第14 章 全等三角形·拔尖卷
【新教材人教版】
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共10 小题，每小题3 分，满分30 分）
1．（24-25 七年级下·河北张家口·期中）如图，△𝐴𝐵𝐶≌△𝐴𝐷𝐸，∠𝐴= 50°，∠𝐵= 30°，则∠𝐵𝑂𝐷的度数为
（ ）
A．100°
B．110°
C．120°
D．130°
【答案】B
【分析】先根据全等三角形的性质，得到∠𝐷= ∠𝐵= 30°，再根据三角形的外角的性质得出
∠𝐵𝑂𝐷= ∠𝐴+ ∠𝐵+ ∠𝐷= 110°．
【详解】解：∵△𝐴𝐵𝐶≌△𝐴𝐷𝐸，
∴∠𝐷= ∠𝐵= 30°．
∵∠𝐵𝑂𝐷= ∠𝑂𝐶𝐷+ ∠𝐷，∠𝑂𝐶𝐷= ∠𝐴+ ∠𝐵，
∴∠𝐵𝑂𝐷= ∠𝐴+ ∠𝐵+ ∠𝐷= 50° + 30° + 30° = 110°．
2．（25-26 七年级下·山东枣庄·阶段检测）下列四个选项中的图形和图中的图形不全等的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】逐一求出各选项的隐含条件，进而判断即可．
【详解】解：A．根据等腰三角形的定义可知两底角均为70°，则顶角为180°−70°−70° = 40°，根据SAS可
证明和题干图全等；
B．根据三角形内角和可知第三个角为180°−70°−40° = 70°，可知是等腰三角形，且腰长为6，根据SAS可
证明和题干图全等；
C．根据三角形内角和可知第三个角为180°−70°−40° = 70°，可知是等腰三角形，且腰长为6，根据SAS可
证明和题干图全等；
D．根据三角形内角和可知顶角为180°−70°−70° = 40°，但不知道腰长数据，无法证明全等．
3．（2025·河北邯郸·一模）有一张三角形纸片𝐴𝐵𝐶，已知∠𝐵= ∠𝐶= 𝛼，按如下两种方案用剪刀沿着箭头方
向剪开，若方案中两个阴影部分的三角形一定全等打“√”，若不一定全等打“×”．则下列判断正确的是（ ）
A．方案一：√、方案二：√
B．方案一：×、方案二：×
C．方案一：×、方案二：√
D．方案一：√、方案二：×
【答案】D
【分析】对于方案一，可以运用“角边角”的判定定理证明两个阴影部分的三角形全等；对于方案二，只有当
点N 是𝐵𝐶中点时，两个阴影部分的三角形才能全等．
【详解】解：如图，方案一：
∵∠𝐵+ ∠𝐵𝐷𝑀+ ∠𝐵𝑀𝐷= 180°，∠𝐵𝑀𝐷+ 𝛼+ ∠𝐶𝑀𝐸= 180°，∠𝐵= 𝛼，
∴∠𝐵𝐷𝑀= ∠𝐶𝑀𝐸．
又∵∠𝐵= ∠𝐶，𝐵𝐷= 𝑀𝐶= 3，
∴在△𝐵𝐷𝑀与△𝐶𝑀𝐸中，
∠𝐵= ∠𝐶
𝐵𝐷= 𝑀𝐶
∠𝐵𝐷𝑀= ∠𝐶𝑀𝐸
，
∴△𝐵𝐷𝑀≌△𝐶𝑀𝐸(ASA)，
即方案一正确；
方案二：
只有当点N 是𝐵𝐶中点时，两个阴影部分的三角形才能全等，
∴方案二中两个阴影部分的三角形不一定全等．
4．如图，𝐴𝐵= 𝐴𝐶，角平分线𝐵𝐹，𝐶𝐸交于点𝑂，𝐴𝑂与𝐵𝐶交于点𝐷，则图中共有全等三角形（ ）
A．5 对
B．6 对
C．7 对
D．8 对
【答案】C
【分析】根据题意和图形，可以写出全等的三角形，从而可以得到图中全等三角形的对数，本题得以解决．
【详解】解：∵AB=AC，角平分线BF、CE 交于点O，
∴AO 平分∠BAC，点D 为BC 的中点，
∴BD=CD，
在△BAD 和△CAD 中，
𝐴𝐵= 𝐴𝐶
𝐴𝐷= 𝐴𝐷
𝐵𝐷= 𝐶𝐷
，
∴△BAD≌△CAD（SSS）；
同理可证：△OBD≌△OCD，△OBE≌△OCF，△OEA≌△OFA，△OBA≌△OCA，△BEC≌△CFB，△ABF≌△ACF，
由上可得，图中共有7 对全等的三角形，
故选：C．
【点睛】本题考查全等三角形的判定，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
5．（25-26 七年级下·河南开封·期末）数学兴趣小组同学就“测量如图所示的河两岸A，B 两点间的距离”这
一问题，设计了如下方案．测量步骤：①在点B 所在河岸同侧的平地上取点C 和点D，使得点A，B，C
在一条直线上，且𝐶𝐷= 𝐵𝐶；②测得∠𝐶= 100°，∠𝐴𝐷𝐶= 65° ；③在𝐶𝐷的延长线上取点E，使得
∠𝐵𝐸𝐶= 15° ；④测得𝐷𝐸的长度为30m．则A，B 两点间的距离为（ ）
A．20m
B．25m
C．30m
D．35m
【答案】C
【分析】利用全等三角形的判定和性质并结合三角形内角和定理可得∠𝐶𝐴𝐷= ∠𝐵𝐸𝐶，可证明
△𝐴𝐶𝐷≌△𝐸𝐶𝐵(AAS)，从而得到𝐴𝐶= 𝐶𝐸，即可解答．
【详解】解：∵∠𝐶= 100°,∠𝐴𝐷𝐶= 65°，
∴∠𝐶𝐴𝐷= 180°−∠𝐶−∠𝐴𝐷𝐶= 15°，
∵∠𝐵𝐸𝐶= 15° ，
∴∠𝐶𝐴𝐷= ∠𝐵𝐸𝐶，
在△𝐴𝐶𝐷和△𝐸𝐶𝐵中，
∵∠𝐶= ∠𝐶 ，∠𝐶𝐴𝐷= ∠𝐵𝐸𝐶，𝐶𝐷= 𝐵𝐶，
∴△𝐴𝐶𝐷≌△𝐸𝐶𝐵(AAS)，
∴𝐴𝐶= 𝐶𝐸，
∵𝐶𝐷= 𝐵𝐶，
∴𝐴𝐶−𝐵𝐶= 𝐶𝐸−𝐶𝐷，即𝐴𝐵= 𝐷𝐸 ，
∵𝐷𝐸 的长度为30m，
∴𝐴𝐵= 𝐷𝐸= 30m，
即A、B 两点间的距离为30m．
6．（25-26 八年级上·河北衡水·期末）如图，在四边形𝐴𝐵𝐶𝐷中，𝐵𝐷平分∠𝐴𝐵𝐶，𝐶𝐷⊥𝐵𝐶，点𝐸在边𝐵𝐶上，
𝐷𝐸 = 𝐴𝐷，若𝑆△𝐴𝐵𝐷= 24，𝑆△𝐵𝐸𝐷= 13，则𝑆△𝐶𝐷𝐸的值为（ ）
A．5.5
B．6.5
C．11
D．12
【答案】A
【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，角平分线的性质，过点𝐷作𝐷𝐹⊥𝐴𝐵于点𝐹，由角平分线的
性质可得𝐷𝐹= 𝐶𝐷，证明△𝐴𝐷𝐹≌△𝐸𝐷𝐶(HL)，则有𝑆△𝐴𝐷𝐹= 𝑆△𝐶𝐷𝐸，同理可得𝑆△𝐵𝐷𝐹= 𝑆△𝐵𝐷𝐶，然后通过
𝑆△𝐴𝐵𝐷−𝑆△𝐴𝐷𝐹= 𝑆△𝐵𝐸𝐷+ 𝑆△𝐶𝐷𝐸即可求解，掌握知识点的应用是解题的关键．
【详解】解：如图，过点𝐷作𝐷𝐹⊥𝐴𝐵于点𝐹，
∵𝐵𝐷平分∠𝐴𝐵𝐶，𝐶𝐷⊥𝐵𝐶，
∴𝐷𝐹= 𝐶𝐷，
∵𝐴𝐷= 𝐷𝐸，
∴△𝐴𝐷𝐹≌△𝐸𝐷𝐶(HL)，
∴𝑆△𝐴𝐷𝐹= 𝑆△𝐶𝐷𝐸，同理可得𝑆△𝐵𝐷𝐹= 𝑆△𝐵𝐷𝐶，
∴𝑆△𝐴𝐵𝐷−𝑆△𝐴𝐷𝐹= 𝑆△𝐵𝐸𝐷+ 𝑆△𝐶𝐷𝐸，
即24−𝑆△𝐶𝐷𝐸= 13 + 𝑆△𝐶𝐷𝐸，
∴𝑆△𝐶𝐷𝐸= 5.5，
故选：A．
7．（25-26 八年级下·河南周口·阶段检测）如图，在正方形方格中，每个小正方形的边长都是一个单位长度，
点𝐴，𝐵，𝐶，𝐷，𝐸均在小正方形方格的顶点上，线段𝐴𝐵，𝐶𝐷交于点𝐹，若∠𝐶𝐹𝐵= 𝛼，则∠𝐴𝐵𝐸等于（ ）
A．180°−𝛼
B．180°−2𝛼
C．90° + 𝛼
D．90° + 2𝛼
【答案】C
【分析】延长 𝐶𝐴 至点 𝐺，使 𝐺𝐷⊥𝐶𝐺，延长 𝐶𝐵 至点 𝐻，使 𝐸𝐻⊥𝐶𝐻，构造全等三角形
△𝐶𝐺𝐷≌△𝐵𝐻𝐸(SAS)，得到∠𝐺𝐶𝐷= ∠𝐻𝐵𝐸，由外角的性质可得𝛼= ∠𝐶𝐴𝐵+ ∠𝐻𝐵𝐸． 再由𝐴𝐶⊥𝐵𝐶，直角
三角形的两锐角互余结合角的等量代换即可得到∠𝐴𝐵𝐶−∠𝐻𝐵𝐸= 90°−𝛼，最后根据∠𝐴𝐵𝐸= ∠𝐴𝐵𝐻+ ∠
𝐻𝐵𝐸= 180°−∠𝐴𝐵𝐶+ ∠𝐻𝐵𝐸计算即可．
【详解】解：如图，延长 𝐶𝐴 至点 𝐺，使 𝐺𝐷⊥𝐶𝐺，延长 𝐶𝐵 至点 𝐻，使 𝐸𝐻⊥𝐶𝐻．
由图可知：𝐶𝐺= 𝐵𝐻= 4，∠𝐺= ∠𝐻= 90°，𝐺𝐷= 𝐻𝐸= 1，
∴△𝐶𝐺𝐷≌△𝐵𝐻𝐸(SAS)，
∴∠𝐺𝐶𝐷= ∠𝐻𝐵𝐸．
∵∠𝐶𝐹𝐵 是△𝐴𝐶𝐹 的外角，
∴∠𝐶𝐹𝐵= ∠𝐶𝐴𝐹+ ∠𝐺𝐶𝐷，即𝛼= ∠𝐶𝐴𝐵+ ∠𝐻𝐵𝐸．
∵𝐴𝐶⊥𝐵𝐶，
∴∠𝐶𝐴𝐵+ ∠𝐴𝐵𝐶= 90°，即∠𝐶𝐴𝐵= 90°−∠𝐴𝐵𝐶，
∴𝛼= 90°−∠𝐴𝐵𝐶+ ∠𝐻𝐵𝐸，即∠𝐴𝐵𝐶−∠𝐻𝐵𝐸= 90°−𝛼．
∵∠𝐴𝐵𝐸= ∠𝐴𝐵𝐻+ ∠𝐻𝐵𝐸= 180°−∠𝐴𝐵𝐶+ ∠𝐻𝐵𝐸= 180°−(∠𝐴𝐵𝐶−∠𝐻𝐵𝐸)，
∴∠𝐴𝐵𝐸= 180°−(90°−𝛼) = 90° + 𝛼．
8．（25-26 八年级上·安徽合肥·期末）如图，四边形𝐴𝐵𝐶𝐷中，
𝐴𝐵∥𝐶𝐷,𝐴𝐵= 4,𝐶𝐷= 10,𝐴𝐷= 𝐴𝐸,𝐵𝐹= 𝐵𝐶,∠𝐷𝐴𝐸= ∠𝐶𝐵𝐹= 90°，则四边形𝐴𝐹𝐵𝐸的面积为（ ）
A．6
B．7
C．12
D．20
【答案】C
【分析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，解题的关键是正确添加辅助线构造“三垂直”全等模型．
过点𝐷,𝐹,𝐶,𝐸分别作𝐷𝑀⊥𝐴𝐵,𝐹𝐻⊥𝐴𝐵,𝐶𝐼⊥𝐴𝐵,𝐸𝐺⊥𝐴𝐵，交直线𝐴𝐵于点𝑀,𝐻,𝐼,𝐺，证明
△𝐴𝐺𝐸≌△𝐷𝑀𝐴, △𝐹𝐻𝐵≌△𝐵𝐼𝐶，则设𝐴𝑀= 𝐸𝐺= 𝑥，𝐹𝐻= 𝐵𝐼= 𝑦，则𝑀𝐼= 𝐴𝑀+ 𝐴𝐵+ 𝐵𝐼= 4 + 𝑥+ 𝑦，
则𝐶𝐷= 𝑀𝐼= 4 + 𝑥+ 𝑦= 10，求出𝑥+ 𝑦= 6，再由四边形𝐴𝐹𝐵𝐸的面积= 𝑆△𝐴𝐵𝐹+ 𝑆△𝐴𝐵𝐸，然后整体代入求
解即可．
【详解】解：过点𝐷,𝐹,𝐶,𝐸分别作𝐷𝑀⊥𝐴𝐵,𝐹𝐻⊥𝐴𝐵,𝐶𝐼⊥𝐴𝐵,𝐸𝐺⊥𝐴𝐵，交直线𝐴𝐵于点𝑀,𝐻,𝐼,𝐺，
∴∠𝑀= ∠𝐴𝐺𝐸= ∠𝐹𝐻𝐵= ∠𝐼= 90°，
∵∠𝐷𝐴𝐸= ∠𝐶𝐵𝐹= 90°，
∴∠1 = ∠2 = 90°−∠3，∠4 = ∠5 = 90°−∠6，
∵𝐴𝐷= 𝐴𝐸，𝐵𝐹= 𝐵𝐶，
∴△𝐴𝐺𝐸≌△𝐷𝑀𝐴(AAS)，△𝐹𝐻𝐵≌△𝐵𝐼𝐶(AAS)，
∴𝐴𝑀= 𝐸𝐺，𝐹𝐻= 𝐵𝐼，
设𝐴𝑀= 𝐸𝐺= 𝑥，𝐹𝐻= 𝐵𝐼= 𝑦，
∴𝑀𝐼= 𝐴𝑀+ 𝐴𝐵+ 𝐵𝐼= 𝑥+ 4 + 𝑦，
∵𝐴𝐵∥𝐶𝐷，𝐷𝑀⊥𝐴𝐵，𝐶𝐼⊥𝐴𝐵，
∴𝐶𝐷= 𝑀𝐼= 4 + 𝑥+ 𝑦= 10，
∴𝑥+ 𝑦= 6，
∵四边形𝐴𝐹𝐵𝐸的面积= 𝑆△𝐴𝐵𝐹+ 𝑆△𝐴𝐵𝐸，
∴四边形𝐴𝐹𝐵𝐸的面积=
1
2𝐴𝐵× 𝐹𝐻+
1
2𝐴𝐵× 𝐸𝐺
= 1
2 𝐴𝐵(𝐹𝐻+ 𝐸𝐺)
= 1
2 × 4 × (𝑥+ 𝑦)
= 1
2 × 4 × 6
= 12，
故选：C．
9．（25-26 七年级下·山东济南·期末）如图，∠𝐴𝐶𝐵= 90°，𝐴𝐶= 𝐵𝐶，𝐴𝐷⊥𝐶𝐸，𝐵𝐸⊥𝐶𝐸，垂足分别为𝐷、
𝐸．
①𝐵𝐸∥𝐴𝐷；
②△𝐴𝐷𝐶≌△𝐶𝐸𝐵；
③𝐷𝐸= 𝐴𝐷−𝐵𝐸；
④若∠𝐵𝐶𝐸= 20°，则∠𝐵𝐴𝐷= 30°；
⑤取𝐴𝐵中点𝑂，连接𝑂𝐷，𝑂𝐸，则△𝑂𝐷𝐸为等腰直角三角形．
其中正确的个数是（ ）
A．2 个
B．3 个
C．4 个
D．5 个
【答案】C
【分析】根据题意可得∠𝐴𝐷𝐸= ∠𝐶𝐸𝐵= 90°，则𝐵𝐸∥𝐴𝐷即可判断①；根据“AAS”证明△𝐴𝐷𝐶≌△𝐶𝐸𝐵即可
判断②；由全等可得𝐴𝐷= 𝐶𝐸,𝐶𝐷= 𝐵𝐸，进而可得𝐷𝐸= 𝐴𝐷−𝐵𝐸即可判断③；由∠𝐵𝐶𝐸= ∠𝐶𝐴𝐷，进而可
得∠𝐵𝐴𝐷= 25°即可判断④；连接𝑂𝐶，根据“SAS”证明△𝑂𝐵𝐸≌△𝑂𝐶𝐷即可判断⑤．
【详解】解：∵𝐴𝐷⊥𝐶𝐸，𝐵𝐸⊥𝐶𝐸，
∴∠𝐶𝐸𝐵= ∠𝐴𝐷𝐸= 90°，
∴𝐵𝐸∥𝐴𝐷（内错角相等，两直线平行），故①正确；
又∵∠𝐴𝐶𝐵= 90°，
∴∠𝐵𝐶𝐸+ ∠𝐴𝐶𝐷= ∠𝐶𝐴𝐷+ ∠𝐴𝐶𝐷= 90°，
∴∠𝐵𝐶𝐸= ∠𝐶𝐴𝐷，
又∵𝐴𝐶= 𝐵𝐶，
∴△𝐴𝐷𝐶≌△𝐶𝐸𝐵(AAS)，故②正确；
∴𝐴𝐷= 𝐶𝐸,𝐶𝐷= 𝐵𝐸，
∴𝐴𝐷= 𝐶𝐸= 𝐶𝐷+ 𝐷𝐸= 𝐵𝐸+ 𝐷𝐸，即𝐷𝐸= 𝐴𝐷−𝐵𝐸，故③正确；
∵∠𝐵𝐶𝐸= 20°，
∴∠𝐵𝐶𝐸= ∠𝐶𝐴𝐷= 20°，
又∠𝐴𝐶𝐵= 90°，𝐴𝐶= 𝐵𝐶，
∴∠𝐴𝐵𝐶= ∠𝐶𝐴𝐵= 45°，
∴∠𝐵𝐴𝐷= ∠𝐶𝐴𝐵−∠𝐶𝐴𝐷= 45°−20° = 25°，故④错误；
如图，连接𝑂𝐶，𝐴𝐵、𝐶𝐸相交于点𝐺，
∵∠𝐴𝐶𝐵= 90°，𝐴𝐶= 𝐵𝐶，点𝑂是𝐴𝐵中点，
∴𝑂𝐵= 𝑂𝐶,∠𝐵𝑂𝐶= 90°，
在△𝐵𝐸𝐺和△𝐶𝑂𝐺中，∠𝐵𝐸𝐺= ∠𝐶𝑂𝐺= 90°,∠𝐵𝐺𝐸= ∠𝐶𝐺𝑂，
∴∠𝐸𝐵𝐺= ∠𝑂𝐶𝐺，
由（1），可知△𝐴𝐶𝐷≌△𝐶𝐵𝐸，
∴𝐶𝐷= 𝐵𝐸，
在△𝑂𝐵𝐸和△𝑂𝐶𝐷中，
𝐵𝐸= 𝐶𝐷
∠𝑂𝐵𝐸= ∠𝑂𝐶𝐷
𝑂𝐵= 𝑂𝐶
，
∴△𝑂𝐵𝐸≌△𝑂𝐶𝐷(SAS)，
∴𝑂𝐷= 𝑂𝐸，则△𝑂𝐷𝐸为等腰直角三角形，故⑤正确．
综上，正确的有①②③⑤共4 个．
二、填空题（本大题共6 小题，每小题3 分，满分18 分）
10．如图，在△𝐴𝐵𝐶中，𝐶𝑃平分∠𝐴𝐶𝐵，𝐴𝑃⊥𝐶𝑃于点P，已知△𝐴𝐵𝐶的面积为2，则阴影部分的面积为_____．
【答案】1
【分析】延长𝐴𝑃交𝐵𝐶于𝐷，证明△𝐴𝐶𝑃≌△𝐷𝐶𝑃，利用三角形的中线的性质即可得解．
【详解】解：延长𝐴𝑃交𝐵𝐶于𝐷，
∵𝐶𝑃平分∠𝐴𝐶𝐵，
∴∠𝐴𝐶𝑃=∠𝐷𝐶𝑃，
∵𝐴𝑃⊥𝐶𝑃，
∴∠𝐴𝑃𝐶=∠𝐷𝑃𝐶=90°，
在△𝐴𝐶𝑃与△𝐷𝐶𝑃中，
∠𝐴𝐶𝑃=∠𝐷𝐶𝑃
𝐶𝑃=𝐶𝑃
∠𝐴𝑃𝐶=∠𝐷𝑃𝐶
，
∴△𝐴𝐶𝑃≌△𝐷𝐶𝑃(ASA)，
∴𝐴𝑃=𝐷𝑃，
∴𝑆△𝐴𝐵𝑃=
1
2𝑆△𝐴𝐵𝐷， 𝑆△𝐴𝐶𝑃=
1
2𝑆△𝐴𝐶𝐷，
∴阴影部分的面积=
1
2𝑆△𝐴𝐵𝐶=
1
2×2=1；
故答案为：1．
【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质，以及三角形中线的性质．遇到角平分线和垂线，构造全等三
角形是解题的关键．
11．（25-26 八年级上·广东广州·期末）如图，𝐴、𝐶、𝑁三点在同一直线上，在△𝐴𝐵𝐶中，
∠𝐴:∠𝐴𝐵𝐶:∠𝐴𝐶𝐵= 3:5:10，若△𝑀𝑁𝐶≌△𝐴𝐵𝐶，则∠𝐵𝐶𝑀:∠𝐵𝐶𝑁= ___．
【答案】1:4
【分析】本题考查了三角形内角和定理，全等三角形的性质，掌握全等三角形的对应角相等是解题的关键．
根据三角形内角和定理分别求出∠𝐴、∠𝐴𝐵𝐶、∠𝐴𝐶𝐵，根据全等三角形的性质、三角形的外角的性质计算即
可．
【详解】解：∵∠𝐴:∠𝐴𝐵𝐶:∠𝐴𝐶𝐵= 3:5:10，∠𝐴+ ∠𝐴𝐵𝐶+ ∠𝐴𝐶𝐵= 180°，
∴∠𝐴= 30°，∠𝐴𝐵𝐶= 50°，∠𝐴𝐶𝐵= 100°，
∴∠𝐵𝐶𝑁= 180°−∠𝐴𝐶𝐵= 180°−100° = 80°，
∵△𝑀𝑁𝐶≌△𝐴𝐵𝐶，
∴∠𝑀𝐶𝑁= ∠𝐴𝐶𝐵= 100°，
∴∠𝐵𝐶𝑀= ∠𝑀𝐶𝑁−∠𝐵𝐶𝑁= 100°−80° = 20°，
∴∠𝐵𝐶𝑀:∠𝐵𝐶𝑁= 1:4，
故答案为：1:4．
12．（25-26 七年级下·山西晋中·期末）如图，在△𝐴𝐵𝐶和△𝐴𝐷𝐸中，𝐴𝐵= 𝐴𝐶，𝐴𝐷= 𝐴𝐸，
∠𝐵𝐴𝐶= ∠𝐷𝐴𝐸，且点𝐵，𝐷，𝐸在同一条直线上，若∠𝐵𝐴𝐶= 50°，∠𝐷𝐴𝐶= 13°，则∠𝐵𝐶𝐸= ______．
【答案】
93°/93 度
【分析】证明△𝐴𝐷𝐵≌△𝐴𝐸𝐶(SAS)，得出∠𝐴𝐵𝐷= ∠𝐴𝐶𝐸，根据等边对等角求出∠𝐴𝐷𝐸= ∠𝐴𝐸𝐷= 65°，
∠𝐴𝐵𝐶= ∠𝐴𝐶𝐵= 65°，根据角的和差关系求出∠𝐵𝐴𝐷= 37°，根据三角形外角的性质求出∠𝐴𝐵𝐷= 28°，即
可求解.
【详解】解：∵∠𝐵𝐴𝐶= ∠𝐷𝐴𝐸，
∴∠𝐵𝐴𝐷= ∠𝐶𝐴𝐸，
又∵𝐴𝐵= 𝐴𝐶,𝐴𝐷= 𝐴𝐸,
∴△𝐴𝐷𝐵≌△𝐴𝐸𝐶(SAS)，
∴∠𝐴𝐵𝐷= ∠𝐴𝐶𝐸，
∵𝐴𝐷= 𝐴𝐸，∠𝐵𝐴𝐶= ∠𝐷𝐴𝐸= 50°，𝐴𝐵= 𝐴𝐶，
∴∠𝐴𝐷𝐸= ∠𝐴𝐸𝐷= 65°，∠𝐴𝐵𝐶= ∠𝐴𝐶𝐵= 65°，
∵∠𝐷𝐴𝐶= 13°，
∴∠𝐵𝐴𝐷= ∠𝐵𝐴𝐶−∠𝐷𝐴𝐶= 37°，
∴∠𝐴𝐶𝐸= ∠𝐴𝐵𝐷= ∠𝐴𝐷𝐸−∠𝐵𝐴𝐷= 28°，
∴∠𝐵𝐶𝐸= ∠𝐴𝐶𝐵+ ∠𝐴𝐶𝐸= 93°
13．（25-26 七年级下·陕西西安·期中）如图，在△𝐴𝐵𝐶中，∠𝐴𝐵𝐶= ∠𝐶𝐴𝐷= 90°，𝐴𝐵= 2𝐵𝐶，且
𝐴𝐶= 𝐴𝐷，𝐵𝐶= 5，则△𝐴𝐵𝐷的面积是___________．
【答案】50
【分析】通过添加辅助线，构造全等三角形，证明△𝐴𝐵𝐶≌△𝐷𝐸𝐴(AAS)，得出𝐴𝐵= 𝐷𝐸= 10，即可求解．
【详解】解：如图，过点D 作𝐷𝐸⊥𝐴𝐵于点E，
∵△𝐴𝐵𝐶中，∠𝐴𝐵𝐶= 90°，𝐵𝐶= 5，𝐴𝐵= 2𝐵𝐶，
∴𝐴𝐵= 2𝐵𝐶= 10，
∵∠𝐶𝐴𝐷= ∠𝐶𝐴𝐵+ ∠𝐷𝐴𝐸= 90°，∠𝐷𝐴𝐸+ ∠𝐴𝐷𝐸= 90°，
∴∠𝐶𝐴𝐵= ∠𝐴𝐷𝐸，
在△𝐴𝐵𝐶和△𝐷𝐸𝐴中，
∠𝐴𝐵𝐶= ∠𝐷𝐸𝐴= 90°
∠𝐶𝐴𝐵= ∠𝐴𝐷𝐸
𝐴𝐶= 𝐴𝐷
，
∴△𝐴𝐵𝐶≌△𝐷𝐸𝐴(AAS)，
∴𝐴𝐵= 𝐷𝐸= 10，
∴𝑆△𝐴𝐵𝐷=
1
2𝐴𝐵⋅𝐷𝐸=
1
2 × 10 × 10 = 50．
14．（25-26 八年级上·北京·期中）如图，在△𝐴𝐵𝐶中，𝐴𝐶= 𝐵𝐶，∠𝐶= 90°，∠𝐴𝐵𝐶的平分线𝐵𝐷交边𝐴𝐶于
𝐸，且𝐴𝐷⊥𝐵𝐷，若𝐵𝐸= 6，则𝐴𝐷= _____．
【答案】3
【分析】本题主要考查了直角三角形的两个锐角互余的性质以及全等三角形的判定和性质等知识点，熟练
掌握以上知识点并能正确添加辅助线是解决此题的关键．延长𝐴𝐷、𝐵𝐶交于点F，由𝐵𝐷⊥𝐴𝐷且𝐵𝐷平分
∠𝐴𝐵𝐶，证得△𝐴𝐹𝐶≌△𝐵𝐸𝐶，可得𝐴𝐷= 𝐹𝐷，再根据∠𝐹𝐴𝐶+ ∠𝐴𝐸𝐷= 90°，∠𝐶𝐵𝐸+ ∠𝐶𝐸𝐵= 90°，∠
𝐶𝐸𝐵= ∠𝐴𝐸𝐷，证得∠𝐹𝐴𝐶= ∠𝐶𝐵𝐸，进一步证明△𝐴𝐹𝐶≌△𝐵𝐸𝐶，则可得𝐴𝐹= 𝐵𝐸，从而得到𝐴𝐷=
1
2𝐵𝐸= 3．
【详解】解：如图，延长𝐴𝐷、𝐵𝐶交于点F，
∵𝐵𝐷⊥𝐴𝐷且𝐵𝐷平分∠𝐴𝐵𝐶，
∴∠𝐴𝐵𝐷= ∠𝐹𝐵𝐷，∠𝐴𝐷𝐵= ∠𝐹𝐷𝐵= 90°，
∵𝐵𝐷= 𝐵𝐷，
∴△𝐴𝐷𝐵≌△𝐹𝐷𝐵(ASA)，
∴ 𝐴𝐷= 𝐹𝐷，
∵∠𝐹𝐴𝐶+ ∠𝐴𝐸𝐷= 90°，∠𝐶𝐵𝐸+ ∠𝐶𝐸𝐵= 90°，∠𝐶𝐸𝐵= ∠𝐴𝐸𝐷，
∴∠𝐹𝐴𝐶= ∠𝐶𝐵𝐸，
在△𝐴𝐹𝐶和△𝐵𝐸𝐶中
∠𝐹𝐴𝐶= ∠𝐶𝐵𝐸
𝐴𝐶= 𝐵𝐶
∠𝐹𝐶𝐴= ∠𝐸𝐶𝐵= 90°
，
∴△𝐴𝐹𝐶≌△𝐵𝐸𝐶(ASA)，
∴𝐴𝐹= 𝐵𝐸，
∴𝐴𝐷=
1
2𝐴𝐹=
1
2𝐵𝐸= 3，
故答案为：3．
15．（25-26 七年级下·江苏盐城·阶段检测）如图△𝐴𝐵𝐶的两条高𝐴𝐷与𝐵𝐸交于点O，𝐴𝐷= 𝐵𝐷，𝐴𝐶= 8．F
是射线𝐵𝐶上一点，且𝐶𝐹= 𝐴𝑂，动点P 从点O 出发，沿线段𝑂𝐵以每秒2 个单位长度的速度向终点B 运动，
同时动点Q 从点A 出发，沿射线𝐴𝐶以每秒4 个单位长度的速度运动，当点P 到达点B 时，P，Q 两点同时
停止运动，设运动时间为t 秒，当△𝐴𝑂𝑃与△𝐹𝐶𝑄全等时，则t 的值________．
【答案】
4
3或4
【分析】先得出t 的取值范围，然后分情况讨论：①当点𝐹在𝐵𝐶延长线上时，②当点𝐹在线段𝐵𝐶上时，
△𝐴𝑂𝑃≌△𝐹𝐶𝑄，证明∠𝐴𝑂𝑃= ∠𝐹𝐶𝑄，可得此时𝑂𝑃= 𝐶𝑄，用含t 的式子表示出𝑂𝑃和𝐶𝑄，然后得出方程，
解方程即可．
【详解】解：∵𝐴𝐷⊥𝐵𝐶，𝐵𝐸⊥𝐴𝐶
∴∠𝐵𝐷𝑂= ∠𝐴𝐷𝐶= ∠𝐴𝐸𝑂= 90°，
∵∠𝐵𝑂𝐷= ∠𝐴𝑂𝐸，
∴∠𝐷𝐵𝑂= ∠𝐸𝐴𝑂，
又𝐴𝐷= 𝐵𝐷，
∴△𝐷𝐵𝑂≌△𝐷𝐴𝐶(ASA)，
∴𝐵𝑂= 𝐴𝐶= 8，
∴8 ÷ 2 = 4，
∴𝑡≤4，
分情况讨论：
①如图，当点𝐹在𝐵𝐶延长线上时，△𝐴𝑂𝑃≌△𝐹𝐶𝑄．
∵𝐴𝐷⊥𝐵𝐶，𝐵𝐸⊥𝐴𝐶，
∴∠𝐴𝑂𝑃= ∠𝐸𝑂𝐷= 180°−∠𝐴𝐶𝐵，
∵∠𝐹𝐶𝑄= 180°−∠𝐷𝐶𝐸，
∴∠𝐴𝑂𝑃= ∠𝐹𝐶𝑄，
又∵𝐶𝐹= 𝐴𝑂，
∴当△𝐴𝑂𝑃≌△𝐹𝐶𝑄时，有𝑂𝑃= 𝐶𝑄．
∵𝑂𝑃= 2𝑡，𝐶𝑄= 8−4𝑡，
∴2𝑡= 8−4𝑡，
解得𝑡=
4
3；
②如图，当点𝐹在线段𝐵𝐶上时，△𝐴𝑂𝑃≌△𝐹𝐶𝑄．
同①得∠𝐴𝑂𝑃= ∠𝐹𝐶𝑄，
又∵𝐶𝐹= 𝐴𝑂，
∴当△𝐴𝑂𝑃≌△𝐹𝐶𝑄时，有𝑂𝑃= 𝐶𝑄．
∵𝑂𝑃= 2𝑡，𝐶𝑄= 4𝑡−8，
∴2𝑡= 4𝑡−8，
解得𝑡= 4；
综上，当△𝐴𝑂𝑃与△𝐹𝐶𝑄全等时，t 的值为
4
3秒或4 秒．
16．如图，正方形𝐴𝐵𝐶𝐷中，𝐶𝐸∥𝐵𝐷，𝐵𝐸= 𝐵𝐷，则∠𝐶𝐷𝐸= ___．
【答案】30°/30 度
【分析】把△𝐵𝐶𝐸逆时针旋转90°得到△𝐵𝐴𝐺，则∠𝐵𝐴𝐺= ∠𝐵𝐶𝐸，𝐵𝐺= 𝐵𝐸，∠𝐺𝐵𝐸= 90°，先证出C、A、
G 三点共线，得出∠𝐵𝐴𝐺= 135°，∠𝐵𝐴𝐺= ∠𝐷𝐴𝐺，由SAS证明△𝐵𝐴𝐺≌△𝐷𝐴𝐺，得出𝐵𝐺= 𝐷𝐺，证出
𝐵𝐺= 𝐷𝐺= 𝐵𝐸，即△𝐵𝐷𝐺是等边三角形，得出∠𝐺𝐵𝐷= 60°，∠𝐷𝐵𝐸= 30°，再由三角形的内角和定理求出
即可．
【详解】解：把△𝐵𝐶𝐸逆时针旋转90°得到△𝐵𝐴𝐺，连接𝐷𝐺、𝐴𝐶、𝐴𝐺；如图所示：
则∠𝐵𝐴𝐺= ∠𝐵𝐶𝐸，𝐵𝐺= 𝐵𝐸，∠𝐺𝐵𝐸= 90°，
∵四边形𝐴𝐵𝐶𝐷是正方形，
∴∠𝐵𝐶𝐷= 90°，∠𝐵𝐴𝐶= ∠𝐷𝐴𝐶= ∠𝐵𝐷𝐶= 45°，𝐴𝐵= 𝐴𝐷，
∵𝐶𝐸∥𝐵𝐷，
∴∠𝐷𝐶𝐸= ∠𝐵𝐷𝐶= 45°，
∴∠𝐵𝐶𝐸= 90° + 45° = 135°，
∴∠𝐵𝐴𝐺= 135°，
∴∠𝐵𝐴𝐺= 135°，
∴∠𝐵𝐴𝐺+ ∠𝐵𝐴𝐶= 135° + 45° = 180°，
∴点C、A、G 三点共线，
∴∠𝐷𝐴𝐺= 180°−45° = 135°，
∴∠𝐵𝐴𝐺= ∠𝐷𝐴𝐺，
在△𝐵𝐴𝐺和△𝐷𝐴𝐺中，
𝐴𝐵= 𝐴𝐷
∠𝐵𝐴𝐺= ∠𝐷𝐴𝐺
𝐴𝐺= 𝐴𝐺
，
∴△𝐵𝐴𝐺≌△𝐷𝐴𝐺(SAS)，
∴𝐵𝐺= 𝐷𝐺，
∵𝐵𝐷= 𝐵𝐸，
∴𝐵𝐺= 𝐷𝐺= 𝐵𝐸，
即△𝐵𝐷𝐺是等边三角形，
∴∠𝐺𝐵𝐷= 60°，
∴∠𝐷𝐵𝐸= 90°−60° = 30°，
∴∠𝐵𝐷𝐸= ∠𝐵𝐸𝐷=
1
2(180°−30°) = 75°，
∴∠𝐶𝐷𝐸= ∠𝐵𝐷𝐸−∠𝐵𝐷𝐶= 30°．
故答案为：30°．
【点睛】本题考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质、三点共线、等边三角形的判定与性质、三
角形的外角性质；熟练掌握正方形的性质，并能进行推理论证与计算是解决问题的关键．
三、解答题（本大题共7 小题，满分72 分）
17．（6 分）（25-26 七年级下·陕西西安·阶段检测）如图，在△𝐴𝐵𝐶中，D 为𝐴𝐵上一点，E 为𝐴𝐶中点，连
接𝐷𝐸并延长至点F，使得𝐸𝐹= 𝐸𝐷，连接𝐶𝐹．
(1)求证：𝐶𝐹∥𝐴𝐵；
(2)若∠𝐴= 70°，∠𝐹= 35°，𝐴𝐵= 𝐵𝐶，求∠𝐵𝐸𝐷的度数．
【答案】(1)证明见解析
(2)∠𝐵𝐸𝐷= 15°
【分析】（1）由𝐸为𝐴𝐶中点可知𝐴𝐸= 𝐶𝐸，可证明△𝐴𝐸𝐷≌△𝐶𝐸𝐹(SAS)，再根据全等三角形的性质即可证
明；
（2）根据△𝐴𝐸𝐷≌△𝐶𝐸𝐹得∠𝐹= ∠𝐴𝐷𝐸= 35°，在△𝐴𝐷𝐸中，由三角形内角和得到∠𝐴𝐸𝐷= 75°，再根据
三线合一得到𝐵𝐸⊥𝐴𝐶，进而得到∠𝐵𝐸𝐴= 90°，然后根据∠𝐵𝐸𝐷= ∠𝐵𝐸𝐴−∠𝐴𝐸𝐷即可得出答案．
【详解】（1）证明：∵𝐸为𝐴𝐶中点，
∴𝐴𝐸= 𝐶𝐸，
在△𝐴𝐸𝐷和△𝐶𝐸𝐹中，
𝐴𝐸= 𝐶𝐸
∠𝐴𝐸𝐷= ∠𝐶𝐸𝐹
𝐷𝐸= 𝐸𝐹
，
∴△𝐴𝐸𝐷≌△𝐶𝐸𝐹(SAS)，
∴∠𝐴= ∠𝐴𝐶𝐹，
∴𝐶𝐹∥𝐴𝐵；
（2）解：∵ △𝐴𝐸𝐷≌△𝐶𝐸𝐹，
∴∠𝐹= ∠𝐴𝐷𝐸，
∵∠𝐴= 70°，∠𝐹= 35°，
∴∠𝐴𝐷𝐸= 35°，
在△𝐴𝐷𝐸中，
∠𝐴𝐸𝐷= 180°−(∠𝐴+ ∠𝐴𝐷𝐸) = 180°−(70° + 35°) = 75°，
∵𝐴𝐵= 𝐵𝐶，E 为𝐴𝐶中点，
∴𝐵𝐸⊥𝐴𝐶，
∴∠𝐵𝐸𝐴= 90°，
∴∠𝐵𝐸𝐷= ∠𝐵𝐸𝐴−∠𝐴𝐸𝐷= 90°−75° = 15°．
18．（8 分）（25-26 八年级下·福建三明·期末）如图，在△𝐴𝐵𝐶中，𝐴𝐵= 𝐵𝐶，点𝐷在𝐴𝐵的延长线上，过点
𝐷作𝐷𝐸⊥𝐴𝐶于点𝐸，交𝐵𝐶于点𝐹．
(1)求证：∠𝐷= ∠𝐵𝐹𝐷；
(2)若𝐹是𝐵𝐶的中点，求证：𝐸𝐹=
1
2𝐷𝐹．
【答案】(1)证明：∵𝐷𝐸⊥𝐴𝐶，
∴∠𝐴𝐸𝐷= ∠𝐶𝐸𝐷= 90°．
∴∠𝐴+ ∠𝐷= 90°，∠𝐶+ ∠𝐸𝐹𝐶= 90°
∵𝐴𝐵= 𝐵𝐶，
∴∠𝐴= ∠𝐶．
∴∠𝐷= ∠𝐸𝐹𝐶．
∵∠𝐵𝐹𝐷= ∠𝐸𝐹𝐶．
∴∠𝐷= ∠𝐵𝐹𝐷．
(2)证明：如图2，过点𝐵作𝐵𝐻⊥𝐷𝐸于点𝐻，
∵∠𝐷= ∠𝐵𝐹𝐷，
∴𝐵𝐹= 𝐵𝐷，
∴𝐹𝐻= 𝐻𝐷．
∵𝐷𝐸⊥𝐴𝐶，𝐵𝐻⊥𝐷𝐸，
∴∠𝐶𝐸𝐹= ∠𝐵𝐻𝐹= 90°．
∵𝐹是𝐵𝐶的中点，
∴𝐵𝐹= 𝐶𝐹．
∵∠𝐵𝐹𝐻= ∠𝐶𝐹𝐸，
∴△𝐹𝐵𝐻≌△𝐹𝐶𝐸(AAS)．
∴𝐹𝐻= 𝐸𝐹．
∴𝐹𝐻= 𝐻𝐷= 𝐸𝐹，
∴𝐸𝐹= 1
2 𝐷𝐹
【分析】（1）由𝐷𝐸⊥𝐴𝐶得∠𝐴+ ∠𝐷= 90°，∠𝐶+ ∠𝐸𝐹𝐶= 90°，由𝐴𝐵= 𝐵𝐶得∠𝐴= ∠𝐶，证得∠𝐷= ∠𝐸𝐹𝐶，
进一步可得结论．
（2）过点𝐵作𝐵𝐻⊥𝐷𝐸于点𝐻，则可证明𝐹𝐻= 𝐷𝐻，再证明△𝐹𝐵𝐻≌△𝐹𝐶𝐸，得𝐹𝐻= 𝐸𝐹，得出
𝐹𝐻= 𝐻𝐷= 𝐸𝐹，故可得结论．
19．（10 分）如图，△𝐴𝐵𝐶和△𝐸𝐷𝐶都是等边三角形，当点B，C，D 在一条直线上时，连接𝐴𝐷，𝐵𝐸交于
点M，连接𝐶𝑀，
(1)求证：△𝐴𝐶𝐷≌△𝐵𝐶𝐸．
(2)试探究线段𝐵𝑀与线段𝐴𝑀，𝐶𝑀之间的数量关系，并说明理由．
【答案】(1)证明见解析
(2)𝐵𝑀= 𝐴𝑀+ 𝐶𝑀，见解析
【分析】（1）利用SAS可证△𝐵𝐶𝐸≌△𝐴𝐶𝐷即可；
（2）在𝐷𝐴上取点F，使𝐷𝐹= 𝑀𝐸，连接𝐶𝐹，由全等三角形的性质得𝐵𝐸= 𝐴𝐷，∠𝐵𝐸𝐶= ∠𝐴𝐷𝐶，同理可证
△𝑀𝐸𝐶≌△𝐹𝐷𝐶，由全等三角形的性质得𝑀𝐶= 𝐹𝐶，∠𝑀𝐶𝐸= ∠𝐹𝐶𝐷，由等边三角形的判定得△𝑀𝐶𝐹是等
边三角形，结合等边三角形的性质，即可求解；
【详解】（1）证明：∵△𝐴𝐵𝐶与△𝐸𝐷𝐶都是等边三角形，
∴𝐴𝐶= 𝐵𝐶= 𝐴𝐵，𝐶𝐸= 𝐶𝐷，∠𝐵𝐶𝐴= ∠𝐸𝐶𝐷= 60°，
∴∠𝐴𝐶𝐸= 180°−∠𝐵𝐶𝐴−∠𝐸𝐶𝐷 = 60°，
∴∠𝐵𝐶𝐸= ∠𝐴𝐶𝐷 = 60° + 60° = 120°，
在△𝐵𝐶𝐸和△𝐴𝐶𝐷中
𝐵𝐶= 𝐴𝐶
∠𝐵𝐶𝐸= ∠𝐴𝐶𝐷
𝐶𝐸= 𝐶𝐷
，
∴△𝐵𝐶𝐸≌△𝐴𝐶𝐷（SAS），
（2）解：𝐵𝑀= 𝐴𝑀+ 𝐶𝑀；
理由如下：
如图，在𝐷𝐴上取点F，使𝐷𝐹= 𝑀𝐸，连接𝐶𝐹，
∵△𝐵𝐶𝐸≌△𝐴𝐶𝐷，
∴𝐵𝐸= 𝐴𝐷，∠𝐵𝐸𝐶= ∠𝐴𝐷𝐶，
∴∠𝑀𝐸𝐶= ∠𝐹𝐷𝐶，
同理可证：△𝑀𝐸𝐶≌△𝐹𝐷𝐶（SAS），
∴𝑀𝐶= 𝐹𝐶，∠𝑀𝐶𝐸= ∠𝐹𝐶𝐷，
∴∠𝑀𝐶𝐹= ∠𝑀𝐶𝐸+ ∠𝐸𝐶𝐹 = ∠𝐹𝐶𝐷+ ∠𝐸𝐶𝐹 = ∠𝐸𝐶𝐷 = 60°，
∴△𝑀𝐶𝐹是等边三角形，
∴𝐶𝑀= 𝑀𝐹，
∴𝐵𝑀= 𝐵𝐸−𝑀𝐸 = 𝐴𝐷−𝐷𝐹 = 𝐴𝑀+ 𝑀𝐹 = 𝐴𝑀+ 𝐶𝑀．
20．（10 分）（25-26 八年级下·福建厦门·期中）如图，四边形𝐴𝐵𝐶𝐷是正方形，点E 是𝐵𝐶延长线上的一点，
𝐴𝐸⊥𝐸𝐹，且𝐸𝐹交正方形外角的平分线𝐶𝐹于点F．
(1)求∠𝐸𝐶𝐹的度数．
(2)若𝐹𝐺垂直于射线𝐵𝐶，垂足为点G．请判断𝐸𝐺的长是否为定值，若是，请证明；若不是，请说明理由．
【答案】(1)45°
(2)𝐸𝐺的长为定值，理由见解析
【分析】（1）根据正方形𝐴𝐵𝐶𝐷得到∠𝐷𝐶𝐸= 90°，再根据角平分线的定义求解即可；
（2）在𝐵𝐴的延长线上取点H，使得𝐴𝐻= 𝐶𝐸，则𝐵𝐻= 𝐵𝐸，得到∠𝐻= ∠𝐹𝐶𝐸= 45°，证明
∠𝐻𝐴𝐸= 90° + ∠𝐵𝐸𝐴= ∠𝐶𝐸𝐹，得到△𝐻𝐴𝐸≌△𝐶𝐸𝐹(ASA)，从而𝐴𝐸= 𝐸𝐹，再证明∠𝐴𝐸𝐵= ∠𝐸𝐹𝐺，即可得
出△𝐴𝐵𝐸≌△𝐸𝐺𝐹(AAS)，因此𝐸𝐺的长等于正方形𝐴𝐵𝐶𝐷的边长，为定值．
【详解】（1）解：∵四边形𝐴𝐵𝐶𝐷是正方形，
∴∠𝐵𝐶𝐷= 90°，
∴∠𝐷𝐶𝐸= 180°−∠𝐵𝐶𝐷= 90°，
∵𝐶𝐹平分∠𝐷𝐶𝐸，
∴∠𝐸𝐶𝐹=
1
2∠𝐷𝐶𝐸= 45°．
（2）解：𝐸𝐺的长为定值，理由如下：
在𝐵𝐴的延长线上取点H，使得𝐴𝐻= 𝐶𝐸，
∵在正方形𝐴𝐵𝐶𝐷中，∠𝐵= 90°，𝐴𝐵= 𝐵𝐶，
∴𝐴𝐵+ 𝐴𝐻= 𝐵𝐶+ 𝐶𝐸，即𝐵𝐻= 𝐵𝐸，
∴△𝐵𝐸𝐻是等腰直角三角形，
∴∠𝐻= 45°，
由（1）有∠𝐹𝐶𝐸= 45°，
∴∠𝐻= ∠𝐹𝐶𝐸，
∵𝐴𝐸⊥𝐸𝐹，
∴∠𝐴𝐸𝐹= 90°，
∵∠𝐻𝐴𝐸= ∠𝐵+ ∠𝐵𝐸𝐴= 90° + ∠𝐵𝐸𝐴，
∠𝐶𝐸𝐹= ∠𝐴𝐸𝐹+ ∠𝐵𝐸𝐴= 90° + ∠𝐵𝐸𝐴，
∴∠𝐻𝐴𝐸= ∠𝐶𝐸𝐹，
∴△𝐻𝐴𝐸≌△𝐶𝐸𝐹(ASA)，
∴𝐴𝐸= 𝐸𝐹，
∵𝐹𝐺⊥𝐵𝐶，
∴∠𝐹𝐺𝐸= 90°，
∴∠𝐹𝐸𝐺+ ∠𝐸𝐹𝐺= 90°，
∵∠𝐴𝐸𝐵+ ∠𝐹𝐸𝐺= 180°−∠𝐴𝐸𝐹= 90°，
∴∠𝐴𝐸𝐵= ∠𝐸𝐹𝐺，
∵∠𝐵= ∠𝐹𝐺𝐸，
∴△𝐴𝐵𝐸≌△𝐸𝐺𝐹(AAS)，
∴𝐸𝐺= 𝐴𝐵，
∴𝐸𝐺的长等于正方形𝐴𝐵𝐶𝐷的边长，为定值．
21．（12 分）（24-25 七年级下·河北石家庄·期末）如图，𝐷为△𝐴𝐵𝐶外部一点，连接𝐴𝐷，𝐶𝐷，已知
∠𝐵= 50°，∠𝐷= 100°．
(1)尺规作图：在△𝐴𝐵𝐶内求作一点𝑀，使△𝐴𝑀𝐶≌△𝐴𝐷𝐶；
（尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）
(2)①通过作图可以得到：𝐴𝑀= ___________，𝐶𝑀= ___________；
②判定△𝐴𝑀𝐶≌△𝐴𝐷𝐶的依据是___________（从SSS、SAS、ASA或AAS中选填）；
(3)求∠𝐵𝐴𝑀+ ∠𝐵𝐶𝑀．
【答案】(1)
解：如图，点M 即为所求．
(2)①𝐴𝐷,𝐶𝐷；②SSS
(3)50°
【分析】本题考查作图—复杂作图、全等三角形的判定与性质，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识
解决问题．
（1）根据题意，以点A 为圆心，𝐴𝐷为半径画弧，再以点C 为圆心，𝐶𝐷为半径画弧，两弧交于点M，连接
𝐴𝑀,𝐶𝑀，故𝐴𝑀= 𝐴𝐷,𝑀𝐶= 𝐷𝐶,𝐴𝐶= 𝐴𝐶，所以证明△𝐴𝑀𝐶≌△𝐴𝐷𝐶，即可作答．
（2）①根据题意可得答案．②结合全等三角形的判定可得答案．
（3）结合全等三角形的判定可得∠𝐴𝑀𝐶= ∠𝐷= 100°，在△𝐴𝐵𝑀中，∠𝐵𝐴𝑀= 180°−∠𝐴𝐵𝑀−∠𝐴𝑀𝐵，在
△𝐵𝐶𝑀中，∠𝐵𝐶𝑀= 180°−∠𝐶𝐵𝑀−∠𝐶𝑀𝐵，则可得∠𝐵𝐴𝑀+ ∠𝐵𝐶𝑀= 360°−∠𝐴𝐵𝐶−(360°−∠𝐴𝑀𝐶) = 50°．
【详解】（1）略
（2）解：①通过作图可以得到：𝐴𝑀= 𝐴𝐷,𝐶𝑀= 𝐶𝐷．
故答案为：𝐴𝐷；𝐶𝐷．
②结合作图得𝐴𝑀= 𝐴𝐷,𝐶𝑀= 𝐶𝐷，
∵𝐴𝐶= 𝐴𝐶
∴判定△𝐴𝑀𝐶≌△𝐴𝐷𝐶的依据是SSS．
故答案为：SSS．
（3）解：在△𝐴𝐵𝑀中，∠𝐵𝐴𝑀= 180°−∠𝐴𝐵𝑀−∠𝐴𝑀𝐵，
在△𝐵𝐶𝑀中，∠𝐵𝐶𝑀= 180°−∠𝐶𝐵𝑀−∠𝐶𝑀𝐵．
∵△𝐴𝑀𝐶≌△𝐴𝐷𝐶，
∴∠𝐴𝑀𝐶= ∠𝐷= 100°．
∴∠𝐵𝐴𝑀+ ∠𝐵𝐶𝑀
= 180°−∠𝐴𝐵𝑀−∠𝐴𝑀𝐵+ 180°−∠𝐶𝐵𝑀−∠𝐶𝑀𝐵
= 360°−∠𝐴𝐵𝐶−(∠𝐴𝑀𝐵+ ∠𝐶𝑀𝐵)
= 360°−∠𝐴𝐵𝐶−(360°−∠𝐴𝑀𝐶)
= 360°−50°−(360°−100°)
= 50°．
22．（12 分）（24-25 八年级上·甘肃临夏·期末）综合与实践
数学模型可以用来解决一类问题，是数学应用的基本途径．通过探究图形的变化规律，再结合其他数学知
识的内在联系，最终可以获得宝贵的数学经验，并将其运用到更广阔的数学天地．
【发现问题】
（1）如图1，在△𝐴𝐵𝐶和△𝐴𝐸𝐹中，𝐴𝐵= 𝐴𝐶，𝐴𝐸= 𝐴𝐹，∠𝐵𝐴𝐶= ∠𝐸𝐴𝐹，连接𝐵𝐸，𝐶𝐹，延长𝐵𝐸交𝐶𝐹于
点D．则𝐵𝐸与𝐶𝐹的数量关系为：______．
【类比探究】
（2）如图2，在△𝐴𝐵𝐶和△𝐴𝐸𝐹中，𝐴𝐵= 𝐴𝐶，𝐴𝐸= 𝐴𝐹，∠𝐵𝐴𝐶= ∠𝐸𝐴𝐹= 120°，连接𝐵𝐸，𝐶𝐹，延长
𝐵𝐸，𝐹𝐶交于点D．请猜想𝐵𝐸与𝐶𝐹的数量关系及∠𝐵𝐷𝐶的度数，并说明理由．
【答案】（1）𝐵𝐸= 𝐶𝐹；（2）𝐵𝐸= 𝐶𝐹，∠𝐵𝐷𝐶= 60°，见解析
【分析】本题考查全等三角形的判定，等腰三角形的性质，三角形的外角．
（1）证明△𝐴𝐵𝐸≌△𝐴𝐶𝐹(SAS)，即可得到𝐵𝐸= 𝐶𝐹；
（2）根据等腰三角形的性质，证明△𝐴𝐵𝐸≌△𝐴𝐶𝐹(SAS)即可得出结论．
【详解】解：（1）∵∠𝐵𝐴𝐶= ∠𝐸𝐴𝐹，
∴∠𝐵𝐴𝐶+ ∠𝐶𝐴𝐸= ∠𝐸𝐴𝐹+ ∠𝐶𝐴𝐸，
即∠𝐵𝐴𝐸= ∠𝐶𝐴𝐹，
在△𝐴𝐵𝐸和△𝐴𝐶𝐹中，
𝐴𝐵= 𝐴𝐶
∠𝐵𝐴𝐸= ∠𝐶𝐴𝐹
𝐴𝐸= 𝐴𝐹
，
∴△𝐴𝐵𝐸≌△𝐴𝐶𝐹(SAS)，
∴𝐵𝐸= 𝐶𝐹，
故答案为：𝐵𝐸= 𝐶𝐹．
（2）𝐵𝐸= 𝐶𝐹，∠𝐵𝐷𝐶= 60°，
理由如下：∵∠𝐵𝐴𝐶= ∠𝐸𝐴𝐹，
∴∠𝐵𝐴𝐶−∠𝐸𝐴𝐶= ∠𝐸𝐴𝐹−∠𝐸𝐴𝐶，
即∠𝐵𝐴𝐸= ∠𝐶𝐴𝐹，
在△𝐴𝐵𝐸和△𝐴𝐶𝐹中，
𝐴𝐵= 𝐴𝐶
∠𝐵𝐴𝐸= ∠𝐶𝐴𝐹
𝐴𝐸= 𝐴𝐹
，
∴△𝐴𝐵𝐸≌△𝐴𝐶𝐹(SAS)，
∴∠𝐴𝐸𝐵= ∠𝐴𝐹𝐶，𝐵𝐸= 𝐶𝐹，
∵∠𝐸𝐴𝐹= 120°，𝐴𝐸= 𝐴𝐹，
∴∠𝐴𝐸𝐹= ∠𝐴𝐹𝐸= 30°，
∴∠𝐵𝐷𝐶= ∠𝐵𝐸𝐹−∠𝐸𝐹𝐷= ∠𝐴𝐸𝐵+ 30°−(∠𝐴𝐹𝐶−30°) = 60°．
23．（14 分）如图，以△𝐴𝐵𝐶的边𝐴𝐵、𝐴𝐶分别向外作等腰直角△𝐴𝐵𝐷与等腰直角△𝐴𝐶𝐸，
∠𝐵𝐴𝐷= ∠𝐶𝐴𝐸= 90°，连接𝐵𝐸和𝐶𝐷相交于点O，𝐴𝐵交𝐶𝐷于点F，𝐴𝐶交𝐵𝐸于点G．
(1)试说明：△𝐷𝐴𝐶≌△𝐵𝐴𝐸；
(2)试说明：𝐷𝐶⊥𝐵𝐸；
(3)试说明：点A 到边𝐶𝐷，𝐵𝐸所在直线的距离相等．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
(3)见解析
【分析】（1）根据等腰三角形的性质得到𝐴𝐵= 𝐴𝐷，𝐴𝐸= 𝐴𝐶，∠𝐵𝐴𝐷= ∠𝐶𝐴𝐸= 90°，进一步利用SAS证
明即可；
（2）根据全等三角形的性质得到𝐵𝐸= 𝐷𝐶，∠𝐴𝐵𝐸= ∠𝐴𝐷𝐶，利用三角形内角和以及对顶角相等得到
∠𝐴𝐵𝐸+ ∠𝐵𝐹𝑂= 90°，可得∠𝐵𝑂𝐹= ∠𝐷𝐴𝐹= 90°，即可证明；
（3）设点A 到边𝐶𝐷，𝐵𝐸所在直线的距离分别为𝑑1，𝑑2，根据全等三角形的性质可得𝑆△𝐷𝐴𝐶= 𝑆△𝐵𝐴𝐸，利用
三角形面积公式可得𝑑1 = 𝑑2，即可证明．
【详解】（1）解：证明：∵△𝐴𝐵𝐷和△𝐴𝐶𝐸都是等腰直角三角形，
∴𝐴𝐵= 𝐴𝐷，𝐴𝐸= 𝐴𝐶，
又∵∠𝐵𝐴𝐷= ∠𝐶𝐴𝐸= 90°，
∴∠𝐵𝐴𝐷+ ∠𝐵𝐴𝐶= ∠𝐶𝐴𝐸+ ∠𝐵𝐴𝐶，
即∠𝐷𝐴𝐶= ∠𝐵𝐴𝐸，
在△𝐴𝐵𝐸和△𝐴𝐷𝐶中，
𝐴𝐷= 𝐴𝐵
∠𝐷𝐴𝐶= ∠𝐵𝐴𝐸
𝐴𝐶= 𝐴𝐸
，
∴△𝐷𝐴𝐶≌△𝐵𝐴𝐸(SAS)；
（2）∵△𝐷𝐴𝐶≌△𝐵𝐴𝐸，
∴𝐵𝐸= 𝐷𝐶，∠𝐴𝐵𝐸= ∠𝐴𝐷𝐶，
又∵∠𝐵𝐹𝑂= ∠𝐷𝐹𝐴，∠𝐴𝐷𝐹+ ∠𝐷𝐹𝐴= 90°，
∴∠𝐴𝐵𝐸+ ∠𝐵𝐹𝑂= 90°，
∴∠𝐵𝑂𝐹= ∠𝐷𝐴𝐹= 90°，
即𝐵𝐸⊥𝐷𝐶．
（3）设点A 到边𝐶𝐷，𝐵𝐸所在直线的距离分别为𝑑1，𝑑2，
∵△𝐷𝐴𝐶≌△𝐵𝐴𝐸，
∴𝑆△𝐷𝐴𝐶= 𝑆△𝐵𝐴𝐸，
即
1
2 × 𝐶𝐷× 𝑑1 =
1
2 × 𝐵𝐸× 𝑑2，
∵𝐶𝐷= 𝐵𝐸，
∴𝑑1 = 𝑑2，即点A 到边𝐶𝐷，𝐵𝐸所在直线的距离相等．
【点睛】此题考查了全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，三角形的面积，熟练掌握全等三角形
的判定与性质是解本题的关键．
