +1−𝑎，
解得：𝑎=
2
3，
故答案为：
2
3．
【题型2 二次函数y=ax²+bx+c 的性质】
【例2】（2026·广东广州·二模）已知抛物线𝑦= −𝑥2 +2𝑘𝑥+ 1与𝑥轴交于(𝑥1,0)，(𝑥2,0)两点，且𝑥1 < 𝑥2．若
点𝐴(𝑚,𝑛)在该抛物线上，则下列判断正确的是（ ）
A．当𝑛> 0时，𝑥1 < 𝑚< 𝑥2
B．当𝑛< 0时，𝑚< 𝑥1
C．当𝑘= 0时，该抛物线的顶点到达最高处
D．该抛物线与𝑦= −𝑥+ 1没有交点
【答案】A
【分析】根据抛物线开口方向，结合与x 轴交点性质、顶点坐标特征、联立方程判断交点个数，逐一分析
选项即可．
【详解】解：∵抛物线 𝑦= −𝑥2 +2𝑘𝑥+ 1 的二次项系数−1 < 0
∴抛物线开口向下，且与𝑥轴交于(𝑥1,0)，(𝑥2,0)，𝑥1 < 𝑥2，
对选项A：点𝐴(𝑚,𝑛)在抛物线上，当𝑛> 0时，𝑥1 < 𝑚< 𝑥2，A 正确；
对选项B：当𝑛< 0时，可得𝑚< 𝑥1或𝑚> 𝑥2，B 错误；
对选项C：将抛物线配方得 𝑦= −(𝑥−𝑘)2 + 𝑘2 +1 ，顶点纵坐标为𝑘2 +1，
∵𝑘2 +1 ≥1，当𝑘= 0时顶点纵坐标最小，该抛物线的顶点没有到达最高处，C 错误；
对选项D：联立𝑦= −𝑥2 +2𝑘𝑥+ 1与𝑦= −𝑥+ 1，
消去𝑦整理得𝑥2−(2𝑘+ 1)𝑥= 0 ，
该方程判别式Δ = (2𝑘+ 1)2 ≥0 ，总有实数根，
∴抛物线与直线总有交点，D 错误．
【变式2-1】（2026·江苏南通·一模）二次函数𝑦= 𝑎𝑥2−4𝑎𝑥+ 2(𝑎< 0)的图象过点𝐴(−1,𝑦1)，𝐵(2,𝑦2)，𝐶
(6,𝑦3)，若𝑦1𝑦2𝑦3 < 0，则𝑎的取值范围是（ ）
A．−
2
5 < 𝑎< −
1
4
B．−
2
5 < 𝑎< −
1
6
C．−
3
4 < 𝑎< −
2
5
D．−
1
3 < 𝑎< −
1
6
【答案】B
【分析】先判断出对称轴为直线𝑥= 2，故点𝐵为顶点坐标．把其余两点代入函数解析中可得𝑦1 = 5𝑎+ 2，
𝑦3 = 12𝑎+ 2，进而可判断出𝑦2 > 𝑦1 > 𝑦3，因为𝑦2 = 2−4𝑎恒为正，且𝑦1𝑦2𝑦3 < 0，故𝑦3必为负，𝑦1必为
正，由此可列不等式组，解不等式组即可解决问题．
【详解】解：由二次函数𝑦= 𝑎𝑥2−4𝑎𝑥+ 2(𝑎< 0)可知对称轴为直线𝑥= 2，故点𝐵为顶点坐标．
𝑦2 = 4𝑎−8𝑎+ 2 = 2−4𝑎，
∵二次函数𝑦= 𝑎𝑥2−4𝑎𝑥+ 2(𝑎< 0)的图象还过𝐴(−1,𝑦1)，𝐶(6,𝑦3)两点，
∴𝑦1 = 𝑎+ 4𝑎+ 2 = 5𝑎+ 2，𝑦3 = 36𝑎−24𝑎+ 2 = 12𝑎+ 2，
比较点𝐴和点𝐶到对称轴𝑥= 2的距离，
即2−(−1) < 6−2，且𝑎< 0，
∴𝑦2 > 𝑦1 > 𝑦3．
∵𝑎< 0，
∴𝑦2 = 2−4𝑎恒为正，
∵𝑦1𝑦2𝑦3 < 0，
∴𝑦3必为负，𝑦1必为正，
故有
𝑎< 0
2−4𝑎> 5𝑎+ 2 > 0
12𝑎+ 2 < 0
，
解得：−
2
5 < 𝑎< −
1
6．
【变式2-2】（2026·江苏宿迁·二模）设二次函数𝑦= 𝑎𝑥2 +𝑏𝑥+ 1（𝑎，𝑏为常数，𝑎≠0）经过点(2,0)、
(−1,𝑞)．若𝑞< 2，则𝑎的取值范围是______．
【答案】𝑎<
1
6且𝑎≠0
【分析】将已知两点代入二次函数解析式，对式子变形整理得到𝑞关于𝑎的表达式，结合𝑞< 2的条件，解不
等式即可得到𝑎的取值范围，再结合𝑎≠0即可得解．
【详解】∵二次函数𝑦= 𝑎𝑥2 +𝑏𝑥+ 1经过点(2,0)、(−1,𝑞)，
∴
0 = 4𝑎+ 2𝑏+ 1①
𝑞= 𝑎−𝑏+ 1②
，
①+ 2 × ②得，2𝑞= 6𝑎+ 3，
∴𝑞= 3𝑎+
3
2，
∵𝑞< 2，
∴3𝑎+
3
2 < 2，解得𝑎<
1
6，
∵𝑎≠0，
∴𝑎的取值范围是𝑎<
1
6且𝑎≠0．
【变式2-3】（25-26 九年级下·福建福州·期中）在平面直角坐标系𝑥𝑂𝑦中，已知抛物线𝑦= 𝑎𝑥2 +𝑏𝑥+ 1（a，
b 为常数且𝑎≠0），已知2𝑎2 +𝑏= 0，𝐴(𝑥1,𝑦1)和𝐵(3𝑎,𝑦2)是抛物线上的两点，对于2 ≤𝑥1 ≤6都有𝑦1 <
𝑦2，则a 的取值范围是_______．
【答案】−2 < 𝑎< 0或𝑎> 2
【分析】由2𝑎2 +𝑏= 0进而得到抛物线的对称轴为𝑥= −
𝑏
2𝑎=
−2𝑎2
−2𝑎= 𝑎，分类讨论，𝑎> 0和𝑎< 0，再根据
增减性和对称性求解即可；
【详解】解：∵2𝑎2 +𝑏= 0，
∴𝑏= −2𝑎2，
∴抛物线的对称轴为𝑥= −
𝑏
2𝑎=
−2𝑎2
−2𝑎= 𝑎，
①当𝑎> 0时，3𝑎> 𝑎，则𝐵(3𝑎,𝑦2)在对称轴右侧，其关于对称轴对称点为(−𝑎,𝑦2)，
∵开口向上，在抛物线对称轴左侧，y 随x 的增大而减小，在对称轴右侧，y 随x 的增大而增大，
∵当2 ≤𝑥1 ≤6有𝑦1 < 𝑦2，
可得
−𝑎< 2
3𝑎> 6
，
解得𝑎> 2；
②当𝑎< 0时，3𝑎< 𝑎，则𝐵(3𝑎,𝑦2)在对称轴左侧，其关于对称轴对称点为(−𝑎,𝑦2)，
∵开口向下，在抛物线对称轴左侧，y 随x 的增大而增大，在对称轴右侧，y 随x 的增大而减小，
∵当2 ≤𝑥1 ≤6有𝑦1 < 𝑦2，
可得3𝑎> 6或−𝑎< 2，
∴𝑎> 2或𝑎> −2
∵𝑎< 0，
解得−2 < 𝑎< 0；
综上，−2 < 𝑎< 0或𝑎> 2．
【题型3 二次函数y=ax²+bx+c 的图象】
【例3】（25-26 九年级上·重庆开州·期中）如图，二次函数𝑦= 𝑎𝑥2 +𝑏𝑥+ 𝑐的部分图象与𝑥轴交于(3,0)，该
函数图象的顶点坐标为(−1,4)，则该函数图象与𝑥轴的另一个交点坐标为_________．
【答案】(−5,0)
【分析】本题主要考查二次函数的性质，根据对称轴写出与𝑥轴的交点坐标是解题的关键．
首先根据顶点坐标得到对称轴，再根据一个与𝑥轴的交点写出另一个与𝑥轴的交点即可．
【详解】解：∵函数图象的顶点坐标为(−1,4)，
∴函数图象的对称轴为直线𝑥= −1，
∵二次函数𝑦= 𝑎𝑥2 +𝑏𝑥+ 𝑐的部分图象与𝑥轴交于(3,0)，
∴另一个交点为(−5,0)，
故答案为：(−5,0)．
【变式3-1】在“探索函数𝑦= 𝑎𝑥2 +𝑏𝑥+ 𝑐的系数a，b，c 与图象的关系”活动中，老师给出了直角坐标系中
的四个点：𝑀(−3,1)，𝑁(−2,3)，𝑃(−1,0)，𝑄(0,2)．同学们探索了经过这四个点中的三个点的二次函数图象，
发现这些图象对应的函数解析式各不相同，其中组成的二次函数图象a 值最小的三点为（ ）
A．M，P，Q
B．M，N，P
C．N，P，Q
D．M，N，Q
【答案】B
【分析】本题考查了二次函数的性质，根据4 个点的位置结合二次函数的性质判断求解即可，解题的关键
是理解题意，掌握二次函数的性质．
【详解】解：由图可知，
过M，P，Q 和过N，P，Q 的二次函数开口向上，𝑎> 0，故排除A 和C，
∵|𝑎|越大，开口越小，
∴当𝑎< 0时，开口小的那个a 更小，
由图可知，过M，N，P 三点的二次函数的开口更小，
∴过M，N，P 三点的二次函数的a 更小，
故选：B．
【变式3-2】如图是二次函数𝑦= 𝑎𝑥2 +𝑏𝑥+ 𝑐图象的一部分，图象过𝐴−3，0 抛物线的对称轴为直线
𝑥= −1，若𝐶
5
2 ,𝑦1 、𝐷−
1
2 ,𝑦2 、𝐸
3
2 ,𝑦3 ，均为函数图象上的点，则𝑦1、𝑦2、𝑦3大小关系为______．
【答案】𝑦1 < 𝑦3 < 𝑦2
【分析】本题考查了二次函数的图象和性质，根据二次函数的图象和性质解答即可．
【详解】解：根据函数的图象知𝑥> −1时，函数𝑦的值随𝑥的增大而减少，
∵−1 < −
1
2 <
3
2 <
5
2，
∴𝑦1 < 𝑦3 < 𝑦2，
故答案为：𝑦1 < 𝑦3 < 𝑦2．
【变式3-3】已知二次函数𝑦= 𝑥2−4𝑥+ 3．
(1)在所给的平面直角坐标系中画出它的图象；
(2)若三点𝐴(𝑥1,𝑦1)，𝐵(𝑥2,𝑦2)，𝐶(𝑥3,𝑦3)且2 < 𝑥1 < 𝑥2 < 𝑥3，则𝑦1，𝑦2，𝑦3的大小关系为 ．
(3)把所画的图象如何平移，可以得到函数 𝑦= 𝑥2的图象?请写出一种平移方案．
【答案】(1)见解析
(2)𝑦1 < 𝑦2 < 𝑦3
(3)先向左平移2 个单位，再向上平移1 个单位可以得到函数𝑦= 𝑥²的图象
【分析】本题主要考查了二次函数的性质，画二次函数图象，二次函数的平移特点，解题的关键是熟练掌
握二次函数的性质．
（1）根据列表、描点、连线，画出函数图象即可；
（2）根据二次函数的增减性，求出结果即可；
（3）根据平移的特点，得出答案即可．
【详解】（1）解：列表：
x
…
0
1
2
3
4
…
𝑦= 𝑥2−4𝑥+ 3
…
3
0
−1
0
3
…
描点，连线，如图所示：
（2）解：∵二次函数𝑦= 𝑥2−4𝑥+ 3 = (𝑥−2)2−1，
∴抛物线的对称轴为直线𝑥= 2，
∵1 > 0，
∴在对称轴的右侧y 随x 的增大而增大，
∵2 < 𝑥1 < 𝑥2 < 𝑥3，
∴𝑦1 < 𝑦2 < 𝑦3；
（3）解：∵𝑦= 𝑥2−4𝑥+ 3 = (𝑥−2)2−1，
∴先向左平移2 个单位，再向上平移1 个单位可以得到函数𝑦= 𝑥²的图象．
知识点2 二次函数y=ax²+bx+c(a≠0)的图象与系数的关系
二次函数𝒚= 𝒂𝒙𝟐+𝒃𝒙+ 𝒄(𝒂≠𝟎)的图象特征与𝒂，𝒃，𝒄，𝒃𝟐−𝟒𝒂𝒄的符号关系
代数式（决定因素）
图像特征
符号判定
抛物线开口向上
𝑎> 0
a(开口方向)
抛物线开口向下
𝑎< 0
对称轴在y 轴右侧，即𝑥= −𝑏
2𝑎> 0
a、b 异号
b(对称轴位置、a 的正负)
对称轴在y 轴左侧，即𝑥= −𝑏
2𝑎< 0
a、b 同号
交于原点
𝑐= 0
交于y 轴正半轴
𝑐> 0
c(抛物线与y 轴交点位置)
交于y 轴负半轴
𝑐< 0
与x 轴有两个交点
𝑏2−4𝑎𝑐> 0
与x 轴有一个交点
𝑏2−4𝑎𝑐= 0
𝑏2−4𝑎𝑐(与x 轴交点个数)
与x 轴没有交点
𝑏2−4𝑎𝑐< 0
【题型4 二次函数图象与各项系数符号】
【例4】二次函数𝑦= 𝑎𝑥2 +𝑏𝑥+ 𝑐的𝑎> 0，𝑏> 0，𝑐> 0，那么其图象必过（ ）
A．第二、三、四象限
B．第一、三、四象限
C．第一、二象限
D．第一、二、三象限
【答案】C
考点2
二次函数y＝ax2+bx+c 的图象与系数的关系
【分析】根据题意可以判断出该抛物线的开口方向、顶点坐标在y 轴的哪一侧，交y 轴的位置，从而可以判
断出该函数图象一定经过哪几个象限即可．
【详解】解：∵二次函数𝑦= 𝑎𝑥2 +𝑏𝑥+ 𝑐的𝑎> 0，
∴该函数图象开口向上，
又∵𝑏> 0，𝑐> 0，
∴𝑥= −
𝑏
2𝑎< 0，顶点在y 轴左侧，经过y 轴正半轴，
∴该二次函数的图象必过第一、二象限．
【变式4-1】（2026·贵州遵义·一模）二次函数𝑦= 𝑎𝑥2 +𝑏𝑥+ 𝑐的图象如图所示，则点𝑃(𝑎,𝑐)所在的象限是
（ ）
A．第一象限
B．第二象限
C．第三象限
D．第四象限
【答案】B
【分析】根据函数图象可得各系数的关系：𝑎< 0，𝑐> 0，则点𝑃(𝑎,𝑐)所在的象限即可判定．
【详解】解：观察图象得：开口向下，与y 轴交于正半轴，
∴𝑎< 0，𝑐> 0，
∴点𝑃(𝑎,𝑐)位于第二象限．
【变式4-2】（2026·河南周口·一模）二次函数𝑦= 𝑎𝑥2 +𝑏𝑥+ 𝑐的图象如图所示，对称轴为𝑥= 1，下列结论：
①𝑎𝑏𝑐> 0；②𝑏2−4𝑎𝑐> 0；③2𝑎+ 𝑏= 0；④𝑎+ 𝑏+ 𝑐< 0，其中正确的个数是（ ）
A．1个
B．2个
C．3个
D．4个
【答案】D
【分析】根据二次函数开口方向、与𝑦轴交点，对称轴位置、与𝑥轴交点确定①②③，再根据顶点坐标确
定④．
【详解】解：由二次函数图象可知，开口向上，与𝑦轴交于负半轴，
∴𝑎> 0，𝑐< 0，
∵二次函数𝑦= 𝑎𝑥2 +𝑏𝑥+ 𝑐的对称轴为𝑥= 1，
∴−
𝑏
2𝑎= 1，即𝑏= −2𝑎< 0，
∴𝑎𝑏𝑐> 0，2𝑎+ 𝑏= 0，结论①、③正确；
∵二次函数图象与𝑥轴有两个交点，
∴𝑎𝑥2 +𝑏𝑥+ 𝑐= 0有两个不等实数根，
∴𝑏2−4𝑎𝑐> 0，结论②正确；
由图象可知，当𝑥= 1时，𝑦< 0，
即𝑎+ 𝑏+ 𝑐< 0，结论④正确．
综上，结论正确的个数是4个，D选项符合题意．
【变式4-3】（25-26 九年级下·广东河源·阶段检测）如图，二次函数𝑦= 𝑎𝑥2 +𝑏𝑥+ 𝑐的部分图象与𝑥轴的一
个交点𝐴位于(−2, 0)和(−1, 0)之间，顶点𝑃的坐标为(1, 𝑛)．下列结论：
①𝑎𝑏𝑐< 0；②对于任意实数𝑚，都有𝑎𝑚2 +𝑏𝑚−𝑎−𝑏≥0；③3𝑏< 2𝑐；④若该二次函数的图象与𝑥轴的
另一个交点为𝐵，则点𝐵的横坐标位于3 和4 之间．其中所有正确结论的序号是___________．
【答案】①③④
【分析】由二次函数𝑦= 𝑎𝑥2 +𝑏𝑥+ 𝑐开口向下，对称轴𝑥= −
𝑏
2𝑎= 1 > 0，交y 轴于正半轴可得𝑎< 0，
𝑏> 0，𝑐> 0，从而𝑎𝑏𝑐< 0，故①正确；由顶点𝑃的坐标为(1, 𝑛)可得对于任意实数𝑚，都有𝑎𝑚2
+𝑏𝑚+ 𝑐≤𝑎+ 𝑏+ 𝑐，即𝑎𝑚2 +𝑏𝑚−𝑎−𝑏≤0，故②不正确；由二次函数𝑦= 𝑎𝑥2 +𝑏𝑥+ 𝑐的部分图象与𝑥
轴的一个交点𝐴位于(−2, 0)和(−1, 0)之间得𝑦= 𝑎−𝑏+ 𝑐> 0，又𝑏= −2𝑎，故−
𝑏
2−𝑏+ 𝑐> 0，即3𝑏< 2𝑐，
故③正确；由点𝐴和点𝐵关于𝑥= 1对称和点𝐴位于(−2, 0)和(−1, 0)之间可得点𝐵的横坐标位于3 和4 之间，
故④正确．
【详解】解：∵二次函数𝑦= 𝑎𝑥2 +𝑏𝑥+ 𝑐开口向下，
∴𝑎< 0，
∵二次函数𝑦= 𝑎𝑥2 +𝑏𝑥+ 𝑐对称轴𝑥= −
𝑏
2𝑎= 1 > 0，
∴𝑏> 0，
∵二次函数𝑦= 𝑎𝑥2 +𝑏𝑥+ 𝑐交y 轴于正半轴，
∴𝑐> 0，
∴𝑎𝑏𝑐< 0，故①正确；
∵顶点𝑃的坐标为(1, 𝑛)，
∴当𝑥= 1时，y 最大为𝑎+ 𝑏+ 𝑐，
∴对于任意实数𝑚，都有𝑎𝑚2 +𝑏𝑚+ 𝑐≤𝑎+ 𝑏+ 𝑐，即𝑎𝑚2 +𝑏𝑚−𝑎−𝑏≤0，故②不正确；
∵二次函数𝑦= 𝑎𝑥2 +𝑏𝑥+ 𝑐的部分图象与𝑥轴的一个交点𝐴位于(−2, 0)和(−1, 0)之间，
∴当𝑥= −1时，𝑦= 𝑎−𝑏+ 𝑐> 0，
∵𝑏= −2𝑎，即𝑎= −
𝑏
2，
∴−
𝑏
2−𝑏+ 𝑐> 0，即3𝑏< 2𝑐，故③正确；
若该二次函数的图象与𝑥轴的另一个交点为𝐵，则点𝐴和点𝐵关于𝑥= 1对称，
∵点𝐴位于(−2, 0)和(−1, 0)之间，1−(−2) = 3，1−(−1) = 2，
∴点𝐵的横坐标位于3 和4 之间，故④正确；
综上所述，①③④正确．
【题型5 一次函数的图象综合判断】
【例5】（2026·安徽芜湖·三模）已知二次函数𝑦= 𝑎𝑥2 +𝑏𝑥+ 𝑐(𝑎≠0)的图象如图所示，则函数𝑦= 𝑎𝑥+ 𝑐
的图象可能为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】先根据抛物线的开口方向和与y 轴的交点可得𝑎< 0，𝑐> 0，可知一次函数𝑦= 𝑎𝑥+ 𝑐的图象经过
一、二、四象限，再根据对称轴可得二次函数𝑦= 𝑎𝑥2 +𝑏𝑥+ 𝑐= 𝑎𝑥2−2𝑎𝑥+ 𝑐，然后结合图象可得
𝑦= 𝑎+ 2𝑎+ 𝑐= 3𝑎+ 𝑐< 0，最后根据一次函数𝑦= 𝑎𝑥+ 𝑐，当𝑥= 3时，𝑦= 3𝑎+ 𝑐< 0判断即可．
【详解】解：∵抛物线的开口向下，
∴𝑎< 0．
∵抛物线与y 轴交于正半轴，
∴𝑐> 0，
∴一次函数𝑦= 𝑎𝑥+ 𝑐的图象经过一、二、四象限．
∵抛物线的对称轴是𝑥= −
𝑏
2𝑎= 1，
∴𝑏= −2𝑎，即二次函数𝑦= 𝑎𝑥2 +𝑏𝑥+ 𝑐= 𝑎𝑥2−2𝑎𝑥+ 𝑐．
当𝑥= −1时，𝑦= 𝑎+ 2𝑎+ 𝑐= 3𝑎+ 𝑐< 0．
对于一次函数𝑦= 𝑎𝑥+ 𝑐，当𝑥= 3时，𝑦= 3𝑎+ 𝑐< 0，
所以图象D 符合题意．
【变式5-1】（25-26 九年级下·黑龙江·期中）一次函数𝑦= 𝑎𝑥+ 𝑏和二次函数𝑦= 𝑎𝑥2 +𝑏𝑥+ 𝑐（𝑎,𝑏,𝑐是常数，
且𝑎≠0）在同一平面直角坐标系中的图象可能是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】先观察每一个选项中二次函数𝑦= 𝑎𝑥2 +𝑏𝑥+ 𝑐 (𝑎≠0)图象得到字母系数𝑎，𝑏的正负，接下来判
断一次函数𝑦= 𝑎𝑥+ 𝑏 (𝑎≠0)的图象中的参数𝑎，𝑏的正负； 结合每一个选项按照此方法进行判断，当两
个函数的𝑎，𝑏取值一致时，即为正确答案．
【详解】解：A：一次函数𝑎> 0,𝑏> 0，二次函数𝑎> 0,−
𝑏
2𝑎> 0，可得𝑏< 0，不符合题意；
B：一次函数𝑎< 0，𝑏< 0；二次函数𝑎< 0，−
𝑏
2𝑎< 0，可得𝑏< 0，符合题意；
C：一次函数𝑎< 0，二次函数𝑎> 0，不符合题意；
D：一次函数𝑎< 0，二次函数𝑎> 0，不符合题意．
【变式5-2】（2026·安徽淮南·一模）若二次函数𝑦= 𝑎𝑥2与一次函数𝑦= 𝑏𝑥−𝑐(𝑎𝑏≠0)的图象如图所示，则
下列结论正确的是（ ）
A．𝑎𝑏𝑐> 0
B．𝑎+ 𝑏+ 𝑐< 0
C．𝑎+ 𝑐< 0
D．𝑎< 𝑏< 2𝑎
【答案】D
【分析】本题主要考查了二次函数的图象与性质，二次函数的图象与系数的关系，根据二次函数的图象判
断式子的符号，抛物线与𝑥轴的交点问题等知识点，熟练掌握相关知识点并能加以综合运用是解题的关
键．根据抛物线开口方向、对称轴和与𝑦轴的交点，确定𝑎、𝑏、𝑐的符号进行判断即可．
【详解】解：∵抛物线开口向上，故𝑎> 0，
由一次函数图像可知，𝑏> 0，−𝑐> 0，
∴𝑐< 0，
∴𝑎𝑏𝑐<0；故A 错误；
当𝑥= −1时，二次函数𝑦= 𝑎，一次函数𝑦= −𝑏−𝑐(𝑎𝑏≠0)，
从图像上看，𝑎> −𝑏−𝑐，即𝑎+ 𝑏+ 𝑐> 0；故B 错误；
当𝑥= 1时，二次函数𝑦= 𝑎，一次函数𝑦= 𝑏−𝑐(𝑎𝑏≠0)，
𝑎> 𝑏−𝑐
故𝑎+ 𝑐> 𝑏，
∵𝑏> 0，
∴𝑎+ 𝑐> 0，
当𝑥= 2时，由函数图像可知4𝑎= 2𝑏−𝑐，
∴𝑐= 2𝑏−4𝑎，
∵𝑎+ 𝑏+ 𝑐> 0，
即𝑎+ 𝑏+ 2𝑏−4𝑎> 0，解得𝑏> 𝑎，
∵ 4𝑎= 2𝑏−𝑐，𝑐< 0，
∴4𝑎> 2𝑏，
即𝑏< 2𝑎，
∴𝑎< 𝑏< 2𝑎；
故D 正确；
故选D．
【变式5-3】（25-26 九年级上·江西鹰潭·期末）已知一次函数𝑦= 𝑘𝑥+ 𝑏的图象经过第一、二、四象限，则
二次函数𝑦= −𝑘𝑥2 +𝑏𝑥的大致图象是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】本题主要考查了一次函数的图象与性质、二次函数的图象与性质，熟练掌握一次函数系数与图象
的关系，以及二次函数开口方向、对称轴与系数的关系是解题的关键．
先根据一次函数图象经过的象限，确定系数𝑘和𝑏的符号；再根据𝑘、𝑏的符号，分析二次函数的开口方向、
对称轴位置，从而判断二次函数的大致图象．
【详解】解：∵一次函数𝑦= 𝑘𝑥+ 𝑏的图象经过第一、二、四象限，
∴𝑘< 0，𝑏> 0．
∵𝑘< 0，
∴−𝑘> 0，
∴二次函数𝑦= −𝑘𝑥2 +𝑏𝑥的图象开口向上．
∵二次函数𝑦= −𝑘𝑥2 +𝑏𝑥的对称轴为𝑥= −
𝑏
2(−𝑘) =
𝑏
2𝑘，
又𝑘< 0，𝑏> 0，
∴
𝑏
2𝑘< 0，
∴对称轴在𝑦轴左侧．
∵二次函数𝑦= −𝑘𝑥2 +𝑏𝑥开口向上，对称轴在𝑦轴左侧，
∴符合条件的图象是选项A．
故选：A．
【题型6 两个二次函数图象的综合判断】
【例6】（2026·安徽滁州·二模）已知𝑦1与𝑦2是关于x 的二次函数，函数图象如图所示，则函数𝑦= 𝑦1−𝑦2的
图象可能是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【详解】解：设𝑦1 = 𝑎1𝑥2 + 𝑏1𝑥+ 𝑐1,𝑦2 = 𝑎2𝑥2 + 𝑏2𝑥+ 𝑐2，
∴ 𝑦= 𝑦1−𝑦2 = (𝑎1−𝑎2)𝑥2 + (𝑏1−𝑏2)𝑥+ (𝑐1−𝑐2)，
由图象知，𝑎1 > 0,𝑎2 < 0,𝑐1 < 0,𝑐2 > 0，
∴ 𝑎1−𝑎2 > 0,𝑐1−𝑐2 < 0，
∴y 的图像开口向上，与y 轴负半轴相交，选项D，不符合题意；
由图象知：
𝑥= 0时，𝑦1 < −1，0 < 𝑦2 < 1，𝑦= 𝑦1−𝑦2 < −1，选项C，不符合题意；
𝑥= 1时，𝑦1与𝑦2相交，即𝑦1 = 𝑦2，
∴𝑥= 1时，𝑦= 0，即与x 轴交点是(1,0)，选项B，不符合题意；
所以选A．
【变式6-1】已知二次函数𝑦1 = 𝑎𝑥2 +𝑏𝑥+ 𝑐和𝑦2 = 𝑏𝑥2 +𝑎𝑥+ 𝑐，𝑎> 𝑏，则下列说法正确的是（ ）
A．当𝑥< 0时，𝑦1 < 𝑦2
B．当0 < 𝑥< 1时，𝑦1 < 𝑦2
C．当0 < 𝑥< 1时，𝑦1 > 𝑦2
D．当𝑥> 1时𝑦1 < 𝑦2
【答案】B
【分析】分两种情况讨论，通过解不等式𝑎𝑥2 +𝑏𝑥+ 𝑐> 𝑏𝑥2 +𝑎𝑥+ 𝑐和𝑎𝑥2 +𝑏𝑥+ 𝑐< 𝑏𝑥2 +𝑎𝑥+ 𝑐，可对各
项进行判断．
【详解】解：当𝑦1 > 𝑦2时，𝑎𝑥2 +𝑏𝑥+ 𝑐> 𝑏𝑥2 +𝑎𝑥+ 𝑐，
整理得(𝑎−𝑏)𝑥2−(𝑎−𝑏)𝑥> 0，
∵𝑎> 𝑏，
∴𝑥2−𝑥> 0，解得𝑥< 0或𝑥> 1；
当𝑦1 < 𝑦2时，𝑎𝑥2 +𝑏𝑥+ 𝑐< 𝑏𝑥2 +𝑎𝑥+ 𝑐，
整理得(𝑎−𝑏)𝑥2−(𝑎−𝑏)𝑥< 0，
∵𝑎> 𝑏，
∴𝑥2−𝑥< 0，解得0 < 𝑥< 1．
故选：B．
【点睛】本题考查了二次函数与不等式(组)：利用两个函数图象在直角坐标系中的上下位置关系求自变量的
取值范围，可作图利用交点直观求解，也可把两个函数解析式列成不等式求解．
【变式6-2】抛物线y1＝
1
2（x-h）2＋k 与𝑦2 = 𝑎(𝑥+ 3)2−1交于点A，分别交y 轴于点P，Q，过点A 作x 轴
的平行线，分别交两条抛物线于点B，C．已知B（3，3），BC=10，其中正确结论是： ①𝑎=
1
2；②点
（2，m）、（
3 3，n）及（
5
2，p）都在y1 上，则p＜n＜m；③y1≥y2，则x≤1；④PQ＝
13
4 ．
A．②④
B．①③
C．②③
D．②③④
【答案】A
【分析】根据题意得：抛物线y1＝
1
2（x-h）2＋k 与𝑦2 = 𝑎(𝑥+ 3)2−1的对称轴分别为直线𝑥= ℎ和𝑥= −3，
设直线𝑥= ℎ和𝑥= −3分别交BC 于点M、N，则MN=h+3，根据BC=10，可得MN=5，从而得到h=2，可得
得到𝑦1 =
1
2(𝑥−2)2 +
5
2，进而得到点A（1，3），继而得到𝑎=
1
4，故①错误；根据点（
5
2，P）关于对称轴
x=2 的对称点为
3
2 ,𝑝，且2 <
3 3 <
3
2 < 2，可得P＜n＜m，故②正确；根据y1≥y2，可得𝑥≤1或𝑥≥13，
故③错误；分别求出点𝑃0,
9
2 ,𝑄0,
5
4 ，可得𝑃𝑄=
9
2−
5
4 =
13
4 ，故④正确；即可求解．
【详解】解∶ 根据题意得：抛物线y1＝
1
2（x-h）2＋k 与𝑦2 = 𝑎(𝑥+ 3)2−1的对称轴分别为直线𝑥= ℎ和𝑥= −3，
如图，设直线𝑥= ℎ和𝑥= −3分别交BC 于点M、N，则MN=h+3，
∴AM=BM，AN=CN，
∴𝑀𝑁= 𝐴𝑁+ 𝐴𝑀=
1
2𝐵𝐶，
∵BC=10，
∴MN=5，
∴h+3=5，
∴h=2，
∵点B（3，3），
∴3＝
1
2（3-2）2＋k，解得： 𝑘=
5
2，
∴𝑦1 =
1
2(𝑥−2)2 +
5
2，
∵BC∥x 轴，
∴点A、C 的纵坐标为3，
令𝑦1 = 3，则
1
2(𝑥−2)2 +
5
2 = 3，
解得：𝑥1 = 1,𝑥2 = 3，
∴点A（1，3），
把点A（1，3）代入𝑦2 = 𝑎(𝑥+ 3)2−1，得：
3 = 𝑎(1 + 3)2−1，解得： 𝑎=
1
4，故①错误；
∵𝑦1 =
1
2(𝑥−2)2 +
5
2，且对称轴为直线x=2，
∴当x＞2 时，y1 随x 的增大而增大；当x＜2 时，y1 随x 的增大而减小，
∵( 2)
6
= 8,(
3 3)
6
= 9,
3
2
6
=
729
64 ，
∴2 <
3 3 <
3
2 < 2，
∵点（
5
2，p）关于对称轴x=2 的对称点为
3
2 ,𝑝，
∴p＜n＜m，故②正确；
∵𝑎=
1
4，
∴𝑦2 =
1
4(𝑥+ 3)2−1，
∵y1≥y2，
∴
1
2(𝑥−2)2 +
5
2 ≥
1
4(𝑥+ 3)2−1，
整理得：𝑥2−14𝑥+ 13 ≥0，
解得：𝑥≤1或𝑥≥13，故③错误；
∵𝑦1 =
1
2(𝑥−2)2 +
5
2 =
1
2𝑥2−2𝑥+
9
2，𝑦2 =
1
4(𝑥+ 3)2−1 =
1
4𝑥2 +
3
2𝑥+
5
4，
当x=0 时，𝑦1 =
9
2，𝑦2 =
5
4，
∴点𝑃0,
9
2 ,𝑄0,
5
4 ，
∴𝑃𝑄=
9
2−
5
4 =
13
4 ，故④正确；
∴正确的有②④．
故选：A
【点睛】本题主要考查了二次函数的图象和性质，熟练掌握二次函数的图象和性质，并利用数形结合思想
解答是解题的关键．
【变式6-3】在同一平面直角坐标系中，函数y＝ax2＋b 与y＝bx2＋ax 的图象可能是( )
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】根据两个函数的开口方向及第一个函数与y 轴的交点，第二个函数的对称轴可得相关图象．
【详解】解：A、两个函数的开口方向都向上，那么a＞0，b＞0，可得第一个函数的对称轴是y 轴，与y 轴
交于正半轴，第二个函数的对称轴在y 轴的左侧，故本选项错误；
B、两个函数的开口方向都向下，那么a＜0，b＜0，可得第一个函数的对称轴是y 轴，与y 轴交于负半轴，
第二个函数的对称轴在y 轴的左侧，故本选项错误；
C、D、两个函数一个开口向上，一个开口向下，那么a，b 异号，可得第二个函数的对称轴在y 轴的右侧，
故C 错误，D 正确．
故选D．
【点睛】本题考查二次函数图象的性质，用到的知识点为：二次函数的二次项系数大于0，开口方向向上，
小于0，开口方向向下；二次项系数和一次项系数同号，对称轴在y 轴的左侧，异号在y 轴的右侧；一次项
系数为0，对称轴为y 轴；常数项是二次函数与y 轴交点的纵坐标．
知识点3 求二次函数的解析式
1. 待定系数法
根据已知条件的特点，选择最合适的解析式形式，再将已知点坐标代入解析式，通过解方程(组)求得未知数
的值，即可得到函数解析式．
（1）一般式：
已知函数图象上任意三个点的坐标（三组x，y 的值），可设解析式为𝒚= 𝒂𝒙𝟐+𝒃𝒙+ 𝒄(𝒂≠𝟎)．
（2）顶点式：
已知抛物线顶点（ℎ，𝑘）、对称轴或最大（小）值，可设解析式为𝒚= 𝒂(𝒙−𝒉)𝟐+𝒌(𝒂≠𝟎)，特殊地，若
抛物线顶点在原点，则ℎ= 𝑘= 0，设其解析式为𝑦= 𝑎𝑥2(𝑎≠0)．
（3）交点式：
已知抛物线与x 轴的交点坐标为（𝑥1，0），（𝑥2，0），可设解析式为𝒚= 𝒂(𝒙−𝒙𝟏)(𝒙−𝒙𝟐)(𝒂≠𝟎)．
考点3
求二次函数的解析式
2. 平移
（1）将抛物线解析式化为顶点式𝑦= 𝑎(𝑥−ℎ)2 +𝑘(𝑎≠0)，再利用“左加右减，上加下减”的规律进行平移．
（2）由于抛物线平移后的形状不变，故a 不变，所以在求平移后的抛物线解析式时，通常可利用两种方法：
一是求出原抛物线上任意两点平移后的坐标，利用待定系数法求出解析式；二是只考虑平移后的顶点坐标，
利用顶点式即可求出解析式．
3. 二次函数关于点或直线对称的解析式
若已知抛物线上点的坐标，可以利用待定系数法求其解析式．若已知某抛物线解析式，求其关于某直线或
某点对称的抛物线的解析式，常用结论如下：
（1）关于x 轴对称的抛物线的解析式
𝑦= 𝑎𝑥2 +𝑏𝑥+ 𝑐(𝑎≠0)关于x 轴对称的抛物线的解析式：𝑦= −𝑎𝑥2−𝑏𝑥−𝑐；
𝑦= 𝑎(𝑥−ℎ)2 +𝑘(𝑎≠0)关于x 轴对称的抛物线的解析式：𝑦= −𝑎(𝑥−ℎ)2−𝑘．
（2）关于y 轴对称的抛物线的解析式
𝑦= 𝑎𝑥2 +𝑏𝑥+ 𝑐(𝑎≠0)关于y 轴对称的抛物线的解析式：𝑦= 𝑎𝑥2−𝑏𝑥+ 𝑐；
𝑦= 𝑎(𝑥−ℎ)2 +𝑘(𝑎≠0)关于y 轴对称的抛物线的解析式：𝑦= 𝑎(𝑥+ ℎ)2 +𝑘．
（3）关于顶点对称的抛物线的解析式
𝑦= 𝑎𝑥2 +𝑏𝑥+ 𝑐(𝑎≠0)关于顶点对称的抛物线的解析式：𝑦= −𝑎𝑥2−𝑏𝑥+ 𝑐−
𝑏2
2𝑎；
𝑦= 𝑎(𝑥−ℎ)2 +𝑘(𝑎≠0)关于顶点对称的抛物线的解析式：𝑦= −𝑎(𝑥−ℎ)2 +𝑘．
【题型7 用“一般式”求二次函数解析式】
【例7】（24-25 九年级下·湖南郴州·期末）在平面直角坐标系中，抛物线𝑦= 𝑎𝑥2 +𝑏𝑥+ 3经过点𝐴(3,0)和点
𝐵(4,3)．
(1)求这条抛物线所对应的二次函数的解析式；
(2)求这条抛物线的对称轴、顶点坐标．
【答案】(1)𝑦= 𝑥2−4𝑥+ 3
(2)对称轴为直线𝑥= 2，顶点坐标为(2,−1)
【分析】本题考查待定系数法求二次函数解析式以及一般式与顶点式之间的转化，熟练掌握待定系数法是
解题的关键．
（1）把A 点和B 点坐标代入𝑦= 𝑎𝑥2 +𝑏𝑥+ 3中得到关于a、b 的方程组，然后解方程组求出a、b 即可；
（2）把（1）中的解析式配成顶点式，然后根据二次函数的性质求解．
【详解】（1）解：∵抛物线𝑦= 𝑎𝑥2 +𝑏𝑥+ 3经过点𝐴(3,0)和点𝐵(4,3)，
∴
9𝑎+ 3𝑏+ 3 = 0
16𝑎+ 4𝑏+ 3 = 3
解得
𝑎= 1
𝑏= −4
∴这条抛物线所对应的二次函数的解析式为：𝑦= 𝑥2−4𝑥+ 3．
（2）解：𝑦= 𝑥2−4𝑥+ 3 = (𝑥−2)2−1，
∴抛物线𝑦= 𝑥2−4𝑥+ 3的对称轴为直线𝑥= 2，顶点坐标为(2,−1)．
【变式7-1】（25-26 九年级上·安徽合肥·期末）已知二次函数𝑦= 𝑎𝑥2 +𝑏𝑥+ 𝑐的图象经过(0,0)，(−1,−11)，
(1,9)三点，求这个二次函数的表达式．
【答案】𝑦= −𝑥2 +10𝑥
【分析】本题考查待定系数法求二次函数的表达式．熟悉利用待定系数法求二次函数的表达式是解题的关
键．
根据待定系数法代入已知点坐标即可求解．
【详解】解：∵二次函数𝑦= 𝑎𝑥2 +𝑏𝑥+ 𝑐的图象经过(0,0)，(−1,−11)，(1,9)三点，
代入已知点坐标，得：
𝑐= 0
𝑎−𝑏+ 𝑐= −11
𝑎+ 𝑏+ 𝑐= 9
，
解得：
𝑎= −1
𝑏= 10
𝑐= 0
，
∴二次函数的表达式为：𝑦= −𝑥2 +10𝑥．
【变式7-2】（25-26 九年级上·上海崇明·期末）在平面直角坐标系𝑥𝑂𝑦中，已知抛物线𝑦= 𝑥2 +𝑏𝑥+ 𝑐经过
点𝐴(3,−1)、𝐵(0,−4)
(1)求抛物线的表达式；
(2)若将该抛物线向上平移𝑚(𝑚> 0)个单位长度，使得平移后的抛物线与𝑥轴只有一个公共点，求𝑚的值．
【答案】(1)𝑦= 𝑥2−2𝑥−4
(2)5
【分析】本题考查了待定系数法求二次函数的表达式，二次函数的平移，解决本题的关键是掌握待定系数
法求解析式和函数的图象特征及平移规律．
（1）直接将点𝐴(3,−1)、𝐵(0,−4)代入𝑦= 𝑥2 +𝑏𝑥+ 𝑐，解得b、c 的值即可求得表达式；
（2）求得抛物线的顶点，再判断顶点经过怎样的平移能到x 轴上即可．
【详解】（1）解：将点𝐴(3,−1)、𝐵(0,−4)代入𝑦= 𝑥2 +𝑏𝑥+ 𝑐，
得32 + 3𝑏+ 𝑐= −1
𝑐= −4
解得
𝑏= −2
𝑐= −4
∴抛物线的表达式𝑦= 𝑥2−2𝑥−4．
（2）解：∵𝑦= 𝑥2−2𝑥−4 = (𝑥−1)2−5，
∴该抛物线的顶点为(1,−5)．
∵要使抛物线与x 轴只有一个公共点，即要求顶点在x 轴上，
∴顶点纵坐标应为0．
∴将该抛物线向上平移5 个单位后，所得抛物线与x 轴只有一个公共点．
∴𝑚的值是5．
【变式7-3】（2024·山东聊城·模拟预测）如图所示，已知抛物线𝑦= 𝑎𝑥2 +𝑏𝑥+ 𝑐(𝑎≠0)的对称轴为直线
𝑥= −1，抛物线与𝑥轴交于𝐴，𝐵两点，与𝑦轴交于𝐶点，其中𝐴(−3,0)，𝐶(0,−2)．
(1)求这条抛物线的函数表达式；
(2)已知在对称轴上存在一点𝑃，使得△𝑃𝐵𝐶的周长最小．请求出点𝑃的坐标．
【答案】(1)𝑦=
2
3𝑥2 +
4
3𝑥−2
(2) −1,−
4
3
【分析】（1）运用待定系数法求解即可；
（2）连接𝐴𝐶，𝐵𝐶，由于𝐵𝐶的长度一定，所以△𝑃𝐵𝐶周长最小，也就是使𝑃𝐶+ 𝑃𝐵最小，𝐵点关于对称轴的
对称点是𝐴点，根据两点之间线段最短可得，𝐴𝐶与对称轴𝑥= −1的交点，即为所求的点𝑃，然后再求出直线
𝐴𝐶的表达式为𝑦= −
2
3𝑥−2即可．
【详解】（1）解：依题意，得
−𝑏
2𝑎= −1
(−3)2𝑎−3𝑏+ 𝑐= 0
𝑐= −2
解得
𝑎= 2
3
𝑏= 4
3
𝑐= −2
即抛物线的函数表达式为𝑦=
2
3𝑥2 +
4
3𝑥−2；
（2）解：连接𝐴𝐶，𝐵𝐶，
∵𝐵𝐶的长度一定，所以△𝑃𝐵𝐶周长最小，也就是使𝑃𝐶+ 𝑃𝐵最小，𝐵点关于对称轴的对称点是𝐴点，
∴𝑃𝐶+ 𝑃𝐵= 𝑃𝐶+ 𝐴𝐶
∴根据两点之间线段最短可得，𝐴𝐶与对称轴𝑥= −1的交点，即为所求的点𝑃．
设直线𝐴𝐶的表达式为𝑦= 𝑘𝑥+ 𝑏，
则
−3𝑘+ 𝑏= 0
𝑏= −2
解得
𝑘= −2
3
𝑏= −2
∴此直线的表达式为𝑦= −
2
3𝑥−2，
把𝑥= −1代入，得𝑦= −
4
3，
∴点𝑃的坐标为−1,−
4
3 ．
【题型8 用“顶点式”求二次函数解析式】
【例8】（25-26 九年级上·浙江绍兴·期末）如图，已知二次函数的图象与𝑥轴的交点为𝐴(−2,0)，𝐵(4,0)，其
顶点𝑀在函数𝑦= 2𝑥的图象上．
(1)求二次函数的表达式．
(2)将二次函数的图象水平向右平移3 个单位，所得到的抛物线交𝑥轴于𝐶，𝐷两点（𝐶点在𝐷点的左边），顶
点为𝑁，求四边形𝐴𝐶𝑁𝑀的面积．
【答案】(1)𝑦= −
2
9(𝑥−1)2 +2
(2)6
【分析】本题主要考查了求二次函数的解析式，二次函数图象的平移问题：
（1）设点M 的坐标为(𝑚,2𝑚)，可设二次函数的表达式为𝑦= 𝑎(𝑥−𝑚)2 +2𝑚，再把点𝐴(−2,0)，𝐵(4,0)代入，
求出a，m 的值，即可；
（2）根据由平移的性质可得𝑀𝑁= 𝐴𝐶= 3,𝑀𝑁∥𝐴𝐶，从而得到四边形𝐴𝐶𝑁𝑀为平行四边形，即可求解．
【详解】（1）解：∵顶点𝑀在函数𝑦= 2𝑥的图象上，
∴可设点M 的坐标为(𝑚,2𝑚)，
∴可设二次函数的表达式为𝑦= 𝑎(𝑥−𝑚)2 +2𝑚，
把点𝐴(−2,0)，𝐵(4,0)代入得：
𝑎(−2−𝑚)2 + 2𝑚= 0
𝑎(4−𝑚)2 + 2𝑚= 0
，
解得：
𝑚= 1
𝑎= −2
9
，
∴二次函数的表达式为𝑦= −
2
9(𝑥−1)2 +2；
（2）解：由（1）得：点M 到x 轴的距离为2，
由平移的性质得：𝑀𝑁= 𝐴𝐶= 3,𝑀𝑁∥𝐴𝐶，
∴四边形𝐴𝐶𝑁𝑀为平行四边形，
∴四边形𝐴𝐶𝑁𝑀的面积为𝑦𝑀× 𝐴𝐶= 2 × 3 = 6．
【变式8-1】（25-26 九年级上·福建泉州·期末）已知二次函数𝑦= 𝑎𝑥2 +𝑏𝑥+ 𝑐(𝑎≠0)的图象上的部分点的横
坐标𝑥，纵坐标𝑦的对应值如下表：
𝑥
…
−4
−3
−2
−1
0
…
𝑦
…
1
−2
−3
𝑚
1
…
(1)二次函数图象的顶点坐标为_________，𝑚= _________；
(2)求该二次函数的表达式．
【答案】(1)(−2,−3)，−2；
(2)𝑦= 𝑥2 +4𝑥+ 1
【分析】本题考查二次函数的图象与性质，涉及对称性、顶点坐标的确定及二次函数表达式的求解，关键
是利用二次函数的对称性快速定位对称轴与顶点，再选择合适的表达式形式简化计算．
（1）通过表格中纵坐标相同的两个点，计算得到二次函数的对称轴，结合表格数据直接得出顶点坐标；再
利用对称性找到𝑥= −1的对称点，进而求出𝑚的值；
（2）已知顶点坐标，优先选择顶点式设函数表达式，代入表格中一个已知点求解出参数𝑎即可．
【详解】（1）解：∵当𝑥= −4时𝑦= 1，𝑥= 0时𝑦= 1，
∴二次函数的对称轴为直线𝑥=
−4+0
2
= −2，
又∵𝑥= −2时𝑦= −3，
∴二次函数图象的顶点坐标为(−2,−3)；
∵𝑥= −1与𝑥= −3关于对称轴𝑥= −2对称，且𝑥= −3时𝑦= −2，
∴𝑚= −2；
故答案为：(−2,−3)，−2；
（2）解：设二次函数的顶点式为𝑦= 𝑎(𝑥+ 2)2−3，
将点(0,1)代入表达式得：1 = 𝑎(0 + 2)2−3，解得𝑎= 1，
∴𝑦= (𝑥+ 2)2−3，即𝑦= 𝑥2 +4𝑥+ 1．
【变式8-2】（25-26 九年级上·广东广州·期末）已知二次函数y=ax2+bx+c 图象与y 轴交于点𝐴(0,−2)，顶点
为𝐵(1,−3)．
(1)求该二次函数解析式．
(2)当0 ≤𝑥≤6时，求y 的取值范围．
【答案】(1)𝑦= (𝑥−1)2−3
(2)−3 ≤𝑦≤22
【分析】本题考查了用待定系数法求二次函数的解析式，二次函数的性质．
（1）利用待定系数法即可求得；
（2）先由𝑦= (𝑥−1)2−3知𝑥= 1，函数有最小值为−3，据此分别求出𝑥= 6，𝑥= 0时𝑦的值即可得答案．
【详解】（1）解：∵顶点为𝐵(1,−3)，
∴二次函数解析式为𝑦= 𝑎(𝑥−1)2−3，
代入点𝐴(0,−2)得，−2 = 𝑎−3，
解得𝑎= 1，
∴该二次函数解析式为𝑦= (𝑥−1)2−3；
（2）解：抛物线𝑦= (𝑥−1)2−3的开口向上，对称轴为直线𝑥= 1，函数有最小值为−3，
当𝑥= 6时，𝑦= (6−1)2−3 = 22，
当𝑥= 0时，𝑦= (0−1)2−3 = −2，
∴当0 ≤𝑥≤6时，y 的取值范围是−3 ≤𝑦≤22．
【变式8-3】（25-26 九年级上·山东滨州·期末）二次函数：已知抛物线𝑦= 𝑎𝑥2 +𝑏𝑥+ 𝑐的顶点坐标为
(−2,1)，且过点(2,7)．
(1)求此抛物线的解析式；
(2)请画出抛物线𝑦= 𝑎𝑥2 +𝑏𝑥+ 𝑐的图象（只画图，并标出其中三个关键点的坐标）；
(3)试说明将抛物线𝑦= 𝑎𝑥2经过怎样的平移，可以得到此抛物线的图象．
【答案】(1)𝑦=
3
8(𝑥+ 2)2 +1
(2)见解析
(3)将抛物线𝑦=
3
8𝑥2先向左平移2 个单位长度，再向上平移1 个单位长度（或先向上平移1 个单位长度，再
向左平移2 个单位长度）
【分析】本题考查了待定系数法求解函数解析式，画二次函数图象，二次函数图象的平移问题．
（1）设顶点式解析式，再代入点(2,7)即可求解；
（2）按照列表、描点、连线的步骤作图即可；
（3）根据抛物线的平移规律：上加下减、左加右减求解即可．
【详解】（1）解：∵抛物线的顶点坐标为(−2,1)
∴设抛物线的解析式为𝑦= 𝑎(𝑥+ 2)2 +1
∵抛物线经过点(2,7)
∴把𝑥= 2，𝑦= 7代入𝑦= 𝑎(𝑥+ 2)2 +1得，7 = 𝑎× (2 + 2)2 +1
解得𝑎=
3
8
∴此抛物线的解析式为𝑦=
3
8(𝑥+ 2)2 +1；
（2）解：列表
𝑥
……
−6
−4
−2
0
2
……
𝑦
……
7
5
2
1
5
2
7
……
描点、连线，如图：
（3）解：当𝑎=
3
8时，原抛物线为𝑦=
3
8𝑥2，所求抛物线为𝑦=
3
8(𝑥+ 2)2 +1
∴将抛物线𝑦=
3
8𝑥2先向左平移2 个单位长度，再向上平移1 个单位长度，得到𝑦=
3
8(𝑥+ 2)2 +1 或先将抛物
线𝑦=
3
8𝑥2向上平移1 个单位长度，再向左平移2 个单位长度，得到𝑦=
3
8(𝑥+ 2)2 +1 ，
∴平移方式为先向左平移2 个单位长度，再向上平移1 个单位长度（或先向上平移1 个单位长度，再向左平
移2 个单位长度）．
【题型9 用“交点式”求二次函数解析式】
【例9】在平面直角坐标系中，抛物线𝑦= 𝑎𝑥2 +𝑏𝑥+ 𝑐(𝑎≠0)与x 轴交于𝐴(−2,0)，𝐵(6,0)，与y 轴交于点
𝐶(0,3)，求此抛物线的解析式．
【答案】𝑦= −
1
4𝑥2 +𝑥+ 3
【分析】本题考查的是利用待定系数法求解抛物线的解析式，设出合适的解析式是解本题的关键，根据题
意设𝑦= 𝑎(𝑥+ 2)(𝑥−6)，再代入𝐶(0,3)即可得到函数解析式．
【详解】解：∵抛物线𝑦= 𝑎𝑥2 +𝑏𝑥+ 𝑐(𝑎≠0)与x 轴交于𝐴(−2,0)，𝐵(6,0)，
∴设抛物线为𝑦= 𝑎(𝑥+ 2)(𝑥−6)，
把𝐶(0,3)代入得，−12𝑎= 3，
解得𝑎= −
1
4，
∴抛物线的表达式为：𝑦= −
1
4(𝑥+ 2)(𝑥−6) = −
1
4(𝑥2−4𝑥−12) = −
1
4𝑥2 +𝑥+ 3；
【变式9-1】（25-26 八年级下·浙江杭州·阶段检测）已知二次函数的图象经过点𝐴(0,0)，𝐵(2,0)，𝐶
(1,−3)．求该二次函数的表达式．
【答案】𝑦= 3𝑥2−6𝑥
【分析】设二次函数的解析式为𝑦= 𝑎𝑥(𝑥−2)(𝑎≠0)，将𝐶(1,−3)代入解析式进一步求解即可．
【详解】解：∵二次函数的图象经过点𝐴(0,0)，𝐵(2,0)，
∴设二次函数的解析式为𝑦= 𝑎𝑥(𝑥−2)(𝑎≠0)，
将𝐶(1,−3)代入解析式可得：𝑎× 1 × (1−2) = −3，
解得：𝑎= 3，
∴二次函数的解析式为𝑦= 3𝑥(𝑥−2) = 3𝑥2−6𝑥．
【变式9-2】已知抛物线与x 轴交于𝐴(−2,0)，𝐵(6,0)两点，与y 轴交于点𝐶(0,−3)．
(1)求抛物线的表达式．
(2)若在坐标平面内存在点G，使得点G 到A，B，C 三点的距离都相等，请求出点G 的坐标．
【答案】(1)𝑦=
1
4𝑥2−𝑥−3
(2)𝐺2，
1
2
【分析】本题主要考查了二次函数综合，线段垂直平分线的判定与性质，勾股定理等等：
（1）把解析式设为交点式，再把点C 坐标代入解析式中求解即可；
（2）根据题意G 是边𝐴𝐵，𝐵𝐶垂直平分线的交点，由𝐴𝐵的垂直平分线为直线𝑥= 2，可设点G 的坐标为
2，𝑚，利用勾股定理求出𝐺𝐵2，𝐺𝐶2，据此利用勾股定理建立方程求解即可．
【详解】（1）解：设抛物线的表达式为𝑦= 𝑎(𝑥+ 2)(𝑥−6)．
将𝐶(0,−3)代入𝑦= 𝑎(𝑥+ 2)(𝑥−6)得−3 = −12𝑎，解得𝑎=
1
4，
∴抛物线的表达式为𝑦=
1
4(𝑥+ 2)(𝑥−6) =
1
4𝑥2−𝑥−3．
（2）解：∵点G 到A，B，C 三点的距离相等，
∴G 是边𝐴𝐵，𝐵𝐶垂直平分线的交点，
∴𝐺𝐴= 𝐺𝐵= 𝐺𝐶，
∵𝐴(−2,0)，𝐵(6,0)，
∴𝐴𝐵的垂直平分线为直线𝑥= 2，
∴可设点G 的坐标为2，𝑚，
∴𝐺𝐵2 = (2−6)2 + 𝑚2 = 𝑚2 +16，𝐺𝐶2 = (2−0)2 + 𝑚−(−3)
2
= 𝑚2 +6𝑚+ 13，
∵𝐺𝐵= 𝐺𝐶，
∴𝑚2 +6𝑚+ 13 = 𝑚2 +16，
∴𝑚=
1
2，
∴𝐺2，
1
2 ．
【变式9-3】（24-25 九年级上·湖北十堰·阶段检测）材料一：经过一点(𝑚,𝑡)的直线解析式总可以表示为：
𝑦= 𝑘(𝑥−𝑚) +𝑡比如过一点(2,3)的直线解析式可以表示为：𝑦= 𝑘(𝑥−2) +3．
材料二：二次函数𝑦= 𝑥2 +𝑏𝑥+ 𝑐的图象若与直线𝑦= 𝑛有两点交点(𝑥1,𝑛)，(𝑥2,𝑛)，则此二次函数可表示为：
𝑦= 𝑎(𝑥−𝑥1)(𝑥−𝑥2) +𝑛，我们称此形式为“广义的二次函数交点式”；
(1)由材料一：直接写出直线𝑦= 𝑘(𝑥+ 1) +8经过的定点坐标；
(2)由材料二：若二次函数𝑦= 𝑥2 +𝑏𝑥+ 𝑐经过(−1,8)，(4,3)，(5,8)， 试求该二次函数的解析式．（结果写
成一般式）
(3)若一次函数𝑦= 𝑘𝑥+ 𝑝与（2）中的抛物线交于点(5,8)，试用k 表示出另一交点的横坐标．
【答案】(1)(−1,8)
(2)𝑦= 𝑥2−4𝑥+ 3
(3)𝑘−1
【分析】（1）根据材料一求解即可；
（2）根据材料二求解即可；
（3）首先联立一次函数和二次函数，然后根据根与系数的关系求解即可．
【详解】（1）由材料一得，直线𝑦= 𝑘(𝑥+ 1) +8 = 𝑘𝑥−(−1) +8
∴直线𝑦= 𝑘(𝑥+ 1) +8经过的定点坐标为(−1,8)；
（2）由材料二得，
∵二次函数𝑦= 𝑥2 +𝑏𝑥+ 𝑐与直线𝑥= 8交于点(−1,8)和(5,8)
∴该二次函数的解析式为𝑦= (𝑥+ 1)(𝑥−5) +8
∴𝑦= (𝑥+ 1)(𝑥−5) +8 = 𝑥2−4𝑥+ 3；
（3）联立一次函数𝑦= 𝑘𝑥+ 𝑝和𝑦= 𝑥2−4𝑥+ 3得
𝑦= 𝑘𝑥+ 𝑝
𝑦= 𝑥2−4𝑥+ 3
∴𝑥2−4𝑥+ 3 = 𝑘𝑥+ 𝑝
整理得，𝑥2−(𝑘+ 4)𝑥+ 3−𝑝= 0
∵一次函数𝑦= 𝑘𝑥+ 𝑝与（2）中的抛物线交于点(5,8)，
∴设另一交点的横坐标为x
∴𝑥+ 5 = −
−(𝑘+4)
1
= 𝑘+ 4
∴𝑥= 𝑘−1
∴另一交点的横坐标为𝑘−1．
【点睛】此题考查了二次函数和一次函数的性质，求函数表达式，根于系数的关系等知识，解题的关键是
掌握以上知识点．
【题型10 二次函数关于点或直线对称的解析式】
【例10】抛物线𝑦= 2𝑥2−12𝑥+ 16关于原点对称的抛物线的解析式为____．
【答案】𝑦= −2𝑥2−12𝑥−16
【分析】本题考查了抛物线关于原点对称的抛物线解析式求法．求出顶点坐标关于原点对称的坐标，然后
利用顶点式解析式写出，再整理成一般形式即可
【详解】解：𝑦= 2𝑥2−12𝑥+ 16 = 2(𝑥−3)2−2，
∴顶点坐标为：(3,−2)；
又顶点(3,−2)关于原点对称的点的坐标为(−3,2)，
所以，抛物线为𝑦= −2(𝑥+ 3)2 +2 = −2𝑥2−12𝑥−16，
故答案为：𝑦= −2𝑥2−12𝑥−16
【变式10-1】在平面直角坐标系中，抛物线𝑦= −(𝑥+ 1)2 +2关于𝑦轴对称的抛物线的解析式为( )
A．𝑦= −(𝑥−1)2 +2
B．𝑦= −(𝑥+ 1)2−2
C．𝑦= (𝑥+ 1)2−2
D．𝑦= (𝑥−1)2 +2
【答案】A
【分析】本题主要考查了二次函数图象与几何变换，利用原抛物线上的关于𝑦轴对称的点的特征：纵坐标相
同，横坐标互为相反数就可以解答．
【详解】解：抛物线𝑦= −(𝑥+ 1)2 +2关于𝑦轴对称的抛物线的解析式为，𝑦= −(𝑥−1)2 +2
即解析式为：𝑦= −(𝑥−1)2 +2．
故选：A．
【变式10-2】规定：两个函数𝑦1，𝑦2的图象关于y轴对称，则称这两个函数互为“Y函数”．例如：函数𝑦1 = 2𝑥+ 2
与𝑦2 = −2𝑥+ 2的图象关于y 轴对称，则这两个函数互为“Y 函数”．若函数𝑦= 𝑘𝑥2 +2(𝑘−1)𝑥+ 𝑘−3（k 为
常数）的“Y 函数”图象与x 轴只有一个交点，则其“Y 函数”的解析式为______．
【答案】𝑦= 2𝑥−3或𝑦= −𝑥2 +4𝑥−4
【分析】分两种情况，根据关于y 轴对称的图形的对称点的坐标特点，即可求得．
【详解】解：∵函数𝑦= 𝑘𝑥2 +2(𝑘−1)𝑥+ 𝑘−3（k 为常数）的“Y 函数”图象与x 轴只有一个交点，
∴函数𝑦= 𝑘𝑥2 +2(𝑘−1)𝑥+ 𝑘−3（k 为常数）的图象与x 轴也只有一个交点，
当k=0 时，函数解析为𝑦= −2𝑥−3，它的“Y 函数”解析式为𝑦= 2𝑥−3，它们的图象与x 轴只有一个交点，
当𝑘≠0时，此函数是二次函数，
∵它们的图象与x 轴都只有一个交点，
∴它们的顶点分别在x 轴上，
∴
4𝑘(𝑘−3)−2(𝑘−1)
2
4𝑘
= 0，得
𝑘+1
𝑘= 0，
故k+1=0，解得k=-1，
故原函数的解析式为𝑦= −𝑥2−4𝑥−4，
故它的“Y 函数”解析式为𝑦= −𝑥2 +4𝑥−4，
故答案为：𝑦= 2𝑥−3或𝑦= −𝑥2 +4𝑥−4．
【点睛】本题考查了新定义，二次函数图象与x 轴的交点问题，坐标与图形变换-轴对称，求一次函数及二
次函数的解析式，理解题意和采用分类讨论的思想是解决本题的关键．
【变式10-3】（2024·云南昆明·一模）已知二次函数𝑦= 𝑎𝑥2−2𝑎𝑥−3𝑎（𝑎为常数且𝑎≠0）的顶点在𝑥轴上方，
且到𝑥轴的距离为4．
(1)求二次函数的解析式；
(2)将二次函数𝑦= 𝑎𝑥2−2𝑎−3𝑎(𝑥≥0)的图象记为𝑇1，将𝑇1关于原点对称的图象记为𝑇2，𝑇1与𝑇2合起来得到
的图象记为𝑇，完成以下问题：
①在网格中画出函数𝑇的图象；
②若对于函数𝑇上的两点𝑃(𝑥1,𝑦1)，𝑄(𝑥2,𝑦2)，当𝑥1 ≤−2，𝑡≤𝑥2 ≤𝑡+ 1时，总有𝑦1 > 𝑦2，求出𝑡的取值范
围．
【答案】(1)𝑦= −𝑥2 +2𝑥+ 3
(2)①画图如图所示：
；
②−2 < 𝑡< −1或𝑡>
7 +1
【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，待定系数法求函数解析式．熟悉二次函数的图象与性质是关
键．
（1）易求得抛物线的对称轴，从而得顶点纵坐标，由题意−4𝑎= 4，从而求得a 的值，即可求得二次函数
解析式；
（2）首先利用两个图象关于原点对称，求出𝑇2的解析式；分两种情况即可求解．
【详解】（1）解：对称轴为：直线𝑥= −
−2𝑎
2𝑎= 1，
当𝑥= 1，得𝑦= 𝑎−2𝑎−3𝑎= −4𝑎，
∵抛物线的顶点在𝑥轴上方，且到𝑥轴的距离为4，
∴−4𝑎= 4解得，𝑎= −1，
∴抛物线的解析式为𝑦= −𝑥2 +2𝑥+ 3；
（2）解：①略
②由题意，得𝑇1的对称轴为：直线𝑥= 1，顶点坐标为(1,4)，
∵𝑇2，𝑇1关于原点对称，
∴𝑇2，𝑇1的顶点关于原点对称，形状相同，开口方向相反，
∴𝑇2的顶点坐标为(−1,−4)，𝑎= 1，
∴𝑇2的表达式为：𝑦= (𝑥+ 1)2−4 = 𝑥2 +2𝑥−3，它的对称轴为：直线𝑥=−1，
情况一：当点𝑄在𝑦轴左侧和点𝑃(−2,−3)之间时，总有𝑦1 > 𝑦2，如下图：
此时−2 < 𝑡≤𝑥2 ≤𝑡+ 1 < 0，即：−2 < 𝑡< −1；
情况二：当点𝑄在𝑦轴右侧时，如图：
当𝑦= −3 = −𝑥2 +2𝑥+ 3时，解得，𝑥𝑀= −7 +1或𝑥𝑀=
7 +1，
由题意知，𝑥𝑀> 0，
∴𝑥𝑀=
7 +1，
∴𝑡>
7 +1时，总有有𝑦1 > 𝑦2，
综上所述，−2 < 𝑡< −1或𝑡>
7 +1时，总有𝑦1 > 𝑦2．
考点3
考点3
【题型11 二次函数图象的平移】
【例11】（2026·河南开封·二模）将二次函数𝑦= 2(𝑥−3)2 +1的图象向左平移2 个单位长度，再向下平移3
个单位长度，所得图象的函数解析式为__________．
【答案】𝑦= 2(𝑥−1)2−2
【分析】根据二次函数图象的平移规律“左加右减，上加下减”即可求解.
【详解】解：将二次函数𝑦= 2(𝑥−3)2 +1的图象向左平移2 个单位长度，根据平移规律可得：
𝑦= 2(𝑥−3 + 2)2 + 1 = 2(𝑥−1)2 + 1
再将所得图象向下平移3 个单位长度，可得：
𝑦= 2(𝑥−1)2 +1−3 = 2(𝑥−1)2−2，即 𝑦= 2(𝑥−1)2−2
【变式11-1】（2026·福建三明·三模）将抛物线𝐶: 𝑦= −(𝑥−3)2 +6进行平移得抛物线𝐶′: 𝑦= −𝑥2 +2，点
𝑃(𝑚,5)在抛物线𝐶上，对应点𝑃′在抛物线𝐶′上，则点𝑃′的横坐标可以是（ ）．
A．1
B．2
C．3
D．4
考点4
二次函数的综合运用
【答案】A
【分析】先根据两个抛物线的顶点坐标确定平移规律，然后用含𝑚的代数式表示出点𝑃′的坐标，再将点𝑃′的坐
标代入抛物线𝐶′的方程，即可求出点𝑃′的横坐标．
【详解】解：∵抛物线𝐶:𝑦= −(𝑥−3)2 +6的顶点为(3,6)，抛物线𝐶′:𝑦= −𝑥2 +2的顶点为(0,2)，
∴平移规律为：向左平移3 个单位，向下平移4 个单位，
∵点𝑃(𝑚,5)在抛物线𝐶上，平移后对应点为𝑃′，
∴𝑃′的坐标为(𝑚−3,5−4)，即(𝑚−3,1)，
∵𝑃′在抛物线𝐶′上，
将𝑃′(𝑚−3,1)代入𝑦= −𝑥2 +2得： 1 = −(𝑚−3)2 +2，
整理得(𝑚−3)2 = 1，
解得𝑚= 2或𝑚= 4，
则𝑚−3的值可以是−1或1，
因此点𝑃′的横坐标可以是−1或1，选项A 符合．
【变式11-2】（2026·陕西西安·模拟预测）在平面直角坐标系中，将抛物线𝑦= 𝑥2−(𝑎−1)𝑥+ 𝑎2−4(𝑎> 0)
向左平移2个单位长度，平移后的抛物线与𝑦轴的交点为𝐴(0,5)，则平移后的抛物线的顶点的纵坐标为（ ）
A．2
B．4
C．6
D．8
【答案】B
【分析】先根据抛物线平移的左加右减规律得到平移后的解析式，再利用已知交点坐标求出参数𝑎的值，最
后通过配方法求出平移后抛物线顶点的纵坐标．
【详解】解：∵抛物线向左平移2个单位长度，
∴平移后的抛物线解析式为𝑦= (𝑥+ 2)2−(𝑎−1)(𝑥+ 2) + 𝑎2−4，
∵平移后的抛物线过点𝐴(0,5)，
∴将𝑥= 0，𝑦= 5代入解析式，得5 = 22−(𝑎−1) × 2 + 𝑎2−4，
整理得𝑎2−2𝑎−3 = 0，
解得𝑎= 3或𝑎= −1，
∵𝑎> 0，
∴𝑎= 3，
将𝑎= 3代入平移后的解析式，得𝑦= (𝑥+ 2)2−2(𝑥+ 2) + 5，
整理得𝑦= 𝑥2 +2𝑥+ 5，
配方得𝑦= (𝑥+ 1)2 +4，
∴平移后抛物线顶点的纵坐标为4．
【变式11-3】（2026·宁夏银川·二模）若将抛物线平移，有一个点既在平移前的抛物线上，又在平移后的抛
物线上，则称这个点为“平衡点”．现将抛物线𝐶1:𝑦= (𝑥−2)2−4向右平移m（𝑚> 0）个单位长度后得到新
的抛物线𝐶2，若(4,𝑛)为“平衡点”，则m 的值为______．
【答案】4
【分析】根据平移方式“左加右减”可得出抛物线𝐶2的解析式，再根据点既在平移前的抛物线上，又在平移后
的抛物线上，即将点(4,𝑛)代入两个解析式求值即可．
【详解】解：依题意得抛物线𝐶2为：𝑦= (𝑥−2−𝑚)2−4，
∵(4,𝑛)为“平衡点”，
∴(4,𝑛)既在平移前的抛物线上，又在平移后的抛物线上，
∴
𝑛= (4−2)2−4
𝑛= (4−2−𝑚)2−4
，
解得𝑚= 4或𝑚= 0，
∵𝑚> 0，
∴𝑚= 4．
【题型12 二次函数的对称性】
【例12】（2026·浙江绍兴·二模）已知二次函数𝑦= 𝑥2−4𝑥+ 𝑐（𝑐为常数），若其图像上有两点𝐴(𝑚−2,𝑛)，
𝐵(𝑚+ 2,𝑛)，则𝑚的值是________．
【答案】2
【分析】由𝐴、𝐵两点纵坐标相等，因此两点关于二次函数的对称轴对称，先求出二次函数的对称轴，再利
用对称轴等于两点横坐标的中点，进而求得𝑚的值．
【详解】解：∵二次函数𝑦= 𝑥2−4𝑥+ 𝑐，
∴抛物线的对称轴为直线𝑥= −
−4
2×1 = 2，
∵二次函数的图像上有两点𝐴(𝑚−2,𝑛)，𝐵(𝑚+ 2,𝑛)，两点纵坐标相等，
∴点𝐴和点𝐵关于对称轴对称，
∴
(𝑚−2)+(𝑚+2)
2
= 2，
解得𝑚= 2．
【变式12-1】（2026·安徽蚌埠·三模）已知二次函数𝑦= 𝑎𝑥2 +𝑏𝑥+ 𝑐(𝑎> 0)的图象与𝑥轴交于𝐴(−1,0)，𝐵(𝑚,0)
两点．若2 < 𝑚< 3，则（ ）
A．−3𝑎< 𝑏< −2𝑎
B．−2𝑎< 𝑏< −𝑎
C．−𝑎< 𝑏< −
1
2𝑎D．−
1
2𝑎< 𝑏< 0
【答案】B
【分析】根据二次函数对称轴的公式可得−
𝑏
2𝑎=
𝑚−1
2 ，由2 < 𝑚< 3可得
1
2 < −
𝑏
2𝑎< 1，根据不等式的性质进
行化简即可．
【详解】解：∵二次函数的图象与𝑥轴交于𝐴(−1,0)，𝐵(𝑚,0)两点，
∴对称轴为直线𝑥= −
𝑏
2𝑎=
𝑚−1
2 ，
∵2 < 𝑚< 3，
∴
1
2 <
𝑚−1
2
< 1，
∴
1
2 < −
𝑏
2𝑎< 1，
∵𝑎> 0，
∴𝑎< −𝑏< 2𝑎，
∴−2𝑎< 𝑏< −𝑎．
【变式12-2】（25-26 九年级上·内蒙古呼伦贝尔·期末）已知抛物线𝑦= 𝑎𝑥2 +𝑏𝑥+ 𝑐关于直线𝑥= 1对称，其
部分图象如图所示，则3𝑎+ 𝑐= ________．
【答案】−1.5
【分析】首先由抛物线的对称轴为𝑥= 1得到2𝑎= −𝑏，将要求的代数式3𝑎+ 𝑐恒等变形为𝑎−𝑏+ 𝑐，结合抛
物线图象与性质确定(3,−1.5)关于直线𝑥= 1的对称点是(−1,−1.5)，且抛物线𝑦= 𝑎𝑥2 +𝑏𝑥+ 𝑐过点
(−1,−1.5)，从而得到当𝑥= −1时，𝑦= 𝑎−𝑏+ 𝑐= −1.5，即可得到答案．
【详解】解：∵抛物线𝑦= 𝑎𝑥2 +𝑏𝑥+ 𝑐关于直线𝑥= 1对称，
∴−
𝑏
2𝑎= 1，即2𝑎= −𝑏，
则3𝑎+ 𝑐= 𝑎+ 2𝑎+ 𝑐= 𝑎−𝑏+ 𝑐，
∵抛物线𝑦= 𝑎𝑥2 +𝑏𝑥+ 𝑐过点(3,−1.5)，且关于直线𝑥= 1对称，
∴ (3,−1.5)关于直线𝑥= 1的对称点是(−1,−1.5)，且抛物线𝑦= 𝑎𝑥2 +𝑏𝑥+ 𝑐过点(−1,−1.5)，
则当𝑥= −1时，𝑦= 𝑎−𝑏+ 𝑐= −1.5，
即3𝑎+ 𝑐= −1.5．
【点睛】对于抛物线中求系数构成代数式的值，通常需要根据代数式的特征来取𝑥值，对于缺少某项系数的
时候，通常利用对称轴得到恒等式去变形还原出含有𝑎、𝑏、𝑐的式子后再取𝑥值求解．
【变式12-3】（2026·福建泉州·模拟预测）已知点(−𝑚,0)和(3𝑚,0)在二次函数𝑦= 𝑎𝑥2 +𝑏𝑥+ 3（𝑎，𝑏是常
数，𝑎≠0）的图象上．
(1)当𝑚= −1时，求𝑎和𝑏的值；
(2)若二次函数的图象经过点𝐴(𝑛,3)且点𝐴不在坐标轴上，当−2 < 𝑚< −1时，求𝑛的取值范围；
(3)用等式表示𝑏与𝑎之间的数量关系，并给予证明．
【答案】(1) 𝑎= −1
𝑏= −2
(2)−4 < 𝑛< −2
(3)解：𝑏2 = −4𝑎；
证明：∵点(−𝑚,0)和(3𝑚,0)在二次函数𝑦= 𝑎𝑥2 +𝑏𝑥+ 3，
∴
0 = 𝑎𝑚2−𝑏𝑚+ 3①
0 = 9𝑎𝑚2 + 3𝑏𝑚+ 3②
，
①× 3 + ②得：12𝑎𝑚2 +12 = 0，
∴𝑎𝑚2 = −1，
∵点(−𝑚,0)和(3𝑚,0)在二次函数𝑦= 𝑎𝑥2 +𝑏𝑥+ 3，
∴抛物线对称轴为直线𝑥= −
𝑏
2𝑎=
3𝑚−𝑚
2
= 𝑚，
∴𝑏= −2𝑎𝑚，
∴𝑏2 = 4𝑎2𝑚2 = 4𝑎⋅𝑎𝑚2 = −4𝑎.
【分析】（1）用待定系数法求出函数解析式即可得到答案；
（2）先求出对称轴为𝑥= 𝑚，再根据图象经过点(0,3)且点A 不在坐标轴上，得到𝑛= 2𝑚即可得到答案．
（3）由点(−𝑚,0)和(3𝑚,0)在二次函数𝑦= 𝑎𝑥2 +𝑏𝑥+ 3，可得
0 = 𝑎𝑚2−𝑏𝑚+ 3①
0 = 9𝑎𝑚2 + 3𝑏𝑚+ 3②
，抛物线对称轴为
直线𝑥= −
𝑏
2𝑎=
3𝑚−𝑚
2
= 𝑚，进一步证明即可.
【详解】（1）解：当𝑚= −1时，图象经过点(1,0),(−3,0)，
∴
0 = 𝑎+ 𝑏+ 3
0 = 9𝑎−3𝑏+ 3
，解得
𝑎= −1
𝑏= −2
．
（2）解：∵函数图象过点(−𝑚,0)和(3𝑚,0)，
∴函数图象的对称轴为直线𝑥= 𝑚，
∵函数图象过点(𝑛,3)和(0,3)，
∴根据函数图象的对称性可得𝑛= 2𝑚，
∵−2 < 𝑚< −1，
∴−4 < 𝑛< −2．
【题型13 二次函数的最值】
【例13】（2026·辽宁·一模）已知抛物线𝑦= 𝑥2−4𝑥+ 1，当−1 ≤𝑥≤4时，函数𝑦的最大值是_____．
【答案】6
【分析】先将抛物线解析式配方，得到抛物线的开口方向和对称轴，根据开口向上的抛物线的性质，在给
定范围内，代入端点计算后比较得到最大值．
【详解】解：对抛物线解析式配方得：𝑦= 𝑥2−4𝑥+ 1 = (𝑥−2)2−3，
∵𝑎= 1 > 0，
∴抛物线开口向上，对称轴为直线𝑥= 2，
已知𝑥的取值范围为−1 ≤𝑥≤4，
分别代入端点计算函数值：当𝑥= −1时，𝑦= (−1−2)2−3 = 9−3 = 6，
当𝑥= 4时，𝑦= (4−2)2−3 = 4−3 = 1，
比较得6 > 1，
因此𝑦的最大值为6．
【变式13-1】（2026·福建福州·模拟预测）若函数𝑦= 𝑥2 +𝑎𝑥+ 𝑏在0 ≤𝑥≤1的最大值是𝑀，最小值是𝑚，
则𝑀−𝑚（ ）
A．与𝑎有关，且与𝑏有关
B．与𝑎有关，但与𝑏无关
C．与𝑎无关，且与𝑏无关
D．与𝑎无关，但与𝑏有关
【答案】B
【分析】将二次函数配方后，分情况讨论对称轴与0 ≤𝑥≤1的位置关系，计算𝑀−𝑚即可判断结果．
【详解】解：对二次函数配方得，𝑦= (𝑥+
𝑎
2 )
2
+𝑏−
𝑎2
4 ，抛物线开口向上，对称轴为直线𝑥= −
𝑎
2，
当−
𝑎
2 ≤0，即𝑎≥0 时，函数在0 ≤𝑥≤1，𝑦随着𝑥的增大而增大，
∴当𝑥= 0时，𝑦有最小值，𝑥= 1时，𝑦有最大值，
∴𝑀= 1 + 𝑎+ 𝑏,𝑚= 𝑏，
∴𝑀−𝑚= 1 + 𝑎，结果不含𝑏；
当−
𝑎
2 ≥1，即𝑎≤−2 时，函数在0 ≤𝑥≤1，𝑦随着𝑥的增大而减小，
当𝑥= 0时，𝑦有最大值，𝑥= 1时，𝑦有最小值，
∴𝑀= 𝑏,𝑚= 1 + 𝑎+ 𝑏，
∴𝑀−𝑚= −1−𝑎，结果不含𝑏；
当0 < −
𝑎
2 ≤
1
2，即−1 ≤𝑎< 0 时，函数最小值为顶点纵坐标，最大值在𝑥= 1处取得，
∴𝑚= 𝑏−
𝑎2
4 ,𝑀= 1 + 𝑎+ 𝑏，
∴𝑀−𝑚= 1 + 𝑎+
𝑎2
4 ，结果不含𝑏；
当
1
2 < −
𝑎
2 < 1，即−2 < 𝑎< −1 时，函数最小值为顶点纵坐标，最大值在𝑥= 0处取得，
∴𝑚= 𝑏−
𝑎2
4 ,𝑀= 𝑏，
∴𝑀−𝑚=
𝑎2
4 ，结果不含𝑏，
综上，所有情况的𝑀−𝑚都只与𝑎有关，不含𝑏，因此𝑀−𝑚与𝑎有关，与𝑏无关．
【变式13-2】（2026·福建漳州·模拟预测）已知二次函数𝑦= 𝑎𝑥2−6𝑎𝑥+ 9𝑎+ 5(𝑎≠0)，当𝑥≤2时，y 随x
的增大而增大．当0 ≤𝑥< 𝑘时，函数的最大值是5，最小值是9𝑎+ 5，则k 的值可能是（ ）
A．10
B．9
C．7
D．5
【答案】D
【分析】先对二次函数配方得到对称轴，再根据给定区间的增减性确定开口方向，最后根据最值条件确定k
的取值范围，选出符合条件的选项．
【详解】解：对二次函数配方得：𝑦= 𝑎𝑥2−6𝑎𝑥+ 9𝑎+ 5 = 𝑎(𝑥−3)2 +5，
∴二次函数的对称轴为直线𝑥= 3，顶点坐标为(3,5)．
∵当𝑥≤2时，𝑦随𝑥的增大而增大，且2 < 3，说明对称轴左侧𝑦随𝑥增大而增大，
∴抛物线开口向下，即𝑎< 0．
当𝑥= 0时，代入得𝑦= 9𝑎+ 5，
𝑥= 0关于对称轴𝑥= 3的对称点为𝑥= 6，
即𝑥= 6时𝑦= 9𝑎+ 5．
∵开口向下时，点离对称轴越远函数值越小，且0 ≤𝑥< 𝑘时，函数最大值为5，最小值为9𝑎+ 5，
∴3 < 𝑘≤6，
观察选项，只有5在范围内．
【变式13-3】（2026·辽宁抚顺·模拟预测）已知抛物线𝑦= 𝑥2−2𝑡𝑥+ 𝑡2−𝑡，点𝑃(𝑥1,𝑦1)在抛物线上，其中
𝑡−1 ≤𝑥1 ≤𝑡+ 2．若𝑦1的最小值是−2，则𝑦1的最大值是______．
【答案】2
【分析】先确定出当𝑥= 𝑡时，𝑦1的最小值为−𝑡，进而求出𝑡，再判断出当𝑥= 𝑡+ 2时，𝑦1取最大值，即可求
出答案．
【详解】解：对抛物线解析式配方得：𝑦= 𝑥2−2𝑡𝑥+ 𝑡2−𝑡= (𝑥−𝑡)2−𝑡，
∵二次项系数1 > 0，
∴抛物线开口向上，对称轴为直线𝑥= 𝑡.
∵𝑡−1 ≤𝑥1 ≤𝑡+ 2，
∴当𝑥= 𝑡时，𝑦1取得最小值−𝑡，
由𝑦1的最小值为−2，得−𝑡= −2，解得𝑡= 2，
此时𝑥1的取值范围为1 ≤𝑥1 ≤4，对称轴为𝑥= 2，抛物线开口向上，
则离对称轴越远，函数值越大，
|4−2| = 2，|1−2| = 1，2 > 1，
则当𝑥1 = 4时，𝑦1取得最大值，
将𝑥1 = 4，𝑡= 2代入解析式得：𝑦1 = (4−2)2−2 = 4−2 = 2．
【点睛】本题考查了二次函数的图象与性质，解题的关键是根据题意，确定出当𝑥= 𝑡时，𝑦1取得最小值，
从而求得𝑡= 2．
【题型14 二次函数的取值范围】
【例14】（2026·江苏镇江·二模）已知二次函数𝑦= 𝑥2 +𝑥+ 3，当−2 ≤𝑥≤𝑛（n 为常数）时，二次函数
𝑦= 𝑥2 +𝑥+ 3的最大值与最小值的差为
9
4，则n 的取值范围为_________．
【答案】−
1
2 ≤𝑛≤1
【分析】本题考查二次函数的性质与区间最值问题，先对二次函数配方得到对称轴和最小值，再根据𝑛的不
同取值范围分情况讨论，结合二次函数的增减性求出对应区间的最大值和最小值，根据最大值与最小值的
差为
9
4，筛选出符合条件的𝑛的取值范围．
【详解】解：∵ 𝑦= 𝑥2 +𝑥+ 3 = 𝑥+
1
2
2
+
11
4
∴二次函数开口向上，对称轴为直线𝑥= −
1
2，二次函数的最小值为
11
4 ，
对称轴左侧𝑦随𝑥增大而减小，对称轴右侧𝑦随𝑥增大而增大
①当𝑛< −
1
2时在−2 ≤𝑥≤𝑛范围内，𝑦随𝑥增大而减小
𝑥= −2时𝑦取得最大值，𝑦= (−2)2 +(−2) + 3 = 5
𝑥= 𝑛时𝑦取得最小值，𝑦= 𝑛2 +𝑛+ 3
由题意得5−(𝑛2 + 𝑛+ 3) =
9
4
整理得𝑛2 +𝑛+
1
4 = 0，
解得𝑛= −
1
2与𝑛< −
1
2矛盾，此种情况舍去
②在𝑛≥−
1
2的情况下，已求得最小值为
11
4 ，根据题意可得最大值必须为5
函数在区间−2 ≤𝑥≤𝑛上的最大值为两端点函数值的较大者，
因此，需要满足𝑛2 +𝑛+ 3 ≤5，
解此不等式得−2 ≤𝑛≤1
结合本情况的前提𝑛≥−
1
2，
∴−
1
2 ≤𝑛≤1
综上，𝑛的取值范围为−
1
2 ≤𝑛≤1
【变式14-1】（2026·安徽阜阳·二模）抛物线𝑦= 𝑎𝑥2−4𝑥+ 1的对称轴为直线𝑥= 2，若直线𝑦= 𝑚与抛物线
𝑦= 𝑎𝑥2−4𝑥+ 1在−1 ≤𝑥≤4的范围内有交点，则m 的取值范围是（ ）
A．−3 ≤𝑚≤4
B．−3 ≤𝑚≤6
C．1 ≤𝑚≤6
D．1 ≤𝑚≤4
【答案】B
【分析】先根据对称轴求出抛物线解析式，再找出−1 ≤𝑥≤4的范围内的最高点和最低点，从而求出m 的
取值范围．
【详解】解：∵抛物线𝑦= 𝑎𝑥2−4𝑥+ 1的对称轴为直线𝑥= 2，
∴−
−4
2𝑎= 2，
解得𝑎= 1，
∴抛物线解析式为𝑦= 𝑥2−4𝑥+ 1 = (𝑥−2)2−3，
在−1 ≤𝑥≤4的范围内，
当𝑥= 2时，有最小值−3，
当𝑥= −1时，有最大值6，
∵直线𝑦= 𝑚与抛物线𝑦= 𝑎𝑥2−4𝑥+ 1在−1 ≤𝑥≤4的范围内有交点，
∴−3 ≤𝑚≤6．
【变式14-2】（2025·山东枣庄·模拟预测）已知点𝐴(2−𝑡,𝑘)，𝐵(𝑡,𝑘)是抛物线𝑦= 𝑥2 +𝑏𝑥+ 𝑐上不同的两点，
当0 ≤𝑥≤𝑚时，y 的取值范围是𝑐−1 ≤𝑦≤𝑐，则m 的取值范围是___________．
【答案】1 ≤𝑚≤2
【分析】本题考查了抛物线的对称性与二次函数的最值，解题的关键是利用抛物线的对称性确定对称轴，
再结合函数取值范围分析自变量的范围．
先根据点𝐴、𝐵纵坐标相同，确定抛物线对称轴；代入顶点式得到最小值，再结合𝑦的取值范围，求出对应𝑥
的值，进而确定𝑚的范围．
【详解】解：∵点𝐴(2−𝑡,𝑘)、𝐵(𝑡,𝑘)在抛物线上且纵坐标相同，
∴抛物线对称轴为𝑥=
(2−𝑡)+𝑡
2
= 1，即−
𝑏
2 = 1，得𝑏= −2．
∴抛物线为𝑦= 𝑥2−2𝑥+ 𝑐= (𝑥−1)2 +𝑐−1，其最小值为𝑐−1（当𝑥= 1时取得）．
当𝑦= 𝑐时，𝑥2−2𝑥+ 𝑐= 𝑐，解得𝑥= 0或𝑥= 2．
∵当0 ≤𝑥≤𝑚时，𝑦的取值范围是𝑐−1 ≤𝑦≤𝑐，
∴𝑚需满足1 ≤𝑚≤2．
故答案为：1 ≤𝑚≤2．
【变式14-3】二次函数𝑦= −𝑥2 +𝑏𝑥+ 𝑐的图象经过点(1,0)，(2,3)，在𝑎≤𝑥≤6范围内有最大值为4，最小
值为−5，则a 的取值范围为______．
【答案】0 ≤𝑎≤3
【分析】本题主要考查了二次函数的最值和二次函数图象上点的坐标特征．先将点(1,0)，(2,3)代入𝑦= −𝑥2
+𝑏𝑥+ 𝑐求出该二次函数的表达式，再根据其开口方向，对称性和增减性，分析在𝑎≤𝑥≤6时的最大值和
最小值即可．
【详解】解：∵二次函数𝑦= −𝑥2 +𝑏𝑥+ 𝑐的图象经过点(1,0)，(2,3)，
∴
−1 + 𝑏+ 𝑐= 0
−4 + 2𝑏+ 𝑐= 3
，
解得：
𝑏= 6
𝑐= −5
，
∴二次函数为𝑦= −𝑥2 +6𝑥−5，
∵𝑦= −𝑥2 +6𝑥+ 5 = −(𝑥−3)2 +4，
∴抛物线开口向下，对称轴为直线𝑥= 3，函数有最大值4，
把𝑦= −5代入𝑦= −𝑥2 +6𝑥−5得，−5 = −𝑥2 +6𝑥−5，即−𝑥2 +6𝑥= 0，
解得𝑥1 = 0，𝑥2 = 6，
在𝑎≤𝑥≤6范围内有最大值为4，最小值为−5，
∴0 ≤𝑎≤3．
故答案为：0 ≤𝑎≤3．
【题型15 利用二次函数的对称性求最短路径】
【例15】（25-26 九年级上·河南新乡·期中）如图，抛物线𝑦= −𝑥2−3𝑥+ 10与x 轴交于A，B 两点，与y 轴
交于点C，P 是抛物线的对称轴上一动点，连接𝐵𝑃，𝐶𝑃，则当𝐵𝑃+ 𝐶𝑃的值最小时，点P 的坐标为______．
【答案】−
3
2 ,7
【分析】本题考查了二次函数图象的性质，轴对称求最小值问题；连接𝐴𝑃，得出
𝐵𝑃+ 𝐶𝑃= 𝐴𝑃+ 𝐶𝑃≥𝐴𝐶，点A，P，C 三点共线时，𝐵𝑃+ 𝐶𝑃取得最小值，最小值为𝐴𝐶，令𝑥= 0和𝑦= 0
分别求得𝐴,𝐶的坐标，求出𝐴𝐶直线的解析式，进而可求出点P 的坐标．
【详解】解：如图所示，连接𝐴𝑃，
∵抛物线𝑦= −𝑥2−3𝑥+ 10 = −𝑥+
3
2
2
+
49
4 与𝑥轴交于𝐴，𝐵两点，
∴点A 和点B 关于对称轴直线𝑥= −
3
2对称，
∴𝑃𝐴= 𝑃𝐵，
∴𝐵𝑃+ 𝐶𝑃= 𝐴𝑃+ 𝐶𝑃≥𝐴𝐶，
∴点A，P，C 三点共线时，𝐵𝑃+ 𝐶𝑃取得最小值，最小值为𝐴𝐶，
∵当𝑥= 0时，𝑦= 10，则𝐶(0,10)
当𝑦= 0时，−𝑥2−3𝑥+ 10 = 0，
解得：𝑥1 = −5,𝑥2 = 2，
∴𝐴(−5,0)，
设𝐴𝐶的解析式为：𝑦= 𝑘𝑥+ 𝑏，
则
𝑏= 10
−5𝑘+ 𝑏= 0
，
解得：
𝑏= 10
𝑘= 2
则𝐵𝐶的解析式为：𝑦= 2𝑥+ 10，
令𝑥= −
3
2，则𝑦= 7，
则𝑃−
3
2 ,7 ，
故答案为：−
3
2 ,7
【变式15-1】（25-26 九年级上·广西钦州·阶段检测）如图，抛物线𝑦= 𝑥2−4𝑥+ 3与𝑥轴分别交于𝐴，𝐵两点
（点𝐴在点𝐵的左侧），与𝑦轴交于点𝐶，在其对称轴上有一动点𝑀，连接𝑀𝐴，𝑀𝐶，当𝑀𝐶+ 𝑀𝐴最小时，则
𝑀𝐶+ 𝑀𝐴= ___________．
【答案】3 2
【分析】本题考查了利用二次函数对称性求最短路径，由题意得点𝐴关于函数对称轴的对称点为点𝐵，连接𝐶𝐵
交函数对称轴于点𝑀，则点𝑀为所求点；则𝑀𝐶+ 𝑀𝐴= 𝑀𝐶+ 𝑀𝐵≥𝐵𝐶，即𝑀𝐶+ 𝑀𝐴的最小值为𝐵𝐶的长度；
据此即可求解；
【详解】解：如图，点𝐴关于函数对称轴的对称点为点𝐵，连接𝐶𝐵交函数对称轴于点𝑀，则点𝑀为所求点，
则𝑀𝐶+ 𝑀𝐴= 𝑀𝐶+ 𝑀𝐵≥𝐵𝐶，即𝑀𝐶+ 𝑀𝐴的最小值为𝐵𝐶的长度；
令𝑥= 0，则𝑦= 3，即𝐶(0,3)；
令𝑦= 0，则𝑦= 𝑥2−4𝑥+ 3 = 0，解得𝑥1 = 1,𝑥2 = 3，即𝐵(3,0)；
∴𝐵𝐶=
(0−3)2 + (3−0)2 = 3 2，
故答案为：3 2
【变式15-2】如图，二次函数𝑦= 𝑎(𝑥−1)2的图像经过点𝐴(−1,4),与𝑦轴交于点𝐵,𝐶、𝐷分别为𝑥轴、直线𝑥= 1
上的动点,当四边形𝐴𝐵𝐶𝐷的周长最小时,𝐶𝐷所在直线对应的函数表达式是( )
A．𝑦= 3𝑥−
3
2
B．𝑦= 3𝑥−1
C．𝑦=
8
5𝑥−
4
5
D．𝑦=
5
3𝑥−1
【答案】D
【分析】利用对称性和两点之间线段最短,作出辅助线,将A 代入求出函数解析式,进而求出G(3,4),B(0,1),H
（0,-1）,待定系数法即可求出直线解析式.
【详解】解：如下图,取A 关于抛物线的对称轴的对应点G,B 关于x 轴的对称点H,连接HG,与抛物线的对称
轴交于点D,与x 轴的交点为点C,连接AD,CD,BC,
利用对称的性质可知DA=DG,CB=CH,
∵两点之间线段最短,并且此时H,C,D,G 四点共线,
∴此时的四边形ABCD 是周长最小的,
将𝐴(−1,4)代入𝑦= 𝑎(𝑥−1)2中得,a=1,
∴抛物线的解析式为𝑦= (𝑥−1)2,
∴抛物线的对称轴为直线x=1,
∴G(3,4),B(0,1),H（0,-1）
设直线CD 的解析式为y=kx+b,(k ≠0)
代入G(3,4), H（0,-1）得
4 = 3𝑘+ 𝑏
−1 = 𝑏
解得：
𝑘= 5
3
𝑏= −1
,
∴直线CD 的解析式为𝑦=
5
3𝑥−1
故选D.
【点睛】本题考查了二次函数的图像和性质,待定系数法求直线解析式,对称的实际应用,难度较大,首先利用
对称性作出辅助线,再用待定系数法求解析式是解题关键.
【变式15-3】（2026·河南驻马店·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，二次函数𝑦= 𝑎𝑥2 +4𝑥−6的图象
与x 轴交于B，C 两点，与y 轴交于点D，其中点B 的坐标是(2,0)．
(1)求该二次函数的解析式；
(2)在y 轴正半轴上是否存在点P，使得𝑃𝐶+ 𝑃𝐴的值最小？若存在，求出点P 的坐标以及这个最小值；若不
存在，请说明理由；
(3)若将线段𝐵𝐷向右平移n 个单位长度(𝑛> 0)，若线段𝐵𝐷与二次函数的图象无交点，请直接写出平移距离n
的取值范围．
【答案】(1)𝑦= −
1
2𝑥2 +4𝑥−6
(2)𝑃0,
6
5 ，2 26
(3)0 < 𝑛< 4或𝑛> 8
【分析】（1）待定系数法求函数解析式；
（2）先找对称点，再连接，根据两点之间线段最短确定𝑃𝐶+ 𝑃𝐴的最小值，进而确定点P 坐标；
（3）数形结合，根据临界值判断n 的取值范围．
【详解】（1）将(2,0)代入𝑦= 𝑎𝑥2 +4𝑥−6得，𝑎= −
1
2，所以解析式为𝑦= −
1
2𝑥2 +4𝑥−6；
（2）由𝑦= −
1
2𝑥2 +4𝑥−6可知，𝐴(4,2)，对称轴为𝑥= 4，
∵𝐵(2,0)，对称轴𝑥= 4，
∴𝐶(6,0)
取点C 关于y 轴的对称点𝐶′(−6,0)，连接𝐶′𝐴，与y 轴交于点P，此时𝑃𝐶+ 𝑃𝐴的值最小，最小值为𝐶′𝐴的长．
设直线𝐶′𝐴的解析式为𝑦= 𝑘𝑥+ 𝑏，将𝐶′(−6,0)、𝐴(4,2)代入得
−6𝑘+ 𝑏= 0
4𝑘+ 𝑏= 2
，解得
𝑘= 1
5
𝑏= 6
5
，∴𝑦=
1
5𝑥+
6
5，
∴𝑃0,
6
5 ．
此时𝑃𝐶+ 𝑃𝐴的值最小，最小值为𝐶′𝐴的长，𝐶′𝐴=
(4 + 6)2 + 22 = 2 26；
（3）连接𝐵𝐷，
由𝑦= −
1
2𝑥2 +4𝑥−6知，𝐷(0,−6)，
线段𝐵𝐷向右平移时，当点𝐵(2,0)与点𝐶(6,0)重合时，线段𝐵𝐷与二次函数的图象有交点，此时，
𝑛= 6−2 = 4，当0 < 𝑛< 4时，线段𝐵𝐷与二次函数的图象无交点；
线段𝐵𝐷继续向右平移，当点𝐷(0,−6)与点𝐷′重合时，线段𝐵𝐷与二次函数的图象有交点，此时，令𝑦= −6，
−6 = −
1
2𝑥2 +4𝑥−6，解得𝑥1 = 0，𝑥2 = 8，∴𝐷′(8,−6)，𝑛= 8−0 = 8，当𝑛> 8时，线段𝐵𝐷与二次函数的
图象无交点；
综上所述，0 < 𝑛< 4或𝑛> 8，线段𝐵𝐷与二次函数的图象无交点．
【点睛】本题考查了二次函数的图象和性质、待定系数法求解析式、最短路径问题、勾股定理、交点问题，
数形结合是解题关键．
