专题01 三角形中角度计算十二大常见几何模型（举一反三专项训练）
【新教材人教版】
【模型1 8 字模型】...............................................................................................................................................1
【模型2 A 字模型】..............................................................................................................................................7
【模型3 老鹰抓小鸡模型】................................................................................................................................12
【模型4 飞镖模型】............................................................................................................................................16
【模型5 余角模模型】........................................................................................................................................22
【模型6 补角模模型】........................................................................................................................................25
【模型7 一线三等角模模型】............................................................................................................................29
【模型8 三角形双内角平分线夹角模模型】....................................................................................................33
【模型9 三角形双外角平分线夹角模模型】....................................................................................................38
【模型10 三角形一内一外角平分线夹角模模型】............................................................................................41
【模型11 8 字形双角平分线夹角模模型】.........................................................................................................47
【模型12 燕尾形双角平分线夹角模模型】........................................................................................................54
模型1：8 字模型
结论：①∠𝐴+ ∠𝐵= ∠𝐶+ ∠𝐷，
②∠𝐴= ∠𝐶⇔∠𝐵= ∠𝐷．
【模型1 8 字模型】
【例1】（24-25 八年级下·山东济宁·阶段检测）如图，已知线段𝐴𝐵、𝐶𝐷相交于点O，连接𝐴𝐵、𝐶𝐷，我们
把形如这样的图形称为“八字图形”．
题型归纳
(1)求证：∠𝐴+ ∠𝐶= ∠𝐵+ ∠𝐷；
(2)利用八字图形解决问题：如图②，若∠𝐶𝐴𝐵和∠𝐵𝐷𝐶的平分线𝐴𝑃和𝐷𝑃相交于点P，与𝐶𝐷、𝐴𝐵分别交于点
M，N．
①若∠𝐵= 100°，∠𝐶= 120°，求∠𝑃的度数；
②根据①的结果直接写出∠𝐵，∠𝐶，∠𝑃之间的关系是__________________．
【答案】(1)见详解
(2)①∠𝑃= 110°；②2∠𝑃= ∠𝐵+ ∠𝐶
【分析】本题主要考查了三角形的内角和定理、角平分线的定义、对顶角的性质等知识，理解并掌握三角
形的内角和定理是解题关键．
（1）利用三角形内角和定理和对顶角相等即可证明；
（2）①由（1）结论可得在△𝐴𝑀𝐶和△𝐷𝑀𝑃中，∠𝐶+ ∠𝐶𝐴𝑀= ∠𝑃+ ∠𝑃𝐷𝑀，在△𝐵𝐷𝑁和△𝑃𝐴𝑁中，
∠𝐵+ ∠𝐵𝐷𝑁= ∠𝑃+ ∠𝑃𝐴𝑁，两式相加再由角平分线的定义即可解答；
②根据角平分线的定义可得∠1 = ∠2,∠3 = ∠4，在△𝐴𝑀𝐶和△𝐷𝑀𝑃中，可有∠𝐶+ ∠1 = ∠𝑃+ ∠3，即
∠𝐶−∠𝑃= ∠𝑃+ ∠3−∠1，同理在△𝐵𝐷𝑁和△𝑃𝐴𝑁中，可有∠𝐵= ∠𝑃+ ∠2−∠4，
∠𝐵+ ∠𝐶= ∠𝑃+ ∠2−∠4 + ∠𝑃+ ∠3−∠1 = 2∠𝑃，即可获得答案．
【详解】（1）证明：在△𝐴𝑂𝐶中，∠𝐴+ ∠𝐶= 180°−∠𝐴𝑂𝐶，
在△𝐵𝑂𝐷中，∠𝐵+ ∠𝐷= 180°−∠𝐵𝑂𝐷，
∵∠𝐴𝑂𝐶= ∠𝐵𝑂𝐷，
∴∠𝐴+ ∠𝐶= ∠𝐵+ ∠𝐷．
（2）解：∵在△𝐴𝑀𝐶和△𝐷𝑀𝑃中，∠𝐶+ ∠𝐶𝐴𝑀= ∠𝑃+ ∠𝑃𝐷𝑀，
在△𝐵𝐷𝑁和△𝑃𝐴𝑁中，∠𝐵+ ∠𝐵𝐷𝑁= ∠𝑃+ ∠𝑃𝐴𝑁，
∴∠𝐶+ ∠𝐶𝐴𝑀+ ∠𝐵+ ∠𝐵𝐷𝑁= ∠𝑃+ ∠𝑃𝐷𝑀+ ∠𝑃+ ∠𝑃𝐴𝑁，
∵𝑃𝐴平分∠𝐵𝐴𝐶,𝑃𝐷平分∠𝐵𝐷𝐶，
∴∠𝐶𝐴𝑀= ∠𝑃𝐴𝑁,∠𝐵𝐷𝑁= ∠𝑃𝐷𝑀，
∴∠𝐶+ ∠𝐵= 2∠𝑃，即120° + 100° = 2∠𝑃，
∴∠𝑃= 110°．
②∠𝐵、∠𝐶、∠𝑃之间的关系为2∠𝑃= ∠𝐵+ ∠𝐶．
理由如下：如下图，
∵𝐴𝑃和𝐷𝑃分别平分∠𝐶𝐴𝐵和∠𝐵𝐷𝐶，
∴∠1 = ∠2,∠3 = ∠4，
在△𝐴𝑀𝐶和△𝐷𝑀𝑃中，∠𝐶+ ∠1 = ∠𝑃+ ∠3，
∴∠𝐶= ∠𝑃+ ∠3−∠1，
在△𝐵𝐷𝑁和△𝑃𝐴𝑁中，∠𝐵+ ∠4 = ∠𝑃+ ∠2，
∴∠𝐵= ∠𝑃+ ∠2−∠4，
∴∠𝐵+ ∠𝐶= ∠𝑃+ ∠2−∠4 + ∠𝑃+ ∠3−∠1 = 2∠𝑃，
∴∠𝐵、∠𝐶、∠𝑃之间的关系为2∠𝑃= ∠𝐵+ ∠𝐶．
【变式1-1】如图，AB 和CD 相交于点O，∠A＝∠C，则下列结论中不能完全确定正确的是（ ）
A．∠B＝∠D
B．∠1＝∠A＋∠D
C．∠2＞∠D
D．∠C＝∠D
【答案】D
【分析】利用三角形的外角性质，对顶角相等逐一判断即可．
【详解】∵∠A＋∠AOD＋∠D＝180°，∠C＋∠COB＋∠B＝180°，∠A＝∠C，∠AOD＝∠BOC，
∴∠B＝∠D，
∵∠1＝∠2＝∠A＋∠D，
∴∠2＞∠D，
故选项A，B，C 正确，
故选D．
【点睛】本题考查了对顶角的性质，三角形外角的性质，熟练掌握并运用两条性质是解题的关键．
【变式1-2】如图，将矩形纸片𝐴𝐵𝐶𝐷沿𝐸𝐹折叠，点𝐶落在边𝐴𝐵上的点𝐻处，点𝐷落在点𝐺处，若
∠𝐺𝐸𝐹= 111°，则∠𝐴𝐻𝐺的度数为（ ）．
A．42°
B．69°
C．44°
D．32°
【答案】A
【分析】根据翻折的性质，及矩形的性质，求出∠𝐴𝐸𝐺，再利用“8”字模型求解即可．
【详解】由图形翻折的性质可知，∠𝐺𝐸𝐹= ∠𝐷𝐸𝐹= 111°，
∴∠𝐴𝐸𝐹= 180°−111° = 69°，∠𝐴𝐸𝐺= ∠𝐺𝐸𝐹−∠𝐴𝐸𝐹= 111°−69° = 42°，
∵∠𝐴= ∠𝐺= 90°，利用“8”字模型，
∴∠𝐴𝐻𝐺= ∠𝐴𝐸𝐺= 42°，
故选：A．
【点睛】本题考查了矩形翻折问题，能够根据图形翻折的性质推理出∠𝐴𝐸𝐺是解决问题的关键，熟练运用
“8”字模型是求最终结果的关键．
【变式1-3】（1）已知：如图（1）的图形我们把它称为“8 字形”，试说明：∠𝐴+ ∠𝐵= ∠𝐶+ ∠𝐷．
（2）如图（2），𝐴𝑃，𝐶𝑃分别平分∠𝐵𝐴𝐷，∠𝐵𝐶𝐷，若∠𝐴𝐵𝐶= 36°，∠𝐴𝐷𝐶= 16°．求∠𝑃的度数．
（3）如图（3），直线𝐴𝑃平分∠𝐵𝐴𝐷，𝐶𝑃平分∠𝐵𝐶𝐷的外角∠𝐵𝐶𝐸，猜想∠𝑃与∠𝐵、∠𝐷的数量关系是______；
（4）如图（4），直线𝐴𝑃平分∠𝐵𝐴𝐷的外角∠𝐹𝐴𝐷，𝐶𝑃平分∠𝐵𝐶𝐷的外角∠𝐵𝐶𝐸，猜想∠𝑃与∠𝐵、∠𝐷的数量关
系是______．
【答案】（1）见解析；
（2）26°；
（3）∠𝑃= 90° +
1
2(∠𝐵+ ∠𝐷)；
（4）∠𝑃= 180°−
1
2(∠𝐵+ ∠𝐷)
【分析】（1）根据三角形的内角和等于180°和对顶角的性质即可得证；
（2）设∠𝐵𝐴𝑃= ∠𝑃𝐴𝐷= 𝑥，∠𝐵𝐶𝑃= ∠𝑃𝐶𝐷= 𝑦，
𝑥+ ∠𝐴𝐵𝐶= 𝑦+ ∠𝑃
𝑥+ ∠𝑃= 𝑦+ ∠𝐴𝐷𝐶
解方程即可得到答案；
（3）根据直线𝐴𝑃平分∠𝐵𝐴𝐷，𝐶𝑃平分∠𝐵𝐶𝐷的外角∠𝐵𝐶𝐸，得到
∠𝑃𝐴𝐵= ∠𝑃𝐴𝐷=
1
2∠𝐵𝐴𝐷，∠𝑃𝐶𝐵= ∠𝑃𝐶𝐸=
1
2∠𝑃𝐶𝐷从而可以得到180°−2(∠𝑃𝐴𝐵+ ∠𝑃𝐶𝐵) +∠𝐷= ∠𝐵，再根据
∠𝑃+ ∠𝑃𝐴𝐷= ∠𝑃𝐶𝐷+ ∠𝐷，∠𝐵𝐴𝐷+ ∠𝐵= ∠𝐵𝐶𝐷+ ∠𝐷得到∠𝑃−∠𝐵=∠𝑃𝐴𝐷+ ∠𝑃𝐶𝐵= ∠𝑃𝐴𝐵+ ∠𝑃𝐶𝐵即可
求解；
（4）连接𝑃𝐵，𝑃𝐷,求得∠𝐴𝑃𝐶+ ∠𝐴𝐵𝐶+ ∠𝑃𝐶𝐵+ ∠𝑃𝐴𝐵= 360°，∠𝐴𝑃𝐶+ ∠𝐴𝐷𝐶+ ∠𝑃𝐶𝐷+ ∠𝑃𝐴𝐷= 360°，
再根据∠𝑃𝐶𝐸+ ∠𝑃𝐶𝐷=180°，∠𝑃𝐴𝐵+ ∠𝑃𝐴𝐹=180°，∠𝐹𝐴𝑃= ∠𝑃𝐴𝑂，∠𝑃𝐶𝐸= ∠𝑃𝐶𝐵，即可求解．
【详解】解：（1）如图.
∵∠𝐴+ ∠𝐵+ ∠𝐴𝑂𝐵= 180°，∠𝐶+ ∠𝐷+ ∠𝐶𝑂𝐷= 180°，
∴∠𝐴+ ∠𝐵+ ∠𝐴𝑂𝐵= ∠𝐶+ ∠𝐷+ ∠𝐶𝑂𝐷．
∵∠𝐴𝑂𝐵= ∠𝐶𝑂𝐷，
∴∠𝐴+ ∠𝐵= ∠𝐶+ ∠𝐷；
（2）如图.
∵𝐴𝑃，𝐶𝑃分别平分∠𝐵𝐴𝐷，∠𝐵𝐶𝐷，设∠𝐵𝐴𝑃= ∠𝑃𝐴𝐷= 𝑥，∠𝐵𝐶𝑃= ∠𝑃𝐶𝐷= 𝑦，
则有
𝑥+ ∠𝐴𝐵𝐶= 𝑦+ ∠𝑃
𝑥+ ∠𝑃= 𝑦+ ∠𝐴𝐷𝐶
，
∴∠𝐴𝐵𝐶−∠𝑃= ∠𝑃−∠𝐴𝐷𝐶，
∴∠𝑃=
1
2(∠𝐴𝐵𝐶+ ∠𝐴𝐷𝐶) =
1
2 (36° + 16°) = 26°
（3）如图.
∵直线𝐴𝑃平分∠𝐵𝐴𝐷，𝐶𝑃平分∠𝐵𝐶𝐷的外角∠𝐵𝐶𝐸，
∴∠𝑃𝐴𝐵= ∠𝑃𝐴𝐷=
1
2∠𝐵𝐴𝐷，∠𝑃𝐶𝐵= ∠𝑃𝐶𝐸=
1
2∠𝐵𝐶𝐸，
∴2∠𝑃𝐴𝐵+ ∠𝐵= 180°−2∠𝑃𝐶𝐵+ ∠𝐷，
∴180°−2(∠𝑃𝐴𝐵+ ∠𝑃𝐶𝐵) +∠𝐷= ∠𝐵
∵∠𝑃+ ∠𝑃𝐴𝐷= ∠𝑃𝐶𝐷+ ∠𝐷，∠𝐵𝐴𝐷+ ∠𝐵= ∠𝐵𝐶𝐷+ ∠𝐷
∴∠𝑃+ ∠𝑃𝐴𝐷−∠𝐵𝐴𝐷−∠𝐵=∠𝑃𝐶𝐷−∠𝐵𝐶𝐷
∴∠𝑃−∠𝑃𝐴𝐵−∠𝐵= ∠𝑃𝐶𝐵,
∴∠𝑃−∠𝐵= ∠𝑃𝐴𝐵+ ∠𝑃𝐶𝐵
∴180°−2(∠𝑃−∠𝐵) +∠𝐷= ∠𝐵，
即∠𝑃= 90° +
1
2(∠𝐵+ ∠𝐷)．
（4）连接𝑃𝐵，𝑃𝐷
∵直线𝐴𝑃平分∠𝐵𝐴𝐷的外角∠𝐹𝐴𝐷，𝐶𝑃平分∠𝐵𝐶𝐷的外角∠𝐵𝐶𝐸，
∴∠𝐹𝐴𝑃= ∠𝑃𝐴𝑂，∠𝑃𝐶𝐸= ∠𝑃𝐶𝐵，
∵∠𝐴𝑃𝐵+ ∠𝑃𝐵𝐴+ ∠𝑃𝐴𝐵= 180°，∠𝑃𝐶𝐵+ ∠𝑃𝐵𝐶+ ∠𝐵𝑃𝐶= 180°
∴∠𝐴𝑃𝐶+ ∠𝐴𝐵𝐶+ ∠𝑃𝐶𝐵+ ∠𝑃𝐴𝐵= 360°
同理得到：∠𝐴𝑃𝐶+ ∠𝐴𝐷𝐶+ ∠𝑃𝐶𝐷+ ∠𝑃𝐴𝐷= 360°
∴2∠𝐴𝑃𝐶+ ∠𝐴𝐵𝐶+ ∠𝐴𝐷𝐶+ ∠𝑃𝐶𝐵+ ∠𝑃𝐴𝐵+ ∠𝑃𝐶𝐷+ ∠𝑃𝐴𝐷= 720°
∴2∠𝐴𝑃𝐶+ ∠𝐴𝐵𝐶+ ∠𝐴𝐷𝐶+ ∠𝑃𝐶𝐸+ ∠𝑃𝐴𝐵+ ∠𝑃𝐶𝐷+ ∠𝑃𝐴𝐹= 720°
∵∠𝑃𝐶𝐸+ ∠𝑃𝐶𝐷=180°，∠𝑃𝐴𝐵+ ∠𝑃𝐴𝐹=180°
∴2∠𝐴𝑃𝐶+ ∠𝐴𝐵𝐶+ ∠𝐴𝐷𝐶= 360°，
∴∠𝐴𝑃𝐶= 180°−
1
2(∠𝐴𝐵𝐶+ ∠𝐴𝐷𝐶)
【点睛】本题主要考查了角平分线的定义，三角形内角和定理，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进
行求解．
模型2：A 字模型
结论：①∠1 + ∠2 = ∠𝐵+ ∠𝐶，
②∠3 + ∠4 = 180° + ∠𝐴．
【模型2 A 字模型】
【例2】如图，△𝐴𝐵𝐶中，∠𝐴= 65°，直线𝐷𝐸交𝐴𝐵于点D，交𝐴𝐶于点E，则∠𝐵𝐷𝐸+ ∠𝐶𝐸𝐷= （ ）．
A．180°
B．215°
C．235°
D．245°
【答案】D
【分析】
根据三角形内角和定理求出∠𝐴𝐷𝐸+ ∠𝐴𝐸𝐷，根据平角的概念计算即可．
【详解】
解：∵∠𝐴= 65°，
∴∠𝐴𝐷𝐸+ ∠𝐴𝐸𝐷= 180°−65° = 115°，
∴∠𝐵𝐷𝐸+ ∠𝐶𝐸𝐷= 360°−115° = 245°，
故选：D．
【点睛】本题考查的是三角形内角和定理的应用，掌握三角形内角和等于180°是解题的关键．
【变式2-1】如图是某建筑工地上的人字架，若∠1 = 120°，那么∠3−∠2的度数为_________．
【答案】60°
【分析】根据平角的定义求出∠4，再利用三角形的外角的性质即可解决问题．
【详解】解：如图
∵∠1 + ∠4 = 180°，∠1 = 120°，
∴∠4 = 60°，
∵∠3 = ∠2 + ∠4，
∴∠3−∠2 = ∠4 = 60°，
故答案为：60°．
【点睛】本题考查三角形外角的性质、平角的性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考基
础题．
【变式2-2】将一把直尺与一块直角三角板按如图所示的方式放置，若∠1 = 125°，则∠2的度数为（
）
A．35°
B．40°
C．45°
D．55°
【答案】A
【分析】本题考查平行线的性质、三角形外角的定义和性质。
根据三角形外角的性质可得∠3 = ∠1−∠4，根据平行线的性质可得∠2 = ∠3．
【详解】解：如图，
由题意知∠4 = 90°，𝐴𝐵∥𝐶𝐷，
∵ ∠1 = ∠4 + ∠3，∠1 = 125°，
∴ ∠3 = ∠1−∠4 = 125°−90° = 35°，
∵ 𝐴𝐵∥𝐶𝐷，
∴ ∠2 = ∠3 = 35°．
故选：A．
【变式2-3】探索归纳：
(1)如图1，已知△𝐴𝐵𝐶为直角三角形，∠𝐴= 90°，若沿图中虚线剪去∠𝐴，则∠1 + ∠2 = ______；
(2)如图2，已知△𝐴𝐵𝐶中，∠𝐴= 30°，剪去∠𝐴后成四边形，则∠1 + ∠2 = ______；
(3)如图2，根据（1）与（2）的求解过程，你归纳猜想∠1 + ∠2与∠𝐴的关系是______；
(4)如图3，若没有剪掉，而是把它折成如图3 形状，试探究∠1 + ∠2与∠𝐴的关系，并说明理由．
【答案】(1)270°
(2)210°
(3)∠1 + ∠2 = 180° + ∠𝐴
(4)∠1 + ∠2 = 2∠𝐴
【分析】（1）利用三角形的外角定理及直角三角形的性质求解；
（2）利用三角形的外角等于与它不相邻的两个内角和求解；
（3）根据（1）、（2）中思路即可求解；
（4）根据折叠对应角相等，得到∠𝐴𝐹𝐸= ∠𝑃𝐹𝐸，∠𝐴𝐸𝐹= ∠𝑃𝐸𝐹，进而求出∠1 = 180°−2∠𝐴𝐹𝐸，
∠2 = 180°−2∠𝐴𝐸𝐹，最后利用∠𝐴𝐹𝐸+ ∠𝐴𝐸𝐹= 180°−∠𝐴即可求解．
【详解】（1）解：如图所示：
在△𝐴𝐸𝐹中，由外角性质可知：
∠1 = ∠𝐴+ ∠𝐸𝐹𝐴= 90° + ∠𝐸𝐹𝐴，
∠2 = ∠𝐴+ ∠𝐴𝐸𝐹= 90° + ∠𝐴𝐸𝐹，
∴∠1 + ∠2 = (90° + ∠𝐸𝐹𝐴) + (90° + ∠𝐴𝐸𝐹) = 180° + ∠𝐸𝐹𝐴+ ∠𝐴𝐸𝐹，
∵△𝐴𝐵𝐶为直角三角形，∠𝐴= 90°，
∴∠𝐸𝐹𝐴+ ∠𝐴𝐸𝐹= 180°−∠𝐴= 90°，
∴∠1 + ∠2 = 180° + 90° = 270°．
故答案为：270°．
（2）解：如图所示：
在△𝐴𝐸𝐹中，由外角性质可知：
∠1 = ∠𝐴+ ∠𝐸𝐹𝐴，∠2 = ∠𝐴+ ∠𝐴𝐸𝐹，
∵∠𝐴= 30°，
∴∠1 + ∠2 = (∠𝐴+ ∠𝐸𝐹𝐴) + (∠𝐴+ ∠𝐴𝐸𝐹)
= (∠𝐴+ ∠𝐸𝐹𝐴+ ∠𝐴𝐸𝐹) + ∠𝐴
= 180° + 30°
= 210°．
（3）解：由（1）、（2）中思路，由三角形外角性质可知：
∠1 = ∠𝐴+ ∠𝐸𝐹𝐴，∠2 = ∠𝐴+ ∠𝐴𝐸𝐹，
∴∠1 + ∠2 = (∠𝐴+ ∠𝐸𝐹𝐴) + (∠𝐴+ ∠𝐴𝐸𝐹)
= (∠𝐴+ ∠𝐸𝐹𝐴+ ∠𝐴𝐸𝐹) + ∠𝐴
= 180° + ∠𝐴，
∴∠1 + ∠2与∠𝐴的关系是：∠1 + ∠2 = 180° + ∠𝐴，
故答案为：∠1 + ∠2 = 180° + ∠𝐴．
（4）解：∠1 + ∠2与∠𝐴的关系为：∠1 + ∠2 = 2∠𝐴，理由如下：
如图，
∵△𝐸𝐹𝑃是由△𝐸𝐹𝐴折叠得到的，
∴∠𝐴𝐹𝐸= ∠𝑃𝐹𝐸，∠𝐴𝐸𝐹= ∠𝑃𝐸𝐹，
∴∠1 = 180°−2∠𝐴𝐹𝐸，∠2 = 180°−2∠𝐴𝐸𝐹，
∴∠1 + ∠2 = (180°−2∠𝐴𝐹𝐸) + (180°−2∠𝐴𝐸𝐹) = 360°−2(∠𝐴𝐹𝐸+ ∠𝐴𝐸𝐹)，
又∵∠𝐴𝐹𝐸+ ∠𝐴𝐸𝐹= 180°−∠𝐴，
∴∠1 + ∠2 = 360°−2(180°−∠𝐴) = 2∠𝐴，
∴∠1 + ∠2与∠𝐴的关系∠1 + ∠2 = 2∠𝐴．
【点睛】主要考查了折叠的性质及三角形的内角和外角之间的关系：三角形的外角等于与它不相邻的两个
内角和、三角形的内角和是180 度．求角的度数常常要用到“三角形的内角和是180°”这一隐含的条件．
模型3：老鹰抓小鸡模型
结论：∠1 + ∠2 = ∠𝐴+ ∠𝐷．
【模型3 老鹰抓小鸡模型】
【例3】如图，在△𝐴𝐵𝐶中，𝐷，𝐸分别是边𝐴𝐵，𝐴𝐶上一点，将△𝐴𝐵𝐶沿𝐷𝐸折叠，使点𝐴的对称点𝐴′落在边
𝐵𝐶上，若∠𝐴= 50°，则∠1 + ∠2 + ∠3 + ∠4 = ______．
【答案】230°/230度
【分析】根据折叠的性质利用三角形的内角和定理求解即可.
【详解】解：∵∠𝐴= 50°，
∴△𝐴𝐵𝐶中，∠𝐵+ ∠𝐶= 130°，
又∵∠1 + ∠2 + ∠𝐵= 180°，∠3 + ∠4 + ∠𝐶= 180°，
∴∠1 + ∠2 + ∠3 + ∠4 = 360°−(∠𝐵+ ∠𝐶) = 360°−130° = 230°，
故答案为：230°．
【变式3-1】（24-25 八年级下·河南信阳·开学考试）如图，在Rt △𝐴𝐵𝐶中，∠𝐴𝐶𝐵= 90°，𝐴𝐶≤𝐵𝐶，将△𝐴𝐵𝐶
沿𝐸𝐹折叠，使点A 落在直角边𝐵𝐶上的D 点处，设𝐸𝐹与𝐴𝐵，𝐴𝐶边分别交于点E、点F，如果折叠后△𝐶𝐷𝐹
与△𝐵𝐷𝐸均为等腰三角形，则∠𝐵的度数为（ ）度．
A．30
B．45
C．60
D．30 或45
【答案】D
【分析】先确定△𝐶𝐷𝐹是等腰三角形，得出∠𝐶𝐹𝐷= ∠𝐶𝐷𝐹= 45°，因为不确定△𝐵𝐷𝐸是以哪两条边为腰的
等腰三角形，故需讨论，①𝐷𝐸= 𝐷𝐵，②𝐵𝐷= 𝐵𝐸，③𝐷𝐸= 𝐵𝐸，然后分别利用角的关系得出答案即可．
本题考查了直角三角形的性质，等腰三角形的定义，折叠的性质，三角形外角性质，三角形内角和定理，
熟练掌握性质和定理是解题的关键．
【详解】解：∵△𝐶𝐷𝐹中，∠𝐴𝐶𝐵= 90°，且△𝐶𝐷𝐹是等腰三角形，
∴𝐶𝐹= 𝐶𝐷，
∴∠𝐶𝐹𝐷= ∠𝐶𝐷𝐹= 45°，
连接𝐷𝐴，
设∠𝐷𝐴𝐸= 𝑥°，由对称性可知，𝐴𝐹= 𝐹𝐷，𝐴𝐸= 𝐷𝐸，
∴∠𝐹𝐴𝐷= ∠𝐹𝐷𝐴,∠𝐷𝐴𝐸= ∠𝐴𝐷𝐸，
∵∠𝐹𝐶𝐷= ∠𝐹𝐴𝐷+ ∠𝐹𝐷𝐴,∠𝐷𝐸𝐵= ∠𝐷𝐴𝐸+ ∠𝐴𝐷𝐸，
∴∠𝐹𝐴𝐷= ∠𝐹𝐷𝐴=
1
2∠𝐹𝐶𝐷= 22.5°,∠𝐷𝐸𝐵= 2𝑥°，
分类如下：
①如图1，当𝐷𝐸= 𝐷𝐵时，∠𝐵= ∠𝐷𝐸𝐵= 2𝑥°，
由∠𝐶𝐷𝐸= ∠𝐷𝐸𝐵+ ∠𝐵，得45° + 22.5° + 𝑥= 4𝑥，
解得：𝑥= 22.5°．
此时∠𝐵= ∠𝐷𝐸𝐵= 45°．
②如图2，当𝐵𝐷= 𝐵𝐸时，
则∠𝐵𝐷𝐸= ∠𝐷𝐸𝐵= 2𝑥°，
故∠𝐵= 180°−4𝑥°，
由∠𝐶𝐷𝐸= ∠𝐷𝐸𝐵+ ∠𝐵得：45° + 22.5° + 𝑥= 2𝑥+ 180°−4𝑥，
解得𝑥= 37.5°，
此时∠𝐵= 180°−4𝑥° = 30°．
③𝐷𝐸= 𝐵𝐸时，
则∠𝐵𝐷𝐸= ∠𝐵，
故∠𝐵=
180°−2𝑥°
2
= 90°−𝑥°，
由∠𝐶𝐷𝐸= ∠𝐷𝐸𝐵+ ∠𝐵得45° + 22.5° + 𝑥° = 2𝑥° + 90°−𝑥°
此方程无解．
∴𝐷𝐸= 𝐵𝐸不成立．
综上所述，∠𝐵= 30°°或∠𝐵= 45°．
故选：D．
【变式3-2】如图所示，把一个三角形纸片ABC 的三个顶角向内折叠（3 个顶点不重合），①若∠𝐴= 55°，
则∠𝐴′ = ______；②图中∠1 + ∠2 + ∠3 + ∠4 + ∠5 + ∠6的度数和是______．
【答案】
55°/55 度
360°/360 度
【分析】①由折叠的性质即可求解；②利用三角形内角和定理和平角的定义可得∠𝐵+ ∠𝐵′ = ∠2 + ∠3，
∠𝐴+ ∠𝐴′ = ∠1 + ∠6,∠𝐶+ ∠𝐶′ = ∠4 + ∠5，再根据折叠的性质和三角形内角和定理求解即可．
【详解】∵∠𝐵+ ∠𝐵𝐹𝐺+ ∠𝐵𝐺𝐹= 180° = ∠𝐵′ +∠𝐵′𝐹𝐺+ ∠𝐵′𝐺𝐹，∠𝐵𝐹𝐺+ ∠𝐵′𝐹𝐺+ ∠2 = 180° = ∠𝐵𝐺𝐹+ ∠
𝐵′𝐺𝐹+ ∠3，
∴∠𝐵+ ∠𝐵𝐹𝐺+ ∠𝐵𝐺𝐹+ ∠𝐵′ +∠𝐵′𝐹𝐺+ ∠𝐵′𝐺𝐹= ∠𝐵𝐹𝐺+ ∠𝐵′𝐹𝐺+ ∠2 + ∠𝐵𝐺𝐹+ ∠𝐵′𝐺𝐹+ ∠3，
∴∠𝐵+ ∠𝐵′ = ∠2 + ∠3，
同理∠𝐴+ ∠𝐴′ = ∠1 + ∠6,∠𝐶+ ∠𝐶′ = ∠4 + ∠5，
由折叠的性质得∠𝐵= ∠𝐵′,∠𝐴= ∠𝐴′,∠𝐶= ∠𝐶′，
∴∠1 + ∠2 + ∠3 + ∠4 + ∠5 + ∠6 = ∠𝐵+ ∠𝐵′ +∠𝐴+ ∠𝐴′ +∠𝐶+ ∠𝐶′ = 2(∠𝐵+ ∠𝐴+ ∠𝐶)，
∵∠𝐴+ ∠𝐵+ ∠𝐶= 180°，
∴∠1 + ∠2 + ∠3 + ∠4 + ∠5 + ∠6 = 2 × 180° = 360°，
故答案为：55°,360°．
【点睛】本题考查了折叠的性质，三角形的内角和定理，能够利用三角形内角和定理和平角进行转化是解
题的关键．
【变式3-3】（1）如图1，把△𝐴𝐵𝐶沿𝐷𝐸折叠，使点A 落在点𝐴′处，试探索∠1 + ∠2与∠𝐴的关系（不必证
明）
（2）如图2，𝐵𝐼平分∠𝐴𝐵𝐶，𝐶𝐼平分∠𝐴𝐶𝐵，把△𝐴𝐵𝐶折叠，使点A 与点I 重合，若∠1 + ∠2 = 110°，求∠𝐵𝐼𝐶
的度数；
（3）如图3，在锐角△𝐴𝐵𝐶中，𝐵𝐹⊥𝐴𝐶于点F，𝐶𝐺⊥𝐴𝐵于点G，𝐵𝐹、𝐶𝐺交于点H，把△𝐴𝐵𝐶折叠使点A
和点H 重合，试探索∠𝐵𝐻𝐶与∠1 + ∠2的关系，并证明你的结论．
【答案】（1）见解析；（2）117.5°；（3）∠BHC=180°-
1
2（∠1+∠2），证明见解析
【分析】（1）根据翻折变换的性质以及三角形内角和定理以及平角的定义求出即可；
（2）根据三角形角平分线的性质得出∠IBC+∠ICB=90°-
1
2∠A，得出∠BIC 的度数即可；
（3）根据翻折变换的性质以及垂线的性质得出，∠AFH+∠AGH=90°+90°=180°，进而求出∠A=
1
2（∠1+∠2），
即可得出答案．
【详解】解：（1）根据翻折的性质，∠ADE=
1
2（180°-∠1），∠AED=
1
2（180°-∠2），
∵∠A+∠ADE+∠AED=180°，
∴∠A+
1
2（180-∠1）+
1
2（180-∠2）=180°，
整理得2∠A=∠1+∠2；
（2）由（1）∠1+∠2=2∠A，得2∠A=110°，
∴∠A=55°，
∵IB 平分∠ABC，IC 平分∠ACB，
∴∠IBC+∠ICB=
1
2（∠ABC+∠ACB）
=
1
2（180°-∠A）=90°-
1
2∠A，
∴∠BIC=180°-（∠IBC+∠ICB），
=180°-（90°-
1
2∠A）=90°+
1
2×55°=117.5°；
（3）∵BF⊥AC，CG⊥AB，
∴∠AFH+∠AGH=90°+90°=180°，
∠FHG+∠A=180°，
∴∠BHC=∠FHG=180°-∠A，由（1）知∠1+∠2=2∠A，
∴∠A=
1
2（∠1+∠2），
∴∠BHC=180°-
1
2（∠1+∠2）．
【点睛】此题主要考查了图形的翻着变换的性质以及角平分线的性质和三角形内角和定理，正确的利用翻
折变换的性质得出对应关系是解决问题的关键．
模型4：飞镖模型
结论：∠𝐴+ ∠𝐵+ ∠𝐶= ∠𝐷．
【模型4 飞镖模型】
【例4】（24-25 八年级上·湖北孝感·阶段检测）（1）如图①，求证：∠𝐵𝑂𝐶= ∠𝐴+ ∠𝐵+ ∠𝐶；
（2）一张帆布折椅的侧面示意图如图②所示，∠𝐴= 38°,∠𝐷= 12°,∠𝐴𝐵𝐶= 64°,∠𝐵𝐶𝐷= 46°，求椅面和椅
背的夹角∠𝐴𝐸𝐷的度数；
（3）如图③，∠𝐴𝐵𝐶= 100°,∠𝐷𝐸𝐹= 130°，则∠𝐴+ ∠𝐶+ ∠𝐷+ ∠𝐹的度数为 ．
【答案】（1）见解析；（2）120°；（3）230°
【分析】本题考查了三角形的外角性质和三角形的内角和定理，熟练掌握知识点的应用是解题的关键．
（1）连接𝐴𝑂，利用三角形的外角性质得出∠𝐵𝐴𝑂+ ∠𝐵= ∠𝐵𝑂𝑀 ①，∠𝐶𝐴𝑂+ ∠𝐶= ∠𝐶𝑂𝑀 ②，①+ ②
即可求解；
（2）利用上述的结论即可求解；
（3）连接𝐴𝐷，由上述结论可知∠𝐹+ ∠𝐹𝐴𝐷+ ∠𝐸𝐷𝐴= ∠𝐷𝐸𝐹 ③，∠𝐵𝐴𝐷+ ∠𝐴𝐷𝐶+ ∠𝐶= ∠𝐴𝐵𝐶 ④，③+
④即可求解．
【详解】（1）证明：连接𝐴𝑂，并延长，如图①所示，
∵∠𝐵𝑂𝑀是△𝐴𝐵𝑂的外角，
∴∠𝐵𝐴𝑂+ ∠𝐵= ∠𝐵𝑂𝑀，①
∵∠𝐶𝑂𝑀是△𝐴𝑂𝐶的外角，
∴∠𝐶𝐴𝑂+ ∠𝐶= ∠𝐶𝑂𝑀，②
①+ ②，得∠𝐵𝐴𝑂+ ∠𝐵+ ∠𝐶𝐴𝑂+ ∠𝐶= ∠𝐵𝑂𝑀+ ∠𝐶𝑂𝑀，
即∠𝐵𝑂𝐶= ∠𝐵𝐴𝐶+ ∠𝐵+ ∠𝐶；
（2）解：∵∠𝐴𝐵𝐶= 64°，∠𝐵𝐶𝐷= 46°，
∴∠2 = 180°−∠𝐴𝐵𝐶−∠𝐵𝐶𝐷= 180°−64°−46° = 70°，
∴∠1 = ∠2 = 70°，
∴由上可知：∠𝐴𝐸𝐷= ∠𝐴+ ∠𝐷+ ∠1 = 38° + 12° + 70° = 120°，
（3）解：连接𝐴𝐷，如图②所示，
由上可知∠𝐹+ ∠𝐹𝐴𝐷+ ∠𝐸𝐷𝐴= ∠𝐷𝐸𝐹，③
∠𝐵𝐴𝐷+ ∠𝐴𝐷𝐶+ ∠𝐶= ∠𝐴𝐵𝐶，④
③+ ④，得∠𝐹+ ∠𝐹𝐴𝐷+ ∠𝐸𝐷𝐴+ ∠𝐵𝐴𝐷+ ∠𝐴𝐷𝐶+ ∠𝐶= ∠𝐷𝐸𝐹+ ∠𝐴𝐵𝐶= 130° + 100° = 230°，
∴∠𝐹𝐴𝐵+ ∠𝐶+ ∠𝐸𝐷𝐶+ ∠𝐹= 230°，
即∠𝐴+ ∠𝐶+ ∠𝐷+ ∠𝐹= 230°，
故答案为：230°．
【变式4-1】在劳动课上，小雅同学设计了一个形状如图所示的零件，其中∠𝐴= 52°，∠𝐵= 25°，
∠𝐶= 30°，∠𝐸= 72°，∠𝐹= 65°，则∠D 的度数为（ ）
A．35°
B．45°
C．30°
D．24°
【答案】C
【分析】如图，延长𝐵𝐸交𝐶𝐹延长线于点𝑂，交𝐴𝐶于点M，可证∠𝐵𝑂𝐶= ∠𝐴+ ∠𝐵+ ∠𝐶，再根据∠𝐸= 72°，
∠𝐹= 65°求出∠𝑂𝐸𝐷、∠𝑂𝐹𝐷度数，根据四边形内角和计算即可．
【详解】解：如图，延长𝐵𝐸交𝐶𝐹延长线于点𝑂，交𝐴𝐶于点M，
∵∠𝐵𝑀𝐶= ∠𝐴+ ∠𝐵，∠𝐵𝑂𝐶= ∠𝐵𝑀𝐶+ ∠𝐶，
∴∠𝐵𝑂𝐶= ∠𝐴+ ∠𝐵+ ∠𝐶= 107°，
∵∠𝐸= 72°，∠𝐹= 65°，
∴∠𝑂𝐸𝐷= 108°，∠𝑂𝐹𝐷= 115°，
∴∠𝐷= 360°−115°−108°−107° = 30° ．
故选：C．
【点睛】本题考查的是三角形内角和定理，三角形外角性质等知识，解题关键是学会添加辅助线．
【变式4-2】如图，𝐵𝐺是∠𝐴𝐵𝐷的平分线，CH 是∠𝐴𝐶𝐷的平分线，𝐵𝐺与CH 交于点𝑂，若∠𝐵𝐷𝐶= 150°，
∠𝐵𝑂𝐶= 110°，求∠𝐴的度数.
【答案】∠𝐴= 70°.
【分析】根据三角形的外角的性质得出燕尾角的基本图形的结论得出∠BDC、∠BOC，在根据角平分线的性质
即可得出
【详解】解：由燕尾角的基本图形与结论可得，
∠𝐵𝐷𝐶= ∠𝐵𝑂𝐶+ ∠𝑂𝐵𝐷+ ∠𝑂𝐶𝐷①
∠𝐵𝑂𝐶= ∠𝐴+ ∠𝐴𝐵𝑂+ ∠𝐴𝐶𝑂②
∵𝐵𝐺是∠𝐴𝐵𝐷的平分线，𝐺𝐻是∠𝐴𝐶𝐷的平分线
∴∠𝐴𝐵𝑂= ∠𝑂𝐵𝐷，∠𝐴𝐶𝑂= ∠𝑂𝐶𝐷．
①-②得，∠𝐴= 2∠𝐵𝑂𝐶−∠𝐵𝐷𝐶= 70°．
【点睛】本题考查了三角形的内角和定理，角平分线的定义．注意利用“8 字形”的对应角相等求出角的关系
是解题的关键，要注意整体思想的利用．
【变式4-3】如图（1）所示的图形，像我们常见的学习用品一圆规．我们不妨把这样图形叫做“规形图”，那
么在这一个简单的图形中，到底隐藏了哪些数学知识呢？下面就请你发挥你的聪明才智，解决以下问题：
(1)观察“规形图”，试探究∠𝐵𝐷𝐶与∠𝐴、∠𝐵、∠𝐶之间的关系，并说明理由．
(2)请你直接利用以上结论，解决以下三个问题：
①如图（2），把一块三角尺𝑋𝑌𝑍放置在△𝐴𝐵𝐶上，使三角尺的两条直角边𝑋𝑌、𝑋𝑍恰好经过点𝐵、𝐶，若
∠𝐴= 40°，则∠𝐴𝐵𝑋+ ∠𝐴𝐶𝑋= °．
②如图（3），𝐷𝐶平分∠𝐴𝐷𝐵，𝐸𝐶平分∠𝐴𝐸𝐵，若∠𝐴= 40°，∠𝐷𝐵𝐸= 120°，求∠𝐷𝐶𝐸的度数．
③如图（4），∠𝐴𝐵𝐷，∠𝐴𝐶𝐷的10 等分线相交于点𝐺1、𝐺2…、𝐺9，若∠𝐵𝐷𝐶= 130°，∠𝐵𝐺1𝐶= 67°，请直
接写出∠𝐴的度数是 ．
【答案】(1)∠𝐵𝐷𝐶= ∠𝐵𝐴𝐶+ ∠𝐵+ ∠𝐶，见解析
(2)①50；②80°；③60°
【分析】（1）根据题意观察图形连接𝐴𝐷并延长至点𝐹，由外角定理可知，一个三角形的外角等于与它不相
邻的两个内角的和，则容易得到∠𝐵𝐷𝐹= ∠𝐵𝐴𝐷+ ∠𝐵，∠𝐶𝐷𝐹= ∠𝐶+ ∠𝐶𝐴𝐷，相加即可得结论；
（2）①由（1）的结论可得∠𝐴𝐵𝑋+ ∠𝐴𝐶𝑋+ ∠𝐴= ∠𝐵𝑋𝐶，然后把∠𝐴= 40°，∠𝐵𝑋𝐶= 90°代入上式即可得
到∠𝐴𝐵𝑋+ ∠𝐴𝐶𝑋的值．
②结合图形可得∠𝐷𝐵𝐸= ∠𝐷𝐴𝐸+ ∠𝐴𝐷𝐵+ ∠𝐴𝐸𝐵，代入∠𝐴= 40°，∠𝐷𝐵𝐸= 120°即可得到∠𝐴𝐷𝐵+ ∠𝐴𝐸𝐵的
值，再利用上面得出的结论可知∠𝐷𝐶𝐸=
1
2(∠𝐴𝐷𝐵+ ∠𝐴𝐸𝐵) + ∠𝐴，易得答案．
③由（2）的方法，进而可得答案．
【详解】（1）解： ∠𝐵𝐷𝐶= ∠𝐵𝐴𝐶+ ∠𝐵+ ∠𝐶，理由如下：
过点𝐴、𝐷作直线𝐴𝐹，
由外角定理可得∠𝐵𝐷𝐹= ∠𝐵𝐴𝐷+ ∠𝐵，∠𝐶𝐷𝐹= ∠𝐶+ ∠𝐶𝐴𝐷，
且∠𝐵𝐷𝐶= ∠𝐵𝐷𝐹+ ∠𝐶𝐷𝐹，∠𝐵𝐴𝐶= ∠𝐵𝐴𝐷+ ∠𝐶𝐴𝐷；
∴∠𝐵𝐷𝐶= ∠𝐵𝐴𝐶+ ∠𝐵+ ∠𝐶；
（2）解：①由（1）的结论得：∠𝐴𝐵𝑋+ ∠𝐴𝐶𝑋+ ∠𝐴= ∠𝐵𝑋𝐶，
又因为∠𝐴= 40°，∠𝐵𝑋𝐶= 90°，
所以∠𝐴𝐵𝑋+ ∠𝐴𝐶𝑋= 90°−40° = 50°．
②由（1）的结论得：∠𝐷𝐵𝐸= ∠𝐴+ ∠𝐴𝐷𝐵+ ∠𝐴𝐸𝐵，
∵∠𝐴= 40°，∠𝐷𝐵𝐸= 120°，
∴∠𝐴𝐷𝐵+ ∠𝐴𝐸𝐵= 80°，
而∠𝐷𝐶𝐸= ∠𝐴+ ∠𝐴𝐷𝐶+ ∠𝐴𝐸𝐶，
∵𝐷𝐶平分∠𝐴𝐷𝐵，𝐸𝐶平分∠𝐴𝐸𝐵，
∴∠𝐴𝐷𝐶=
1
2∠𝐴𝐷𝐵，∠𝐴𝐸𝐶=
1
2∠𝐴𝐸𝐵，
∴∠𝐷𝐶𝐸=
1
2(∠𝐴𝐷𝐵+ ∠𝐴𝐸𝐵) + ∠𝐴=
1
2 × 80° + 40° = 80°；
③由（1）的结论得：∠𝐵𝐺1𝐶=
1
10(∠𝐴𝐵𝐷+ ∠𝐴𝐶𝐷) + ∠𝐴，
设∠𝐴为𝑥°，
∵∠𝐴𝐵𝐷+ ∠𝐴𝐶𝐷= ∠𝐵𝐷𝐶−∠𝐴，∠𝐵𝐷𝐶= 130°，
∴∠𝐴𝐵𝐷+ ∠𝐴𝐶𝐷= 130°−𝑥°，
∵∠𝐵𝐺1𝐶= 67°，
∴
1
10(130−𝑥) + 𝑥= 67，
13−
1
10𝑥+ 𝑥= 67，
𝑥= 60，
∴∠𝐴为60°．
【点睛】本题考查三角形外角的性质，三角形的内角和定理的应用，能求出∠𝐵𝐷𝐶= ∠𝐴+ ∠𝐵+ ∠𝐶是解答
的关键，注意：三角形的内角和等于180°，三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和．
模型5：余角模型
结论：①∠1 = ∠𝐵，
②∠2 = ∠𝐴．
结论：①∠𝐵= ∠𝐸，
②∠1 = ∠2 = ∠𝐴．
【模型5 余角模模型】
【例5】如图，在Rt△ABC 中，∠B＝90°，直线 DE 与 AC，BC 分别交于 D，E 两点．若∠DEC＝∠A，则△EDC
是______________．
【答案】直角三角形
【分析】根据直角三角形的两个锐角互余可知∠A+∠C=90°,再由∠DEC＝∠A 进而可得出结论.
【详解】解: 在Rt△ABC 中，
∵∠B＝90°,
∴∠A+∠C=90°,
∵∠DEC＝∠A,
∴∠DEC+∠C=90°,
∴∠EDC=90°,
∴△EDC 是直角三角形,
故答案为 直角三角形.
【点睛】本题考查了直角三角形的两个锐角互余及有两个角互余的三角形是直角三角形，是基础知识要熟
练掌握.
【变式5-1】（25-26 七年级下·北京·期末）如图，在Rt △𝐴𝐵𝐶中，𝐶𝐷是斜边𝐴𝐵上的高，∠𝐵𝐶𝐷= 35°，则∠𝐴
为______°．
【答案】35
【分析】利用直角三角形两锐角互余，先推导∠𝐵与∠𝐵𝐶𝐷的关系，再推导∠𝐴与∠𝐵的关系，等量代换即可得
到∠𝐴= ∠𝐵𝐶𝐷．
【详解】解：∵△𝐴𝐵𝐶是直角三角形，∠𝐴𝐶𝐵= 90°，
∴∠𝐴+ ∠𝐵= 90°，
∵𝐶𝐷是斜边𝐴𝐵上的高，
∴𝐶𝐷⊥𝐴𝐵，即∠𝐶𝐷𝐵= 90°，
∴∠𝐵𝐶𝐷+ ∠𝐵= 90°，
根据同角的余角相等，可得：∠𝐴= ∠𝐵𝐶𝐷，
∠𝐵𝐶𝐷= 35°，
∴∠𝐴= 35∘．
【变式5-2】（2026·河北秦皇岛·一模）将一副三角尺按下图的位置摆放，已知∠1 = 30°，∠2 = 45°，则
∠3 = _____．
【答案】75 度/75°
【详解】解：由题意得，∠𝐺𝐸𝐴= 180°−∠𝐺𝐸𝐵= 180°−90° = 90°，
∴∠𝐻𝐺𝐹= ∠𝐸𝐺𝐴= 90°−∠1 = 60°，
∠3 = ∠𝐹𝐻𝐺= 180°−∠2−∠𝐻𝐺𝐹= 180°−45°−60° = 75°．
【变式5-3】（25-26 八年级上·上海·阶段检测）如图，△𝐴𝐵𝐶中𝐴𝐷⊥𝐵𝐶于D，𝐵𝐸⊥𝐴𝐶于E，则∠1与∠2的
关系是________
【答案】∠1 = ∠2
【分析】本题考查了直角三角形的两个锐角互余，熟练掌握直角三角形的两个锐角互余是解题关键．根据
直角三角形的两个锐角互余可得∠1 + ∠𝐶= 90°，∠2 + ∠𝐶= 90°，由此即可得．
【详解】解：∵𝐴𝐷⊥𝐵𝐶，
∴∠1 + ∠𝐶= 90°，
∵𝐵𝐸⊥𝐴𝐶，
∴∠2 + ∠𝐶= 90°，
∴∠1 = ∠2．
故答案为：∠1 = ∠2．
模型6：补角模型
条件：∠𝐴+ ∠𝐶= 180°．
结论：∠1 = ∠𝐵．
【模型6 补角模模型】
【例6】（24-25 七年级下·江苏南京·期末）如图，四边形𝐴𝐵𝐶𝐷两组对边的延长线分别交于点E，F，
∠𝐸= 40°，∠𝐹= 60°，若∠𝐴与∠𝐵𝐶𝐷互补，则∠𝐴的度数为________．
【答案】40°/40 度
【分析】本题主要考查三角形内角和定理和外角的性质，连接𝐸𝐹，可得∠𝐸𝐶𝐷= ∠𝐴，再根据三角形外角性
质得∠𝐸𝐶𝐷= ∠1 + ∠2，则∠𝐴= ∠1 + ∠2，然后根据三角形内角和定理有
∠𝐴+ ∠1 + ∠2 + ∠𝐴𝐸𝐵+ ∠𝐴𝐹𝐷= 180°，即2∠𝐴+ 40° + 60° = 180°，再解方程即可．
【详解】解：连接𝐸𝐹，如图，
∵∠𝐴+ ∠𝐵𝐶𝐷= 180°，∠𝐵𝐶𝐷+ ∠𝐷𝐶𝐸= 180°，
∴∠𝐸𝐶𝐷= ∠𝐴，
∵∠𝐸𝐶𝐷= ∠1 + ∠2，
∴∠𝐴= ∠1 + ∠2，
∵∠𝐴+ ∠1 + ∠2 + ∠𝐴𝐸𝐵+ ∠𝐴𝐹𝐷= 180°，
∴2∠𝐴+ 40° + 60° = 180°，
∴∠𝐴= 40°．
故答案为：40°．
【变式6-1】如图，在四边形𝐴𝐵𝐶𝐷中，∠𝐴与∠𝐷𝐶𝐵互补，E 为𝐵𝐶延长线上的点，且
∠1 + ∠2 + ∠𝐷𝐶𝐸= 224°，则∠𝐴的度数是______．
【答案】112°
【分析】本题考查了三角形外角的性质和同角的补角相等．熟练掌握三角形外角的性质和同角的补角相等
是解题的关键．
根据三角形外角的性质得到∠𝐷𝐶𝐸的度数，再根据同角的补角相等得到∠𝐴= ∠𝐷𝐶𝐸，即可得到结论．
【详解】解：∵∠1 + ∠2 + ∠𝐷𝐶𝐸= 224°，∠1 + ∠2 = ∠𝐷𝐶𝐸，
∴2∠1 + 2∠2 = 224°，
∴∠𝐷𝐶𝐸= 112°．
∵∠𝐴+ ∠𝐷𝐶𝐵= 180°，∠𝐷𝐶𝐸+ ∠𝐷𝐶𝐵= 180°，
∴∠𝐴= ∠𝐷𝐶𝐸= 112°．
故答案为112°．
【变式6-2】如图，𝐴𝐷与𝐵𝐸相交于𝐹，∠𝐴= ∠𝐶，∠1与∠2互补．
(1)说明𝐴𝐵∥𝐶𝐸的理由；
(2)若∠1 = 85°，∠𝐸= 26°，求∠𝐴的度数．
【答案】(1)见解析
(2)59°
【分析】（1）先由∠1 = ∠𝐵𝐹𝐷得出∠𝐵𝐹𝐷+ ∠2 = 180°，故可得出𝐴𝐷∥𝐵𝐶，故可得出∠𝐴𝐷𝐸= ∠𝐶，据此可
得出∠𝐴= ∠𝐴𝐷𝐸，进而得出结论；
（2）先根据平行线的性质得出∠𝐴𝐵𝐸= ∠𝐸，再由三角形外角的性质即可得出结论．
【详解】（1）解：∵∠1 = ∠𝐵𝐹𝐷，∠1 + ∠2 = 180°，
∴∠𝐵𝐹𝐷+ ∠2 = 180°，
∴𝐴𝐷∥𝐵𝐶，
∴∠𝐴𝐷𝐸= ∠𝐶，
∴∠𝐴= ∠𝐴𝐷𝐸，
∴𝐴𝐵∥𝐶𝐸；
（2）解：∵𝐴𝐵∥𝐶𝐸，∠1 = 85°，∠𝐸= 26°，
∴∠𝐴𝐵𝐸= ∠𝐸= 26°，
∴∠𝐴= ∠1−∠𝐴𝐵𝐸= 85°−26° = 59°．
【点睛】本题主要考查的是平行线的判定与性质，熟知平行线的判定定理是解题的关键．
【变式6-3】如图，在四边形𝐴𝐵𝐶𝐷中，∠𝐴与∠𝐶互补，𝐵𝐸、𝐷𝐹分别平分∠𝐴𝐵𝐶、∠𝐴𝐷𝐶，𝐸𝐺∥𝐴𝐵与𝐵𝐶相交
于点G．
(1)∠1与∠2有怎样的数量关系？说明理由：
(2)若∠𝐴= 108°，∠1 = 46°，求∠𝐶𝐸𝐺的度数．
【答案】(1)∠1 + ∠2 = 90°，理由见解析
(2)∠𝐶𝐸𝐺= 20°
【分析】本题考查了四边形的内角和、余角和补角的定义，角平分线定义，平行线性质，弄清角之间的互
余、互补关系是解题的关键．
（1）根据四边形的内角和为360°以及补角的定义可得∠𝐴𝐵𝐶+ ∠𝐴𝐷𝐶= 180°，再根据角平分线的定义以及
平行线的性质即可得出∠1 + ∠2 = 90°；
（2）根据∠𝐴+ ∠𝐶= 180°可得∠𝐶的度数，根据∠1 + ∠2 = 90°可得∠2的度数，根据平行线的性质可得∠𝐴𝐵𝐸
的度数，然后根据三角形的内角和以及角的和差关系计算即可．
【详解】（1）解：∠1 + ∠2 = 90°．理由：
∵四边形𝐴𝐵𝐶𝐷的内角和为360°，∠𝐴+ ∠𝐶= 180°，
∴∠𝐴𝐵𝐶+ ∠𝐴𝐷𝐶= 180°，
∵𝐵𝐸、𝐷𝐹分别平分∠𝐴𝐵𝐶、∠𝐴𝐷𝐶，
∴∠1 =
1
2∠𝐴𝐷𝐶，∠𝐴𝐵𝐸=
1
2∠𝐴𝐵𝐶，
∵𝐸𝐺∥𝐴𝐵，
∴∠2 = ∠𝐴𝐵𝐸，
∴∠1 + ∠2 =
1
2(∠𝐴𝐷𝐶+ ∠𝐴𝐵𝐶) = 90°．
（2）解：由（1）知，∠1 + ∠2 = 90°，
∵∠𝐴= 108°，∠1 = 46°，∠𝐴+ ∠𝐶= 180°，
∴∠𝐶= 180°−∠𝐴= 72°，∠2 = 90°−∠1 = 44°，
∵𝐸𝐺∥𝐴𝐵，
∴∠2 = ∠𝐴𝐵𝐸= 44°，
∵𝐵𝐸平分∠𝐴𝐵𝐶，
∴∠𝐴𝐵𝐸= ∠𝐶𝐵𝐸= 44°，
∴∠𝐵𝐸𝐶= 180°−44°−72° = 64°，
∴∠𝐶𝐸𝐺= 64°−44° = 20°．
模型7：一线等三角模型
类型一 一线三垂直
类型二 同侧一线三等角
类型三 异侧一线三等角
条件：∠1 = ∠2 = ∠3．
结论：①∠𝐶𝐵𝐸= ∠𝐷，
②∠𝐴𝐵𝐷= ∠𝐸．
【模型7 一线三等角模模型】
【例7】如图，P 是∠𝐵𝐴𝐶内一点，∠𝐴𝐵𝑃= 37°，∠𝐴𝐶𝑃= 25°，过点P 作直线𝐸𝐹，交𝐴𝐵，𝐴𝐶分别于E，
F．若∠𝐵𝐸𝑃= ∠𝐵𝑃𝐶= ∠𝑃𝐹𝐶，则∠𝐵𝐴𝐶= _________°．
【答案】56
【分析】如图，连接𝐵𝐶，由题意知，∠𝐵𝐴𝐶+ ∠𝐴𝐵𝑃+ ∠𝑃𝐵𝐶+ ∠𝑃𝐶𝐵+ ∠𝐴𝐶𝑃= 180°，则
∠𝑃𝐵𝐶+ ∠𝑃𝐶𝐵= 118°−∠𝐵𝐴𝐶，由∠𝐵𝐸𝑃= ∠𝐵𝑃𝐶= ∠𝑃𝐹𝐶，可知∠𝐴𝐸𝐹= ∠𝐴𝐹𝐸=
180°−∠𝐵𝐴𝐶
2
，则
∠𝐵𝑃𝐶= ∠𝑃𝐹𝐶= 180°−∠𝐴𝐹𝐸= 90° +
∠𝐵𝐴𝐶
2 ，根据∠𝐵𝑃𝐶+ ∠𝑃𝐵𝐶+ ∠𝑃𝐶𝐵= 180°，即90° +
∠𝐵𝐴𝐶
2
+118°−∠𝐵𝐴𝐶= 180°，计算求解即可．
【详解】解：如图，连接𝐵𝐶，
由题意知，∠𝐵𝐴𝐶+ ∠𝐴𝐵𝑃+ ∠𝑃𝐵𝐶+ ∠𝑃𝐶𝐵+ ∠𝐴𝐶𝑃= 180°，
∴∠𝑃𝐵𝐶+ ∠𝑃𝐶𝐵= 118°−∠𝐵𝐴𝐶，
∵∠𝐵𝐸𝑃= ∠𝐵𝑃𝐶= ∠𝑃𝐹𝐶，
∴∠𝐴𝐸𝐹= ∠𝐴𝐹𝐸=
180°−∠𝐵𝐴𝐶
2
，∠𝐵𝑃𝐶= ∠𝑃𝐹𝐶= 180°−∠𝐴𝐹𝐸= 90° +
∠𝐵𝐴𝐶
2 ，
∵∠𝐵𝑃𝐶+ ∠𝑃𝐵𝐶+ ∠𝑃𝐶𝐵= 180°，
∴90° +
∠𝐵𝐴𝐶
2
+118°−∠𝐵𝐴𝐶= 180°，
解得∠𝐵𝐴𝐶= 56°，
故答案为：56．
【点睛】本题考查了三角形内角和定理．解题的关键在于明确角度之间的数量关系．
【变式7-1】（2025 八年级上·全国·专题练习）如图，在等边△𝐴𝐵𝐶中，𝐷为𝐵𝐶边上一点，𝐸为𝐴𝐶边上一点，
且∠𝐴𝐷𝐸= 60°．求证：∠𝐵𝐴𝐷= ∠𝐸𝐷𝐶．
【答案】证明见解析
【分析】本题考查等边三角形中求角度，涉及“一线三等角”模型，先利用等边三角形的性质可得𝐴𝐵= 𝐵𝐶，
∠𝐵= ∠𝐶= 60°，从而利用三角形外角性质得到∠𝐵𝐴𝐷+ ∠𝐵= ∠𝐴𝐷𝐶= ∠𝐴𝐷𝐸+ ∠𝐸𝐷𝐶，再由已知条件
∠𝐴𝐷𝐸= 60°即可得证∠𝐵𝐴𝐷= ∠𝐸𝐷𝐶．熟记等边三角形性质、三角形外角性质是解决问题的关键．
【详解】证明：∵△𝐴𝐵𝐶是等边三角形，
∴∠𝐵= 60°，
∵ ∠𝐴𝐷𝐶是△𝐴𝐵𝐷的一个外角，
∴∠𝐵𝐴𝐷+ ∠𝐵= ∠𝐴𝐷𝐶= ∠𝐴𝐷𝐸+ ∠𝐸𝐷𝐶，
∵∠𝐴𝐷𝐸= 60°，∠𝐵= 60°，
∴∠𝐵𝐴𝐷= ∠𝐸𝐷𝐶．
【变式7-2】（2025 八年级上·全国·专题练习）如图，在Rt △𝐴𝐵𝐶中，直角顶点𝐴在直线𝑙上，过点𝐵、𝐶分别
作直线𝑙的垂线，垂足分别为𝐷、𝐸.求证：∠𝐴𝐵𝐷= ∠𝐶𝐴𝐸．
【答案】见解析
【分析】本题主要考查了余角的性质，直角三角形两锐角互余：根据∠𝐵𝐴𝐶= 90°，可得
∠𝐵𝐴𝐷+ ∠𝐶𝐴𝐸= 90°，再利用垂直定义可得∠𝐶𝐸𝐴= ∠𝐵𝐷𝐴= 90°，从而可得∠𝐴𝐵𝐷+ ∠𝐵𝐴𝐷= 90°，然后利
用同角的余角相等即可求证．
【详解】证明：∵∠𝐵𝐴𝐶= 90°，
∴∠𝐵𝐴𝐷+ ∠𝐶𝐴𝐸= 90°，
∵𝐶𝐸⊥𝑙，𝐵𝐷⊥𝑙，
∴∠𝐶𝐸𝐴= ∠𝐵𝐷𝐴= 90°，
∴∠𝐴𝐵𝐷+ ∠𝐵𝐴𝐷= 90°，
∴∠𝐴𝐵𝐷= ∠𝐶𝐴𝐸．
【变式7-3】如图1，AB⊥BC 于点B，CD⊥BC 于点C，点E 在线段BC 上，且AE⊥DE．
（1）求证：∠EAB＝∠CED；
（2）如图2，AF、DF 分别平分∠BAE 和∠CDE，则∠F 的度数是 （直接写出答案即可）；
（3）如图3，EH 平分∠CED，EH 的反向延长线交∠BAE 的平分线AF 于点G．求证：EG⊥AF．（提示：三
角形内角和等于180°）
【答案】（1）见解析；（2）45°；（3）见解析
【分析】（1）利用同角的余角相等即可证明；
（2）过点F 作FM∥AB，利用∠DFA=∠DFM+∠AFM=
1
2∠CDE+
1
2∠EAB=
1
2（∠CDE+∠EAB）即可解决问题；
（3）想办法证明∠EAG+∠AEG=90°即可解决问题.
【详解】解：（1）∵AB⊥BC，CD⊥BC，
∴∠B＝∠C＝90°，
∴∠BAE+∠AEB＝90°，
∵AE⊥DE，
∴∠AED＝90°，
∴∠AEB+∠CED＝90°，
∴∠BAE＝∠CED．
（2）解：答案为45°；
过点F 作FM∥AB，如图，
∵AB⊥BC，CD⊥BC，
∴∠B＝∠C＝90°，
∴AB∥CD，
∵∠C＝90°，
∴∠CED+∠CDE＝90°，
∵∠BAE＝∠CED，
∴∠BAE+∠CDE＝90°，
∵AF、DF 分别平分∠BAE 和∠CDE，
∴∠CDF＝
1
2∠CDE，∠BAF＝
1
2∠BAE，
∴∠CDF+∠BAF＝
1
2（∠BAE+∠CDE）＝45°，
∵FM∥AB∥CD，
∴∠CDF＝∠DFM，∠BAF＝∠AFM，
∴∠AFD＝∠CDF+∠BAF＝45°．
（3）∵EH 平分∠CED，
∴∠CEH＝
1
2∠CED，
∴∠BEG＝
1
2∠CED，
∵AF 平分∠BAE，
∴∠BAG＝
1
2∠BAE，
∵∠BAE＝∠CED，
∴∠BAG＝∠BEG，
∵∠BAE+∠BEA＝90°，
∴∠BAG+∠GAE+∠AEB＝90°，
即∠GAE+∠AEB+∠BEG＝90°，
∴∠AGE＝90°，
∴EG⊥AF．
【点睛】本题考查三角形内角和定理、平行线的性质、角平分线的定义等知识，解题的关键是学会添加常
用辅助线，构造平行线解决问题，属于中考常考题型．
模型8：三角形双内角平分线夹角模型
条件：BP 平分∠𝐴𝐵𝐶，CP 平分∠𝐴𝐶𝐵．
结论：∠𝑃= 90° + 1
2∠𝐴．
【模型8 三角形双内角平分线夹角模模型】
【例8】（24-25 八年级上·河南驻马店·期末）在△𝐴𝐵𝐶中，∠𝐴𝐵𝐶和∠𝐴𝐶𝐵的内角平分线交于点O．设
∠𝐵𝑂𝐶= 𝛽，则∠𝐴= （ ）
A．180°−𝛽
B．90°−
𝛽
2
C．2𝛽−180°
D．180°−
𝛽
2
【答案】C
【分析】本题考查的是三角形内角和定理及角平分线的性质．先根据∠𝐵𝑂𝐶= 𝛽得出∠2 + ∠4的度数，再根
据𝑂𝐵、𝑂𝐶分别为∠𝐴𝐵𝐶及∠𝐴𝐶𝐵的平分线得出∠1 = ∠2，∠3=∠4，即∠𝐴𝐵𝐶+ ∠𝐴𝐶𝐵= 2(∠2 + ∠4)，再由三
角形内角和为180°即可得出∠𝐴的度数．
【详解】解：∵△𝐵𝑂𝐶中，∠𝐵𝑂𝐶= 𝛽，
∴∠2 + ∠4 = 180°−𝛽，
∵𝑂𝐵、𝑂𝐶分别为∠𝐴𝐵𝐶及∠𝐴𝐶𝐵的平分线，
∴∠1 = ∠2，∠3=∠4，
∴∠𝐴𝐵𝐶+ ∠𝐴𝐶𝐵= 2(∠2 + ∠4) = 2 × (180°−𝛽) = 360°−2𝛽，
∴∠𝐴= 180°−(∠𝐴𝐵𝐶+ ∠𝐴𝐶𝐵) = 180°−360° + 2𝛽= 2𝛽−180°．
故选：C．
【变式8-1】（24-25 八年级上·湖北武汉·阶段检测）如图，已知点𝑃为△𝐴𝐵𝐶三条内角平分线𝐴𝐷、𝐵𝐸、𝐶𝐹
的交点，过𝐷作𝐷𝐺⊥𝑃𝐶于𝐺，则∠𝑃𝐷𝐺等于（ ）
A．∠𝐴𝐵𝐸
B．∠𝐷𝐴𝐶
C．∠𝐵𝐶𝐹
D．∠𝐶𝑃𝐸
【答案】A
【分析】本题主要考查了三角形外角的性质，三角形内角和定理，角平分线定义，先根据三角形的外角性
质得∠𝑃𝐷𝐶=
1
2∠𝐵𝐴𝐶+ ∠𝐴𝐵𝐶，再根据𝐷𝐺⊥𝑃𝐶，可得𝑃𝐷𝐶= ∠𝑃𝐷𝐺+ ∠𝐺𝐷𝐶，然后把∠𝑃𝐷𝐺用∠𝐵𝐴𝐶+ ∠𝐴𝐵𝐶
表示，再整理得出答案．
【详解】∵𝐴𝐷,𝐵𝐸,𝐶𝐹是△𝐴𝐵𝐶三条角平分线，
∴∠𝐴𝐵𝐸=
1
2∠𝐴𝐵𝐶，∠𝐵𝐴𝐷=
1
2∠𝐵𝐴𝐶,∠𝐺𝐶𝐷=
1
2∠𝐴𝐶𝐵．
∵𝐷𝐺⊥𝑃𝐶，
∴∠𝐷𝐺𝐶= 90°．
∵∠𝑃𝐷𝐶是△𝐴𝐵𝐷的外角，
∴∠𝑃𝐷𝐶= ∠𝐵𝐴𝐷+ ∠𝐴𝐵𝐶，∠𝑃𝐷𝐶= ∠𝑃𝐷𝐺+ ∠𝐺𝐷𝐶，
∴∠𝑃𝐷𝐶=
1
2∠𝐵𝐴𝐶+ ∠𝐴𝐵𝐶,∠𝑃𝐷𝐶= ∠𝑃𝐷𝐺+ 90°−∠𝐵𝐶𝐹= ∠𝑃𝐷𝐺+ 90°−
1
2∠𝐴𝐶𝐵 = ∠𝑃𝐷𝐺+ 90°−
1
2
(180°−∠𝐵𝐴𝐶−∠𝐴𝐵𝐶)，
∴
1
2∠𝐵𝐴𝐶+ ∠𝐴𝐵𝐶= ∠𝑃𝐷𝐺+ 90°−
1
2(180°−∠𝐵𝐴𝐶−∠𝐴𝐵𝐶)，
∴∠𝑃𝐷𝐺=
1
2∠𝐴𝐵𝐶= ∠𝐴𝐵𝐸．
故选：A．
【变式8-2】如图，若ΔABC 的三条内角平分线相交于点I，过I 作DE⊥AI 分别交AB、AC 于点D、E，则图
中与∠ICE 一定相等的角(不包括它本身)有____________________个．
【答案】2
【分析】根据角平分线的定义求得∠1=∠2．然后利用三角形内角和定理得到∠2=∠5，进而证得∠5=∠1．
【详解】①根据角平分线的性质易求∠1=∠2；
②∵△ABC 的三条内角平分线相交于点I，
∴∠BIC=180°-(∠3+∠2)
=180°-
1
2(∠ABC+∠ACB)
=180°-
1
2(180°-∠BAC)
=90°+
1
2∠BAC；
∵AI 平分∠BAC，
∴∠DAI=
1
2∠DAE．
∵DE⊥AI 于I，
∴∠AID=90°．
∴∠BDI=∠AID+∠DAI=90°+
1
2∠BAC．
∴∠BIC=∠BDI．
∴180°-(∠4+∠5)=180°-(∠2+∠3)．
又∵∠3=∠4，
∴∠2=∠5，
∴∠5=∠1，
综上所述，图中与∠ICE 一定相等的角(不包括它本身)有2 个．
故答案为：2．
【点睛】本题主要考查了三角形内角和定理、外角的性质，角平分线的性质以及垂线的性质．
【变式8-3】我们知道，任何一个三角形的三条内角平分线相交于一点，
(1)如图1，若∠𝐴𝐵𝐶= 40°与∠𝐴𝐶𝐵= 60°，求∠𝐵𝐼𝐶的度数．
(2)如图2，若△𝐴𝐵𝐶的三条内角平分线相交于点I，过I 作𝐷𝐸⊥𝐴𝐼分别交𝐴𝐵、𝐴𝐶于点D、E．试写出∠𝐵𝐼𝐶
与∠𝐵𝐷𝐼之间有何数量关系，并说明理由．
(3)定义：有两个角分别相等的两个三角形叫“孪生三角形”，
①图2 中“孪生三角形”共 对；
②图2 中当∠𝐴𝐵𝐶与∠𝐵𝐴𝐶满足怎样的数量关系时，△𝐵𝐷𝐼与△𝐵𝐴𝐼也成为“孪生三角形”（直接写出结论）．
【答案】(1)∠𝐵𝐼𝐶= 130°；
(2)∠𝐵𝐼𝐶= ∠𝐵𝐷𝐼，见解析
(3)①4；②
1
2∠𝐴𝐵𝐶+ ∠𝐵𝐴𝐶= 90°
【分析】（1）利用角平分线的定义求得∠𝐼𝐵𝐶= 20°，∠𝐼𝐶𝐵= 30°，再利用三角形内角和定理即可求解；
（2）根据角平分线定义、用三角形内角和定理得到∠𝐵𝐼𝐶= 90° +
1
2∠𝐵𝐴𝐶，接着根据三角形外角性质得
∠𝐵𝐷𝐼= ∠𝐴𝐼𝐷+ ∠𝐷𝐴𝐼= 90° +
1
2∠𝐵𝐴𝐶，于是有∠𝐵𝐼𝐶= ∠𝐵𝐷𝐼；
（3）①根据（2）的结论即可得解；②当∠𝐵𝐼𝐷= ∠𝐵𝐴𝐼时，△𝐵𝐷𝐼与△𝐵𝐴𝐼也成为“孪生三角形”，据此求
解即可．
【详解】（1）解：∵∠𝐴𝐵𝐶= 40°，∠𝐴𝐶𝐵= 60°，𝐵𝐼平分∠𝐴𝐵𝐶，𝐶𝐼平分∠𝐴𝐶𝐵，
∴∠𝐼𝐵𝐶=
1
2∠𝐴𝐵𝐶= 20°，∠𝐼𝐶𝐵=
1
2∠𝐴𝐶𝐵= 30°，
∴∠𝐵𝐼𝐶= 180°−∠𝐼𝐵𝐶−∠𝐼𝐶𝐵= 130°；
（2）解：∵△𝐴𝐵𝐶的三条内角平分线相交于点I，
∴∠𝐼𝐵𝐶=
1
2∠𝐴𝐵𝐶，∠𝐼𝐶𝐵=
1
2∠𝐴𝐶𝐵，
∴∠𝐵𝐼𝐶= 180°−∠𝐼𝐵𝐶−∠𝐼𝐶𝐵= 180°−
1
2(∠𝐴𝐵𝐶+ ∠𝐴𝐶𝐵)，
∵∠𝐴𝐵𝐶+ ∠𝐴𝐶𝐵= 180°−∠𝐵𝐴𝐶，
∴∠𝐵𝐼𝐶= 180°−
1
2(180°−∠𝐵𝐴𝐶) = 90° +
1
2∠𝐵𝐴𝐶，
∵𝐴𝐼⊥𝐷𝐸，
∴∠𝐴𝐼𝐷= 90°，
而𝐴𝐼平分∠𝐷𝐴𝐸，
∴∠𝐷𝐴𝐼=
1
2∠𝐵𝐴𝐶，
∴∠𝐵𝐷𝐼= ∠𝐴𝐼𝐷+ ∠𝐷𝐴𝐼= 90° +
1
2∠𝐵𝐴𝐶，
∴∠𝐵𝐼𝐶= ∠𝐵𝐷𝐼；
（3）解：①由（2）知，∠𝐵𝐼𝐶= ∠𝐵𝐷𝐼，∠𝐼𝐵𝐶= ∠𝐷𝐵𝐼，
∴△𝐼𝐵𝐶和△𝐷𝐵𝐼是“孪生三角形”；
同理，∠𝐵𝐼𝐶= ∠𝐼𝐸𝐶，∠𝐵𝐶𝐼= ∠𝐼𝐶𝐸，
∴△𝐼𝐵𝐶和△𝐸𝐼𝐶是“孪生三角形”；
∴△𝐷𝐵𝐼和△𝐸𝐼𝐶是“孪生三角形”；
∵∠𝐷𝐴𝐼= ∠𝐸𝐴𝐼，∠𝐷𝐼𝐴= ∠𝐸𝐼𝐴= 90°，
∴△𝐷𝐴𝐼和△𝐸𝐴𝐼是“孪生三角形”；
故答案为：4；
②当∠𝐵𝐼𝐷= ∠𝐵𝐴𝐼时，△𝐵𝐷𝐼与△𝐵𝐴𝐼也成为“孪生三角形”，
由（2）知，∠𝐵𝐼𝐶= 90° +
1
2∠𝐵𝐴𝐶，∠𝐶𝐵𝐼= ∠𝐶𝐼𝐸= ∠𝐶𝐵𝐼=
1
2∠𝐴𝐵𝐶，
∵∠𝐵𝐼𝐷+ ∠𝐵𝐼𝐶+ ∠𝐶𝐼𝐸= 180°，
∴
1
2∠𝐵𝐴𝐶+ 90° +
1
2∠𝐵𝐴𝐶+
1
2∠𝐴𝐵𝐶= 180°，
整理得
1
2∠𝐴𝐵𝐶+ ∠𝐵𝐴𝐶= 90°．
∴当
1
2∠𝐴𝐵𝐶+ ∠𝐵𝐴𝐶= 90°时，△𝐵𝐷𝐼与△𝐵𝐴𝐼也成为“孪生三角形”．
故答案为：
1
2∠𝐴𝐵𝐶+ ∠𝐵𝐴𝐶= 90°
【点睛】本题考查了角平分线的定义，三角形内角和定理：三角形内角和是180°．熟记各图形的性质并准
确识图是解题的关键．
模型9：三角形双外角平分线夹角模型
条件：BP 平分∠𝐷𝐵𝐶，CP 平分∠𝐸𝐶𝐵．
结论：∠𝑃= 90°−1
2∠𝐴．
【模型9 三角形双外角平分线夹角模模型】
【例9】△𝐴𝐵𝐶中，∠𝐴= 100°，若𝐵𝑁、𝐶𝑁分别是∠𝐴𝐵𝐶，∠𝐴𝐶𝐵的外角平分线，则∠𝑁= ________度．
【答案】40
【分析】根据三角形内角和定理得出∠𝐴𝐵𝐶+ ∠𝐴𝐶𝐵= 180°−∠𝐴= 80°，求∠𝐷𝐵𝐶+ ∠𝐸𝐶𝐵= 280°，根据角
平分线的定义求出∠𝑁𝐵𝐶+ ∠𝑁𝐶𝐵=
1
2∠𝐷𝐵𝐶+
1
2∠𝐸𝐶𝐵= 140°，根据三角形内角和定理求出∠𝑁= 180°−
(∠𝑂𝐵𝐶+ ∠𝑂𝐶𝐵) = 180°−140° = 40°．
【详解】解：∵∠𝐴= 100°，
∴∠𝐴𝐵𝐶+ ∠𝐴𝐶𝐵= 180°−∠𝐴= 80°，
∴∠𝐷𝐵𝐶+ ∠𝐸𝐶𝐵= 180°−∠𝐴𝐵𝐶+ 180°−∠𝐴𝐶𝐵
= 360°−(∠𝐴𝐵𝐶+ ∠𝐴𝐶𝐵)
= 360°−80°
= 280°
∵𝐵𝑁、𝐶𝑁分别平分∠𝐷𝐵𝐶和∠𝐸𝐶𝐵，
∴∠𝑁𝐵𝐶+ ∠𝑁𝐶𝐵=
1
2∠𝐷𝐵𝐶+
1
2∠𝐸𝐶𝐵
= 1
2 (∠𝐷𝐵𝐶+ ∠𝐸𝐶𝐵)
= 1
2 × 280°
= 140°，
∴∠𝑁= 180°−(∠𝑂𝐵𝐶+ ∠𝑂𝐶𝐵) = 180°−140° = 40°．
故答案为：40．
【点睛】本题主要考查了三角形内角和定理，角平分线的定义，解题的关键是熟练掌握三角形内角和为180°．
【变式9-1】（24-25 八年级上·河南驻马店·期中）在△𝐴𝐵𝐶中，∠𝐴𝐵𝐶和∠𝐴𝐶𝐵的外角平分线交于点O．设
∠𝐵𝑂𝐶= 𝛽，则∠𝐴= （ ）
A．180°−𝛽
B．90°−
𝛽
2
C．180°−2𝛽
D．180°−
𝛽
2
【答案】C
【分析】本题考查了三角形内角和定理，三角形外角的定义，角平分线的定义，找出角度之间的数量关系
是解题关键．由三角形内角和定理，可得∠𝐶𝐵𝑂+ ∠𝐵𝐶𝑂= 180°−𝛽，再根据三角形外角的定义和角平分线
的定义，得到∠𝐴𝐵𝐶+ ∠𝐴𝐶𝐵= 2𝛽，即可求出∠𝐴的度数．
【详解】解：∵∠𝐵𝑂𝐶= 𝛽，
∴∠𝐶𝐵𝑂+ ∠𝐵𝐶𝑂= 180°−𝛽，
∵∠𝐴𝐵𝐶和∠𝐴𝐶𝐵的外角平分线交于点O，
∴∠𝐴𝐵𝐶= 180°−2∠𝐶𝐵𝑂，∠𝐴𝐶𝐵= 180°−2∠𝐵𝐶𝑂，
∴∠𝐴𝐵𝐶+ ∠𝐴𝐶𝐵= 360°−2(∠𝐶𝐵𝑂+ ∠𝐵𝐶𝑂) = 2𝛽，
∴∠𝐴= 180°−(∠𝐴𝐵𝐶−∠𝐴𝐶𝐵) = 180°−2𝛽，
故选：C．
【变式9-2】如图，𝐸𝐺，𝐹𝐺分别是∠𝑀𝐸𝐹和∠𝑁𝐹𝐸的角平分线，交点是𝐺，𝐵𝑃，𝐶𝑃分别是∠𝑀𝐵𝐶和∠𝑁𝐶𝐵的
角平分线，交点是𝑃，𝐹，𝐶在𝐴𝑁上，𝐵，𝐸在𝐴𝑀上，若∠𝐺= 69°，那么∠𝑃= ______．
【答案】69°/69 度
【分析】根据角平分线的定义和三角形内角和定理用∠𝐴表示∠𝐺和∠𝑃, 得到∠𝐺和∠𝑃的关系,得到答案.
【详解】解：∵𝐸𝐺、𝐹𝐺分别是∠𝑀𝐸𝐹和∠𝑁𝐹𝐸的平分线，
∴∠𝐺𝐹𝐸=
1
2∠𝑁𝐹𝐸, ∠𝑄𝐸𝐹=
1
2∠𝑀𝐸𝐹,
∴∠𝐺= 180°−
1
2∠𝑁𝐹𝐸−
1
2∠𝑀𝐸𝐹= 180°−
1
2(∠𝑁𝐹𝐸+ ∠𝑀𝐸𝐹)
= 180°−
1
2(360°−∠𝐴𝐹𝐸−∠𝐴𝐸𝐹) = 180°−
1
2(180° + ∠𝐴) = 90°−
1
2∠𝐴= 69°,
同理， ∠𝑃= 90°−
1
2∠𝐴= 69°.
故答案为:69°.
【点睛】本题主要考查的是角平分线的定义和三角形内角和定理， 掌握三角形内角和等于180°是解题的关
键.
【变式9-3】如图，∠ACD 是△ABC 的外角，∠ABC 的平分线与∠ACD 的平分线交于点 A1，∠A1BC 的平分
线与∠A1CD 的平分线交于点 A2，…∠An-1BC 的平行线与∠An-1CD 的平分线交于点 An，设∠A=θ，则
∠An=_____．
【答案】
𝜃
2𝑛．
【分析】根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和可得∠ACD=∠A+∠ABC，∠A1CD=∠A1+∠A1BC，
根据角平分线的定义可得∠A1BC=
1
2∠ABC，∠A1CD=
1
2∠ACD，然后整理得到∠A1=
1
2∠A，同理可得∠A2=
1
2∠A1，从而
判断出后一个角是前一个角的
1
2，然后表示出，∠An 即可．
【详解】由三角形的外角性质得，∠ACD=∠A+∠ABC，∠A1CD=∠A1+∠A1BC，
∵∠ABC 的平分线与∠ACD 的平分线交于点A1，
∴∠A1BC=
1
2∠ABC，∠A1CD=
1
2∠ACD，
∴∠A1+∠A1BC=
1
2（∠A+∠ABC）=
1
2∠A+∠A1BC，
∴∠A1=
1
2∠A，
同理可得∠A2=
1
2∠A1=
𝜃
4，…，∠An=
𝜃
2𝑛．
故答案为
𝜃
2𝑛．
模型10：三角形一内一外角平分线夹角模型
条件：BP 平分∠𝐴𝐵𝐶，CP 平分∠𝐴𝐶𝐷．
结论：∠𝑃= 1
2∠𝐴．
【模型10 三角形一内一外角平分线夹角模模型】
【例10】如图，在△𝐴𝐵𝐶中，𝐷是𝐵𝐴延长线上一点，∠𝐶𝐴𝐷的平分线与∠𝐶𝐵𝐷的平分线相交于点𝐸．
(1)若∠𝐶𝐵𝐴= 44°，∠𝐶𝐴𝐷= 80°，则∠𝐶的度数是__________，∠𝐸的度数是__________．
(2)当∠𝐸+ ∠𝐶= 60°，∠𝐸𝐵𝐴= 25°时，求∠𝐶𝐴𝐷的度数．
【答案】(1)36°，18°
(2)90°
【分析】（1）根据外角的性质可得∠𝐶的度数，根据角平分线的定义可得∠𝐸𝐴𝐵、∠𝐴𝐸𝐷的度数，即可得∠𝐸
的度数；
（2）根据根据角平分线的定义和外角的性质∠𝐶= 2∠𝐸，得∠𝐶的度数，最后根据外角的性质可得∠𝐶𝐴𝐷的度
数．
【详解】（1）解：∵∠𝐶𝐵𝐴= 44°，∠𝐶𝐴𝐷= 80°，
∴∠𝐶= ∠𝐶𝐴𝐷−∠𝐶𝐵𝐴= 80°−44° = 36°，
∵∠𝐶𝐴𝐷的平分线与∠𝐶𝐵𝐷的平分线相交于点E，
∴∠𝐸𝐵𝐴=
1
2∠𝐶𝐵𝐴=
1
2 × 44° = 22°，∠𝐸𝐴𝐷=
1
2∠𝐶𝐴𝐷=
1
2 × 80° = 40°，
∴∠𝐸= ∠𝐸𝐴𝐷−∠𝐸𝐵𝐴= 40°−22° = 18°；
（2）∵𝐴𝐸平分∠𝐶𝐴𝐷，𝐵𝐸平分∠𝐶𝐵𝐷，
∴∠𝐶𝐴𝐷= 2∠𝐸𝐴𝐷，∠𝐶𝐵𝐷= 2∠𝐸𝐵𝐴= 50°，
∴∠𝐶= ∠𝐶𝐴𝐷−∠𝐶𝐵𝐷= 2∠𝐸𝐴𝐷−2∠𝐸𝐵𝐴= 2(∠𝐸𝐴𝐷−∠𝐸𝐵𝐴) = 2∠𝐸.
∵∠𝐸+ ∠𝐶= 60°，
∴∠𝐸= 20°，∠𝐶= 40°，
∵∠𝐸𝐵𝐴= 25°，
∴∠𝐶𝐵𝐷= 50°，
∴∠𝐶𝐴𝐷= ∠𝐶+ ∠𝐶𝐵𝐷= 40° + 50° = 90°．
【点睛】本题考查了外角的性质和角平分线的定义，解题的关键是三角形的一个外角等于和它不相邻的两
个内角和．
【变式10-1】（24-25 七年级下·江苏南京·阶段检测）如图，两条相交的直线𝑂𝑋、𝑂𝑌，∠𝑋𝑂𝑌= 56°，𝐴、𝐵
分别是直线𝑂𝑋、𝑂𝑌上的两个动点，作∠𝐴𝐵𝑌的平分线𝐵𝐷，直线𝐵𝐷交∠𝑂𝐴𝐵的平分线于点𝐶，则∠𝐴𝐶𝐵=
________．
【答案】28°或62°或118°或152°
【分析】本题考查了角平分线的定义，三角形内角和定理，三角形外角的性质，根据题意，分类讨论，结
合图形分析是关键．
根据角平分线的定义，三角形内角和定理，三角形外角的性质，数形结合，分类讨论即可求解．
【详解】解：∵𝐴𝐶平分∠𝑂𝐴𝐵，
∴设∠𝑂𝐴𝐶= ∠𝐵𝐴𝐶= 𝑥，
∵∠𝐴𝐵𝑌是△𝐴𝑂𝐵的外角，
∴∠𝐴𝐵𝑌= ∠𝐴𝑂𝐵+ ∠𝑂𝐴𝐵= 56° + 2𝑥，
∵𝐵𝐷平分∠𝐴𝐵𝑌，
∴∠𝐷𝐵𝑌= ∠𝐷𝐵𝐴=
1
2∠𝐴𝐵𝑌= 28° + 𝑥，
∵∠𝐷𝐵𝐴是△𝐴𝐵𝐶的外角，
∴∠𝐷𝐵𝐴= ∠𝐶+ ∠𝐵𝐴𝐸= ∠𝐶+ 𝑥= 28° + 𝑥，
∴∠𝐶= 28°；
如图所示，
∵∠𝑋𝑂𝑌= 56°，
∴∠𝐴𝑂𝐵= 180°−56° = 124°，
同理，∠𝐴𝐵𝑌= ∠𝐴𝑂𝐵+ ∠𝐵𝐴𝑂= 124° + 2𝑥，
∴∠𝐴𝐵𝐷=
1
2∠𝐴𝐵𝑌= 62° + 𝑥= ∠𝐶+ ∠𝐶𝐴𝐵= ∠𝐶+ 𝑥，
∴∠𝐶= 62°；
如图所示，∠𝐴𝑂𝐵= ∠𝑋𝑂𝑌= 56°，
∴在△𝐴𝑂𝐵中，∠𝑂𝐴𝐵+ ∠𝑂𝐵𝐴= 180°−∠𝐴𝑂𝐵= 180°−56° = 124°，
∵𝐴𝐶,𝐵𝐷是角平分线
∴∠𝐶𝐴𝐵+ ∠𝐶𝐵𝐴=
1
2(∠𝑂𝐴𝐵+ ∠𝑂𝐵𝐴) =
1
2 × 124° = 62°，
在△𝐴𝐵𝐶中，∠𝐶= 180°−(∠𝐶𝐴𝐵+ ∠𝐶𝐵𝐴) = 180°−62° = 118°；
如图所示，
∵∠𝑋𝑂𝑌是△𝐴𝑂𝐵的外角，
∴∠𝑂𝐴𝐵+ ∠𝑂𝐵𝐴= ∠𝑋𝑂𝑌= 56°，
∵𝐴𝐶,𝐵𝐷是角平分线
∴∠𝐶𝐴𝐵+ ∠𝐶𝐵𝐴=
1
2(∠𝑂𝐴𝐵+ ∠𝑂𝐵𝐴) =
1
2 × 56° = 28°
在△𝐴𝐵𝐶中，∠𝐶= 180°−(∠𝐶𝐴𝐵+ ∠𝐶𝐵𝐴) = 180°−28° = 152°；
综上所述，∠𝐴𝐶𝐵的度数为28°或62°或118°或152°，
故答案为：28°或62°或118°或152° ．
【变式10-2】如图，在四边形𝐴𝐵𝐶𝐷中，∠𝐷𝐴𝐵的角平分线与∠𝐴𝐵𝐶的外角平分线相交于点P，且
∠𝐷+ ∠𝐶= 210°，则∠𝑃= （ ）
A．10°
B．15°
C．30°
D．40°
【答案】B
【分析】本题主要考查三角形内角和定理，多边形的内角与外角，熟练掌握四边形内角和是解题的关键．根
据题意求出∠𝐷𝐴𝐵+ ∠𝐴𝐵𝐶= 150°，再根据角平分线的性质求出∠𝑃𝐴𝐵+ ∠𝐴𝐵𝑃的度数，故根据△𝐴𝐵𝑃的内
角和求出∠𝑃的度数．
【详解】解：∵ ∠𝐷+ ∠𝐶= 210°，
∠𝐷𝐴𝐵+ ∠𝐴𝐵𝐶+ ∠𝐶+ ∠𝐷= 360°，
∴ ∠𝐷𝐴𝐵+ ∠𝐴𝐵𝐶= 150°，
∵ ∠𝐷𝐴𝐵的角平分线与∠𝐴𝐵𝐶的外角平分线相交于点P，
∴∠𝑃𝐴𝐵+ ∠𝐴𝐵𝑃=
1
2∠𝐷𝐴𝐵+ ∠𝐴𝐵𝐶+
1
2(180°−∠𝐴𝐵𝐶) = 90° +
1
2(∠𝐷𝐴𝐵+ ∠𝐴𝐵𝐶) = 165°，
∴∠𝑃= 180°−(∠𝑃𝐴𝐵+ ∠𝐴𝐵𝑃）= 15°．
故选B．
【变式10-3】（25-26 八年级上·山东临沂·阶段检测）在△𝐴𝐵𝐶中，∠𝐴𝐵𝐶，∠𝐴𝐶𝐵的平分线交于点O，∠𝐴𝐶𝐵
的外角平分线所在直线与∠𝐴𝐵𝐶的平分线相交于点D，与∠𝐴𝐵𝐶的外角平分线相交于点E，则下列结论一定正
确的是（ ）
①∠𝐵𝑂𝐶= 90° +
1
2∠𝐴；②∠𝐷=
1
2∠𝐴；③∠𝐸= ∠𝐴；④∠𝐸+ ∠𝐷𝐶𝐹= 90° + ∠𝐴𝐵𝐷．
A．①②③
B．①③④
C．②③④
D．①②④
【答案】D
【分析】本题主要考查三角形的内角和定理、角平分线的定义、三角形外角的性质等知识点，熟练掌握角
平分线的定义和三角形的外角性质是解题的关键．
由角平分线的定义可得∠𝑂𝐵𝐶+ ∠𝑂𝐶𝐵=
1
2(∠𝐴𝐵𝐶+ ∠𝐴𝐶𝐵)，再由三角形的内角和定理可得∠𝐵𝑂𝐶= 90° +
1
2
∠𝐴，即可判定①；由角平分线的定义可得∠𝐷𝐶𝐹=
1
2∠𝐴𝐶𝐹，结合三角形外角的性质可判定②；由三角形外
角的性质可得∠𝑀𝐵𝐶+ ∠𝑁𝐶𝐵= 180° + ∠𝐴，再利用角平分线的定义及三角形的内角和定理可判定③；利用
三角形外角的性质可得∠𝐸+ ∠𝐷𝐶𝐹= 90° + ∠𝐴𝐵𝐷即可判定④．
【详解】解：∵∠𝐴𝐵𝐶，∠𝐴𝐶𝐵的平分线交于点O，
∴∠𝐴𝐵𝐷= ∠𝑂𝐵𝐶=
1
2∠𝐴𝐵𝐶，∠𝑂𝐶𝐵= ∠𝐴𝐶𝑂=
1
2∠𝐴𝐶𝐵，
∴∠𝑂𝐵𝐶+ ∠𝑂𝐶𝐵=
1
2(∠𝐴𝐵𝐶+ ∠𝐴𝐶𝐵)
= 1
2 (180°−∠𝐴)
= 90°−
1
2∠𝐴，
∴∠𝐵𝑂𝐶= 180°−(∠𝑂𝐵𝐶+ ∠𝑂𝐶𝐵) = 180°−90°−
1
2 ∠𝐴= 90° +
1
2∠𝐴，故①正确，
∵𝐶𝐷平分∠𝐴𝐶𝐹，
∴∠𝐷𝐶𝐹=
1
2∠𝐴𝐶𝐹，
∵∠𝐴𝐶𝐹= ∠𝐴𝐵𝐶+ ∠𝐴，∠𝐷𝐶𝐹= ∠𝑂𝐵𝐶+ ∠𝐷，
∴2∠𝑂𝐵𝐶+ 2∠𝐷= ∠𝐴𝐵𝐶+ ∠𝐴，
∴∠𝐷=
1
2∠𝐴，故②正确．
∵∠𝑀𝐵𝐶= ∠𝐴+ ∠𝐴𝐶𝐵，∠𝐵𝐶𝑁= ∠𝐴+ ∠𝐴𝐵𝐶，∠𝐴𝐶𝐵+ ∠𝐴+ ∠𝐴𝐵𝐶= 180°，
∴∠𝑀𝐵𝐶+ ∠𝑁𝐶𝐵= ∠𝐴+ ∠𝐴𝐶𝐵+ ∠𝐴𝐵𝐶+ ∠𝐴= 180° + ∠𝐴，
∵𝐵𝐸平分∠𝑀𝐵𝐶，𝐶𝐸平分∠𝐵𝐶𝑁，
∴∠𝑀𝐵𝐶= 2∠𝐸𝐵𝐶，∠𝐵𝐶𝑁= 2∠𝐵𝐶𝐸，
∴∠𝐸𝐵𝐶+ ∠𝐸𝐶𝐵= 90° +
1
2∠𝐴，
∴∠𝐸= 180°−(∠𝐸𝐵𝐶+ ∠𝐸𝐶𝐵) = 180°−90° +
1
2 ∠𝐴= 90°−
1
2∠𝐴，故③错误；
∵∠𝐷𝐶𝐹= ∠𝐷𝐵𝐶+ ∠𝐷，
∴∠𝐸+ ∠𝐷𝐶𝐹= 90°−
1
2∠𝐴+ ∠𝐷𝐵𝐶+
1
2∠𝐴= 90° + ∠𝐷𝐵𝐶，
∵∠𝐴𝐵𝐷= ∠𝐷𝐵𝐶，
∴∠𝐸+ ∠𝐷𝐶𝐹= 90° + ∠𝐴𝐵𝐷．故④正确．
综上正确的有：①②④．
故选D．
模型11：8 字形双角平分线夹角模型
条件：AP 平分∠𝐵𝐴𝐷，CP 平分∠𝐵𝐶𝐷．
结论：∠𝑃= 1
2(∠𝐵+ ∠𝐷)．
【模型11 8 字形双角平分线夹角模模型】
【例11】如图1，已知线段𝐴𝐵、𝐶𝐷相交于点O，连接𝐴𝐶、𝐵𝐷，则我们把形如这样的图形称为“8 字型”．
(1)由图1 可知：∠𝐴+ ______ = ∠𝐵+ ∠𝐷；
(2)如图2，若∠𝐶𝐴𝐵和∠𝐵𝐷𝐶的平分线𝐴𝑃和𝐷𝑃相交于点P，与𝐶𝐷、𝐴𝐵分别相交于点M、N．
①以线段𝐴𝐶为边的“8 字型”有______个，以点𝑂为交点的“8 字型”有______个；
②若∠𝐵= 100°，∠𝐶= 120°，求∠𝑃的度数；
③若角平分线中角的关系改为“∠𝐶𝐴𝐵= 𝑛∠𝐶𝐴𝑃，∠𝐶𝐷𝐵= 𝑛∠𝐶𝐷𝑃”，试探究∠𝑃与∠𝐵、∠𝐶之间存在的数量
关系（用含n 的等式来表示），并证明理由．
(3)如图3，在四边形𝐴𝐵𝐶𝐷中，𝐴𝐷∥𝐵𝐶，𝐴𝐵∥𝐶𝐷，若点E 是𝐴𝐵延长线上的一点，𝐷𝐸交𝐶𝐵于点F，分别作
∠𝐹𝐷𝐶、∠𝐴𝐵𝐶的角平分线，两条角平分线交于点G，直线𝐺𝐵交𝐶𝐷于点M，若∠𝐷𝐹𝐶= 110°，则∠𝐷𝐺𝐵= ______
°．
【答案】(1)∠𝐶
(2)①3，4；②110°；③𝑛∠𝑃= ∠𝐵+ (𝑛−1)∠𝐶，理由见解析
(3)125
【分析】（1）根据对顶角相等可得∠𝐴𝑂𝐶= ∠𝐵𝑂𝐷，再根据三角形的内角和定理求解即可得；
（2）①根据“8 字型”的定义即可得；
②根据“8 字型”的定义可得∠𝑃+ ∠𝐶𝐷𝑃= ∠𝐶+ ∠𝐶𝐴𝑃，∠𝑃+ ∠𝐵𝐴𝑃= ∠𝐵+ ∠𝐵𝐷𝑃，从而可得
2∠𝑃+ ∠𝐵𝐴𝑃+ ∠𝐶𝐷𝑃= ∠𝐵+ ∠𝐶+ ∠𝐶𝐴𝑃+ ∠𝐵𝐷𝑃，再根据角平分线的定义可得∠𝐵𝐴𝑃= ∠𝐶𝐴𝑃，
∠𝐶𝐷𝑃= ∠𝐵𝐷𝑃，从而可得2∠𝑃= ∠𝐵+ ∠𝐶，由此即可得；
③先求出𝑛∠𝐶𝐴𝑃+ ∠𝐶= ∠𝐵+ 𝑛∠𝐶𝐷𝑃，∠𝐵𝐴𝑃= (𝑛−1)∠𝐶𝐴𝑃，∠𝐵𝐷𝑃= (𝑛−1)∠𝐶𝐷𝑃，从而可得
∠𝐶𝐷𝑃−∠𝐶𝐴𝑃=
1
𝑛(∠𝐶−∠𝐵)，再根据2∠𝑃+ ∠𝐵𝐴𝑃+ ∠𝐶𝐷𝑃= ∠𝐵+ ∠𝐶+ ∠𝐶𝐴𝑃+ ∠𝐵𝐷𝑃计算即可得；
（3）根据平行线的性质求出∠𝐴𝐵𝐶= ∠𝐴𝐷𝐶，设∠𝐹𝐷𝐶= 2𝑥(𝑥> 0)，则∠𝐴𝐵𝐶= ∠𝐴𝐷𝐶= 110° + 2𝑥，再根
据角平分线的定义可得∠𝐴𝐵𝑀= 55° + 𝑥，∠𝐺𝐷𝑀= 𝑥，然后根据平行线的性质可得∠𝐷𝑀𝐺= 125°−𝑥，最后
根据三角形的外角性质求解即可得．
【详解】（1）解：∵∠𝐴+ ∠𝐶+ ∠𝐴𝑂𝐶= ∠𝐵+ ∠𝐷+ ∠𝐵𝑂𝐷= 180°，∠𝐴𝑂𝐶= ∠𝐵𝑂𝐷，
∴∠𝐴+ ∠𝐶= ∠𝐵+ ∠𝐷，
故答案为：∠𝐶．
（2）解：①线段𝐶𝐷,𝐴𝑃相交于点𝑀，连接𝐴𝐶,𝐷𝑃，这是一个“8 字型”，
线段𝐶𝐷,𝐴𝐵相交于点𝑂，连接𝐴𝐶,𝐷𝐵，这是一个“8 字型”，
线段𝐶𝐷,𝐴𝑁相交于点𝑂，连接𝐴𝐶,𝐷𝑁，这是一个“8 字型”，
线段𝐴𝐵,𝐷𝑀相交于点𝑂，连接𝐴𝑀,𝐵𝐷，这是一个“8 字型”，
线段𝐴𝑁,𝐷𝑀相交于点𝑂，连接𝐴𝑀,𝐷𝑁，这是一个“8 字型”，
故答案为：3，4；
②以𝑀为交点“8 字型”中，有∠𝑃+ ∠𝐶𝐷𝑃= ∠𝐶+ ∠𝐶𝐴𝑃，
以𝑁为交点“8 字型”中，有∠𝑃+ ∠𝐵𝐴𝑃= ∠𝐵+ ∠𝐵𝐷𝑃，
∴2∠𝑃+ ∠𝐵𝐴𝑃+ ∠𝐶𝐷𝑃= ∠𝐵+ ∠𝐶+ ∠𝐶𝐴𝑃+ ∠𝐵𝐷𝑃，
∵𝐴𝑃,𝐷𝑃分别平分∠𝐶𝐴𝐵和∠𝐵𝐷𝐶，
∴∠𝐵𝐴𝑃= ∠𝐶𝐴𝑃，∠𝐶𝐷𝑃= ∠𝐵𝐷𝑃，
∴2∠𝑃= ∠𝐵+ ∠𝐶，
∵∠𝐵= 100°，∠𝐶= 120°，
∴∠𝑃=
1
2(∠𝐵+ ∠𝐶) =
1
2 × (100° + 120°) = 110°；
③𝑛∠𝑃= ∠𝐵+ (𝑛−1)∠𝐶，理由如下：
由（1）可知，∠𝐶𝐴𝐵+ ∠𝐶= ∠𝐵+ ∠𝐶𝐷𝐵，
∵∠𝐶𝐴𝐵= 𝑛∠𝐶𝐴𝑃，∠𝐶𝐷𝐵= 𝑛∠𝐶𝐷𝑃，
∴𝑛∠𝐶𝐴𝑃+ ∠𝐶= ∠𝐵+ 𝑛∠𝐶𝐷𝑃，∠𝐵𝐴𝑃= (𝑛−1)∠𝐶𝐴𝑃，∠𝐵𝐷𝑃= (𝑛−1)∠𝐶𝐷𝑃，
∴∠𝐶𝐷𝑃−∠𝐶𝐴𝑃=
1
𝑛(∠𝐶−∠𝐵)，
由（2）②可知，2∠𝑃+ ∠𝐵𝐴𝑃+ ∠𝐶𝐷𝑃= ∠𝐵+ ∠𝐶+ ∠𝐶𝐴𝑃+ ∠𝐵𝐷𝑃，
∴2∠𝑃+ (𝑛−1)∠𝐶𝐴𝑃+ ∠𝐶𝐷𝑃= ∠𝐵+ ∠𝐶+ ∠𝐶𝐴𝑃+ (𝑛−1)∠𝐶𝐷𝑃，
∴2∠𝑃= ∠𝐵+ ∠𝐶+ (𝑛−2)∠𝐶𝐷𝑃−(𝑛−2)∠𝐶𝐴𝑃
= ∠𝐵+ ∠𝐶+ (𝑛−2) (∠𝐶𝐷𝑃−∠𝐶𝐴𝑃)
= ∠𝐵+ ∠𝐶+
𝑛−2
𝑛(∠𝐶−∠𝐵)，
∴𝑛∠𝑃= ∠𝐵+ (𝑛−1)∠𝐶．
（3）解：∵𝐴𝐷∥𝐵𝐶，∠𝐷𝐹𝐶= 110°，
∴∠𝐴𝐷𝐹= ∠𝐷𝐹𝐶= 110°，∠𝐴𝐷𝐶+ ∠𝐶= 180°，
∵𝐴𝐵∥𝐶𝐷，
∴∠𝐴𝐵𝐶+ ∠𝐶= 180°，
∴∠𝐴𝐵𝐶= ∠𝐴𝐷𝐶，
设∠𝐹𝐷𝐶= 2𝑥(𝑥> 0)，
∴∠𝐴𝐵𝐶= ∠𝐴𝐷𝐶= 110° + 2𝑥，
∵𝐷𝐺是∠𝐹𝐷𝐶的角平分线，𝐵𝑀是∠𝐴𝐵𝐶的角平分线，
∴∠𝐺𝐷𝑀=
1
2∠𝐹𝐷𝐶= 𝑥，∠𝐴𝐵𝑀=
1
2∠𝐴𝐵𝐶= 55° + 𝑥，
又∵𝐴𝐵∥𝐶𝐷，
∴∠𝐷𝑀𝐺= 180°−∠𝐴𝐵𝑀= 125°−𝑥，
∴∠𝐷𝐺𝐵= ∠𝐺𝐷𝑀+ ∠𝐷𝑀𝐺= 125°，
故答案为：125．
【点睛】本题考查了平行线的性质、三角形的内角和定理、三角形的外角性质、角平分线等知识点，熟练
掌握三角形的内角和定理是解题关键．
【变式11-1】如图，𝐴𝐵和𝐶𝐷相交于点O，∠𝐶= ∠𝐶𝑂𝐴,∠𝐵𝐷𝐶= ∠𝐵𝑂𝐷,𝐴𝑃,𝐷𝑃分别平分∠𝐶𝐴𝑂和∠𝐵𝐷𝐶，若
∠𝐶+ ∠𝑃+ ∠𝐵= 165°，则∠𝐶= ____°．
【答案】70
【分析】根据三角形内角和定理可得∠𝐵= ∠𝐶𝐴𝑂，设∠𝐶= ∠𝐶𝑂𝐴= ∠𝐵𝐷𝐶= ∠𝐵𝑂𝐷= 𝑥，则
∠𝐵= ∠𝐶𝐴𝑂= 180°−2𝑥，再由𝐴𝑃,𝐷𝑃分别平分∠𝐶𝐴𝑂和∠𝐵𝐷𝐶，可得∠𝑂𝐴𝑃=
1
2∠𝑂𝐴𝐶= 90°−𝑥，∠𝐵𝐷𝑃=
1
2
∠𝑂𝐷𝐵=
1
2𝑥，再根据三角形内角和定理可得∠𝑃+ ∠𝑂𝐴𝑃= ∠𝐵𝐷𝑃+ ∠𝐵，从而得到∠𝑃= 90°−
5
2𝑥，然后根据
∠𝐶+ ∠𝑃+ ∠𝐵= 165°得到关于x 的方程，即可求解．
【详解】解：如图，
∵∠𝐶= ∠𝐶𝑂𝐴,∠𝐵𝐷𝐶= ∠𝐵𝑂𝐷，
∴∠𝐶= ∠𝐶𝑂𝐴= ∠𝐵𝐷𝐶= ∠𝐵𝑂𝐷，
∴∠𝐶+ ∠𝐶𝑂𝐴+ ∠𝑂𝐴𝐶= 180°,∠𝐵𝐷𝐶+ ∠𝐵𝑂𝐷+ ∠𝐵= 180°，
∴∠𝐵= ∠𝐶𝐴𝑂，
设∠𝐶= ∠𝐶𝑂𝐴= ∠𝐵𝐷𝐶= ∠𝐵𝑂𝐷= 𝑥，则∠𝐵= ∠𝐶𝐴𝑂= 180°−2𝑥，
∵𝐴𝑃,𝐷𝑃分别平分∠𝐶𝐴𝑂和∠𝐵𝐷𝐶，
∴∠𝑂𝐴𝑃=
1
2∠𝑂𝐴𝐶= 90°−𝑥，∠𝐵𝐷𝑃=
1
2∠𝑂𝐷𝐵=
1
2𝑥，
∵∠𝑃+ ∠𝑂𝐴𝑃+ ∠𝐴𝐸𝑃= 180° = ∠𝐵𝐷𝑃+ ∠𝐵+ ∠𝐵𝐸𝐷，∠𝐴𝐸𝑃= ∠𝐵𝐸𝐷，
∴∠𝑃+ ∠𝑂𝐴𝑃= ∠𝐵𝐷𝑃+ ∠𝐵，
∴∠𝑃+ 90°−𝑥=
1
2𝑥+ 180°−2𝑥，
∴∠𝑃= 90°−
1
2𝑥，
∵∠𝐶+ ∠𝑃+ ∠𝐵= 165°
∴𝑥+ 90°−
1
2𝑥+ 180°−2𝑥= 165°，
解得：𝑥= 70°，
即∠𝐶= 70°．
故答案为：70
【点睛】本题主要考查了三角形内角和定理，一元一次方程的应用，利用参数思想构建方程是解题的关键．
【变式11-2】阅读材料：
如图1 所示，线段𝐴𝐵与𝐶𝐷相交于点𝑂，称△𝐴𝑂𝐶与△𝐷𝑂𝐵为“对顶三角形”，根据三角形内角和定理知“对
顶三角形”有如下性质：∠𝐴+ ∠𝐶= ∠𝐵+ ∠𝐷．
（图1） （图
2） （图3）
（1）如图2 所示，线段𝐴𝐵与𝐶𝐷相交于点𝑂，∠𝐶𝐴𝑂与∠𝐵𝐷𝑂的平分线𝐴𝑃和𝐷𝑃相交于点𝑃，𝐴𝑃交𝐶𝐷于点𝑀，𝐷𝑃
交𝐴𝐵于点𝑁，已知∠𝐵= 96°，∠𝐶= 98°，则∠𝑃的度数是__________．
（2）如图3 所示，∠𝐴+ ∠𝐵+ ∠𝐶+ ∠𝐷+ ∠𝐸+ ∠𝐹= __________．
【答案】
97°/97 度
360°/360 度
【分析】（1）根据角平分线的定义得出∠𝐶𝐴𝑃= ∠𝐵𝐴𝑃，∠𝐵𝐷𝑃= ∠𝐶𝐷𝑃，根据“对顶三角形”的性质，得出
∠𝐶𝐴𝑃+ ∠𝐶= ∠𝐶𝐷𝑃+ ∠𝑃①，∠𝐵𝐴𝑃+ ∠𝑃= ∠𝐵𝐷𝑃+ ∠𝐵②，则①−②得到∠𝐶−∠𝑃= ∠𝑃−∠𝐵，即可求解；
（2）连接𝐴𝐷，如图，可知：∠𝐸𝐷𝐴+ ∠𝐹𝐴𝐷= ∠𝐸+ ∠𝐹，根据等量代换和四边形内角和即可求解．
【详解】解：（1）∵∠𝐶𝐴𝐵和∠𝐵𝐷𝐶的平分线𝐴𝑃和𝐷𝑃相交于点𝑃，
∴∠𝐶𝐴𝑃= ∠𝐵𝐴𝑃，∠𝐵𝐷𝑃= ∠𝐶𝐷𝑃，
∵∠𝐶𝐴𝑃+ ∠𝐶= ∠𝐶𝐷𝑃+ ∠𝑃①，∠𝐵𝐴𝑃+ ∠𝑃= ∠𝐵𝐷𝑃+ ∠𝐵②，
①−②得：∠𝐶−∠𝑃= ∠𝑃−∠𝐵，
即∠𝑃=
1
2(∠𝐶+ ∠𝐵)，
∵∠𝐵= 96°，∠𝐶= 98°，
∴∠𝑃=
1
2(98° + 96°) = 97°．
故答案为：97°；
（2）连接𝐴𝐷，如图，
可知：∠𝐸𝐷𝐴+ ∠𝐹𝐴𝐷= ∠𝐸+ ∠𝐹，
∴∠𝐹𝐴𝐵+ ∠𝐵+ ∠𝐶+ ∠𝐶𝐷𝐸+ ∠𝐸+ ∠𝐹
= ∠𝐹𝐴𝐵+ ∠𝐵+ ∠𝐶+ ∠𝐶𝐷𝐸+ ∠𝐸𝐷𝐴+ ∠𝐹𝐴𝐷
= ∠𝐵𝐴𝐷+ ∠𝐵+ ∠𝐶+ ∠𝐶𝐷𝐴
= 360°，
故答案为：360°．
【点睛】本题考查多边形内角和，解题的关键是根据题中给出的思路，用等量代换将要求的角转化在同一
个多边形内，根据多边形的内角和求解即可．
【变式11-3】平面内，四条线段AB，BC，CD，DA 首尾顺次连接，∠ABC=24°，∠ADC=42°．
（1）∠BAD 和∠BCD 的角平分线交于点M（如图1），求∠AMC 的大小．
（2）点E 在BA 的延长线上，∠DAE 的平分线和∠BCD 平分线交于点N（如图2），求∠ANC．
【答案】（1）33°；（2）123°
【分析】（1）AM 与BC 交于E，AD 与MC 交于F，利用角平分线性质和三角形外角性质可得，∠𝐵𝐸𝑀是△𝐴𝐵𝐸
和△𝑀𝐶𝐸的外角，∠𝑀𝐹𝐷是△𝑀𝐴𝐹和△𝐹𝐶𝐷的外角，列出关于∠𝐴𝑀𝐶的方程组，计算得出∠𝐴𝑀𝐶的度数．
（2）AN 与BC 交于点G，AD 与BC 交于点F，根据角平分线性质和三角形外角性质可得，∠𝐵𝐹𝐷是△𝐴𝐵𝐹
和△𝐹𝐶𝐷的外角，∠𝐴𝐺𝐶是△𝑁𝐺𝐶和△𝐴𝐵𝐺的外角，列出关于∠𝐴𝑁𝐶的方程组，计算得出∠𝐴𝑁𝐶的度数．
【详解】解：（1）AM 与BC 相交于E，AD 与MC 相较于F，如图：
∵MA 和MC 是∠BAD 和∠BCD 的角平分线，
∴设∠BAM=∠MAD=a，∠BCM=∠MCD=b，
∵∠BEM 是△ABE 和△MCE 的外角，
∴∠M+∠BCM=∠B+∠BAM，
即：∠M+b=24°+a①，
又∵∠MFD 是△MAF 和△CDF 的外角，
可得∠M+a=42°+b②，
①式＋②式得2∠M=24°+42°，
解得：∠M=33°，
∴∠𝐴𝑀𝐶=33°．
（2）AN 与BC 相交于G，AD 与BC 相较于F，如图:
∵NA 和NC 是∠EAD 和∠BCD 的角平分线，
∴设∠EAN=∠NAD=m，∠BCN=∠NCD=n，
∵∠BFD 是△ABF 和△FCD 的外角，
∴∠B+∠BAD=∠D+∠BCD，
即：24°+(180°-2m）=42°+2n，
可得m+n=81°①，
又∵∠AGC 是△NGC 和△ABG 的外角，
可得∠N+n=24°+(180°-m），
得∠N=204°-（m+n）②，
①式代入②式，得∠N=204°-81°=123°，
∴∠𝐴𝑁𝐶= 123°．
【点睛】本题考查了角平分线的性质和三角形外角性质，用设未知数列方程组的方法计算角度是解题关键．
模型12：①燕尾形双角平分线夹角模型1
条件：BP 平分∠𝐴𝐵𝐷，CP 平分∠𝐴𝐶𝐷．
结论：∠𝑃= 1
2(∠𝐴+ ∠𝐷)．
②燕尾形双角平分线夹角模型2
条件：AP 平分∠𝐵𝐴𝐶，DP 平分∠𝐵𝐷𝐶(∠𝐶> ∠𝐵)．
结论：∠𝑃= 1
2(∠𝐶−∠𝐵)．
【模型12 燕尾形双角平分线夹角模模型】
【例12】如图，四边形𝐴𝐵𝐶𝐷中，∠𝐴𝐷𝐶= ∠𝐴𝐵𝐶= 90°，与∠𝐴𝐷𝐶，∠𝐴𝐵𝐶相邻的两外角的平分线交于点𝐸，
若∠𝐴= 50°，则∠𝐸的度数为（ ）
A．60°
B．50°
C．40°
D．30°
【答案】C
【分析】运用四边形的内角和等于360°，可求∠𝐷𝐶𝐵的度数，再利用角平分线的性质及三角形的外角性质可
求∠𝐸的度数．
【详解】解：如图，连接𝐸𝐶并延长，
∵ ∠𝐴𝐷𝐶= ∠𝐴𝐵𝐶= 90°，∠𝐴= 50°，
∴ ∠𝐷𝐶𝐵= 360°−90°−90°−50° = 130°，
∵ ∠𝐴𝐷𝐶、∠𝐴𝐵𝐶相邻的两外角平分线交于点𝐸，
∴ ∠𝐶𝐷𝐸= ∠𝐶𝐵𝐸= 45°，
∵ ∠1 = ∠𝐶𝐷𝐸+ ∠𝐷𝐸𝐶，∠2 = ∠𝐶𝐵𝐸+ ∠𝐵𝐸𝐶，
即∠𝐷𝐶𝐵= ∠𝐶𝐷𝐸+ ∠𝐶𝐵𝐸+ ∠𝐵𝐸𝐷= 130°
∴ ∠𝐸= 130°−45°−45° = 40°．
故选：C．
【点睛】本题运用四边形的内角和、角平分线的性质及三角形的外角性质，解题关键是准确计算．
【变式12-1】如图，在△𝐴𝐵𝐶中，∠𝐴= 60°，𝐵𝐷、𝐶𝐷分别平分∠𝐴𝐵𝐶和∠𝐴𝐶𝐵，𝐵𝐸，𝐶𝐸分别平分∠𝐷𝐵𝐶和
∠𝐷𝐶𝐵，则∠𝐵𝐸𝐶等于（ ）
A．140°
B．150°
C．165°
D．170°
【答案】B
【分析】本题考查三角形的内角和定理， 以及角的平分线的定义，熟练掌握相关知识点是解题的关键.
根据三角形内角平分线的交角的基本图形和解题方法即可得到答案.
【详解】解：∵∠𝐴= 60°,
∴∠𝐴𝐵𝐶+ ∠𝐴𝐶𝐵= 180°−∠𝐴= 180°−60° = 120°，
又∵𝐵𝐷、𝐶𝐷分别平分∠𝐴𝐵𝐶和 ∠𝐴𝐶𝐵，
∴∠𝐷𝐵𝐶=
1
2∠𝐴𝐵𝐶,∠𝐷𝐶𝐵=
1
2∠𝐴𝐶𝐵，
∴∠𝐷𝐵𝐶+ ∠𝐷𝐶𝐵=
1
2(∠𝐴𝐵𝐶+ ∠𝐴𝐶𝐵) = 60°，
∵𝐵𝐸,𝐶𝐸分别平分∠𝐷𝐵𝐶和∠𝐷𝐶𝐵，
∴∠𝐸𝐵𝐶=
1
2∠𝐷𝐵𝐶,∠𝐸𝐶𝐵=
1
2∠𝐷𝐶𝐵，
∴∠𝐸𝐵𝐶+ ∠𝐸𝐶𝐵=
1
2(∠𝐷𝐵𝐶+ ∠𝐷𝐶𝐵) = 30°，
∴∠𝐵𝐸𝐶= 180°−(∠𝐸𝐵𝐶+ ∠𝐸𝐶𝐵) = 150°，
故选B.
【变式12-2】如图，点B、C 在∠MAN 的两条边上运动，∠ABC 和∠ACB 的平分线的交于点O．
(1)如图1，若∠MAN=68°，点B、C 在运动过程中，∠BOC 的大小会改变吗？如果不会，请求出∠BOC 的度
数；如果会，请说明理由．
(2)如图2，若∠MAN=n，CH 是∠BCN 的平分线，CH 的反向延长线交BO 的延长线于点G，求∠G 的度数
（用含n 的式子表示）．
【答案】(1)∠BOC 的大小不变，124°
(2)∠G=
1
2n．
【分析】（1）根据三角形内角和定理得出∠ABC＋∠ACB=112°，由角平分线得出∠OBC＋∠OCB=56°，结合
三角形内角和定理即可求解；
（2）由角平分线得出∠CBG=
1
2∠ABC，∠BCH=
1
2∠BCN，利用三角形外角的性质结合图形求解即可．
【详解】（1）解：∠BOC 的大小不变．
∵在△ABC 中，∠BAC=68°，
∴∠ABC＋∠ACB=180°－68°=112°，
∵OB、OC 分别平分∠ABC 和∠ACB，
∴∠OBC=
1
2∠𝐴𝐵𝐶，∠OCB=
1
2∠𝐴𝐶𝐵
∴∠OBC＋∠OCB=
1
2(∠𝐴𝐵𝐶+ ∠𝐴𝐶𝐵) =
1
2 × 112° = 56°，
∴∠BOC=180°－（∠OBC＋∠OCB）=180°－56°=124°．
（2）∵OB、CH 分别平分∠ABC 和∠BCN，
∴∠CBG=
1
2∠ABC，∠BCH=
1
2∠BCN，
∵∠BCN 是△ABC 的外角，
所以∠MAN=∠BCN－∠CBA，
∵∠HCB 是△CBG 的外角，
∴∠G=∠HCB－∠CBG=
1
2∠BCN－
1
2∠ABC=
1
2（∠BCN－∠CBA）=
1
2∠MAN=
1
2n．
【点睛】题目主要考查角平分线的计算，三角形内角和定理及三角形外角的性质，理解题意，熟练掌握角
平分线的计算是解题关键．
【变式12-3】在图a 中，应用三角形外角的性质不难得到下列结论：∠BDC=∠A+∠ABD+∠ACD．我们可以应
用这个结论解决同类图形的角度问题．
(1)在图a 中，若∠1=20°，∠2=30°，∠BEC=100°，则∠BDC= ；
(2)在图a 中，若BE 平分∠ABD，CE 平分∠ACD，BE 与CE 交于E 点，请写出∠BDC，∠BEC 和∠BAC 之间
的关系；并说明理由．
(3)如图b，若∠1 =
1
3∠𝐴𝐵𝐷，∠2 =
1
3∠𝐴𝐶𝐷试探索∠BDC，∠BEC 和∠BAC 之间的关系．（直接写出）
【答案】(1)150°
(2)∠BDC+∠BAC=2∠BEC
(3)2∠BDC+∠BAC=3∠BEC
【分析】（1）根据题目给出的条件可得：∠𝐵𝐷𝐶= ∠1 + ∠2 + ∠𝐵𝐸𝐶= 150°；
（2）根据题意得出∠BDC=∠BEC+∠1+∠2，∠BEC=∠BAC+∠ABE+∠ACE，再根据BE 平分∠ABD，CE 平分
∠ACD，得出∠ABE=∠1，∠ACE=∠2，然后进行化简即可得出结论；
（3）先根据题意得出∠BDC=∠BEC+∠1+∠2，∠BEC=∠BAC+∠ABE+∠ACE，再根据∠1 =
1
3∠𝐴𝐵𝐷，∠2 =
1
3
∠𝐴𝐶𝐷，得出∠BEC=∠BAC+2∠1+2∠2，整理化简即可得出结论．
【详解】（1）解：∵∠1=20°，∠2=30°，∠BEC=100°，
∴∠𝐵𝐷𝐶= ∠1 + ∠2 + ∠𝐵𝐸𝐶= 150°．
故答案为：150°．
（2）由题意可知，∠BDC=∠BEC+∠1+∠2，①
∠BEC=∠BAC+∠ABE+∠ACE，②
∵BE 平分∠ABD，CE 平分∠ACD，
∴∠ABE=∠1，∠ACE=∠2，
①-②得∠BDC-∠BEC=∠BEC-∠BAC，
即∠BDC+∠BAC=2∠BEC．
（3）由题意可知，∠BDC=∠BEC+∠1+∠2，③
∠BEC=∠BAC+∠ABE+∠ACE，④
∵∠1=
1
3∠ABD，∠2=
1
3∠ACD，
∴∠ABE=2∠1，∠ACE=2∠2．
由④得∠BEC=∠BAC+2∠1+2∠2，⑤
③×2-⑤得2∠BDC-∠BEC=2∠BEC-∠BAC，
即2∠BDC+∠BAC=3∠BEC．
【点睛】本题主要考查了角平分线的定义，三角形外角的性质，理解题意，充分利用数形结合的思想，是
解题的关键．
