文档文本内容
专题13.2 三角形的边（举一反三讲义）
【新教材人教版】
【题型1 判断能否构成三角形】............................................................................................................................1
【题型2 求三角形第三边的取值范围】................................................................................................................1
【题型3 三角形三边关系的化简与求值】............................................................................................................3
【题型4 三角形三边关系在等腰三角形中的应用】............................................................................................5
【题型5 三角形三边关系求最值】........................................................................................................................7
【题型6 利用三角形三边关系证明线段的不等关系】........................................................................................9
【题型7 三角形三边关系的应用】......................................................................................................................11
【题型8 三角形的稳定性】..................................................................................................................................17
知识点1 三角形的三边关系
1.定义：三角形两边的和大于第三边，两边的差小于第三边.
2.判断三条线段能否组成三角形：若两条较短的线段长之和大于最长线段的长，则这三条线段可以组成三
角形；反之，则不能组成三角形.
【题型1 判断能否构成三角形】
【例1】（25-26 七年级下·吉林长春·期中）下列每组数分别表示三根木棒的长，将它们首尾连接后，能摆成
三角形的一组是（ ）
A．1cm，2cm，3cm
B．4cm，6cm，10cm
C．5cm，6cm，12cm
D．4cm，5cm，6cm
【答案】D
【分析】本题考查三角形三边关系定理，判定能否组成三角形时，只需验证较小两边的和是否大于最长边，
满足条件即可构成三角形，反之不能．
【详解】解：∵ 1 + 2 = 3，不满足三边关系，∴选项A 不能摆成三角形；
∵ 4 + 6 = 10，不满足三边关系，∴选项B 不能摆成三角形；
考点1
三角形的边
题型归纳
∵ 5 + 6 = 11 < 12，不满足三边关系，∴选项C 不能摆成三角形；
∵ 4 + 5 = 9 > 6，满足三角形三边关系，∴选项D 能摆成三角形．
【变式1-1】（25-26 八年级上·湖南娄底·期末）𝑚、2、5是某三角形三边的长，则𝑚的长不可能是（ ）
A．7
B．6
C．5
D．4
【答案】A
【分析】本题考查的是三角形三边关系，灵活运用“任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边”是
解题的关键．根据三角形三边关系得到3 < 𝑚< 7，进而判断选项中哪个值不在该范围内．
【详解】解：∵三角形三边关系为任意两边之差小于第三边，任意两边之和大于第三边，
∴5−2 < 𝑚< 5 + 2，
∴3 < 𝑚< 7，
∵选项中只有7不在3 < 𝑚< 7的范围内，
∴𝑚的长不可能是7．
故选：A．
【变式1-2】（25-26 八年级上·河北邢台·期末）把一根8 厘米长的小棒剪成三段，首尾相接围成一个三角形，
第一剪不符合
．．．要求的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】本题考查了三角形的三边关系，三角形三边之间的关系：三角形两边之和大于第三边，三角形两
边之差小于第三边；据此解答．
【详解】解：B 选项中，左边部分等于右边部分，不管是右边部分分成2 段，还是左边部分分成2 段，都等
于另一部分，不符合三角形三边关系，不能围成三角形；
A，C，D 选项符合要求，
故选：B．
【变式1-3】（25-26 七年级下·上海宝山·阶段检测）已知四条线段的长度分别是1cm、2cm、3cm、4cm，
任意选择其中三条线段，能构成的三角形有______个．
【答案】1
【分析】先写出从四条线段中任选三条的所有组合，再根据三角形三边关系，即三角形任意两边之和大于
第三边，逐一判断组合是否符合要求，最后统计符合条件的组合个数即可．
【详解】从长度是1cm、2cm、3cm、4cm的线段中任选三条，共有以下4种组合：
① 1cm，2cm，3cm；② 1cm，2cm，4cm；③ 1cm，3cm，4cm；④ 2cm，3cm，4cm．
根据三角形三边关系逐一判断：
① 因为 1 + 2 = 3，不满足三角形任意两边之和大于第三边，不能构成三角形；
② 因为 1 + 2 = 3 < 4，不满足三角形任意两边之和大于第三边，不能构成三角形；
③ 因为 1 + 3 = 4，不满足三角形任意两边之和大于第三边，不能构成三角形；
④ 因为 2 + 3 > 4，2 + 4 > 3，3 + 4 > 2，满足三角形任意两边之和大于第三边，能构成三角形．
综上，能构成三角形的组合只有1个．
【题型2 求三角形第三边的取值范围】
【例2】（25-26 八年级上·河北廊坊·期末）三角形的三边长分别为7，11，𝑎，则𝑎的取值范围是______．
【答案】4 < 𝑎< 18
【分析】此题考查三角形三边关系定理，即任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边．
根据三角形三边关系作答即可．
【详解】解：∵三角形的三边长分别为7，11，𝑎，
∴11−7 < 𝑎< 11 + 7，
即4 < 𝑎< 18．
故答案为：4 < 𝑎< 18．
【变式2-1】（25-26 七年级下·辽宁沈阳·期中）一个三角形的两边长分别为3 和5，若周长是奇数，则第三
边的长为______．
【答案】3 或5 或7
【分析】此题考查了三角形的三边关系，解题的关键是熟练掌握三角形的三边关系．根据三角形的三边关
系：两边之和大于第三边，两边之差小于第三边．可知第三边的取值范围是大于2 而小于8，再结合三角形
周长是奇数可知第三边是奇数即可求解．
【详解】解：设第三边长为x，
根据三角形三边关系可知：5−3 < 𝑥< 5 + 3，
即2 < 𝑥< 8，
则x 可以是3，4，5，6，7，
∵三角形周长是奇数，另外两边之和为8，
∴x 为奇数，
故x 可取3 或5 或7．
【变式2-2】（25-26 八年级上·河北保定·期末）如图，由两根钢丝绳和臂架组成的塔吊可近似看成三角形，
已知臂架的长为46m，其中一根钢丝绳的长为30m，则另一根钢丝绳的长可能是（ ）
A．17m
B．16m
C．15m
D．14m
【答案】A
【分析】本题考查了三角形三边数量关系，根据两边之和大于第三边，两边之差小于第三边，由此即可求
解．
【详解】解：设另一根钢丝绳的长为𝑥m，
∴46−30 < 𝑥< 46 + 30，即16 < 𝑥< 76，
根据选项，只有A 选项17m符合题意，
故选：A ．
【变式2-3】（25-26 八年级上·安徽淮南·期末）已知三角形的其中两条边分别为3 和5，第三边长为x，且x
是三条边中最短的，则第三边x 的取值范围为________；
【答案】2 < 𝑥< 3
【分析】本题考查了三角形的三边关系，根据三角形的三边关系“三角形两边之和大于第三边，三角形两边
之差小于第三边”进行解答即可得．解题的关键是熟记三角形的三边关系．根据3 + 𝑥> 5，𝑥< 3解答．
【详解】解：∵三角形的其中两条边分别为3 和5，第三边长为x，
∴3 + 𝑥> 5，
解得𝑥> 2，
∵x 最小，
∴𝑥< 3，
∴2 < 𝑥< 3，
故答案为：2 < 𝑥< 3．
【题型3 三角形三边关系的化简与求值】
【例3】（25-26 七年级下·辽宁阜新·期中）已知△𝐴𝐵𝐶的三边长分别为a，b，c，化简
|𝑎+ 𝑏−𝑐|−|𝑏−𝑎−𝑐| + ∣𝑎−𝑏−𝑐∣= __________．
【答案】
−𝑎+ 3𝑏−𝑐
【分析】根据三角形三边关系判断每个绝对值内式子的正负，再根据绝对值的性质化简计算即可．
【详解】解：根据三角形三边关系，任意两边之和大于第三边，得
𝑎+ 𝑏> 𝑐，𝑎+ 𝑐> 𝑏，𝑏+ 𝑐> 𝑎，
∴𝑎+ 𝑏−𝑐> 0，𝑏−𝑎−𝑐< 0，𝑎−𝑏−𝑐< 0，
∴原式= (𝑎+ 𝑏−𝑐)−[−(𝑏−𝑎−𝑐)] + [−(𝑎−𝑏−𝑐)]
= 𝑎+ 𝑏−𝑐+ 𝑏−𝑎−𝑐−𝑎+ 𝑏+ 𝑐
= −𝑎+ 3𝑏−𝑐．
【变式3-1】若三角形的三边长分别为2，5，𝑎，则化简：|𝑎−3| + |𝑎−7|的结果为_____．
【答案】4
【分析】本题考查三角形三边关系的应用和绝对值的化简，根据在三角形中任意两边之和大于第三边，任
意两边之差小于第三边；可得a 的取值范围，进而得到化简结果．
【详解】解：由三角形三边关系定理得5−2 < 𝑎< 5 + 2，
即3 < 𝑎< 7．
∴|𝑎−3| + |𝑎−7| = 𝑎−3 + 7−𝑎= 4．
故答案为：4．
【变式3-2】（25-26 八年级上·贵州安顺·期中）已知𝑎，𝑏，𝑐是△𝐴𝐵𝐶的三边．
(1)化简|𝑎+ 𝑏−𝑐| + |𝑎−𝑏−𝑐|．
(2)若𝑎和𝑏满足方程组
𝑎+ 2𝑏= 12
2𝑎−𝑏= −1
且𝑐为奇数，求这个三角形的周长．
【答案】(1)2𝑏
(2)12
【分析】（1）根据三角形的三边关系得到：𝑎+ 𝑏−𝑐> 0,𝑎−𝑏−𝑐< 0，根据绝对值的性质进行化简，即可
求解；
（2）根据三角形的三边关系，确定c 的范围，再求出三角形的周长．
本题考查三角形的三边关系，绝对值的化简，解二元一次方程组的知识，解题的关键是明确三角形的三边
关系．
【详解】（1）解：∵a，b，c 是△𝐴𝐵𝐶的三边，
∴𝑎+ 𝑏−𝑐> 0,𝑎−𝑏−𝑐< 0，
∴|𝑎+ 𝑏−𝑐| + |𝑎−𝑏−𝑐|
= (𝑎+ 𝑏−𝑐)−(𝑎−𝑏−𝑐)
= 𝑎+ 𝑏−𝑐−𝑎+ 𝑏+ 𝑐，
= 2𝑏；
（2）解：解方程组
𝑎+ 2𝑏= 12
2𝑎−𝑏= −1
，得
𝑎= 2
𝑏= 5
，
根据三角形的三边关系得5−2 < 𝑐< 2 + 5，即3 < 𝑐< 7，
∵c 为奇数，
∴𝑐= 5，
∴这个三角形的周长为2 + 5 + 5 = 12．
【变式3-3】（25-26 八年级上·江西南昌·阶段检测）已知△𝐴𝐵𝐶的三边长分别为𝑎,𝑏,𝑐．
(1)化简：|𝑎−𝑏−𝑐| + |𝑏−𝑐−𝑎| + |𝑎+ 𝑏−𝑐|；
(2)若𝑎= 4,𝑏= 7，并且最长边长是7，求第三边𝑐的取值范围．
【答案】(1)𝑎+ 𝑏+ 𝑐
(2)3 < 𝑐≤7
【分析】本题考查的是三角形的三边关系，熟知三角形两边之和大于第三边，两边差小于第三边是解答此
题的关键．
（1）利用三角形的三边关系得到𝑎−𝑏−𝑐< 0，𝑏−𝑐−𝑎< 0，𝑎+ 𝑏−𝑐> 0，然后去绝对值符号后化简即可；
（2）由𝑎= 4,𝑏= 7，并且最长边长是7，结合三角形三边关系可得答案．
【详解】（1）解：∵△𝐴𝐵𝐶的三边长分别为𝑎,𝑏,𝑐，
∴𝑎−𝑏−𝑐< 0，𝑏−𝑐−𝑎< 0，𝑎+ 𝑏−𝑐> 0，
∴|𝑎−𝑏−𝑐| + |𝑏−𝑐−𝑎| + |𝑎+ 𝑏−𝑐|
= −𝑎+ 𝑏+ 𝑐−𝑏+ 𝑐+ 𝑎+ 𝑎+ 𝑏−𝑐
= 𝑎+ 𝑏+ 𝑐；
（2）解：∵𝑎= 4,𝑏= 7，
∴第三边𝑐的取值范围为7−4 < 𝑐< 7 + 4，即3 < 𝑐< 11，
∵最长边长是7，
∴3 < 𝑐≤7．
【题型4 三角形三边关系在等腰三角形中的应用】
【例4】（24-25 八年级上·贵州遵义·期中）用一条长为15cm的细绳围成一个等腰三角形．
(1)设等腰三角形的腰长为𝑎，求𝑎的取值范围；
(2)若等腰三角形的一边长为3cm，求另两边长．
【答案】(1)
15
4 < 𝑎<
15
2
(2)6cm、6cm
【分析】此题考查了等腰三角形的性质与三角形的三边关系．
（1）根据三角形的三边关系即可得到结论；
（2）题中没有指明3cm所在边是底还是腰，故应该分情况进行分析，注意利用三角形三边关系进行检验．
【详解】（1）解：∵腰长为𝑎cm，周长为15cm，
∴底边长为(15−2𝑎)cm，
∴𝑎+ 𝑎> 15−2𝑎，𝑎−𝑎< 15−2𝑎，
∴
15
4 < 𝑎<
15
2 ；
（2）解：①当3cm为底时，腰长为6cm，三边为3cm、6cm、6cm，能组成三角形，所以另两边长为6cm、
6cm；
②当3cm为腰时，底边为9cm，三边为3cm、3cm、9cm，不能组成三角形．
故另两边长为6cm、6cm．
【变式4-1】等腰三角形的周长为13，其中一边长为3，则该等腰三角形的底边长为___________．
【答案】3
【分析】已知的边可能是腰，也可能是底边，应分两种情况进行讨论．
【详解】解：当腰是3 时，则另两边是3，7，而3 + 3 < 7，不满足三边关系定理，因而应舍去．
当底边是3 时，另两边长是5，5，
则该等腰三角形的底边为3，
故答案为：3．
【点睛】本题考查了等腰三角形定义和三角形的三边关系定理的应用，从边的方面考查三角形，涉及分类
讨论的思想方法．
【变式4-2】等腰三角形的两边长分别为 1cm 和 5cm，则这个等腰三角形的周长为_____cm．
【答案】11cm．
【分析】因为边为5cm 和1cm，没说是底边还是腰，所以有两种情况，需要分类讨论．
【详解】解：当1cm 为底时，则其它两边都为5cm，
5cm、5cm、1cm 可以构成三角形，
所以周长为11cm；
当5cm 为底时，
其它两边为1cm 和1cm，
∵1+1=2＜5，所以不能构成三角形，故舍去，
故答案为：11．
【点评】本题考查了等腰三角形的性质和三角形的三边关系；对于底和腰不等的等腰三角形，若条件中没
有明确哪边是底哪边是腰时，应在符合三角形三边关系的前提下分类讨论．
【变式4-3】等腰三角形的三边长分别为3x-2,4x-3,6-2x,则该三角形的周长为( )
A．6
B．6 或9 或8.5
C．9 或8.5
D．与x 的取值有关
【答案】C
【详解】解：①当3x﹣2 是底边时，则腰长为：4x﹣3，6﹣2x．
∵三角形为等腰三角形，
∴4x﹣3=6﹣2x，∴x=1.5，∴4x﹣3=3，6﹣2x=3，∴3x﹣2=2.5，
∴等腰三角形的周长=3+3+2.5=8.5．
②当4x﹣3 是底边时，则腰长为：3x﹣2，6﹣2x．
∵三角形为等腰三角形，
∴3x﹣2=6﹣2x，∴x=1.6，∴3x﹣2=2.8，6﹣2x=2.8，∴4x﹣3=3.4，
∴等腰三角形的周长=2.8+2.8+3.4=9．
③当6﹣2x 是底边时，则腰长为：3x﹣2，4x﹣3．
∵三角形为等腰三角形，
∴3x﹣2=4x﹣3，∴x=1，∴3x﹣2=1，4x﹣3=1，∵1=1，
∴6﹣2x=4，
∵1+1＜4，
∴不能构成三角形．
故周长为：8.5 或9，故选C．
点睛：此题主要考查等腰三角形的性质及三角形三边关系的综合运用，注意利用三角形的三边关系进行检
验．
【题型5 三角形三边关系求最值】
【例5】如图，在△𝐴𝐵𝐶中，∠𝐴𝐶𝐵= 90°，𝐴𝐶= 12，𝐵𝐶= 9，P 是𝐴𝐵上的一个动点（不与点B 重合）.点
B 与点𝐵′关于直线𝑃𝐶对称，连接𝐶𝐵′，𝐴𝐵′，𝑃𝐵′，则线段𝐴𝐵′的最小值是_________.
【答案】3
【分析】根据题意，得𝐶𝐵′ = 𝐶𝐵= 9，结合𝐶𝐵′ +𝐴𝐵′ ≥𝐴𝐶，判定当𝐴,𝐵′,𝐶三点共线时，线段𝐴𝐵′取得最小
值，解答即可.
本题考查了三角形不等式求最值，构造正确的三角形不等式存在的基础三角形是解题的关键.
【详解】解：根据题意，得𝐶𝐵′ = 𝐶𝐵= 9，
∵𝐶𝐵′ +𝐴𝐵′ ≥𝐴𝐶，
∴当𝐴,𝐵′,𝐶三点共线时，线段𝐴𝐵′取得最小值
∵𝐴𝐶= 12，
∴𝐴𝐵′ = 𝐴𝐶−𝐵𝐶= 3，
故答案为：3.
【变式5-1】（24-25 八年级上·广东湛江·月考）如图，在△𝐴𝐵𝐶中，𝐴𝐵= 3，𝐵𝐶= 4，𝐴𝐶= 5，D 为𝐵𝐶边
上一动点，将△𝐴𝐵𝐷沿𝐴𝐷翻折得到△𝐴𝑃𝐷，点B 的对应点为点P，连接𝐶𝑃，则𝐶𝑃的最小值为__________．
【答案】2
【分析】本题考查了三角形三边关系的应用．由折叠的性质知𝐴𝑃= 𝐴𝐵= 3，在△𝐴𝑃𝐶中，由三角形三边关
系得𝐶𝑃> 𝐴𝐶−𝐴𝑃，当D 在𝐵𝐶边上运动时，总有𝐶𝑃≥𝐴𝐶−𝐴𝑃，据此求解即可．
【详解】解：由折叠的性质知𝐴𝑃= 𝐴𝐵= 3，
在△𝐴𝑃𝐶中，由三角形三边关系得𝐶𝑃> 𝐴𝐶−𝐴𝑃，
当点𝑃落在𝐴𝐶边上时，𝐶𝑃= 𝐴𝐶−𝐴𝑃，
∴当D 在𝐵𝐶边上运动时，总有𝐶𝑃≥𝐴𝐶−𝐴𝑃，
∴𝐶𝑃的最小值为𝐶𝑃= 𝐴𝐶−𝐴𝑃= 5−3 = 2，
故答案为：2．
【变式5-2】（24-25 七年级下·江苏淮安·阶段检测）如图，在△𝐴𝐵𝐶中，𝐴𝐵= 8，将△𝐴𝐵𝐶平移6 个单位
长度得到△𝐴1𝐵1𝐶1，M 是𝐴𝐵的中点，则𝑀𝐴1的最大值为______．
【答案】10
【分析】如图，连接𝐴𝐴1，根据题意得到𝐴𝐴1 = 6，𝑀𝐴=
1
2𝐴𝐵= 4，然后根据三角形三边关系求解．
【详解】解：如图，连接𝐴𝐴1，
由平移得，𝐴𝐴1 = 6
因为点M 是𝐴𝐵的中点，
所以𝑀𝐴=
1
2𝐴𝐵= 4，
因为𝑀𝐴1 ≤𝑀𝐴+ 𝐴𝐴1
所以当点A 在𝑀𝐴1上时，𝑀𝐴1取得最大值，即𝑀𝐴+ 𝐴𝐴1的长度，
因为𝑀𝐴+ 𝐴𝐴1 = 4 + 6 = 10
所以𝑀𝐴1的最大值为10．
【变式5-3】（24-25 七年级上·江苏盐城·月考）如图，𝐴𝐶= 6，𝐵𝐶= 8，𝐴𝐵= 10，点D 是平面内一点，且
满足𝐴𝐷= 2𝐶𝐷，则2𝐵𝐷+ 𝐴𝐷的最小值是_______．
【答案】16
【分析】本题考查线段之和最小值问题，将2𝐵𝐷+ 𝐴𝐷转化为求2(𝐵𝐷+ 𝐶𝐷)的最小值，当B、C、D 在同一
直线上时，最小值为2𝐵𝐶．
【详解】解：∵𝐴𝐷= 2𝐶𝐷，
∴𝐶𝐷=
1
2𝐴𝐷，
∴2𝐵𝐷+ 𝐴𝐷= 2 𝐵𝐷+
1
2 𝐴𝐷= 2(𝐵𝐷+ 𝐶𝐷) ≥2𝐵𝐶，
∴当B、C、D 在同一直线上时，𝐵𝐷+ 𝐶𝐷有最小值，最小值为𝐵𝐶，𝐵𝐶= 8，
∴2𝐵𝐷+ 𝐴𝐷的最小值为2𝐵𝐶= 2 × 8 = 16，
故答案为：16．
【题型6 利用三角形三边关系证明线段的不等关系】
【例6】如图，在△𝐴𝐵𝐶中，𝐴𝐵= 𝐴𝐶，点𝐷在𝐴𝐶的延长线上．求证：𝐴𝐷−𝐴𝐵> 𝐵𝐷−𝐵𝐶．
【答案】见解析
【分析】本题考查的是线段的和差关系，三角形的三边关系的应用，本题先证明𝐴𝐷−𝐴𝐵= 𝐶𝐷，结合
𝐵𝐷−𝐵𝐶< 𝐶𝐷，从而可得答案．
【详解】证明∵𝐴𝐵= 𝐴𝐶，
∴𝐴𝐷−𝐴𝐵= 𝐴𝐷−𝐴𝐶= 𝐶𝐷，
∵𝐵𝐷−𝐵𝐶< 𝐶𝐷，
∴𝐵𝐷−𝐵𝐶< 𝐴𝐷−𝐴𝐵．
【变式6-1】如图，在△𝐴𝐵𝐶中，点𝐷在𝐴𝐶上，连接𝐵𝐷，点𝑃在𝐵𝐷上，连接𝐶𝑃，求证：
𝐴𝐵+ 𝐴𝐶> 𝐵𝑃+ 𝐶𝑃
．
【答案】证明见详解
【分析】根据三角形的两边之和大于第三边，两边之差小于第三边即可求解．
【详解】证明：在△𝐴𝐵𝐷中，𝐴𝐵+ 𝐴𝐷> 𝐵𝐷，
在△𝑃𝐷𝐶中，𝐶𝐷+ 𝑃𝐷> 𝑃𝐶，
∴𝐴𝐵+ 𝐴𝐷+ 𝐶𝐷+ 𝑃𝐷> 𝐵𝐷+ 𝑃𝐶，
∴𝐴𝐵+ 𝐴𝐶> 𝐵𝑃+ 𝐶𝑃．
【点睛】本题主要考查三角形三边的关系，不等式的性质，掌握三角形三边的关系是解题的关键．
【变式6-2】如图，在△ABC 中，AB=AC，点D 为AC 上的一点，求证： 2AC> BD+CD．
【答案】见解析
【分析】根据三角形三边的关系证明即可．
【详解】证明：∵AD+AB>BD
∴AD+AB+CD>BD+CD
又∵AD+CD=AC
∴AC+AB>BD+CD
∵AC=AB
∴2AC>BD+CD
【点睛】本题主要考查了三角形三边的关系，熟知三角形中两边之和大于第三边，两边之差小于第三边是
解题的关键．
【变式6-3】（24-25 八年级上·浙江·期末）如图，已知O 为△𝐴𝐵𝐶内任意一点，求证
(1) 𝑂𝐴+ 𝑂𝐵+ 𝑂𝐶>
1
2(𝐴𝐵+ 𝐵𝐶+ 𝐶𝐴)；
(2) 𝑂𝐴+ 𝑂𝐵+ 𝑂𝐶< 𝐴𝐵+ 𝐴𝐶+ 𝐵𝐶
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【分析】本题考查三角形的三边关系．解题的关键是构造三角形，利用三角形的三边关系进行证明．
（1）在△𝑂𝐴𝐵、△𝑂𝐵𝐶和△𝑂𝐶𝐴中，利用三角形三边关系列式即可证明；
（2）延长𝐵𝑂交𝐴𝐶于点D．在△𝐴𝐵𝐷和△𝑂𝐷𝐶中，得到𝐴𝐵+ 𝐴𝐷+ 𝑂𝐷+ 𝐶𝐷> 𝐵𝐷+ 𝑂𝐶，推出
𝐴𝐵+ 𝐴𝐶> 𝑂𝐵+ 𝑂𝐶；同理𝐴𝐵+ 𝐵𝐶> 𝑂𝐴+ 𝑂𝐶，𝐴𝐶+ 𝐵𝐶> 𝑂𝐴+ 𝑂𝐵，据此即可证明结论成立．
【详解】（1）证明：在△𝑂𝐴𝐵中，𝑂𝐴+ 𝑂𝐵> 𝐴𝐵①，
在△𝑂𝐵𝐶中，𝑂𝐵+ 𝑂𝐶> 𝐵𝐶②，
在△𝑂𝐶𝐴中，𝑂𝐶+ 𝑂𝐴> 𝐴𝐶③，
①+ ②+ ③得2(𝑂𝐴+ 𝑂𝐵+ 𝑂𝐶) > 𝐴𝐵+ 𝐵𝐶+ 𝐴𝐶，
即𝑂𝐴+ 𝑂𝐵+ 𝑂𝐶>
1
2(𝐴𝐵+ 𝐴𝐶+ 𝐵𝐶)；
（2）证明：如图，延长𝐵𝑂交𝐴𝐶于点D．
在△𝐴𝐵𝐷中，𝐴𝐵+ 𝐴𝐷> 𝐵𝐷①，
在△𝑂𝐷𝐶中，𝑂𝐷+ 𝐶𝐷> 𝑂𝐶②，
①+ ②，得𝐴𝐵+ 𝐴𝐷+ 𝑂𝐷+ 𝐶𝐷> 𝐵𝐷+ 𝑂𝐶；
∵𝐵𝐷= 𝑂𝐵+ 𝑂𝐷，𝐴𝐷+ 𝐶𝐷= 𝐴𝐶，
∴𝐴𝐵+ 𝐴𝐶+ 𝑂𝐷> 𝑂𝐵+ 𝑂𝐷+ 𝑂𝐶，
∴𝐴𝐵+ 𝐴𝐶> 𝑂𝐵+ 𝑂𝐶③，
同理可证𝐴𝐵+ 𝐵𝐶> 𝑂𝐴+ 𝑂𝐶④，𝐴𝐶+ 𝐵𝐶> 𝑂𝐴+ 𝑂𝐵⑤，
③+ ④+ ⑤，得2(𝐴𝐵+ 𝐴𝐶+ 𝐵𝐶) > 2(𝑂𝐴+ 𝑂𝐵+ 𝑂𝐶)，
∴𝑂𝐴+ 𝑂𝐵+ 𝑂𝐶< 𝐴𝐵+ 𝐴𝐶+ 𝐵𝐶．
【题型7 三角形三边关系的应用】
【例7】（25-26 八年级上·甘肃陇南·阶段检测）某校计划在校园内修建一个等腰三角形花坛，其周长为30
米，底边比腰短3 米．求花坛各边的长度．
【答案】11 米，11 米，8 米
【分析】本题主要考查了等腰三角形的定义，构成三角形的条件，设腰为𝑥米，则底边为(𝑥−3)米，根据三
角形周长公式建立方程求出腰长和底边长，再根据构成三角形的条件验证即可得到答案．
【详解】解：设腰为𝑥米，则底边为(𝑥−3)米，
由题意得，2𝑥+ (𝑥−3) = 30，
解得𝑥= 11．
∴腰为11 米．
∴底边= 11−3 = 8米．
∵11 + 8 > 11，
∴此时能构成三角形．
答：花坛各边的长度为11 米，11 米，8 米．
【变式7-1】（24-25 八年级上·四川自贡·月考）数学活动课上，老师让同学们用长度分别是20cm，90cm，
100cm的三根木棒搭一个三角形的木架，小明不小心把100cm的木棒折去了35cm，他发现：用折断后剩下
的木棒与另两根木棒怎么也搭不成三角形．
(1)你知道为什么吗？
(2)100cm长的木棒至少折去多长后剩余的部分就不能与另两根木棒搭成三角形？
【答案】(1)见解析
(2)100cm长的木棒至少折去30cm后剩余的部分就不能与另两根木棒搭成三角形
【分析】本题考查了三角形三边关系的应用、一元一次不等式的应用．
（1）先求出剩下的木棒长度，再由三角形三边关系判断即可得解；
（2）设木棒折去𝑥cm后，剩下的木棒不能与另两根木棒搭成三角形，根据题意列出不等式，求解即可．
【详解】（1）解：把100cm的木棒折去了35cm还剩100−35 = 65cm，
∵20 + 65 = 85 < 90，
∴不能搭成三角形；
（2）解：设木棒折去𝑥cm后，剩下的木棒不能与另两根木棒搭成三角形，
由题意可得：(100−𝑥) +20 ≤90，
解得：𝑥≥30，
∴100cm长的木棒至少折去30cm后剩余的部分就不能与另两根木棒搭成三角形．
【变式7-2】（25-26 八年级上·辽宁鞍山·月考）如图，小明想用浅色灯带与深色灯带分别装饰三角形圣诞树
的顶部和底部．
(1)你知道小明所用的哪条灯带更长吗？说明理由；
(2)小明共用了243cm长的灯带，且已知三角形三边长为三个连续的自然数，你能帮小明求出三角形每条边
的长度吗？
【答案】(1)浅色灯带长，理由见解析
(2)三角形每条边的长度分别为80cm，81cm，82cm
【分析】本题考查了三角形三边关系和一元一次方程的应用，解题的关键是（1）利用“三角形两边之和大于
第三边”比较灯带长度；（2）设出连续自然数表示的三边长，根据周长列方程求解．
（1）根据三角形三边关系：三角形两边之和大于第三边，判断浅色灯带与深色灯带的长度关系；
（2）设中间边长为𝑥cm，用含𝑥的式子表示另外两边，根据周长为243cm列方程求解．
【详解】（1）解：浅色灯带长．
理由：浅色灯带装饰三角形的两条边，深色灯带装饰第三条边．
根据三角形三边关系：三角形任意两边之和大于第三边．
根据三角形两边之和大于第三边，可得浅色灯带长．
（2）解：设中间的边长为𝑥 cm，由题意得，
𝑥−1 + 𝑥+ 𝑥+ 1 = 243，解得𝑥= 81，
∴𝑥−1 = 80 cm，𝑥+ 1 = 82cm，
故三角形每条边的长度分别为80cm，81cm，82cm．
【变式7-3】（25-26 八年级上·甘肃张掖·月考）实践教育：为提高学生火灾逃生能力，学校组织学生进行模
拟逃生演练，需要制作若干个铁质三角形框架模拟火灾中坍塌的环境．
数据收集：设计小组成员到建材市场收集数据如下：
铁条规格/米
2
3
4
5
6
单价（元/根）
6
8
10
15
20
数据应用：设计小组需要制作两边长分别为2 米和5 米，第三边长为偶数的不同规格的三角形框架．
(1)根据市场能购买到的铁条制作满足上述条件的三角形框架，共有___________种制作方案．
(2)若（1）中每种规格的框架各制作一个，则购买铁条共需多少钱？
【答案】(1)2
(2)72 元
【分析】本题主要考查了 三角形三边关系的应用，有理数加法的实际应用，熟知三角形中，任意两边之和
大于第三边，任意两边之差小于第三边是解题的关键．
（1）根据三角形三边的关系求出第三边的长的取值范围，再根据第三边长为偶数可得答案；
（2）根据（1）的方案，代入数据计算即可．
【详解】（1）解：设第三边长为x 米，
由题意得，5−2 < 𝑥< 5 + 2，即3 < 𝑥< 7，
∵x 为偶数，
∴x 的值为4 或6，
∴共有2 种制作方案；
（2）解：当三角形框架的三边长分别为2 米，4 米，5 米时，所需费用为6 + 10 + 15 = 31元，
当三角形框架的三边长分别为2 米，6 米，5 米时，所需费用为6 + 15 + 20 = 41元，
∴每种规格的框架各制作一个所需要的费用为31 + 41 = 72元，
答：购买铁条共需要72 元．
考点2
三角形的稳定性
知识点2 三角形的稳定性
在日常生活中，三角形的形状随处可见，并且工程建筑中经常采用三角形的结构，如屋顶钢架结构等，其
中的道理是三角形具有稳定性.
【题型8 三角形的稳定性】
【例8】（25-26 七年级下·四川成都·阶段检测）如图，一扇窗户打开后，用窗钩𝐴𝐵可将其固定，其理论依
据是______．
【答案】
三角形具有稳定性
【分析】观察图形可知，窗钩𝐴𝐵与窗框、窗扇的边缘构成了一个三角形结构，利用三角形的性质即可解答．
【详解】解：窗钩𝐴𝐵与窗框、窗扇的边缘构成了一个三角形. 因为三角形具有稳定性， 所以用窗钩𝐴𝐵可将
窗户固定．
故答案为：三角形具有稳定性．
【变式8-1】下列图形中不具有稳定性的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】根据三角形具有稳定性，而四边形不具有稳定性这一性质，观察各选项图形的构成即可得出结论．
【详解】解： A、图形中间部分为四边形，未被分割成三角形，故不具有稳定性；
B、图形被分割成了三个三角形，故具有稳定性；
C、图形被对角线分割成了两个三角形，故具有稳定性；
D、图形本身即为三角形，故具有稳定性．
【变式8-2】（25-26 八年级下·辽宁鞍山·开学考试）如图，小李家有一个已经变形的六边形置物架，需通过
增加木条使其固定，工人师傅至少需要加固________根木条．
【答案】3
【详解】解：依据三角形的稳定性，六边形置物架钉上木条后分成三角形即可，故工人师傅至少需要加固
6−3 = 3根木条．
【变式8-3】（25-26 八年级上·全国·课后作业）如图1，在四边形木条框架中，任意添加1 根对角线木条，
就能使框架的形状稳定.
判断下列说法是否正确.(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)在图2 中任意添加2 根对角线木条，都能使框架的形状稳定.(
)
(2)在图3 中任意添加3 根对角线木条，都能使框架的形状稳定.(
)
(3)图4 是一个用螺钉将木条链接成的框架，颇具美感，它的形状是稳定的.(
)
【答案】
√,
×,
√
【详解】试题分析：
根据所添加的对角线木条，结合“三角形具有稳定性，四边形具有不稳定性”分析即可得出结论.
试题解析：
（1）在图2 中任意添加2 根对角线木条，都能使图形全部由三角形结构组成，所以（1）中说法正确；
（2）如下图，当按图中的方法，在图3 中添加3 根对角线木条后，图形中有四边形结构，图形结构不稳定，
所以（2）说法是错误的；
（3）当用螺钉将木条链接成如图4 的框架时，则图中的框架形状全是由三角形结构组成的，所以（3）中
的说法是正确的.
即：（1）√；（2）×；（3）√.
