专题1.2 有理数及其大小比较（举一反三讲义）
【新教材人教版】
【题型1 有理数的定义判断】..............................................................................................................................2
【题型2 写出有理数的个数】..............................................................................................................................4
【题型3 有理数的类别归属】..............................................................................................................................5
【题型4 有理数分类填表】..................................................................................................................................7
【题型5 数轴三要素判断】................................................................................................................................10
【题型6 数轴上的点与数互化】........................................................................................................................12
【题型7 求数轴两点距离】................................................................................................................................13
【题型8 数轴上找原点】....................................................................................................................................15
【题型9 数轴动点基础题】................................................................................................................................17
【题型10 找数轴对应整数点】............................................................................................................................19
【题型11 数轴上平移问题】................................................................................................................................21
【题型12 求一个数的相反数】............................................................................................................................23
【题型13 判断相反数正误】................................................................................................................................24
【题型14 相反数符号化简】................................................................................................................................25
【题型15 数轴上找对应相反数】........................................................................................................................26
【题型16 相反数简单计算】................................................................................................................................28
【题型17 互为相反数求值】................................................................................................................................29
【题型18 求数的绝对值】....................................................................................................................................31
【题型19 已知绝对值求数】................................................................................................................................32
【题型20 绝对值非负性应用】............................................................................................................................33
【题型21 绝对值化简计算】................................................................................................................................35
【题型22 数轴结合绝对值】................................................................................................................................37
【题型23 绝对值简单求值】................................................................................................................................39
【题型24 正负数直接比大小】............................................................................................................................40
【题型25 利用数轴比较数大小】........................................................................................................................42
【题型26 整数分数小数互比大小】....................................................................................................................43
【题型27 利用绝对值比较大小】........................................................................................................................45
【题型28 有理数大小比较的实际应用】............................................................................................................46
知识点1 有理数
1.定义：可以写成分数形式的数称为有理数.其中，可以写成正分数形式的数为正有理数，可以写成负分数
考点1
有理数的概念
题型归纳
形式的数为负有理数.
2. 说明：正整数、0、负整数统称为整数；正分数和负分数统称为分数；整数可以写成分数的形式；可以写
成分数形式的数称为有理数．
3. 有理数的分类：
按有理数的定义分类
按有理数的性质符号分类
3. 各类数的含义：
名称
描述
名称
描述
正整数
大于0 的整数
负整数
小于0 的整数
正分数
大于0 的分数
负分数
小于0 的分数
非负数
正数和0
非正数
负数和0
非正整数
负整数和0
非负整数
正整数和0
【题型1 有理数的定义判断】
【例1】（25-26 六年级上·上海崇明·期末）下列关于有理数的说法，错误的是（ ）
A．0 是整数
B．负分数是有理数
C．有理数包括正有理数和负有理数
D．1 是最小的正整数
【答案】C
【分析】本题考查有理数的概念，有理数包括正有理数，负有理数和0，有理数是分数和整数的统称，0 也
是整数，1 是最小的正整数，据此逐一判断即可．
【详解】解：A、0 是整数，原说法正确，不符合题意；
B、负分数是有理数，原说法正确，不符合题意；
C、有理数包括正有理数、负有理数和0，原说法错误，符合题意；
D、1 是最小的正整数，原说法正确，不符合题意；
故选：C．
【变式1-1】（2025 七年级上·全国·专题练习）下列对“0”的说法正确的个数是________
有理数
正有理数
0
负有理数
正整数
正分数
负整数
负分数
可以写成正
分数形式的
可以写成负
分数形式的
分数
整数
正整数
0
负整数
正分数
有理数
负分数
①0 是正数与负数的分界；②0 只表示“什么也没有”；③0 可以表示特定的意义，如0℃；④0 是正数．
【答案】2
【分析】本题考查了正数和负数、0 的意义等知识点，掌握零的意义是解题的关键．
根据0 的意义逐项判断即可解答．
【详解】解：①因为正数大于0，负数小于0，所以0 是正数与负数的分界，故①正确；
②0 除了表示 “什么也没有”，还可以表示其他意义，如0℃等，故②错误；
③0 可以表示特定的意义，如0℃，故③正确；
④0 既不是正数，也不是负数，故④错误，
综上所述：正确的有①③，共2 个．
故答案为：2．
【变式1-2】有下列说法：
（1）−3.56既是负数、分数，也是有理数；
（2）正整数和负整数统称为整数；
（3）0 是非正数；
（4）7 既是正数也是整数，但不是有理数．
其中正确的是__________________（填写序号）．
【答案】（1）（3）
【分析】根据有理数的分类， 即可解答．
【详解】解：（1）−3.56既是负数、 分数， 也是有理数， 正确；
（2）正整数、负整数和0 统称为整数，原说法错误；
（3）0 是非正数，正确；
（4）7 既是正数也是整数，也是有理数，原说法错误．
故答案为：（1）（3）．
【点睛】本题是关于有理数分类的题目，掌握有理数的定义与分类方法是关键．
【变式1-3】（25-26 七年级上·湖北孝感·期中）下列说法中，错误的有（ ）
①−2
4
7是负分数；②1.5 不是整数；③非负有理数不包括0；④正整数、负整数统称为有理数；⑤0 是最
小的有理数；⑥ 3.14 不是有理数．
A．5 个
B．4 个
C．3 个
D．2 个
【答案】B
【分析】本题考查有理数的基本概念，包括负分数、整数、非负有理数、有理数的定义以及有理数的大
小．根据定义逐一判断各说法的正误．
【详解】解：①−2
4
7 是负分数，正确；
② 1.5不是整数，正确；
③ 非负有理数包括0，故原说法错误；
④ 有理数是整数和分数的统称，而整数包括正整数、负整数和0，故原说法错误；
⑤ 没有最小的有理数，故原说法错误；
⑥ 3.14是有限小数，是有理数，故原说法错误．
∴ 错误的有③、④、⑤、⑥，共4个；
故选B
【题型2 写出有理数的个数】
【例2】（25-26 七年级上·四川南充·期末）在−π，0，−2，0.1010010001…，3.14%，
22
7 中，有理数的个数
有（ ）
A．6 个
B．5 个
C．4 个
D．3 个
【答案】C
【分析】本题主要考查了有理数的识别，有理数是分数和整数的统称，据此可得答案．
【详解】解：在−π，0，−2，0.1010010001…，3.14%，
22
7 中，有理数有0，−2，3.14%，
22
7 ，共4 个，
故选：C．
【变式2-1】（25-26 七年级下·黑龙江绥化·月考）在−1.7，
1
8，0，23，−7中，非负整数的个数是（ ）
A．2
B．3
C．4
D．5
【答案】A
【分析】先明确非负整数的定义，即大于等于0 的整数，再逐个判断给出的数，统计符合条件的个数即可．
【详解】解：−1.7是负分数，不符合要求；
1
8是分数，不符合要求；
0是非负整数，符合要求；
23是非负整数，符合要求；
−7是负整数，不符合要求；
∴符合条件的非负整数共2个．
【变式2-2】（24-25 七年级上·浙江温州·月考）在−8，
20
19，2024，0，−
1
2，−10.8这六个数中，分数有_____
个．
【答案】3
【分析】本题考查了有理数的分类，根据分数的定义即可得出答案，掌握分数的定义是解题的关键．
【详解】解：−8，
20
19，2024，0，−
1
2，−10.8这六个数中，是分数的是：
20
19，−
1
2，−10.8，共3个，
故答案为：3．
【变式2-3】（25-26 七年级上·河北衡水·期末）在−
1
3,
22
7 ,0,−1,0.4,2,−3,−20%这些数中，有理数有𝑚个，整数
有𝑛个，负数有𝑘个，则𝑚−𝑛−𝑘的值为（ ）
A．0
B．1
C．2
D．3
【答案】A
【分析】本题主要考查了代数式求值，有理数的分类，根据有理数的分类方法分别求出有理数、整数、负
数的个数，进而代值计算即可得到答案．
【详解】解：在−
1
3,
22
7 ,0,−1,0.4,2,−3,−20%中，
所有数均为有理数，故𝑚= 8；
整数有：0，−1，2，−3，共4个，故𝑛= 4；
负数有：−
1
3，−1，−3，−20%，共4个，故𝑘= 4；
∴𝑚−𝑛−𝑘= 8−4−4 = 0．
故选：A．
【题型3 有理数的类别归属】
【例3】（25-26 七年级上·河北石家庄·月考）对于数−3.14，下列说法判断正确的个数为（ ）
①是分数但不是有理数；②是负小数也是负分数；③是负数但不是有理数
A．1
B．2
C．3
D．0
【答案】A
【分析】本题主要考查有理数和正数、负数的知识点．−3.14是负数，是分数，也是有理数，据此选择正确
答案即可．
【详解】解：−3.14是有限小数，是负数也是分数，还是有理数．
综上，②是正确的，
故选：A．
【变式3-1】（25-26 七年级上·江苏常州·月考）下列各数：−2.5，−
1
3，0.27，2025，0，−0.05其中属于非
整数有理数的有___________个．
【答案】4
【分析】本题考查有理数的分类，根据分数的定义，有限小数和循环小数都属于分数，因此对所有给出的
数进行判断即可．
【详解】解：−2.5是有限小数，可化为分数；
−
1
3是分数；
0.27 是有限小数，可化为分数；
2025 是整数；
0 是整数；
−0.05是循环小数，可化为分数．
所以，其中属于非整数有理数共有4 个．
故答案为：4．
【变式3-2】（25-26 七年级上·全国·课后作业）下列说法中，不正确的是（ ）
A．−3.14既是负数，也是分数，还是有理数
B．0 既不是正数，也不是负数，但是整数
C．−2025既是负数，也是整数，但不是有理数
D．0 是非正数
【答案】C
【分析】本题考查了有理数的分类．有理数包括整数和分数，据此逐项分析即可．
【详解】解：A. −3.14既是负数，也是分数，还是有理数，说法正确，不符合题意；
B. 0 既不是正数，也不是负数，但是整数，说法正确，不符合题意；
C. −2025既是负数，也是整数，也是有理数，原说法错误，符合题意；
D. 0 是非正数，说法正确，不符合题意；
故选：C．
【变式3-3】（25-26 七年级上·全国·课后作业）请按要求填出相应的2 个有理数：
（1）既是正数也是分数：__________________；
（2）既不是负数也不是分数：__________________；
（3）既不是分数，也不是非负数：__________________．
【答案】
1
2、
1
3（答案不唯一）
1、2（答案不唯一）
−1、−2（答案不唯一）
【分析】本题考查了有理数的分类，熟练掌握有理数的分类是解此题的关键．
（1）根据正数和分数的定义求解即可；
（2）根据不是负数也不是分数的有理数的定义求解即可；
（3）根据不是分数，也不是非负数的有理数的定义求解即可．
【详解】（1）既是正数也是分数：
1
2、
1
3；
故答案为：
1
2、
1
3（答案不唯一）；
（2）既不是负数也不是分数：1、2；
故答案为：1、2（答案不唯一）；
（3）既不是分数，也不是非负数：−1、−2．
故答案为：−1、−2（答案不唯一）．
【题型4 有理数分类填表】
【例4】（25-26 七年级上·广西防城港·期末）把下列有理数填在相应的集合内：
3,−4
5 ,0,1 3
4 ,0.45,120,−77,−2.56,−123 1
3 ,0.3
正有理数集合：{……}．
负有理数集合：{……}．
整数集合：{……}．
【答案】3,1
3
4,0.45,120,0.3；−
4
5,−77,−2.56,−123
1
3；3,0,120,−77
【分析】本题考查了有理数的分类，解题的关键是熟练掌握正有理数、负有理数、整数的定义，根据正有
理数、负有理数、整数的定义即可求解．
【详解】解：正有理数集合：3,1
3
4 ,0.45,120,0.
˙
3⋯⋯；
负有理数集合：−
4
5 ,−77,−2.56,−123
1
3 ⋯⋯；
整数集合：{3,0,120,−77⋯⋯}，
故答案为：3,1
3
4,0.45,120,0.
˙
3；−
4
5,−77,−2.56,−123
1
3；3,0,120,−77．
【变式4-1】（25-26 七年级上·河南三门峡·期末）把下列各数对应的序号
．．填在相应的大括号内．
①2026，②−3，③−15％，④−
1
2，⑤3.14，⑥0，⑦−
3
4
正数集合：{ …}；
分数集合：{ …}；
非负整数集合：{ …}．
【答案】正数集合：{①⑤…}
分数集合：{③④⑤⑦…}
非负整数集合：{①⑥…}
【分析】本题考查有理数的分类，需明确正数、分数、非负整数的定义，逐一判断各数所属类别后完成归
类，即可求解．
【详解】解：正数是大于0的数2026和3.14都大于0所以正数集合：{①⑤…}
分数包含正分数、负分数，有限小数与百分数也属于分数范畴−15%、−
1
2、3.14、−
3
4都满足分数的定义所
以分数集合：{③④⑤⑦…}
非负整数是正整数和0，2026是正整数，0属于非负整数所以非负整数集合：{①⑥…}
【变式4-2】（25-26 七年级上·内蒙古锡林郭勒·期中）将下列各数填入相应的大括号里．
−
1
3,0.618,−3.14,260,−2,
6
7,−0.010010001…,0,0.
·
3.
正分数集合：{ }；
非正整数集合：{ }；
正数集合：{ }；
有理数集合：{ }．
【答案】见解析
【分析】本题考查有理数分类．根据题意利用有理数分类逐一对每个数进行分类即可得到本题答案．
【详解】解：∵−
1
3,0.618,−3.14,260,−2,
6
7,−0.010010001…,0,0.
·
3.
∴正分数集合{ 0.618,
6
7,0.
·
3}，
非正整数集合{−2,0}
正数集合{0.618,260,
6
7,0.
·
3}
有理数集合{−
1
3,0.618,−3.14,260,−2,
6
7,0,0.
·
3}
【变式4-3】（25-26 七年级上·重庆·期末）把下列各有理数填入相应的集合内：
−2，−2
1
3，0.6，−| +3.5|，0，−(−3)，−0.3．
负有理数集合：{ …}；
整数集合：{ …}；
负分数集合：{ …}；
非负有理数集合：{ …}．
【答案】−2,−2
1
3 ,−| +3.5|,−0.
˙
3 ；−2,0,−(−3) ；−2
1
3 ,−| +3.5|,−0.
˙
3 ；0.6,0,−(−3)
【分析】本题考查了有理数的分类，根据负有理数、整数、负分数及非负有理数的定义将各有理数进行分
类即可．
【详解】解：−| +3.5| = −3.5，−(−3) = 3，
负有理数集合：−2是负整数，属于负有理数；−2
1
3是负分数，属于负有理数；−| +3.5| = −3.5是负分数，
属于负有理数；−0.3是负无限循环小数，属于负有理数，
∴负有理数集合为−2,−2
1
3 ,−| +3.5|,−0.
˙
3 ；
整数集合：−2是负整数，属于整数；0 是整数；−(−3) = 3是正整数，属于整数，
∴整数集合为−2,0,−(−3) ；
负分数集合：−2
1
3是负分数；−| +3.5| = −3.5是负分数；−0.3是负无限循环小数，可化为负分数，属于负分
数，
∴负分数集合为−2
1
3 ,−| +3.5|,−0.
˙
3 ；
非负有理数集合：0.6 是正分数，属于非负有理数；0 是非负有理数；−(−3) = 3是正整数，属于非负有理
数，
∴非负有理数集合为0.6,0,−(−3) ．
知识点2 数轴
定义：规定了原点、正方向和单位长度的直线叫作数轴，它满足以下条件：
考点2
数轴
（1）在直线上任取一个点表示数0，这个点叫作原点；
（2）通常规定直线上从原点向右（或上）为正方向，从原点向左（或下）为负方向；
（3）选取适当的长度为单位长度，直线上从原点向右，每隔一个单位长度取一个点，依次表示1，2，3，
⋯；从原点向左，用类似的方法依次表示−1，−2，−3，⋯．
知识点3 数轴上的点与有理数之间的关系
1. 每个有理数都可以用数轴上的一点来表示，也可以说，每个有理数都对应数轴上的一点．
2. 一般地，设a 是一个正数，则数轴上表示数a 的点在数轴的正半轴上，与原点的距离是a 个单位长度；
表示数−𝑎的点在数轴的负半轴上，与原点的距离是a 个单位长度．
【题型5 数轴三要素判断】
【例5】（25-26 六年级下·黑龙江哈尔滨·期中）悦悦在直线上分别标出了几组正、负数，标注的位置正确且
合理的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【详解】解：根据数轴定义，负数位于原点的左侧，正数位于原点的右侧，
∴选项A 和选项C 错误；
选项B 单位长度错误，间隔不相等；
选项D 正确．
【变式5-1】（24-25 七年级上·河南驻马店·期中）数轴是规定了______，______和______的一条______．
【答案】
原点
单位长度
正方向
直线
【分析】本题主要考查数轴，牢记数轴的定义（规定了原点、单位长度和正方向的直线叫做数轴）是解题
的关键．
根据数轴的定义即可求得答案．
【详解】解：根据数轴的定义可知，数轴规定了原点、单位长度和正方向的一条直线．
故答案为：原点，单位长度 ，正方向，直线．
【变式5-2】下列说法错误的是（ ）
A．数轴是规定了原点、正方向、单位长度的直线
B．数轴上表示有理数−𝑎的点一定在原点的左侧
C．数轴上右边的点总比左边的点表示的数大
D．表示负数的点位于原点左侧
【答案】B
【分析】本题考查数轴定义、数轴的性质等知识，熟记数轴的定义及性质是解决问题的关键．根据数轴的
定义及性质逐项验证即可得到答案．
【详解】解：A、数轴是规定了原点、正方向、单位长度的直线，说法正确，不符合题意；
B、当𝑎≤0，数轴上表示有理数−𝑎的点在原点及原点的右侧，原说法错误，符合题意；
C、数轴上右边的点总比左边的点表示的数大，说法正确，不符合题意；
D、表示负数的点位于原点左侧，说法正确，不符合题意；
故选：B．
【变式5-3】判断下列图中所画的数轴正确的个数是（ ）
（1）
（2）
（3）
（4）
A．0
B．1
C．2
D．3
【答案】B
【分析】根据数轴的三要素：原点、正方向、单位长度逐项判断即可．
【详解】解：图（1）有单位长度和正方向，有原点，故正确；
图（2）有原点和单位长度，但没有正方向，故不正确；
图（3）有原点和正方向，但所画负半轴上的数字排列顺序不对，故不正确；
图（4）有原点和正方向，但单位长度不一致，故不正确；
综上，四个选项中，只有（1）正确．
故选：B．
【题型6 数轴上的点与数互化】
【例6】（25-26 七年级上·浙江丽水·期末）如图，数轴上表示数1 的点是（ ）
A．M
B．N
C．P
D．Q
【答案】C
【详解】解：数轴上表示数1 的点是点P．
故选：C．
【变式6-1】（24-25 七年级上·河南驻马店·月考）如图，直尺上“1cm”处对应数轴上的数是___________．
【答案】−1
【分析】本题主要考查了数轴，先确定1 单位长度为2cm，可知原点的位置，进而得出答案．
【详解】根据题意可知1 个单位长度是2cm，
∴原点的位置在3cm 处，
∴1cm 处所对应的数是−1．
故答案为：−1．
【变式6-2】（25-26 七年级上·河南南阳·期末）如图，数轴上的两个点分别表示数𝑎和−2，则𝑎可以是
_____．（写出一个即可）
【答案】−3（答案不唯一）
【分析】本题主要考查了数轴的概念和实数与数轴上点的对应关系，熟练掌握数轴上左边的数总比右边的
数小这一性质是解题的关键．
先根据数轴上点的位置关系，判断出数𝑎与−2的大小关系，再写出一个满足该关系的数即可．
【详解】解：∵数轴上表示数𝑎的点在表示数−2的点的左侧，
∴𝑎< −2．
取𝑎= −3（答案不唯一）．
故答案为：−3（答案不唯一）．
【变式6-3】（25-26 七年级上·河北保定·期末）如图，圆的周长为4个单位长度，在该圆的4等分点处分别标
上0，1，2，3，先让圆周上表示数字0的点与数轴上表示−2的点重合，再将圆沿着数轴向右滚动，则数轴
上表示2026的点与圆周上重合的点表示的数字是（ ）
A．0
B．1
C．2
D．3
【答案】A
【分析】本题考查了数轴上数字类的规律探索，关键是找出圆滚动的规律与数轴上的数字的对应关系；圆
沿着数轴每向右滚动一圈后，都向右前进4个单位长度，那么每一圈的滚动过程中数轴上从1开始的整数分
别对应圆上的3、0、1、2，据此规律求解即可．
【详解】解：由图可知，数轴上表示0的数字与圆上表示2的点重合，
数轴上表示1的点与圆上表示3的点重合，
数轴上表示2的点与圆上表示0的点重合，
数轴上表示3的点与圆上表示1的点重合，
数轴上表示4的点与圆上表示2的点重合，
∴数轴上的数从1开始每4个一循环，分别与圆上的3、0、1、2重合，
∵2026 ÷ 4 = 506……2，
∴数轴上表示2026的数与圆上表示0的点重合，
故选：A ．
【题型7 求数轴两点距离】
【例7】（25-26 七年级上·湖北黄石·期末）如图，将一刻度尺放在数轴上（数轴1个单位长度是1cm），刻
度尺上0cm对应数轴上的数3，那么刻度尺上6.5cm对应数轴上的数为（ ）
A．−2.5
B．−3.5
C．−4.5
D．−5
【答案】B
【分析】本题主要考查了有理数与数轴上点的关系．根据题意计算出点到原点的距离为6.5−3 = 3.5(cm)即
可解答．
【详解】解：因为刻度尺上的0cm对应数轴上的3，
所以刻度尺上6.5cm对应的数到数轴上3的距离也是6.5cm，
所以到原点的距离是6.5−3 = 3.5(cm)，
因为在原点左侧，所以对应的数是−3.5，
故选：B．
【变式7-1】（25-26 七年级上·广西北海·期末）如图，数轴的单位长度是1，若点B 表示的数是2，则点A
表示的数是（ ）
A．−3
B．2
C．−4
D．−5
【答案】A
【分析】本题考查了数轴上点之间的距离，根据图形得出点𝐴、点𝐵距离5 个单位长度，题干中明确数轴单
位长度为1，利用点𝐵表示的数即可推理出点𝐴表示的数．
【详解】解：∵数轴的单位长度为1，点𝐵表示的数是2．
∴2−5 = −3，
∴点𝐴表示的数是−3．
故选：A．
【变式7-2】（25-26 七年级上·广东深圳·期末）如图，数轴的单位长度为1，如果点𝐴表示的数是−2，那么
点𝐵表示的数是（ ）
A．1
B．2
C．3
D．4
【答案】B
【分析】本题主要考查数轴上数的表示，根据两点在数轴上的距离求出对应的数是解题的关键．
根据图可知点𝐴与点𝐵之间的距离为4 并结合点𝐴表示的数是−2，即可求出点𝐵表示的数．
【详解】解：∵点𝐴表示的数是−2，且由图可知：点𝐴与点𝐵之间的距离为4，
∴点𝐵表示的数为：−2 + 4 = 2，
故选：B．
【变式7-3】（25-26 七年级上·江苏常州·期末）如图，数轴上有两点A，B，若原点O 恰好是线段𝐴𝐵的中点，
且𝐴𝐵= 6，则点A 表示的数为________．
【答案】−3
【分析】本题考查了数轴上两点之间的距离，利用数轴表示有理数，熟练掌握数轴上两点之间的距离是解
决问题的关键．
利用中点和数轴上两点之间的距离即可得出结果．
【详解】解：∵原点O 恰好是线段𝐴𝐵的中点，且𝐴𝐵= 6，
∴𝐴𝑂= 𝐵𝑂= 3，
∴由图得：点A 表示的数为−3，
故答案为：−3．
【题型8 数轴上找原点】
【例8】（24-25 七年级上·江苏镇江·月考）如图，数轴上每个刻度为1 个单位长度上点𝐴表示的数是−3．
（1）在数轴上标出原点，并指出点𝐵所表示的数是___________．
（2）在数轴上找一点𝐶，使它与点𝐵的距离为2 个单位长度，那么点𝐶表示的数为___________．
【答案】
4
2 或6
【分析】本题考查了在数轴上表示有理数，解题关键是正确在数轴上确定表示各数的点的位置．
（1）根据点A 表示−3即可得原点位置，进一步得到点B 所表示的数；
（2）分两种情况讨论即可求解．
【详解】解：（1）如图，∵数轴上每个刻度为1 个单位长度上点A 表示的数是−3．
∴O 为原点，点B 所表示的数是4，
故答案为：4；
（2）点C 表示的数为4−2 = 2或4 + 2 = 6．
故答案为：2 或6；
【变式8-1】（2026 年河北省邢台市中考二模考试数学试题）如图，在一条不完整的数轴上，标出A、B、
C、D 四点，若B 点表示的数为正数，则可以是原点的为（ ）
A．点A
B．点C
C．点D
D．点A 或点C
【答案】A
【详解】解：∵B 点表示的数为正数，
∴原点在B 点的左边，
∴可以是原点的为点A．
【变式8-2】（25-26 七年级上·新疆·期末）如图，数轴上的点𝐴、𝐵、𝐶刚好对应着直尺上的刻度2、刻度8
和刻度10．该数轴的原点为𝑂，向右为正方向．若点𝐴,𝐶所表示的数互为相反数，则该数轴的原点𝑂对应直
尺上的刻度为______．
【答案】6
【分析】本题考查数轴的有关知识以及相反数的性质，关键是先求出𝐴、𝐶两点在直尺上的距离，再结合“互
为相反数的两点到原点距离相等”确定原点对应的刻度．
【详解】解：∵直尺上点𝐴对应刻度2，点𝐶对应刻度10，
∴𝐴、𝐶在直尺上的距离为10−2 = 8，
∵点𝐴、𝐶表示的数互为相反数，
∴原点𝑂是线段𝐴𝐶的中点，即𝐴到原点的距离为8 ÷ 2 = 4，
又∵数轴向右为正方向，
∴原点𝑂对应直尺上的刻度为2 + 4 = 6；
故答案为：6．
【变式8-3】（2025 七年级上·全国·专题练习）如图，如果有理数𝑎表示的点到原点距离是有理数𝑏表示的点
到原点距离的3 倍，那么点𝐴,𝐵,𝐶,𝐷中___________可能是数轴的原点．
【答案】点C 或点D
【分析】本题主要考查了数轴上两点间距离计算，根据题意可分为当原点在有理数𝑎表示的点和有理数𝑏表
示的点之间时，及当原点在有理数𝑎表示的点和有理数𝑏表示的点的右侧时，这两种情况分类讨论，再结合
数轴即可得到答案．
【详解】解：当原点在有理数𝑎表示的点和有理数𝑏表示的点之间时，
∵有理数a 表示的点到原点距离是有理数b 表示的点到原点距离的3 倍，
且点C在有理数𝑎表示的点和有理数𝑏表示的点之间，有理数𝑎表示的点到点C距离是有理数𝑏表示的点到点C
距离的3 倍，
∴点C 可能是数轴的原点，
当原点在有理数𝑎表示的点和有理数𝑏表示的点的右侧时，
∵有理数a 表示的点到原点距离是有理数b 表示的点到原点距离的3 倍，
且点D 在有理数𝑎表示的点和有理数𝑏表示的点的右侧，有理数𝑎表示的点到点D 距离是有理数𝑏表示的点到
点D 距离的3 倍，
∴点D 可能是数轴的原点，
故答案为：点C 或点D ．
【题型9 数轴动点基础题】
【例9】边长为1 的正方形OABC 从如图所示的位置（点O 对应数0，点A 对应数－1）开始在数轴上顺时
针滚动（无滑动）．当正方形的某个顶点落在数2023 在数轴上对应的点处时停止运动，此时落在数2023
在数轴上对应点的这个顶点是（ ）
A．点A
B．点B
C．点C
D．点O
【答案】A
【分析】滚动四次一个循环，用2023 除以4，商即是循环的次数，由余数即可得到与2023 重合的点．
【详解】解：∵2023＝505×4＋3，
∴与2023 重合的点即是滚动后与3 重合的点，
而与1 重合的是C，与2 重合的是B，与3 重合的是A，
∴与2023 重合的是A，故A 正确．
故选：A．
【点睛】本题主要考查图形类规律探究、数轴上点表示的数，解题的关键是理解与2023 重合的点即是与3
重合的点．
【变式9-1】（24-25 七年级上·江苏盐城·月考）如图，𝐴、𝐵分别为数轴上的两点，𝐴点对应的数为−20,𝐵点
对应的数为100．现有一只电子蚂蚁𝑃从𝐵点出发，以5 个单位/秒的速度向左运动，同时另一只电子蚂蚁𝑄
恰好从𝐴点出发，以3 个单位/秒的速度向右运动，设运动𝑡秒时，若两只蚂蚁的距离为8 个单位，则运动时
间𝑡为______秒
【答案】14秒或16秒
【分析】本题主要考查题考查数轴上两点之间的距离．
由已知可得𝐴𝐵= 120，分为2 只电子蚂蚁相遇前相距8 个单位长度和相遇后相距8 个单位长度，根据距离
除以速度等于时间即可求得答案．
【详解】解：𝐴𝐵= 100−(−20) = 120，
两只蚂蚁的距离为8 个单位，
当相遇前： (120−8) ÷ (5 + 3) = 14(秒)，
当相遇后，：(120 + 8) ÷ (5 + 3) = 16(秒)，
则经过14秒或16秒，2 只电子蚂蚁在数轴上相距8 个单位长度，
故答案为：14秒或16秒．
【变式9-2】已知，如图A 、B 分别为数轴上的两点，𝐴点对应的数为 −10，B点对应的数为 90．
（1）𝐴𝐵的中点 𝑀对应的数为_______________
（2）若当电子蚂蚁P 从B 点出发时，以3 个单位/秒的速度向左运动，同时另一只电子蚂蚁Q 恰好从A 点
出发，以2 个单位/秒的速度向右运动，两只电子蚂蚁在数轴上相距35 个单位长度的时间为___________秒．
【答案】
40
13 秒或27 秒
【分析】本题主要考查题考查数轴上两点之间的距离．
（1）先求出4、B 两点之间的距离，再求出M 点到A、B 两点的距离，然后再用B 点对应的数减去M 点到
A、B 两点的距离即可求得答案．
（2）此问分为2 只电子蚂蚁相遇前相距35 个单位长度和相遇后相距35 个单位长度，根据距离除以速度等
于时间即可求得答案．
【详解】解：（1）𝐴𝐵= 90−(−10) = 100，
∴𝑀𝐵= 𝐴𝑀= 100 ÷ 2 = 50，
∵B点对应的数为 90，
∴𝑀对应的数为90−50 = 40，
则与A，B 两点距离相等的M 点对应的数为40，
故答案为：40；
（2）相遇前∶
(100−35) ÷ (2 + 3) = 13(秒)，
相遇后∶(35 + 100) ÷ (2 + 3) = 27(秒)，
则经过13 秒或27 秒，2 只电子蚂蚁在数轴上相距35 个单位长度，
故答案为：13 秒或27 秒．
【变式9-3】（25-26 七年级上·江苏苏州·月考）在数轴上点B、点C 分别表示−9、1，点Q 从点B 出发，以
每秒3.5 个单位长度的速度沿数轴在点B 和点C 之间往复运动，16 秒后点Q 在数轴上所表示的有理数为
（ ）
A．−5
B．−3
C．−14
D．6
【答案】A
【分析】此题考查了数轴上的动点问题．求出16 秒后点Q 运动了3.5 × 16 = 56个单位长度，
点Q 在点B 和点C 之间往复运动两个来回后，又多走了16 个单位长度，进一步求出答案即可．
【详解】解：∵在数轴上点B、点C 分别表示−9、1，
∴𝐵𝐶= 1−(−9) = 10,
由题意可得，以每秒3.5 个单位长度的速度沿数轴在点B 和点C 之间往复运动，16 秒后点Q 运动了
3.5 × 16 = 56个单位长度，
56 ÷ (10 × 2) = 2余16，即点Q 在点B 和点C 之间往复运动两个来回后，又多走了16 个单位长度，即从点
B 出发，以每秒3.5 个单位长度的速度沿数轴运动，到达点C 后，再往点B 运动6 个单位长度，即运动到
1−6 = −5，
故选：A
【题型10 找数轴对应整数点】
【例10】（25-26 六年级上·上海松江·期末）在数轴上表示−1.2的点与表示1.5 的点之间的整数共有______
个．
【答案】3
【分析】本题考查数轴上两点之间的整数个数，通过找出所有大于−1.2且小于1.5 的整数求解即可．
【详解】解：数轴上表示−1.2与1.5 的点之间的整数有−1，0，1，共3 个．
故答案为：3
【变式10-1】（24-25 七年级上·河南三门峡·期末）如图，在数轴上注明了四段的范围，其中第______（填
序号）段上有三个整数．
【答案】②
【分析】本题考查了数轴的特点，整数包括正整数、0、负整数，结合数轴特点即可求解，理解并掌握数轴
的特点是解题的关键．
【详解】解：根据图示，第①段上包含的整数是−4，−3，不符合题意；
第②段上包含的整数是−2，−1，0，符合题意；
第③段上包含的整数是1，2，不符合题意；
第④段上包含的整数是3，4，不符合题意；
故答案为：②．
【变式10-2】若数轴上表示整数的点称为整点，画一数轴，并规定单位长度为l 厘米，若在这条数轴上随意
画出一条长10 厘米的线段𝐴𝐵，则线段𝐴𝐵盖住的整点有（ ）
A．8 个或9 个
B．9 个或10 个
C．10 个或11 个
D．11 个或12 个
【答案】C
【分析】分线段𝐴𝐵的端点在整点上和不在整点上两种情况讨论，据此得出规律即可解答本题．
【详解】解：依题意得：①当线段𝐴𝐵的端点在整点上时，覆盖11 个数；
②当线段𝐴𝐵的端点不在整点，即在两个整点之间时覆盖10 个数．
故选：C．
【点睛】本题主要考查了分类讨论思想和数形结合思想的应用，𝐴𝐵取一个较小的整数，然后画出图形得出
规律是解决此题的关键．
【变式10-3】（25-26 七年级上·河南郑州·期末）如图所示的数轴被墨迹盖住一部分，被盖住的整数点有
（ ）
A．7 个
B．8 个
C．9 个
D．10 个
【答案】C
【分析】本题主要考查数轴，熟练掌握数轴上点的特征是解题的关键．根据数轴的特征写出被遮住的点即
可得到答案．
【详解】解：被盖住的整数有−6,−5,−4,−3,−2,1,2,3,4，共9 个．
故选：C．
【题型11 数轴上平移问题】
【例11】（25-26 七年级上·江苏泰州·期中）数轴上点A 表示的数是1，将点A 向右移动2 个单位长度后，
再向左移动3 个单位长度，此时点A 表示的数是（ ）
A．0
B．−1
C．1
D．2
【答案】A
【分析】本题考查数轴上点的移动，向右移动表示加，向左移动表示减，通过直接计算可得结果；
【详解】解：∵点A 起始表示的数为1，
向右移动2 个单位长度：1 + 2 = 3，
再向左移动3 个单位长度：3−3 = 0，
∴此时点A 表示的数是0；
故选：A
【变式11-1】（25-26 七年级上·福建南平·期中）若点𝐴到原点的距离为3，将点𝐴向右移动5 个单位长度，
到达点𝐵，则点𝐵在数轴上表示的数为______．
【答案】8 或2
【分析】本题考查数轴上点的平移规律．
根据点在数轴上移动的规律：左减右加解答即可．
【详解】解：∵点A 到原点的距离为3，
∴点𝐴表示的数为−3或3，
此时点B 表示的数是：3 + 5 = 8或−3 + 5 = 2．
故答案为：8 或2．
【变式11-2】（25-26 七年级上·吉林长春·月考）点𝐴在数轴上距原点5 个单位长度，将点𝐴先向右移动3 个
单位长度，再向左移动7 个单位长度，得到点𝐵，则点𝐵表示的数是（ ）
A．1 或−9
B．−1或9
C．1 或9
D．−1或−9
【答案】A
【分析】本题考查了数轴上点的移动，数轴上表示的数，由题意可得点𝐴表示的数是−5或5，分两种情况求
解即可，掌握相关知识是解题的关键．
【详解】解：∵点𝐴在数轴上距原点5 个单位长度，
∴点𝐴表示的数为：−5或5，
当点𝐴表示的数为−5时，−5 + 3−7 = −9，
当点𝐴表示的数为5时，5 + 3−7 = 1，
∴点𝐵表示的数是1或−9，
故选：A．
【变式11-3】（25-26 七年级上·贵州安顺·期中）在数轴上，点A 表示的数为−3，有一动点P，从点A 出发，
在数轴上做有规律的运动：第1 次从点A 出发向右运动1 个单位长度到点𝐵1，第2 次从点𝐵1向左运动2 个
单位长度到点𝐵2，第3 次从点𝐵2向右运动3 个单位长度到点𝐵3，第4 次从点𝐵3向左运动4 个单位长度到点
𝐵4……按照此规律不断地左右运动，则第2025 次运动到点𝐵2025时对应的数为______．
【答案】1010
【分析】此题考查了数轴上的规律，有理数的加减，有理数的乘法，正确的列式，合理的应用加法的结合
律计算是解题的关键．
根据运动规律列式计算即可得解．
【详解】解：由题意，第2025 次运动到点𝐵2025时对应的数为：
−3 + 1−2 + 3−4 + 5−6 + 7 + ⋯−2022 + 2023−2024 + 2025
= −3 + 1 + (−2 + 3) + (−4 + 5) + (−6 + 7) +⋯+ (−2022 + 2023) + (−2024 + 2025)
= −3 + 1 + 1 + 1 + 1 + ⋯+ 1 + 1
1012 个1 相加
= −3 + 1 + 1 × 1012
= 1010．
故答案为：1010．
知识点4 相反数
1. 相反数的定义：像3和−3，
1
2和−
1
2这样只有符号不同的两个数，互为相反数．
2. 相反数的表示方法：一般地，a 和−𝑎互为相反数．这里，a 表示任意一个数，可以是正数、负数，也可
以是0．
例如：当𝑎= 1时，−𝑎= −1，1 的相反数是−1，同时，−1的相反数是1．
考点3
相反数
特别地，0 的相反数是0.
3. 相反数的几何意义：到数轴原点距离相等的两个点表示的两个数互为相反数．
4. 求一个数的相反数：在任意一个数前面添上“−”号，新的数就表示原数的相反数．
5. 多重符号的化简：与“ + ”号个数无关，有奇数个“−”号，结果为负，有偶数个“−”号，结果为正．
【题型12 求一个数的相反数】
【例12】（25-26 九年级上·重庆·阶段检测）2026的相反数是（ ）
A．−2026
B．2026
C．
1
2026
D．−
1
2026
【答案】A
【详解】解：2026的相反数是−2026．
【变式12-1】（25-26 九年级下·广西玉林·期中）0 的相反数是_________．
【答案】0
【详解】解：0的相反数是0．
【变式12-2】（25-26 七年级上·陕西渭南·期末）一个有理数的相反数是正整数，这个有理数可以是：
______．（写出一个即可）
【答案】−2
【分析】本题考查了相反数的定义，正负数，根据相反数的定义，一个有理数的相反数是正整数，则该有
理数必为负整数，据此即可求解．
【详解】解：由题意得，这个有理数可以是−2，
故答案为：−2（答案不唯一）．
【变式12-3】（25-26 七年级下·安徽滁州·期中）π−3的相反数是（ ）
A．3−π
B．π−3
C．−π−3
D．
1
π−3
【答案】A
【详解】解：π−3的相反数为−(π−3) = 3−π．
【题型13 判断相反数正误】
【例13】（25-26 七年级上·辽宁大连·期末）下列说法中正确的是（ ）
A．−6是相反数
B．+6是相反数
C．正数与负数互为相反数
D．任何一个数都有相反数
【答案】D
【分析】本题考查了相反数的概念，熟练掌握相反数是指只有符号不同的两个数，且每个数都有唯一相反
数是解题的关键．根据相反数的概念，逐一判断即可解答．
【详解】解：A、相反数必须成对出现，该选项说法错误；
B、相反数必须成对出现，该选项说法错误；
C、正数与负数仅当绝对值相等时才互为相反数，该选项说法错误；
D、任何数均存在相反数，该选项说法正确．
故选：D．
【变式13-1】（25-26 七年级上·辽宁盘锦·期末）下列各数中，互为相反数的是（ ）
A．3 和−3
B．3 和
1
3
C．3 和−2
D．0.1和−10
【答案】A
【分析】本题主要考查了相反数的定义，掌握绝对值相同、符号不同的两个数互为相反数是解题的关键．
根据相反数的定义逐项判定即可．
【详解】解：A．3 和−3，符号不同且绝对值相等，互为相反数，符合题意；
B．3 和
1
3，符号相同但绝对值不等，不互为相反数，不符合题意；
C．3 和−2，符号不同但绝对值不等，不互为相反数，不符合题意；
D．0.1和−10，符号不同但绝对值不等，不互为相反数，不符合题意．
故选A．
【变式13-2】如图，数轴上𝐴，𝐵两点所表示的数互为相反数
．．．．．，则关于原点的说法正确的是（ ）
A．在点𝐴的左侧
B．在点𝐵的右侧
C．与线段𝐴𝐵的中点重合
D．位置不确定
【答案】C
【分析】本题考查了数轴上点的位置问题，根据相反数的性质、数轴的性质进行判断即可，掌握相反数的
性质、数轴的性质是解题的关键．
【详解】因为𝐴，𝐵两点所表示的数互为相反数，
所以点𝐴表示的数为负数，点𝐵表示的数为正数，且它们到原点的距离相等，
所以原点与线段𝐴𝐵的中点重合，
故选：C．
【变式13-3】如果a 表示有理数,那么下列说法中正确的是( )
A．+a 和一(-a)互为相反数
B．+a 和-a 一定不相等
C．-a 一定是负数
D．-(+a)和+(-a)一定相等
【答案】D
【详解】A．−(−𝑎) = 𝑎，两个数相等，故错误，不符合题意．
B．当𝑎= 0时，+𝑎与−𝑎相等，故错误，不符合题意．
C．−𝑎可以是正数，也可以是负数，还可以是0.故错误，不符合题意．
D．正确，符合题意．
故选D．
【题型14 相反数符号化简】
【例14】（25-26 七年级上·贵州遵义·期末）下列化简结果错误的是（ ）
A．−(−2026) = −2026
B．−(−2026) = 2026
C．−( +2026) = −2026
D．+ (−2026) = −2026
【答案】A
【分析】本题考查了化简多重符号，熟练掌握化简多重符号法则是解题关键．根据化简多重符号的法则逐
项判断即可得．
【详解】解：A、−(−2026) = 2026 ≠−2026，则此项错误，符合题意；
B、−(−2026) = 2026，则此项正确，不符合题意；
C、−( +2026) = −2026，则此项正确，不符合题意；
D、+ (−2026) = −2026，则此项正确，不符合题意；
故选：A．
【变式14-1】（25-26 七年级上·湖北荆州·月考）化简：−−( +11) = ________．
【答案】11
【分析】本题主要考查了相反数，灵活运用相反数化简多重符号是解题的关键．
运用相反数的定义从内向外逐步化简即可．
【详解】解：−−( +11) = −[−11] = 11．
故答案为：11．
【变式14-2】下列各对数中，相等的是（ ）
A．−(−
3
4)和﹣0.75
B．+（﹣0.2）和-（+
1
5）
C．−( +
1
100)和﹣（﹣0.01）
D．-（-3
1
5）和−( +
16
5 )
【答案】B
【分析】根据多重符号的化简法则化简对各选项进行计算后利用排除法求解．
【详解】解：A、−(−
3
4)=
3
4 = 0.75 ≠−0.75，故本选项错误；
B、+ (−0.2) = −0.2， −+
1
5 = −
1
5 = −0.2， 故本选项正确；
C、−+
1
100 = −
1
100 = −0.01，−(−0.01) = 0.01， 故本选，错误；
D、−−3
1
5 = 3
1
5，−+
16
5
= −3
1
5，故本选项错误．
故选B．
【点睛】本题考查了多重符号的化简：与“+”个数无关，有奇数个“﹣”号结果为负，有偶数个“﹣”号，结果
为正．
【变式14-3】化简：−+(−7) = __，−−(−2) = __，+ −( +𝑎) = __．
【答案】
7
−2
−𝑎
【分析】根据相反数的意义化简即可解答．
【详解】解：−+(−7) = −(−7) = 7，−−(−2) = −( +2) = −2，+ −( +𝑎) = + [−𝑎] = −𝑎．
故答案为：7，−2，−𝑎．
【点睛】本题主要考查了相反数的意义，只有符号不同的两个数叫做相反数．
【题型15 数轴上找对应相反数】
【例15】如图，数轴上有三个点A、B、C．若点A、C 表示的数互为相反数，数轴的单位长度为1，则图中
点B 对应的数是（ ）
A．4
B．3
C．2
D．1
【答案】A
【分析】此题考查了相反数的性质，数轴的数形结合．数形结合是解题关键．数轴中的数形结合思想题型，
因为点𝐴、𝐶表示的数互为相反数．所以找出点𝐴、𝐶的中点，此题就好做了．
【详解】解：因为𝐴、𝐶表示的数互为相反数，所以点𝐴、𝐶的中点是原点．原点向右第四个点是B，所以点B
表示的数是4．
故选：A．
【变式15-1】小宇同学在数轴上表示−3时，由于粗心，将−3画在了它相反数的位置并确定原点，要想把数
轴画正确，原点应（ ）
A．向左移6 个单位
B．向右移6 个单位
C．向左移3 个单位
D．向右移3 个单位
【答案】B
【分析】根据互为相反数的两个数到原点的距离相等解答．
【详解】解：∵−3的相反数是3，−3与3 到原点的距离相等，
∴要想把数轴画正确，原点应向右移6 个单位．
故选：B．
【点睛】本题考查了相反数的定义，数轴，熟练掌握互为相反数的两个数到原点的距离相等是解题的关键．
【变式15-2】数轴上，若A、B 表示互为相反数，A 在B 的右侧，并且这两点的距离为8，则点𝐴和点𝐵 所
表示的数分别是____ 和____ ．
【答案】
4
−4
【分析】本题考查了相反数和数轴的性质，根据相反数的定义和数轴上两点间距离的求法即可求解．
【详解】解：两点的距离为8，则点A、B 距离原点的距离都是4，
∵点A，B 互为相反数，A 在B 的右侧，
∴A、B 表示的数是4，−4．
故答案为：4，−4．
【变式15-3】（24-25 七年级上·江苏镇江·月考）如图，数轴上的点M，P，N，Q 分别表示四个有理数，若
点M，N 表示的有理数互为相反数，则图中表示正数的点的个数是_____个．
【答案】3
【分析】本题考查了数轴、相反数的几何意义，解决本题的关键是判断出原点的位置．
先利用相反数的几何意义确定原点为线段𝑀𝑁的中点，再根据原点右边的数为正数进行判断解答即可．
【详解】解：点M，N 表示的有理数互为相反数，
∴原点O 在𝑀𝑁的中点处，如图，
∴图中在原点O 右边的数为正数的点是P、N、Q 三个点．
故答案为：3．
【题型16 相反数简单计算】
【例16】（25-26 九年级上·重庆渝北·期末）若𝑎与−1互为相反数，则𝑎−2等于______．
【答案】−1
【分析】本题考查了相反数，代数式求值，解题的关键是熟练掌握互为相反数的两数和为0
根据相反数的定义，𝑎与−1的和为0，求出a 的值，再代入求值即可．
【详解】解：∵𝑎与−1互为相反数，
∴𝑎+ (−1) = 0，
解得𝑎= 1．
则𝑎−2 = 1−2 = −1．
故答案为：−1．
【变式16-1】（25-26 七年级上·四川成都·期中）若𝑚+ 1的相反数是−9，则𝑚的值为___________．
【答案】8
【分析】本题主要考查了相反数，解一元一次方程，熟练掌握以上知识是解题的关键．
根据相反数的定义，列出方程求解．
【详解】解：由题意，𝑚+ 1的相反数是−(𝑚+ 1)，且等于−9，
∴−(𝑚+ 1) = −9，
解得：𝑚= 8．
故答案为：8
【变式16-2】（25-26 七年级上·黑龙江伊春·期中）已知：a 是5 的相反数，b 比最小的正整数大4，c 是最
大的负整数，计算3𝑎+ 3𝑏+ 𝑐= ___________．
【答案】−1
【分析】本题考查了相反数的定义，有理数的相关概念，有理数的混合运算．
先根据条件求出a，b，c 的值，再代入代数式计算即可．
【详解】解：a 是5 的相反数，所以𝑎= −5；
b 比最小的正整数大4，最小的正整数是1，所以𝑏= 1 + 4 = 5；
c 是最大的负整数，所以𝑐= −1；
∴3𝑎+ 3𝑏+ 𝑐= 3 × (−5) +3 × 5 + (−1) = −15 + 15−1 = −1．
故答案为：−1．
【变式16-3】（25-26 七年级上·四川成都·期中）已知𝑎是最大的负整数，𝑏是2的相反数，𝑐是平方最小的有
理数，则3𝑎+ 2𝑏−𝑐的值为______．
【答案】−7
【分析】本题考查了有理数的运算，相反数，有理数概念等知识点，先根据条件求出𝑎、𝑏、𝑐 的值，再代
入表达式计算，正确求出𝑎、𝑏、𝑐的值是解题的关键．
【详解】解：∵𝑎是最大的负整数，𝑏是2的相反数，𝑐是平方最小的有理数，
∴𝑎= −1，𝑏= −2，𝑐= 0，
∴3𝑎+ 2𝑏−𝑐= 3 × (−1) +2 × (−2)−0 = −3 + (−4) +0 = −7，
故答案为：−7．
【题型17 互为相反数求值】
【例17】（25-26 七年级上·贵州毕节·期末）若1−2𝑥与−
1
2互为相反数，则x 的值为_________．
【答案】
1
4
【分析】本题主要考查了解一元一次方程，相反数的定义，互为相反数的两数之和为0，则1−2𝑥+ −
1
2
= 0，解方程即可得到答案．
【详解】解：∵1−2𝑥与−
1
2互为相反数，
∴1−2𝑥+ −
1
2 = 0，
∴1−2𝑥−
1
2 = 0，
解得𝑥=
1
4．
故答案为：
1
4．
【变式17-1】（25-26 六年级上·上海嘉定·期末）如果𝑎、𝑏互为相反数，那么代数式2025−2𝑎−2𝑏的值是
________．
【答案】2025
【分析】本题主要考查了相反数的定义，代数式求值，利用相反数的性质得出𝑎+ 𝑏= 0，代入代数式简化
计算即可得出答案．
【详解】解：∵a 和b 互为相反数，
∴𝑎+ 𝑏= 0．
代数式2025−2𝑎−2𝑏= 2025−2(𝑎+ 𝑏) = 2025−2 × 0 = 2025．
故答案为：2025．
【变式17-2】（25-26 七年级上·江西宜春·期末）如图是一个正方体的展开图，其中相对的面上的数字互为
相反数，则𝑥+ 𝑦的值是______．
【答案】−5
【分析】本题考查正方体展开图中相对面的识别及相反数的定义，关键是掌握正方体展开图中相对面的找
法：不相邻且呈“Z”字形或同行/同列隔一个面的两个面为相对面．先确定𝑥、𝑦的相对面，再利用相反数的定
义求出𝑥、𝑦的值，最后计算𝑥+ 𝑦．
【详解】解：根据正方体展开图的特征，可得𝑥与4 相对，𝑦与1 相对；
∵相对的面上的数字互为相反数，
∴𝑥= −4，𝑦= −1，
∴𝑥+ 𝑦= −4 + (−1) = −5；
故答案为：−5．
【变式17-3】（25-26 七年级上·湖北黄冈·期末）若−10与3𝑚+ 7互为相反数，则2𝑚−1 = ______．
【答案】1
【分析】本题考查了相反数的定义，一元一次方程的应用，掌握互为相反数的两个数的和为0 是解题关
键．根据相反数的意义列出方程，解出方程即可．
【详解】解：因为−10与3𝑚+ 7互为相反数，
所以−10 + (3𝑚+ 7) = 0．
化简得3𝑚−3 = 0，即3𝑚= 3，
解得𝑚= 1．
所以2𝑚−1 = 2 × 1−1 = 1．
故答案为：1．
知识点5 绝对值
1. 定义：一般地，数轴上表示数a 的点与原点的距离叫作数a 的绝对值，记作|𝑎|．
2. 绝对值的判断：一个正数的绝对值是它本身，一个负数的绝对值是它的相反数，0 的绝对值是0．即如果
𝑎> 0,那么|𝑎| = 𝒂；如果𝑎= 0，那么|𝑎| = 𝟎；如果𝑎< 0，那么|𝑎| = −𝒂．
3. 绝对值非负性的应用：根据绝对值的非负性“若几个非负数的和为0，则每一个非负数必为0”，即若|𝑎| +
|𝑏| = 0，则|𝑎| = 0且|𝑏| = 0．
【题型18 求数的绝对值】
【例18】（25-26 九年级下·河南驻马店·期中）5 的绝对值是（ ）
A．−5
B．5
C．± 5
D．0
【答案】B
【分析】根据正数的绝对值是它本身即可解答．
【详解】解：∵ 5 是正数，
∴5 的绝对值是5．
【变式18-1】（25-26 七年级下·河南驻马店·期中）|π−5| = _____________．
【答案】5−π/−𝜋+ 5
【分析】先判断π−5的正负性，再根据绝对值的性质化简即可得到结果.
【详解】解：∵π−5 < 0，
∴|π−5| = −(π−5) = 5−π.
【变式18-2】（25-26 七年级上·福建莆田·期末）|−2026|的相反数是_____．
【答案】
−2026
【分析】本题考查了绝对值的定义和相反数，先求出|−2026|的值，再根据相反数的定义求出相反数．
考点4
绝对值
【详解】解：|−2026| = 2026，
2026 的相反数是−2026．
故答案为：−2026．
【变式18-3】（25-26 七年级上·河南漯河·期末）计算：−|−(−2)−2| = ___________．
【答案】0
【分析】本题考查有理数的绝对值、相反数，掌握绝对值、相反数的有关概念是解题关键，先计算括号内
的负负得正，得到2，然后计算绝对值内的差值为0，绝对值为0，最后取负得0．
【详解】解：计算：−(−2) = 2，则原式变为 −|2−2|，
计算绝对值内：2−2 = 0，故 |0| = 0，
最后取负：−0 = 0，
故答案为 ：0．
【题型19 已知绝对值求数】
【例19】（25-26 七年级上·河南平顶山·期末）若|𝑥| = 3，则x 的值是_________．
【答案】3 或−3
【分析】本题主要考查了绝对值的意义，根据绝对值的定义，一个数的绝对值表示它到原点的距离，因此
方程|𝑥| = 3有两个解．
【详解】解：由绝对值的定义可知，|𝑥| = 3表示x 到原点的距离为3，
∴𝑥= 3或𝑥= −3．
故答案为：3 或−3．
【变式19-1】（25-26 七年级上·江苏无锡·期末）若|𝑥| = 5，|𝑦| = 7，且𝑥> 𝑦，则𝑥−𝑦的值是（ ）
A．−2或12
B．2 或−12
C．2 或12
D．−2或−12
【答案】C
【分析】本题主要考查了代数式求值，绝对值的定义和有理数比较大小，先根据绝对值的性质求出x、y 的
所有可能取值，再结合𝑥> 𝑦的条件筛选出符合的组合，最后计算𝑥−𝑦的值．
【详解】解：∵|𝑥| = 5，|𝑦| = 7，
∴𝑥=± 5，𝑦=± 7，
∵𝑥> 𝑦，
∴𝑥=± 5，𝑦= −7，
∴𝑥−𝑦= −5−(−7) = −5 + 7 = 2或𝑥−𝑦= 5−(−7) = 5 + 7 = 12，
故选：C．
【变式19-2】若|𝑥| = −𝑥，则x 一定是（ ）
A．负数
B．负数或零
C．零
D．正数
【答案】B
【分析】根据绝对值的定义即可判断x 的取值范围，需注意0 也满足条件．
【详解】解：若x 为负数，|𝑥| = −𝑥，满足条件；
若x 为0，|0| = 0 = −0，满足条件；
若x 为正数，|𝑥| = 𝑥，不满足|𝑥| = −𝑥；
∴x 一定是负数或零．
【变式19-3】（25-26 七年级上·陕西西安·期末）已知|𝑎| = 5,|𝑏| = 3，且𝑎𝑏> 0,𝑎+ 𝑏< 0，求𝑎+ 𝑏的值．
【答案】−8
【分析】本题考查根据绝对值求代数式的值，由|𝑎| = 5,|𝑏| = 3得𝑎=± 5，𝑏=± 3，由𝑎𝑏> 0,𝑎+ 𝑏< 0，确
定a，b 的值代入计算即可．
【详解】解：∵|𝑎| = 5,|𝑏| = 3，
∴𝑎=± 5，𝑏=± 3，
∵𝑎𝑏> 0,𝑎+ 𝑏< 0，
∴𝑎= −5，𝑏= −3，
∴𝑎+ 𝑏= (−5) + (−3) = −8．
【题型20 绝对值非负性应用】
【例20】（25-26 七年级上·安徽芜湖·期末）若|𝑎+ 3|与|𝑏−2|之和等于零，则(𝑎+ 𝑏)2026的值为( )
A．1
B．−1
C．0
D．−2
【答案】A
【分析】本题考查绝对值的非负性，利用“几个非负数的和为0，则每个非负数均为0”求出𝑎、𝑏的值，再代
入代数式计算即可．
【详解】解：∵|𝑎+ 3| ≥0，|𝑏−2| ≥0，且|𝑎+ 3| + |𝑏−2| = 0
∴𝑎+ 3 = 0，𝑏−2 = 0
解得𝑎= −3，𝑏= 2．
∴𝑎+ 𝑏= −3 + 2 = −1．
∴(𝑎+ 𝑏)2026 = (−1)2026 = 1．
故选：A．
【变式20-1】（25-26 七年级上·广东中山·期末）若|𝑎−2| + |𝑏+ 1| = 0，则𝑎𝑏= ______．
【答案】−2
【分析】本题考查了绝对值的非负性，代数式求值，熟练掌握绝对值的定义是解答本题的关键．
利用绝对值的非负性，根据两个非负数的和为零则每个数都为零，求出𝑎，𝑏的值，再代入式子即可求出最
后结果．
【详解】解：∵|𝑎−2| + |𝑏+ 1| = 0，
∴𝑎−2 = 0，𝑏+ 1 = 0，
∴𝑎= 2，𝑏= −1，
∴𝑎𝑏= 2 × (−1) = −2，
故答案为：−2．
【变式20-2】（25-26 六年级上·上海嘉定·期末）如果|𝑥−5| + |𝑦+ 4| = 0，那么𝑥−𝑦= ________．
【答案】9
【分析】本题考查了非负数的性质，求代数式的值，根据绝对值的非负性，两个绝对值的和为零，则每个
绝对值都为零，从而求出𝑥和𝑦的值，再计算𝑥−𝑦即可，熟练掌握非负数的性质是解此题的关键．
【详解】解：∵|𝑥−5| + |𝑦+ 4| = 0，且|𝑥−5| ≥0，|𝑦+ 4| ≥0，
∴𝑥−5 = 0，𝑦+ 4 = 0，
∴𝑥= 5，𝑦= −4，
∴𝑥−𝑦= 5−(−4) = 5 + 4 = 9，
故答案为：9．
【变式20-3】（25-26 七年级上·宁夏银川·期末）2025 年是中华人民共和国成立76 周年（也是中华全国总
工会成立100 周年），已知|𝑥+ 76| + (𝑦−100)2 = 0若𝑥，𝑦为有理数，则𝑥+ 2𝑦= ______
【答案】124
【分析】该题考查了非负数的性质，代数式求值，利用非负数的性质，绝对值和平方数均为非负数，它们
的和为零则每个部分均为零，从而求出x 和y 的值，再代入𝑥+ 2𝑦求解即可．
【详解】解：∵|𝑥+ 76| + (𝑦−100)2 = 0，
∴|𝑥+ 76| = 0,(𝑦−100)2 = 0，
解得：𝑥= −76,𝑦= 100，
则𝑥+ 2𝑦= −76 + 2 × 100 = −76 + 200 = 124．
故答案为：124．
【题型21 绝对值化简计算】
【例21】（25-26 七年级上·湖南怀化·期末）若三个有理数a，b，c，满足
|𝑎𝑏𝑐|
𝑎𝑏𝑐= 1，则
|𝑎|
𝑎+
|𝑏|
𝑏+
|𝑐|
𝑐−
|𝑎𝑏𝑐|
𝑎𝑏𝑐=
________．
【答案】2 或−2
【分析】本题考查了带有字母的绝对值化简问题，多个有理数的乘法运算，已知式子的值，求代数式的值，
分式的求值等知识点，解题关键是掌握上述知识点并能熟练运用求解．
根据题意，分a，b，c 均为正数与a，b，c 有两个负数和一个正数，两种情况，分别计算两种情况下表达式
的值．
【详解】解：因为
|𝑎𝑏𝑐|
𝑎𝑏𝑐= 1，所以𝑎𝑏𝑐> 0，
因此a，b，c 均为正数或有两个负数和一个正数．
当a，b，c 均为正数时，
|𝑎|
𝑎= 1，
|𝑏|
𝑏= 1，
|𝑐|
𝑐= 1，
|𝑎𝑏𝑐|
𝑎𝑏𝑐= 1，
所以原式= 1 + 1 + 1−1 = 2；
当a，b，c 有两个负数和一个正数时，
不妨设𝑎< 0， 𝑏< 0， 𝑐> 0，
则
|𝑎|
𝑎= −1，
|𝑏|
𝑏= −1，
|𝑐|
𝑐= 1，
|𝑎𝑏𝑐|
𝑎𝑏𝑐= 1，
所以原式= −1−1 + 1−1 = −2．
因此，原式的值为2 或−2，
故答案为：2 或−2．
【变式21-1】（25-26 七年级上·山东青岛·期末）有理数a，b，c 在数轴上的位置如图所示，则化简|𝑎−𝑏|−|𝑐−𝑎|
+ |𝑏|的结果是（ ）
A．2𝑎−2𝑏−𝑐
B．2𝑏−𝑐
C．2𝑎−𝑐
D．−𝑐
【答案】D
【分析】本题考查了有理数与数轴，绝对值的性质，整式的加减，由数轴得到的符号是解题的关键．由数
轴可得𝑎< 𝑏< 0 < 𝑐，即得𝑎−𝑏< 0，𝑐−𝑎> 0，再根据绝对值的性质化简即可求解．
【详解】解∶由数轴可得𝑎< 𝑏< 0 < 𝑐，
则𝑎−𝑏< 0，𝑐−𝑎> 0．
∴|𝑎−𝑏|−|𝑐−𝑎| + |𝑏|
= 𝑏−𝑎−(𝑐−𝑎) + (−𝑏)
= 𝑏−𝑎−𝑐+ 𝑎−𝑏
= −𝑐
故选∶D．
【变式21-2】（25-26 七年级上·江苏南京·期末）如果|𝑏| ≤4，那么|𝑏+ 4| + |𝑏−4|的值为（ ）．
A．2
B．4
C．8
D．10
【答案】C
【分析】本题考查绝对值的化简问题，能够熟练根据取值范围化简绝对值是解题的关键．
先根据|𝑏| ≤4，推出−4 ≤𝑏≤4，根据𝑏取值范围化简|𝑏+ 4| + |𝑏−4|即可．
【详解】解：∵|𝑏| ≤4，
∴−4 ≤𝑏≤4，
∴|𝑏+ 4| + |𝑏−4| = (𝑏+ 4) + −(𝑏−4) = 𝑏+ 4−𝑏+ 4 = 8．
故选：C．
【变式21-3】（25-26 七年级上·安徽合肥·月考）若|𝑎−4| = |𝑎| + |4|，则a 的值是（ ）
A．任意有理数
B．任意一个非负数
C．任意一个负数
D．任意一个非正数
【答案】D
【分析】本题考查绝对值性质．根据题意分情况讨论，当𝑎≥4时，当0 ≤𝑎< 4时，当𝑎< 0时，结合绝对
值性质求解．
【详解】解：∵|4| = 4，
∴原方程为|𝑎−4| = |𝑎| +4．
当𝑎≥4时，|𝑎−4| = 𝑎−4，|𝑎| = 𝑎，∴𝑎−4 ≠𝑎+ 4，不成立；
当0 ≤𝑎< 4时，|𝑎−4| = 4−𝑎，|𝑎| = 𝑎，∴4−𝑎= 𝑎+ 4，解得𝑎= 0；
当𝑎< 0时，|𝑎−4| = 4−𝑎，|𝑎| = −𝑎，∴ 4−𝑎= −𝑎+ 4，恒成立；
综上，当𝑎≤0时等式成立，故 a 是任意一个非正数；
故选：D．
【题型22 数轴结合绝对值】
【例22】如图，数轴上𝑂，𝐴，𝐵，𝐶四点，若数轴上有一点𝑀，点𝑀所表示的数为𝑚．且|𝑚+ 5| = |𝑚−𝑐|，
则关于𝑀点的位置，下列叙述正确的是（ ）
A．在𝐴点左侧
B．在线段𝐴𝐶上
C．在线段𝑂𝐶上
D．在线段𝑂𝐵上
【答案】B
【分析】本题考查了实数与数轴，熟知实数与数轴上各点是一一对应的关系是解答此题的关键．根据𝐴、𝐶、
𝑂、𝐵四点在数轴上的位置以及绝对值的定义即可得出答案．
【详解】解：∵点𝑀所表示的数为𝑚，点𝐴所表示的数为−5，点𝐶所表示的数为𝑐，
∴|𝑚+ 5|表示点𝑀与𝐴之间的距离，|𝑚−𝑐|表示点𝑀与点𝐶之间的距离，
|𝑚+ 5| = |𝑚−𝑐|，
∴𝑀𝐴= 𝑀𝐶，
∴点𝑀在线段𝐴𝐶上．
故选：B．
【变式22-1】（25-26 六年级上·上海普陀·期末）在数轴上，点𝐴表示的数是
1
3，到点𝐴的距离是2 个单位长度
的点𝐵所表示的数是______．
【答案】
7
3或−
5
3
【分析】本题考查了数轴上两点之间的距离，绝对值的几何意义，其他问题(一元一次方程的应用)等知识点，
解题关键是掌握上述知识点并能运用来求解．
分点B 在点A 右侧和左侧两种情况讨论，分别求出点B 表示的数．
【详解】解：设点B 表示的数为𝑥，
则点B 到点A 的距离为|𝑥−
1
3| = 2．
当点B 在点A 右侧时，𝑥−
1
3 = 2，
解得：𝑥=
7
3；
当点B 在点A 左侧时，𝑥−
1
3 = −2，
解得：𝑥= −
5
3．
故答案为：
7
3或−
5
3．
【变式22-2】（25-26 七年级上·河南南阳·期中）已知𝑎、𝑏是有理数，|𝑎| = −𝑎，|𝑏| = 𝑏，且|𝑎| > |𝑏| > 0，
用数轴上的点来表示𝑎，𝑏，正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】本题考查了绝对值的意义，由绝对值的意义可得𝑎< 0，𝑏> 0，进而得到数𝑎表示的点在原点左侧，
数𝑏表示的点在原点右侧，据此即可求解，掌握绝对值的意义是解题的关键．
【详解】解：∵|𝑎| = −𝑎，|𝑏| = 𝑏，且|𝑎| > |𝑏| > 0，
∴−𝑎> 0，𝑏> 0，
∴𝑎< 0，
∴数𝑎表示的点在原点左侧，数𝑏表示的点在原点右侧，
故选：C．
【变式22-3】（24-25 七年级上·广东广州·期末）一辆货车从百货大楼出发负责送货，向东走了4千米到达小
明家，继续走了1千米到达小红家，又向西走了10千米到达小刚家，最后回到百货大楼．
(1)以百货大楼为原点，以向东的方向为正方向，用1个单位长度表示1千米，请你在数轴上表示出小明、小
红、小刚家的位置．
(2)小明家与小刚家相距多远？
(3)若货车每千米耗油0.05升，那么这辆货车共耗油多少升？
【答案】(1)见解析
(2)9千米
(3)1 升
【分析】本题考查了数轴的实际应用、有理数的加减法运算以及路程与耗油量的计算．解题的关键是明确
正负数在数轴上表示的方向意义，准确计算各点的位置坐标，进而求出距离和总路程．
（1）以百货大楼为原点(0)，向东为正方向，根据货车行驶距离确定各点坐标：小明家为+4，小红家为
+5，小刚家为−5，再在数轴上标注．
（2）利用数轴上两点间距离公式（两点坐标差的绝对值），计算小明家( +4)与小刚家(−5)的距离．
（3）先求出货车行驶的总路程（各段路程绝对值之和），再根据每千米耗油量计算总耗油量．
【详解】（1）解：以百货大楼为原点，向东为正方向，1 个单位长度表示1 千米．
小明家：向东走4 千米，位置为+4；
小红家：从小明家继续向东走1 千米，位置为4 + 1 = +5；
小刚家：从小红家向西走10千米，位置为5−10 = −5．
如图表示小明家、小红家、小刚家：
．
（2）解：由（1）可知，小明家位置为+4，小刚家位置为−5．
两家相距为|4−(−5)| = |4 + 5| = 9（千米）．
答：小明家与小刚家相距9 千米．
（3）解：货车行驶的各段路程依次为：从百货大楼到小明家：4 千米；
从小明家到小红家：1 千米；
从小红家到小刚家：10千米；
从小刚家回到百货大楼：|−5−0| = 5千米．
总路程为4 + 1 + 10 + 5 = 20（千米）．
共耗油20 × 0.05 = 1（升）．
答：这辆货车共耗油1 升．
【题型23 绝对值简单求值】
【例23】（25-26 七年级上·河北秦皇岛·月考）计算：−5 + |−8|的结果是（ ）
A．3
B．−3
C．13
D．−13
【答案】A
【分析】本题考查了求绝对值，有理数的加法运算．
先计算绝对值，再进行加法运算．
【详解】解：−5 + |−8| = −5 + 8 = 3．
故选：A．
【变式23-1】（25-26 六年级上·山东威海·期末）−6的绝对值与4 的差，再加上−7，结果为______．
【答案】−5
【分析】按照题目描述的运算顺序逐步计算：先求绝对值，再算减法，最后算加法．
【详解】解：先计算−6的绝对值与4 的差：|−6|−4 = 2，
再将所得的差加上−7：2 + (−7) = 2−7 = −5．
【变式23-2】计算：|-5+3 |=_______
【答案】2
【详解】|-5+3|=|-2|=2，故答案为2.
【变式23-3】（25-26 七年级上·河南许昌·期末）计算：|
1
3 −
1
2| + |
1
4 −
1
3| +… + |
1
2025 −
1
2024|=______．
【答案】
2023
4050
【分析】本题考查绝对值的运算，有理数的加减运算，掌握好绝对值的非负性是关键．
根据绝对值的性质，去掉绝对值，然后计算即可．
【详解】解：|
1
3 −
1
2| + |
1
4 −
1
3| +… + |
1
2025 −
1
2024|，
=
1
2−
1
3 +
1
3−
1
4 +… +
1
2024−
1
2025，
=
1
2−
1
2025，
=
2023
4050．
故答案为：
2023
4050．
知识点6 有理数的大小比较
1. 利用数轴比较大小：在水平的数轴上表示有理数，它们从左到右的顺序，就是从小到大的顺序，即左边
的数小于右边的数．
2. 利用有理数的分类比较大小：一般地，正数大于0，0 大于负数，正数大于负数；两个负数，绝对值大的
反而小．
3. 作差法:若两数分别为a，b，𝑎−𝑏> 0，则𝑎> 𝑏；若𝑎−𝑏< 0，则𝑎< 𝑏；若𝑎−𝑏= 0，则𝑎= 𝑏．
【题型24 正负数直接比大小】
【例24】（25-26 七年级上·江苏无锡·期末）比0 小的数是（ ）
考点5
有理数的大小比较
A．0
B．−2
C．1
D．3
【答案】B
【分析】本题考查有理数的大小比较，依据负数小于0，正数大于0 的性质判断即可．
【详解】∵负数小于0，正数大于0，
又∵ −2是负数，1，3是正数，
∴−2 < 0,1 > 0,3 > 0,0 = 0,
∴比0 小的数是−2．
故选：B．
【变式24-1】（25-26 七年级上·广西玉林·期末）下列各数中，比2 大的数是（ ）
A．3
B．−2
C．−1
D．0
【答案】A
【分析】本题考查有理数的大小比较，依据有理数大小比较的法则判断各选项与2 的大小关系即可．
【详解】解：∵3 > 2，−2 < 2，−1 < 2，0 < 2，
∴比2 大的数是3，
故选：A
【变式24-2】（25-26 七年级上·江苏扬州·期末）比较大小：−3___________2（填“ >、<、= ”其中的一
个）．
【答案】＜
【详解】解：根据题意，得−3 < 2．
【变式24-3】（25-26 七年级上·湖南常德·期末）比较大小：−
3
5_________−−
1
2 ．
【答案】<
【分析】本题主要考查了有理数的大小比较．先化简−−
1
2 得到
1
2，然后比较负数−
3
5和正数
1
2，根据“正数大
于负数”即可解答．
【详解】解：∵−−
1
2 =
1
2，正数总是大于负数，
∴−
3
5 <
1
2，即−
3
5 < −−
1
2 ，
故答案为：< ．
【题型25 利用数轴比较数大小】
【例25】（25-26 七年级上·贵州贵阳·期末）如图，数轴上𝐴，𝐵两点表示的有理数分别为𝑎，𝑏，则𝑎与𝑏的大
小关系为𝑎_____𝑏（填“ > ”，“ < ”或“ = ”）．
【答案】<
【分析】本题考查了利用数轴比较有理数的大小，掌握在数轴上表示的两个数，右边的数总比左边的数
大．根据“在数轴上表示的两个数，右边的数总比左边的数大”直接作答即可．
【详解】解：观察数轴可知，𝑎< 0 < 𝑏，
∴𝑎< 𝑏．
故答案为：< ．
【变式25-1】（25-26 七年级上·辽宁鞍山·期末）如图，下列数中比数轴上点A 表示的数小的数是（ ）
A．−2
B．−1
C．0
D．1
【答案】A
【分析】本题考查了根据数轴比较有理数的大小．
根据数轴作答即可．
【详解】解：由数轴可知，−2 < 𝐴< −1 < 0 < 1，
即比数轴上点A 表示的数小的数是−2．
故选：A．
【变式25-2】（24-25 七年级上·广东肇庆·期中）已知有理数𝑎，𝑏，其中数𝑎在如图所示的数轴上对应点𝑀，𝑏
是负数，且𝑏在数轴上对应的点与原点的距离为3
(1)𝑎= ________，𝑏= ________．
(2)在数轴上标出表示−
5
2，0，−|−1|，−𝑏的点，并用“<“连接起来．
【答案】(1)2，−3
(2)见解析，−
5
2 < −|−1| < 0 < −𝑏
【分析】本题考查用数轴表示数，并比较有理数的大小．正确的表示出各数，是解题的关键．
（1）根据点在数轴上的位置，确定𝑎的值，根据绝对值的意义，确定𝑏的值；
（2）先在数轴上表示出各数，根据数轴上的数右边的比左边的大，进行判断即可．
【详解】（1）由图可知：𝑎= 2；
∵b 是负数，且b 在数轴上对应的点与原点的距离为3，
∴𝑏= −3；
故答案为：2,−3；
（2）数轴上表示各数，如图：
由图可知：−
5
2 < −|−1| < 0 < −𝑏
【变式25-3】如图,数轴上的两个点A．B 所表示的数分别为a、b,那么a,b,−a,−b 的大小关系是( )
A．b<−a<−b<a
B．a<−b<b<−a
C．b<−a<a<−b
D．b<−b<−a<a
【答案】B
【分析】根据相反数的意义，把-a、-b 先表示在数轴上，然后再比较它们的大小关系
【详解】根据相反数的意义，把−a、−b 表示在数轴上，
所以a<−b<b<−a.
故选B.
【点睛】本题考查数轴和有理数大小比较，解题的关键是掌握数轴和有理数大小比较.
【题型26 整数分数小数互比大小】
【例26】（25-26 六年级下·黑龙江绥化·期中）在
1
3、3.3、−33.3%、0.3 中，最大的数是(
)，最小的
数是(
)．
【答案】
3.3
−33.3%
【分析】将分数和百分数统一化为小数，再根据有理数大小比较法则比较各数的大小，即可得到结果．
【详解】解：
1
3 = 0.3333⋯，−33.3% = −0.333，
则−0.333 < 0.3 < 0.3333⋯< 3.3，即−33.3% < 0.3 <
1
3 < 3.3，
则最大的数是3.3，最小的数是−33.3%．
【变式26-1】（25-26 六年级上·四川成都·期末）比较大小：−
3
2_____−3，|−0.4| _____ −−
1
3 ．（填> 、<
或= ）
【答案】
>
>
【详解】解：比较−
3
2与−3，
|−
3
2| =
3
2，|−3| = 3，
因为
3
2 < 3，根据两个负数比较大小，绝对值大的反而小，
所以−
3
2 > −3；
比较|−0.4|与−−
1
3 ，
|−0.4| = 0.4 =
2
5，−−
1
3 =
1
3，
将
2
5与
1
3通分，
2
5 =
6
15，
1
3 =
5
15，
因为
6
15 >
5
15，根据正数比较大小，数值大的数更大，
所以|−0.4| > −−
1
3 ．
【变式26-2】（25-26 六年级下·黑龙江绥化·期中）在直线上描出几个点，分别表示五个数：4.5，−34，1，
−6，−0.2．其中，离0 最近的数是（ ）．
A．1
B．−6
C．−0.2
D．−34
【答案】C
【分析】一个数到0 的距离等于该数的绝对值，离0 最近的数就是绝对值最小的数，计算各数的绝对值后
比较大小即可得到结果．
【详解】解：|4.5| = 4.5，|−34| = 34，|1| = 1，|−6| = 6，|−0.2| = 0.2，
∵0.2 < 1 < 4.5 < 6 < 34，
∴−0.2的绝对值最小，即−0.2离0 最近．
【变式26-3】（24-25 六年级上·上海·期中）比较大小：−
2
3______−
3
4，−−1
3
5 ______−| +1.35|．（填
“ < ”、“ > ”或“ = ”）
【答案】
>
>
【分析】此题考查了比较有理数大小．根据正数大于负数，两个负数绝对值大的反而小，即可得到答案．
【详解】解：∵|−
2
3| =
2
3，|−
3
4| =
3
4，
2
3 <
3
4，
∴−
2
3 > −
3
4，
∵−−1
3
5 = 1
3
5，−| +1.35| = −1.35，1
3
5 > −1.35，
∴−−1
3
5 > −| +1.35|
故答案为：> ，>
【题型27 利用绝对值比较大小】
【例27】（25-26 七年级上·山东滨州·期末）在实际生产中，乒乓球的质量可能有误差，通常把比标准质量
大的克数记为正数，比标准质量小的克数记为负数．为了挑选最接近标准质量的乒乓球用于比赛，小杰同
学对6 个乒乓球进行编号后，称重记录如下表所示：
编号
1
2
3
4
5
6
称重
+0.03
−0.02
+0.05
−0.03
-0.04
+0.01
你认为小杰应该选几号乒乓球用于比赛？（ ）
A．2 号
B．3 号
C．5 号
D．6 号
【答案】D
【分析】本题考查了正数与负数、有理数的大小比较、绝对值，先求出绝对值，再找出绝对值最小的乒乓
球即可得解．
【详解】解：| +0.03| = 0.03，|−0.02| = 0.02，| +0.05| = 0.05，|−0.03| = 0.03，|−0.04| = 0.04，
| +0.01| = 0.01，
∵0.01 < 0.02 < 0.03 < 0.04 < 0.05，
∴小杰应该选6号乒乓球用于这次比赛，
故选：D．
【变式27-1】（25-26 七年级上·江苏徐州·阶段检测）比较大小：−
1
2___________−
1
3（填“ < ”或“ > ”）．
【答案】<
【分析】本题考查了有理数的大小比较，两个负数比较大小，绝对值大的反而小，据此求解即可．
【详解】解：∵|−
1
2| =
1
2 =
3
6 > |−
1
3| =
1
3 =
2
6，
∴−
1
2 < −
1
3，
故答案为：< ．
【变式27-2】（25-26 七年级上·广西崇左·期中）四个有理数−0.9，−4.1，0，0.001从小到大的顺序用“ < ”
连接_____．
【答案】−4.1 < −0.9 < 0 < 0.001
【分析】本题主要考查了有理数的大小比较，熟练掌握“正数大于0，0 大于负数，两个负数比较大小，绝对
值大的反而小”是解题的关键．根据有理数大小比较法则，先区分正、负、零，再比较负数的绝对值大小，
从而确定四个数的顺序．
【详解】解：∵|−4.1| = 4.1，|−0.9| = 0.9，且4.1 > 0.9，
∴−4.1 < −0.9，
又∵负数小于0 小于正数，
∴−4.1 < −0.9 < 0 < 0.001，
故答案为：−4.1 < −0.9 < 0 < 0.001．
【变式27-3】（25-26 七年级上·内蒙古呼和浩特·期末）下列各数按从小到大的顺序排列，正确的是（ ）
−3，+2，+5，0，−10，8
A．−3 < +2 < +5 < 0 < −10 < 8
B．−10 < −3 < 0 < +2 < +5 < 8
C．−3 < −10 < 0 < +2 < +5 < 8
D．0 < +2 < −3 < +5 < 8 < −10
【答案】B
【分析】本题考查了有理数的大小比较，比较数的大小，负数小于0，0 小于正数；负数中绝对值大的反而
小，正数中数值大的大，由此即可得出结果，熟练掌握有理数的大小比较规则是解此题的关键．
【详解】解：∵|−3| = 3，|−10| = 10，且3 < 10，
∴−10 < −3 < 0，
∴−10 < −3 < 0 < +2 < +5 < 8，
故选：B．
【题型28 有理数大小比较的实际应用】
【例28】（25-26 七年级上·安徽蚌埠·期末）衡量手机信号强弱的标准称为𝑅𝑆𝑅𝑃．信号的单位是dBm，范围
是−50dBm到−130dBm，数越大表示信号越强．则下列信号最强的是（）
A．−100
B．−80
C．−70
D．−60
【答案】D
【分析】本题考查有理数的大小比较，掌握知识点是解题的关键．
信号强度数值越大表示信号越强，选项均为负数，故数值越大（越接近零）的信号最强，即可解答．
【详解】解：∵信号强度数值越大表示信号越强，且−60 > −70 > −80 > −100，
∴信号最强的是−60．
故选：D．
【变式28-1】（25-26 七年级上·陕西安康·期末）凝固点是晶体物质凝固时的温度，则在标准大气压下，下
列物质凝固点最低的是（ ）
物质
铁
水银
乙醚
水
凝固点
1538℃
−38.83℃
−116.3℃
0℃
A．铁
B．水银
C．乙醚
D．水
【答案】C
【分析】本题考查了有理数的大小比较，掌握比较的方法是解决本题的关键．
比较各物质的凝固点数值，凝固点越低表示温度越低，故找出最小值即可
【详解】解：∵铁凝固点为1538℃，水银为−38.83℃，乙醚为−116.3℃，水为0℃，
∴−116.3 < −38.83 < 0 < 1538，
故乙醚凝固点最低．
故选C．
【变式28-2】（25-26 七年级上·山西吕梁·期末）某校开展体育测试，男生1000 米跑步的合格标准为3 分
30 秒，甲、乙、丙、丁四位男同学的成绩（超出标准的部分记为“ + ”．不足标准的部分记为“−”）如表所示，
则1000 米跑步成绩最好的是___________．
人员
甲
乙
丙
丁
成绩/秒
0.1
−0.2
−0.1
0.2
【答案】乙
【分析】本题考查了正负数的应用，有理数的大小比较，成绩中负值表示比标准时间快，正值表示比标准
时间慢，成绩的数值越小，表示用时越短，成绩越好．
比较各数大小后作答即可．
【详解】解：∵−0.2 < −0.1 < 0.1 < 0.2，
∴1000 米跑步成绩最好的是乙．
故答案为：乙．
【变式28-3】（25-26 六年级下·黑龙江哈尔滨·期中）科技改变世界，快递分拣机器人发展迅猛．据介绍，
这些机器人不仅可以自动规划最优路线，将包裹准确放入相应的格口，还会感应避让障碍物，自动归队取
包裹，没电的时候还会自己找充电桩充电．某分拣仓库计划平均每天分拣10万件包裹，但实际每天的分拣
量与计划相比会有出入．下表是该仓库3月份第三周分拣包裹的情况（超过计划量的部分记为正，未达到计
划量的部分记为负）．
星期
一
二
三
四
五
六
日
分拣情况（单位：万件）
+6
0
−4
+5
−1
+7
−6
(1)该仓库本周内分拣包裹数量最多的一天是星期几，最少的一天是星期几，最多的一天比最少的一天多分
拣了多少万件包裹？
(2)该仓库本周实际总共分拣了多少万件包裹？
【答案】(1)该仓库本周内分拣包裹数量最多的一天是星期六，最少的一天是星期日，最多的一天比最少的
一天多分拣了13万件包裹
(2)该仓库本周实际总共分拣了77万件包裹
【分析】（1）比较表中数据得到分拣最多和最少的星期，再由有理数加减运算得出最多比最少多分拣件数；
（2）根据表中记录数据，由有理数加减及乘法运算计算即可得到答案．
【详解】（1）解：∵−6 < −4 < −1 < 0 < +5 < +6 < +7，
∴本周内分拣最多的一天是周六，最少的一天是周日，
∴最多比最少多分拣10 + 7−(10−6) = 13（万件），
答：该仓库本周内分拣包裹数量最多的一天是星期六，最少的一天是星期日，最多的一天比最少的一天多
分拣了13万件包裹；
（2）解：( +6) +0 + (−4) + ( +5) + (−1) + ( +7) + (−6) = 7（万件），
10 × 7 + 7 = 77（万件），
答：该仓库本周实际总共分拣了77万件包裹．
