文档文本内容
专题26.5 实际问题与二次函数（举一反三讲义）
【新教材人教版】
【题型1 投球问题】................................................................................................................................................2
【题型2 拱桥问题】................................................................................................................................................4
【题型3 拱门问题】................................................................................................................................................6
【题型4 喷水问题】................................................................................................................................................9
【题型5 隧道问题】..............................................................................................................................................11
【题型6 跳跃问题】..............................................................................................................................................13
【题型7 销售问题】..............................................................................................................................................15
【题型8 几何图形问题】......................................................................................................................................16
【题型9 表格问题】..............................................................................................................................................18
【题型10 新情境问题】..........................................................................................................................................21
【题型11 实物抽象出二次函数模型】..................................................................................................................24
知识点 利用二次函数解决实际问题
1. 一般步骤
(1)审题意；(2)设未知量；(3)列关系式；(4)解答实际问题；(5)验证
结果是否符合实际．
2. 求二次函数最值
将解析式写成𝑦= 𝑎(𝑥−ℎ)2 + 𝑘(𝑎≠0)的形式，当𝑥= 𝒉时，y 有最大（小）值k；若对二次函数𝑦= 𝑎𝑥2 +𝑏𝑥+ 𝑐
使用配方法，则当𝑥= −
𝑏
2𝑎时，y 有最大（小）值
𝟒𝒂𝒄−𝒃𝟐
𝟒𝒂
．
3. 实际问题与二次函数的联系转化
考点1
实际问题与二次函数
题型归纳
【题型1 投球问题】
【例1】（2026·广东惠州·二模）粤BA正在广东全省21 个市火热进行，惠州主场气氛爆棚，全民观赛氛围
十分浓厚，如图是篮球运动员小帅在投篮时的截面示意图，当他原地投篮时，分别以水平地面为x 轴，出
手点竖直方向为y 轴建立平面直角坐标系．篮球运行的路线可看成抛物线，小帅投出的篮球在距原点水平
距离2.5 米处时，达到最大高度3.5 米，且应声入网，已知篮筐的竖直高度为3.05 米，离原点的水平距离为
4 米，求此抛物线的解析式．（本题中统一将篮球看成点，篮筐大小忽略不计）．
【变式1-1】（2026·宁夏银川·三模）2026 年美加墨世界杯开幕式于当地时间6 月11 日在墨西哥墨西哥城体
育场（原阿兹特克体育场）举行．在小组赛中，阿根廷队中场德保罗送出过顶长传，足球飞行轨迹近似为
二次函数抛物线．以德保罗传球时的站立位置为坐标原点，水平前进方向为x 轴正方向建立平面直角坐标
系（单位：米），已知：
①传球瞬间，足球高度为1 米，即坐标为：(0,1)；
②足球飞行水平距离20 米时，达到最高点，高度为5 米；
③前锋梅西在禁区内准备接球攻门，球门范围：水平距离传球点38m～42m，球门高度0m～2.44m．
(1)求足球飞行轨迹对应的二次函数表达式；
(2)若梅西头球攻门时，头部触球高度为2 米，求足球从德保罗传球点水平飞行到梅西头部触球位置的距离
是多少米？（结果保留根号）
(3)若梅西没有碰到足球，足球沿原轨迹向前飞行，计算判断足球在水平距离38 ≤𝑥≤42的范围内，能否飞
入球门？
【变式1-2】（2026·山西朔州·三模）根据以下素材，探索完成任务．
羽毛球发球机的运动路线
素材一
如图1，某羽毛球场地的中线长为640cm，球网设置在中线中
点处，球网高度为155cm．羽毛球训练机的出球口在中线端点𝑂
正上方55cm的点𝑃处，以𝑂为原点、中线所在直线为𝑥轴建立平
面直角坐标系．
素材二
假设发出的羽毛球沿中线飞行，其运动高度𝑦(cm)关于水平距
离𝑥(cm)的函数图象为抛物线，该抛物线在与𝑃水平距离为250
cm的点𝑄处达到最高，此时距地面高度为180cm，羽毛球最终
落在地面的点𝑀处．
素材三
如图3，若羽毛球落地弹起后，且在与𝑂水平距离为650cm的点𝑅
处达到最高，弹起后最高高度为ℎ(cm)．
问题解决：
(1)任务一：求训练机发球后到落地前，羽毛球运动轨迹的函数表达式（不要求写自变量取值范围）
(2)任务二：小明在球网的另一侧接球，若羽毛球在离地面距离不少于100cm时为最佳击球高度，求最佳击
球点与训练机的水平距离𝑥的取值范围
(3)任务三：当ℎ= 50时，运动员在点𝑅处沿直线击球，想让球从网下穿过后落到𝑂点右侧150cm的点
𝑁(150,0)，且球网下端离地面高度不低于20cm，该操作能否实现？请说明理由．
【变式1-3】（2026·内蒙古通辽·模拟预测）如图1，弹球从原点O 以一定的方向抛出，弹球抛出的路线是
抛物线L 的一部分，若弹球到达最高点的坐标为(6,6)．弹球遇到挡板后会反弹，反弹后弹球的运动轨迹仍
是抛物线的一部分，且开口大小和方向均与L 相同．
(1)求抛物线L 的解析式；
(2)如图1，弹球在x 轴的落点为A，在A 处放置了一挡板，反弹后弹球运动的最大高度为
25
6 ．
①求点A 的横坐标；
②反弹后的小球是否经过点(14,1)？请说明理由；
(3)如图2，在第一象限内放置一挡板，挡板可以用一次函数𝑦=
1
3𝑥(𝑥> 0)刻画，弹球落到挡板上的点D 处
后反弹，反弹后弹球运动的最大高度是
28
3 ．若第一次反弹后的弹球仍然落在挡板上，直接写出挡板端点E
的横坐标𝑥𝐸的取值范围是______________．
【题型2 拱桥问题】
【例2】（2026·广东河源·二模）某古镇有一座抛物线形的石拱桥，其示意图如图，桥洞的水面宽度𝐴𝐵为
16m，拱顶（点𝐶）与水面的距离为10m．以水面𝐴𝐵的中点𝑂为原点，𝐴𝐵所在的直线为𝑥轴，过点𝑂且垂直
于𝑥轴的直线为𝑦轴，建立平面直角坐标系．
(1)求该抛物线的表达式．
(2)今年元宵节，古镇居民计划在桥洞两侧对称地悬挂两个灯笼，以增添节日气氛．灯笼悬挂点距离水面7
m．请你计算这两个灯笼悬挂点之间的水平距离．（结果保留根号）
【变式2-1】（2026·河南开封·模拟预测）开封清明上河园中的虹桥是园区的核心地标，下面是虹桥及上方
抛物线形框架结构的平面示意图，桥中间的大拱截面𝐶𝑃𝐷可视为抛物线的一部分，虹桥上悬挂两个灯笼．
现有以下三条素材：
素材1：整个图形是轴对称图形；
素材2：跨度𝐴𝐵= 24米，竖直支撑𝐴𝐶= 𝐵𝐷= 1米，最高点P 到𝐴𝐵的距离为5 米；
素材3：两灯笼𝑀𝐸，𝑁𝐹之间的水平距离为4 米，点M、N 均在抛物线上且关于抛物
线的对称轴对称．
现以𝐴𝐵所在直线为x 轴，𝐴𝐵的垂直平分线（直线𝑂𝑃）为y 轴，建立平面直角坐标系．
(1)求虹桥上半部分所在抛物线的函数表达式；（不必写出自变量取值范围）
(2)若𝑀𝐸= 𝑁𝐹=
25
18米，求灯笼底端（点E 或F）到𝐴𝐵的距离．
【变式2-2】（2026·河北廊坊·二模）嘉嘉周末到公园游玩，路过一座石拱桥时发现拱桥外轮廓的形状为抛
物线的一部分，拱桥下有半圆形出水孔，他画出示意图如图1，在一个单位长度代表1 米长的平面直角坐标
系中，x 轴与地面平行，抛物线𝐴𝐶𝐵段为拱桥的外轮廓，与x 轴交于点A，B，与y 轴交于点C，半圆O 为
出水孔，D 为𝑂𝐶中点，𝑂𝐴= 𝑂𝐵= 6米，𝑂𝐶= 4米．
(1)求抛物线的解析式；
(2)如图2，春节期间，为了装饰拱桥，在A 与D，B 与D 之间分别拉两根绳子，在绳子和拱桥之间安装灯
带，灯带都垂直于地面．在𝐵𝐷上方有两条长度相等的灯带𝐸𝐹，𝐺𝐻（E，G 在抛物线上，F，H 在线段𝐷𝐵上，
且F 在H 左侧），点E 比点G 高n 米．
①tan∠𝑂𝐵𝐷的值为________；
②𝐸𝐹，𝐺𝐻的水平距离为多少米（用含n 的代数式表示）；
③试用n 表示点E 的横坐标x．
【变式2-3】（2026·江苏盐城·二模）阅读下列素材，并完成任务：
背景
中国的石拱桥，是刻在大地上的诗行，每一道弧线都是古人写给山河的情诗．
素材1
已知河面上的拱桥形状为抛物线，在正常水位时，水位线𝑀𝑁与拱桥最高点的距
离为3 米，水位线𝑀𝑁宽为6 米．
素材2
如图1，现有一艘长为10 米，宽𝐵𝐶= 4米的货船（可近似看成长方体）正从拱
桥下方通过，露出水面的横截面为长方形𝐴𝐵𝐶𝐷，𝐴𝐵= 1米．（假设船体货物
接触到拱桥时，可以通过拱桥）
素材3
船行走时一般不会导致水位的变化．
(1)请你建立适当的平面直角坐标系，并求出拱桥所在抛物线的函数表达式．
(2)如图2，如果𝐴𝐷上方的货物横截面为Rt △𝐴𝐷𝐸，∠𝐴𝐷𝐸= 90°，𝐷𝐸= 1米，请通过计算判断此时小船能
否通过拱桥？若不能，请说明理由，若能，求出水面上升高度最多不能超过多少米？
(3)船面𝐴𝐷上方装有如图3 所示的货物（可近似看成直五棱柱），横截面为五边形𝐴𝐷𝐹𝐺𝐸，其中𝐸𝐺= 𝐹𝐺，
𝐴𝐸= 𝐷𝐹，且E、A、B 共线，F、D、C 共线，已知当同一种货物的体积每增加50 立方米时，船会下沉0.1
米，请求出最多能装多少体积的货物？
【题型3 拱门问题】
【例3】（2026·山西阳泉·二模）综合与实践
问题情境：
为给九年级学子加油鼓劲，某学校举办了中考百日誓师活动，特意搭建了一座如图1 所示的充气“成功门”，
充气“成功门”的形状可近似看作抛物线，“成功门”内对称竖立着两根同样高的竖直充气红柱，上面分别写有
“全力以赴”“中考必胜”的励志标语．
数学建模：
如图2，已知充气“成功门”底部的宽度𝑂𝑀为10 m，最高点𝑁距地面5 m．以点𝑂为坐标原点，𝑂𝑀所在直线为𝑥
轴，过点𝑂与𝑂𝑀所在水平地面垂直的直线为𝑦轴，建立平面直角坐标系．
(1)求该充气“成功门”对应抛物线的函数表达式．
问题解决：
(2)若充气“成功门”内两立柱𝐴𝐵，𝐶𝐷间的水平距离为7m，求立柱的高度．
(3)活动最后一项为各班同学排成6列纵队依次通过“成功门”（纵队居中行走），且相邻两列纵队之间的水平
间距保持0.8 m，第一排靠近立柱𝐴𝐵的同学高举本班班旗．为了安全通过该“成功门”，请直接写出班旗旗顶
到地面垂直距离的最大值．
【变式3-1】（24-25 九年级下·陕西西安·阶段检测）3 月12 日，某中学隆重举行了2025 届中考百日誓师大
会．学校为学生们搭建了一个拱形的“理想门”，其形状为抛物线．已知拱门的底部宽度为6 米（即𝑂𝐴= 6
米），最高点𝐵距地面4.5 米．如图所示，以𝑂为原点，𝑂𝐴所在的直线为𝑥轴建立平面直角坐标系．
(1)求抛物线的表达式；
(2)拱门两侧各悬挂一条彩带，书写着“百日拼搏勤砺剑”、“誓师中考勇夺魁”．若彩带𝐶𝐸、𝐷𝐹的高为2 米，
求两条彩带之间的水平距离为多少米？
【变式3-2】（2026·山西太原·模拟预测）综合与实践
问题情境：如图1，学校新校区校门设计为中间主门、两旁侧门的形式，主门与两个侧门之间各有一根立柱，
侧门两边设有完全相同的门卫室，主门、侧门、立柱及门卫室正面形状均为矩形，主门顶部造型设计为抛
物线形．
工程队在此基础上要进行校门造型优化设计与相关构件安装，请你与他们共同解决相关问题．
方案分析：在图1 中，具体结构与数据如下：
①抛物线造型𝑤两端分别落在两个矩形立柱内侧的顶点𝐴，𝐵处，其跨度𝐴𝐵（即主门宽度）为16m，抛物线
造型最高点𝐶到水平线𝐴𝐵的距离为4m．
②主门、侧门、立柱及门卫室的高均为4m，立柱宽𝐴𝐷= 𝐵𝐸= 1m，侧门宽𝐷𝑃= 𝐸𝑄= 3m．
建立模型：以点𝐴，𝐵所在水平直线为𝑥轴，𝐴𝐵的中垂线为𝑦轴建立平面直角坐标系．
(1)求主门顶部抛物线造型𝑤对应的函数表达式；
问题解决：
(2)如图2，为优化造型，现要在主门顶部抛物线造型𝑤外侧增加一条抛物线造型𝑔，它的两端落在门卫室顶
部的点𝑃，𝑄处，它的顶点为𝐹．为稳定结构，内外抛物线造型之间需用两根竖直方向的钢筋支架𝐴𝑀，𝐵𝑁连
接．为节约建材，将现有的一根长为
20
3 m的钢筋全部用来制做支架𝐴𝑀，𝐵𝑁（损耗与接口忽略不计）．
①若要在这两个抛物线造型之间放置一个以𝐶𝐹为直径的圆形校徽，请计算这个校徽的直径；
②若要在抛物线造型𝑔上安装两个监控摄像头，为保证监控范围与效果，要求摄像头离地面的高度不超过
4.24m，请直接写出两个摄像头之间水平距离𝑑的最小值（结果保留根号）．
【变式3-3】（2025·河南新乡·二模）如图①，这是某地的一个拱形彩灯门，其横截面如图②所示，抽象为
数学模型是由抛物线和垂直于地面的两条相等的线段𝐴𝐵，𝐶𝐷构成的，以地面𝐵𝐶所在直线为𝑥轴，过抛物线
的最高点𝑀且垂直于𝐵𝐶的直线为𝑦轴，建立平面直角坐标系，其中𝐵𝐶= 12m，𝑂𝑀= 7m，𝐴𝐵= 3m，𝑂为𝐵𝐶
的中点．
(1)求抛物线的函数表达式；
(2)如图②，为支撑拱形彩灯门的结构，需要制作3 条支撑杆𝐸𝐹，𝐺𝐻，𝐹𝐺，其中𝐸𝐹和𝐺𝐻长度相等且垂直于
地面𝐵𝐶，求所需支撑杆长度和的最大值；
(3)如图③，为喜迎元宵佳节，工作人员计划在拱形彩灯门上悬挂灯笼，要求挂满后呈轴对称分布，且灯笼
到地面的垂直距离不低于4m，每两个相邻灯笼间的水平距离相等且至少间隔1m，若灯笼高度忽略不计，请
设计一种悬挂方案，使悬挂灯笼的数量最多．（参考数据：3 ≈1.73）
【题型4 喷水问题】
【例4】（2026·广东清远·三模）某公园雕塑𝑂𝐴的顶端点A 处安装有喷水装置，喷出的水呈抛物线形．测得
雕塑𝑂𝐴的高度为2m，当喷出的水柱与𝑂𝐴的水平距离为4m时，达到最大高度3.6m．以点O 为原点，𝑂𝐴所
在直线为y 轴建立平面直角坐标系（如图）．
(1)求水柱所在抛物线的函数表达式；
(2)求水柱落地点与雕塑𝑂𝐴的水平距离．
【变式4-1】（2026·陕西咸阳·一模）将科技元素与农业资源相结合，是推动农业现代化、提升农业生产效
率和效益的重要途径．某农田引进了一台移动喷灌机，如图，灌溉机喷出的两条水流具有相同的抛物线形
状，而且左、右两条抛物线关于y 轴对称．按照图中的平面直角坐标系，左面的一条抛物线可以用𝑦= −𝑥2
−6𝑥+ 1表示．
(1)求水流的最高点到地面的距离；
(2)求左、右两条水流最高点之间的距离．
【变式4-2】（2026·内蒙古通辽·模拟预测）如图1，2 是水槽水龙头的侧面简易示意图，矩形𝐶𝐷𝐹𝐺为水槽
侧面，宽𝐷𝐹= 50cm，深𝐶𝐷= 10cm，排水口𝐸位于𝐷𝐹的中点．在水槽边𝐶𝐷正上方安装水管𝐵𝐶，水龙头
𝐵𝐴= 10cm，水管𝐵𝐶= 6cm，∠𝐴𝐵𝐶= 129°．按水龙头的安装要求，水流需直接对准排水口确保水快速排
入管道，水流的形状近似看作线段．（参考数据：sin51° ≈0.8，cos51° ≈0.6，tan51° ≈1.2）
(1)如图1 建立平面直角坐标系，求点𝐴和点𝐵的坐标；
(2)为方便儿童洗手，在点𝐴加装喷水装置如图2，从点𝐴喷出的水流形状近似可以看作抛物线．已知当水流
与水槽边𝐶𝐷的距离为38cm时，水流达到最高，最高高度为40cm，求出抛物线的表达式；
(3)加装喷水装置后，打开水龙头时水流是否会淋到水槽外，请说明理由．
【变式4-3】（2026·广东河源·二模）综合与实践
主
题
喷泉设计
背
景
数学兴趣小组要设计一个类似图（1）的环形喷泉，喷头喷出的水柱形状为抛物线，且上面喷头喷出
的水柱会落入下面的喷头处．
素
材
1
如图（2）是喷头A 所在纵截面的示意图，建立平面直角坐标系，点A，B 在y 轴上，通过调节，喷
头A 喷出的水柱形状为抛物线𝐿1:𝑦= −𝑥2 +2𝑥+ 8
素
材
2
平台𝐵𝐶的高为5 米（即𝑂𝐵= 5米），𝐵𝐶∥𝑥轴，喷头A 喷出的水柱落入喷头C 处，喷头C 喷出的水
柱所在抛物线𝐿2的形状与𝐿1相同．
素
材
3
喷头C 喷出的水柱落入喷头E 处，平台𝐷𝐸的高为2 米（即𝐸𝐹= 2米），点F 在x 轴上，𝑂𝐹= 6米，
喷头 E 喷出的水柱形状为抛物线𝑦= −𝑥2 +
53
4 𝑥−
83
2 ，水最终落入圆柱形接水装置（纵截面为矩形
𝐺𝐻𝐼𝐽）中，接水装置高𝐺𝐻= 0.5米，底面直径𝐻𝐼= 0.4米，𝐻𝐼在x 轴上．
问题解决
(1)求点C 的坐标．
(2)求抛物线𝐿2的解析式．
(3)要使喷头E 喷出的水柱恰好从𝐺𝐽的中点处落入接水装置，求接水装置离𝐸𝐹的水平距离𝐹𝐻．
【题型5 隧道问题】
【例5】（24-25 九年级上·陕西西安·阶段检测）如图，隧道的截面由抛物线和长方形构成．长方形的长为
16m，宽为6m，，抛物线的最高点𝐸离路面𝐴𝐵的距离为8m．
(1)按如图所示的直角坐标系，求表示该抛物线的函数表达式；
(2)一大型货运汽车装载某大型设备后高为7m，宽为4m．若该隧道内设单向两车行车道，那么这辆货车能否
安全通过？请说明理由．
【变式5-1】（2026·陕西宝鸡·一模）如图1 是某海洋馆的玻璃隧道，图2 是它的截面示意图，玻璃隧道截
面可近似看作抛物线和矩形𝐴𝑂𝐶𝐵构成．矩形的长𝑂𝐶= 6米，宽𝑂𝐴= 1米，小明以O 为原点，𝑂𝐶所在水平
线为x 轴、𝑂𝐴所在直线为y 轴建立如图2 的平面直角坐标系，在抛物线上点𝑀
3
5 ,
43
25 处贴有一张“小心碰头”
的温馨提示．
(1)求隧道截面所在抛物线的函数表达式；
(2)为保障游客观赏效果，清洁工人会对玻璃隧道进行定期清洁，某次清洁工人站在地面上清洁玻璃隧道时，
能刷到的最大高度是其站立位置地面的正上方
5
2米处（抛物线上的𝐸𝐹段清洁工未清洁，即点E、F 到x 轴的
距离均为
5
2米），此次清洁工人站在地面完成玻璃隧道清洁后，求未清洁部分最低两处的水平距离（即求E、
F 两点之间的距离）．
【变式5-2】（2025·新疆·中考真题）天山胜利隧道预计于2025 年建成通车，它将成为世界上最长的高速公
路隧道，能大大提升区域交通效率，促进经济发展．如图是隧道截面图，其轮廓可近似看作是抛物线的一
部分．若隧道底部宽12 米，高8 米，按照如图所示的方式建立平面直角坐标系．
(1)求抛物线的函数解析式；
(2)该隧道设计为单向双车道通行，车辆顶部在竖直方向上与隧道的空隙不少于0.5 米，当两辆车在隧道内并
排行驶时，需沿中心线两侧行驶，且两车至少间隔2 米（中心线宽度不计）．若宽3 米，高3.5 米的两辆车
并排行驶，能否安全通过？请说明理由．
【变式5-3】（2026·广西南宁·一模）【综合与实践】
主题：隧道安全警示的数学探究
如图1，在隧道通行安全中，涉水线和限高架的设置蕴含着丰富的数学知识．某数学兴趣小组对双向通行隧
道进行考察，开展了以下探究：
素材1 如图2 为隧道及斜坡的侧面示意图，当隧道内积水的水深为0.27 米时（即积水达到涉水线处），车
辆应避免通行．
素材2 图3 为隧道横截面示意图，由抛物线的一部分𝐴𝐶𝐵和矩形𝐴𝐷𝐸𝐵的三边构成．隧道的最高点𝐶到地面𝐷𝐸
距离为5.4 米，两侧墙面高𝐴𝐷= 𝐵𝐸= 3米，地面跨度𝐷𝐸= 10米．
(1)【初步探究】如图2，过点𝑀作𝑀𝑃⊥𝑙，已知斜坡的坡角𝛼= 10∘，求涉水线离坡底的距离𝑀𝑁（精确到0.01
米，sin10∘≈0.174，cos10∘≈0.985，tan10∘≈0.176）．
(2)【深入研究】如图3，请建立适当的平面直角坐标系，求抛物线𝐴𝐶𝐵的解析式．
(3)【问题解决】车辆进入隧道，应在行驶车道内通行（禁止压线），且必须保证车辆顶部与隧道顶部𝐴𝐶𝐵
在竖直方向的空隙不小于0.3 米．已知车辆行驶方向的右侧车道线（宽度忽略不计）与墙面的距离为1 米，
限高架上标有警示语“车辆限高ℎ米”（即最大安全限高），求ℎ的值（精确到0.1 米）．
【题型6 跳跃问题】
【例6】（2026·河南平顶山·二模）马年央视春晚上，一款表演机器人在舞台中央完成腾空跃起动作，其运
动轨迹可近似看作抛物线．机器人从地面起跳点腾空，最高点距地面3米，落地点与起跳点水平距离为6
米．如图，以起跳点为坐标原点𝑂，水平向右为𝑥轴正方向，竖直向上为𝑦轴正方向，建立平面直角坐标系．
(1)求该抛物线的函数解析式．
(2)若舞台上一处灯光装置的坐标为(4,1.5)，判断机器人在运动过程中是否会经过该灯光装置所在位置？
(3)若机器人在竖直高度不低于2米的区域完成旋转表演，求机器人进行旋转表演的水平距离．
【变式6-1】（25-26 九年级上·北京西城·期末）如图1，为了丰富学生的课余生活，某校九年级组织开展跳
长绳活动．如图2，假设两名摇绳的学生握绳的手A，B 之间的水平距离为10m，当手A，B 与地面的距离
均为1m时，绳子的最高点C 与地面的距离为2m，此时绳子的形状可以看作是抛物线的一部分．建立平面
直角坐标系𝑥𝑂𝑦，设该抛物线表示的二次函数为𝑦= 𝑎(𝑥−ℎ)2 +𝑘(𝑎< 0)．当摇绳两端握绳的手同时向上平
移时，绳子整体也相应向上平移且形状不变．
(1)求该抛物线表示的二次函数𝑦= 𝑎(𝑥−ℎ)2 +𝑘(𝑎< 0)；
(2)如果参加跳长绳活动的学生身高均为1.75m，且相邻学生站位间隔均为0.6m，除摇绳的学生外，求最多
有多少名学生能同时参加跳长绳活动；
(3)由于还有1 名学生没能同时参加跳长绳活动，在（2）的情况下，若加入这名学生，在不改变摇绳的学生
手A，B 之间的水平距离和绳长的情况下，只需将手A，B 同时向上平移ℎm，直接写出h 的最小值（精确到
0.01）．
【变式6-2】（2026·内蒙古包头·二模）2024 年8 月6 日，在巴黎奥运会女子10 米跳台跳水决赛中，中国选
手全红婵勇夺金牌．已知跳水运动员起跳后的运动轨迹可近似看作抛物线，建立如图所示的平面直角坐标
系．
(1)某位运动员在第一次跳水中，从点A(3,10)处起跳（如图），她的竖直高度y（单位：m）与水平距离x
（单位：m）近似满足函数关系式𝑦= 𝑎(𝑥−3.5)2 +11.25(𝑎< 0)，测得几组数据如表：
水平距离𝑥/m
3
3.5
4
竖直高度𝑦/m
10
11.25
k
则k，a 的值各为多少；
(2)若该运动员在跳水中，记她第一次跳水的入水点的水平距离为𝑑，求𝑑的值；
(3)若该运动员在第二次跳水中，她的竖直高度𝑦（单位：m）与水平距离𝑥（单位：m）近似满足函数关系式
𝑦= −5𝑥2 +40𝑥−68，从该运动员起跳后到达最高点𝐵处时开始计时，已知点𝐵到水平面的距离为𝑐，竖直高
度𝑦（单位：m）与时间𝑡（单位：s）之间近似满足函数关系式𝑦= −5𝑡2 +𝑐．若该运动员在达到最高点后需
要1.5s才能完成某个极具难度的动作，请通过计算说明，该运动员能否在落水前完成此动作．
【变式6-3】（25-26 九年级下·河北衡水·期中）如图1，“跳一跳”曾是某社交软件上风靡一时的互动游戏，
该游戏要求操作者通过控制“i”形小人（看成点）起跳时的速度，使其能从一个平台跳到旁边同一水平面上
且等高的另一平台上，示意图如图2 所示．在平面直角坐标系中，矩形𝑂𝐴𝐵𝐶、矩形𝐷𝐸𝐹𝐺和矩形𝑀𝑁𝑃𝑄的
边𝑂𝐴，𝐷𝐸，𝑀𝑁均在x 轴上，𝑂𝐴= 𝐷𝐸= 𝑀𝑁= 2，𝑂𝐶= 𝐷𝐺= 𝑀𝑄= 1，𝐴𝐷= 3，𝐸𝑀= 4，“i”形小人从
点B 处起跳后沿抛物线𝐿1:𝑦= 𝑎(𝑥−ℎ)2 +5运动，落在边𝐺𝐹的中点H 处．
(1)点B 的坐标为______________，点H 的坐标为______________；
(2)求抛物线𝐿1的解析式；
(3)“i”形小人从点H 处再次起跳后沿抛物线𝐿2运动，且𝐿2与𝐿1形状相同．
①若𝐿2与𝐿1的最大高度相同，判断“i”形小人会落在平台𝑃𝑄上还是落在x 轴上？说明理由，并求出落点的坐
标；
②若“i”形小人再次起跳后沿抛物线𝐿2落在平台𝑃𝑄上（包括边界），设𝐿2的最大高度为𝑛，直接
．．写出符合条
件的整数
．．𝑛的个数．
【题型7 销售问题】
【例7】（25-26 九年级上·江苏扬州·阶段检测）某超市销售一种玩具，每个进价为40 元．当每个售价为50
元时，日均销售量为200 个，经市场调查表明，售价每增加1 元，日均销售量减少10 个．
(1)当每个售价为多少元时，所得日均总利润为2000 元；
(2)当每个售价为多少元时，所得日均总利润最大？最大日均总利润为多少元？
【变式7-1】（25-26 九年级上·河北衡水·阶段检测）某商场试销一种成本为每件60 元的服装，规定试销期
间销售单价不低于成本单价，且获利不得高于60％．经试销发现，销售量𝑦（件）与销售单价𝑥（元）符合
一次函数，它的图像如图所示．
(1)求𝑦与𝑥之间的函数关系式，并写出𝑥的取值范围；
(2)记商场销售该服装获得的利润为𝑤元，试写出利润𝑤与销售单价𝑥之间的函数关系式；
(3)销售单价定为多少元时，商场可获得最大利润？
【变式7-2】（2026·四川成都·模拟预测）某村大力发展特色农产品产业，大量栽种甜橙，同时搭建电商运
营服务平台，开设网店销售农产品．甜橙丰收后，将一批甜橙采取现场销售和网络销售结合进行试销，统
计后发现：同样多的甜橙，现场销售可获利800 元，网络销售可获利1000 元，网络销售比现场销售每件多
获利5 元．
(1)现场销售和网络销售每件获利分别是多少元？
(2)根据甜橙试销情况分析，现场销售量𝑎（件）和网络销售量𝑏（件）满足如下关系式：𝑏= −
1
25𝑎2
+12𝑎−200，求当𝑎为何值时，农户销售甜橙获得的总利润最大？最大利润是多少？
【变式7-3】（2026·广东深圳·三模）首届“粤超”足球联赛的火爆，掀起了全省中小学生热爱足球的热潮，
带动了足球的畅销．
(1)某商店计划购进A，B 两种品牌的足球，已知A 品牌的单件进价比B 品牌的单件进价高20 元，且用6000
元购进的A 品牌足球与用4800 元购进的B 品牌足球的数量相同，分别求两种品牌足球的单件进价；
(2)经调研发现，A 品牌足球的销售量m 与单件售价a 满足𝑚= −2𝑎+ 400关系，请你选择其中一种销售方
案为老板制定销售价格：
方案一：利润最大
方案二：固定利润率80%
该店销售A 品牌足球的利润最大，单件
售价a 为多少元，最大利润为多少？
尽量优惠顾客，该店销售A 品牌足球获得固定利
润率80%，单件售价a 为多少元，及进货量．
【题型8 几何图形问题】
【例8】（2026·内蒙古通辽·二模）某居民小区要在一块一边靠墙（墙长20米）的空地上修建一个矩形花园
𝐴𝐵𝐶𝐷，花园的一边靠墙，另外三边用总长为36米的栅栏围成（如图所示）．若设花园的边长𝐴𝐵为𝑥米，面
积为𝑦平方米．
(1)求𝑦与𝑥之间的函数关系式，并写出自变量𝑥的取值范围；
(2)满足条件的花园面积能否达到34平方米？若能，请求出𝑥的值；若不能，请说明理由；
(3)当𝑥是多少时，矩形花园面积𝑦最大？最大面积是多少？
【变式8-1】在一幅长80 cm，宽50 cm的矩形风景画的四周镶一条金色纸边，制成一幅矩形挂图，如果要
使整个挂图的面积是𝑦cm2，设金色纸边的宽为𝑥cm，要求纸边的宽度不得少于1cm，同时不得超过2 cm．
(1)求出y 关于x 的函数解析式．
(2)当挂图面积为4264cm2，时，求金色纸边的宽．
(3)此时金色纸边的宽应为多少cm时，这幅挂图的面积最大？求出最大面积的值．
【变式8-2】用一块边长为60㎝的正方形薄钢片制作一个长方体盒子：如果要做成一个没有盖的长方体盒子,
可先在薄钢片的四个角上截去四个相同的小正方形，如图(1),然后把四边折合起来，如图(2)
（1）求做成的盒子底面积y(㎝2)与截去小正方形边长x(㎝)之间的函数关系式；
（2）当做成的盒子的底面积为900㎝2 时,试求该盒子的容积.
【变式8-3】（2026·安徽·二模）为落实《中共中央 国务院关于全面加强新时代大中小学劳动教育的意
见》，某校成立了劳技兴趣小组，某次活动如下：用两块全等、周长均为40 cm的矩形材料拼成如图所示的
物件，其中矩形𝐴𝐵𝐶𝐷和矩形𝐴1𝐵1𝐶1𝐷1的对角线交点重合，𝐴𝐷⊥𝐴1𝐷1，依次取𝐴𝐵，𝐶1𝐷1，𝐶𝐷，𝐴1𝐵1的中
点，然后沿图中虚线剪去八个全等的小直角三角形，得到一个星状图形．
(1)当两个矩形重叠部分的四边形𝐸𝐹𝐺𝐻面积为36 cm2时，求星状图形的面积；
(2)求星状图形周长的最小值．
【题型9 表格问题】
【例9】（25-26 九年级下·浙江杭州·期中）某校物理兴趣小组举办“水火箭”发射距离比赛，如图是甲组的水
火箭实物图．王老师用频闪照相机记录并测量甲组的水火箭的飞行水平距离𝑥米和飞行高度𝑦米的数据，记
录数据如下表：
照相机
频闪时
间𝑡/s
0
0.5
1
1.5
2
2.5
3
…
水平距
离𝑥米
0
5
10
15
20
25
30
…
飞行高
度𝑦米
0
4.5
8
10.5
12
12.5
12
…
(1)根据表格中的数据描点，连线，发现𝑦与𝑥近似地满足二次函数关系，请写出𝑦与𝑥之间的函数表达式；
(2)根据表格数据，可知水平距离𝑥与时间𝑡满足关系式𝑥= 10𝑡．根据比赛规定，在水平距离相同的情况下，
飞行高度不低于8 米的持续时间越长成绩越好．求甲组水火箭飞行高度不低于8 米的持续时间；
(3)乙组的水火箭与甲组的水火箭同时从同一高度发射，已知乙组水火箭的飞行高度𝑦（米）与水平距离𝑥（米）
满足函数关系𝑦= −
1
100𝑥2 +
3
5𝑥，当水平距离为多少米时，两组水火箭的高度差最大？最大高度差是多少？
【变式9-1】（24-25 九年级上·河南·阶段检测）暑假期间，为了加强青少年积极参加体育锻炼，强盛体育用
品店开展乒乓球拍促销活动．
(1)据市场调研发现，强盛体育用品店近几个月的乒乓球拍销售量逐月提升，已知6、7、8 三个月的销售情
况如下表：
销售时间
6 月
7 月
8 月
销售量
500 副
𝑚
720 副
每月的月销售增长率相同，求表格中的𝑚值．
(2)强盛体育用品店乒乓球拍的进价为40 元/副，每天的销售量𝑦（副）与销售单价𝑥（元）之间的关系为
𝑦= −2𝑥+ 240(90 ≤𝑥≤110)，请问该体育用品店的销售单价定为多少元可使每天的销售利润最大？
【变式9-2】（2026·广东·二模）综合与实践
数学兴趣小组在学习了二次函数之后，对一个静止的小球从斜坡滚下后，在水平木板上运动的距离与时间
的关系进行了深入探究．该兴趣小组先设计方案，再进行测量，然后根据所测量的数据进行分析，并进一
步应用，请完成下列任务．
【实验过程】
如图1 所示，一个小球从斜坡顶端由静止滚下沿水平木板直线运动．从小球运动到𝑂点处开始，用相关仪器
测量并记录小球在水平木板上的运动时间𝑡（单位：s），运动距离𝑦（单位：cm）的数据．
【收集数据】
记录的相关数据如下：
运动时间
t/s
0
3
6
9
12
15
…
运动距离
y/cm
0
27.75
51
69.75
84
93.75
…
【建立模型】
根据表格中的数值在图2 的平面直角坐标系中描点、连线；通过观察图象发现，我们可以用二次函数近似
的表示y 与t 的函数关系．
(1)观察发现y 关于t 的二次函数图象经过原点，设y 与t 的函数关系式为 𝑦= 𝑎𝑡2 +𝑏𝑡(𝑎≠0)， 请求出该
关系式；（不要求写出自变量的取值范围）
(2)若小球运动到 𝑂点处的同时，在其右侧 40cm处的水平木板上有一辆电动小车，以4 cm/s的速度匀速向
右直线运动，请研究小球能否追上该电动小车，并说明理由．
【变式9-3】（2026·广东深圳·三模）综合实践与探究——新能源汽车刹车性能研究
【设计实验方案】
某探究小组围绕新能源汽车水平路面刹车过程中，速度、路程随刹车时间的变化规律开展探究．
设计实验：让新能源汽车在平直水平路面匀速行驶至A 点时启动刹车，从汽车到达A 点开始，用测速仪、
计时器测量并记录汽车刹车后的运动时间𝑡(s)、瞬时速度𝑣(m s)、刹车路程𝑦(m)的数据．
【收集整理数据】
运动时
间𝑡(s)
0
4
8
12
16
20
…
瞬时速
度𝑣(
m s)
12
10
8
6
4
2
…
刹车路
程𝑦(m)
0
44
80
108
128
140
…
【数学建模探究】
(1)【猜想和验证】根据表格中的数据分别在图2、图3 的平面直角坐标系中描点、连线，观察图象并猜想：
①v 与t 之间的关系可以近似地用________函数表示．（填：“一次”、“二次”或“反比例”），v 与t 的函数关
系式为________．
②y 与t 之间的关系可以近似地用________函数表示．（填：“一次”、“二次”或“反比例”），y 与t 之间的函
数关系式为________．
(2)【拓展与运用】
①若某段水平测试路面的长度为150m，通过计算判断这辆新能源汽车在刹车过程中是否会超出该路面范
围？
②当新能源汽车到达水平路面A 点时，前方B 点处有另一辆电动车以3m s的速度在匀速向前直线运动，
若新能源汽车不能追尾电动车，那么𝐴𝐵的最小值是多少？
【题型10 新情境问题】
【例10】（25-26 九年级上·山西忻州·期末）综合与实践
问题情境：科学探究实验小组阅读科普读物发现：竖直上抛的小球离地面的高度是它运动时间的二次函
数．周末，他们在保证安全的前提下，在综合实验楼前做了“从地面竖直向上发射小球”的实验；小球被发射
时的速度为定值．
实验数据：根据实验小组多次测量可得，小球离地面的高度ℎ(m)与小球运动的时间𝑡(s)的部分数据如下表：
𝑡s
0
1
2
6
ℎm
0
25
40
0
问题解决：
(1)求小球离地面的高度ℎ(m)与小球运动的时间𝑡(s)(0 ≤𝑡≤6)的函数解析式．
(2)求小球被发射后离地面的最大高度．
(3)小宇在实验楼十层的观察点观察小球运动，已知观察点离小球发射点的竖直高度为33.75m．小宇说：“两
次看到小球经过观察点的高度，并且这两次间隔的时间为3s．"请判断他的说法是否正确，并说明理由．
【变式10-1】（2026·山西太原·三模）综合与实践
问题情境：某游乐园想设计一款带喷泉的水上滑梯游乐设施，如图所示为设计示意图，𝐴𝐵为水上滑梯，滑
梯顶端𝐴点离地面4 米（即𝑂𝐴= 4米），水平长度𝑂𝐵= 10米，在滑梯上方设计喷泉，喷泉喷出的水柱呈抛
物线，为不淋湿游客，保证在滑梯两端𝐴，𝐵处喷泉离滑梯的距离为1.5米（即𝐴𝐶= 𝐵𝐹= 1.5米），如图所
示建立平面直角坐标系，喷泉最高点离𝑦轴3.5米．
(1)数学建模：请你结合已知安全间距与顶点位置条件，求出喷泉喷出的水柱所在抛物线的函数表达式．
(2)解决问题：根据施工要求喷泉落地处需要修建防水排水凹槽，防止积水漫延侵蚀滑梯地基．请求出喷泉
落地位置𝐷到滑梯立柱𝑂𝐴的水平距离，以此确定排水槽的位置．
(3)游乐园采购部门依据水柱与滑梯的最大间距选配喷泉出水压力（间距决定水压上限，间距过小需减小水
压防溅水），请写出全程范围内喷泉水柱与滑梯滑道的最大竖直距离．
【变式10-2】（2026·广东深圳·一模）【生活情境】
为美化校园环境，学校根据地形情况，要对景观带中一个长𝐴𝐷= 𝑛(m)，宽𝐴𝐵= 1m的矩形水池𝐴𝐵𝐶𝐷进行
加长改造（如图1，改造后的水池𝐴𝐵𝑁𝑀仍为矩形，以下简称水池1），同时，再建造一个周长为12m的矩
形水池𝐸𝐹𝐺𝐻（如图2，以下简称水池2）．
【建立模型】
如果设水池1 的边𝐴𝐷加长长度𝐷𝑀为𝑥（m）（𝑥> 0），加长后水池1 的总面积为𝑦1（m2），设水池2 的
边𝐸𝐹的长为𝑥（m）（0 < 𝑥< 6），面积为𝑦2（m2）．
【问题解决】
(1)当𝐴𝐷= 4m时，则𝑦1关于𝑥的函数关系式为______，𝑦2关于𝑥的函数关系式为______；
(2)在（1）的条件下，函数𝑦1、𝑦2在同一平面直角坐标系中的图象如图3，𝑦1与𝑦2相交于𝐶、𝐸两点，在1 < 𝑥< 4
范围内，求两个水池面积差的最大值和此时𝑥的值；
(3)当水池1 与水池2 的面积相差2 时，𝑥(m)有唯一值，求𝑛的值．
【变式10-3】（25-26 九年级上·山西长治·期末）综合与实践
问题情境：图1 是某个仓库，图2 是棱长为1 米的立方体仓储品，图3 是仓库横截面的示意图，已知墙体
𝑂𝐴= 2.6，𝐵𝐶= 5米，水平距离𝑂𝐶= 12米，仓库顶部的轮廓为抛物线的一部分，建立如图所示的平面直角
坐标系，它可以近似的用函数𝑦= −
1
15𝑥2 +𝑏𝑥+ 𝑐表示．
问题解决：
(1)求抛物线的函数表达式．
(2)将四件一样的图2 中的仓储品按如图3 所示的方式叠放在𝑀𝑁处，𝑂𝑀= 2.4米，𝑀𝑁= 1米．当叉车要搬
运货物时，需要将其向上抬升0.1 米．若利用叉车将仓储品沿x 轴正方向移动了0.6 米，求此时仓储品货物
顶端离仓库顶部的最小距离．（该距离包括搬运货物抬升的高度）
(3)如图4，在仓库中沿着x 轴的正方向摆放4 处图2 中的立方体仓储品，每处立方体仓储品按问题（2）中
的方式用叉车将货物抬升0.1 米来搬运并叠放，叠放数量不同，其中𝑂𝐸= 1.5米，𝐶𝐿= 0.5米，
𝐹𝐺= 𝐻𝐼= 𝐽𝐾，则叠放最多的一处可叠放______个立方体仓储品．
【题型11 实物抽象出二次函数模型】
【例11】（2026·安徽合肥·三模）综合与实践
问题背景：
综合与实践课上，老师让同学们设计一个家电装置图案，某小组设计的效果图如图所示．
实验数据：如图1，装置整体图案为轴对称图形，外形由上方的抛物线𝐿1，中间的矩形𝐴𝐵𝐶𝐷和下方的抛物
线𝐿2组成．抛物线𝐿1的高度为8cm，矩形𝐴𝐵𝐶𝐷的边𝐴𝐵= 8cm,𝐵𝐶= 6cm，抛物线𝐿2的高度为4cm．在装置
内部安装矩形电子显示屏𝐸𝐹𝐺𝐻，点𝐸,𝐹在抛物线𝐿2上，点𝐻，𝐺在抛物线𝐿1上．
问题解决：
如图2，该小组以矩形𝐴𝐵𝐶𝐷的顶点𝐴为原点，以𝐴𝐵边所在的直线为𝑥轴，以𝐴𝐷边所在的直线为𝑦轴，建立平
面直角坐标系．请结合实验数据，完成以下任务：
(1)分别求出抛物线𝐿1和𝐿2的函数表达式；
(2)为满足矩形电子显示屏𝐸𝐹𝐺𝐻的空间要求，当高度𝐸𝐻的长为12cm，求此时宽度𝐸𝐹的长．
(3)若要求电子显示屏𝐸𝐹的宽度不小于4cm，问：它的高度𝐸𝐻的最大高度是多少？
【变式11-1】（2026·陕西榆林·模拟预测）图1 为某景区大门，其截面示意图如图2 所示，顶部外轮廓L 及
下方门洞𝐿′均呈抛物线型（厚度不计），大门宽度𝑂𝐴= 12m，其中𝐴𝐵、𝑂𝐶为两段垂直于水平地面𝑂𝐴的墙
体，且𝑂𝐶= 𝐴𝐵，点B、C 均在抛物线L、𝐿′上，分别以𝑂𝐴、𝑂𝐶所在直线为x 轴、y 轴建立图2 所示的平面
直角坐标系，已知抛物线L 的函数表达式为𝑦= −
1
9(𝑥−ℎ)2 +8（h 为常数），抛物线L、𝐿′的最高点在同一
竖直直线上，且它们的最高点之间的距离为2m．
(1)求𝐴𝐵的长及抛物线𝐿′的函数表达式；
(2)𝐸𝐹、𝑀𝑁为两条抛物线之间的连接支柱，两根支柱均与地面𝑂𝐴垂直，点F、N 均在抛物线L 上，点E、M
均在抛物线𝐿′上，已知支柱的长度𝐸𝐹= 𝑀𝑁=
3
2m，求这两根支柱之间的水平距离．（墙体、支柱的宽度均
忽略不计）
【变式11-2】（2026·山东济南·模拟预测）综合与实践
【问题情境】
厨房中的锅具设计常利用抛物线的特性，实现锅身的弧度与锅盖的贴合．某款锅的纵截面轮廓近似为两条
抛物线，技术人员通过建立二次函数模型，分析锅具的使用与安全设计．
【素材一】
以锅口中心为坐标原点，锅口水平方向为𝑥轴，锅的竖直对称轴为𝑦轴建立平面直角坐标系．锅身曲线为抛
物线𝐶1，开口向上，锅身的最低点离锅口是10 cm，锅口水平跨度为24 cm；锅盖曲线为抛物线𝐶2，可由基
础抛物线𝑦= −
1
36𝑥2上下平移得到，初始状态刚好严实盖住锅口．
【素材二】
锅口上方设有一个抽油烟机的进风口，进风口表达式为𝑦=
1
6𝑥+ 50(−12 ≤𝑥≤12)．
【任务一】
如图1，建立基础模型
(1)求抛物线𝐶1
(2)初始状态下𝐶2的函数表达式为_______________________．
【任务二】
如图2，调整锅盖位置
在保持锅身抛物线不变、锅口位置不变的前提下，在锅口上放上高5.25 cm的蒸笼（支架纵截面为矩形），
需将锅盖向上平移，保证锅盖刚好严实盖住蒸笼．
(3)平移后抛物线的函数表达式为_______________________．
【任务三】
安全空间评估
(4)在任务二确定的锅盖抛物线轨迹下，如图3，点𝑃是锅盖上任意一点，𝑃𝑄平行于𝑦轴交进风口于点𝑄，求线
段𝑃𝑄的最小值；若𝑃𝑄大于35 cm才能保证安全，根据计算结果，判断该距离是否满足安全要求？
【变式11-3】（2026·河南驻马店·三模）转枝是果树栽培中的核心技术之一，目的是调整枝条生长方向、抑
制顶端优势、促进花芽分化、平衡树势．某果农在进行枝条牵引定形时，将枝条弯成抛物线形状作为支撑
骨架（如图1），以垂直于地面的果树主干𝑂𝐷为𝑦轴，水平地面为𝑥轴建立平面直角坐标系如图2 所示．枝
条上的点𝐵，𝑀，𝐷在抛物线形骨架上，点𝐵到主干𝑂𝐷的水平距离为4m，点𝑃在枝条抛物线形骨架的外端处，
主干𝑂𝐷的高度为3m，已知抛物线形枝条的最高点到𝑂𝐷的水平距离为2m，离地面的高度为3.5m．
(1)设抛物线形枝条上某处离地面的高度为𝑦(m)，该处到主干𝑂𝐷的水平距离为𝑥(m)，求𝑦与𝑥之间的函数解
析式．
(2)若枝条外端𝑃到主干𝑂𝐷的水平距离（即枝条牵引深度）为4.6m，求点𝑃离地面的高度．
(3)为保证枝条弯枝之后不至于断枝（当𝑀𝑁的长度超过1.3m时枝条会被折断），需测量安全监测距离𝑀𝑁（𝑀𝑁
为枝条上某点到牵引绳𝐴𝐵的铅锤距离）．已知点𝐷，𝐴间的距离为1m，试判断该枝条会不会被折断，并说
明理由．
