专题14.4 角的平分线（举一反三讲义）
【新教材人教版】
【题型1 尺规作角平分线】....................................................................................................................................2
【题型2 利用角平分线的性质求线段长度】........................................................................................................5
【题型3 利用角平分线的性质求三角形面积】....................................................................................................8
【题型4 利用角平分线的判定证明点在角平分线上】......................................................................................11
【题型5 与角平分线性质相关的角度计算】......................................................................................................14
【题型6 利用角平分线的性质求最值】..............................................................................................................18
【题型7 角平分线性质的实际应用】..................................................................................................................23
【题型8 利用角平分线构造全等三角形】..........................................................................................................25
【题型9 角平分线性质与判定综合应用】..........................................................................................................31
知识点1 作已知角的平分线
用尺规作已知角的平分线．已知：∠AOB，求作：∠AOB 的平分线．
作法：（1）以点O 为圆心，适当长为半径画弧，交OA 于点M，交OB 于点N．
（2）分别以点M，N 为圆心，大于
1
2MN的长为半径画弧，两弧在∠AOB 的内部相交于点C．
（3）画射线OC．射线OC 即为所求．
如图所示：
★作图依据：构造△OMC≌△ONC（SSS）．
知识点2 角的平分线的性质
考点1
角的平分线
题型归纳
1. 定义：角的平分线上的点到角的两边的距离相等．
2. 拓展：（1）这里的距离指的是点到角的两边垂线段的长；
（2）该性质可以独立作为证明两条线段相等的依据，不需要再用全等三角形；
（3）使用该结论的前提条件是图中有角平分线、有垂直；
（4）运用角的平分线时常添加的辅助线：由角的平分线上的已知点向两边作垂线段，利用其相等来推导其
他结论．
知识点3 角的平分线的判定
1. 定义：角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上．
2. 拓展：角的平分线的判定的前提条件是指在角的内部的点到角两边的距离相等时，它才是在角的平分线
上，角的外部的点不会在角的平分线上．
【题型1 尺规作角平分线】
【例1】（25-26 七年级下·江苏扬州·期末）如图，长方形𝐴𝐵𝐶𝐷．
(1)尺规作图：在𝐶𝐷边上找一点E，将长方形𝐴𝐵𝐶𝐷沿𝐵𝐸折叠，使得点𝐶关于直线𝐵𝐸的对称点𝐹落在边𝐴𝐷上，
并作出点𝐹（保留作图痕迹，写出必要的文字说明）；
(2)在（1）所作图形中，若∠𝐶𝐵𝐸= 20°，求∠𝐷𝐹𝐸的度数．
【答案】(1)
(2)50°
【分析】（1）由于折叠后点𝐶的对称点为F，则𝐵𝐹= 𝐵𝐶，因此先以B 为圆心，𝐵𝐶长为半径画弧，与𝐴𝐷边
的交点即为F 点，再作∠𝐹𝐵𝐶的角平分线，与𝐶𝐷的交点即为E 点；
（2）由折叠的性质可知∠𝐸𝐵𝐹= ∠𝐶𝐵𝐸= 20°、∠𝐵𝐹𝐸= ∠𝐶，进而求出∠𝐹𝐵𝐶的度数，利用三角形内角和定
理求出∠𝐴𝐹𝐵的度数，最后利用∠𝐷𝐹𝐸= 180°−∠𝐵𝐹𝐸−∠𝐴𝐹𝐵求解即可．
【详解】（1）解：①以𝐵为圆心，𝐵𝐶为半径画弧，交𝐴𝐷于𝐹点；
②作∠𝐹𝐵𝐶的角平分线，交𝐶𝐷于𝐸点；
（2）解：由折叠的性质可知：∠𝐸𝐵𝐹= ∠𝐶𝐵𝐸= 20°、∠𝐵𝐹𝐸= ∠𝐶，
∴∠𝐹𝐵𝐶= 2∠𝐶𝐵𝐸= 2 × 20° = 40°，
∵四边形𝐴𝐵𝐶𝐷是长方形，
∴∠𝐴= ∠𝐴𝐵𝐶= ∠𝐶= 90°，
∴∠𝐴𝐵𝐹= ∠𝐴𝐵𝐶−∠𝐶𝐵𝐹= 90°−40° = 50°，
∴∠𝐴𝐹𝐵= 180°−∠𝐴−∠𝐴𝐵𝐹= 180°−90°−50° = 40°，
∵∠𝐵𝐹𝐸= ∠𝐶= 90°，
∴∠𝐷𝐹𝐸= 180°−∠𝐵𝐹𝐸−∠𝐴𝐹𝐵= 180°−90°−40° = 50°．
【变式1-1】（25-26 八年级下·陕西汉中·期末）如图，点A 在∠𝑀𝑂𝑁的边𝑂𝑁上，请用尺规作图法在∠𝑀𝑂𝑁
内部求作点P，连接𝑂𝑃，使点P 到𝑂𝑀和𝑂𝑁的距离相等，且𝑃𝑂= 𝑂𝐴．（保留作图痕迹，不写作法）
【答案】所作图形如图所示：
【分析】以点O 为圆心，适当长为半径画弧，交𝑂𝑀，𝑂𝑁于两点，再以这两点为圆心，大于这两点之间距
离一半为半径画弧，然后再以点O 为圆心，𝑂𝐴长为半径画弧，交∠𝑀𝑂𝑁角平分线于点P，进而问题可求解．
【变式1-2】（25-26 七年级下·广东佛山·期中）如图，已知△𝐴𝐵𝐶，∠𝐵= 90°．
(1)尺规作图：作∠𝐴的平分线，交𝐵𝐶于D．（不写作法，保留作图痕迹）．
(2)在第（1）题的前提下，若𝐴𝐶= 8，𝑆△𝐴𝐷𝐶= 12，求𝐵𝐷的长．
【答案】(1)∠𝐵𝐴𝐶的平分线𝐴𝐷如图所示：
(2)3
【分析】（1）根据尺规作角平分线的方法和步骤解答即可；
（2）作𝐷𝐸⊥𝐴𝐶于点E，如图，根据角平分线的性质可得𝐷𝐵= 𝐷𝐸，再根据三角形的面积公式求出𝐷𝐸即
可.
【详解】（1）略；
（2）解：作𝐷𝐸⊥𝐴𝐶于点E，如图，
∵𝐴𝐷平分∠𝐵𝐴𝐶，∠𝐵= 90°，
∴𝐷𝐵= 𝐷𝐸，
∵𝐴𝐶= 8，𝑆△𝐴𝐷𝐶= 12，
∴
1
2 × 8 ⋅𝐷𝐸= 12，
解得𝐷𝐸= 3，
∴𝐷𝐵= 3.
【变式1-3】（25-26 七年级下·黑龙江绥化·阶段检测）如图，在直线𝑀𝑁上求作一点P，使点P 到∠𝐴𝑂𝐵两边
的距离相等．（不写作法，保留作图痕迹）
【答案】如图，点P 即为所求．
【分析】作∠𝐴𝑂𝐵的角平分线𝑂𝑃，交𝑀𝑁于点P，则点P 到∠𝐴𝑂𝐵两边的距离相等，点P 即为所求．
【题型2 利用角平分线的性质求线段长度】
【例2】（25-26 七年级下·陕西咸阳·阶段检测）如图，在△𝐴𝐵𝐶中，𝐴𝐷是△𝐴𝐵𝐶的角平分线，𝐵𝐸是△𝐴𝐵𝐷
的中线，过点𝐷分别作𝐷𝐹⊥𝐴𝐵，𝐷𝐻⊥𝐴𝐶，垂足分别为点𝐹，𝐻，若△𝐵𝐸𝐷的面积为2，𝐴𝐵的长为4，则𝐷𝐻
的长为___________．
【答案】2
【分析】根据𝐵𝐸是△𝐴𝐵𝐷的中线，可得△𝐴𝐵𝐷的面积是△𝐵𝐸𝐷面积的两倍，再利用△𝐴𝐵𝐷的面积求出
𝐷𝐹，然后根据角平分线的性质得𝐷𝐻= 𝐷𝐹．
【详解】解：∵△𝐵𝐸𝐷的面积为2，𝐵𝐸是△𝐴𝐵𝐷的中线，
∴△𝐴𝐵𝐷的面积为4，
∴
1
2𝐴𝐵⋅𝐷𝐹= 4，
∵𝐴𝐵的长为4，
∴𝐷𝐹= 2，
∵𝐴𝐷是△𝐴𝐵𝐶的角平分线，𝐷𝐹⊥𝐴𝐵，𝐷𝐻⊥𝐴𝐶，
∴𝐷𝐻= 𝐷𝐹= 2．
【变式2-1】（25-26 七年级下·陕西咸阳·阶段检测）如图，𝐴𝐷是△𝐴𝐵𝐶的角平分线，𝐷𝐸⊥𝐴𝐵于点E，𝐷𝐹⊥𝐴𝐶
于点F，𝐷𝐸= 2，则𝐷𝐹的长是（ ）
A．2
B．2.5
C．3
D．4
【答案】A
【分析】根据角平分线上的点到角两边的距离相等，即可得出𝐷𝐹= 𝐷𝐸，从而求出𝐷𝐹的长．
【详解】解：∵𝐴𝐷是△𝐴𝐵𝐶的角平分线， 且𝐷𝐸⊥𝐴𝐵，𝐷𝐹⊥𝐴𝐶，
∴𝐷𝐹= 𝐷𝐸，
∵𝐷𝐸= 2，
∴𝐷𝐹= 2．
【变式2-2】（25-26 七年级下·陕西西安·阶段检测）如图，在△𝐴𝐵𝐶中，𝐶𝐷平分∠𝐴𝐶𝐵，𝐷𝐸⊥𝐵𝐶于点𝐸，△𝐴𝐵𝐶
的面积为28，𝐷𝐸= 4，𝐵𝐶= 9，则𝐴𝐶的长是（ ）
A．4
B．5
C．6
D．7
【答案】B
【分析】过点𝐷作𝐷𝐹⊥𝐴𝐶于点𝐹，利用角平分线的性质得出𝐷𝐹= 𝐷𝐸= 4，再根据𝑆△𝐴𝐵𝐶= 𝑆△𝐴𝐶𝐷+ 𝑆△𝐵𝐶𝐷
即可求解．
【详解】解：过点𝐷作𝐷𝐹⊥𝐴𝐶于点𝐹，
∵𝐶𝐷平分∠𝐴𝐶𝐵，𝐷𝐸⊥𝐵𝐶，𝐷𝐸= 4，
∴𝐷𝐹= 𝐷𝐸= 4，
∴𝑆△𝐴𝐵𝐶= 𝑆△𝐴𝐶𝐷+ 𝑆△𝐵𝐶𝐷=
1
2 × 4𝐴𝐶+
1
2 × 4𝐵𝐶，
∵𝑆△𝐴𝐵𝐶= 28，𝐵𝐶= 9，
∴28 = 2𝐴𝐶+ 18，
∴2𝐴𝐶= 10，
∴𝐴𝐶= 5．
【变式2-3】（25-26 七年级下·四川成都·期中）已知△𝐴𝐵𝐶中，∠𝐴𝐶𝐵= 2∠𝐴𝐵𝐶，𝐴𝐷为∠𝐵𝐴𝐶的平分线．若
𝑆△𝐴𝐵𝐷:𝑆△𝐴𝐶𝐷= 3:2，则
𝐴𝐶+𝐷𝐶
𝐵𝐶的值为____________________．
【答案】
6
5
【分析】如图，作𝐷𝐸⊥𝐴𝐶于E，𝐷𝐹⊥𝐴𝐵于F，在𝐴𝐵上截取𝐴𝐻= 𝐴𝐶，连接𝐷𝐻．首先证明
𝐴𝐵:𝐴𝐶= 𝐵𝐷:𝐶𝐷= 3:2，设𝐴𝐵= 6𝑘,𝐴𝐶= 4𝑘，再证明△𝐷𝐴𝐻≌△𝐷𝐴𝐶(SAS)，推出𝐵𝐻= 𝐷𝐻= 𝐷𝐶= 2𝑘，
求出𝐵𝐶即可解决问题．
【详解】解：如图，作𝐷𝐸⊥𝐴𝐶于E，𝐷𝐹⊥𝐴𝐵于F，在𝐴𝐵上截取𝐴𝐻= 𝐴𝐶，连接𝐷𝐻．
∵𝐴𝐷为∠𝐵𝐴𝐶的平分线，𝐷𝐸⊥𝐴𝐶，𝐷𝐹⊥𝐴𝐵，
∴𝐷𝐸= 𝐷𝐹，
∵𝑆△𝐴𝐵𝐷:𝑆△𝐴𝐶𝐷= 3:2，
∴
𝑆△𝐴𝐵𝐷
𝑆△𝐴𝐶𝐷=
1
2 𝐴𝐵⋅𝐷𝐹
1
2 𝐴𝐶⋅𝐷𝐸=
𝐴𝐵
𝐴𝐶=
𝐵𝐷
𝐷𝐶=
3
2，
设𝐴𝐵= 6𝑘,𝐴𝐶= 4𝑘，
∵𝐴𝐻= 𝐴𝐶，∠𝐷𝐴𝐻= ∠𝐷𝐴𝐶，𝐴𝐷= 𝐴𝐷，
∴△𝐷𝐴𝐻≌△𝐷𝐴𝐶(SAS)，
∴𝐷𝐻= 𝐷𝐶,𝐴𝐶= 𝐴𝐻= 4𝑘,∠𝐴𝐶𝐷= ∠𝐴𝐻𝐷，
∴𝐵𝐻= 2𝑘，
∵∠𝐴𝐻𝐷= ∠𝐵+ ∠𝐻𝐷𝐵,∠𝐴𝐶𝐵= 2∠𝐵，
∴∠𝐵= ∠𝐻𝐷𝐵，
∴𝐵𝐻= 𝐷𝐻= 𝐷𝐶= 2𝑘，
∵
𝐵𝐷
𝐷𝐶=
3
2，
∴𝐵𝐷= 3𝑘，
∴𝐴𝐵= 6𝑘,𝐵𝐶= 𝐶𝐷+ 𝐵𝐷= 5𝑘，
∴
𝐴𝐶+𝐷𝐶
𝐵𝐶
=
4𝑘+2𝑘
5𝑘
=
6
5．
【题型3 利用角平分线的性质求三角形面积】
【例3】如图，已知在△𝐴𝐵𝐶中，𝐶𝐷是𝐴𝐵边上的高线，𝐵𝐸平分∠𝐴𝐵𝐶，交𝐶𝐷于点E，𝐵𝐶= 5，𝐷𝐸= 2，则△𝐵𝐶𝐸
的面积等于__________．
【答案】5
【分析】作𝐸𝐹⊥𝐵𝐶于F，根据角平分线的性质定理得到𝐸𝐹= 𝐷𝐸= 2，根据三角形面积公式计算即可．
【详解】解：过E 作𝐸𝐹⊥𝐵𝐶于F，
∵𝐶𝐷是𝐴𝐵边上的高线，𝐵𝐸平分∠𝐴𝐵𝐶，
∴𝐸𝐹= 𝐷𝐸= 2，
∵𝐵𝐶= 5，
∴△𝐵𝐶𝐸的面积为
1
2 × 𝐵𝐶× 𝐸𝐹=
1
2 × 5 × 2 = 5
【变式3-1】如图，𝐴𝐷是△𝐴𝐵𝐶的角平分线，若𝐴𝐵= 10，𝐴𝐶= 8，则𝑆△𝐴𝐵𝐷:𝑆△𝐴𝐷𝐶= （ ）
A．1:1
B．4:5
C．5:4
D．16:25
【答案】C
【分析】作𝐷𝐸⊥𝐴𝐵于点𝐸，𝐷𝐹⊥𝐴𝐶于点𝐹，由角平分线的性质定理可得𝐷𝐸= 𝐷𝐹，再结合三角形的面积公
式计算即可得出结果．
【详解】解：如图，作𝐷𝐸⊥𝐴𝐵于点𝐸，𝐷𝐹⊥𝐴𝐶于点𝐹，
，
∵𝐴𝐷是△𝐴𝐵𝐶的角平分线，
∴𝐷𝐸= 𝐷𝐹，
∵𝑆△𝐴𝐵𝐷=
1
2𝐴𝐵⋅𝐷𝐸，𝑆△𝐴𝐶𝐷=
1
2𝐴𝐶⋅𝐷𝐹，且𝐴𝐵= 10，𝐴𝐶= 8，
∴𝑆△𝐴𝐵𝐷:𝑆△𝐴𝐷𝐶= 𝐴𝐵:𝐴𝐶= 5:4．
【变式3-2】（25-26 七年级上·山东烟台·期中）如图，在四边形𝐴𝐵𝐶𝐷中，∠𝐵𝐶𝐷= 90°，𝐵𝐷平分∠𝐴𝐵𝐶，
𝐴𝐵= 6，𝐵𝐶= 10，𝐶𝐷= 5，则四边形𝐴𝐵𝐶𝐷的面积是（ ）
A．40
B．42
C．46
D．48
【答案】A
【分析】过点𝐷作𝐷𝐸⊥𝐴𝐵交𝐵𝐴的延长线于点𝐸，根据角平分线的性质得到𝐷𝐸= 𝐶𝐷，然后将四边形𝐴𝐵𝐶𝐷的
面积转化为△𝐴𝐵𝐷与△𝐵𝐶𝐷的面积之和进行计算即可．
【详解】解：如图，过点𝐷作𝐷𝐸⊥𝐴𝐵交𝐵𝐴的延长线于点𝐸，
∵𝐵𝐷平分∠𝐴𝐵𝐶，∠𝐵𝐶𝐷= 90°，𝐷𝐸⊥𝐴𝐵，
∴𝐷𝐸= 𝐶𝐷= 5，
∴𝑆△𝐴𝐵𝐷=
1
2𝐴𝐵⋅𝐷𝐸=
1
2 × 6 × 5 = 15，
∴𝑆△𝐵𝐶𝐷=
1
2𝐵𝐶⋅𝐶𝐷=
1
2 × 10 × 5 = 25，
∴四边形𝐴𝐵𝐶𝐷的面积为𝑆△𝐴𝐵𝐷+ 𝑆△𝐵𝐶𝐷= 15 + 25 = 40．
【变式3-3】（25-26 七年级下·山东青岛·阶段检测）如图，若∠𝐴𝑂𝐵＝∠𝐴𝐶𝐵＝90°，𝑂𝐶平分∠𝐴𝑂𝐵，𝑂𝐶= 4，
则四边形𝐴𝑂𝐵𝐶的面积是_____ ．
【答案】8
【分析】作𝐶𝑁⊥𝑂𝐴于点𝑁，作𝐶𝑀⊥𝑂𝐵于点𝑀，证得△𝐶𝐴𝑁≌△𝐶𝑀𝐵，利用勾股定理求得正方形𝐶𝑁𝑂𝑀的
边长，即可求得面积．
【详解】解：如图，作𝐶𝑁⊥𝑂𝐴于点𝑁，作𝐶𝑀⊥𝑂𝐵于点𝑀，
∵∠𝐴𝑂𝐵= ∠𝐴𝐶𝐵= 90°，
∴∠3 + ∠4 = 180°．
∵∠5 + ∠4 = 180°，
∴∠3 = ∠5．
∵𝑂𝐶平分∠𝐴𝑂𝐵，
∴𝐶𝑀= 𝐶𝑁．
∵∠𝐶𝑁𝐴= ∠𝐶𝑀𝐵= 90°，
∴△𝐶𝐴𝑁≌△𝐶𝑀𝐵(AAS)，
∴𝐶𝑁= 𝐶𝑀．
∵∠𝑂𝑁𝐶= ∠𝑂𝑀𝐶= ∠𝑀𝑂𝑁= 90°，
∴四边形𝑂𝑀𝐶𝑁是矩形，
∴四边形𝐶𝑁𝑂𝑀是正方形．
∵△𝐶𝐴𝑁≌△𝐶𝑀𝐵，
∴𝑆△𝐶𝐴𝑁= 𝑆△𝐶𝑀𝐵，
∴四边形𝐴𝑂𝐵𝐶的面积等于正方形𝐶𝑁𝑂𝑀．
设正方形𝐶𝑁𝑂𝑀的边长为𝑥，𝑂𝐶= 4，
由勾股定理可知：𝑥2 + 𝑥2 = 42，
∴𝑥2 = 8，
∴正方形𝐶𝑁𝑂𝑀的面积等于8，
∴四边形𝐴𝑂𝐵𝐶的面积等于8．
【题型4 利用角平分线的判定证明点在角平分线上】
【例4】（25-26 八年级下·福建漳州·期中）已知：如图，在△𝐴𝐵𝐶中，角平分线𝐵𝑀与角平分线𝐶𝑁相交于点
P．求证：∠𝐴的平分线经过点P．
【答案】证明：过点P 分别作𝑃𝐷⊥𝐴𝐵，𝑃𝐸⊥𝐵𝐶，𝑃𝐹⊥𝐴𝐶，
∵ 𝐵𝑀是△𝐴𝐵𝐶的角平分线，
∴𝑃𝐷= 𝑃𝐸（角平分线上的点到这个角的两边的距离相等）．
同理，𝑃𝐸= 𝑃𝐹．
∴𝑃𝐷= 𝑃𝐸= 𝑃𝐹．
∴点P 在∠𝐴的平分线上（在一个角的内部，到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上），即∠𝐴的平分
线经过点P．
【分析】过点P 分别作𝑃𝐷⊥𝐴𝐵，𝑃𝐸⊥𝐵𝐶，𝑃𝐹⊥𝐴𝐶，根据角平分线的性质得出𝑃𝐷= 𝑃𝐸= 𝑃𝐹，然后根据
角平分线的判定即可得证．
【变式4-1】（25-26 八年级下·辽宁锦州·期中）如图，在△𝐴𝐷𝐹中，∠𝐹= 90°，点𝐵、𝐶分别在边𝐴𝐹、𝐷𝐹上，
连接𝐴𝐶、𝐵𝐶，𝐶𝐵= 𝐶𝐷，∠𝐷= ∠𝐶𝐵𝐹，在边𝐴𝐷上截取𝐷𝐸= 𝐵𝐹，连接𝐶𝐸．求证：𝐴𝐶平分∠𝐷𝐴𝐵．
【答案】证明见解析
【分析】证明△𝐶𝐷𝐸≌△𝐶𝐵𝐹(SAS)得到∠𝐷𝐸𝐶= ∠𝐹= 90°，𝐶𝐸= 𝐶𝐹，再根据角平分线的判定定理可得结
论．
【详解】证明：在△𝐶𝐷𝐸与△𝐶𝐵𝐹中，
∵𝐷𝐸= 𝐵𝐹，∠𝐷= ∠𝐶𝐵𝐹，𝐶𝐷= 𝐶𝐵．
∴△𝐶𝐷𝐸≌△𝐶𝐵𝐹(SAS)．
∴∠𝐷𝐸𝐶= ∠𝐹= 90°，𝐶𝐸= 𝐶𝐹．
∴𝐶𝐸⊥𝐴𝐷，𝐶𝐹⊥𝐴𝐹
∴𝐴𝐶平分∠𝐷𝐴𝐵．
【变式4-2】（25-26 八年级下·山西运城·期中）如图，已知∠𝐴𝑂𝐵，王老师提出一个问题：能不能利用有刻
度的直尺作出∠𝐴𝑂𝐵的平分线？小宇同学利用两把完全相同的直尺，设计了一种独特的作一个角的平分线的
方法：在∠𝐴𝑂𝐵中，将两把直尺按照如图所示的方式摆放，则射线𝑂𝑃为∠𝐴𝑂𝐵的平分线．请你说明小宇的思
路有没有道理？请说明理由．
【答案】小宇的思路有道理，理由见解析
【分析】作𝑃𝑁⊥𝑂𝐵，垂足为𝑁，根据题意，可得𝑃𝑀= 𝑃𝑁，根据角平分线的判定定理，可得点𝑃在∠𝐴𝑂𝐵的
角平分线上，即可说明射线𝑂𝑃为∠𝐴𝑂𝐵的平分线．
【详解】解：小宇的思路有道理，
理由如下：作𝑃𝑁⊥𝑂𝐵，垂足为𝑁，
∵根据题意，两把直尺完全相同，即宽度相同，
∴ 𝑃𝑀= 𝑃𝑁，
∵ 𝑃𝑀⊥𝑂𝐴，𝑃𝑁⊥𝑂𝐵，
∴点𝑃在∠𝐴𝑂𝐵的角平分线上，
∴射线𝑂𝑃为∠𝐴𝑂𝐵的平分线．
【变式4-3】（25-26 九年级下·山东聊城·阶段检测）如图，在△𝐴𝐵𝐶中，点D 在𝐵𝐶边上，∠𝐵𝐴𝐷= 100°，∠𝐴𝐵𝐶
的平分线交𝐴𝐶于点E，过点E 作𝐸𝐹⊥𝐴𝐵，垂足为F，且∠𝐴𝐸𝐹= 50°，连接𝐷𝐸．
(1)求∠𝐶𝐴𝐷的度数；
(2)求证：𝐷𝐸平分∠𝐴𝐷𝐶；
(3)若𝐴𝐵= 6，𝐴𝐷= 4，𝐶𝐷= 8，且𝑆△𝐴𝐶𝐷= 12，求△𝐴𝐵𝐸的面积．
【答案】(1)∠𝐶𝐴𝐷= 40°
(2)见解析
(3)6
【分析】（1）根据平角的定义解题即可；
（2）过点E 作𝐸𝐺⊥𝐴𝐷于G，𝐸𝐻⊥𝐵𝐶于H，结合角平分线的性质和判定定理证明；
（3）根据𝑆△𝐴𝐶𝐷= 𝑆△𝐴𝐷𝐸+ 𝑆△𝐶𝐷𝐸=
1
2𝐴𝐷·𝐸𝐺+
1
2𝐶𝐷·𝐸𝐻求出𝐸𝐺，再进行求解即可．
【详解】（1）解：∵𝐸𝐹⊥𝐴𝐵，∠𝐴𝐸𝐹= 50°，
∴∠𝐹𝐴𝐸= 90°−50° = 40°，
∵∠𝐵𝐴𝐷= 100°，
∴∠𝐶𝐴𝐷= 180°−100°−40° = 40°；
（2）证明：过点E 作𝐸𝐺⊥𝐴𝐷于G，𝐸𝐻⊥𝐵𝐶于H，
∵∠𝐹𝐴𝐸= ∠𝐷𝐴𝐸= 40°，𝐸𝐹⊥𝐵𝐹，𝐸𝐺⊥𝐴𝐷，
∴𝐸𝐹= 𝐸𝐺，
∵𝐵𝐸平分∠𝐴𝐵𝐶，𝐸𝐹⊥𝐵𝐹，𝐸𝐻⊥𝐵𝐶，
∴𝐸𝐹= 𝐸𝐻，
∴𝐸𝐺= 𝐸𝐻，
∴𝐷𝐸平分∠𝐴𝐷𝐶；
（3）解：∵𝑆△𝐴𝐶𝐷= 12，
∴𝑆△𝐴𝐷𝐸+ 𝑆△𝐶𝐷𝐸=
1
2𝐴𝐷·𝐸𝐺+
1
2𝐶𝐷·𝐸𝐻= 12，
即
1
2 × 4 × 𝐸𝐺+
1
2 × 8 × 𝐸𝐺= 12，
解得𝐸𝐺= 𝐸𝐻= 2，
∴𝐸𝐹= 2，
∴𝑆△𝐴𝐵𝐸=
1
2𝐴𝐵·𝐸𝐹=
1
2 × 6 × 2 = 6．
【题型5 与角平分线性质相关的角度计算】
【例5】（25-26 八年级上·江苏南京·期中）如图，𝑂𝑀平分∠𝐴𝑂𝐵，𝑀𝐴⊥𝑂𝐴，垂足为A，𝑀𝐵⊥𝑂𝐵，垂足为
B．若∠𝑀𝐴𝐵= 15°，则∠𝐴𝑂𝐵的度数为______．
【答案】30°
【分析】本题考查角平分线的性质定理，三角形内角和，四边形内角和．利用角平分线的性质定理可知：
𝑀𝐵= 𝑀𝐴，即可证明∠𝑀𝐴𝐵= ∠𝑀𝐵𝐴= 15°，利用三角形内角和可知∠𝐴𝑀𝐵= 150°，再利用四边形𝑂𝐴𝑀𝐵
的内角和为360°即可求出∠𝐴𝑂𝐵= 30°．
【详解】解：∵𝑂𝑀平分∠𝐴𝑂𝐵，𝑀𝐴⊥𝑂𝐴，𝑀𝐵⊥𝑂𝐵，
∴𝑀𝐵= 𝑀𝐴，
∵∠𝑀𝐴𝐵= 15°，
∴∠𝑀𝐴𝐵= ∠𝑀𝐵𝐴= 15°，
∴∠𝐴𝑀𝐵= 180°−∠𝑀𝐴𝐵−∠𝑀𝐵𝐴= 150°，
∵四边形𝑂𝐴𝑀𝐵的内角和为360°，
∴∠𝐴𝑂𝐵= 360°−90°−90°−150° = 30°，
故答案为：30°．
【变式5-1】（25-26 八年级上·江苏南京·阶段检测）如图，在△𝐴𝐵𝐶中，𝐶𝐷是∠𝐴𝐶𝐵的平分线，𝐵𝐸⊥𝐶𝐷，
垂足为点𝐸．若∠𝐶𝐵𝐸−∠𝐷𝐵𝐸 = 40°，则∠𝐵𝐴𝐶的度数为______．
【答案】40°
【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质、角平分线的性质，解决本题的关键是掌握全等三角形的判
定；
根据角平分线的性质可得∠𝐵𝐸𝐶= ∠𝐹𝐸𝐶,∠𝐵𝐶𝐸= ∠𝐹𝐶𝐸，再根据ASA证明△𝐵𝐶𝐸≌△𝐹𝐶𝐸，根据其性质进而
即可求解．
【详解】解：延长𝐵𝐸交𝐴𝐶于点F，
∵𝐶𝐷是∠𝐴𝐶𝐵的平分线，𝐵𝐸⊥𝐶𝐷，垂足为点E，
∴∠𝐵𝐸𝐶= ∠𝐹𝐸𝐶= 90°,∠𝐵𝐶𝐸= ∠𝐹𝐶𝐸，
在△𝐵𝐶𝐸和△𝐹𝐶𝐸中，
∠𝐵𝐶𝐸= ∠𝐹𝐶𝐸
𝐶𝐸= 𝐶𝐸
∠𝐵𝐸𝐶= ∠𝐹𝐸𝐶
，
∴△𝐵𝐶𝐸≌△𝐹𝐶𝐸(ASA)，
∴∠𝐶𝐵𝐸= ∠𝐶𝐹𝐸，
∵∠𝐶𝐵𝐸−∠𝐷𝐵𝐸= 40°，
∴∠𝐶𝐹𝐸−∠𝐷𝐵𝐸= 40°，
∵∠𝐶𝐹𝐸= ∠𝐵𝐴𝐶+ ∠𝐸𝐵𝐷，
∴∠𝐵𝐴𝐶= ∠𝐶𝐹𝐸−∠𝐷𝐵𝐸，
∴∠𝐵𝐴𝐶= 40°，
∴∠𝐵𝐴𝐶的度数是40°．
故答案为：40°．
【变式5-2】（24-25 八年级上·云南昭通·期中）如图，直线𝐴𝐵、𝐶𝐷交于点O，𝑀𝐸⊥𝐴𝐵于点E，𝑀𝐹⊥𝐶𝐷于
点F，若𝑂𝐸= 𝑂𝐹，且∠𝐴𝑂𝐶= 56°，则∠𝑂𝑀𝐸的度数为________．
【答案】28°
【分析】本题考查了四边形内角和定理、同角的补角相等、角平分线的判定与性质．
根据平角的定义和四边形内角和为360°可得∠𝐴𝑂𝐶+ ∠𝐴𝑂𝐷= 180°，∠𝐴𝑂𝐷+ ∠𝐸𝑀𝐹= 180°，根据同角的补
角相等可得∠𝐸𝑀𝐹= ∠𝐴𝑂𝐶= 56°，根据到角两边距离相等的点在角平分线上可知𝑀𝑂是∠𝐸𝑀𝐹的平分线，从
而可求∠𝑂𝑀𝐸的度数.
【详解】解：根据平角的定义可知：∠𝐴𝑂𝐶+ ∠𝐴𝑂𝐷= 180°，
在四边形𝑂𝐸𝑀𝐹中，∠𝐴𝑂𝐷+ ∠𝐸𝑀𝐹+ ∠𝑀𝐸𝑂+ ∠𝑀𝐹𝑂= 360°，
∵ 𝑀𝐸⊥𝐴𝐵于点𝐸，𝑀𝐹⊥𝐶𝐷于点𝐹，
∴∠𝑀𝐸𝑂= ∠𝑀𝐹𝑂= 90°，
∴∠𝐴𝑂𝐷+ ∠𝐸𝑀𝐹= 360°−90°−90° = 180°，
∴∠𝐸𝑀𝐹= ∠𝐴𝑂𝐶= 56°，
∵𝑂𝐸= 𝑂𝐹，
∴∠𝑂𝑀𝐸= ∠𝑂𝑀𝐹=
1
2∠𝐸𝑀𝐹=
1
2 × 56° = 28°．
故答案为：28°．
【变式5-3】（25-26 八年级上·广东广州·期末）如图，𝑂𝐶为∠𝐴𝑂𝐵的角平分线，点P 为𝑂𝐶上一点，点D，E
分别为射线𝑂𝐴，𝑂𝐵上的点，且∠𝑃𝐸𝑂= 120°，若𝑃𝐷= 𝑃𝐸，则∠𝑃𝐷𝑂的度数为_______．
【答案】60°或120°
【分析】此题考查了角平分线的性质，全等三角形的性质和判定，等边对等角，解题的关键是掌握以上知
识点．
首先求出∠𝑃𝐸𝐵= 60°，如图所示，过点P 作𝑃𝑁⊥𝑂𝐴交𝑂𝐵于点M，过点P 作𝑂𝑀⊥𝑂𝐵交𝑂𝐴于点N，然后
根据题意分两种情况讨论，当点D 在点𝐷1时，由角平分线的性质得到𝑃𝑀= 𝑃𝑁，证明出Rt △𝑃𝑁𝐷1≌Rt
△𝑃𝑀𝐸(HL)，得到∠𝑁𝐷1𝑃= ∠𝑃𝐸𝑀= 60°，进而求解即可；当点D 在点𝐷2时，利用等边对等角求解即可．
【详解】解：∵∠𝑃𝐸𝑂= 120°，
∴∠𝑃𝐸𝐵= 180°−∠𝑃𝐸𝑂= 60°，
如图所示，过点P 作𝑃𝑁⊥𝑂𝐴交𝑂𝐵于点M，过点P 作𝑂𝑀⊥𝑂𝐵交𝑂𝐴于点N，当点D 在点𝐷1时，
∵𝑂𝐶为∠𝐴𝑂𝐵的角平分线，𝑃𝑁⊥𝑂𝐴，𝑂𝑀⊥𝑂𝐵
∴𝑃𝑀= 𝑃𝑁，∠𝑃𝑁𝐷1 = ∠𝑃𝑀𝐸= 90°
∵𝑃𝐷1 = 𝑃𝐸，
∴Rt △𝑃𝑁𝐷1≌Rt △𝑃𝑀𝐸(HL)，
∴∠𝑁𝐷1𝑃= ∠𝑃𝐸𝑀= 60°
∴∠𝑃𝐷1𝑂= 180°−∠𝑁𝐷1𝑃= 120°；
如图所示，当点D 在点𝐷2时，
∵𝑃𝐷1 = 𝑃𝐷2
∴∠𝑃𝐷1𝑁= ∠𝑃𝐷2𝑁= 60°
综上所述，∠𝑃𝐷𝑂的度数为60°或120°．
故答案为：60°或120°．
【题型6 利用角平分线的性质求最值】
【例6】如图，Rt △𝐴𝐵𝐶，∠𝐶= 90°，∠𝐴= 30°，𝐵𝐷平分∠𝐴𝐵𝐶，点𝑃为𝐴𝐵上的一动点，𝐴𝐶= 3，则𝑃𝐷的
最小值为______．
【答案】1
【分析】本题考查了角平分线的性质，30 度所对的直角边等于斜边的一半，垂线段最短，熟练掌握以上知
识点是解题的关键．过点𝐷作𝐷𝐻⊥𝐴𝐵交𝐴𝐵于点𝐻，根据角平分线的性质，可得𝐷𝐶= 𝐷𝐻，在Rt △𝐴𝐷𝐻，
∠𝐷𝐻𝐴= 90°，∠𝐴= 30°，结合30 度所对的直角边等于斜边的一半，可知𝐴𝐷= 2𝐷𝐻，又
𝐴𝐶= 𝐴𝐷+ 𝐶𝐷= 3𝐷𝐶，从而得到𝐷𝐻的长度，由𝐷𝑃≥𝐷𝐻，可知𝑃𝐷的最小值为𝐷𝐻，从而求得答案．
【详解】解：过点𝐷作𝐷𝐻⊥𝐴𝐵交𝐴𝐵于点𝐻，如图所示：
∵ 𝐵𝐷平分∠𝐴𝐵𝐶，∠𝐶= ∠𝐷𝐻𝐵= 90°，
∴𝐷𝐶= 𝐷𝐻，
∵ Rt △𝐴𝐷𝐻，∠𝐷𝐻𝐴= 90°，∠𝐴= 30°，
∴𝐷𝐻=
1
2𝐴𝐷，即𝐴𝐷= 2𝐷𝐻，
∴𝐴𝐶= 𝐴𝐷+ 𝐶𝐷= 3𝐷𝐶，
∵𝐴𝐶= 3，
∴𝐷𝐶= 1，
∴𝐷𝐻= 1，
∵𝐷𝑃≥𝐷𝐻，
∴当点𝑃与𝐻重合时，𝐷𝑃的最小值为𝐷𝐻，且最小值为1，
故答案为：1．
【变式6-1】（24-25 八年级上·河北邯郸·阶段检测）如图，在直角三角形𝐴𝐵𝐶中，∠𝐶= 90°．以A 为圆心，
任意长为半径画弧，分别交𝐴𝐶，𝐴𝐵于点D，E，再分别以D，E 为圆心、大于
1
2𝐷𝐸的长为半径画弧，两弧交
于点F，作射线𝐴𝐹交𝐵𝐶于点P．若𝑃𝐶= 3，点Q 为边𝐴𝐵上的一个动点，则
①∠𝑃𝐴𝐶______∠𝑃𝐴𝐵（填“ > ”“ = ”或“ < ”）；
②𝑃𝐵______𝑃𝐶（填“ > ”“ = ”或“ < ”）；
③线段𝑃𝑄的最小值为______．
【答案】
=
>
3
【分析】本题考查了作图—复杂作图：解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基
本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作.也考查了角平分线的性质．
利用基本作图可判断∠𝑃𝐴𝐶= ∠𝑃𝐴𝐵，再过𝑃点作𝑃𝐻⊥𝐴𝐵于𝐻点，如图，根据角平分线的性质得到
𝑃𝐻= 𝑃𝐶= 3，然后根据垂线段最短得到𝑃𝐵> 𝑃𝐶,𝑃𝑄≥𝑃𝐻，从而得到线段𝑃𝑄的最小值为3．
【详解】由作法得𝐴𝑃平分∠𝐵𝐴𝐶,
∴∠𝑃𝐴𝐶= ∠𝑃𝐴𝐵，
②过𝑃点作𝑃𝐻⊥𝐴𝐵于𝐻点，如图，
∵𝐴𝑃为∠𝐵𝐴𝐶的平分线，𝑃𝐶⊥𝐴𝐶, 𝑃𝐻⊥𝐴𝐵,
∴𝑃𝐻= 𝑃𝐶= 3，
∵𝑃𝐵> 𝑃𝐻，
∴𝑃𝐵> 𝑃𝐶，
𝑃𝑄≥𝑃𝐻，
∴线段𝑃𝑄的最小值为3．
故答案为： = ， > ， 3．
【变式6-2】如图，在锐角三角形𝐴𝐵𝐶中，𝐴𝐵= 6，△𝐴𝐵𝐶的面积为18，𝐵𝐷平分∠𝐴𝐵𝐶，若E，F 分别是
𝐵𝐷，𝐵𝐶上的动点，则𝐶𝐸+ 𝐸𝐹的最小值为（ ）
A．5
B．6
C．7
D．8
【答案】B
【分析】本题考查了轴对称-最短路线问题．过点C 作𝐶𝑃⊥𝐴𝐵于点P，交𝐵𝐷于点E，过点E 作𝐸𝐹⊥𝐵𝐶于
F，则𝐶𝑃即为𝐶𝐸+ 𝐸𝐹的最小值，再根据三角形的面积公式求出𝐶𝑃的长，即为𝐶𝐸+ 𝐸𝐹的最小值．
【详解】解：过点C 作𝐶𝑃⊥𝐴𝐵于点P，交𝐵𝐷于点E，过点E 作𝐸𝐹⊥𝐵𝐶于F，
∵𝐵𝐷平分∠𝐴𝐵𝐶，𝑃𝐸⊥𝐴𝐵，𝐸𝐹⊥𝐵𝐶，
∴𝑃𝐸= 𝐸𝐹，
∴𝐶𝑃= 𝐶𝐸+ 𝑃𝐸= 𝐶𝐸+ 𝐸𝐹，此时取最小值．
∵△𝐴𝐵𝐶的面积为18，𝐴𝐵= 6，
∴
1
2 × 6 × 𝐶𝑃= 18，
∴𝐶𝑃= 6．
即𝐶𝐸+ 𝐸𝐹的最小值为6，
故选：B．
【变式6-3】如图，∠𝑀𝑂𝑁= 60°，点A、B 分别是射线𝑂𝑀、射线𝑂𝑁上的动点，连接𝐴𝐵,∠𝑀𝐴𝐵的角平分线
与∠𝑁𝐵𝐴的角平分线交于点P．
(1)当𝑂𝐴= 𝑂𝐵时，求证：𝐴𝑃∥𝑂𝐵；
(2)在点A、B 运动的过程中，∠𝑃的大小是否发生改变？若不改变，请求出∠𝑃的度数；若改变请说明理由；
(3)连接𝑂𝑃，C 是线段𝑂𝑃上的动点，D 是线段𝑂𝐴上的动点，当𝑆△𝑂𝐴𝐵= 12,𝑂𝐵= 6时，求𝐴𝐶+ 𝐶𝐷的最小值．
【答案】(1)见解析
(2)不变，∠𝑃= 60°
(3)4
【分析】本题考查了等边三角形的判定与性质、角平分线的性质、平行线的判定、三角形内角和定理及最
短路径问题，解题的关键是灵活运用几何图形的性质和判定定理，结合对称思想解决最值问题．
（1）由∠𝑀𝑂𝑁= 60°且𝑂𝐴= 𝑂𝐵， 判定△𝑂𝐴𝐵为等边三角形，得出∠𝑂𝐴𝐵= ∠𝐴𝐵𝑂= 60°；计算
∠𝐵𝐴𝑀= 120°，利用角平分线性质得∠𝑃𝐴𝐵= 60°，通过∠𝑃𝐴𝐵= ∠𝐴𝐵𝑂证明𝐴𝑃∥𝑂𝐵．
（2）根据三角形外角性质得出∠𝑀𝐴𝐵+ ∠𝐴𝐵𝑁= 240°；由角平分线性质得∠𝑃𝐴𝐵+ ∠𝑃𝐵𝐴= 120°，结合三
角形内角和定理求出∠𝑃= 60°， 确定其大小不变．
（3）利用角平分线性质证明𝑂𝑃平分∠𝑀𝑂𝑁； 通过三角形面积公式求出𝐴𝐻= 4； 作点𝐷关于𝑂𝑃的对称点
𝐷′， 转化𝐴𝐶+ 𝐶𝐷= 𝐴𝐶+ 𝐶𝐷′， 根据垂线段最短得出最小值为4．
【详解】（1）证明：如图1 中，
∵∠𝑂= 60°,𝑂𝐴= 𝑂𝐵，
∴△𝑂𝐴𝐵是等边三角形，
∴∠𝑂𝐴𝐵= ∠𝐴𝐵𝑂= 60°，
∴∠𝐵𝐴𝑀= 180°−60° = 120°，
∵𝑃𝐴平分∠𝐵𝐴𝑀，
∴∠𝑃𝐴𝐵=
1
2∠𝐵𝐴𝑀= 60°，
∴∠𝑃𝐴𝐵= ∠𝐴𝐵𝑂= 60°，
∴𝐴𝑃∥𝑂𝐵．
（2）
解：如图2 中，∠𝑃的大小不变，∠𝑃= 60°．理由如下：
∵∠𝑀𝐴𝐵= ∠𝑂+ ∠𝑂𝐵𝐴,∠𝐴𝐵𝑁= ∠𝑂+ ∠𝑂𝐴𝐵，
∴∠𝑀𝐴𝐵+ ∠𝐴𝐵𝑁= ∠𝑂+ ∠𝐴𝐵𝑂+ ∠𝑂𝐴𝐵+ ∠𝑂= 180° + 60° = 240°，
∵𝑃𝐴,𝑃𝐵分别平分∠𝑀𝐴𝐵,∠𝐴𝐵𝑁，
∴∠𝑃𝐴𝐵+ ∠𝑃𝐵𝐴=
1
2(∠𝑀𝐴𝐵+ ∠𝐴𝐵𝑁) = 120°，
∴∠𝑃= 180°−120° = 60°．
（3）
解：如图3 中，过点A 作𝐴𝐻⊥𝑂𝐵于H，过点P 作𝑃𝐽⊥𝐴𝐵于J,𝑃𝐾⊥𝑂𝑀于K,𝑃𝐼⊥𝑂𝑁于I．
∵𝑃𝐴平分∠𝑀𝐴𝐵,𝑃𝐾⊥𝑂𝑀,𝑃𝐽⊥𝐴𝐵，
∴𝑃𝐾= 𝑃𝐽，
∵𝑃𝐵平分∠𝐴𝐵𝑁,𝑃𝐽⊥𝐴𝐵,𝑃𝐼⊥𝑂𝑁，
∴𝑃𝐽= 𝑃𝐼，
∴𝑃𝐾= 𝑃𝐼，
∴𝑂𝑃平分∠𝑀𝑂𝑁，
作点D 关于𝑂𝑃的对称点𝐷′，连接𝐶𝐷′，
∵𝑆Δ𝐴𝑂𝐵= 1
2 ·𝑂𝐵·𝐴𝐻
∴12 =
1
2 × 6 × 𝐴𝐻，
∴𝐴𝐻= 4，
∵𝐶𝐷= 𝐶𝐷′，
∴𝐴𝐶+ 𝐶𝐷= 𝐴𝐶+ 𝐶𝐷′ ≥𝐴𝐻，
∴𝐴𝐶+ 𝐶𝐷≥4，
∴𝐴𝐶+ 𝐶𝐷的最小值为4．
【题型7 角平分线性质的实际应用】
【例7】（25-26 八年级上·上海·期末）如图，三条公路两两相交于点A、B、C，现在要在公路边建一所加
油站𝑃，要求加油站𝑃的位置到三条公路的距离都相等．
(1)符合要求的位置有__________个；
(2)请你找出所有加油站𝑃的位置（要求：尺规作图，保留作图痕迹，写出结论）；
(3)你的作图依据是__________．
【答案】(1)4
(2)见解析
(3)角平分线的判定定理
【分析】本题考查角平分线的性质，尺规作图-作角平分线等知识，掌握角平分线的性质是解题的关键．
（1）利用角平分线的性质即可得出结论；
（2）利用角平分线的性质作出图形即可；
（3）利用角平分线的判定解答即可．
【详解】（1）解：三角形内角平分线的交点到三角形三边的距离相等，三角形相邻两个外角（共三组）的
平分线交点到三角形三边的距离相等，
故符合要求的位置有4 个，
故答案为：4；
（2）解：如图所示，𝑃1、𝑃2、𝑃3、𝑃4即为加油站的位置，
（3）解：作图的依据是角平分线的判定定理，
故答案为：角平分线的判定定理．
【变式7-1】如图，某市区南北走向的解放路𝐴𝐵，龙潭路𝐶𝐷与东西走向的人民路交汇于B，C 两点，现想
建造一加油站P，使得加油站到三条公路的距离相等．请你用所学的知识确定P 点的位置（用直尺、圆规
作图，不写作法，保留作图痕迹）．
【答案】见详解
【分析】本题考查了角平分线的判定，角平分线的尺规作图，理解题意：加油站P，使得加油站到三条公路
的距离相等，且结合到角两边距离相等的点在角的平分线上，即作出∠𝐴𝐵𝐶,∠𝐵𝐶𝐷的角平分线，它们交于一
点，即为点P，进行作答．
【详解】解：P 点的位置如图所示：
【变式7-2】如图，铁路𝑂𝐴和铁路𝑂𝐵交于O 处，河道𝐴𝐵与铁路分别交于A 处和B 处，试在河岸上建一座
水厂M，要求M 到铁路𝑂𝐴，𝑂𝐵的距离相等，则该水厂M 应建在图中什么位置？请在图中标出M 点的位置．
【答案】见解析
【分析】本题考查了角平分线的性质，角平分线的作法；根据题意作∠𝐴𝑂𝐵的平分线交𝐴𝐵于点𝑀，点𝑀即为
水厂的位置．
【详解】解：如图所示，作∠𝐴𝑂𝐵的平分线交𝐴𝐵于点𝑀，点𝑀即为水厂的位置．
【变式7-3】如图，某个居民小区𝐶附近有三条两两相交的道路𝑀𝑁、𝑂𝐴、𝑂𝐵，拟在𝑀𝑁上建造一个大型超
市，使得它到𝑂𝐴、𝑂𝐵的距离相等，请确定该超市的位置𝑃．
【答案】见解析
【分析】作∠𝐴𝑂𝐵的角平分线𝑂𝐷，𝑂𝐷与𝑀𝑁的交点到∠𝐴𝑂𝐵的两边𝑂𝐴，𝑂𝐵的距离相等．
【详解】如图所示：作∠𝐴𝑂𝐵的平分线交𝑀𝑁于点𝑃，点𝑃即为该超市的位置．
【点睛】此题主要考查了角平分线的作法，关键是掌握角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的
距离相等．
【题型8 利用角平分线构造全等三角形】
【例8】（25-26 九年级上·湖北黄冈·期中）如图，△𝐴𝐵𝐶的角平分线𝐵𝐷，𝐶𝐸相交于点𝑃，∠𝐴= 60°，则
∠𝐵𝑃𝐶= ___________．若△ 𝐴𝐵𝐶的面积为16，四边形𝐴𝐸𝑃𝐷的面积为5，则△ 𝐵𝑃𝐶的面积为___________．
【答案】
120°
11
2 ．
【分析】先根据三角形内角和求出∠𝐴𝐵𝐶+ ∠𝐴𝐶𝐵，再利用角平分线性质得到∠𝑃𝐵𝐶+ ∠𝑃𝐶𝐵，最后结合三角
形内角和求∠𝐵𝑃𝐶；利用角平分线的性质，证明△𝐵𝐸𝑃与△𝐵𝐹𝑃、△𝐶𝐷𝑃与△𝐶𝐹𝑃面积相等，进而通过面
积关系计算△𝐵𝑃𝐶的面积．
【详解】解：∵ ∠𝐴= 60°，
∴ ∠𝐴𝐵𝐶+ ∠𝐴𝐶𝐵= 180°−60° = 120°．
∵ 𝐵𝐷、𝐶𝐸是角平分线，
∴ ∠𝑃𝐵𝐶=
1
2∠𝐴𝐵𝐶，∠𝑃𝐶𝐵=
1
2∠𝐴𝐶𝐵，
∴ ∠𝑃𝐵𝐶+ ∠𝑃𝐶𝐵=
1
2(∠𝐴𝐵𝐶+ ∠𝐴𝐶𝐵) = 60°，
∴ ∠𝐵𝑃𝐶= 180°−60° = 120°．
在𝐵𝐶上取一点𝐹，使𝐵𝐹= 𝐵𝐸，连接𝑃𝐹．
∵ 𝐵𝐷平分∠𝐴𝐵𝐶，
∴ ∠𝐸𝐵𝑃= ∠𝐹𝐵𝑃．
又∵ 𝐵𝑃= 𝐵𝑃，𝐵𝐸= 𝐵𝐹，
∴ △𝐵𝐸𝑃≌𝐵𝐹𝑃（SAS），
∴ 𝑆△𝐵𝐸𝑃= 𝑆△𝐵𝐹𝑃，∠𝐵𝑃𝐸= ∠𝐵𝑃𝐹．
∵ ∠𝐵𝑃𝐶= 120°，
∴ ∠𝐵𝑃𝐸= 60°，
∴ ∠𝐵𝑃𝐹= 60°，∠𝐶𝑃𝐹= 60°．
∴∠𝐵𝑃𝐹= ∠𝐶𝑃𝐹，
∵ 𝐶𝐸平分∠𝐴𝐶𝐵，
∴ ∠𝐷𝐶𝑃= ∠𝐹𝐶𝑃．
又∵ 𝐶𝑃= 𝐶𝑃，
∴ △𝐶𝐷𝑃≌𝐶𝐹𝑃（ASA），
∴ 𝑆△𝐶𝐷𝑃= 𝑆△𝐶𝐹𝑃．
∴ 𝑆△𝐵𝑃𝐶= 𝑆△𝐵𝐹𝑃+ 𝑆△𝐶𝐹𝑃= 𝑆△𝐵𝐸𝑃+ 𝑆△𝐶𝐷𝑃．
∵ 𝑆△𝐴𝐵𝐶= 16，𝑆四边形𝐴𝐸𝑃𝐷= 5，
∴𝑆△𝐵𝐸𝑃+ 𝑆△𝐶𝐷𝑃+ 𝑆四边形𝐴𝐸𝑃𝐷= 16−𝑆△𝐵𝑃𝐶，
即 𝑆△𝐵𝑃𝐶+5 = 16−𝑆△𝐵𝑃𝐶，
解得 𝑆△𝐵𝑃𝐶=
11
2 = 5.5．
故答案为：120∘；
11
2 ．
【点睛】本题主要考查了三角形内角和定理、角平分线的性质及全等三角形的判定与性质，熟练掌握“利用
角平分线构造全等三角形转化面积关系”是解题的关键．
【变式8-1】（25-26 八年级上·湖北咸宁·期末）如图，在△𝐴𝐵𝐶中，𝐴𝐵= 4,𝐴𝐶= 7，𝐴𝐷是∠𝐵𝐴𝐶的平分线，
M 为𝐵𝐶的中点，𝑀𝐸∥𝐴𝐷交𝐵𝐴的延长线于E，交𝐴𝐶于F，则𝐵𝐸= ________．
【答案】5.5
【分析】根据平行线的性质，利用“AAS”证明△𝐵𝑀𝑁≌△𝐶𝑀𝐹(AAS)，再根据全等三角形的性质结合等腰三
角形的判定与性质进行等量代换求解．
【详解】如图，过点𝐵作𝐵𝑁∥𝐴𝐶交𝐸𝑀的延长线于𝑁，
∴ ∠𝑀𝐵𝑁= ∠𝐶，∠𝑁= ∠𝑀𝐹𝐶，
∵𝑀为𝐵𝐶的中点，
∴𝐵𝑀= 𝐶𝑀，
在△𝐵𝑀𝑁和△𝐶𝑀𝐹中，
∠𝑀𝐵𝑁= ∠𝐶
∠𝑁= ∠𝑀𝐹𝐶
𝐵𝑀= 𝐶𝑀
，
∴△𝐵𝑀𝑁≌△𝐶𝑀𝐹(AAS)，
∴𝐵𝑁= 𝐶𝐹，
又∵𝐴𝐷∥𝑀𝐸，𝐴𝐷平分∠𝐵𝐴𝐶，
∴∠𝐶𝐹𝑀= ∠𝐷𝐴𝐶= ∠𝐵𝐴𝐷= ∠𝐸，
∴∠𝐸= ∠𝑁，
∴△𝐵𝐸𝑁是等腰三角形，
∴𝐵𝐸= 𝐵𝑁= 𝐶𝐹，
∵∠𝐸𝐹𝐴= ∠𝐶𝐹𝑀，
∴∠𝐸= ∠𝐸𝐹𝐴，
∴𝐴𝐸= 𝐴𝐹，
𝐴𝐵+ 𝐴𝐶= 𝐴𝐵+ 𝐴𝐹+ 𝐹𝐶= 𝐴𝐵+ 𝐴𝐸+ 𝐹𝐶= 𝐵𝐸+ 𝐹𝐶，
即𝐵𝐸= 𝐶𝐹=
1
2(𝐴𝐵+ 𝐴𝐶) = 5.5．
【变式8-2】（25-26 八年级上·安徽合肥·期末）如图，在△𝐴𝐵𝐶中，
∠𝐶= 90°,𝐴𝐶= 6,𝐵𝐶= 8,𝐴𝐵= 10,∠𝐵𝐴𝐶,∠𝐴𝐵𝐶的平分线交于点D，𝐷𝐸⊥𝐵𝐶于点E，𝐷𝐹⊥𝐴𝐶于点F，则CE
的长为_______ ．
【答案】2
【分析】本题考查角平分线的性质，全等三角形的判定和性质，过D 作𝐷𝐻⊥𝐴𝐵于H，由角平分线的性质
推出𝐷𝐸= 𝐷𝐻，𝐷𝐹= 𝐷𝐻，证明𝐶𝐸= 𝐷𝐸= 𝐶𝐹= 𝐷𝐹，由勾股定理求出𝐴𝐵= 10，证得△𝐵𝐷𝐻≌△𝐵𝐷𝐸
(AAS)，得到𝐵𝐸= 𝐵𝐻，同理𝐴𝐹= 𝐴𝐻，得到2𝐶𝐸= 𝐵𝐶+ 𝐴𝐶−𝐴𝐵，即可求出𝐶𝐸的长．
【详解】解：过D 作𝐷𝐻⊥𝐴𝐵于H，
∵𝐵𝐷平分∠𝐴𝐵𝐶，𝐴𝐷平分∠𝐵𝐴𝐶，𝐷𝐸⊥𝐵𝐶，𝐷𝐹⊥𝐴𝐶，
∴𝐷𝐸= 𝐷𝐻，𝐷𝐹= 𝐷𝐻，∠𝐷𝐸𝐶= ∠𝐷𝐹𝐶= ∠𝐶= 90°，
∴𝐷𝐸= 𝐷𝐹，∠𝐸𝐷𝐹= 90°，
∴𝐷𝐹∥𝐶𝐸，𝐷𝐸∥𝐶𝐹，
根据平行线间的距离处处相等的性质可得：𝐷𝐹= 𝐶𝐸，𝐷𝐸= 𝐶𝐹，
∴𝐶𝐸= 𝐷𝐸= 𝐶𝐹= 𝐷𝐹，
∵𝐵𝐷平分∠𝐴𝐵𝐶，
∴∠𝐷𝐵𝐻= ∠𝐷𝐵𝐸，
∵∠𝐵𝐻𝐷= ∠𝐵𝐸𝐷，𝐵𝐷= 𝐵𝐷，
∴△𝐵𝐷𝐻≌△𝐵𝐷𝐸(AAS)，
∴𝐵𝐸= 𝐵𝐻，
同理：△𝐴𝐹𝐷≌△𝐴𝐻𝐷(AAS)，
∴𝐴𝐹= 𝐴𝐻，
∵𝐶𝐸+ 𝐶𝐹= 𝐵𝐶+ 𝐴𝐶−(𝐵𝐸+ 𝐴𝐹)，
∴2𝐶𝐸= 𝐵𝐶+ 𝐴𝐶−(𝐵𝐻+ 𝐴𝐻) = 𝐵𝐶+ 𝐴𝐶−𝐴𝐵= 6 + 8−10，
∴𝐶𝐸= 2．
故答案为：2．
【变式8-3】（24-25 八年级上·湖北武汉·阶段检测）如图，四边形𝐴𝐵𝐶𝐷，𝐵𝐷平分∠𝐴𝐵𝐶，𝐶𝐷⊥𝐵𝐷，
𝐴𝐶= 6，𝐵𝐶−𝐴𝐵= 3，则△𝐴𝐷𝐶面积的最大值为（ ）
A．8
B．9
C．
9
2
D．10
【答案】C
【分析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质、角平分线的定义以及三角形的面积公式等知识，构造
辅助线𝐴𝐺、𝐷𝐺，并判断出当A 点与H 点重合时𝐺𝐻达到最大，是解答本题的关键．延长𝐶𝐷、𝐵𝐴，交于点
G，过G 点作𝐺𝐻⊥𝐴𝐶，交𝐶𝐴的延长线于点H，证明△𝐵𝐷𝐺≌△𝐵𝐷𝐶(ASA)，即有𝐵𝐶= 𝐵𝐺，𝐶𝐷= 𝐷𝐺，进
而有𝐴𝐺= 𝐵𝐶−𝐴𝐵= 3，根据𝐺𝐻⊥𝐴𝐶，有△AGC 的面积为𝑆△𝐴𝐺𝐶= 3𝐺𝐻，当A 点与H 点重合时，即𝐴𝐶⊥𝐵𝐺
时，可得𝐺𝐻= 𝐴𝐺，此时𝐺𝐻达到最大，则△𝐴𝐺𝐶的最大面积为：𝑆△𝐴𝐺𝐶= 3𝐺𝐻= 9；根据𝐶𝐷= 𝐷𝐺，可得
𝑆△𝐴𝐷𝐶=
1
2𝑆△𝐴𝐺𝐶，则△𝐴𝐶𝐷的最大面积可求．
【详解】解：延长𝐶𝐷、𝐵𝐴，交于点G，过G 点作𝐺𝐻⊥𝐴𝐶，交𝐶𝐴的延长线于点H，如图，
∵𝐵𝐷平分∠𝐴𝐵𝐶，𝐵𝐷⊥𝐶𝐷，
∴∠𝐷𝐵𝐺= ∠𝐷𝐵𝐶，∠𝐵𝐷𝐺= ∠𝐵𝐷𝐶= 90°，
∵𝐵𝐷= 𝐵𝐷，
∴△𝐵𝐷𝐺≌△𝐵𝐷𝐶(ASA)，
∴𝐵𝐶= 𝐵𝐺，𝐶𝐷= 𝐷𝐺，
∵𝐵𝐶−𝐴𝐵= 3，
∴𝐴𝐺= 𝐵𝐺−𝐴𝐵= 𝐵𝐶−𝐴𝐵= 3，
∵在△𝐴𝐺𝐶中，𝐺𝐻⊥𝐴𝐶，
∴△𝐴𝐺𝐶的面积𝑆△𝐴𝐺𝐶=
1
2 × 𝐴𝐶× 𝐺𝐻，
∵𝐴𝐶= 6，
∴𝑆△𝐴𝐺𝐶=
1
2 × 𝐴𝐶× 𝐺𝐻=
1
2 × 6 × 𝐺𝐻= 3𝐺𝐻，
∵在△𝐴𝐺𝐻中，𝐺𝐻⊥𝐴𝐻，
∴∠𝐺𝐻𝐴= 90°，△𝐴𝐺𝐻是直角三角形，斜边为𝐴𝐺，
∴𝐺𝐻< 𝐴𝐺，
∵𝐴𝐺= 3，
∴𝐺𝐻< 3，
当A 点与H 点重合时，即𝐴𝐶⊥𝐵𝐺时，可得𝐺𝐻= 𝐴𝐺，
此时𝐺𝐻达到最大，
∴则𝐺𝐻的最大值为3，
∴△𝐴𝐺𝐶的最大面积为：𝑆△𝐴𝐺𝐶= 3𝐺𝐻= 9，
∵𝐶𝐷= 𝐷𝐺，
∴D 点为𝐶𝐺中点，
∴𝑆△𝐴𝐷𝐶=
1
2𝑆△𝐴𝐺𝐶，
∴△𝐴𝐶𝐷的最大面积为：𝑆△𝐴𝐷𝐶=
1
2𝑆△𝐴𝐺𝐶=
1
2 × 9 =
9
2，
故选：C．
【题型9 角平分线性质与判定综合应用】
【例9】（25-26 八年级上·福建厦门·期末）如图，在△𝐴𝐵𝐶中，𝐴𝐵= 5,𝐴𝐷⊥𝐵𝐶于点𝐷，𝐶𝐷= 2，
∠𝐵𝐴𝐷= 2∠𝐶𝐴𝐷，将△𝐴𝐵𝐶沿着𝐴𝐷折叠，若点𝐵恰好落在射线𝐵𝐶上的点𝐸处，则△𝐴𝐶𝐸的面积为_____．
【答案】5
【分析】本题考查了折叠的性质，角平分线的判定和性质，构造辅助线是解题的关键；
过点𝐶作𝐶𝐹⊥𝐴𝐸，交𝐴𝐸于点𝐹，由题意可得𝐴𝐸= 𝐴𝐵= 5，∠𝐵𝐴𝐷= ∠𝐸𝐴𝐷，从而推出𝐴𝐶是∠𝐸𝐴𝐷的平分线，
得到𝐶𝐹= 𝐶𝐷= 2，即可求解．
【详解】解：如图所示，过点𝐶作𝐶𝐹⊥𝐴𝐸，交𝐴𝐸于点𝐹，
∵将△𝐴𝐵𝐶沿着𝐴𝐷折叠，若点𝐵恰好落在射线𝐵𝐶上的点𝐸处，
∴𝐴𝐸= 𝐴𝐵= 5，∠𝐵𝐴𝐷= ∠𝐸𝐴𝐷，
∵∠𝐵𝐴𝐷= 2∠𝐶𝐴𝐷，
∴∠𝐸𝐴𝐷= 2∠𝐶𝐴𝐷，
∴𝐴𝐶是∠𝐸𝐴𝐷的平分线，
又∵𝐶𝐹⊥𝐴𝐸，𝐴𝐷⊥𝐵𝐶，
∴𝐶𝐹= 𝐶𝐷= 2，
∴𝑆△𝐴𝐶𝐸=
1
2𝐴𝐸× 𝐶𝐹=
1
2 × 5 × 2 = 5，
故答案为：5．
【变式9-1】（25-26 八年级上·贵州遵义·阶段检测）如图，将△𝐴𝐵𝐶纸片沿𝐷𝐸折叠，点A 落在点𝐴′处，恰
好满足𝐴′𝐵平分∠𝐴𝐵𝐶，𝐴′𝐶平分∠𝐴𝐶𝐵，若∠1 = 125°，则∠2 + ∠𝐶𝐸𝐴′的值是________．
【答案】140°/140 度
【分析】本题考查了翻折变换的性质、角平分线的判定与性质、三角形内角和定理及三角形外角的性质．连
接𝐴𝐴′，过𝐴′作𝐴′𝑀⊥𝐴𝐵,𝐴′𝑁⊥𝐵𝐶,𝐴′𝑃⊥𝐴𝐶，利用角平分线的判定得到𝐴𝐴′平分∠𝐵𝐴𝐶，利用角平分线性质
及三角形内角和定理得出相应角度，进而求得∠𝐵𝐴𝐶= 70°；再根据折叠可知，得出𝐷𝐴= 𝐷𝐴′，𝐸𝐴= 𝐸𝐴′，
由等腰三角形性质结合三角形的外角性质即可得到答案．
【详解】解：连接𝐴𝐴′，过𝐴′作𝐴′𝑀⊥𝐴𝐵,𝐴′𝑁⊥𝐵𝐶,𝐴′𝑃⊥𝐴𝐶，如图所示：
∵𝐴′𝐵平分∠𝐴𝐵𝐶，𝐴′𝐶平分∠𝐴𝐶𝐵，
∴𝐴′𝑀= 𝐴′𝑁= 𝐴′𝑃，
∴𝐴𝐴′平分∠𝐵𝐴𝐶，
∴∠𝐷𝐴𝐴′ = ∠𝐸𝐴𝐴′，
∵𝐴′𝐵平分∠𝐴𝐵𝐶，𝐴′𝐶平分∠𝐴𝐶𝐵，
∴∠𝐴′𝐵𝐶=
1
2∠𝐴𝐵𝐶，∠𝐴′𝐶𝐵=
1
2∠𝐴𝐶𝐵，
∵ ∠1 = 125°，
∴ ∠𝐴′𝐵𝐶+ ∠𝐴′𝐶𝐵 = 180°−∠1 = 180°−125° = 55°，
∴∠𝐴𝐵𝐶+ ∠𝐴𝐶𝐵= 2(∠𝐴′𝐵𝐶+ ∠𝐴′𝐶𝐵) = 110°，
∴∠𝐵𝐴𝐶= 180°−110° = 70°，
∵将△𝐴𝐵𝐶纸片沿𝐷𝐸折叠，点A 落在点𝐴′处，
∴𝐷𝐴= 𝐷𝐴′，𝐸𝐴= 𝐸𝐴′，
∴∠𝐷𝐴𝐴′ = ∠𝐷𝐴′𝐴，∠𝐸𝐴𝐴′ = ∠𝐸𝐴′𝐴，
∴∠𝐷𝐴𝐴′ = ∠𝐷𝐴′𝐴= ∠𝐸𝐴𝐴′ = ∠𝐸𝐴′𝐴，
∵∠2是△𝐴′𝐷𝐴的一个外角，∠𝐶𝐸𝐴′是△𝐴′𝐸𝐴的一个外角，
∴∠2 + ∠𝐶𝐸𝐴′ = 2∠𝐵𝐴𝐶= 140°，
故答案为：140°．
【变式9-2】（25-26 八年级上·福建泉州·阶段检测）如图，𝐴𝑃和𝐵𝑃分别是△𝐴𝐵𝐶的外角∠𝐵𝐴𝑀和∠𝐴𝐵𝑁的平
分线，𝐴𝑃和𝐵𝑃交于点𝑃，过点𝑃作𝑃𝐷∥𝐶𝑁交𝐴𝐶于点𝐷,𝐴𝐵于点𝐸，若𝐶𝐷= 8,𝐵𝐸= 5，点𝐴到𝐷𝑃的距离为4，
则△𝐴𝐷𝐸的面积为（ ）
A．5
B．6
C．7
D．8
【答案】B
【分析】本题考查了角平分线的性质与判定，等角对等边，平行线的性质，三角形的面积；连接𝐶𝑃，根据
已知得出𝐶𝑃平分∠𝑀𝐶𝑁，根据平行线的性质，以及等角对等边得出𝐷𝑃= 𝐶𝐷= 8，同理得出𝐸𝑃= 𝐵𝐸= 5，
进而求得𝐷𝐸= 3，再根据三角形的面积公式，即可求解．
【详解】解：如图，连接𝐶𝑃，
∵𝐴𝑃和𝐵𝑃分别是△𝐴𝐵𝐶的外角∠𝐵𝐴𝑀和∠𝐴𝐵𝑁的平分线，
∴点𝑃到𝐴𝐵,𝐴𝑀的距离等于点𝑃到𝐴𝐵,𝐵𝑁的距离，
∴点𝑃到𝐶𝑀,𝐶𝑁的距离相等，
∴𝐶𝑃平分∠𝑀𝐶𝑁，
∴∠𝐷𝐶𝑃= ∠𝐵𝐶𝑃，
∵𝑃𝐷∥𝐶𝑁，
∴∠𝐷𝑃𝐶= ∠𝑃𝐶𝐵，
∴∠𝐷𝐶𝑃= ∠𝐷𝑃𝐶，
∴𝐷𝑃= 𝐶𝐷= 8，
∵𝐵𝑃平分∠𝐴𝐵𝑁，
∴∠𝐸𝐵𝑃= ∠𝑃𝐵𝑁，
∵𝑃𝐷∥𝐶𝑁，
∴∠𝐸𝑃𝐵= ∠𝑃𝐵𝑁，
∴∠𝐸𝑃𝐵= ∠𝐸𝐵𝑃，
∴𝐸𝑃= 𝐵𝐸= 5，
∴𝐷𝐸= 𝐷𝑃−𝑃𝐸= 8−5 = 3，
又∵点𝐴到𝐷𝑃的距离为4，
∴△𝐴𝐷𝐸的面积为
1
2 × 3 × 4 = 6，
故选：B．
【变式9-3】（25-26 八年级上·全国·寒假作业）如图，△𝐴𝐵𝐶中，∠𝐴𝐶𝐵= 100°，点D 在边𝐵𝐶延长线上，∠𝐴𝐵𝐶
的平分线交𝐴𝐷于点E，过点E 作𝐸𝐻⊥𝐵𝐷，垂足为H，且∠𝐶𝐸𝐻= 50°．
(1)求证：𝐴𝐸平分∠𝐶𝐴𝐹；
(2)若𝐴𝐶+ 𝐶𝐷= 16，𝐴𝐵= 10，且𝑆△𝐴𝐶𝐷= 24，则△𝐴𝐵𝐸的面积．
【答案】(1)见解析
(2)15
【分析】本题主要考查了直角三角形的性质，角平分线的判定定理，三角形的面积公式，解题的关键是掌
握以上性质．
（1）作𝐸𝐿⊥𝐴𝐶于点L，𝐸𝑀⊥𝐵𝐴交𝐵𝐴的延长线于点M，由∠𝐴𝐵𝐶的平分线交𝐴𝐷于点E，𝐸𝐻⊥𝐵𝐷于点H，
得𝐸𝑀= 𝐸𝐻，∠𝐶𝐻𝐸= 90°，而∠𝐶𝐸𝐻= 50°，求得∠𝐷𝐶𝐸= 40°，由∠𝐴𝐶𝐵= 100°，求得∠𝐴𝐶𝐷= 80°，则
∠𝐴𝐶𝐸= ∠𝐷𝐶𝐸= 40°，则𝐸𝐿= 𝐸𝐻，所以𝐸𝑀= 𝐸𝐿，即可证明𝐴𝐸平分∠𝐶𝐴𝐹．
（2）由𝑆△𝐴𝐶𝐷= 𝑆△𝐴𝐶𝐸+ 𝑆△𝐷𝐶𝐸= 24，且𝐸𝐿= 𝐸𝐻= 𝐸𝑀，得
1
2𝐴𝐶⋅𝐸𝑀+
1
2𝐶𝐷⋅𝐸𝑀= 24，因为
𝐴𝐶+ 𝐶𝐷= 16，所以
1
2 × 16𝐸𝑀= 24，求得𝐸𝑀= 3，而𝐴𝐵= 10，则𝑆△𝐴𝐵𝐸=
1
2𝐴𝐵⋅𝐸𝑀= 15．
【详解】（1）证明：作𝐸𝐿⊥𝐴𝐶于点L，𝐸𝑀⊥𝐵𝐴交𝐵𝐴的延长线于点M，
∵点D 在边𝐵𝐶延长线上，∠𝐴𝐵𝐶的平分线交𝐴𝐷于点E，𝐸𝐻⊥𝐵𝐷于点H，
∴𝐸𝑀= 𝐸𝐻，∠𝐶𝐻𝐸= 90°，
∵∠𝐶𝐸𝐻= 50°，
∴∠𝐷𝐶𝐸= 90°−∠𝐶𝐸𝐻= 40°，
∵∠𝐴𝐶𝐵= 100°，
∴∠𝐴𝐶𝐷= 180°−∠𝐴𝐶𝐵= 80°，
∴∠𝐴𝐶𝐸= ∠𝐴𝐶𝐷−∠𝐷𝐶𝐸= 40° = ∠𝐷𝐶𝐸，
∴𝐶𝐸平分∠𝐴𝐶𝐷，
∴𝐸𝐿= 𝐸𝐻，
∴𝐸𝑀= 𝐸𝐿，
∴点E 在∠𝐶𝐴𝐹的平分线上，
∴𝐴𝐸平分∠𝐶𝐴𝐹；
（2）解：∵𝑆△𝐴𝐶𝐷= 𝑆△𝐴𝐶𝐸+ 𝑆△𝐷𝐶𝐸=
1
2𝐴𝐶⋅𝐸𝐿+
1
2𝐶𝐷⋅𝐸𝐻= 24，且𝐸𝐿= 𝐸𝐻= 𝐸𝑀，
∴
1
2𝐴𝐶⋅𝐸𝑀+
1
2𝐶𝐷⋅𝐸𝑀= 24，
∴
1
2𝐸𝑀(𝐴𝐶+ 𝐶𝐷) = 24，
∵𝐴𝐶+ 𝐶𝐷= 16，
∴
1
2 × 16𝐸𝑀= 24，
∴𝐸𝑀= 3，
∵𝐴𝐵= 10，
∴𝑆△𝐴𝐵𝐸=
1
2𝐴𝐵⋅𝐸𝑀=
1
2 × 10 × 3 = 15，
∴△𝐴𝐵𝐸的面积为15．
