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专题02 添加辅助线构造全等八种方法（举一反三专项训练）
【新教材人教版】
【题型1 连接两点构造全等】................................................................................................................................2
【题型2 延长线段构造全等】................................................................................................................................5
【题型3 作垂线构造全等】..................................................................................................................................10
【题型4 作平行线构造全等】..............................................................................................................................15
【题型5 倍长中线构造全等】..............................................................................................................................21
【题型6 截长构造全等】......................................................................................................................................28
【题型7 补短构造全等】......................................................................................................................................35
【题型8 旋转构造全等】......................................................................................................................................42
找全等三角形的方法：
（1）可以从结论出发，看要证明相等的两条线段（或角）分别在哪两个可能全等的三角形中；
（2）可以从已知条件出发，看已知条件可以确定哪两个三角形相等；
（3）从条件和结论综合考虑，看它们能一同确定哪两个三角形全等；
（4）若上述方法均不行，可考虑添加辅助线，构造全等三角形．
三角形中常见辅助线的作法：
①延长中线构造全等三角形；
②利用翻折，构造全等三角形；
③引平行线构造全等三角形；
④作连线构造等腰三角形．
常见辅助线的作法有以下几种：
1）遇到等腰三角形，可作底边上的高，利用“三线合一”的性质解题，思维模式是全等变换中的“对
折”．
2）遇到三角形的中线，倍长中线，使延长线段与原中线长相等，构造全等三角形，利用的思维模式是全等
变换中的“旋转”．
3）遇到角平分线，可以自角平分线上的某一点向角的两边作垂线，利用的思维模式是三角形全等变换中的
“对折”，所考知识点常常是角平分线的性质定理或逆定理．
题型归纳
4）过图形上某一点作特定的平分线，构造全等三角形，利用的思维模式是全等变换中的“平移”或“翻转
折叠”．
5）截长法与补短法，具体做法是在某条线段上截取一条线段与特定线段相等，或是将某条线段延长，是之
与特定线段相等，再利用三角形全等的有关性质加以说明．这种作法，适合于证明线段的和、差、倍、分
等类的题目．
特殊方法：在求有关三角形的定值一类的问题时，常把某点A 提取文字备更多点的线段连接起来，利用三
角形面积的知识解答．
【题型1 连接两点构造全等】
【例1】如图，已知：𝐴𝐵= 𝐴𝐶，𝐵𝐷= 𝐶𝐷，∠𝐴= 60°，∠𝐷= 140°，则∠𝐵= （ ）
A．50∘
B．40∘
C．40∘或70∘
D．30∘
【答案】B
【分析】连接𝐴𝐷，可证△𝐴𝐵𝐷≌△𝐴𝐶𝐷，根据全等三角形对应角相等可以得到∠𝐵𝐴𝐷= ∠𝐶𝐴𝐷=
1
2∠𝐵𝐴𝐶，
∠𝐴𝐷𝐵= ∠𝐴𝐷𝐶，代入角度即可求出∠𝐵𝐴𝐷和∠𝐴𝐷𝐵的度数，最后利用三角形内角和定理即可求解．
【详解】连接𝐴𝐷，如图，
在△𝐴𝐵𝐷与△𝐴𝐶𝐷中
𝐴𝐵= 𝐴𝐶
𝐵𝐷= 𝐶𝐷
𝐴𝐷= 𝐴𝐷
，
∴ △𝐴𝐵𝐷≌△𝐴𝐶𝐷 (𝑆𝑆𝑆)，
∴ ∠𝐵𝐴𝐷= ∠𝐶𝐴𝐷=
1
2∠𝐵𝐴𝐶，∠𝐴𝐷𝐵= ∠𝐴𝐷𝐶，
∵ ∠𝐴= 60∘，
∴ ∠𝐵𝐴𝐷= ∠𝐶𝐴𝐷= 30∘，
∵ ∠𝐷= 140∘，
∴ ∠𝐴𝐷𝐵= ∠𝐴𝐷𝐶=
1
2(360∘−140∘) = 110∘，
∵ ∠𝐵𝐴𝐷+ ∠𝐴𝐷𝐵+ ∠𝐵= 180∘，
∴ ∠𝐵= 40∘．
故选：B．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，三角形内角和定理，添加正确的辅助线是解题的关键．
【变式1-1】如图，把两根钢条的中点连在一起，可以做成一个测量工件内槽宽的工具（卡钳）在图中，只
要量出𝐶𝐷的长，就能求出工件内槽的宽𝐴𝐵的长，依据是____________．
【答案】全等三角形的对应边相等
【分析】连接AB，𝐶𝐷，可以证△AOB≌△COD（SAS），依据全等三角形的对应边相等得𝐶𝐷= 𝐴𝐵所以测量
CD 的长也就等于测量了工件内槽AB 的长．
【详解】解：连接AB，𝐶𝐷，如图，
∵点O 分别是AC、BD 的中点，
∴OA＝OC，OB＝OD．
在△AOB 和△COD 中，
OA＝OC，∠AOB＝∠COD（对顶角相等），OB＝OD，
∴△AOB≌△COD（SAS）．
∴CD＝AB（全等三角形的对应边相等）．
故答案为：全等三角形的对应边相等．
【点睛】本题考查全等三角形的应用，在实际生活中，对于难以实地测量的线段，常常通过两个全等三角
形，转化需要测量的线段到易测量的边上或者已知边上来，从而求解．
【变式1-2】如图，𝐴𝐵= 𝐴𝐸，∠𝐴𝐵𝐶= ∠𝐴𝐸𝐷，𝐵𝐶= 𝐸𝐷，点F 是𝐶𝐷的中点．求证：𝐴𝐹⊥𝐶𝐷
【答案】见解析
【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质．连接𝐴𝐶,𝐴𝐷，证明
△𝐴𝐵𝐶≌△𝐴𝐸𝐷，得到𝐴𝐶= 𝐴𝐷，再利用三线合一即可得证．解题的关键是添加辅助线，构造全等三角形．
【详解】证明：连接𝐴𝐶,𝐴𝐷，
∵𝐴𝐵= 𝐴𝐸，∠𝐴𝐵𝐶= ∠𝐴𝐸𝐷，𝐵𝐶= 𝐸𝐷，
∴△𝐴𝐵𝐶≌△𝐴𝐸𝐷，
∴𝐴𝐶= 𝐴𝐷，
∵点F 是𝐶𝐷的中点，
∴𝐴𝐹⊥𝐶𝐷．
【变式1-3】（25-26 八年级上·北京·阶段检测）如图，D 为等腰三角形𝐴𝐵𝐶内一点，𝐴𝐶= 𝐵𝐶= 𝐵𝑃，
𝐴𝐷= 𝐵𝐷，∠𝐷𝐵𝑃= ∠𝐷𝐵𝐶，∠𝐶= 62°，则∠𝐵𝑃𝐷的度数为______°．
【答案】31
【分析】本题考查了等腰三角形的定义，全等三角形的判定与性质，先根据SSS证明△𝐵𝐶𝐷≌△𝐴𝐶𝐷，得出
∠𝐵𝐶𝐷= ∠𝐴𝐶𝐷= 31°，然后根据SAS证明△𝐵𝐶𝐷≌△𝐵𝑃𝐷，即可得出结论．
【详解】解：连接𝐶𝐷，
在△𝐵𝐶𝐷和△𝐴𝐶𝐷中，
∵
𝐴𝐷= 𝐵𝐷
𝐶𝐷= 𝐶𝐷
𝐵𝐶= 𝐴𝐶
，
∴△𝐵𝐶𝐷≌△𝐴𝐶𝐷(SSS)，
∴∠𝐵𝐶𝐷= ∠𝐴𝐶𝐷=
1
2∠𝐴𝐶𝐵= 31°，
在△𝐵𝐶𝐷和△𝐵𝑃𝐷中，
∵
𝐵𝐷= 𝐵𝐷
∠𝐷𝐵𝑃= ∠𝐷𝐵𝐶
𝐵𝐶= 𝐵𝑃
，
∴△𝐵𝐶𝐷≌△𝐵𝑃𝐷(SAS)，
∴∠𝐵𝑃𝐷= ∠𝐵𝐶𝐷= 31°，
故答案为：31．
【题型2 延长线段构造全等】
【例2】如图，已知𝐴𝑃//𝐵𝐶，点𝐸是𝐷𝐶的中点，且𝐴𝐷+ 𝐵𝐶= 𝐴𝐵，求证：𝐴𝐸⊥𝐵𝐸．
【答案】证明见解析
【分析】延长AE、BC 交于点M，利用AAS 证出△ADE≌△MCE，从而得出AD=MC，AE=ME，结合已知条件
即可证出BM=AB，再利用SSS 即可证出△BAE≌△BME，从而得出∠BEA=∠BEM，根据垂直定义即可证出结论．
【详解】解：延长AE、BC 交于点M，如下图所示
∵点𝐸是𝐷𝐶的中点，
∴DE=CE，
∵𝐴𝑃//𝐵𝐶
∴∠1=∠M
在△ADE 和△MCE 中
{
∠1 = ∠𝑀
∠5 = ∠6
𝐷𝐸= 𝐶𝐸
∴△ADE≌△MCE
∴AD=MC，AE=ME
∵𝐴𝐷+ 𝐵𝐶= 𝐴𝐵
∴MC＋BC=AB
∴BM=AB
在△BAE 和△BME 中
{
𝐴𝐸= 𝑀𝐸
𝐵𝐸= 𝐵𝐸
𝐵𝐴= 𝐵𝑀
∴△BAE≌△BME
∴∠BEA=∠BEM
∵∠BEA＋∠BEM=180°
∴∠BEA=∠BEM=90°
∴𝐴𝐸⊥𝐵𝐸
【点睛】此题考的是全等三角形的判定及性质、平行线的性质和垂直的定义，掌握全等三角形的判定及性
质、平行线的性质和垂直的定义是解题关键．
【变式2-1】如图，四边形ABCD 中，E 是DC 的中点，连接AE，AE 平分∠DAB，∠D＝∠C＝90°，AD＝4BC
＝8，则线段AB 的长为__．
【答案】10
【分析】延长AE、BC 交于点F，再根据ASA 证明△ADE≌△FEC，得CF＝AD＝8、∠DAE＝∠F，然后结合
角平分线的定义得∠BAE＝∠F，最后根据等角对等边即可解答．
【详解】解：如图，延长AE、BC 交于点F，
∵E 是DC 的中点，
∴DE＝CE，
在△ADE 和△FEC 中，
∠𝐷= ∠𝐸𝐶𝐹
𝐷𝐸= 𝐶𝐸
∠𝐴𝐸𝐷= ∠𝐹𝐸𝐶
∴△ADE≌△FEC（ASA），
∴CF＝AD＝8，∠DAE＝∠F，
∵AD＝4BC＝8
∴BC=2
∴BF=BC+CF=2+8=10
∵AE 平分∠DAB，
∴∠DAE＝∠BAE，
∴∠F＝∠BAE，
∴AB＝BF，
∴BF＝AB＝10，
故填10．
【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定与性质、角平分线的定义等知识点，正确作出辅助线、构造全
等三角形成为解答本题的关键．
【变式2-2】如图，点E 是△ABC 内一点，∠AEB=90°，AE 平分∠BAC，D 是边AB 的中点，延长线段DE 交
边BC 于点F，若AB=6，EF=1，则线段AC 的长为（ ）
A．7
B．8
C．9
D．10
【答案】B
【分析】延长𝐵𝐸交𝐴𝐶于𝐻，证明Δ𝐻𝐴𝐸≅Δ𝐵𝐴𝐸，根据全等三角形的性质求出𝐴𝐻，根据三角形中位线定理解
答即可．
【详解】解：延长𝐵𝐸交𝐴𝐶于𝐻，
∵𝐴𝐸平分∠𝐵𝐴𝐶，
∴∠𝐻𝐴𝐸= ∠𝐵𝐴𝐸，
在Δ𝐻𝐴𝐸和Δ𝐵𝐴𝐸中，
∠𝐻𝐴𝐸= ∠𝐵𝐴𝐸
𝐴𝐸= 𝐴𝐸
∠𝐴𝐸𝐻= ∠𝐴𝐸𝐵
，
∴Δ𝐻𝐴𝐸≅Δ𝐵𝐴𝐸(𝐴𝑆𝐴)，
∴𝐴𝐻= 𝐴𝐵= 6，𝐻𝐸= 𝐵𝐸，
∵𝐻𝐸= 𝐵𝐸，𝐴𝐷= 𝐷𝐵，
∴𝐷𝐹//𝐴𝐶，
∵𝐻𝐸= 𝐵𝐸，
∴𝐻𝐶= 2𝐸𝐹= 2，
∴𝐴𝐶= 𝐴𝐻+ 𝐻𝐶= 8，
故选：B．
【点睛】本题考查的是全等三角形的判定和性质、三角形中位线定理，掌握全等三角形的判定定理和性质
定理是解题的关键．
【变式2-3】已知，如图𝛥𝐴𝐵𝐶中，𝐴𝐵= 𝐴𝐶，∠𝐴= 90°，∠𝐴𝐶𝐵的平分线𝐶𝐷交𝐴𝐵于点𝐸，∠𝐵𝐷𝐶= 90°，
求证：𝐶𝐸= 2𝐵𝐷.
【答案】见解析.
【分析】延长BD 交CA 的延长线于F，先证得△ACE≌△ABF，得出CE=BF；再证△CBD≌△CFD，得出BD=DF；
由此得出结论即可．
【详解】证明：如图，
延长𝐵𝐷交𝐶𝐴的延长线于𝐹，
∵∠𝐵𝐴𝐶= 90°
∴∠𝐵𝐴𝐹= ∠𝐵𝐴𝐶= 90° , ∠𝐴𝐶𝐸+ ∠𝐴𝐸𝐶= 90°
∵∠𝐵𝐷𝐶= 90°
∴∠𝐵𝐷𝐶= ∠𝐹𝐷𝐶= 90°
∴∠𝐴𝐵𝐹+ ∠𝐵𝐸𝐷= 90°
∵∠𝐴𝐸𝐶= ∠𝐵𝐸𝐷
∴∠𝐴𝐶𝐸= ∠𝐴𝐵𝐹
∵𝐴𝐵= 𝐴𝐶
∴𝛥𝐴𝐶𝐸≌𝛥𝐴𝐵𝐹(𝐴𝑆𝐴)
∴𝐶𝐸= 𝐵𝐹
∵𝐶𝐷平分∠𝐴𝐶𝐵
∴∠𝐴𝐶𝐷= ∠𝐵𝐶𝐷
∵𝐶𝐷= 𝐶𝐷
∴𝛥𝐶𝐵𝐷≌𝛥𝐶𝐹𝐷(𝐴𝑆𝐴)
∴𝐵𝐷= 𝐹𝐷= 1
2 𝐵𝐹
∴𝐵𝐷= 1
2 𝐶𝐸
∴𝐶𝐸= 2𝐵𝐷
【点睛】此题考查三角形全等的判定与性质，角平分线的性质，根据已知条件，作出辅助线是解决问题的
关键．
【题型3 作垂线构造全等】
【例3】（24-25 八年级上·重庆·阶段检测）如图，线段𝐴𝐵= 6，𝐴𝐶= 4，射线𝐴𝑁⊥𝐴𝐵于点A，C 是射线𝐴𝑁
上一动点，分别以𝐴𝐶，𝐵𝐶为直角边作等腰Rt △𝐴𝐶𝐷与等腰Rt △𝐵𝐶𝐸，连接𝐷𝐸交射线𝐴𝑁于点M，则△𝐶𝑀𝐸
的面积为_________．
【答案】6
【分析】本题考查的是全等三角形的判定和性质、三角形的面积计算及等腰直角三角形的性质，熟记三角
形全等的判定定理是解题的关键．作𝐸𝐻⊥𝐴𝑁于𝐻，由△𝐴𝐵𝐶≌△𝐻𝐶𝐸得𝐴𝐵= 𝐶𝐻，𝐴𝐶= 𝐸𝐻，再证明
△𝐷𝐶𝑀≌△𝐸𝐻𝑀得𝐶𝑀= 𝐻𝑀即可解决问题．
【详解】解：如图作𝐸𝐻⊥𝐴𝑁于𝐻，
∵𝐵𝐴⊥𝐴𝑁，𝐸𝐻⊥𝐴𝑁，
∴∠𝐵𝐴𝐶= ∠𝐸𝐻𝐶= 90°，
∴∠𝐴𝐵𝐶+ ∠𝐴𝐶𝐵= 90°，
又∠𝐵𝐶𝐸= 90°，
∴∠𝐴𝐶𝐵+ ∠𝐸𝐶𝐻= 90°，
∴∠𝐴𝐵𝐶= ∠𝐸𝐶𝐻，
∵ △𝐵𝐶𝐸和△𝐴𝐶𝐷都是等腰三角形，
∴𝐵𝐶= 𝐶𝐸，𝐴𝐶= 𝐷𝐶= 4，∠𝐵𝐶𝐸= ∠𝐴𝐶𝐷= 90°，
在△𝐴𝐵𝐶和△𝐻𝐶𝐸中，
∠𝐵𝐴𝐶= ∠𝐸𝐻𝐶
∠𝐴𝐵𝐶= ∠𝐻𝐶𝐸
𝐵𝐶= 𝐶𝐸
，
∴ △𝐴𝐵𝐶≌△𝐻𝐶𝐸(AAS)，
∴𝐴𝐶= 𝐸𝐻= 4，𝐴𝐵= 𝐶𝐻= 6，
在△𝐷𝐶𝑀和△𝐸𝐻𝑀中，
∠𝐷𝐶𝑀= ∠𝐸𝐻𝑀
∠𝐶𝑀𝐷= ∠𝐸𝑀𝐻
𝐶𝐷= 𝐸𝐻
，
∴ △𝐷𝐶𝑀≌△𝐸𝐻𝑀(AAS)．
∴𝐶𝑀= 𝐻𝑀=
1
2𝐶𝐻= 3，
∴𝑆△𝐶𝑀𝐸=
1
2𝐶𝑀⋅𝐸𝐻= 6；
故答案为6．
【变式3-1】如图，在四边形𝐴𝐵𝐶𝐷中，𝐴𝐵⊥𝐵𝐶，𝐴𝐶⊥𝐶𝐷，𝐴𝐶= 𝐶𝐷，若𝐴𝐵= 3，𝐵𝐶= 1，则点𝐷到𝐴𝐵的
距离是______．
【答案】4
【分析】作DE⊥BC 交BC 延长线于E,作DF⊥AB，垂足为F，证明四边形BFDE 是矩形，得到DF=BE，证明
△ABC≌CED，得到AB=CE=3，问题得解．
【详解】解：作DE⊥BC 交BC 延长线于E,作DF⊥AB，垂足为F，
∵𝐴𝐵⊥𝐵𝐶,
∴四边形BFDE 是矩形，
∴DF=BE
∵𝐴𝐵⊥𝐵𝐶，𝐴𝐶⊥𝐶𝐷，DE⊥BE,
∴∠B=∠E=90°，
∠BAC+∠ACB=∠DCE+∠ACB=90°，
∴∠BAC=∠DCE，
又∵𝐴𝐶= 𝐶𝐷，
∴△ABC≌CED，
∴AB=CE=3，
∴DF=BE=BC+EC=4．
故答案为：4
【点睛】本题考查了点到直线的距离、矩形的判定、全等三角形的判定与性质，根据题意添加辅助线构造
全等三角形是解题的关键．
【变式3-2】（24-25 八年级下·辽宁辽阳·期末）已知：如图，在△𝐴𝐵𝐶中，∠𝐴𝐵𝐶= 90°，将△𝐴𝐵𝐶绕点𝐶顺
时针旋转得到△𝐷𝐸𝐶，连接𝐴𝐷,𝐵𝐸，延长𝐵𝐸交𝐴𝐷于点𝐹．求证：𝐹为𝐴𝐷的中点．
【答案】见解析
【分析】本题考查旋转的性质，全等三角形的判定和性质，过点𝐴作𝐴𝑁⊥𝐵𝐹于点𝑁，过点𝐷作𝐷𝑀⊥𝐵𝐹交𝐵𝐹
的延长线于点𝑀，先证明△𝐴𝑁𝐵≌△𝐷𝑀𝐸(AAS)，进而证明△𝐴𝐹𝑁≌△𝐷𝐹𝑀(AAS)，再根据全等三角形的性
质即可得证．
【详解】证明：过点𝐴作𝐴𝑁⊥𝐵𝐹于点𝑁，过点𝐷作𝐷𝑀⊥𝐵𝐹交𝐵𝐹的延长线于点𝑀，
则∠𝐴𝑁𝐵= ∠𝑀= 90°，
由旋转的性质得𝐶𝐵= 𝐶𝐸，
∴∠𝐶𝐵𝐸= ∠𝐶𝐸𝐵，
由旋转的性质得∠𝐴𝐵𝐶= ∠𝐶𝐸𝐷= 90°,𝐴𝐵= 𝐷𝐸，
∴∠𝐷𝐸𝐹+ ∠𝐶𝐸𝐵= 90°,∠𝐴𝐵𝐹+ ∠𝐶𝐵𝐸= 90°，
∴∠𝐴𝐵𝐹= ∠𝐷𝐸𝐹，即∠𝐴𝐵𝑁= ∠𝐷𝐸𝑀，
又∵∠𝐴𝑁𝐵= ∠𝑀= 90°,𝐴𝐵= 𝐷𝐸，
∴△𝐴𝑁𝐵≌△𝐷𝑀𝐸(AAS)，
∴𝐴𝑁= 𝐷𝑀，
∵∠𝐴𝑁𝐹= ∠𝑀= 90°,∠𝐴𝐹𝑁= ∠𝐷𝐹𝑀,𝐴𝑁= 𝐷𝑀，
∴△𝐴𝐹𝑁≌△𝐷𝐹𝑀(AAS)，
∴𝐴𝐹= 𝐹𝐷，
∴𝐹是𝐴𝐷的中点．
【变式3-3】通过对下面数学模型的研究学习，解决下列问题：
(1)如图1，点A 在直线l 上，∠𝐵𝐴𝐷= 90°,𝐴𝐵= 𝐴𝐷，过点B 作𝐵𝐶⊥𝑙于点C，过点D 作𝐷𝐸⊥𝑙交于点E．得
∠1 = ∠𝐷．又∠𝐵𝐶𝐴= ∠𝐴𝐸𝐷= 90°，可以推理得到△𝐴𝐵𝐶≌△𝐷𝐴𝐸(𝐴𝐴𝑆)．进而得到结论：𝐴𝐶= _____，
𝐵𝐶= _____．我们把这个数学模型称为“K 字”模型或“一线三直角”模型；
(2)如图2，∠∠𝐵𝐴𝐷= ∠𝑀𝐴𝑁= 90°,𝐴𝐵= 𝐴𝐷,𝐴𝑀= 𝐴𝑁,𝐵𝑀⊥𝑙于点C，𝐷𝐸⊥𝑙于点E，𝑁𝐷与直线𝑙交于点𝑃，
求证：𝑁𝑃= 𝐷𝑃．
【答案】(1)𝐷𝐸，𝐴𝐸
(2)
证明：如图2，作𝑁𝐹⊥𝑙于点𝐹，
∵𝐵𝑀⊥𝑙于点𝐶，𝐷𝐸⊥𝑙于点E，
∴∠𝐴𝐶𝑀= ∠𝑁𝐹𝐴= ∠𝑁𝐹𝑃= ∠𝐷𝐸𝑃= 90°，
由（1）得𝐴𝐶= 𝐷𝐸，
同理（1）得𝐴𝐶= 𝑁𝐹，
∴𝑁𝐹= 𝐷𝐸，
在△𝑃𝐹𝑁和△𝑃𝐸𝐷中，
∠𝑀𝐹𝑃= ∠𝐷𝐸𝐹
∠𝐹𝑃𝑁= ∠𝐸𝑃𝐷
𝑀𝐹= 𝐷𝐸
∴△𝑃𝐹𝑁≌△𝑃𝐸𝐷（AAS），
∴𝑁𝑃= 𝐷𝑃．
【分析】本题考查一线三直角全等问题，
（1）由∠𝐶𝐵𝐴= ∠𝐴𝐸𝐷= ∠𝐵𝐴𝐷= 90°，得∠1 + ∠2 = ∠2 + ∠𝐷= 90°，则∠1 = ∠𝐷，而𝐴𝐵= 𝐷𝐴，即可证
明△𝐴𝐵𝐶≌△𝐷𝐴𝐸，得𝐴𝐶= 𝐷𝐸，𝐵𝐶= 𝐴𝐸，于是得到问题的答案；
（2）作𝑁𝐹⊥𝑙于点𝐹，因为𝐵𝑀⊥𝑙于点𝐶，𝐷𝐸⊥𝑙于点𝐸，所以∠𝐴𝐶𝑀= ∠𝑁𝐹𝐴= ∠𝑁𝐹𝑃= ∠𝐷𝐸𝑃= 90°，由
（1）得𝐴𝐶= 𝐷𝐸，因为∠𝑀𝐴𝑁= 90°，所以∠𝐶𝐴𝑀+ ∠𝐹𝐴𝑁= ∠𝐹𝑁𝐴+ ∠𝐹𝐴𝑁= 90°，则∠𝐶𝐴𝑀= ∠𝐹𝑁𝐴，而
𝐴𝑀= 𝑁𝐴，即可证明△𝐶𝐴𝑀≌△𝐹𝑁𝐴，得𝐴𝐶= 𝑁𝐹，所以𝑁𝐹= 𝐷𝐸，再证明△𝑃𝐹𝑁≌△𝑃𝐸𝐷，则𝑁𝑃= 𝐷𝑃．
【详解】（1））解：𝐵𝐶⊥𝑙于点𝐶，𝐷𝐸⊥𝑙于点𝐸，
∴∠𝐶𝐵𝐴= ∠𝐴𝐸𝐷= 90°，
∵∠𝐵𝐴𝐷= 90°，
∴∠1 + ∠2 = ∠8 + ∠𝐷= 90°，
∴∠1 = ∠𝐷，
在△𝐴𝐵𝐶和△𝐷𝐴𝐸中，
∠1 = ∠𝐷
∠𝐵𝐶𝐴= ∠𝐴𝐸𝐷
𝐴𝐵= 𝐷𝐴
，
∴△𝐴𝐵𝐶≌△𝐷𝐴𝐸（AAS），
∴𝐴𝐶= 𝐷𝐸，𝐵𝐶= 𝐴𝐸，
故答案为：𝐷𝐸，𝐴𝐸．
（2）略
【题型4 作平行线构造全等】
【例4】（24-25 八年级上·河北唐山·期中）已知直线m，n 相交于点B，点A，C 分别为直线m，n 上的点，
𝐴𝐵= 𝐵𝐶，且∠𝐴𝐵𝐶= 60°，点E 是直线m 上的一个动点，点D 是直线n 上的一个动点，运动过程中始终满
足𝐷𝐸= 𝐶𝐸．如图当点E 在线段𝐴𝐵上运动，点D 在线段𝐶𝐵的延长线上时，试确定线段𝐵𝐷与𝐴𝐸的数量关系，
并说明理由．
【答案】𝐵𝐷= 𝐴𝐸，理由见解析．
【分析】本题考查了等边三角形的性质和判定、全等三角形的性质和判定，熟练掌握以上知识点，学会结
合图形添加适当的辅助线构造全等三角形是解题的关键．过点𝐸作𝐸𝐹∥𝐵𝐶交𝐴𝐶于点𝐹，可得△𝐴𝐸𝐹是等边三
角形，得𝐹𝐸= 𝐸𝐴，结合𝐷𝐸= 𝐶𝐸利用全等三角形AAS判定定理证出△𝐸𝐷𝐵≌△𝐶𝐸𝐹，得出𝐵𝐷= 𝐸𝐹，最后
通过等量代换即可完成证明．
【详解】解：𝐵𝐷= 𝐴𝐸，理由如下：
过点𝐸作𝐸𝐹∥𝐵𝐶交𝐴𝐶于点𝐹，
∵𝐴𝐵= 𝐵𝐶，∠𝐴𝐵𝐶= 60∘，
∴△𝐴𝐵𝐶是等边三角形，
∴∠𝐴𝐵𝐶= ∠𝐴𝐶𝐵= ∠𝐵𝐴𝐶= 60∘，
∵𝐸𝐹∥𝐵𝐶，
∴∠𝐴𝐹𝐸= ∠𝐴𝐶𝐵= 60∘，
∴∠𝐸𝐹𝐶= 120∘，∠𝐴𝐹𝐸= ∠𝐸𝐴𝐹= 60°，
∴△𝐴𝐸𝐹是等边三角形，
∴𝐹𝐸= 𝐸𝐴，
∵∠𝐴𝐵𝐶= 60∘，
∴∠𝐸𝐵𝐷= 120∘，
∴∠𝐸𝐹𝐶= ∠𝐸𝐵𝐷= 120∘，
∵𝐶𝐸= 𝐷𝐸，
∴∠𝐸𝐷𝐵= ∠𝐸𝐶𝐵，
∵∠𝐸𝐷𝐵+ ∠𝐷𝐸𝐵= ∠𝐸𝐶𝐵+ ∠𝐸𝐶𝐹= 60∘，
∴∠𝐷𝐸𝐵= ∠𝐸𝐶𝐹，
在△𝐸𝐷𝐵和△𝐶𝐸𝐹中，
∠𝐷𝐸𝐵= ∠𝐸𝐶𝐹
∠𝐸𝐵𝐷= ∠𝐶𝐹𝐸
𝐷𝐸= 𝐸𝐶
，
∴△𝐸𝐷𝐵≌△𝐶𝐸𝐹(AAS)，
∴𝐵𝐷= 𝐹𝐸，
∵𝐹𝐸= 𝐸𝐴，
∴𝐵𝐷= 𝐴𝐸．
【变式4-1】如图所示：△𝐴𝐵𝐶是等边三角形，𝐷、𝐸分别是𝐴𝐵及𝐴𝐶延长线上的一点，且𝐵𝐷= 𝐶𝐸，连接𝐷𝐸
交𝐵𝐶于点𝑀．
求证：𝑀𝐷= 𝑀𝐸
【答案】见详解
【分析】过点D 作DF∥AC，交BC 于点F，根据等边三角形和平行线的性质得∠MDF=∠MEC，DF=CE，从而证
明∆FMD≅∆CME，进而即可得到结论．
【详解】过点D 作DF∥AC，交BC 于点F，
∵△𝐴𝐵𝐶是等边三角形，
∴∠B=∠ACB=60°，
∵DF∥AC，
∴∠DFB=∠ACB=60°，∠MDF=∠MEC，
∴△𝐵𝐷𝐹是等边三角形，
∴BD=DF，
∵𝐵𝐷= 𝐶𝐸，
∴DF=CE，
又∵∠FMD=∠CME，
∴∆FMD≅∆CME，
∴𝑀𝐷= 𝑀𝐸．
【点睛】本题主要考查等边三角形的性质和判定定理以及全等三角形的判定和性质定理，添加辅助线，构
造等边三角形和全等三角形，是解题的关键．
【变式4-2】如图，过边长为1 的等边△𝐴𝐵𝐶的边𝐴𝐵上一点P，作𝑃𝐸⊥𝐴𝐶于E，Q 为𝐵𝐶延长线上一点，当
𝑃𝐴= 𝐶𝑄时，连𝑃𝑄交𝐴𝐶边于D，则𝐷𝐸的长为（ ）
A．
1
3
B．
1
2
C．
2
3
D．
2
2
【答案】B
【分析】本题考查了全等三角形的性质和判定，等边三角形的性质和判定，等腰三角形的性质，平行线的
性质等知识点的应用，过P 作𝑃𝐹∥𝐵𝐶交𝐴𝐶于F，得出等边三角形𝐴𝑃𝐹，推出𝐴𝑃= 𝑃𝐹= 𝐴𝐹，根据等腰三角
形性质求出𝐸𝐹= 𝐴𝐸，证△𝑃𝐹𝐷≌△𝑄𝐶𝐷，推出𝐹𝐷= 𝐶𝐷，推出𝐷𝐸=
1
2𝐴𝐶即可．
【详解】解：过P 作𝑃𝐹∥𝐵𝐶交𝐴𝐶于F．
∵𝑃𝐹∥𝐵𝐶，△𝐴𝐵𝐶是等边三角形，
∴∠𝑃𝐹𝐷= ∠𝑄𝐶𝐷，△𝐴𝑃𝐹是等边三角形，
∴𝐴𝑃= 𝑃𝐹= 𝐴𝐹，
∵𝑃𝐸⊥𝐴𝐶，
∴𝐴𝐸= 𝐸𝐹，
∵𝐴𝑃= 𝑃𝐹，𝐴𝑃= 𝐶𝑄，
∴𝑃𝐹= 𝐶𝑄．
∵在△𝑃𝐹𝐷和△𝑄𝐶𝐷中，
∠𝑃𝐹𝐷= ∠𝑄𝐶𝐷
∠𝑃𝐷𝐹= ∠𝑄𝐷𝐶
𝑃𝐹= 𝐶𝑄
，
∴△𝑃𝐹𝐷≌△𝑄𝐶𝐷(AAS)，
∴𝐹𝐷= 𝐶𝐷，
∵𝐴𝐸= 𝐸𝐹，
∴𝐸𝐹+ 𝐹𝐷= 𝐴𝐸+ 𝐶𝐷，
∴𝐴𝐸+ 𝐶𝐷= 𝐷𝐸=
1
2𝐴𝐶，
∵𝐴𝐶= 1，
∴𝐷𝐸=
1
2．
故选：B．
【变式4-3】已知在等腰△ABC 中，AB=AC，在射线CA 上截取线段CE，在射线AB 上截取线段BD，连接
DE，DE 所在直线交直线BC 与点M．请探究：
(1)如图1，当点E 在线段AC 上，点D 在AB 延长线上时，若BD=CE，请判断线段MD 和线段ME 的数量
关系，并证明你的结论．
(2)如图2，当点E 在CA 的延长线上，点D 在AB 的延长线上时，若BD=CE，则（1）中的结论还成立吗？
如果成立，请证明；如果不成立，说明理由；
【答案】(1)DM=EM．理由见解析
(2)成立，理由见解析
【分析】（1）DM=EM；过点E 作EF//AB 交BC 于点F，然后利用平行线的性质和已知条件可以证明
△DBM≌△EFM，接着利用全等三角形的性质即可证明题目的结论；
（2）成立；过点E 作EF//AB 交CB 的延长线于点F，然后利用平行线的性质与已知条件可以证明
△DBM≌△EFM，接着利用全等三角形的性质即可证明题目的结论．
【详解】（1）解：DM=EM，证明如下：
如图，过点E 作EF//AB 交BC 于点F，
∵AB=AC，
∴∠ABC=∠C；
又∵EF//AB，
∴∠ABC=∠EFC，
∴∠EFC=∠C，
∴EF=EC．
又∵BD=EC，
∴EF=BD．
又∵EF//AB，
∴∠BDM=∠FEM．
在△DBM 和△EFM 中，
∠𝐵𝐷𝑀= ∠𝐹𝐸𝑀
∠𝐵𝑀𝐷= ∠𝐹𝑀𝐸
𝐵𝐷= 𝐸𝐹
，
∴△DBM≌△EFM（AAS）,
∴DM=EM．
（2）解：成立，理由如下：
如图，过点E 作EF//AB 交CB 的延长线于点F，
∵AB=AC，
∴∠ABC=∠C；
又∵EF//AB，
∴∠ABC=∠EFC，
∴∠EFC=∠C，
∴EF=EC．
又∵BD=EC，
∴EF=BD．
又∵EF//AB，
∴∠BDM=∠FEM．
在△DBM 和△EFM 中，
∠𝐵𝐷𝑀= ∠𝐹𝐸𝑀
∠𝐵𝑀𝐷= ∠𝐹𝑀𝐸
𝐵𝐷= 𝐸𝐹
，
∴△DBM≌△EFM（AAS），
∴DM=EM．
【点睛】本题主要考查了三角形综合，涉及了等腰三角形性质和判定、全等三角形的判定与性质，利用平
行构造全等三角形是解题关键．
【题型5 倍长中线构造全等】
【例5】（25-26 八年级上·全国·周测）如图，AD 是△𝐴𝐵𝐶的中线，E 是AD 上一点，BE 的延长线交AC 于
点F．若𝐸𝐹= 𝐴𝐹，𝐵𝐸= 9，𝐶𝐹= 6，则EF 的长度为（ ）
A．4
B．3
C．2
D．1
【答案】B
【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，添加恰当辅助线构造全等三角形是本
题的关键．
延长𝐴𝐷，使𝐷𝐺= 𝐴𝐷，连接𝐵𝐺，由“SAS”可证△𝐴𝐷𝐶≌△𝐺𝐷𝐵，可得𝐴𝐶= 𝐵𝐺= 𝐶𝐹+ 𝐴𝐹= 6 + 𝐴𝐹，
∠𝐷𝐴𝐶= ∠𝐺，由等腰三角形的性质可得𝐵𝐸= 𝐵𝐺= 9，即可求𝐸𝐹的长．
【详解】解：如图，延长𝐴𝐷，使𝐷𝐺= 𝐴𝐷，连接𝐵𝐺，
∵𝐴𝐷是△𝐴𝐵𝐶的中线，
∴𝐵𝐷= 𝐶𝐷，且𝐷𝐺= 𝐴𝐷，∠𝐴𝐷𝐶= 𝐵𝐷𝐺，
∴△𝐴𝐷𝐶≌△𝐺𝐷𝐵(SAS)，
∴𝐴𝐶= 𝐵𝐺= 𝐶𝐹+ 𝐴𝐹= 6 + 𝐴𝐹，∠𝐷𝐴𝐶= ∠𝐺，
∵𝐸𝐹= 𝐴𝐹，
∴∠𝐷𝐴𝐶= 𝐴𝐸𝐹，
∴∠𝐺= ∠𝐴𝐸𝐹= ∠𝐵𝐸𝐺，
∴𝐵𝐸= 𝐵𝐺= 9，
∴6 + 𝐴𝐹= 𝐵𝐺= 9，
∴𝐸𝐹＝𝐴𝐹= 3.
故选：B.
【变式5-1】（25-26 八年级上·江苏镇江·阶段检测）已知△𝐴𝐵𝐶的𝐴𝐵边长为4，𝐴𝐶边长为8，则𝐵𝐶边上的
中线𝐴𝐷的长度的取值范围（ ）
A．1 < 𝐴𝐷< 5
B．2 < 𝐴𝐷< 6
C．3 < 𝐴𝐷< 7
D．4 < 𝐴𝐷< 8
【答案】B
【分析】此题主要考查了三角形的三边关系，全等三角形的判定和性质，延长𝐴𝐷到E，使𝐷𝐸= 𝐴𝐷，再连
接𝐸𝐵，再证明△𝐴𝐷𝐶≌△𝐸𝐷𝐵可得𝐵𝐸= 𝐴𝐶= 8，然后再根据𝐵𝐸−𝐴𝐵< 𝐴𝐸< 𝐵𝐸+ 𝐴𝐵可得答案．
【详解】解：延长𝐴𝐷到点E，使得𝐷𝐸= 𝐴𝐷，连接𝐵𝐸，则𝐴𝐸= 2𝐴𝐷，
∵点D 是𝐵𝐶的中点，
∴𝐵𝐷= 𝐷𝐶，
又∵∠𝐴𝐷𝐶= ∠𝐵𝐷𝐸，
∴△𝐴𝐷𝐶≌△𝐸𝐷𝐵(SAS)，
∴𝐵𝐸= 𝐴𝐶= 8，
∴𝐵𝐸−𝐴𝐵< 𝐴𝐸< 𝐵𝐸+ 𝐴𝐵，即8−4 < 𝐴𝐸< 8 + 4，
∴4 < 2𝐴𝐷< 12，即2 < 𝐴𝐷< 6，
故选：B．
【变式5-2】（24-25 八年级上·黑龙江大庆·期中）如图，在△𝐴𝐵𝐶中，D 是边𝐴𝐶的中点，∠𝐸𝐷𝐹= 90°，𝐴𝐹= 5
，𝐶𝐸= 2，则𝐸𝐹的取值范围是___________
【答案】3 < 𝐸𝐹< 7/3 < 𝐹𝐸< 7
【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质及三角形的三边关系，证明△𝐴𝐷𝐹≌△𝐶𝐷𝐻是本题的关键．延
长𝐹𝐷到𝐻，使得𝐷𝐻= 𝐷𝐹，连接𝐶𝐻，𝐸𝐻．由“SAS”可证△𝐴𝐷𝐹≌△𝐶𝐷𝐻，推出𝐴𝐹= 𝐶𝐻，利用三角形的三
边关系即可解决问题．
【详解】解：如图，延长𝐹𝐷到𝐻，使得𝐷𝐻= 𝐷𝐹，连接𝐶𝐻，𝐸𝐻．
∵𝐷是边𝐴𝐶的中点，
∴𝐴𝐷= 𝐶𝐷，
在△𝐴𝐷𝐹和△𝐶𝐷𝐻中，
𝐴𝐷= 𝐶𝐷
∠𝐴𝐷𝐹= ∠𝐶𝐷𝐻
𝐷𝐹= 𝐷𝐻
，
∴△𝐴𝐷𝐹≌△𝐶𝐷𝐻(SAS)，
∴𝐴𝐹= 𝐶𝐻= 5，
∵∠𝐸𝐷𝐹= 90°，
∴𝐸𝐷⊥𝐹𝐻，
∵𝐷𝐹= 𝐷𝐻，
∴𝐸𝐹= 𝐸𝐻，
在△𝐸𝐶𝐻中，𝐶𝐻−𝐶𝐸< 𝐸𝐻< 𝐶𝐻+ 𝐶𝐸，𝐶𝐻= 5，𝐶𝐸= 2
∴5−2 < 𝐸𝐻< 5 + 2，
∴3 < 𝐸𝐻< 7，
∴3 < 𝐸𝐹< 7，
故答案为：3 < 𝐸𝐹< 7．
【变式5-3】（25-26 八年级上·湖南衡阳·期末）如图1，在△𝐴𝐵𝐶中，𝐴𝐵= 4，𝐴𝐶= 3，求𝐵𝐶边上的中线𝐴𝐷
的取值范围．
【方法探索】
如图1，小潘通过倍长中线法解决了这个问题：延长𝐴𝐷到点𝐸，使𝐷𝐸= 𝐴𝐷，连接𝐵𝐸．
（1）求证：△𝐴𝐶𝐷≌△𝐸𝐵𝐷；
（2）由全等知𝐵𝐸= 𝐴𝐶= 3．在△𝐴𝐵𝐸中，根据三角形的三边关系，得___________ < 𝐴𝐸< ___________，
从而得到𝐴𝐷的取值范围是___________．
【方法应用】
（3）如图2，在△𝐴𝐵𝐶中，𝐷为𝐵𝐶边的中点，点𝐸在𝐴𝐵边上，𝐴𝐷与𝐶𝐸相交于点𝐹，且𝐸𝐴= 𝐸𝐹，求证：𝐴𝐵= 𝐶𝐹．
【能力提升】
（4）如图3，在△𝐴𝐵𝐶中，𝐴𝐷平分∠𝐵𝐴𝐶，𝐸为𝐵𝐶边的中点，过点𝐸作𝐸𝐹∥𝐴𝐷，交𝐴𝐶于点𝐹，交𝐵𝐴的延长
线于点𝐺．
①判断𝐴𝐹与𝐴𝐺的数量关系，并说明理由；
②若𝐴𝐵= 5，𝐴𝐶= 7，求𝐶𝐹的长．
【答案】（1）证明见解析；（2）𝐴𝐵−𝐵𝐸；𝐴𝐵+ 𝐵𝐸；
1
2 < 𝐴𝐷<
7
2；（3）证明见解析；（4）①𝐴𝐹= 𝐴𝐺，
理由见解析；②6
【分析】（1）由作图过程及已知得𝐷𝐸= 𝐴𝐷，𝐶𝐷= 𝐵𝐷，∠𝐴𝐷𝐶= ∠𝐸𝐷𝐵，再根据SAS即可得证；
（2）根据全等三角形的性质得𝐸𝐵= 𝐴𝐶= 3，再根据三角形三边关系即可得出答案；
（3）如图，延长𝐴𝐷至𝐻，使𝐴𝐷= 𝐷𝐻，证明△𝐴𝐷𝐵≌△𝐻𝐷𝐶(SAS)得𝐴𝐵= 𝐻𝐶，∠𝐵𝐴𝐷= ∠𝐶𝐻𝐷，再根据等
边对等角得∠𝐸𝐴𝐹= ∠𝐸𝐹𝐴，进一步推出∠𝐶𝐹𝐻= ∠𝐶𝐻𝐷，即可得证；
（4）根据角平分线的定义得∠𝐵𝐴𝐷= ∠𝐶𝐴𝐷，根据平行线的性质得∠𝐵𝐴𝐷= ∠𝐵𝐺𝐹，∠𝐶𝐴𝐷= ∠𝐴𝐹𝐺，继而
得到∠𝐵𝐺𝐹= ∠𝐴𝐹𝐺，即可得证；
②如图，过点𝐵作𝐵𝑀∥𝐴𝐶交𝐺𝐸的延长线于点𝑀，得∠𝑀𝐵𝐸= ∠𝐹𝐶𝐸，∠𝐵𝑀𝐺= ∠𝐴𝐹𝐺，由①知：
∠𝐴𝐺𝐹= ∠𝐴𝐹𝐺，𝐴𝐹= 𝐴𝐺，可推出𝐵𝐺= 𝐵𝑀，证明△𝐵𝐸𝑀≌△𝐶𝐸𝐹(ASA)得𝐵𝑀= 𝐶𝐹，𝐵𝐺= 𝐶𝐹，继而得
到𝐴𝐵+ 𝐴𝐺= 𝐵𝐺= 𝐶𝐹= 𝐴𝐶−𝐴𝐹，即可得解．
【详解】（1）证明：由作图过程知：𝐷𝐸= 𝐴𝐷=
1
2𝐴𝐸，
∵𝐴𝐷是△𝐴𝐵𝐶的边𝐵𝐶上的中线，
∴𝐶𝐷= 𝐵𝐷，
在△𝐴𝐶𝐷和△𝐸𝐵𝐷中，
𝐴𝐷= 𝐷𝐸
∠𝐴𝐷𝐶= ∠𝐸𝐷𝐵
𝐶𝐷= 𝐵𝐷
，
∴△𝐴𝐶𝐷≌△𝐸𝐵𝐷(SAS)；
（2）解：∵△𝐴𝐶𝐷≌△𝐸𝐵𝐷，𝐴𝐵= 4，𝐴𝐶= 3，
∴𝐸𝐵= 𝐴𝐶= 3，
在△𝐴𝐵𝐸中，𝐴𝐵−𝐵𝐸< 𝐴𝐸< 𝐴𝐵+ 𝐵𝐸，
∴4−3 < 2𝐴𝐷< 4 + 3，
∴
1
2 < 𝐴𝐷<
7
2，
即𝐴𝐷的取值范围是
1
2 < 𝐴𝐷<
7
2，
故答案为：𝐴𝐵−𝐵𝐸；𝐴𝐵+ 𝐵𝐸；
1
2 < 𝐴𝐷<
7
2；
（3）证明：如图，延长𝐴𝐷至𝐻，使𝐴𝐷= 𝐷𝐻，
∵点𝐷为𝐵𝐶边的中点，
∴𝐵𝐷= 𝐶𝐷，
在△𝐴𝐷𝐵和△𝐻𝐷𝐶中，
𝐴𝐷= 𝐻𝐷
∠𝐴𝐷𝐵= ∠𝐻𝐷𝐶
𝐵𝐷= 𝐶𝐷
，
∴△𝐴𝐷𝐵≌△𝐻𝐷𝐶(SAS)，
∴𝐴𝐵= 𝐻𝐶，∠𝐵𝐴𝐷= ∠𝐶𝐻𝐷，
∵𝐸𝐴= 𝐸𝐹，∠𝐸𝐹𝐴= ∠𝐶𝐹𝐻，
∴∠𝐸𝐴𝐹= ∠𝐸𝐹𝐴，即∠𝐵𝐴𝐷= ∠𝐸𝐹𝐴，
∴∠𝐶𝐹𝐻= ∠𝐶𝐻𝐷，
∴𝐶𝐹= 𝐶𝐻，
∴𝐴𝐵= 𝐶𝐹；
（4）解：①𝐴𝐹与𝐴𝐺的数量关系：𝐴𝐹= 𝐴𝐺．
理由：∵𝐴𝐷平分∠𝐵𝐴𝐶，
∴∠𝐵𝐴𝐷= ∠𝐶𝐴𝐷，
∵𝐸𝐹∥𝐴𝐷，
∴∠𝐵𝐴𝐷= ∠𝐵𝐺𝐹，∠𝐶𝐴𝐷= ∠𝐴𝐹𝐺，
∴∠𝐵𝐺𝐹= ∠𝐴𝐹𝐺，即∠𝐴𝐺𝐹= ∠𝐴𝐹𝐺，
∴𝐴𝐹= 𝐴𝐺；
②如图，过点𝐵作𝐵𝑀∥𝐴𝐶交𝐺𝐸的延长线于点𝑀，
∴∠𝑀𝐵𝐸= ∠𝐹𝐶𝐸，∠𝐵𝑀𝐺= ∠𝐴𝐹𝐺，
由①知：∠𝐴𝐺𝐹= ∠𝐴𝐹𝐺，𝐴𝐹= 𝐴𝐺，
∴∠𝐴𝐺𝐹= ∠𝐵𝑀𝐺，
∴𝐵𝐺= 𝐵𝑀，
∵𝐸为𝐵𝐶边的中点，
∴𝐵𝐸= 𝐶𝐸，
在△𝐵𝐸𝑀和△𝐶𝐸𝐹中，
∠𝑀𝐵𝐸= ∠𝐹𝐶𝐸
𝐵𝐸= 𝐶𝐸
∠𝐵𝐸𝑀= ∠𝐶𝐸𝐹
，
∴△𝐵𝐸𝑀≌△𝐶𝐸𝐹(ASA)，
∴𝐵𝑀= 𝐶𝐹，
∴𝐵𝐺= 𝐶𝐹，
∵𝐴𝐵= 5，𝐴𝐶= 7，
∴𝐴𝐵+ 𝐴𝐺= 𝐵𝐺= 𝐶𝐹= 𝐴𝐶−𝐴𝐹，
∴5 + 𝐴𝐹= 7−𝐴𝐹，
∴𝐴𝐹= 1，
∴𝐶𝐹= 𝐴𝐶−𝐴𝐹= 7−1 = 6，
即𝐶𝐹的长为6．
【点睛】本题考查全等三角形的判定与性质，三角形中线的定义，三角形三边关系定理，等腰三角形的判
定与性质，角平分线的定义，平行线的性质等知识，正确理解题意，通过作辅助线构造全等三角形是解题
的关键．
【题型6 截长构造全等】
【例6】在△𝐴𝐵𝐶中，𝐴𝐷是∠𝐵𝐴𝐶的平分线，且𝐴𝐵= 𝐴𝐶+ 𝐶𝐷，若∠𝐵𝐴𝐶= 81°，则∠𝐴𝐵𝐶的大小为______．
【答案】33°
【分析】可在AB 上截取AE＝AC，先根据SAS 证明△AED≌△ACD，可得DE=DC，然后根据全等三角形的
性质、题中条件可得BE＝ED，进而可得∠C＝∠AED＝2∠B，而由三角形的内角和易求得∠B+∠C 的度数，进
一步即可求出答案．
【详解】解：如图，在AB 上截取AE＝AC，
在△AED 和△ACD 中，
∵AE=AC，∠EAD=∠CAD，AD=AD，
∴△AED≌△ACD（SAS），
∴DE=DC，∠C＝∠AED，
∵AB＝AC+CD，AB＝AE+EB，
∴CD＝BE，
∴BE＝ED，
∴∠EDB＝∠B，
∴∠C＝∠AED＝2∠B，
又∵∠B+∠C＝180°﹣∠BAC＝99°，
∴∠B＝33°．
故答案为：33°．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质、等腰三角形的性质、三角形的内角和定理以及三角形的外
角性质等知识，正确添加辅助线、熟练掌握上述知识是解题的关键．
【变式6-1】如图，在四边形𝐴𝐵𝐶𝐷中，𝐴𝐵//𝐶𝐷,𝐴𝐸是∠𝐵𝐴𝐶的平分线，且𝐴𝐸⊥𝐶𝐸．若𝐴𝐶= 𝑎,𝐵𝐷= 𝑏，则四
边形𝐴𝐵𝐷𝐶的周长为（ ）
A．1.5(𝑎+ 𝑏)
B．2𝑎+ 𝑏
C．3𝑎−𝑏
D．𝑎+ 2𝑏
【答案】B
【分析】在线段AC 上作AF=AB，证明△AEF≌△AEB 可得∠AFE=∠B，∠AEF=∠AEB，再证明△CEF≌△CED 可得
CD=CF，即可求得四边形𝐴𝐵𝐷𝐶的周长．
【详解】解：在线段AC 上作AF=AB，
∵AE 是∠𝐵𝐴𝐶的平分线，
∴∠CAE=∠BAE，
又∵AE=AE，
∴△AEF≌△AEB（SAS），
∴∠AFE=∠B，∠AEF=∠AEB，
∵AB∥CD，
∴∠D+∠B=180°，
∵∠AFE+∠CFE=180°，
∴∠D=∠CFE，
∵𝐴𝐸⊥𝐶𝐸，
∴∠AEF+∠CEF=90°，∠AEB+∠CED=90°，
∴∠CEF=∠CED，
在△CEF 和△CED 中
∵
∠𝐷= ∠𝐶𝐹𝐸
∠𝐶𝐸𝐹= ∠𝐶𝐸𝐷
𝐶𝐸= 𝐶𝐸
,
∴△CEF≌△CED（AAS）
∴CD=CF，
∴四边形𝐴𝐵𝐷𝐶的周长=AC+AB+BD+CD=AC+AF+CF+BD=2AC+BD=2𝑎+ 𝑏，
故选：B．
【点睛】本题考查全等三角形的性质和判断．能正确作出辅助线构造全等三角形是解题关键．
【变式6-2】如图，已知点I 是△ABC 的角平分线的交点．若AB＋BI＝AC，设∠BAC＝α，则∠AIB＝______
（用含α 的式子表示）
【答案】120°−
𝛼
6
【分析】在AC 上截取AD=AB，易证△ABI≌△ADI，所以BI=DI，由AB＋BI＝AC，可得DI=DC，
设∠DCI=β，则∠ADI=∠ABI=2β，然后用三角形内角和可推出β 与α 的关系，进而求得∠AIB.
【详解】解：如图所示，在AC 上截取AD=AB，连接DI，
点I 是△ABC 的角平分线的交点
所以有∠BAI=∠DAI，∠ABI=∠CBI，∠ACI=∠BCI，
在△ABI 和△ADI 中，
AB=AD
∠BAI=∠
AI=AI
DAI
∴△ABI≌△ADI（SAS）
∴DI=BI
又∵AB＋BI＝AC，AB+DC=AC
∴DI=DC
∴∠DCI=∠DIC
设∠DCI=∠DIC=β
则∠ABI=∠ADI=2∠DCI=2β
在△ABC 中，
∠BAC+2∠ABI+2∠DCI=180°，即𝑎+ 4𝛽+ 2𝛽= 180°，
∴𝛽=
180°−𝑎
6
=30°−
𝑎
6
在△ABI 中，∠𝐴𝐼𝐵= 180°−∠𝐵𝐴𝐼−∠𝐴𝐵𝐼
= 180°−1
2 𝛼−2𝛽
=180°−1
2 𝛼−2 30°−
𝛼
6
=120°−𝛼
6
【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质，以及三角形角度计算，利用截长补短构造全等三角形是解题
的关键.
【变式6-3】（25-26 八年级上·河南洛阳·期末）转化和类比迁移是解决几何问题的重要思想方法，前者通过
构造图形全等转化线段或角，将零散的线段或角集中在一个图形上；后者通过观察图形的变化与联系，适
当添加辅助线，把类似的图形类比迁移应用到不同情境中．
【等边三角形】（1）如图1，在等边△𝐴𝐵𝐶中，点𝐷，𝐸，𝐹分别在边𝐴𝐵，𝐵𝐶，𝐴𝐶上，且△𝐷𝐸𝐹也为等边
三角形，求证：△𝐵𝐷𝐸≌△𝐶𝐸𝐹．小洛仔细审题后发现关键的一步是推导出等角，请你完成证明；
【直角三角形】（2）如图2，若把（1）中的等边△𝐴𝐵𝐶改成Rt △𝐴𝐵𝐶，且∠𝐴= 90°，∠𝐵=60°，其他条件
不变，试探究线段𝐵𝐷、𝐵𝐸、𝐶𝐸之间满足的数量关系，并说明理由；
【任意四边形】（3）如图3，在四边形𝐵𝐷𝐹𝐸中，∠𝐵= ∠𝐷𝐹𝐸= 60°，𝐹𝐷= 𝐹𝐸，过点𝐹分别作𝐵𝐷，𝐵𝐸的垂
线，垂足分别为𝐴，𝑀，若𝑀𝐸= 2，𝐴𝐷= 3，请直接写出𝐵𝐸的值．
【答案】（1）证明见解析
（2）𝐶𝐸= 𝐵𝐸+ 𝐵𝐷．理由见解析；
（3）𝐵𝐸=
16
3
【分析】（1）利用等边三角形内角均为60°的性质，通过角的和差关系推导出一组等角，再结合等边三角
形的边相等，用ASA证明△𝐵𝐷𝐸≌△𝐶𝐸𝐹．
（2）在𝐶𝐸上截取𝑀𝐸= 𝐵𝐷，构造△𝐵𝐷𝐸与△𝑀𝐸𝐹全等，得到对应边和对应角相等；再利用Rt △𝐴𝐵𝐶中∠
𝐶= 30°的性质，证明𝑀𝐹= 𝑀𝐶，从而推导出𝐶𝐸= 𝐵𝐷+ 𝐵𝐸．
（3）连接𝐷𝐸，延长𝐵𝐸交𝐴𝐹的延长线于点𝑀，过点𝐸作𝐸𝐺⊥𝐴𝐵于𝐺，𝐸𝐻⊥𝐴𝐶于𝐻．先证明△𝐷𝐸𝐹为等边三
角形，结合𝐴𝐹⊥𝐴𝐵，由（2）的结论得𝐶𝐸= 𝐵𝐷+ 𝐵𝐸；再证明△𝐸𝐺𝐷≌△𝐹𝑀𝐸，得𝐷𝐺= 𝐸𝑀= 2；证明四
边形𝐸𝐺𝐴𝐻是长方形，得𝐸𝐻= 𝐴𝐺= 𝐴𝐷+ 𝐷𝐺= 5；证明∠𝐴𝐶𝐸= 30°，得𝐶𝐸= 2𝐸𝐹= 10；最后利用
2𝐴𝐵= 𝐵𝐶= 𝐵𝐸+ 𝐶𝐸求解𝐵𝐸．
【详解】（1）证明：∵△𝐴𝐵𝐶是等边三角形，
∴∠𝐵= ∠𝐶= 60°，
∵△𝐷𝐸𝐹是等边三角形，
∴𝐷𝐸= 𝐸𝐹，∠𝐷𝐸𝐹= 60°，
∵∠𝐵+ ∠𝐵𝐷𝐸+ ∠𝐵𝐸𝐷= 180°，∠𝐷𝐸𝐹+ ∠𝐵𝐸𝐷+ ∠𝐶𝐸𝐹= 180°，
∴∠𝐵𝐷𝐸= ∠𝐶𝐸𝐹
在△𝐵𝐷𝐸和△𝐶𝐸𝐹中，
∠𝐵= ∠𝐶
∠𝐵𝐷𝐸= ∠𝐶𝐸𝐹
𝐷𝐸= 𝐸𝐹
，
∴△𝐵𝐷𝐸≌△𝐶𝐸𝐹（ASA）；
（2）解：𝐶𝐸= 𝐵𝐸+ 𝐵𝐷，理由如下：
在𝐶𝐸上截取𝑀𝐸= 𝐵𝐷，连接𝐹𝑀，
∵∠𝐴= 90°，∠𝐵= 60°，
∴∠𝐶= 30°，
∵△𝐷𝐸𝐹是等边三角形，
∴𝐷𝐸= 𝐸𝐹，∠𝐷𝐸𝐹= 60°，
∵∠𝐵+ ∠𝐵𝐷𝐸+ ∠𝐵𝐸𝐷= 180°，∠𝐷𝐸𝐹+ ∠𝐵𝐸𝐷+ ∠𝐹𝐸𝑀= 180°，
∴∠𝐵𝐷𝐸= ∠𝐹𝐸𝑀，
在△𝐵𝐷𝐸和△𝑀𝐸𝐹中，
𝐵𝐷= 𝑀𝐸
∠𝐵𝐷𝐸= ∠𝑀𝐸𝐹
𝐷𝐸= 𝐸𝐹
∴△𝐵𝐷𝐸≌△𝑀𝐸𝐹（SAS），
∴𝐵𝐸= 𝑀𝐹，∠𝐵= ∠𝐸𝑀𝐹= 60°，
∵∠𝐸𝑀𝐹= ∠𝐶+ ∠𝑀𝐹𝐶，
∴∠𝑀𝐹𝐶= ∠𝐸𝑀𝐹−∠𝐶= 30°，
∴∠𝑀𝐹𝐶= ∠𝐶，
∴𝑀𝐹= 𝑀𝐶，
∴𝑀𝐶= 𝐵𝐸，
∵𝐶𝐸= 𝑀𝐸+ 𝑀𝐶，
∴𝐶𝐸= 𝐵𝐷+ 𝐵𝐸；
（3）解：连接𝐷𝐸，延长𝐵𝐸交𝐴𝐹的延长线于点𝐶，过点𝐸作𝐸𝐺⊥𝐴𝐵于𝐺，𝐸𝐻⊥𝐴𝐶于𝐻，
∵∠𝐵= ∠𝐷𝐹𝐸= 60°，𝐹𝐷= 𝐹𝐸，𝐴𝐹⊥𝐴𝐵，
∴△𝐷𝐸𝐹是等边三角形，∠𝐶= 90°−∠𝐵= 30°，
∴∠𝐷𝐸𝐹= 60° = ∠𝐵，𝐷𝐸= 𝐸𝐹= 𝐷𝐹，
∵∠𝐷𝐸𝑀= ∠𝑀𝐸𝐹+ ∠𝐷𝐸𝐹= ∠𝐵+ ∠𝐺𝐷𝐸，
∴∠𝑀𝐸𝐹= ∠𝐺𝐷𝐸，
∵𝐴𝐹⊥𝐴𝐵，∠𝐴= 90°，
∴由（2）得𝐶𝐸= 𝐵𝐷+ 𝐵𝐸，
∵𝐸𝐺⊥𝐴𝐵，𝐹𝑀⊥𝐵𝐸，
∴∠𝐷𝐺𝐸= ∠𝐸𝑀𝐹= 90°，
在△𝐸𝐺𝐷和△𝐹𝑀𝐸中，
∠𝐷𝐺𝐸= ∠𝐸𝑀𝐹
∠𝑀𝐸𝐹= ∠𝐺𝐷𝐸
𝐷𝐸= 𝐸𝐹
，
∴△𝐸𝐺𝐷≌△𝐹𝑀𝐸（AAS），
∴𝐷𝐺= 𝐸𝑀= 2，
∵𝐸𝐺⊥𝐴𝐵，𝐸𝐻⊥𝐴𝐶，∠𝐴= 90°，
∴四边形𝐸𝐺𝐴𝐻是长方形，
∴𝐸𝐻= 𝐴𝐺= 𝐴𝐷+ 𝐷𝐺= 3 + 2 = 5，
∵∠𝐶= 30°，𝐸𝐻⊥𝐴𝐶，∠𝐴= 90°，
∴𝐶𝐸= 2𝐸𝐹= 10，𝐵𝐶= 2𝐴𝐵= 2𝐵𝐷+ 2𝐴𝐷= 2𝐵𝐷+ 6，
∵𝐵𝐶= 𝐵𝐸+ 𝐶𝐸= 𝐵𝐸+ 10，
∴2𝐵𝐷+ 6 = 𝐵𝐸+ 10，
∵𝐶𝐸= 𝐵𝐷+ 𝐵𝐸= 10，即𝐵𝐷= 10−𝐵𝐸，
∴20−2𝐵𝐸+ 6 = 𝐵𝐸+ 10
解得𝐵𝐸=
16
3 ．
【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定与性质、等边三角形的判定与性质、直角三角形的性质等知识
点，熟练掌握全等三角形的构造方法和特殊三角形、四边形的边角关系是解题的关键．
【题型7 补短构造全等】
【例7】如图，在边长为5 的正方形𝐴𝐵𝐶𝐷内作∠𝐸𝐴𝐹= 45°，𝐴𝐸交𝐵𝐶于点𝐸，𝐴𝐹交𝐶𝐷于点𝐹，连接𝐸𝐹．若
𝐷𝐹= 2，则𝐵𝐸的长为（ ）
A．
15
7
B．
4
3
C．
3
4
D．2
【答案】A
【分析】本题考查了正方形的性质、全等三角形的性质与判定、勾股定理，添加辅助线构造全等三角形是
解题的关键．延长𝐶𝐵至𝐺使得𝐵𝐺= 𝐷𝐹= 2，连接𝐴𝐺，根据正方形的性质证明△𝐴𝐵𝐺≌△𝐴𝐷𝐹，得出
𝐴𝐺= 𝐴𝐹，∠𝐵𝐴𝐺= ∠𝐷𝐴𝐹，进而再证出△𝐴𝐸𝐺≌△𝐴𝐸𝐹，得到𝐸𝐺= 𝐸𝐹，设𝐵𝐸= 𝑥，在Rt △𝐶𝐸𝐹中利用勾
股定理列出方程，求出𝑥的值即可解答．
【详解】解：如图，延长𝐶𝐵至𝐺使得𝐵𝐺= 𝐷𝐹= 2，连接𝐴𝐺，
∵边长为5 的正方形𝐴𝐵𝐶𝐷，
∴𝐴𝐵= 𝐴𝐷= 𝐶𝐷= 𝐵𝐶= 5，∠𝐵𝐴𝐷= ∠𝐴𝐵𝐶= ∠𝐶= ∠𝐷= 90°，
∴∠𝐴𝐵𝐺= 90° = ∠𝐷，𝐶𝐹= 𝐶𝐷−𝐷𝐹= 5−2 = 3，
又∵𝐵𝐺= 𝐷𝐹，
∴△𝐴𝐵𝐺≌△𝐴𝐷𝐹(SAS)，
∴𝐴𝐺= 𝐴𝐹，∠𝐵𝐴𝐺= ∠𝐷𝐴𝐹，
∵∠𝐸𝐴𝐹= 45°，
∴∠𝐵𝐴𝐸+ ∠𝐷𝐴𝐹= 90°−45° = 45°，
∴∠𝐵𝐴𝐸+ ∠𝐵𝐴𝐺= 45°，即∠𝐸𝐴𝐺= 45°，
∴∠𝐸𝐴𝐺= ∠𝐸𝐴𝐹，
又∵𝐴𝐸= 𝐴𝐸，
∴△𝐴𝐸𝐺≌△𝐴𝐸𝐹(SAS)，
∴𝐸𝐺= 𝐸𝐹，
设𝐵𝐸= 𝑥，则𝐸𝐹= 𝐸𝐺= 𝐵𝐸+ 𝐵𝐺= 𝑥+ 2，𝐶𝐸= 𝐵𝐶−𝐵𝐸= 5−𝑥，
∵在Rt △𝐶𝐸𝐹中，𝐶𝐸2 +𝐶𝐹2 = 𝐸𝐹2，
∴(5−𝑥)2 + 32 = (𝑥+ 2)2，
解得：𝑥=
15
7 ，
即𝐵𝐸=
15
7 ．
故选：A．
【变式7-1】如图，已知𝛥𝐴𝐵𝐶中，∠𝐴= 60°，D 为𝐴𝐵上一点，且𝐴𝐶= 2𝐴𝐷+ 𝐵𝐷,∠𝐵= 4∠𝐴𝐶𝐷，则∠𝐷𝐶𝐵的
度数是_________．
【答案】20°
【分析】延长𝐴𝐵至点E 使𝐵𝐸= 𝐴𝐷，连接𝐶𝐸，证明△𝐴𝐸𝐶是等边三角形，设∠𝐴𝐶𝐷= 𝑥，则∠𝐴𝐵𝐶= 4𝑥，再
证明△𝐴𝐷𝐶≅△𝐸𝐵𝐶(𝑆𝐴𝑆)，即可得到结果．
【详解】解：如图，延长𝐴𝐵至点E 使𝐵𝐸= 𝐴𝐷，连接𝐶𝐸．
∴𝐴𝐸= 𝐴𝐷+ 𝐷𝐵+ 𝐵𝐸= 2𝐴𝐷+ 𝐵𝐷，
∵𝐴𝐶= 2𝐴𝐷+ 𝐵𝐷，
∴𝐴𝐸= 𝐴𝐶．
∵∠𝐴= 60°，
∴△𝐴𝐸𝐶是等边三角形，
∴∠𝐸= ∠𝐴𝐶𝐸= 60°，
∵∠𝐴𝐵𝐶= 4∠𝐴𝐶𝐷，
∴设∠𝐴𝐶𝐷= 𝑥，则∠𝐴𝐵𝐶= 4𝑥．在△𝐴𝐷𝐶与△𝐸𝐵𝐶中，
∵
𝐴𝐷= 𝐵𝐸
∠𝐴= ∠𝐸
𝐴𝐶= 𝐸𝐶
，
∴△𝐴𝐷𝐶≅△𝐸𝐵𝐶(𝑆𝐴𝑆)，
∴∠𝐴𝐶𝐷= ∠𝐸𝐶𝐵= 𝑥．
∵∠𝐴𝐵𝐶= ∠𝐸+ ∠𝐵𝐶𝐸，
∴4𝑥= 60° + 𝑥，
∴𝑥= 20°，
∴∠𝐵𝐶𝐷= 60°−20°−20° = 20°．
故答案是20°．
【点睛】本题主要考查了等边三角形的性质与判定，全等三角形的性质与判定，准确分析计算是解题的关
键．
【变式7-2】如图1，等腰△𝐴𝐵𝐶，𝐴𝐵= 𝐴𝐶，∠𝐴< 60°，𝐷为△𝐴𝐵𝐶外部一点，在𝐴𝐵的右侧作
∠𝐴𝐵𝐷= 60°，且∠𝐴𝐷𝐵= ∠𝐴𝐶𝐵．
(1)探究线段𝐴𝐵、𝐶𝐷和𝐵𝐷的数量关系；
(2)若将“∠𝐴< 60°”改为“∠𝐴> 60°”，（1）中的结论是否还成立？若成立，给出证明；若不成立，给出正确
的结论，并简要说明理由．
【答案】(1)𝐴𝐵= 𝐶𝐷+ 𝐵𝐷
(2)不成立，𝐴𝐵= 𝐵𝐷−𝐶𝐷，理由见解析
【分析】本题考查了等边三角形的性质与判定、全等三角形的性质与判定、三角形内角和定理，添加适当
的辅助线构造全等三角形是解题的关键．
（1）延长𝐵𝐷至点𝐸使得𝐵𝐸= 𝐴𝐵，由∠𝐴𝐵𝐷= 60°得到△𝐴𝐵𝐸是等边三角形，利用三角形内角和定理得到
∠𝐶𝐴𝐷= ∠𝐶𝐵𝐷，通过证明△𝐴𝐶𝐷≌△𝐴𝐸𝐷，得到𝐶𝐷= 𝐸𝐷，再利用线段的和差即可得出结论；
（2）在𝐵𝐷上取点𝐸使得𝐵𝐸= 𝐴𝐵，由∠𝐴𝐵𝐷= 60°得到△𝐴𝐵𝐸是等边三角形，利用三角形内角和定理得到
∠𝐶𝐴𝐷= ∠𝐶𝐵𝐷，通过证明△𝐴𝐶𝐷≌△𝐴𝐸𝐷，得到𝐶𝐷= 𝐸𝐷，再利用线段的和差即可得出结论．
【详解】（1）解：如图，延长𝐵𝐷至点𝐸使得𝐵𝐸= 𝐴𝐵，设𝐴𝐶与𝐵𝐷交于点𝐹，
∵∠𝐴𝐵𝐷= 60°，
∴△𝐴𝐵𝐸是等边三角形，
∴𝐴𝐸= 𝐴𝐵，∠𝐵𝐴𝐸= ∠𝐸= 60°，
∵𝐴𝐵= 𝐴𝐶，
∴∠𝐴𝐵𝐶= ∠𝐴𝐶𝐵，𝐴𝐶= 𝐴𝐸，
∵∠𝐴𝐷𝐵= ∠𝐴𝐶𝐵，∠𝐴𝐹𝐷= ∠𝐵𝐹𝐶，
∴∠𝐶𝐴𝐷= ∠𝐶𝐵𝐷，
设∠𝐶𝐴𝐷= ∠𝐶𝐵𝐷= 𝛼，则∠𝐴𝐵𝐶= 60° + 𝛼，
∴∠𝐵𝐴𝐶= 180°−2∠𝐴𝐵𝐶= 180°−2(60° + 𝛼) = 60°−2𝛼，
∴∠𝐸𝐴𝐷= ∠𝐵𝐴𝐸−∠𝐵𝐴𝐶−∠𝐶𝐴𝐷= 60°−(60°−2𝛼)−𝛼= 𝛼，
∴∠𝐶𝐴𝐷= ∠𝐸𝐴𝐷，
又∵𝐴𝐶= 𝐴𝐸，𝐴𝐷= 𝐴𝐷，
∴△𝐴𝐶𝐷≌△𝐴𝐸𝐷(SAS)，
∴𝐶𝐷= 𝐸𝐷，
∴𝐵𝐸= 𝐸𝐷+ 𝐵𝐷= 𝐶𝐷+ 𝐵𝐷，
∴𝐴𝐵= 𝐶𝐷+ 𝐵𝐷；
（2）解：不成立，𝐴𝐵= 𝐵𝐷−𝐶𝐷，理由如下：
如图，在𝐵𝐷上取点𝐸使得𝐵𝐸= 𝐴𝐵，设𝐴𝐷与𝐵𝐶交于点𝐹，
∵∠𝐴𝐵𝐷= 60°，
∴△𝐴𝐵𝐸是等边三角形，
∴𝐴𝐸= 𝐴𝐵，∠𝐵𝐴𝐸= ∠𝐴𝐸𝐵= 60°，
∵𝐴𝐵= 𝐴𝐶，
∴∠𝐴𝐵𝐶= ∠𝐴𝐶𝐵，𝐴𝐶= 𝐴𝐸，
∵∠𝐴𝐷𝐵= ∠𝐴𝐶𝐵，∠𝐴𝐹𝐶= ∠𝐵𝐹𝐷，
∴∠𝐶𝐴𝐷= ∠𝐶𝐵𝐷，
设∠𝐶𝐴𝐷= ∠𝐶𝐵𝐷= 𝛼，则∠𝐴𝐵𝐶= 60°−𝛼，
∴∠𝐵𝐴𝐶= 180°−2∠𝐴𝐵𝐶= 180°−2(60°−𝛼) = 60° + 2𝛼，
∴∠𝐸𝐴𝐷= ∠𝐵𝐴𝐶−∠𝐵𝐴𝐸−∠𝐶𝐴𝐷= 60° + 2𝛼−60°−𝛼= 𝛼，
∴∠𝐶𝐴𝐷= ∠𝐸𝐴𝐷，
又∵𝐴𝐶= 𝐴𝐸，𝐴𝐷= 𝐴𝐷，
∴△𝐴𝐶𝐷≌△𝐴𝐸𝐷(SAS)，
∴𝐶𝐷= 𝐸𝐷，
∴𝐵𝐸= 𝐵𝐷−𝐸𝐷= 𝐵𝐷−𝐶𝐷，
∴𝐴𝐵= 𝐵𝐷−𝐶𝐷．
【变式7-3】（25-26 八年级上·陕西延安·期末）“截长补短”添加辅助线构造全等三角形是常见的辅助线添加
方法，可以根据题目要求和图形特征，灵活运用此方法添加辅助线，构造全等三角形解决线段（角）的数
量关系问题，某数学小组借助以下数学问题对“截长补短”添加辅助线构造全等三角形的方法进行了深入学
习．如图，在四边形𝐴𝐵𝐶𝐷中，𝐴𝐵= 𝐴𝐷，𝐸，𝐹分别是直线𝐵𝐶，𝐶𝐷上的点．
(1)如图①，若∠𝐴𝐵𝐶= ∠𝐴𝐷𝐶= 90°，𝐸，𝐹分别在线段𝐵𝐶，𝐶𝐷上，且满足∠𝐸𝐴𝐹=
1
2∠𝐵𝐴𝐷，试探究线段
𝐸𝐹，𝐵𝐸，𝐷𝐹之间的数量关系；数学小组探究此问题的方法是：延长𝐶𝐵到点𝐺，使𝐵𝐺= 𝐷𝐹，连接𝐴𝐺，请你
帮该数学小组完成解题过程；
(2)如图②，若∠𝐴𝐵𝐶+ ∠𝐴𝐷𝐶= 180°，点𝐸在𝐶𝐵的延长线上，且𝐵𝐸> 𝐶𝐷，点𝐹在𝐶𝐷的延长线上，若
𝐸𝐹= 𝐵𝐸+ 𝐷𝐹，请探究∠𝐸𝐴𝐹与∠𝐵𝐴𝐷之间的数量关系，并说明理由．
【答案】(1)𝐸𝐹= 𝐵𝐸+ 𝐷𝐹，理由见详解；
(2)∠𝐸𝐴𝐹= 180°−
1
2∠𝐷𝐴𝐵，理由见详解
【分析】（1）延长𝐶𝐵到点𝐺，使𝐵𝐺= 𝐷𝐹，连接𝐴𝐺，通过证明△𝐴𝐵𝐺≌△𝐴𝐷𝐹，得到对应角、对应边相等，
继而得证△𝐴𝐸𝐹≌△𝐴𝐸𝐺，得到𝐸𝐹= 𝐸𝐺= 𝐵𝐸+ 𝐷𝐹．
（2）在𝐷𝐶的延长线上取一点𝐺，使得𝐷𝐺= 𝐵𝐸，连接𝐴𝐺，通过证明△𝐴𝐵𝐸≌△𝐴𝐷𝐺，得到对应角、对应边
相等，继而得证△𝐴𝐸𝐹≌△𝐴𝐺𝐹，得到∠𝐹𝐴𝐸= ∠𝐹𝐴𝐺，根据圆周角为360°，得到∠𝐸𝐴𝐹= 180°−
1
2∠𝐷𝐴𝐵．
【详解】（1）解：线段𝐸𝐹，𝐵𝐸，𝐷𝐹之间的数量关系为：𝐸𝐹= 𝐵𝐸+ 𝐷𝐹，理由：
如图，延长𝐶𝐵到点𝐺，使𝐵𝐺= 𝐷𝐹，连接𝐴𝐺，
∵∠𝐴𝐵𝐶= ∠𝐴𝐷𝐶= 90°，
∴∠𝐴𝐵𝐺= ∠𝐴𝐷𝐹= 90°，
又∵𝐴𝐵= 𝐴𝐷，𝐵𝐺= 𝐷𝐹，
∴△𝐴𝐵𝐺≌△𝐴𝐷𝐹(SAS)，
∴∠𝐵𝐴𝐺= ∠𝐷𝐴𝐹，𝐴𝐹= 𝐴𝐺，
∴∠𝐹𝐴𝐺= ∠𝐷𝐴𝐵，
∵∠𝐸𝐴𝐹=
1
2∠𝐵𝐴𝐷，
∴∠𝐸𝐴𝐹=
1
2∠𝐹𝐴𝐺，
∴∠𝐸𝐴𝐹= ∠𝐸𝐴𝐺，
在△𝐴𝐸𝐹和△𝐴𝐸𝐺中，
𝐴𝐸= 𝐴𝐸
∠𝐸𝐴𝐹= ∠𝐸𝐴𝐺
𝐴𝐹= 𝐴𝐺
，
∴△𝐴𝐸𝐹≌△𝐴𝐸𝐺(SAS)，
∴𝐸𝐹= 𝐸𝐺= 𝐵𝐸+ 𝐵𝐺，
∴𝐸𝐹= 𝐵𝐸+ 𝐷𝐹；
（2）解：∠𝐸𝐴𝐹= 180°−
1
2∠𝐷𝐴𝐵，理由：
如图，在𝐷𝐶的延长线上取一点𝐺，使得𝐷𝐺= 𝐵𝐸，连接𝐴𝐺，
∵∠𝐴𝐵𝐶+ ∠𝐴𝐷𝐶= 180°，∠𝐴𝐵𝐶+ ∠𝐴𝐵𝐸= 180°，
∴∠𝐴𝐷𝐶= ∠𝐴𝐵𝐸，
∵𝐴𝐵= 𝐴𝐷，𝐷𝐺= 𝐵𝐸，
∴△𝐴𝐵𝐸≌△𝐴𝐷𝐺(SAS)，
∴𝐴𝐺= 𝐴𝐸，∠𝐷𝐴𝐺= ∠𝐵𝐴𝐸，
∵𝐸𝐹= 𝐵𝐸+ 𝐷𝐹，𝐷𝐺= 𝐵𝐸，
∴𝐸𝐹= 𝐷𝐺+ 𝐷𝐹= 𝐺𝐹，
在△𝐴𝐸𝐹和△𝐴𝐺𝐹中，
𝐴𝐸= 𝐴𝐺
𝐹𝐴= 𝐹𝐴
𝐸𝐹= 𝐺𝐹
，
∴△𝐴𝐸𝐹≌△𝐴𝐺𝐹(SSS)，
∴∠𝐹𝐴𝐸= ∠𝐹𝐴𝐺，
∵∠𝐹𝐴𝐸+ ∠𝐸𝐴𝐺+ ∠𝐹𝐴𝐺= 360°，∠𝐸𝐴𝐺= ∠𝐵𝐴𝐸+ ∠𝐵𝐴𝐺，
∴2∠𝐹𝐴𝐸+ (∠𝐵𝐴𝐸+ ∠𝐵𝐴𝐺) = 360°，
∵∠𝐷𝐴𝐺= ∠𝐵𝐴𝐸，
∴2∠𝐹𝐴𝐸+ (∠𝐷𝐴𝐺+ ∠𝐵𝐴𝐺) = 360°，
即2∠𝐸𝐴𝐹+ ∠𝐷𝐴𝐵= 360°，
∴∠𝐸𝐴𝐹=
1
2(360°−∠𝐷𝐴𝐵) = 180°−
1
2∠𝐷𝐴𝐵．
【题型8 旋转构造全等】
【例8】点M、N 分别在正方形𝐴𝐵𝐶𝐷的边𝐶𝐷、𝐵𝐶上，已知△𝑀𝐶𝑁的周长等于正方形𝐴𝐵𝐶𝐷周长的一半，则
∠𝑀𝐴𝑁的度数为______．
【答案】45°/45 度
【分析】由题意得𝑀𝑁= 𝐷𝑀+ 𝐵𝑁，将△𝐴𝐷𝑀绕点𝐴顺时针旋转90°得到△𝐴𝐵𝐸,证△𝐴𝑀𝑁≌△𝐴𝐸𝑁即可求
解．
【详解】解：𝐶△𝑀𝐶𝑁= 𝑀𝑁+ 𝐶𝑀+ 𝐶𝑁,𝐶□𝐴𝐵𝐶𝐷= 2(𝐶𝐷+ 𝐶𝐵)
∴𝑀𝑁+ 𝐶𝑀+ 𝐶𝑁= 𝐶𝐷+ 𝐶𝐵
即𝑀𝑁= 𝐷𝑀+ 𝐵𝑁
将△𝐴𝐷𝑀绕点𝐴顺时针旋转90°得到△𝐴𝐵𝐸，如图所示：
∴𝐴𝐸= 𝐴𝑀,𝐵𝐸= 𝐷𝑀,∠𝐴𝐵𝐸= ∠𝐴𝐷𝑀= ∠𝑀𝐴𝐸= 90°
∵∠𝐴𝐵𝐶= 90°
∴𝐸在𝐶𝐵的延长线上
∴𝐸𝑁= 𝐵𝐸+ 𝑁𝐵= 𝐷𝑀+ 𝐵𝑁= 𝑀𝑁
∴△𝐴𝑀𝑁≌△𝐴𝐸𝑁
∴∠𝑀𝐴𝑁= ∠𝐸𝐴𝑁= 1
2 ∠𝑀𝐴𝐸= 45°
【点睛】本题考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质、旋转等．根据几何条件进行严密的几何推
理是解题关键．
【变式8-1】如图，在五边形𝐴𝐵𝐶𝐷𝐸中，∠𝐵= ∠𝐸= 90°，∠𝐶𝐴𝐷=
1
2∠𝐵𝐴𝐸，𝐴𝐵= 𝐴𝐸，且𝐶𝐷= 3，
𝐴𝐸= 4，则五边形𝐴𝐵𝐶𝐷𝐸的面积为（ ）
A．6
B．8
C．10
D．12
【答案】D
【分析】本题考查了旋转的性质、全等三角形的判定与性质、三点共线，解题的关键是利用全等的性质将
面积进行转化．
将△𝐴𝐵𝐶绕点A 逆时针旋转至△𝐴𝐸𝐹，首先证明点D，E，F 三点共线，证明△𝐴𝐶𝐷≌△𝐴𝐹𝐷(SAS)，得到
𝐶𝐷= 𝐷𝐹= 3，𝑆△𝐴𝐶𝐷= 𝑆△𝐴𝐹𝐷，再将所求面积转化为2𝑆△𝐴𝐹𝐷进行计算即可．
【详解】如图，将△𝐴𝐵𝐶绕点A 逆时针旋转至△𝐴𝐸𝐹，
∵𝐴𝐵=𝐴𝐸，∠𝐵= ∠𝐸= 90°，
则𝐴𝐹= 𝐴𝐶，∠𝐵= ∠𝐴𝐸𝐷= ∠𝐴𝐸𝐹= 90°，
∴∠𝐷𝐸𝐹= 180°，即点D，E，F 三点共线，
∵∠𝐶𝐴𝐷=
1
2∠𝐵𝐴𝐸，
∠𝐵𝐴𝐶+ ∠𝐷𝐴𝐸= ∠𝐷𝐴𝐸+ ∠𝐸𝐴𝐹= ∠𝐶𝐴𝐷，
即∠𝐹𝐴𝐷= ∠𝐶𝐴𝐷，
在△𝐴𝐶𝐷和△𝐴𝐹𝐷中
𝐴𝐶= 𝐴𝐹
∠𝐶𝐴𝐷= ∠𝐹𝐴𝐷
𝐴𝐷= 𝐴𝐷
，
∴△𝐴𝐶𝐷≌△𝐴𝐹𝐷(SAS)
∴𝐶𝐷= 𝐷𝐹，𝑆△𝐴𝐶𝐷= 𝑆△𝐴𝐹𝐷
∵ 𝐶𝐷= 3，
∴𝐷𝐹= 3，
五边形𝐴𝐵𝐶𝐷𝐸的面积为：
𝑆四边形𝐴𝐶𝐷𝐸+ 𝑆△𝐴𝐵𝐶= 𝑆四边形𝐴𝐶𝐷𝐸+ 𝑆△𝐴𝐸𝐹
= 𝑆△𝐴𝐶𝐷+ 𝑆△𝐴𝐹𝐷= 2𝑆△𝐴𝐹𝐷，
= 2 ×
1
2 × 𝐷𝐹× 𝐴𝐸，
= 2 × 1
2 × 3 × 4
= 12．
故选：D．
【变式8-2】如图，正方形𝐴𝐵𝐶𝐷中，𝐶𝐸∥𝐵𝐷，𝐵𝐸= 𝐵𝐷，则∠𝐶𝐷𝐸= ___．
【答案】30°/30 度
【分析】把△𝐵𝐶𝐸逆时针旋转90°得到△𝐵𝐴𝐺，则∠𝐵𝐴𝐺= ∠𝐵𝐶𝐸，𝐵𝐺= 𝐵𝐸，∠𝐺𝐵𝐸= 90°，先证出C、A、G
三点共线，得出∠𝐵𝐴𝐺= 135°，∠𝐵𝐴𝐺= ∠𝐷𝐴𝐺，由SAS证明△𝐵𝐴𝐺≌△𝐷𝐴𝐺，得出𝐵𝐺= 𝐷𝐺，证出
𝐵𝐺= 𝐷𝐺= 𝐵𝐸，即△𝐵𝐷𝐺是等边三角形，得出∠𝐺𝐵𝐷= 60°，∠𝐷𝐵𝐸= 30°，再由三角形的内角和定理求出
即可．
【详解】解：把△𝐵𝐶𝐸逆时针旋转90°得到△𝐵𝐴𝐺，连接𝐷𝐺、𝐴𝐶、𝐴𝐺；如图所示：
则∠𝐵𝐴𝐺= ∠𝐵𝐶𝐸，𝐵𝐺= 𝐵𝐸，∠𝐺𝐵𝐸= 90°，
∵四边形𝐴𝐵𝐶𝐷是正方形，
∴∠𝐵𝐶𝐷= 90°，∠𝐵𝐴𝐶= ∠𝐷𝐴𝐶= ∠𝐵𝐷𝐶= 45°，𝐴𝐵= 𝐴𝐷，
∵𝐶𝐸∥𝐵𝐷，
∴∠𝐷𝐶𝐸= ∠𝐵𝐷𝐶= 45°，
∴∠𝐵𝐶𝐸= 90° + 45° = 135°，
∴∠𝐵𝐴𝐺= 135°，
∴∠𝐵𝐴𝐺= 135°，
∴∠𝐵𝐴𝐺+ ∠𝐵𝐴𝐶= 135° + 45° = 180°，
∴点C、A、G 三点共线，
∴∠𝐷𝐴𝐺= 180°−45° = 135°，
∴∠𝐵𝐴𝐺= ∠𝐷𝐴𝐺，
在△𝐵𝐴𝐺和△𝐷𝐴𝐺中，
𝐴𝐵= 𝐴𝐷
∠𝐵𝐴𝐺= ∠𝐷𝐴𝐺
𝐴𝐺= 𝐴𝐺
，
∴△𝐵𝐴𝐺≌△𝐷𝐴𝐺(SAS)，
∴𝐵𝐺= 𝐷𝐺，
∵𝐵𝐷= 𝐵𝐸，
∴𝐵𝐺= 𝐷𝐺= 𝐵𝐸，
即△𝐵𝐷𝐺是等边三角形，
∴∠𝐺𝐵𝐷= 60°，
∴∠𝐷𝐵𝐸= 90°−60° = 30°，
∴∠𝐵𝐷𝐸= ∠𝐵𝐸𝐷=
1
2(180°−30°) = 75°，
∴∠𝐶𝐷𝐸= ∠𝐵𝐷𝐸−∠𝐵𝐷𝐶= 30°．
故答案为：30°．
【点睛】本题考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质、三点共线、等边三角形的判定与性质、三
角形的外角性质；熟练掌握正方形的性质，并能进行推理论证与计算是解决问题的关键．
【变式8-3】（24-25 八年级上·辽宁大连·阶段检测）△𝐴𝐵𝐶是边长为3 的等边三角形，△𝐵𝐷𝐶是等腰三角
形，且∠𝐵𝐷𝐶= 120°．以D 为顶点作一个60°角，使其两边分别交𝐴𝐵于点M，交𝐴𝐶于点N，连接𝑀𝑁，则△𝐴𝑀𝑁
的周长为（ ）
A．6
B．5.5
C．6.5
D．5.9
【答案】A
【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，等边三角形的性质；主要利用等边三角形和等腰三角形的
性质来证明三角形全等，构造另一个三角形是解题的关键．
将△𝐷𝐶𝑁绕点𝐷逆时针旋转120°，得到相等的角和线段，得出△𝑀𝐷𝐸≌△𝑀𝐷𝑁，得出相等的线段，然后利
用等量代换可求解．
【详解】解：如图，将△𝐷𝐶𝑁绕点𝐷逆时针旋转120°，
∵△𝐵𝐷𝐶是等腰三角形，∠𝐵𝐷𝐶= 120°，
∴𝐷𝐶与𝐷𝐵重合，∠𝐷𝐵𝐶= ∠𝐷𝐶𝐵=
1
2(180°−∠𝐵𝐷𝐶) = 30°，
∴△𝐷𝐶𝑁≌△𝐷𝐵𝐸，
∴𝐶𝑁= 𝐵𝐸，𝐷𝑁= 𝐷𝐸，∠𝐶𝐷𝑁= ∠𝐵𝐷𝐸，
∵△𝐴𝐵𝐶是边长为3 的等边三角形，
∴∠𝐴𝐵𝐶= ∠𝐴𝐶𝐵= 60°，𝐴𝐵= 𝐴𝐶= 3，
∴∠𝐷𝐶𝑁= ∠𝐷𝐶𝐵+ ∠𝐴𝐶𝐵= 30° + 60° = 90°，∠𝐷𝐵𝑀= ∠𝐷𝐵𝐶+ ∠𝐴𝐵𝐶= 30° + 60° = 90°，
∴∠𝐷𝐵𝐸= ∠𝐷𝐶𝑁= 90°，
∴∠𝐷𝐵𝐸+ ∠𝐷𝐵𝑀= 90° + 90° = 180°，
∴点𝐸,𝐵,𝑀在同一条直线上，
∵∠𝐵𝐷𝐶= 120°，∠𝑀𝐷𝑁= 60°，
∴∠𝐵𝐷𝑀+ ∠𝐶𝐷𝑁= ∠𝐵𝐷𝐶−∠𝑀𝐷𝑁= 120°−60° = 60°，
∴∠𝐵𝐷𝑀+ ∠𝐵𝐷𝐸= 60°，即∠𝑀𝐷𝐸= 60°，
∴∠𝑀𝐷𝐸= ∠𝑀𝐷𝑁= 60°，
又𝐷𝐸= 𝐷𝑁，𝐷𝑀= 𝐷𝑀，
∴△𝑀𝐷𝐸≌△𝑀𝐷𝑁(SAS)，
∴𝑀𝑁= 𝑀𝐸，
∴△𝐴𝑀𝑁的周长为= 𝐴𝑀+ 𝑀𝑁+ 𝐴𝑁
= 𝐴𝑀+ 𝑀𝐸+ 𝐴𝑁
= 𝐴𝑀+ 𝑀𝐵+ 𝐵𝐸+ 𝐴𝑁
= 𝐴𝐵+ 𝐶𝑁+ 𝐴𝑁
= 𝐴𝐵+ 𝐴𝐶
= 3 + 3
= 6，
故选：A．
