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专题14.1 全等三角形及其性质（举一反三讲义）
【新教材人教版】
【题型1 全等三角形的识别与符号表示】............................................................................................................2
【题型2 寻找全等三角形的对应顶点、对应边和对应角】................................................................................3
【题型3 分割成几个全等三角形】........................................................................................................................5
【题型4 利用全等三角形对应角相等求角的大小】............................................................................................8
【题型5 利用全等三角形对应边相等求线段的长度】......................................................................................10
【题型6 利用全等三角形性质求周长与面积】..................................................................................................12
【题型7 平移背景下的全等三角形性质应用】..................................................................................................16
【题型8 旋转背景下的全等三角形性质应用】..................................................................................................18
【题型9 利用全等三角形性质判定线段的位置关系】......................................................................................20
知识点1 全等形
形状、大小相同的图形放在一起能够完全重合，能够完全重合的两个图形叫作全等形.
知识点2 全等三角形
1. 全等三角形的有关概念
一个三角形经过平移、轴对称或旋转变换后得到另一个三角形. 这两个三角形可以重合. 我们把两个能完全
重合的三角形叫做全等三角形．互相重合的顶点叫做对应顶点，互相重合的边叫做对应边，互相重合的角
叫做对应角．
2. 全等三角形的表示方法
全等用符号“≌”表示，读作“全等于”．
表示两个三角形全等时，通常把对应顶点的字母写在对应的位置上．这样容易写出对应边、对应角．如图
中的△𝐴𝐵𝐶与△𝐷𝐸𝐹全等，记作“ △𝐴𝐵𝐶≌△𝐷𝐸𝐹”，点A 与点D、点B 与点E、点C 与点F 是对应顶点．
考点1
全等三角形的概念与对应元素
题型归纳
【题型1 全等三角形的识别与符号表示】
【例1】（25-26 八年级下·广西崇左·开学考试）如图，七巧板中有5个等腰直角三角形（①~⑤），其中与
三角形③全等的是（ ）
A．⑤
B．④
C．②
D．①
【答案】B
【详解】解：与三角形③全等的是④．
【变式1-1】（2026 七年级下·全国·专题练习）已知在△𝐴𝐵𝐶和△𝐴′𝐵′𝐶′中，A 与𝐴′，B 与𝐵′是对应点，则
△𝐴𝐵𝐶和△𝐴′𝐵′𝐶′全等用符号语言表示为：______ ．
【答案】△𝐴𝐵𝐶≌△𝐴′𝐵′𝐶′
【详解】解：在△𝐴𝐵𝐶和△𝐴′𝐵′𝐶′中，A 与𝐴′，B 与𝐵′是对应点，则△𝐴𝐵𝐶和△𝐴′𝐵′𝐶′全等用符号语言表
示为：△𝐴𝐵𝐶≌△𝐴′𝐵′𝐶′．
【变式1-2】（24-25 七年级下·上海徐汇·期末）已知△𝐴𝐵𝐶的三边长互不相等，若以𝐵、𝐶为两个顶点画不
同位置的三角形（与原三角形不重合），使所画的三角形与△𝐴𝐵𝐶全等，这样的三角形最多可以画
___________个．
【答案】3
【分析】本题主要考查了三角形全等的定义，根据题意画出图形，得出答案即可．
【详解】解：如图，可以画△𝐴1𝐵𝐶、△𝐴2𝐵𝐶、△𝐴3𝐵𝐶与△𝐴𝐵𝐶全等，因此这样的三角形最多可以画3
个．
故答案为：3．
【变式1-3】全等三角形也叫做合同三角形，平面内的合同三角形分为真正合同三角形和镜面合同三角
形．假如△𝐴𝐵𝐶和△𝐴′𝐵′𝐶′是全等三角形，且点A 与点𝐴′对应，点B 与点𝐵′对应，点C 与点𝐶′对应．如下
图，当沿周界𝐴→𝐵→𝐶→𝐴及𝐴′→𝐵′→𝐶′→𝐴′环绕时，若运动方向相同，则称它们是真正合同三角形；若运动
方向相反，则称它们是镜面合同三角形．
下列各组合同三角形中，属于镜面合同三角形的有__________．
【答案】①③/③①
【分析】本题主要考查了全等三角形．根据真正合同三角形和镜面合同三角形的定义进行解答，即可求解．
【详解】解：根据题意得：①③运动方向相反，
∴属于镜面合同三角形的有①③．
故答案为：①③．
【题型2 寻找全等三角形的对应顶点、对应边和对应角】
【例2】如图所示，△𝐴𝐶𝐵≌△𝐷𝐸𝐹，其中𝐴与𝐷，𝐶与𝐸是对应顶点，则𝐶𝐵的对应边是______，∠𝐴𝐵𝐶的对
应角是_______．
【答案】
𝐸𝐹
∠𝐷𝐹𝐸
【分析】本题考查了全等三角形的对应边与对应角．解题的关键是牢记“全等三角形的对应边相等，对应角
相等”即可．解题时要找对对应边，对应角即可．
【详解】解：∵△𝐴𝐶𝐵≌△𝐷𝐸𝐹，
∴𝐶𝐵= 𝐸𝐹，∠𝐴𝐵𝐶= ∠𝐷𝐹𝐸，
∴𝐶𝐵的对应边是𝐸𝐹，∠𝐴𝐵𝐶的对应角是∠𝐷𝐹𝐸．
故答案为：𝐸𝐹，∠𝐷𝐹𝐸．
【变式2-1】（24-25 八年级上·广西崇左·阶段检测）如图，两个三角形△𝐴𝐵𝐶与△𝐵𝐷𝐸全等，观察图形，
判断在这两个三角形中边𝐵𝐷的对应边为（ ）
A．𝐵𝐸
B．𝐴𝐵
C．𝐶𝐴
D．𝐵𝐶
【答案】D
【分析】本题考查了全等三角形的对应边的含义．注意最长边与最长边对应，最短边与最短边对应．观察
图形，找到与𝐵𝐷长度相等的边即可．
【详解】解：观察图形可知：𝐵𝐸> 𝐴𝐵，𝐵𝐸> 𝐵𝐶，
∴𝐵𝐸和𝐴𝐶是对应边，
而显然𝐵𝐷和𝐵𝐶是两个三角形中最短的边，是对应边，
∴边𝐵𝐷的对应边为𝐵𝐶．
故选D．
【变式2-2】如图，△𝐴𝐵𝐶≌△𝐶𝐷𝐴．下列结论：①𝐴𝐵与𝐴𝐷是对应边；②𝐴𝐶与𝐶𝐴是对应边；③∠𝐵𝐴𝐶与∠𝐷𝐴𝐶
是对应角；④∠𝐶𝐴𝐵与∠𝐴𝐶𝐷是对应角．其中正确的是________．（填序号）
【答案】②④
【分析】本题主要考查了全等三角形的有关概念，解题时应注重识别全等三角形中的对应边、对应角．
根据全等三角形的有关概念，即可求解．
【详解】解：∵△𝐴𝐵𝐶≌△𝐶𝐷𝐴，
∴𝐴𝐵与𝐶𝐷是对应边，故①错误；
𝐴𝐶与𝐶𝐴是对应边，故②正确；
∠𝐵𝐴𝐶与∠𝐴𝐶𝐷是对应角，故③错误；
∠𝐶𝐴𝐵与∠𝐴𝐶𝐷是对应角，故④正确．
所以正确的有②④．
故答案为：②④
【变式2-3】（24-25 七年级下·全国·课后作业）如图，已知∠1 = ∠2，∠𝐵= ∠𝐷，△𝐴𝐵𝐶和△𝐸𝐴𝐷全等，则
下列表示正确的是（ ）
A．△𝐴𝐵𝐶≌△𝐴𝐸𝐷
B．△𝐴𝐵𝐶≌△𝐸𝐴𝐷
C．△𝐴𝐵𝐶≌△𝐷𝐸𝐴
D．△𝐴𝐵𝐶≌△𝐴𝐷𝐸
【答案】D
【分析】本题考查全等三角形对应点的确认，解题的关键在于熟练掌握三角形全等的定义．根据题意找出
对应点，即可解题．
【详解】解：∵ ∠1 = ∠2，
∴ 𝐸与𝐶相对应，
∵ ∠𝐵= ∠𝐷，
∴ 𝐵与𝐷相对应，
∴ △𝐴𝐵𝐶≌△𝐴𝐷𝐸，
故选：D．
【题型3 分割成几个全等三角形】
【例3】（24-25 七年级下·全国·期中）请把如图所示的正方形分别分成2 个、4 个、8 个全等的图形．
【答案】见解析
【分析】本题考查全等三角形的判定，选择对边的两个中点连接即可分得两个全等的图形；分别连接对边
的两个中点即可得到四个全等的图形；分别连接对边的两个中点及不相邻的两个顶点即可得到8 个全等的
图形．
【详解】解：所作图形如下所示：
【变式3-1】（2025 八年级上·全国·专题练习）小明通过实验发现：如图所示，将一个长方形可以分割成四
个全等的长方形，三个全等的长方形，于是他对含60°的直角三角形进行分割研究，发现也可以分割成四个
全等的直角三角形，三个全等的直角三角形．
请你在图中依次画出分割线；
【答案】图形见详解
【分析】本题考查了作图-应用与设计，全等三角形的判定等知识点．根据要求画出图形即可．
【详解】解：分割线如图所示：
．
【变式3-2】（24-25 八年级上·云南大理·期中）如图，在11 × 10的网格中，每个小正方形的边长都是1，△𝐴𝐵𝐶
的顶点都在格点上．
(1)在图甲中画直线𝐶𝐷，将△𝐴𝐵𝐶分成面积相等的两个三角形，与△𝐴𝐵𝐶的边交于点𝐷；
(2)在图乙中画△𝐴𝐵𝐸，使得△𝐴𝐵𝐶与△𝐴𝐵𝐸全等（只画一个）．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【分析】本题考查了作图—格点作图，三角形中线的性质、全等三角形的性质，熟练掌握以上知识点并灵活
运用是解此题的关键．
（1）根据网格即可画出△𝐴𝐵𝐶的中线𝐶𝐷；
（2）根据网格结合全等三角形的性质即可画出△𝐴𝐵𝐸．
【详解】（1）解：如图：𝐶𝐷即为所作，
（2）解：如图：△𝐴𝐵𝐸即为所作，
【变式3-3】小红想将一个等边三角形沿着图中的虚线剪下得到几个全等三角形，下列操作中沿虚线剪下得
到的三角形是全等图形的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】根据等边三角形的性质和全等三角形的判定方法依次判断即可．
本题主要考查了等边三角形的性质和全等三角形的判定方法，熟练掌握以上知识是解题的关键．
【详解】解：A. 将等边三角形沿底边的三等分点和顶点的连线剪下，根据SAS可得左右两个三角形全等，
但不与中间三角形全等．故A 选项不符合题意；
B. 将等边三角形沿底边的四等分点和顶点的连线剪下，根据SAS可得左右两个三角形全等，中间两个三角形
全等，但这四个三角形不全等，故B 选项不符合题意；
C.将等边三角形沿三条边中点的连线剪开．根据SAS可得这四个三角形全等．故C 选项符合题意；
D. 在等边三角形顶角的平分线上任取一点，再连接两个底角的顶点，沿虚线剪开．根据SAS可得左右两个
三角形全等，但不与下面的三角形全等．故D 选项不符合题意．
故选：C
知识点2 全等三角形的性质
1. 全等三角形的对应边相等，对应角相等．
2. 全等三角形的其他性质
（1）全等三角形的周长相等；
（2）全等三角形的面积相等；
（3）全等三角形对应边上的中线相等，对应角的平分线相等，对应边上的高相等．
【题型4 利用全等三角形对应角相等求角的大小】
【例4】（24-25 七年级下·福建宁德·期末）如图，△𝐴𝑂𝐵≌△𝐶𝑂𝐷，∠𝐴𝑂𝐵= 110°，𝑂𝐵⊥𝑂𝐶，则
∠𝐷𝑂𝐵= ___________°．
【答案】20
【分析】本题考查了全等三角形的性质，掌握全等三角形的性质是解题的关键．根据△𝐴𝑂𝐵≌△𝐶𝑂𝐷，可
得∠𝐶𝑂𝐷= ∠𝐴𝑂𝐵= 110°，再由∠𝐷𝑂𝐵= ∠𝐶𝑂𝐷−∠𝐵𝑂𝐶可得结果．
【详解】解：∵ △𝐴𝑂𝐵≌△𝐶𝑂𝐷，
∴ ∠𝐶𝑂𝐷= ∠𝐴𝑂𝐵= 110°，
∵ 𝑂𝐵⊥𝑂𝐶，
考点2
利用全等三角形的性质计算
∴ ∠𝐵𝑂𝐶= 90°，
∴ ∠𝐷𝑂𝐵= ∠𝐶𝑂𝐷−∠𝐵𝑂𝐶= 110°−90° = 20°，
故答案为：20．
【变式4-1】（25-26 八年级上·广东汕头·期末）如图，△𝐴𝐵𝐶≌△𝐷𝐸𝐹，∠𝐵= 40°，∠𝐷= 80°，则∠𝐴的度
数是（ ）
A．100°
B．80°
C．60°
D．40°
【答案】B
【分析】本题考查全等三角形的性质，利用全等三角形对应角相等，即可得到∠𝐴的度数．
【详解】解：∵△𝐴𝐵𝐶≌△𝐷𝐸𝐹，∠𝐷= 80°，
∴∠𝐴= ∠𝐷= 80°．
故选：B．
【变式4-2】如图，△𝐴𝐵𝐶≌△𝐴𝐸𝐷，若∠𝐵𝐴𝐶= 40°，∠𝐶𝐴𝐸= 15°，则∠𝐶𝐴𝐷等于______°．
【答案】55
【分析】根据全等三角形的性质得到∠𝐸𝐴𝐷= ∠𝐵𝐴𝐶= 40°，即可求出∠𝐶𝐴𝐷的度数．
【详解】解：∵△𝐴𝐵𝐶≌△𝐴𝐸𝐷，∠𝐵𝐴𝐶= 40°，
∴∠𝐸𝐴𝐷= ∠𝐵𝐴𝐶= 40°，
∵∠𝐶𝐴𝐸= 15°，
∴∠𝐶𝐴𝐷= 40° + 15° = 55°．
【变式4-3】（25-26 八年级上·山东潍坊·期中）如图，已知△𝐴𝐵𝐶≌△𝐴𝐷𝐸，𝐵𝐶的延长线交𝐷𝐴于点F，交𝐷𝐸
于点G，∠𝐷= 25°，∠𝐸= 120°，∠𝐷𝐴𝐶= 25°，则∠𝐸𝐺𝐵= ______度．
【答案】120
【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质的知识，掌握以上知识是解答本题的关键；
本题根据△𝐴𝐵𝐶≌△𝐴𝐷𝐸可得∠𝐴𝐶𝐵= ∠𝐸= 120°，求得∠𝐴𝐹𝐶= 95°，根据等量变换，然后即可求解∠𝐸𝐺𝐵；
【详解】解：∵△𝐴𝐵𝐶≌△𝐴𝐷𝐸，
∴∠𝐴𝐶𝐵= ∠𝐸= 120°，
∵∠𝐴𝐶𝐵= ∠𝐷𝐴𝐶+ ∠𝐴𝐹𝐶，
∴∠𝐴𝐹𝐶= ∠𝐴𝐶𝐵−∠𝐷𝐴𝐶= 120°−25° = 95°，
∴∠𝐷𝐹𝐺= ∠𝐴𝐹𝐺= 95°，
∴∠𝐸𝐺𝐵= ∠𝐷+ ∠𝐷𝐹𝐺= 25° + 95° = 120°，
故答案为：120°；
【题型5 利用全等三角形对应边相等求线段的长度】
【例5】（25-26 八年级上·福建福州·期末）如图，已知△𝐴𝐷𝐶≌△𝐴𝐸𝐵，𝐴𝐵= 8，𝐶𝐸= 5，则𝐴𝐸的长度为
（ ）．
A．2
B．3
C．4
D．5
【答案】B
【分析】本题考查全等三角形的性质，线段的和差运算，掌握好相关知识是关键．
根据全等三角形对应边相等的性质可得𝐴𝐶= 𝐴𝐵= 8，作差求出𝐴𝐸的长．
【详解】解：∵△𝐴𝐷𝐶≌△𝐴𝐸𝐵，
∴𝐴𝐶= 𝐴𝐵= 8，
∴𝐴𝐸= 𝐴𝐶−𝐶𝐸= 8−5 = 3．
故选：B．
【变式5-1】（25-26 八年级上·安徽合肥·期末）如图，若△𝐴𝐵𝐶≌△𝐴𝐷𝐸，𝐴𝐵= 5，𝐴𝐸= 2，则𝐶𝐷的长为
（ ）
A．2
B．2.5
C．3
D．4
【答案】C
【分析】本题主要考查全等三角形的性质，通过全等三角形得到对应边相等是解题的关键．
首先根据全等三角形得到𝐴𝐷= 𝐴𝐵= 5，𝐴𝐶= 𝐴𝐸= 2，即可求解𝐶𝐷的长．
【详解】解：∵△𝐴𝐵𝐶≌△𝐴𝐷𝐸，𝐴𝐵= 5，𝐴𝐸= 2，
∴𝐴𝐷= 𝐴𝐵= 5，𝐴𝐶= 𝐴𝐸= 2，
∴𝐶𝐷= 𝐴𝐷−𝐴𝐶= 5−2 = 3，
故选：C．
【变式5-2】已知△𝐴𝐵𝐶≌△𝐷𝐸𝐹 ，△𝐴𝐵𝐶 的三边为5、𝑚、𝑛，△𝐷𝐸𝐹的三边为11、𝑝、𝑞，若△𝐴𝐵𝐶三
边均为整数，则𝑚+ 𝑛+ 𝑝+ 𝑞的最小值为______．
【答案】30
【分析】本题考查了全等三角形的性质，三角形三边关系，由△𝐴𝐵𝐶≌△𝐷𝐸𝐹，则𝑚、𝑛中有一边为11，𝑝、𝑞
中有一边为5，𝑚、𝑛与𝑝、𝑞中剩余两边相等，通过三角形三边关系可知两三角形剩余两边最小为7，然后根
据周长公式即可求解，掌握知识点的运用是解题的关键．
【详解】解：∵△𝐴𝐵𝐶≌△𝐷𝐸𝐹，
∴𝑚、𝑛中有一边为11，𝑝、𝑞中有一边为5，𝑚、𝑛与𝑝、𝑞中剩余两边相等，
∵11−5 = 6，
∴两个三角形剩余两边最小为7，
∴𝑚+ 𝑛+ 𝑝+ 𝑞的最小值为：11 + 5 + 7 + 7 = 30，
故答案为：30．
【变式5-3】如图，已知△𝐴𝐵𝐶≌△𝐷𝐸𝐹，𝐷𝐹∥𝐵𝐶，且∠𝐵=60°，∠𝐹= 40°，点A 在𝐷𝐸上，求∠𝐵𝐴𝐷的度数．
【答案】20°
【分析】本题考查了全等三角形的性质，平行线的判定和性质．
根据全等三角形的性质得到∠𝐵= ∠𝐸= 60°，∠𝐶= ∠𝐹= 40°，根据平行线的性质得到∠1 = ∠𝐶，进而证明
𝐴𝐶∥𝐸𝐹，可得∠2 = ∠𝐸= 60°，进而计算即可．
【详解】解：如图所示，
∵△𝐴𝐵𝐶≌△𝐷𝐸𝐹，
∴∠𝐵= ∠𝐸= 60°，∠𝐶= ∠𝐹= 40°．
∵𝐷𝐹∥𝐵𝐶，
∴∠1 = ∠𝐶，
∴∠1 = ∠𝐹，
∴𝐴𝐶∥𝐸𝐹，
∴∠2 = ∠𝐸= 60°．
∵∠𝐵𝐴𝐶= 180°−∠𝐵−∠𝐶= 180°−60°−40° = 80°，
∴∠𝐵𝐴𝐷= ∠𝐵𝐴𝐶−∠2 = 80°−60° = 20°．
【题型6 利用全等三角形性质求周长与面积】
【例6】（25-26 八年级上·安徽亳州·期末）如图，在△𝐴𝐵𝐶中，𝐶𝐷⊥𝐴𝐵于点D、E 是𝐶𝐷上一点，若
△𝐵𝐷𝐸≌△𝐶𝐷𝐴，𝐴𝐵= 14，𝐴𝐶= 12，则△𝐵𝐷𝐸的周长为（ ）
A．20
B．22
C．24
D．26
【答案】D
【分析】本题考查了全等三角形的性质，掌握相关知识点是解题的关键．
根据全等三角形的性质，可得𝐷𝐸= 𝐷𝐴，𝐵𝐸= 𝐶𝐴，再根据周长为
𝐵𝐷+ 𝐷𝐸+ 𝐵𝐸= 𝐵𝐷+ 𝐷𝐴+ 𝐶𝐴= 𝐵𝐴+ 𝐶𝐴，即可求解．
【详解】解：∵△𝐵𝐷𝐸≌△𝐶𝐷𝐴，
∴𝐷𝐸= 𝐷𝐴，𝐵𝐸= 𝐶𝐴，
∵𝐴𝐵= 14，𝐴𝐶= 12，
则△𝐵𝐷𝐸的周长为𝐵𝐷+ 𝐷𝐸+ 𝐵𝐸= 𝐵𝐷+ 𝐷𝐴+ 𝐶𝐴= 𝐵𝐴+ 𝐶𝐴= 14 + 12 = 26．
故选：D．
【变式6-1】如图，△𝐴𝐵𝐶中，∠𝐴𝐶𝐵= 90∘，将△𝐴𝐵𝐶沿𝐴𝐶方向平移𝐴𝐷的长度得到△𝐷𝐸𝐹，且𝐴𝐷= 3，𝐵𝐶= 6，
𝐵𝐺= 2，则图中阴影部分的面积是______________．
【答案】15
【分析】本题主要考查了平移的性质，把一个图形整体沿某一直线方向移动，会得到一个新的图形，新图
形与原图形的形状和大小完全相同；新图形中的每一点，都是由原图形中的某一点移动后得到的，这两个
点是对应点．连接各组对应点的线段平行（或共线）且相等．先根据平移的性质得到△𝐷𝐸𝐹≌△𝐴𝐵𝐶即
𝐵𝐶= 𝐸𝐹= 6，𝐶𝐹= 𝐴𝐷= 3，可求出𝐶𝐺= 4，最后根据梯形的面积公式计算即可．
【详解】解：∵将△𝐴𝐵𝐶沿𝐴𝐶方向平移𝐴𝐷的长度得到△𝐷𝐸𝐹，
∴△𝐷𝐸𝐹≌△𝐴𝐵𝐶，
∴𝐵𝐶= 𝐸𝐹= 6，𝐶𝐹= 𝐴𝐷= 3，
∵𝐵𝐺= 2，
∴𝐶𝐺= 𝐵𝐶−𝐵𝐺= 4，
∴𝑆阴影=
1
2 × (4 + 6) × 3 = 15．
故答案为：15．
【变式6-2】（24-25 八年级上·湖北·期中）中国古代数学家刘徽在《九章算术注》中，给出了证明三角形面
积公式的出入相补法．如图，在△𝐴𝐵𝐶中，分别取𝐴𝐵，𝐴𝐶的中点𝐷，𝐸，连接𝐷𝐸，过点𝐴作𝐴𝐹⊥𝐷𝐸，垂足
为𝐹，将△𝐴𝐵𝐶分割后拼接成长方形𝐵𝐶𝐻𝐺．若𝐷𝐸= 5，𝐴𝐹= 3，则△𝐴𝐵𝐶的面积是_____．
【答案】30
【分析】本题考查了全等三角形的性质．熟练掌握全等三角形的性质是解题的关键．
由题意知，△𝐴𝐷𝐹≌△𝐵𝐷𝐺，△𝐴𝐷𝐹≌△𝐵𝐷𝐺，则𝐷𝐹= 𝐷𝐺，𝐸𝐹= 𝐸𝐻，𝐴𝐹= 𝐵𝐺= 3，可求𝐷𝐺= 10，根
据𝑆△𝐴𝐵𝐶= 𝑆长方形𝐵𝐶𝐻𝐺= 𝐵𝐺× 𝐷𝐺，计算求解即可．
【详解】解：由题意知，△𝐴𝐷𝐹≌△𝐵𝐷𝐺，△𝐴𝐷𝐹≌△𝐵𝐷𝐺，
∴𝐷𝐹= 𝐷𝐺，𝐸𝐹= 𝐸𝐻，𝐴𝐹= 𝐵𝐺= 3，
∴𝐷𝐺+ 𝐷𝐹+ 𝐸𝐹+ 𝐸𝐻= 2𝐷𝐸= 10，
∵长方形𝐵𝐶𝐻𝐺，
∴𝑆△𝐴𝐵𝐶= 𝑆长方形𝐵𝐶𝐻𝐺= 𝐵𝐺× 𝐷𝐺= 30，
故答案为：30．
【变式6-3】（24-25 八年级上·湖南衡阳·期末）如图，△𝐴𝐵𝐶≌△𝐴𝐷𝐸，点E 在边𝐵𝐶上（不与点B，C 重
合），DE 与AB 交于点F．
(1)若∠𝐶𝐴𝐷= 110°，∠𝐵𝐴𝐸= 30°，求∠𝐵𝐴𝐷的度数；
(2)若𝐴𝐷= 10，𝐵𝐸= 𝐶𝐸= 4.5，求△𝐴𝐷𝐹与△𝐵𝐸𝐹的周长和．
【答案】(1)40°
(2)33.5
【分析】本题考查了全等三角形的性质，熟练掌握全等三角形的性质是解题的关键；
（1）利用全等三角形的性质、等式的性质可得出∠𝐶𝐴𝐸= ∠𝐵𝐴𝐷，然后利用角的和差关系求解即可；
（2）利用全等三角形的性质可求出𝐴𝐵= 𝐴𝐷= 10，𝐵𝐶= 𝐷𝐸= 9，然后利用三角形的周长公式求解即可．
【详解】（1）解∶∵△𝐴𝐵𝐶≌△𝐴𝐷𝐸，
∴∠𝐵𝐴𝐶= ∠𝐷𝐴𝐸，
∴∠𝐶𝐴𝐸= ∠𝐵𝐴𝐷，
∵∠𝐶𝐴𝐷= 110°，∠𝐵𝐴𝐸= 30°，
∴∠𝐶𝐴𝐸+ ∠𝐵𝐴𝐷= ∠𝐶𝐴𝐷−∠𝐵𝐴𝐸= 80°，
∴∠𝐵𝐴𝐷= ∠𝐶𝐴𝐸= 40°；
（2）解：∵𝐴𝐷= 10，𝐵𝐸= 𝐶𝐸= 4.5，△𝐴𝐵𝐶≌△𝐴𝐷𝐸，
∴𝐴𝐵= 𝐴𝐷= 10，𝐵𝐶= 𝐷𝐸= 𝐵𝐸+ 𝐶𝐸= 9，
△𝐴𝐷𝐹与△𝐵𝐸𝐹的周长和为𝐴𝐷+ 𝐷𝐹+ 𝐴𝐹+ 𝐵𝐹+ 𝐸𝐹+ 𝐵𝐸
= 𝐴𝐷+ (𝐷𝐹+ 𝐸𝐹) + (𝐴𝐹+ 𝐵𝐹) + 𝐵𝐸
= 𝐴𝐷+ 𝐷𝐸+ 𝐴𝐵+ 𝐵𝐸
= 10 + 9 + 10 + 4.5
= 33.5．
知识点3 全等变换
一个图形经过平移、翻折、旋转后，位置发生变化，但形状、大小都没有改变，即平移、翻折、旋转前后
的图形全等．
如图（1），把△𝐴𝐵𝐶沿BC 所在直线向右平移一段距离，得到△𝐷𝐸𝐹，则△𝐴𝐵𝐶≌△𝐷𝐸𝐹．
如图（2），把△𝐴𝐵𝐶沿BC 所在直线翻折，得到△𝐷𝐵𝐶，则△𝐴𝐵𝐶≌△𝐷𝐵𝐶．
如图（3），把△𝐴𝐵𝐶绕点A 旋转，得到△𝐴𝐸𝐷，则△𝐴𝐵𝐶≌△𝐴𝐸𝐷．
考点3
全等三角形在图形变换与位置关系中的应用
【题型7 平移背景下的全等三角形性质应用】
【例7】如图，△𝐴𝐵𝐶的边长𝐵𝐶长为7cm，将△𝐴𝐵𝐶向上平移3cm得到△𝐴′𝐵′𝐶′，已知四边形𝐵𝐶𝐶′𝐵′为长
方形，则阴影部分的面积为__．
【答案】21cm2
【分析】本题考查平移的性质、矩形的面积公式，证明△𝐴′𝐵′𝐶′≌△𝐴𝐵𝐶及𝑆阴影= 𝑆四边形𝐵𝐶𝐶′𝐵′ + 𝑆△𝐴′𝐵′𝐶′−
𝑆△𝐴𝐵𝐶= 𝑆四边形𝐵𝐶𝐶′𝐵′是解题的关键．
由平移得𝐵𝐵′ = 3cm, △𝐴′𝐵′𝐶′≌△𝐴𝐵𝐶，可得𝑆△𝐴𝐵𝐶= 𝑆△𝐴′𝐵′𝐶′，再根据𝑆阴影= 𝑆四边形𝐵𝐶𝐶′𝐵′ + 𝑆△𝐴′𝐵′𝐶′−
𝑆△𝐴𝐵𝐶= 𝑆四边形𝐵𝐶𝐶′𝐵′，即可求解．
【详解】解：由平移得𝐵𝐵′ = 3cm, △𝐴′𝐵′𝐶′≌△𝐴𝐵𝐶，
∴𝑆△𝐴𝐵𝐶= 𝑆△𝐴′𝐵′𝐶′，
∴𝑆阴影= 𝑆四边形𝐵𝐶𝐶′𝐵′ + 𝑆△𝐴′𝐵′𝐶′−𝑆△𝐴𝐵𝐶= 𝑆四边形𝐵𝐶𝐶′𝐵′，
∵四边形𝐵𝐶𝐶′𝐵′为长方形，𝐵𝐶= 7cm，
∴𝑆四边形𝐵𝐶𝐶′𝐵′ = 𝐵𝐶⋅𝐵𝐵′ = 7 × 3 = 21(cm2)，
∴𝑆阴影= 21cm2，
故答案为：21cm2．
【变式7-1】（24-25 七年级下·江苏南京·阶段检测）如图，△𝐷𝐸𝐹由△𝐴𝐵𝐶平移得到，下列说法中，不正
确的是（ ）
A．𝐴𝐵∥𝐷𝐸
B．𝐶𝐹∥𝐵𝐸
C．∠𝐴𝐵𝐶= ∠𝐷𝐹𝐸
D．∠𝐵𝐴𝐶= ∠𝐸𝐷𝐹
【答案】C
【分析】本题主要考查了平移的性质，根据平移的性质，逐项进行判断即可．
【详解】解：∵△𝐷𝐸𝐹由△𝐴𝐵𝐶平移得到，
∴𝐴𝐵∥𝐷𝐸，𝐶𝐹∥𝐵𝐸，△𝐴𝐵𝐶≌△𝐷𝐸𝐹，
∴∠𝐴𝐵𝐶= ∠𝐷𝐸𝐹，∠𝐵𝐴𝐶= ∠𝐸𝐷𝐹，
因此∠𝐴𝐵𝐶≠∠𝐷𝐹𝐸，选项C 错误，符合题意．
故选：C．
【变式7-2】如图所示，△𝐴𝐵𝐶平移得到△𝐷𝐸𝐹，若∠𝐷𝐸𝐹= 35°，∠𝐴𝐶𝐵= 70°，则∠𝐴的度数是（ ）
A．55°
B．65°
C．75°
D．85°
【答案】C
【分析】本题考查了平移的性质，三角形内角和定理，根据平移的性质可得△𝐴𝐵𝐶≌△𝐷𝐸𝐹，即可得
∠𝐴𝐵𝐶= ∠𝐷𝐸𝐹= 35°，再根据三角形内角和定理即可求解，掌握平移的性质是解题的关键．
【详解】解：∵△𝐴𝐵𝐶平移得到△𝐷𝐸𝐹，
∴△𝐴𝐵𝐶≌△𝐷𝐸𝐹，
∴∠𝐴𝐵𝐶= ∠𝐷𝐸𝐹= 35°，
∵∠𝐴𝐶𝐵= 70°，
∴∠𝐴= 180°−35°−70° = 75°，
故选：C．
【变式7-3】如图，在一次演出中，△𝐴𝐵𝐶位置上重合着两个三角形道具，演员把其中一个沿直角𝐴𝐵𝐶的𝐵𝐶
边所在的直线向右推动，使之平移到△𝐷𝐸𝐹位置．
(1)若𝐵𝐸= 3，𝐸𝐹= 8，求𝐸𝐶的长．
(2)除了∠𝐴𝐵𝐶= 90°，还能求出哪些角的度数？求出这些角的度数．
(3)你还能得出哪些关于线段位置关系的结论？写出一个，并加以证明．
【答案】(1)5
(2)∠𝐷𝐸𝐹= 90°
(3)𝐴𝐵∥𝐷𝐸，证明见解析（答案不唯一）
【分析】（1）首先根据平移的性质得到△𝐴𝐵𝐶≌△𝐷𝐸𝐹，然后得到𝐵𝐸= 𝐶𝐹= 3，进而求解即可；
（2）根据全等三角形的性质求解即可；
（3）根据平行线的判定方法求解即可．
【详解】（1）∵△𝐴𝐵𝐶平移到△𝐷𝐸𝐹，
∴△𝐴𝐵𝐶≌△𝐷𝐸𝐹
∴𝐵𝐸= 𝐶𝐹= 3
∴𝐸𝐶= 𝐸𝐹−𝐶𝐹= 8−3 = 5；
（2）∵△𝐴𝐵𝐶≌△𝐷𝐸𝐹
∴∠𝐷𝐸𝐹= ∠𝐵= 90°；
（3）𝐴𝐵∥𝐷𝐸．
证明：∵∠𝐷𝐸𝐹= ∠𝐵= 90°
∴𝐴𝐵∥𝐷𝐸．（答案不唯一）
【点睛】此题考查了平移的性质，全等三角形的性质等知识，解题的关键是熟练掌握以上知识点．
【题型8 旋转背景下的全等三角形性质应用】
【例8】（24-25 九年级上·广东韶关·期中）数学课堂上，为探究旋转的性质，同学们进行了如下操作：如图
所示，将一个三角形硬纸板，放置在一张白纸上，描出硬纸板的形状△𝐴𝐵𝐶，并用图钉固定点A，将三角
形硬纸板绕点A 顺时针旋转一定角度后，再描出形状得到△𝐴𝐷𝐸，经测量∠𝐵𝐴𝐶= 50°，∠𝐶𝐴𝐷= 15°则
∠𝐶𝐴𝐸= _______．
【答案】35°/35 度
【详解】解：将三角形硬纸板绕点A 顺时针旋转一定角度，根据旋转的性质，旋转不改变图形的形状和大
小，只改变图形的方向，
∴ △𝐴𝐵𝐶≌△𝐴𝐷𝐸，
∴∠𝐵𝐴𝐶= ∠𝐷𝐴𝐸，∵ ∠𝐵𝐴𝐶= 50°，
∴∠𝐷𝐴𝐸= 50°，
∵∠𝐶𝐴𝐸= ∠𝐷𝐴𝐸−∠𝐶𝐴𝐷，∠𝐶𝐴𝐷= 15°，
∴ ∠𝐶𝐴𝐸= 50°−15° = 35°，
故答案为：35°．
【变式8-1】（2025 七年级下·全国·专题练习）如图，把△𝐴𝐵𝐶绕点A 旋转一定角度得到△𝐴𝐷𝐸，那么这两
个三角形的关系可用符号表示为___________，点B 的对应顶点为___________，边𝐷𝐸的对应边为
___________，∠𝐵𝐴𝐶的对应角为___________．
【答案】
≌
点D
𝐵𝐶
∠𝐷𝐴𝐸
【分析】本题考查了旋转的性质，全等三角形的性质，由旋转的性质可得△𝐴𝐵𝐶≌△𝐴𝐷𝐸，即可求解．掌
握旋转的性质是本题的关键．
【详解】解：∵把△𝐴𝐵𝐶绕点A 旋转一定角度得到△𝐴𝐷𝐸，
∴△𝐴𝐵𝐶≌△𝐴𝐷𝐸，
∴点B 的对应顶点为点D，边𝐷𝐸的对应边为𝐵𝐶，∠𝐵𝐴𝐶的对应角为∠𝐷𝐴𝐸，
故答案为：≌，点D，𝐵𝐶，∠𝐷𝐴𝐸．
【变式8-2】（25-26 七年级上·河北石家庄·期中）如图，将三角形𝐴𝐵𝐶绕点C 沿顺时针方向旋转后得到三角
形𝐴′𝐵′𝐶，若点𝐵′恰好落在线段𝐴𝐵上，𝐴𝐶，𝐴′𝐵′交于点𝑂，则下面结论错误的是（ ）
A．∠𝐵𝐶𝐵′ = ∠𝐴𝐶𝐴′
B．𝐴′𝑂= 𝐴′𝐶
C．𝐶𝐴= 𝐶𝐴′
D．𝐵𝐶= 𝐵′𝐶
【答案】B
【分析】本题考查了旋转的性质、全等三角形的性质，熟练掌握旋转的性质是解题关键．根据旋转的性质
可得△𝐴𝐵𝐶≌△𝐴′𝐵′𝐶，旋转角∠𝐵𝐶𝐵′ = ∠𝐴𝐶𝐴′，再根据全等三角形的性质可得𝐶𝐴= 𝐶𝐴′，𝐵𝐶= 𝐵′𝐶，由
此即可得．
【详解】解：由旋转的性质得：△𝐴𝐵𝐶≌△𝐴′𝐵′𝐶，旋转角∠𝐵𝐶𝐵′ = ∠𝐴𝐶𝐴′，则选项A 正确；
∴𝐶𝐴= 𝐶𝐴′，𝐵𝐶= 𝐵′𝐶，则选项C 和D 均正确；
由已知条件无法得出𝐴′𝑂= 𝐴′𝐶，则选项B 错误；
故选：B．
【变式8-3】（24-25 九年级上·福建厦门·期中）如图，E 是正方形𝐴𝐵𝐶𝐷中𝐶𝐷边上的点，以点A 为中心，把
△𝐴𝐷𝐸顺时针旋转，得到△𝐴𝐵𝐹，其中∠𝐷𝐴𝐸= 15°．那么旋转角的度数是（ ）
A．15°
B．75°
C．90°
D．105°
【答案】C
【分析】本题主要考查旋转的性质、全等三角形的性质等知识点，熟记全等三角形的性质是解题的关键．
根据正方形的性质得到𝐴𝐵= 𝐴𝐷，∠𝐵𝐴𝐷= 90°，由旋转的性质推出△𝐴𝐷𝐸≌△𝐴𝐵𝐹，求出
∠𝐹𝐴𝐸= ∠𝐵𝐴𝐷= 90°即可解答．
【详解】解：∵四边形𝐴𝐵𝐶𝐷是正方形，
∴𝐴𝐵= 𝐴𝐷，∠𝐵𝐴𝐷= 90°，
由旋转得△𝐴𝐷𝐸≌△𝐴𝐵𝐹，
∴∠𝐹𝐴𝐵= ∠𝐸𝐴𝐷= 15°，
∴∠𝐹𝐴𝐵+ ∠𝐵𝐴𝐸= ∠𝐸𝐴𝐷+ ∠𝐵𝐴𝐸，
∴∠𝐹𝐴𝐸= ∠𝐵𝐴𝐷= 90°，
∴旋转角的度数是90°．
故选：C．
【题型9 利用全等三角形性质判定线段的位置关系】
【例9】如图，在△𝐴𝐵𝐶中，∠𝐶= 90°,𝐴𝐶= 𝐵𝐶，点𝐷为△𝐴𝐵𝐶内一点，将△𝐷𝐵𝐶绕点𝐶逆时针旋转到△𝐸𝐴𝐶
的位置．则𝐴𝐸与𝐵𝐷的位置关系（ ）
A．𝐴𝐸⊥𝐵𝐷
B．𝐴𝐸与𝐵𝐷相交且交成的锐角为45∘
C．𝐴𝐸∥𝐵𝐷
D．无法确定
【答案】A
【分析】本题主要考查了旋转的性质，全等三角形的性质以及对顶角相等，由旋转的性质得出
△𝐷𝐵𝐶≌△𝐸𝐴𝐶，由全等三角形的性质可得出∠𝐷𝐵𝐶= ∠𝐸𝐴𝐶，由对顶角相等得出∠𝐴𝐺𝐹= ∠𝐵𝐺𝐶，进而得出
∠𝐴𝐹𝐺= ∠𝐺𝐶𝐵= 90°，即可证明𝐴𝐸⊥𝐵𝐷．
【详解】解：延长𝐵𝐷交𝐴𝐸于点F，交𝐴𝐶于点G．
∵将△𝐷𝐵𝐶绕点𝐶逆时针旋转到△𝐸𝐴𝐶的位置，
∴△𝐷𝐵𝐶≌△𝐸𝐴𝐶，
∴∠𝐷𝐵𝐶= ∠𝐸𝐴𝐶
∵∠𝐴𝐺𝐹= ∠𝐵𝐺𝐶，
∴∠𝐴𝐹𝐺= ∠𝐺𝐶𝐵，
∵∠𝐶= 90°，即∠𝐺𝐶𝐵= 90°，
∴∠𝐴𝐹𝐺= 90°，
即𝐴𝐸⊥𝐵𝐷，
故选：A．
【变式9-1】如图，已知△𝐴𝐵𝐷和△𝐶𝐷𝐵全等，点𝐵和点𝐷是对应点，点𝐴和点𝐶是对应点，则𝐴𝐵和𝐶𝐷的位
置关系是______
【答案】平行
【分析】本题主要考查了全等三角形的性质，平行线的判定，根据题意可得△𝐴𝐵𝐷≌△𝐶𝐷𝐵，则
∠𝐴𝐵𝐷= ∠𝐶𝐷𝐵，由此可得𝐴𝐵∥𝐶𝐷．
【详解】解：∵△𝐴𝐵𝐷和△𝐶𝐷𝐵全等，点𝐵和点𝐷是对应点，点𝐴和点𝐶是对应点，
∴△𝐴𝐵𝐷≌△𝐶𝐷𝐵，
∴∠𝐴𝐵𝐷= ∠𝐶𝐷𝐵，
∴𝐴𝐵∥𝐶𝐷，
故答案为：平行．
【变式9-2】（24-25 八年级上·河北沧州·阶段检测）如图，△𝐴𝐵𝐶≌△𝐸𝐵𝐷，A、B、D 三点在一条直线上；
（1）线段𝐵𝐶和𝐴𝐷的位置关系是：_________；
（2）若𝐴𝐷= 14，𝐶𝐸= 2，则𝐵𝐸的长为________．
【答案】
𝐵𝐶⊥𝐴𝐷
6
【分析】本题考查了全等三角形的性质和平角的定义，熟练掌握全等三角形对应边、对应角相等是解题的
关键．
（1）根据全等三角形的性质和平角的定义即可求解；
（2）根据全等三角形的对应边相等，即𝐴𝐵= 𝐸𝐵，𝐵𝐶= 𝐵𝐷，即可求解．
【详解】解：（1）∵△𝐴𝐵𝐶≌△𝐸𝐵𝐷，
∴∠𝐴𝐵𝐶= ∠𝐸𝐵𝐷，
∵A、B、D 三点在一条直线上，
∴∠𝐴𝐵𝐶+ ∠𝐸𝐵𝐷= 180°，
∴∠𝐴𝐵𝐶= ∠𝐸𝐵𝐷= 90°，
∴𝐵𝐶⊥𝐴𝐷，
故答案为：𝐵𝐶⊥𝐴𝐷．
（2）解：∵△𝐴𝐵𝐶≌△𝐸𝐵𝐷，
∴𝐴𝐵= 𝐸𝐵，𝐵𝐶= 𝐵𝐷，
∴𝐵𝐸= 𝐴𝐵= 𝐵𝐶−𝐶𝐸= 𝐵𝐷−2，
∵𝐴𝐷= 14，
∴𝐴𝐵+ 𝐵𝐷= 𝐵𝐷−2 + 𝐵𝐷= 14，
∴𝐵𝐷= 8，
∴𝐵𝐸= 6，
故答案为：6．
【变式9-3】（25-26 八年级上·云南曲靖·期中）如图，点A，C，E 在同一条直线上，点D 在𝐵𝐶上，且
△𝐴𝐵𝐶≌△𝐷𝐸𝐶，𝐴𝐶= 4，𝐶𝐸= 6．
(1)求𝐵𝐷的长；
(2)判断𝐴𝐸与𝐵𝐶的位置关系，并说明理由．
【答案】(1)2；
(2)𝐴𝐸⊥𝐵𝐶，理由见解析．
【分析】本题主要考查全等三角形的性质，熟练掌握全等三角形的性质是解题的关键；
（1）由题意易得𝐷𝐶= 𝐴𝐶= 4，𝐵𝐶= 𝐶𝐸= 6，然后问题可求解；
（2）由题意易得∠𝐴𝐶𝐵= ∠𝐷𝐶𝐸，然后根据∠𝐴𝐶𝐵+ ∠𝐷𝐶𝐸= 180°可进行求解．
【详解】（1）解：∵△𝐴𝐵𝐶≌△𝐷𝐸𝐶，𝐴𝐶= 4，𝐶𝐸= 6，
∴𝐷𝐶= 𝐴𝐶= 4，𝐵𝐶= 𝐶𝐸= 6，
∴𝐵𝐷= 𝐵𝐶−𝐷𝐶= 6−4 = 2；
（2）解：𝐴𝐸⊥𝐵𝐶，理由如下：
∵△𝐴𝐵𝐶≌△𝐷𝐸𝐶，
∴∠𝐴𝐶𝐵= ∠𝐷𝐶𝐸，
∵∠𝐴𝐶𝐵+ ∠𝐷𝐶𝐸= 180°，
∴∠𝐴𝐶𝐵= ∠𝐷𝐶𝐸= 90°，
∴𝐴𝐸⊥𝐵𝐶．
