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专题14.2 三角形全等的判定（基础篇）（举一反三讲义）
【新教材人教版】
【题型1 直接应用SAS 证明全等】.......................................................................................................................1
【题型2 添加条件利用SAS 使三角形全等】.......................................................................................................2
【题型3 利用SAS 解决线段或角的计算问题】...................................................................................................3
【题型4 挖掘隐含条件的SAS 证明】...................................................................................................................4
【题型5 直接应用ASA 或AAS 证明全等】........................................................................................................6
【题型6 辨析与选择ASA 与AAS 判定方法】....................................................................................................7
【题型7 利用平行线或角平分线构造角相等（ASA 与AAS）】........................................................................8
【题型8 利用ASA 或AAS 解决生活中的实际测量问题】..............................................................................10
【题型9 直接应用SSS 证明全等】......................................................................................................................11
【题型10 通过线段的和差计算得出边相等（SSS）】..........................................................................................12
【题型11 利用三角形的稳定性解决实际问题】..................................................................................................13
【题型12 直接应用HL 证明直角三角形全等】...................................................................................................15
【题型13 灵活选用方法判定直角三角形全等】..................................................................................................16
【题型14 尺规作图与全等的联系】......................................................................................................................17
【题型15 多次全等证明（二次证明）】................................................................................................................18
知识点1 基本事实“边角边”（SAS）
1. 两边及其夹角分别相等的两个三角形全等．简写成“边角边”或“SAS”．
2. 数学语言表达：如下图，在△𝐴𝐵𝐶与△𝐷𝐸𝐹中，
𝐴𝐵= 𝐷𝐸，
∠𝐴= ∠𝐷，
𝐴𝐶= 𝐷𝐹，
∴△𝐴𝐵𝐶≌△𝐷𝐸𝐹(SAS)．
【题型1 直接应用SAS 证明全等】
【例1】（25-26 八年级上·河南周口·期末）如图，已知𝐴𝐵= 𝐴𝐷，∠𝐵𝐴𝐶= ∠𝐷𝐴𝐶，则△𝐴𝐵𝐶≌△𝐴𝐷𝐶的依据
考点1
边角边（SAS）判定三角形全等
题型归纳
是（ ）
A．SSS
B．SAS
C．ASA
D．AAS
【变式1-1】（25-26 八年级上·山西朔州·期末）几何中有著名的“蝴蝶定理”，小华受此启发画了两个如图所
示的共直角顶点的三角形，组成了类似于“蝴蝶翅膀”的图形．若∠𝐵𝐴𝐶= ∠𝐷𝐴𝐸= 90°，𝐴𝐵= 𝐴𝐷，
𝐴𝐶= 𝐴𝐸，则证明△𝐴𝐷𝐸≌△𝐴𝐵𝐶运用的三角形全等的判定方法是（ ）
A．HL
B．SAS
C．AAS
D．ASA
【变式1-2】（24-25 八年级上·湖北黄石·期中）在如图所示的正方形网格中，∠1 + ∠2 + ∠3 = ______．
【变式1-3】（25-26 八年级上·江西新余·期中）滑翔是一项极限运动，有一款滑翔翼的平面图如图所示，已
知𝐴𝐵= 𝐴𝐷，𝐴𝐶= 𝐴𝐸．求证：△𝐴𝐵𝐶≌△𝐴𝐷𝐸．
【题型2 添加条件利用SAS 使三角形全等】
【例2】（25-26 八年级上·广西崇左·阶段检测）如图，已知𝐴𝐶= 𝐷𝐶，∠1 = ∠2，如果添加一个条件用“SAS”
使△𝐴𝐵𝐶≌△𝐷𝐸𝐶，则添加的条件是（ ）
A．∠𝐴= ∠𝐷
B．∠𝐵= ∠𝐸
C．𝐵𝐶= 𝐸𝐶
D．𝐴𝐵= 𝐷𝐸
【变式2-1】如图，线段𝐴𝐶、𝐵𝐷相交于点O，且𝐴𝑂= 𝑂𝐶，请添加一个条件使△𝐴𝐵𝑂≌△𝐶𝐷𝑂，且以“SAS”
为依据，则应添加的条件为___________．
【变式2-2】如图，平行四边形ABCD 中，E、F 是对角线BD 上的两点，在不添加任何辅助线的情况下，
如果添加一个条件使△ABE≌△CDF，则添加的条件是 ______．
【变式2-3】如图，已知𝐴𝐵= 𝐴𝐶，𝐴𝐸= 𝐴𝐷，要使△𝐴𝐵𝐸≌△𝐴𝐶𝐷，可添加的条件是（ ）
A．∠𝐵= ∠𝐶
B．∠𝐷= ∠𝐸
C．∠𝐵= ∠𝐸
D．∠𝐵𝐴𝐶= ∠𝐷𝐴𝐸
【题型3 利用SAS 解决线段或角的计算问题】
【例3】（25-26 八年级上·安徽合肥·期末）小明制作了一个跷跷板模型，如图是其几何示意图，支点𝑂是跷
跷板𝐶𝐷的中点（𝐶，𝑂，𝐷三点位于同一水平线上），已知点𝑂到水平地面的距离是50cm，当点𝐷到达点𝐺的
位置时，跷跷板在竖直方向下降了20cm，此时点𝐶到达点𝐹，则点𝐹到地面的距离为______cm．
【变式3-1】（25-26 八年级上·江苏淮安·期末）如图，点A、D、C、F 在一条直线上，且𝐴𝐷= 𝐶𝐹，
𝐴𝐵= 𝐷𝐸，∠𝐵𝐴𝐶= ∠𝐸𝐷𝐹．
(1)求证：△𝐴𝐵𝐶≌△𝐷𝐸𝐹；
(2)若∠𝐴= 40°，𝐴𝐵= 𝐴𝐶，求∠𝐹的度数．
【变式3-2】（25-26 八年级上·河南周口·期末）如图，在△𝐴𝐵𝐶和△𝐴𝐷𝐸中，𝐴𝐵= 𝐴𝐶，𝐴𝐷= 𝐴𝐸，
∠𝐵𝐴𝐶= ∠𝐷𝐴𝐸，连接𝐵𝐷、𝐶𝐸交于点F．
(1)求证：△𝐴𝐵𝐷≌△𝐴𝐶𝐸
(2)若∠𝐵𝐴𝐶= 60°，求∠𝐵𝐹𝐶的度数．
【变式3-3】（25-26 八年级上·四川凉山·期末）如图，已知△𝐴𝐵𝐶中，𝐴𝐵= 𝐴𝐶= 12cm，𝐵𝐶= 10cm，点D
为𝐴𝐵的中点，如果点P 在线段𝐵𝐶上以2cm/s的速度由点B 向点C 运动，同时，点Q 在线段𝐴𝐶上由点A 向
点C 以4cm/s的速度运动．若点P、Q 两点分别从点B、A 同时出发．经过2 秒后，求证：
(1) △𝐵𝑃𝐷≌△𝐶𝑄𝑃；
(2)∠𝐷𝑃𝑄= ∠𝐵；
【题型4 挖掘隐含条件的SAS 证明】
【例4】（25-26 七年级下·辽宁锦州·期中）如图，点E 在𝐶𝐷上，𝐵𝐶与𝐴𝐸交于点F，𝐴𝐵= 𝐶𝐵，𝐵𝐸= 𝐵𝐷，
∠1 = ∠2 = 50°．
(1)求证：△𝐴𝐵𝐸≌△𝐶𝐵𝐷；
(2)求∠3的度数．
【变式4-1】（25-26 七年级下·陕西西安·期中）如图，已知点𝐷是△𝐴𝐵𝐶的边𝐴𝐶上一点，且𝐴𝐷= 𝐴𝐵，在𝐴𝐶
上方作∠𝐶𝐷𝐸，满足∠𝐶𝐷𝐸+ ∠𝐵= 180°，𝐷𝐸= 𝐵𝐶，连接𝐴𝐸．
(1)求证：△𝐸𝐷𝐴≌△𝐶𝐵𝐴．
(2)当𝐴𝐸= 6, 𝐴𝐵= 2，求𝐶𝐷的长．
【变式4-2】（25-26 八年级上·贵州黔东南·期中）如图，以△𝐴𝐵𝐶的边𝐴𝐵、𝐴𝐶分别向外作等腰直角△𝐴𝐵𝐷
与等腰直角△𝐴𝐶𝐸，∠𝐵𝐴𝐷= ∠𝐶𝐴𝐸= 90°，连接𝐵𝐸和𝐶𝐷相交于点O，𝐴𝐵交𝐶𝐷于点F，𝐴𝐶交𝐵𝐸于点G．
(1)求证：△𝐷𝐴𝐶≌△𝐵𝐴𝐸；
(2)试判断𝐷𝐶与𝐵𝐸的位置关系，并说明理由．
【变式4-3】（24-25 七年级下·江苏南京·期末）已知𝐴𝐵= 𝐴𝐶，𝐴𝐸= 𝐴𝐷，∠𝐵𝐴𝐶= ∠𝐸𝐴𝐷．
(1)如图1，证明：△𝐴𝐵𝐸≌△𝐴𝐶𝐷；
(2)如图2，∠𝐵𝐴𝐶= 90°，点𝐷，𝐸分别在𝐴𝐶，𝐴𝐵上，连接𝐵𝐷，过点𝐴作𝐴𝐹∥𝐵𝐶，连接𝐵𝐹，𝐸𝐹，恰好满足𝐵𝐴
平分∠𝐹𝐵𝐷．请猜想线段𝐵𝐹，𝐸𝐹，𝐵𝐷间的数量关系，并进行证明．
知识点2 基本事实“角边角”（ASA）
1. 两边及其夹边分别相等的两个三角形全等．简写成“角边角”或“ASA”．
2. 数学语言表达：如下图，在△𝐴𝐵𝐶与△𝐷𝐸𝐹中，
∠𝐴= ∠𝐷，
𝐴𝐵= 𝐷𝐸，
∠𝐵= ∠𝐸，
∴△𝐴𝐵𝐶≌△𝐷𝐸𝐹(ASA)．
知识点3 “角边角”的推论“角角边”（AAS）
1. 两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等．简写成“角角边”或“AAS”．
2. 数学语言表达：如下图，在△𝐴𝐵𝐶与△𝐷𝐸𝐹中，
∠𝐴= ∠𝐷，
∠𝐵= ∠𝐸，
𝐵𝐶= 𝐸𝐹，
∴△𝐴𝐵𝐶≌△𝐷𝐸𝐹(AAS)．
【题型5 直接应用ASA 或AAS 证明全等】
【例5】（25-26 八年级上·天津滨海新区·期末）如图，点𝐻是△𝐴𝐵𝐶的高𝐴𝐷和𝐵𝐸所在直线的交点，且
𝐴𝐷= 𝐵𝐷，求证：𝐵𝐻= 𝐴𝐶．
【变式5-1】（25-26 八年级上·安徽合肥·期末）如图，四边形𝐴𝐵𝐶𝐷的对角线𝐴𝐶,𝐵𝐷相交于点
考点2
角边角（ASA）与角角边（AAS）判定三角形全等
𝐸,∠𝐴𝐶𝐵= ∠𝐴𝐷𝐵，∠𝐵𝐴𝐶= ∠𝐵𝐷𝐶,𝐴𝐶= 𝐴𝐷，点F 在𝐸𝐷上，∠𝐴𝐹𝐵= ∠𝐴𝐷𝐶．
(1)求证：△𝐴𝐵𝐶≌△𝐴𝐹𝐷；
(2)若𝐵𝐸= 𝐹𝐸，求证：𝐴𝐹平分∠𝐸𝐴𝐷．
【变式5-2】（2025·河北邯郸·一模）有一张三角形纸片𝐴𝐵𝐶，已知∠𝐵= ∠𝐶= 𝛼，按如下两种方案用剪刀沿
着箭头方向剪开，若方案中两个阴影部分的三角形一定全等打“√”，若不一定全等打“×”．则下列判断正确的
是（ ）
A．方案一：√、方案二：√
B．方案一：×、方案二：×
C．方案一：×、方案二：√
D．方案一：√、方案二：×
【变式5-3】（25-26 八年级下·江苏苏州·期中）中国古代数学家刘徽在《九章算术注》中，给出了证明三角
形面积公式的出入相补法，如图所示，在△𝐴𝐵𝐶、分别取𝐴𝐵、𝐴𝐶的中点D、E，连接𝐷𝐸，过点A 作
𝐴𝐹⊥𝐷𝐸，垂足为F，将△𝐴𝐵𝐶分割后拼接成矩形𝐵𝐶𝐻𝐺．若𝐷𝐸= 3，𝐴𝐹= 2，则图中梯形𝐵𝐶𝐸𝐷的面积是
________．
【题型6 辨析与选择ASA 与AAS 判定方法】
【例6】（25-26 七年级下·陕西西安·期中）如图，太阳光线𝐴𝐶与𝐴′𝐶′是平行的，在同一时刻将两根高度相同
的木杆竖直插在地面上，在太阳光照射下的影子一样长吗？这里判断影子长相等利用全等三角形的性质，
其中判断△𝐴𝐵𝐶≌△𝐴′𝐵′𝐶′的依据是（ ）
A．SAS
B．SSA
C．SSS
D．AAS
【变式6-1】如图，小明书上的三角形被墨迹污染了一部分，他根据全等三角形的知识很快就画出了一个书
上完全一样的三角形，小明画图的依据是（ ）
A．SSS
B．SAS
C．AAS
D．ASA
【变式6-2】（25-26 八年级上·浙江台州·期末）如图，已知∠𝐶= ∠𝐷，𝐴𝐶= 𝐴𝐷，增加一个条件______，使
△𝐴𝐵𝐶≌△𝐴𝐸𝐷．(不添加辅助线且仅用图中已有字母表示)
【变式6-3】（25-26 八年级上·广西崇左·期末）△𝐴𝐵𝐶如图所示，甲、乙两个三角形中能用“ASA”判定和△𝐴𝐵𝐶
全等的是（ ）
A．只有甲
B．只有乙
C．甲和乙
D．都不是
【题型7 利用平行线或角平分线构造角相等（ASA 与AAS）】
【例7】如图，在△𝐴𝐵𝐶中，∠𝐶= 90°，𝐴𝐶= 𝐵𝐶，𝐴𝐷平分∠𝐵𝐴𝐶交𝐵𝐶于点𝐷，过点𝐷作𝐷𝐸⊥𝐴𝐵，垂足为𝐸．
(1)求证：𝐴𝐶= 𝐴𝐸；
(2)若△𝐵𝐷𝐸的周长为20，求𝐴𝐵的长．
【变式7-1】如图，△𝐴𝐵𝐶中，∠𝐴𝐶𝐵= 90°，𝐴𝐸平分∠𝐵𝐴𝐶，𝐷𝐸⊥𝐴𝐵于𝐷．
(1)若∠𝐵𝐴𝐶= 48°，求∠𝐷𝐸𝐴的度数；
(2)求证：𝐴𝐸⊥𝐶𝐷．
【变式7-2】（25-26 七年级下·广东深圳·期中）如图，点E 在△𝐴𝐵𝐶的边𝐴𝐶上，且∠𝐴𝐸𝐵= ∠𝐴𝐵𝐶．
(1)求证：∠𝐴𝐵𝐸= ∠𝐶；
(2)若∠𝐵𝐴𝐸的平分线𝐴𝐹交𝐵𝐸于点F，𝐹𝐷∥𝐵𝐶交𝐴𝐶于点D，求证：△𝐴𝐵𝐹≌△𝐴𝐷𝐹；
(3)在（2）的条件下，若𝐴𝐵= 6，𝐴𝐶= 8，则𝐷𝐶的长为________．
【变式7-3】（25-26 七年级下·吉林长春·期中）如图，△𝐷𝑂𝐸的角平分线𝐷𝐹、𝐸𝐹相交于点F，若
∠𝐷𝑂𝐸= 60°，𝐸𝐹交𝑂𝐷于A，𝐷𝐹交𝑂𝐸于B．
(1)若𝐴𝐷= 5，𝐷𝐸= 8，则𝐵𝐸= ______（直接写出答案）．
(2)线段𝐷𝐸与𝐴𝐷、𝐵𝐸有怎样的数量关系？写出说明理由．
【题型8 利用ASA 或AAS 解决生活中的实际测量问题】
【例8】（25-26 七年级下·四川成都·期中）如图，嘉嘉与淇淇玩跷跷板游戏，跷跷板的支点O（即跷跷板的
中点）到地面的距离是65cm，当淇淇从水平位置𝐶𝐷垂直上升20cm时，嘉嘉离地面的高度是（ ）
A．20cm
B．45cm
C．35cm
D．50cm
【变式8-1】（25-26 七年级下·四川成都·期中）如图，为测量信号塔𝐴𝐵（垂直于地面𝐵𝐷）的高度，小明首先
在信号塔𝐴𝐵前的地面𝐵𝐷上选一点𝑃，使𝐵𝑃= 2.5m，并测得∠𝐴𝑃𝐵= 70°，然后把竖直的竿子𝐶𝐷(𝐶𝐷= 2.5m)
在𝐵𝑃的延长线上移动，使∠𝐷𝑃𝐶= 20°时竿子停止移动，此时测得𝐵𝐷= 12m，则信号塔𝐴𝐵的高度为________
m．
【变式8-2】（25-26 八年级上·河南许昌·期末）如图，一个正方体箱子卡在了两面墙之间，已知砌墙所用的
每块砖块的厚度（每块砖厚度相等）为5cm，则两面墙之间的距离𝐸𝐹的长为______cm．
【变式8-3】（25-26 七年级下·陕西西安·期中）山东潍坊是中国风筝之乡，匠人在制作过程中采用了全等的
相关知识．在如图所示的风筝“龙骨”图案中，𝐴𝐵= 𝐴𝐷、∠𝐵= ∠𝐷、𝐵𝐶= 𝐷𝐸．则不一定能得到以下哪个结
论（ ）
A．△𝐴𝐵𝐶≌△𝐴𝐷𝐸
B．△𝐴𝐵𝐹≌△𝐴𝐷𝐺
C．𝐹𝐶= 𝐺𝐸
D．∠𝐴𝐺𝐷= ∠𝐺𝐴𝐹
知识点4 基本事实“边边边”（SSS）
1. 三边分别相等的两个三角形全等．简写成“边边边”或“SSS”．
2. 数学语言表达：如下图，在△𝐴𝐵𝐶与△𝐷𝐸𝐹中，
𝐴𝐵= 𝐷𝐸，
𝐵𝐶= 𝐸𝐹，
𝐴𝐶= 𝐷𝐹，
∴△𝐴𝐵𝐶≌△𝐷𝐸𝐹(AAS)．
知识点5 三角形的稳定性
生活经验告诉我们，如果一个三角形三边的长度确定，那么这个三角形的形状和大小就完全确定，三角形
的这个性质叫做三角形的稳定性．
三角形的稳定性在生活和生产中有着广泛的应用．例如：房屋的人字形支架、电线杆支架、斜拉桥架等，
利用三角形的稳定性，使生活中的建筑经久耐用．
【题型9 直接应用SSS 证明全等】
【例9】（25-26 八年级下·全国·期中）如下图，已知𝐴𝐵= 𝐴𝐶，𝐵𝐷= 𝐶𝐷，𝐷𝐸垂直𝐴𝐵的延长线于点𝐸，𝐷𝐹垂
直𝐴𝐶的延长线于点𝐹．求证：𝐷𝐸= 𝐷𝐹．
【变式9-1】（25-26 八年级上·西藏日喀则·期末）如图，点𝐶是𝐴𝐵的中点，𝐴𝐷= 𝐶𝐸，𝐶𝐷= 𝐵𝐸．
考点3
边边边（SSS）判定三角形全等
(1)求证：△𝐴𝐶𝐷≌△𝐶𝐵𝐸；
(2)求证：𝐵𝐸∥𝐶𝐷．
【变式9-2】如图，在△𝐴𝐵𝐶中，𝐴𝐵= 𝐴𝐶，𝐴𝐷⊥𝐵𝐶于点𝐷，点𝐸，𝐹在𝐵𝐶上，且𝐵𝐸= 𝐶𝐹，则图中共有________
对全等三角形．
【变式9-3】如图，在△ABC 中，已知AD＝DE，AB＝BE，∠A＝85°，∠C＝45°，则∠CDE＝_____度．
【题型10 通过线段的和差计算得出边相等（SSS）】
【例10】（25-26 八年级上·江苏南京·期中）如图，𝐴𝐵= 𝐷𝐸,𝐴𝐶= 𝐷𝐹,𝐵𝐹= 𝐸𝐶，𝐴𝐶与𝐷𝐹相交于点O．求证：
(1) △𝐴𝐵𝐶≌△𝐷𝐸𝐹；
(2)𝑂𝐹= 𝑂𝐶．
【变式10-1】（25-26 八年级上·江苏南通·阶段检测）如图，点A、C、D、B 在同一条直线上，点E、F 分别
在直线𝐴𝐵的两侧，𝐴𝐸= 𝐵𝐹，𝐶𝐸= 𝐷𝐹，𝐴𝐷= 𝐵𝐶．
(1)求证：△𝐴𝐶𝐸≌△𝐵𝐷𝐹．
(2)若∠𝐶𝐷𝐹= 50°，求∠𝐴𝐶𝐸的度数．
【变式10-2】（25-26 八年级上·陕西榆林·阶段检测）如图，在四边形𝐴𝐵𝐶𝐷中，连接𝐵𝐷，点𝐸,𝐹是𝐵𝐷上的两
点，连接𝐴𝐸，𝐶𝐹，𝐴𝐵= 𝐶𝐷，𝐴𝐸= 𝐶𝐹，𝐵𝐹= 𝐷𝐸．
求证：
(1) △𝐴𝐵𝐸≌△𝐶𝐷𝐹；
(2)𝐴𝐷= 𝐵𝐶．
【变式10-3】（25-26 八年级上·河南周口·期中）油布伞是中国传统手工艺的重要代表，融合了实用性与艺术
性，被多省列入非物质文化遗产名录．油布伞的截面如图所示，伞骨𝐴𝐵= 𝐴𝐶= 60cm，支撑杆
𝑂𝐸= 𝑂𝐹,𝐴𝐸=
1
3𝐴𝐵,𝐴𝐹=
1
3𝐴𝐶．当点O 沿伞杆𝐴𝐷滑动时，可使雨伞开闭．
(1)问雨伞开闭过程中，∠𝐵𝐴𝐷与∠𝐶𝐴𝐷有何关系？说明理由．
(2)若𝑂𝐸= 𝐴𝐸,𝑂𝐹= 𝐴𝐹，当雨伞由闭合撑开到∠𝐵𝐴𝐶= 120°时，点O 沿𝐴𝐷滑动的距离是多少？
【题型11 利用三角形的稳定性解决实际问题】
【例11】（25-26 七年级下·四川成都·阶段检测）如图，一扇窗户打开后，用窗钩𝐴𝐵可将其固定，其理论依
据是______．
【变式11-1】下列图形中不具有稳定性的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式11-2】（25-26 八年级下·辽宁鞍山·开学考试）如图，小李家有一个已经变形的六边形置物架，需通过
增加木条使其固定，工人师傅至少需要加固________根木条．
【变式11-3】（25-26 八年级上·全国·课后作业）如图1，在四边形木条框架中，任意添加1 根对角线木条，
就能使框架的形状稳定.
判断下列说法是否正确.(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)在图2 中任意添加2 根对角线木条，都能使框架的形状稳定.(
)
(2)在图3 中任意添加3 根对角线木条，都能使框架的形状稳定.(
)
(3)图4 是一个用螺钉将木条链接成的框架，颇具美感，它的形状是稳定的.(
)
考点4
直角三角形全等的判定（HL）
知识点6 斜边、直角边定理（HL）
1. 斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等（可以简写成“斜边、直角边”或“HL”）．
2. 数学语言表达:如图，在Rt △𝐴𝐵𝐶与Rt △𝐴′𝐵′𝐶′中（∠𝐶与∠𝐶′为直角），𝐴𝐵= 𝐴′𝐵′，
𝐵𝐶= 𝐵′𝐶′，
∴Rt △𝐴𝐵𝐶≌Rt △𝐴′𝐵′𝐶′(HL)．
【题型12 直接应用HL 证明直角三角形全等】
【例12】（25-26 八年级下·陕西西安·期中）如图，在△𝐴𝐵𝐶中，𝐴𝐷⊥𝐵𝐶于点𝐷，若要根据“HL”直接判定Rt
△𝐴𝐵𝐷≌Rt △𝐴𝐶𝐷，还需要添加条件：_______________．
【变式12-1】（25-26 八年级下·山西晋中·期中）在数学活动课上，老师用三角尺演示角平分线的作法如图：
在∠𝐴𝑂𝐵的两边上分别取点𝑀、𝑁，使𝑂𝑀= 𝑂𝑁；再分别过点𝑀，𝑁作𝑂𝐴，𝑂𝐵的垂线，交点为𝑃，连接
𝑂𝑃．通过证明△𝑂𝑀𝑃≌△𝑂𝑁𝑃得到𝑂𝑃平分∠𝐴𝑂𝐵，则证明△𝑂𝑀𝑃≌△𝑂𝑁𝑃最直接的依据是（ ）
A．SSS
B．SAS
C．AAS
D．HL
【变式12-2】（25-26 八年级上·安徽滁州·期末）如图，已知，在Rt △𝐴𝐵𝐶中，∠𝐴𝐵𝐶= 45∘，𝐷是𝐵𝐶上一点，
且𝐴𝐷= 𝐵𝐷，𝐸为𝐴𝐶上的一点，𝐵𝐸交𝐴𝐷于𝐹，𝐵𝐹= 𝐴𝐶．
(1)求证：△𝐴𝐷𝐶≌△𝐵𝐷𝐹；
(2)求证：𝐵𝐸⊥𝐴𝐶．
【变式12-3】（25-26 八年级上·广东东莞·期中）如图，在△𝐴𝐵𝐶中，𝐴𝐶= 𝐵𝐶，直线𝑙经过顶点𝐶，过𝐴，𝐵两
点分别作𝑙的垂线𝐴𝐸，𝐵𝐹，垂足分别为𝐸，𝐹，𝐴𝐸= 𝐶𝐹．求证：
(1) △𝐴𝐶𝐸≌△𝐶𝐵𝐹；
(2)当直线𝑙不与底边𝐴𝐵相交时，试探索𝐸𝐹、𝐴𝐸、𝐵𝐹三条线段的大小关系，并说明理由．
【题型13 灵活选用方法判定直角三角形全等】
【例13】（25-26 八年级上·安徽合肥·阶段检测）如图，在△𝐴𝐵𝐶中，𝐶𝐸是高，将△𝐴𝐵𝐶沿𝐴𝐵所在直线翻转，
点C 与点D 重合，则图中有______组全等三角形．
【变式13-1】（24-25 八年级下·陕西宝鸡·期末）如图．在△𝐴𝐵𝐶中，𝐵𝐶= 5，𝐴𝐶= 9，D 是𝐴𝐶上一点，连
接𝐵𝐷，∠𝐴𝐵𝐷= ∠𝐴，过点C 作𝐶𝐸⊥𝐵𝐷于点E，此时𝐶𝐸平分∠𝐵𝐶𝐷，则𝐷𝐸的长为________．
【变式13-2】（25-26 七年级下·吉林长春·期中）如图，在△𝐴𝐵𝐶中，𝐴𝐵= 𝐴𝐶，𝐵𝐷⊥𝐴𝐶于𝐷，𝐶𝐸⊥𝐴𝐵于𝐸，
𝐵𝐷和𝐶𝐸交于𝑂，𝐴𝑂的延长线交𝐵𝐶于𝐹，则图中全等的直角三角形有（ ）
A．5 对
B．6 对
C．7 对
D．8 对
【变式13-3】（25-26 八年级下·辽宁辽阳·期中）已知：如图，𝐵𝑀⊥𝑂𝐴，𝐴𝑁⊥𝑂𝐵，垂足分别为𝑀、𝑁，
𝑂𝑀= 𝑂𝑁，𝐵𝑀与𝐴𝑁相交于点𝑃．求证：𝑃𝐴= 𝑃𝐵．
【题型14 尺规作图与全等的联系】
【例14】（24-25 七年级下·山西太原·阶段检测）如图，用尺规作出了∠𝑁𝐶𝐵= ∠𝐴𝑂𝐷，其作图依据是（ ）
A．SSS
B．ASA
C．AAS
D．SAS
【变式14-1】
（24-25 七年级下·山西太原·期末）课本第109 页有一道习题：“先画一个△𝐴𝐵𝐶，然后选择△𝐴𝐵𝐶
中适当的边和角，用尺规作出与△𝐴𝐵𝐶全等的三角形”，晋晋的作法如图．这一作法中，“ △𝐷𝐸𝐹≌△𝐴𝐵𝐶”
的依据是（ ）
A．三边分别相等的两个三角形全等
B．两边及其夹角分别相等的两个三角形全等
C．两角及其夹边分别相等的两个三角形全等
D．两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等
【变式14-2】（24-25 八年级上·河北石家庄·期中）如图1 所示，已知线段𝑎，∠1，求作△𝐴𝐵𝐶，使𝐵𝐶= 𝑎，
∠𝐴𝐵𝐶= ∠𝐵𝐶𝐴= ∠1，小明的作法如图2 所示，下列说法中一定正确的是（ ）
A．作△𝐴𝐵𝐶的依据为ASA
B．弧𝐸𝐹是以𝐷𝐾长为半径画的
C．弧𝑀𝑁是以A 为圆心，𝑎为半径画的
D．弧𝐺𝐻是以𝑂𝐷长为半径画的
【变式14-3】（25-26 七年级下·福建漳州·期中）中国农民丰收节，是第一个在国家层面专门为农民设立的节
日，节日时间为每年“秋分”．该节日的设立提升了亿万农民的荣誉感、幸福感、获得感．工作人员小张在丰
收节展览会上不慎打碎一个如图所示的三角形玻璃展台（△𝐴𝐵𝐶）．
(1)小张只要从两块碎片中选择第____块（填“①”或“②”）就可以到店铺加工一块与原来三角形玻璃展台
（△𝐴𝐵𝐶）的形状和大小完全相同的新展台（△𝐴′𝐵′𝐶′），理由是____（填“SSS”或“AAS”或“ASA”或“SAS”）．
(2)求作△𝐴′𝐵′𝐶′，使得△𝐴′𝐵′𝐶′≌△𝐴𝐵𝐶（要求尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）．
【题型15 多次全等证明（二次证明）】
【例15】（25-26 七年级下·上海青浦·期中）如图，已知：在△𝑃𝐴𝐶中，点𝐷、𝐵分别在边𝑃𝐴、𝑃𝐶上，𝐴𝐵与𝐶𝐷
相交于点𝑂，∠𝐴𝐷𝐶= ∠𝐴𝐵𝐶，𝐴𝐷= 𝐵𝐶．
(1)求证：𝑃𝐴= 𝑃𝐶；
(2)连接𝑃𝑂并延长交𝐴𝐶于点𝐸，求证：𝑃𝐸⊥𝐴𝐶．
【变式15-1】（25-26 七年级下·山东青岛·期中）按要求完成下列各题：
(1)如图1，△𝐴𝐵𝐶，△𝐴𝐷𝐸为等边三角形，连接𝐵𝐷，𝐶𝐸，求证：∠𝐴𝐵𝐷= ∠𝐴𝐶𝐸．
探索思路如下：
∵△𝐴𝐵𝐶，△𝐴𝐷𝐸为等边三角形，
∴∠𝐵𝐴𝐶= ∠𝐷𝐴𝐸= 60°，𝐴𝐵= 𝐴𝐶，𝐴𝐷= 𝐴𝐸，
∴∠𝐵𝐴𝐶−∠𝐷𝐴𝐶= ∠𝐷𝐴𝐸−∠𝐷𝐴𝐶，（①__________________）
即∠𝐵𝐴𝐷= ∠𝐶𝐴𝐸，
在△𝐴𝐵𝐷与△𝐴𝐶𝐸中，
𝐴𝐵= 𝐴𝐶
∠𝐵𝐴𝐷= ∠𝐶𝐴𝐸
𝐴𝐷= 𝐴𝐸
，
∴△𝐴𝐵𝐷≌△𝐴𝐶𝐸（②__________________），
∴∠𝐴𝐵𝐷= ∠𝐴𝐶𝐸（③__________________），
请在上面三个（ ）中填写适当的理由．
【模型应用】
(2)如图2，在△𝐴𝐵𝐶与△𝐴𝐷𝐸中，𝐴𝐵= 𝐴𝐶，𝐴𝐷= 𝐴𝐸，∠𝐵𝐴𝐶= ∠𝐷𝐴𝐸= 90°，B，D，E 三点在一条直线
上，𝐴𝐶与𝐵𝐸交于点F，连接𝐸𝐶．
①证明：∠𝐴𝐵𝐷= ∠𝐴𝐶𝐸；
②求∠𝐹𝐸𝐶的度数．
【变式15-2】（25-26 八年级下·辽宁锦州·期中）按要求完成下面各题．
(1)如图①，在△𝐴𝐵𝐶中，∠𝐵𝐴𝐶= 90°，𝐴𝐵= 𝐴𝐶，𝐸是𝐴𝐶上一点，过点𝐶作𝐶𝐷⊥𝐵𝐸交𝐵𝐸延长线于点𝐷，连
接𝐴𝐷，求∠𝐴𝐷𝐵的度数；
小硕的解题思路是，从𝐶𝐷⊥𝐵𝐸出发，过点A 作𝐴𝐹⊥𝐴𝐷，通过构造全等三角形，证明等腰直角三角形求解，
请你根据小硕的思路或自己的想法，写出解题过程．
(2)如图②，在四边形𝐴𝐵𝐶𝐷中，𝐴𝐷⊥𝐶𝐷，且𝐴𝐷= 𝐶𝐷，𝐴𝐵⊥𝐵𝐶，连接对角线𝐴𝐶，𝐵𝐷，过点𝐴作𝐴𝐸⊥𝐵𝐷
交𝐵𝐶于点𝐸，𝐹为𝐶𝐸上一点，且∠𝐶𝐷𝐹= ∠𝐶𝐴𝐸，求证：𝐶𝐹= 𝐸𝐹．
【变式15-3】（25-26 七年级下·辽宁丹东·期中）数学模型可以用来解决一类问题，是数学应用基本途径．通
过探究图形的变化规律，再结合其他数学知识的内在联系，最终可以获得宝贵的数学经验，并将其运用到
更广阔的数学天地．
(1)发现问题：如图1，在△𝐴𝐵𝐶和△𝐴𝐸𝐹中，𝐴𝐵= 𝐴𝐶，𝐴𝐸= 𝐴𝐹，∠𝐵𝐴𝐶= ∠𝐸𝐴𝐹= 30°，连接𝐵𝐸，𝐶𝐹，
延长𝐵𝐸交𝐶𝐹于点D．则𝐵𝐸与𝐶𝐹的数量关系：_______，∠𝐵𝐷𝐶= _______；
(2)类比探究：如图2，在△𝐴𝐵𝐶和△𝐴𝐸𝐹中，𝐴𝐵= 𝐴𝐶，𝐴𝐸= 𝐴𝐹，∠𝐴𝐸𝐹= ∠𝐴𝐵𝐶= 30°，
∠𝐵𝐴𝐶= ∠𝐸𝐴𝐹= 120°，连接𝐵𝐸，𝐶𝐹，延长𝐵𝐸，𝐹𝐶交于点D．请猜想𝐵𝐸与𝐶𝐹的数量关系及∠𝐵𝐷𝐶的度数，
并说明理由；
(3)拓展应用：在△𝐴𝐵𝐶和△𝐴𝐸𝐹中，𝐴𝐵= 𝐴𝐶，𝐴𝐸= 𝐴𝐹，∠𝐵𝐴𝐶= ∠𝐸𝐴𝐹= 90°，连接𝐵𝐸，𝐶𝐹，将△𝐴𝐸𝐹
绕它们共同的顶点A 旋转一定的角度后，若B，E，F 三点刚好在同一直线上，直接写出此时∠𝐴𝐹𝐶的度数．
