专题13.5 三角形的外角（举一反三讲义）
【新教材人教版】
【题型1 外角的定义与识别】................................................................................................................................1
【题型2 应用外角性质求角度】............................................................................................................................3
【题型3 外角性质与平行线的综合运用】............................................................................................................6
【题型4 外角性质与角平分线的综合运用】......................................................................................................10
【题型5 利用外角性质解决翻折中的问题】......................................................................................................15
【题型6 利用外角性质求三角板中角的度数】..................................................................................................19
【题型7 三角形外角的实际应用】......................................................................................................................23
【题型8 三角形的内角与外角的综合求角度】..................................................................................................26
【题型9 三角形的内角与外角的综合证明】......................................................................................................33
【题型10 利用方程思想解决内、外角计算】......................................................................................................41
【题型11 特定几何模型中的角度求和】..............................................................................................................51
【题型12 内外角性质的规律探究】......................................................................................................................55
知识点 三角形的外角
1.定义：三角形的一边与另一边的延长线组成的角，叫做三角形的外角．
2.性质：三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和．
3.三角形的外角和等于360°．
在 △ABC 中，∠ACD 是△ABC 的一个外角，∠ACD=∠CAB+∠ABC, ∠ACD+∠CBF+∠BAE=360°．
【题型1 外角的定义与识别】
【例1】下列关于△ABC 的外角的说法正确的是（ ）
考点1
三角形的外角
题型归纳
A．∠AFC 是△ABC 的外角
B．∠HBG 是△ABC 的外角
C．∠DCE 是△ABC 的外角
D．∠GBA 是△ABC 的外角
【答案】D
【解析】略
【变式1-1】在三角形的所有外角（每个顶点处只取一个外角）中，锐角最多有（ ）
A．3 个
B．2 个
C．1 个
D．0 个
【答案】C
【分析】本题考查了三角形的角；根据三角形内角和知，三角形最多有一个钝角，从而最多有一个锐角，
由此可确定答案．
【详解】解：由于三角形中最多只有一个钝角，否则若有两个钝角的话，根据钝角大于直角，则这两个内
角的和大于180°，与三角形内角和为180°矛盾；
此内角的补角是锐角，正好是三角形的外角，故锐角最多有1 个；
故选：C．
【变式1-2】下列说法正确的是（ ）
A．三角形的外角和为内角和的2 倍
B．三角形的外角和为180°
C．三角形的外角中只有一个钝角
D．三角形的外角中可以有两个直角
【答案】A
【分析】依据三角形的内角与外角进行判断，即可得出结论．
【详解】解：A、三角形的外角和为内角和的2 倍，故本选项正确；
B、三角形的外角和为360°，不是180°，故本选项错误；
C、三角形的外角中至少有两个钝角，故本选项错误；
D、三角形的外角中不可以有两个直角，故本选项错误；
故选：A．
【点睛】本题主要考查了三角形的内角和与外角和．多边形的外角和指每个顶点处取一个外角，则n 边形
取n 个外角，无论边数是几，其外角和永远为360°．
【变式1-3】如图所示，下列说法错误的是（ ）
A．∠ADC 是△ABD 的一个外角，也是△ADC 的一个内角；
B．∠AEB 是△AEB 的一个内角，也是△AEF 的一个内角；
C．∠ABF 是△ABF 的一个内角，也是△AEF 的一个外角；
D．∠C 是△ABC 的一个内角，也是△ADC 的一个内角；
【答案】C
【分析】根据三角形内角、外角的定义逐项判断即可．
【详解】解：A、∠ADC 是△ABD 的一个外角，也是△ADC 的一个内角，正确；
B、∠AEB 是△AEB 的一个内角，也是△AEF 的一个内角，正确；
C、∠ABF 是△ABF 的一个内角，但不是△AEF 的一个外角，原说法错误；
D、∠C 是△ABC 的一个内角，也是△ADC 的一个内角，正确；
故选：C．
【点睛】本题考查了三角形内角、外角的识别，熟知三角形的一条边与另一条边的延长线组成的角叫做三
角形的外角是解题的关键．
【题型2 应用外角性质求角度】
【例2】如图，∠1 = 70°，直线a 平移后得到直线b，则∠2的度数比∠3的度数大（ ）
A．50°
B．70°
C．110°
D．180°
【答案】C
【分析】由对顶角相等可得∠5 = ∠3，由平移的性质可得𝑎∥𝑏，从而得出∠4 = 110°，由三角形外角的定义
及性质可得∠2 = ∠3 + 110°，即可得出结果．
【详解】解：如图：
由对顶角相等可得∠5 = ∠3，
∵直线a 平移后得到直线b，
∴𝑎∥𝑏，
∴∠4 = 180°−∠1 = 110°，
∵∠2 = ∠5 + ∠4 = ∠3 + 110°，
∴∠2−∠3 = ∠3 + 110°−∠3 = 110°．
【变式2-1】如图，在Rt △𝐴𝐵𝐶中，∠𝐴= 90°，且外角∠𝐴𝐵𝐷= 130°，则外角∠𝐴𝐶𝐸的度数是（ ）
A．110°
B．120°
C．130°
D．140°
【答案】D
【分析】根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和列式计算即可得解．
【详解】解：由三角形的外角的性质得，∠𝐴𝐵𝐷= ∠𝐴+ ∠𝐴𝐶𝐵，
∴∠𝐴𝐶𝐵= ∠𝐴𝐵𝐷−∠𝐴= 130°−90° = 40°，
∵∠𝐴𝐶𝐸+ ∠𝐴𝐶𝐵= 180°，
∴∠𝐴𝐶𝐸= 180°−∠𝐴𝐶𝐵= 180°−40° = 140°，
故选：D．
【点睛】本题考查了三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和的性质，熟记性质是解题的关键．
【变式2-2】（25-26 八年级上·广东珠海·阶段检测）如图，两根竹竿𝐴𝐵和𝐵𝐷斜靠在墙𝐶𝐸上，量得∠𝐶𝐷𝐵,∠𝐶𝐴𝐵
的度数分别为57°,38°，则这两根竹竿的夹角∠𝐴𝐵𝐷的度数是_______ °．
【答案】19
【分析】本题考查三角形的外角，根据三角形的外角的性质，进行求解即可．
【详解】解：由图可知：∠𝐶𝐷𝐵为△𝐴𝐵𝐷的一个外角，
∴∠𝐶𝐷𝐵= ∠𝐶𝐴𝐵+ ∠𝐴𝐵𝐷，
∵∠𝐶𝐷𝐵,∠𝐶𝐴𝐵的度数分别为57°,38°，
∴∠𝐴𝐵𝐷= 57°−38° = 19°；
故答案为：19
【变式2-3】（25-26 八年级上·广西柳州·期中）如图，已知∠𝐵𝐷𝐶= 98°，∠𝐶= 38°，∠𝐵= 23°，则∠𝐴的度
数为_____．
【答案】37°/37 度
【分析】本题考查了三角形外角的性质，熟练掌握三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和是解
题的关键．延长𝐵𝐷交𝐴𝐶于点𝐸，根据三角形外角的性质即可求解．
【详解】解：如图，延长𝐵𝐷交𝐴𝐶于点𝐸，
∵∠𝐵𝐷𝐶= ∠𝐶+ ∠𝐶𝐸𝐵，
∴∠𝐶𝐸𝐵= ∠𝐵𝐷𝐶−∠𝐶= 98°−38° = 60°，
∵∠𝐶𝐸𝐵= ∠𝐴+ ∠𝐵，
∴∠𝐴= ∠𝐶𝐸𝐵−∠𝐵= 60°−23° = 37°．
故答案为：37°．
【题型3 外角性质与平行线的综合运用】
【例3】（24-25 七年级下·湖北十堰·期末）如图，已知𝐴𝐵∥𝐶𝐷，点𝐸是𝐴𝐵上方一点，点𝑀、𝑁分别在直线
𝐴𝐵、𝐶𝐷上，连结𝐸𝑀、𝐸𝑁，𝑀𝐹平分∠𝐴𝑀𝐸，𝐺是𝑀𝐹的反向延长线上一点，𝐸𝑁平分∠𝐶𝑁𝐺，若∠𝐸𝑁𝐶= 80°，
∠𝐺= 45°，则①∠𝐺𝑁𝐷的度数为_____；②∠𝐸的度数为_____．
【答案】
20°
30°
【分析】本题考查了平行线的判定和性质，三角形外角的性质，角的平分线，熟练掌握平行线的判定和性
质是解题的关键．过G 作𝐺𝑆∥𝐴𝐵，得𝐴𝐵∥𝐶𝐷∥𝐺𝑆，利用平行线的性质，三角形外角性质，角的平分线解
答即可．
【详解】解：如图，过G 作𝐺𝑆∥𝐴𝐵，
∵𝐴𝐵∥𝐶𝐷，
∴𝐴𝐵∥𝐶𝐷∥𝐺𝑆，
∴∠𝐵𝑀𝐺= ∠𝑀𝐺𝑆，∠𝐷𝑁𝐺= ∠𝑁𝐺𝑆，
∵∠𝑀𝐺𝑁= ∠𝑀𝐺𝑆+ ∠𝑁𝐺𝑆，
∴∠𝑀𝐺𝑁= ∠𝐵𝑀𝐺+ ∠𝐷𝑁𝐺．
∵𝑀𝐹平分∠𝐴𝑀𝐸，𝐸𝑁平分∠𝐶𝑁𝐺，
∴∠𝐴𝑀𝐹= ∠𝐸𝑀𝐹= ∠𝐵𝑀𝐺，∠𝐶𝑁𝐸= ∠𝐺𝑁𝐸，
∵∠𝐸𝑁𝐶= 80°，
∴∠𝐶𝑁𝐸= ∠𝐺𝑁𝐸= 80°，
∴∠𝐺𝑁𝐷= 180°−∠𝐶𝑁𝐸−∠𝐺𝑁𝐸= 20°．
∵∠𝑀𝐺𝑁= 45°，
∴∠𝐵𝑀𝐺= ∠𝑀𝐺𝑁−∠𝐷𝑁𝐺= 25°．
∴∠𝐴𝑀𝐹= ∠𝐸𝑀𝐹= ∠𝐵𝑀𝐺= 25°，
∴∠𝐴𝑀𝐸= ∠𝐴𝑀𝐹+ ∠𝐸𝑀𝐹= 50°，
∵𝐴𝐵∥𝐶𝐷，
∴∠𝐶𝑁𝐸= ∠𝐸𝐴𝑇= 80°，
∵∠𝐸𝐴𝑇= ∠𝐸+ ∠𝐸𝑀𝐴，
∴∠𝐸= 80°−∠𝐸𝑀𝐴= 30°，
故答案为：20°，30°．
【变式3-1】（25-26 九年级下·四川南充·期中）在如图的“标准的箭头”中，𝐴𝐵∥
𝐶𝐷,∠𝐵= ∠𝐷= 80°,∠𝐺= 66°，则∠𝐸与∠𝐹的度数都是（ ）
A．43°
B．44°
C．46°
D．47°
【答案】D
【分析】延长𝐴𝐵,𝐶𝐷分别交𝐸𝐺,𝐹𝐺于点H，Q，过点G 作𝐺𝑀∥𝐴𝐻，则𝐺𝑀∥𝐴𝐻∥𝐶𝑄，由题意得，该“标准的箭
头”是轴对称图形，则𝑀𝐺所在直线为对称轴，故𝐺𝑀平分∠𝐸𝐺𝐹，得∠𝐸𝐺𝑀= ∠𝐹𝐺𝑀= 33°，再根据平行线的
性质结合三角形外角的性质即可求解．
【详解】解：延长𝐴𝐵,𝐶𝐷分别交𝐸𝐺,𝐹𝐺于点H，Q，过点G 作𝐺𝑀∥𝐴𝐻，则𝐺𝑀∥𝐴𝐻∥𝐶𝑄，
由题意得，该“标准的箭头”是轴对称图形，则𝑀𝐺所在直线为对称轴，故𝐺𝑀平分∠𝐸𝐺𝐹，
∵∠𝐸𝐺𝐹= 66°，
∴∠𝐸𝐺𝑀= ∠𝐹𝐺𝑀= 33°，
∴∠𝐸𝐻𝐵= ∠𝐸𝐺𝑀= 33°，∠𝐹𝑄𝐷= ∠𝐹𝐺𝑀= 33°，
∵∠𝐴𝐵𝐸= ∠𝐶𝐷𝐹= 80°，
∴∠𝐸= ∠𝐴𝐵𝐸−∠𝐸𝐻𝐵= 47°,∠𝐹= ∠𝐶𝐷𝐹−∠𝐹𝑄𝐷= 47°，
∴∠𝐸与∠𝐹的度数都是47°．
【变式3-2】（2026·安徽宿州·一模）如图，𝐴𝐸是∠𝐵𝐴𝐶内部的一条射线，已知𝐶𝐷∥𝐵𝐸，则∠𝐴𝐶𝐷+ ∠𝐵𝐴𝐶+ ∠𝐴𝐵𝐸
的度数为（ ）
A．180°
B．160°
C．150°
D．140°
【答案】A
【分析】由平行线的性质得到∠𝐴𝐸𝐵= ∠𝐶𝐷𝐸，结合三角形外角的性质，可推得∠𝐴𝐸𝐵= ∠𝐴𝐶𝐷+ ∠𝐶𝐴𝐸，即
可根据∠𝐴𝐶𝐷+ ∠𝐵𝐴𝐶+ ∠𝐴𝐵𝐸= ∠𝐴𝐶𝐷+ ∠𝐶𝐴𝐸+ ∠𝐵𝐴𝐸+ ∠𝐴𝐵𝐸，得到结论．
【详解】解： ∵𝐶𝐷∥𝐵𝐸，
∴∠𝐴𝐸𝐵= ∠𝐶𝐷𝐸，
∵∠𝐶𝐷𝐸= ∠𝐴𝐶𝐷+ ∠𝐶𝐴𝐸，
∴∠𝐴𝐸𝐵= ∠𝐴𝐶𝐷+ ∠𝐶𝐴𝐸，
∴∠𝐴𝐶𝐷+ ∠𝐵𝐴𝐶+ ∠𝐴𝐵𝐸
= ∠𝐴𝐶𝐷+ ∠𝐶𝐴𝐸+ ∠𝐵𝐴𝐸+ ∠𝐴𝐵𝐸
= (∠𝐴𝐶𝐷+ ∠𝐶𝐴𝐸) + ∠𝐵𝐴𝐸+ ∠𝐴𝐵𝐸
= ∠𝐴𝐸𝐵+ ∠𝐵𝐴𝐸+ ∠𝐴𝐵𝐸
= 180°．
【变式3-3】将北斗七星的大致位置画到纸上，分别标为𝐴，𝐵，𝐶，𝐷，𝐸，𝐹，𝐺，然后将𝐴，𝐵，𝐶，𝐷，𝐸，
𝐹，𝐴顺次连接（如图所示），设𝐴𝐹恰好经过点𝐺，且𝐵，𝐺，𝐶在一条直线上，已知𝐴𝐹∥𝐷𝐸，∠𝐶𝐷𝐸= 105°，
∠𝐸= 114°，∠𝐵𝐶𝐷= 120°．
（1）∠𝐹的度数为________；
（2）连接𝐴𝐷，若𝐴𝐷∥𝐵𝐶，则∠𝐷𝐴𝐹的度数为________．
【答案】
66°
15°
【分析】（1）直接根据两直线平行，同旁内角互补即可得到答案；
（2）延长𝐷𝐶交𝐴𝐹于𝐻，由两直线平行，同旁内角互补可得∠𝐴𝐷𝐶= 60°，∠𝐷𝐻𝐹= 75°，再由三角形外角的
性质进行计算即可得到答案．
【详解】解：（1）∵ 𝐴𝐹∥𝐷𝐸，
∴∠𝐸+ ∠𝐹= 180°，
∵ ∠𝐸= 114°，
∴∠𝐹= 180°−∠𝐸= 180°−114° = 66°，
故答案为：66°；
（2）如图，延长𝐷𝐶交𝐴𝐹于𝐻，
∵ 𝐴𝐷∥𝐵𝐶，𝐴𝐹∥𝐷𝐸，
∴∠𝐴𝐷𝐶+ ∠𝐵𝐶𝐷= 180°，∠𝐶𝐷𝐸+ ∠𝐷𝐻𝐹= 180°，
∵ ∠𝐶𝐷𝐸= 105°，∠𝐵𝐶𝐷= 120°，
∴∠𝐴𝐷𝐶= 180°−∠𝐵𝐶𝐷= 60°，∠𝐷𝐻𝐹= 180°−∠𝐶𝐷𝐸= 75°，
∵∠𝐷𝐻𝐹= ∠𝐷𝐴𝐹+ ∠𝐴𝐷𝐻，
∴∠𝐷𝐴𝐹= ∠𝐷𝐻𝐹−∠𝐴𝐷𝐻= 75°−60° = 15°，
故答案为：15°．
【点睛】本题主要考查了平行线的性质，三角形外角的性质，熟练掌握两直线平行，同旁内角互补，是解
题的关键．
【题型4 外角性质与角平分线的综合运用】
【例4】（24-25 七年级下·江苏苏州·阶段检测）如图，在△𝐴𝐵𝐶中，∠𝐹= 18°，𝐵𝐷、𝐶𝐷分别平分∠𝐴𝐵𝐶、
∠𝐴𝐶𝐵，M、N、Q 分别在𝐷𝐵、𝐷𝐶、𝐵𝐶的延长线上，𝐵𝐸、𝐶𝐸分别平分∠𝑀𝐵𝐶、∠𝐵𝐶𝑁，𝐵𝐹、𝐶𝐹分别平分
∠𝐸𝐵𝐶、∠𝐸𝐶𝑄，则∠𝐴等于（
）
A．36°
B．48°
C．52°
D．60°
【答案】A
【分析】本题主要考查了三角形内角和定理、三角形外角和角平分线的性质，解题关键是熟练掌握三角形
内角和定理、三角形外角和角平分线的性质．
根据三角形外角的性质和角平分线的定义求出∠𝐸，利用三角形的内角和定理求出∠5 + ∠6 + ∠1，得到
∠𝑀𝐵𝐶+ ∠𝑁𝐶𝐵，从而求出∠𝐷𝐵𝐶+ ∠𝐷𝐶𝐵，再次利用角平分线的性质与三角形的内角和定理进行解答即可．
【详解】解：如图所示：
∵𝐵𝐹、𝐶𝐹分别平分∠𝐸𝐵𝐶、∠𝐸𝐶𝑄，
∴∠5 = ∠6，∠2 = ∠3 + ∠4，
∵∠3 + ∠4 = ∠5 + ∠𝐹，2∠2 = 2∠5 + ∠𝐸，
∴2∠𝐹= ∠𝐸= 36°，
∵𝐵𝐸、CE 分别平分∠𝑀𝐵𝐶、∠𝐵𝐶𝑁，
∴∠5 + ∠6 =
1
2∠𝑀𝐵𝐶,∠1 =
1
2∠𝑁𝐶𝐵，
∴∠5 + ∠6 + ∠1 =
1
2(∠𝑀𝐵𝐶+ ∠𝑁𝐶𝐵)，
∵∠𝐸= 180∘−(∠5 + ∠6 + ∠1) = 36°，
∴∠5 + ∠6 + ∠1 = 144°，
∴∠𝑀𝐵𝐶+ ∠𝑁𝐶𝐵= 2(∠5 + ∠6 + ∠1) = 288°，
∵𝐵𝐷、𝐶𝐷分别平分∠𝐴𝐵𝐶、∠𝐴𝐶𝐵，
∴∠𝐷𝐵𝐶=
1
2∠𝐴𝐵𝐶,∠𝐷𝐶𝐵=
1
2∠𝐴𝐶𝐵，
∴∠𝐷𝐵𝐶+ ∠𝐷𝐶𝐵= 180∘−∠𝑀𝐵𝐶+ 180∘−∠𝑁𝐶𝐵= 360∘−(∠𝑀𝐵𝐶+ ∠𝑁𝐶𝐵) = 72°，
∴∠𝐴= 180∘−2(∠𝐷𝐵𝐶+ ∠𝐷𝐶𝐵) = 180°−2 × 72° = 36°，
故选：A．
【变式4-1】（25-26 八年级下·山东烟台·期中）如图，在三角形𝐴𝐵𝐶中，𝐵𝐷平分∠𝐴𝐵𝐶，点E 在𝐴𝐶边上，𝐸𝐹⊥𝐵𝐶
于点F．𝐸𝑀平分∠𝐴𝐸𝐹交𝐴𝐵的延长线于点M．若∠𝐶𝐵𝐷= ∠𝑀，∠𝐴𝐷𝐵= 65°，则∠𝐶的度数为（ ）
A．20°
B．30°
C．40°
D．50°
【答案】C
【分析】先证明𝐵𝐷∥𝑀𝐸，得出∠𝐴𝐷𝐵= ∠𝐴𝐸𝑀= 65°，根据角平分线的定义得出
∠𝐴𝐸𝐹= 2∠𝐴𝐸𝑀= 2 × 65° = 130°，根据三角形外角的性质得出∠𝐶= ∠𝐴𝐸𝐹−∠𝐸𝐹𝐶= 130°−90° = 40°．
【详解】解：∵𝐵𝐷平分∠𝐴𝐵𝐶，
∴∠𝐴𝐵𝐷= ∠𝐶𝐵𝐷，
∵∠𝐶𝐵𝐷= ∠𝑀，
∴∠𝐴𝐵𝐷= ∠𝑀，
∴𝐵𝐷∥𝑀𝐸，
∴∠𝐴𝐷𝐵= ∠𝐴𝐸𝑀= 65°，
∵𝐸𝑀平分∠𝐴𝐸𝐹，
∴∠𝐴𝐸𝐹= 2∠𝐴𝐸𝑀= 2 × 65° = 130°，
∵𝐸𝐹⊥𝐵𝐶，
∴∠𝐸𝐹𝐶= 90°，
∴∠𝐶= ∠𝐴𝐸𝐹−∠𝐸𝐹𝐶= 130°−90° = 40°．
【变式4-2】（25-26 八年级上·甘肃平凉·期末）如图，𝐴1是△𝐴𝐵𝐶的内角∠𝐴𝐵𝐶和∠𝐴𝐶𝐷的平分线的交点，𝐴2
是△𝐴1𝐵𝐶的内角∠𝐴1𝐵𝐶和∠𝐴1𝐶𝐷的平分线的交点，同样点𝐴𝑛+1是△𝐴𝑛𝐵𝐶的内角∠𝐴𝑛𝐵𝐶和∠𝐴𝑛𝐶𝐷的平分线
的交点，若∠𝐴= 𝛼，则∠𝐴2026 = ________．
【答案】
𝛼
22026
【分析】本题是找规律的题目，主要考查了三角形的外角性质及三角形的内角和定理，同时考查了角平分
线的定义．解答的关键是掌握外角和内角的关系．
根据角平分线的定义，三角形的外角性质及三角形的内角和定理可知∠𝐴1 =
1
2𝑥°，∠𝐴2 =
1
2∠𝐴1 =
1
22𝑥°，…，
依此类推可知∠𝐴𝑛的度数．
【详解】解：∵∠𝐴𝐵𝐶和∠𝐴𝐶𝐷的平分线交于点𝐴1，
∴∠𝐴1𝐵𝐶=
1
2∠𝐴𝐵𝐶，∠𝐴1𝐶𝐷=
1
2𝐴𝐶𝐷，
∵∠𝐴𝐶𝐷= ∠𝐴+ ∠𝐴𝐵𝐶，∠𝐴1𝐶𝐷= ∠𝐴1 +∠𝐴1𝐵𝐶，
∴∠𝐴1 = ∠𝐴1𝐶𝐷−∠𝐴1𝐵𝐶
= 1
2 ∠𝐴𝐶𝐷−1
2 ∠𝐴𝐵𝐶
= 1
2 ∠𝐴+ 1
2 ∠𝐴𝐵𝐶−1
2 ∠𝐴𝐵𝐶
= 1
2 ∠𝐴
=
1
2𝛼；
同理可得，∠𝐴2 =
1
2∠𝐴1 =
1
22𝛼，
…，
∴∠𝐴𝑛=
1
2𝑛𝛼，
∴∠𝐴2026 =
𝛼
22026
故答案为：
𝛼
22026．
【变式4-3】（24-25 七年级下·山东潍坊·期末）如图1，△𝑃𝑀𝑁为直角三角形，∠𝑀𝑃𝑁= 90°．△𝐴𝐵𝐶的两
顶点B，C 分别在直角边𝑃𝑀，𝑃𝑁上，且P 点在△𝐴𝐵𝐶内．
(1)若∠𝐴= 40°，则∠𝐴𝐵𝐶+ ∠𝐴𝐶𝐵= ______度，∠𝐴𝐵𝑃+ ∠𝐴𝐶𝑃= ______度；
(2)如图2，连接𝐴𝑃，若∠𝐴𝐵𝑃+ ∠𝐴𝐶𝑃+ 2∠𝐵𝐴𝑃= 90°，试说明𝐴𝑃平分∠𝐵𝐴𝐶；
(3)请判断点P 是否满足𝐵𝑃平分∠𝐴𝐵𝐶且𝐶𝑃平分∠𝐴𝐶𝐵，并说明理由．
【答案】(1)140；50
(2)见解析
(3)不能满足𝐵𝑃平分∠𝐴𝐵𝐶且𝐶𝑃平分∠𝐴𝐶𝐵
【分析】本题考查三角形内角和定理、三角形外角的性质及角平分线的定义，熟练掌握三角形内角和为180°
是解题关键．
（1）连接𝐴𝑃并延长到点G，利用三角形内角和定理，三角形的外角和定理，角的和证明即可．
（2）连接𝐴𝑃并延长交𝐵𝐶点G，根据结论（1），结合角的平分线定义解答即可．
（3）根据𝐵𝑃平分∠𝐴𝐵𝐶且𝐶𝑃平分∠𝐴𝐶𝐵，则∠𝑃𝐵𝐶+ ∠𝑃𝐶𝐵= 90°，故
1
2∠𝐴𝐵𝐶+
1
2∠𝐴𝐶𝐵= 90°，故
∠𝐴𝐵𝐶+ ∠𝐴𝐶𝐵= 180°，不满足三角形内角和定理，解答即可．
【详解】（1）连接𝐴𝑃并延长交𝐵𝐶点G，
根据题意，得∠𝐵𝑃𝐺= ∠𝐴𝐵𝑃+ ∠𝐵𝐴𝐺,∠𝐶𝑃𝐺= ∠𝐴𝐶𝑃+ ∠𝐶𝐴𝑃，
∵∠𝐵𝑃𝐶= ∠𝐵𝑃𝐺+ ∠𝐶𝑃𝐺，
∴∠𝐵𝑃𝐶= ∠𝐴𝐵𝑃+ ∠𝐴𝐶𝑃+ ∠𝐵𝐴𝐶．
∵∠𝑀𝑃𝑁= 90°，∠𝐵𝐴𝐶= 40°，
∴∠𝐴𝐵𝑃+ ∠𝐴𝐶𝑃= ∠𝐵𝑃𝐶−∠𝐵𝐴𝐶= 50°，∠𝐴𝐵𝐶+ ∠𝐴𝐶𝐵= 180°−∠𝐵𝐴𝐶= 140°，
故答案为：140,50．
（2）解：连接𝐴𝑃并延长交𝐵𝐶点G，
根据题意，得∠𝐵𝑃𝐺= ∠𝐴𝐵𝑃+ ∠𝐵𝐴𝐺,∠𝐶𝑃𝐺= ∠𝐴𝐶𝑃+ ∠𝐶𝐴𝑃，
∵∠𝐵𝑃𝐶= ∠𝐵𝑃𝐺+ ∠𝐶𝑃𝐺，
∴∠𝐵𝑃𝐶= ∠𝐴𝐵𝑃+ ∠𝐴𝐶𝑃+ ∠𝐵𝐴𝐶．
∵∠𝐴𝐵𝑃+ ∠𝐴𝐶𝑃+ 2∠𝐵𝐴𝑃= 90°，∠𝐴𝐵𝑃+ ∠𝐴𝐶𝑃+ ∠𝐵𝐴𝐶= 90°,
∴2∠𝐵𝐴𝑃= ∠𝐵𝐴𝐶，
∴2∠𝐵𝐴𝑃= ∠𝐵𝐴𝑃+ ∠𝐶𝐴𝑃，
∴∠𝐵𝐴𝑃= ∠𝐶𝐴𝑃，
故𝐴𝑃平分∠𝐵𝐴𝐶．
（3）解：不能满足𝐵𝑃平分∠𝐴𝐵𝐶且𝐶𝑃平分∠𝐴𝐶𝐵．
若𝐵𝑃平分∠𝐴𝐵𝐶且𝐶𝑃平分∠𝐴𝐶𝐵，
则∠𝑃𝐵𝐶+ ∠𝑃𝐶𝐵= 90°，
故
1
2∠𝐴𝐵𝐶+
1
2∠𝐴𝐶𝐵= 90°，
故∠𝐴𝐵𝐶+ ∠𝐴𝐶𝐵= 180°，
不满足三角形内角和定理，
故不能满足𝐵𝑃平分∠𝐴𝐵𝐶且𝐶𝑃平分∠𝐴𝐶𝐵．
【题型5 利用外角性质解决翻折中的问题】
【例5】将图（1）中的长方形纸片𝐴𝐵𝐶𝐷沿𝐸𝐹翻折得到图（2），再将图（2）中的四边形𝐶𝐷𝐺𝐹沿𝐹𝐺翻折得
到图（3）．在图（3）中，下列四个结论：①∠𝐸𝐺𝐵= 2∠𝐸𝐹𝐺；②𝐸𝐹∥𝐶𝐷；③∠𝐸𝐻𝐺= 3∠𝐸𝐹𝐵；④
∠𝐴𝐸𝐺−∠𝐹𝐸𝐺= ∠𝐸𝐹𝐶．
其中正确的结论是________（填写序号）．
【答案】①③④
【分析】本题主要考查了平行线的性质，折叠的性质．延长𝐴𝐸交𝐶𝐹于点M，延长𝐵𝐹至点K，延长𝐸𝐺至点
P，过点F 作𝐹𝑄∥𝐺𝑃，由折叠的性质得：∠𝑀𝐻𝐹= ∠𝐹𝐸𝐺，再由平行线的性质可得∠𝐸𝐹𝐺= ∠𝐹𝐸𝐺，然后结
合三角形外角的性质，可判断①；根据𝐴𝐸∥𝐵𝐹，可得∠𝐴𝐸𝐹= ∠𝐸𝐹𝐾= 180°−∠𝐸𝐹𝐺，由折叠的性质得：
∠𝐸𝐹𝑄= ∠𝐸𝐹𝐾，∠𝐺𝐹𝑄= ∠𝐶𝐹𝐺，再由𝑃𝐺∥𝐹𝑄，可得∠𝐶𝐹𝐺= ∠𝐺𝐹𝑄= 180°−2∠𝐸𝐹𝐺，从而得到
∠𝐶𝐹𝐸= 180°−3∠𝐸𝐹𝐺，从而得到∠𝐶𝐹𝐺+ ∠𝐶= 270°−2∠𝐸𝐹𝐺，可判断②；根据𝐷𝐺∥𝐶𝐹，可得
∠𝐷𝐻𝐸= ∠𝐶𝐹𝐸= 180°−3∠𝐸𝐹𝐺，从而得到∠𝐸𝐻𝐺= 180°−∠𝐷𝐻𝐸= 3∠𝐸𝐹𝐵，可判断③；根据𝐴𝐸∥𝐵𝐹，可
得∠𝐴𝐸𝐺−∠𝐹𝐸𝐺= 180°−3∠𝐸𝐹𝐺= ∠𝐸𝐹𝐶，可判断④．
【详解】解：如图，延长𝐴𝐸交𝐶𝐹于点M，延长𝐵𝐹至点K，延长𝐸𝐺至点P，过点F 作𝐹𝑄∥𝐺𝑃，
由折叠的性质得：∠𝑀𝐻𝐹= ∠𝐹𝐸𝐺，
∵𝐴𝐸∥𝐵𝐹，
∴∠𝐸𝐹𝐺= ∠𝑀𝐻𝐹，
∴∠𝐸𝐹𝐺= ∠𝐹𝐸𝐺，
∴∠𝐸𝐺𝐵= ∠𝐸𝐹𝐺+ ∠𝐹𝐸𝐺= 2∠𝐸𝐹𝐺，故①正确；
由题意得：∠𝐶= 90°，
∵𝐴𝐸∥𝐵𝐹，
∴∠𝐴𝐸𝐹= ∠𝐸𝐹𝐾= 180°−∠𝐸𝐹𝐺，
由折叠的性质得：∠𝐸𝐹𝑄= ∠𝐸𝐹𝐾，∠𝐺𝐹𝑄= ∠𝐶𝐹𝐺，
∵𝑃𝐺∥𝐹𝑄，
∴∠𝐶𝐹𝐺= ∠𝐺𝐹𝑄= 180°−∠𝐹𝐺𝑃= 180°−∠𝐵𝐺𝐸= 180°−2∠𝐸𝐹𝐺，
∴∠𝐶𝐹𝐸= ∠𝐶𝐹𝐺−∠𝐸𝐹𝐺= 180°−3∠𝐸𝐹𝐺，
∵∠𝐶= 90°，
∴∠𝐶𝐹𝐺+ ∠𝐶= 270°−2∠𝐸𝐹𝐺，
∴𝐸𝐹不一定平行于𝐶𝐷，故②错误；
∵𝐷𝐺∥𝐶𝐹，
∴∠𝐷𝐻𝐸= ∠𝐶𝐹𝐸= 180°−3∠𝐸𝐹𝐺，
∴∠𝐸𝐻𝐺= 180°−∠𝐷𝐻𝐸= 180°−(180°−3∠𝐸𝐹𝐺) = 3∠𝐸𝐹𝐵，故③正确；
∵𝐴𝐸∥𝐵𝐹，
∴∠𝐴𝐸𝐺= 180°−∠𝐵𝐺𝐸= 180°−2∠𝐸𝐹𝐺，
∴∠𝐴𝐸𝐺−∠𝐹𝐸𝐺= 180°−2∠𝐸𝐹𝐺−∠𝐹𝐸𝐺= 180°−3∠𝐸𝐹𝐺= ∠𝐸𝐹𝐶，故④正确．
故答案为：①③④
【变式5-1】在△ABC 中，点E、F 分别为边AB、AC 上的点，把△ABC 沿EF 翻折，翻折后的图形如图所
示．若∠1+∠2 = 110°，则∠𝐴的度数为___________．
【答案】55°
【分析】如图，延长B′E 交C′F 的延长线于点A′，连接AA′．证明∠1+∠2=2∠EAF，可得结论．
【详解】解：如图，延长B′E 交C′F 的延长线于点A′，连接AA′．
∵∠1=∠EAA′+∠EA′A，∠2=∠FAA′+∠FA′A,
∴∠1+∠2=∠EAF+∠EA′F，
∵∠EAF=∠EA′F，
∴∠1+∠2=2∠EAF=110°，
∴∠A=55°．
故答案为：55°．
【点睛】本题考查三角形内角和定理，翻折变换等知识，解题的关键是证明∠1+∠2=2∠EAF．
【变式5-2】（25-26 八年级上·陕西宝鸡·期末）如图，将△𝐴𝐵𝐶沿𝐵𝐸（点𝐸在边𝐴𝐶上）所在直线翻折，翻
折后𝐴𝐵的对应边𝐴′𝐵交𝐴𝐶于点𝐷，又将△𝐵𝐶𝐷沿𝐵𝐴′所在直线翻折，翻折后点𝐶的对应点𝐶′恰好落在𝐵𝐸上，
若∠𝐶= 79°，∠𝐶′𝐷𝐸= 32°，则原三角形中∠𝐴的度数为（ ）
A．16°
B．18°
C．20°
D．22°
【答案】C
【分析】本题主要考查了折叠的性质，三角形内角和定理应用，三角形外角的性质，熟练掌握折叠的性质，
是解题的关键．根据折叠得出∠𝐴𝐵𝐸= ∠𝐴′𝐵𝐸，∠𝐴′𝐵𝐸= ∠𝐶𝐵𝐷，∠𝐴𝐸𝐵= ∠𝐴′𝐸𝐵，∠𝐵𝐶′𝐷= ∠𝐶= 79°，根
据三角形外角性质得出∠𝐷𝐸𝐶′ = ∠𝐵𝐶′𝐷−∠𝐶′𝐷𝐸= 79°−32° = 47°，设∠𝐴= 𝑥°，则
∠𝐴𝐵𝐶= 180°−∠𝐴−∠𝐶= 101°−𝑥°，∠𝐴𝐵𝐸=
1
3(101°−𝑥°)，根据三角形内角和定理得出𝑥+
1
3(101°−𝑥°)
+133° = 180°，解方程即可．
【详解】解：根据折叠可知：∠𝐴𝐵𝐸= ∠𝐴′𝐵𝐸，∠𝐴′𝐵𝐸= ∠𝐶𝐵𝐷，∠𝐴𝐸𝐵= ∠𝐴′𝐸𝐵，∠𝐵𝐶′𝐷= ∠𝐶= 79°，
∴∠𝐴𝐵𝐸= ∠𝐴′𝐵𝐸= ∠𝐶𝐵𝐷，
∵∠𝐶′𝐷𝐸= 32°，
∴∠𝐷𝐸𝐶′ = ∠𝐵𝐶′𝐷−∠𝐶′𝐷𝐸= 79°−32° = 47°，
∴∠𝐴𝐸𝐵= 180°−∠𝐷𝐸𝐶′ = 133°，
设∠𝐴= 𝑥°，则∠𝐴𝐵𝐶= 180°−∠𝐴−∠𝐶= 101°−𝑥°，
∵∠𝐴𝐵𝐸= ∠𝐴′𝐵𝐸= ∠𝐶𝐵𝐷，∠𝐴𝐵𝐸+ ∠𝐴′𝐵𝐸+ ∠𝐶𝐵𝐷= ∠𝐴𝐵𝐶= 101°−𝑥°，
∴∠𝐴𝐵𝐸=
1
3(101°−𝑥°)，
∵∠𝐴+ ∠𝐴𝐵𝐸+ ∠𝐴𝐸𝐵= 180°，
∴𝑥+
1
3(101°−𝑥°) +133° = 180°，
解得：𝑥= 20，
即∠𝐴= 20°．
故选：C．
【变式5-3】（24-25 八年级上·江苏镇江·期中）在△𝐴𝐵𝐶中，𝐴𝐵> 𝐴𝐶，点𝐸在𝐵𝐶边上，连接𝐴𝐸，将△𝐴𝐸𝐶
沿𝐴𝐸翻折使得点𝐷落在𝐴𝐵边上得△𝐴𝐸𝐷，连接𝐷𝐶．
(1)如图1，若∠𝐵𝐴𝐶= 52°，∠𝐴𝐶𝐵= 90°，则∠𝐵𝐶𝐷= __________°；
(2)如图2，若𝐴𝐵= 𝐵𝐶，𝐵𝐷= 𝐷𝐸，求∠𝐵𝐶𝐷的度数．
【答案】(1)26
(2)18°
【分析】（1）由折叠的性质得𝐴𝐷= 𝐴𝐶，即得∠𝐴𝐶𝐷= ∠𝐴𝐷𝐶= 64°，再根据角的和差关系即可求解；
（2）根据𝐴𝐵= 𝐵𝐶可得∠𝐵𝐴𝐶= ∠𝐵𝐶𝐴，根据折叠的性质可得∠𝐴𝐷𝐸= ∠𝐴𝐶𝐸，𝐷𝐸= 𝐷𝐶，根据𝐵𝐷= 𝐷𝐸可
得∠𝐵= ∠𝐵𝐸𝐷，通 过三角形内角和定理、三角形外角的性质、等量代换可求出∠𝐵𝐶𝐴= 72°，依次求出
∠𝐵𝐸𝐷、∠𝐵𝐶𝐷即可．
【详解】（1）解：∵将△𝐴𝐸𝐶沿𝐴𝐸翻折得△𝐴𝐸𝐷，
∴𝐴𝐷= 𝐴𝐶，
∴∠𝐴𝐶𝐷= ∠𝐴𝐷𝐶=
180°−∠𝐵𝐴𝐶
2
=
180°−52°
2
= 64°，
∴∠𝐵𝐶𝐷= ∠𝐴𝐶𝐵−∠𝐴𝐶𝐷= 90°−64° = 26°，
故答案为：26；
（2）解：∵𝐴𝐵= 𝐵𝐶，
∴∠𝐵𝐴𝐶= ∠𝐵𝐶𝐴，
∵将△𝐴𝐸𝐶沿𝐴𝐸翻折得△𝐴𝐸𝐷，
∴△𝐴𝐷𝐸≌△𝐴𝐶𝐸，
∴∠𝐴𝐷𝐸= ∠𝐴𝐶𝐸，𝐷𝐸= 𝐸𝐶，
∴∠𝐴𝐷𝐸= ∠𝐴𝐶𝐸= ∠𝐵𝐴𝐶，∠𝐸𝐷𝐶= ∠𝐸𝐶𝐷，
∵𝐵𝐷= 𝐷𝐸，
∴∠𝐵= ∠𝐵𝐸𝐷，
∵∠𝐵+ ∠𝐵𝐸𝐷= ∠𝐴𝐷𝐸，
∴∠𝐵=
1
2∠𝐴𝐷𝐸=
1
2∠𝐵𝐴𝐶=
1
2∠𝐵𝐶𝐴，
∵∠𝐵+ ∠𝐵𝐴𝐶+ ∠𝐵𝐶𝐴= 180°，
∴
1
2∠𝐵𝐶𝐴+ ∠𝐵𝐶𝐴+ ∠𝐵𝐶𝐴= 180°，
∴∠𝐵𝐶𝐴= 72°，
∴∠𝐵= ∠𝐵𝐸𝐷=
1
2 × 72° = 36°，
∵∠𝐸𝐷𝐶+ ∠𝐸𝐶𝐷= ∠𝐷𝐸𝐵，
∴∠𝐵𝐶𝐷=
1
2∠𝐵𝐸𝐷=
1
2 × 36° = 18°．
【点睛】本题考查了折叠的性质，等腰三角形的性质，三角形内角和定理，三角形外角的性质等，掌握折
叠的性质是解题的关键．
【题型6 利用外角性质求三角板中角的度数】
【例6】如图，有一块直角三角板𝐷𝐸𝐹（足够大），其中∠𝐸𝐷𝐹= 90°，把直角三角板𝐷𝐸𝐹放在锐角△𝐴𝐵𝐶
上，三角板𝐷𝐸𝐹的两边𝐷𝐸，𝐷𝐹恰好分别经过点C，B，且点A 在直线𝐷𝐹的右侧．
(1)若∠𝐴= 51°，∠𝐴𝐶𝐷= 10°，求∠𝐴𝐵𝐷的度数；
(2)请直接写出∠𝐴𝐵𝐷，∠𝐴𝐶𝐷与∠𝐴之间存在的数量关系．
【答案】(1)∠𝐴𝐵𝐷= 29°；
(2)∠𝐴𝐵𝐷+ ∠𝐴𝐶𝐷= 90°−∠𝐴（或其变形）
【分析】本题考查了三角形的外角的性质：
（1）连接𝐴𝐷，延长𝐴𝐷交𝐵𝐶于𝑀，∠𝐵𝐷𝑀是△𝐴𝐵𝐷的外角，∠𝐶𝐷𝑀是△𝐴𝐶𝐷的外角，
∠𝐵𝐷𝐶= ∠𝐵𝐴𝐶+ ∠𝐴𝐵𝐷+ ∠𝐴𝐶𝐷，∠𝐴𝐵𝐷= ∠𝐵𝐷𝐶−∠𝐵𝐴𝐶−∠𝐴𝐶𝐷，进而可求解；
（2）同（1）中过程即可求解；
熟练掌握“三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角之和”是解题的关键．
【详解】（1）解：连接𝐴𝐷，延长𝐴𝐷交𝐵𝐶于𝑀，如图：
∵∠𝐵𝐷𝑀是△𝐴𝐵𝐷的外角，∠𝐶𝐷𝑀是△𝐴𝐶𝐷的外角，
∴∠𝐵𝐷𝑀= ∠𝐵𝐴𝐷+ ∠𝐴𝐵𝐷，∠𝐶𝐷𝑀= ∠𝐶𝐴𝐷+ ∠𝐴𝐶𝐷，
∴∠𝐵𝐷𝑀+ ∠𝐶𝐷𝑀= ∠𝐵𝐴𝐷+ ∠𝐴𝐵𝐷+ ∠𝐶𝐴𝐷+ ∠𝐴𝐶𝐷，
即：∠𝐵𝐷𝐶= ∠𝐵𝐴𝐶+ ∠𝐴𝐵𝐷+ ∠𝐴𝐶𝐷，
∵ ∠𝐸𝐷𝐹= 90°，∠𝐴= 51°，∠𝐴𝐶𝐷= 10°，
∴∠𝐴𝐵𝐷= ∠𝐵𝐷𝐶−∠𝐵𝐴𝐶−∠𝐴𝐶𝐷= 90°−51°−10° = 29°．
（2）由（1）可知：
∠𝐵𝐷𝐶= ∠𝐵𝐴𝐶+ ∠𝐴𝐵𝐷+ ∠𝐴𝐶𝐷， 即90° = ∠𝐴+ ∠𝐴𝐵𝐷+ ∠𝐴𝐶𝐷，
∴∠𝐴𝐵𝐷+ ∠𝐴𝐶𝐷= 90°−∠𝐴．
【变式6-1】（2025·河南信阳·三模）将一副直角三角板按如图所示方式摆放，其中含60°角的直角三角板的
斜边与含45°角的直角三角板的一直角边贴合，含45°角的直角三角板的另一条直角边过含60°角的直角三角
板的直角顶点，那么∠1的度数是（ ）
A．145°
B．150°
C．155°
D．165°
【答案】D
【分析】本题考查了三角形外角的定义和平角的定义，在△𝐴𝐷𝐺中，根据三角形外角的定义可求出∠𝐷𝐺𝐴的
度数，再根据平角的定义即可求出∠1的度数．
【详解】解：如图所示，由题意可知∠𝐸𝐷𝐺= 45°，∠𝐴= 30°，
∵∠𝐸𝐷𝐺= ∠𝐷𝐺𝐴+ ∠𝐴，
∴∠𝐷𝐺𝐴= 45°−30° = 15°，
∴∠1 = 180°−15° = 165°，
故选：D．
【变式6-2】（2024·山西·模拟预测）已知直线𝑚∥𝑛，将一副三角板按如图所示的方式放置，直角顶点D 在
直线m 上，∠𝐹= 30°，另一直角三角板一直角边与直线n 重合，∠𝐶= 45°，若𝐵𝐶∥𝐸𝐹，则∠𝑀𝐷𝐸= ______．
【答案】15°/15 度
【分析】】把𝐸𝐹分别向两方延长交直线𝑚于点𝐻，交直线𝑛于点𝐺，先根据直角三角形的两个锐角互余可得
∠𝐴𝐵𝐶= 45°，然后利用平行线的性质可得∠𝐵𝐺𝐻= ∠𝐴𝐵𝐶= 45°，再利用平行线的性质可得
∠𝐷𝐻𝐸= ∠𝐵𝐺𝐻= 45°，最后根据直角三角形的两个锐角互余可得∠𝐷𝐸𝐹= 60°，从而利用三角形的外角性质
进行计算即可解答．本题考查了平行线的性质，三角形的外角性质，根据题目的已知条件并结合图形添加
适当的辅助线是解题的关键．
【详解】解：把𝐸𝐹分别向两方延长交直线𝑚于点𝐻，交直线𝑛于点𝐺，
∵∠𝐶𝐴𝐵= 90°，∠𝐶= 45°，
∴∠𝐴𝐵𝐶= 90°−∠𝐶= 45°，
∵𝐵𝐶∥𝐸𝐹，
∴∠𝐵𝐺𝐻= ∠𝐴𝐵𝐶= 45°，
∵𝑚∥𝑛，
∴∠𝐷𝐻𝐸= ∠𝐵𝐺𝐻= 45°，
∵∠𝐸𝐷𝐹= 90°，∠𝐹= 30°，
∴∠𝐷𝐸𝐹= 90°−∠𝐹= 60°，
∵∠𝐷𝐸𝐹是△𝐷𝐸𝐻的一个外角，
∴∠𝑀𝐷𝐸= ∠𝐷𝐸𝐹−∠𝐷𝐻𝐸= 15°，
故答案为：15°
【变式6-3】小明将一副直角三角板的直角顶点重合后按如图示摆放，其中∠𝐴𝐶𝐵= ∠𝐷𝐶𝐸= 90°，
∠𝐵𝐴𝐶= 60°，∠𝐵= 30°，∠𝐷𝐸𝐶= ∠𝐶𝐷𝐸= 45°．他固定三角板𝐷𝐶𝐸，将三角板𝐴𝐶𝐵绕点C 顺时针以每秒6
度的速度旋转，设它的旋转时间为t 秒(0 ≤𝑡≤60)，则在旋转过程中，当边𝐴𝐵∥𝐷𝐸时，𝑡= ______秒．
【答案】2.5 或32.5
【分析】本题主要考查了平行线的性质，三角形外角的性质，分两种情况根据平行线的性质求出
∠𝐶𝐹𝐸= 60°，再根据三角形外角的性质得出∠𝐷𝐶𝐹= 15°，求出旋转角度，再除以6 即可得到结论．
【详解】解：情形1，如图，延长𝐶𝐴交𝐷𝐸于点𝐹，
∵𝐴𝐵∥𝐷𝐸,∠𝐶𝐴𝐵= 60°,
∴∠𝐶𝐹𝐸= ∠𝐶𝐴𝐵= 60°,
又∠𝐶𝐹𝐸= ∠𝐷+ ∠𝐷𝐶𝐹,∠𝐷= 45°,
∴∠𝐷𝐶𝐹= ∠𝐶𝐹𝐸−∠𝐷= 60°−45° = 15°,
∴三角板旋转的角度为：15°，
∴𝑡= 15° ÷ 6° = 2.5（秒）；
情形2，如图，延长𝐴𝐶交𝐷𝐸于点𝐹，
∵𝐴𝐵∥𝐷𝐸,∠𝐶𝐴𝐵= 60°,
∴∠𝐶𝐹𝐸= ∠𝐶𝐴𝐵= 60°,
又∠𝐶𝐹𝐸= ∠𝐷+ ∠𝐷𝐶𝐹,∠𝐷= 45°,
∴∠𝐷𝐶𝐹= ∠𝐶𝐹𝐸−∠𝐷= 60°−45° = 15°,
∴三角板旋转的角度为：180° + 15° = 195°，
∴𝑡= 195° ÷ 6° = 32.5（秒）；
故答案为：2.5 或32.5
【题型7 三角形外角的实际应用】
【例7】（25-26 七年级下·辽宁阜新·期中）为增强学生身体素质，感受中国的优秀传统文化，学校将国家级
非物质文化遗产“抖空竹”引入阳光特色大课间，如图1 是某同学“抖空竹”时的一个瞬间，王聪把它抽象成如
图2 的数学问题：已知𝐴𝐵∥𝐶𝐷，∠𝐸𝐴𝐵= 82°, ∠𝐸𝐶𝐷= 110°，则∠𝐸的度数为___________．
【答案】28°
【分析】根据平行线的性质得到∠𝐷𝐹𝐸= ∠𝐸𝐴𝐵= 82°，再根据三角形外角的定义即可求解．
【详解】解：延长𝐷𝐶，交𝐴𝐸于点𝐹，则𝐷𝐹∥𝐴𝐵，
∵𝐷𝐹∥𝐴𝐵，∠𝐸𝐴𝐵= 82°,
∴∠𝐷𝐹𝐸= ∠𝐸𝐴𝐵= 82°，
∵∠𝐸𝐶𝐷= 110°，
∴∠𝐸= ∠𝐸𝐶𝐷−∠𝐷𝐹𝐸= 110°−82° = 28°．
【变式7-1】（25-26 八年级下·福建厦门·期中）五角星因其美观和深刻的象征意义，被广泛应用于旗帜、徽
章设计中．如图是一个用于设计的标准正五角星，为确保图案对称协调，其五角顶角（∠𝐴，∠𝐵，∠𝐶，∠𝐷，
∠𝐸）的度数必须相等．设计师需要知道这个角度的大小以便于制图，那么这个角的度数应为__________．
【答案】
36°/36 度
【分析】设∠𝐴= 𝑥，利用三角形外角的性质将∠𝐵,∠𝐷,∠𝐸转化到与∠𝐶所在的三角形中，构建关于𝑥的一元一
次方程求解即可．
【详解】解：设∠𝐴= ∠𝐵= ∠𝐶= ∠𝐷= ∠𝐸= 𝑥，
设𝐴𝐸与𝐶𝐷的交点为F，𝐴𝐸与𝐵𝐶的交点为G，如图所示，
则∠𝐶𝐹𝐺= ∠𝐷+ ∠𝐸= 2𝑥，∠𝐹𝐺𝐶= ∠𝐴+ ∠𝐵= 2𝑥，
在△𝐶𝐹𝐺中，由三角形内角和定理得∠𝐶+ ∠𝐶𝐹𝐺+ ∠𝐹𝐺𝐶= 180°，
即𝑥+ 2𝑥+ 2𝑥= 180°，解得𝑥= 36°，
那么这个角的度数应为36°．
【变式7-2】（25-26 七年级下·辽宁鞍山·期中）一只杯子静止在斜面上，其受力分析如图所示，重力𝐺的方
向竖直向下，支持力𝐹1的方向与斜面垂直，摩擦力𝐹2的方向与斜面平行．若斜面的坡角𝛼= 24°，则摩擦力
𝐹2与重力𝐺方向的夹角𝛽的度数为______．
【答案】90° + 𝛼
【分析】根据三角形外角性质和平行线的性质解答即可求解．
【详解】解：如图，由题意知，∠𝐴𝐵𝐶= 90°，𝐸𝐹2∥𝐴𝐷，
∴∠𝐵𝐶𝐷= ∠𝐴𝐵𝐶+ ∠𝐵𝐴𝐶= 90° + 𝛼，
∵𝐸𝐹2∥𝐴𝐷，
∴∠𝐶𝐸𝐹2 = ∠𝐵𝐶𝐷= 90° + 𝛼，
即𝛽= 90° + 𝛼．
【变式7-3】（25-26 七年级下·上海闵行·期中）如图，指甲剪利用杠杆原理操作，图1 是实物图，图2 是使
用指甲剪的侧面示意图，∠𝐶𝐸𝑂= 90°，未使用指甲剪时，杠杆𝐵𝐶与上臂𝑂𝐶重合；使用时，下压点𝐴至𝐴′时，
𝐵刚好至𝐵′点，当𝐴′𝐵′∥𝑂𝐸时，两刀片咬合，恰好𝐶𝐵′平分∠𝑂𝐶𝐸，若∠𝐶𝐵′𝐴′ = 128°，则∠𝐶𝑂𝐸的度数为______
度．
【答案】14
【分析】延长𝐶𝐵′，交𝐸𝑂于点𝐹，先由平行线的性质得到∠𝐶𝐹𝑂= ∠𝐶𝐵′𝐴′ = 128°，再由外角的性质得到
∠𝐸𝐶𝐹= 38°，最后再由角平分线的定义和三角形内角和定理即可求解．
【详解】解：如图所示，延长𝐶𝐵′，交𝐸𝑂于点𝐹，
∵𝐵刚好至𝐵′点，𝐴′𝐵′∥𝑂𝐸，∠𝐶𝐵′𝐴′ = 128°，
∴∠𝐶𝐹𝑂= ∠𝐶𝐵′𝐴′ = 128°，
∵∠𝐶𝐸𝑂= 90°，
∴由外角的性质得∠𝐸𝐶𝐹= ∠𝐶𝐹𝑂−∠𝐶𝐸𝑂= 128°−90° = 38°，
∵𝐶𝐵′平分∠𝑂𝐶𝐸，
∴∠𝐸𝐶𝑂= 2∠𝐸𝐶𝐹= 2 × 38° = 76°，
在△𝐶𝐸𝑂中，由三角形内角和定理得∠𝐶𝑂𝐸= 180°−∠𝐶𝐸𝑂−∠𝐸𝐶𝑂= 180°−90°−76° = 14°．
【题型8 三角形的内角与外角的综合求角度】
【例8】（25-26 七年级下·上海闵行·期中）如图，在△𝐴𝐵𝐶中，∠𝐶= 90°，∠𝐵= 36°，𝐴𝐷平分∠𝐶𝐴𝐵，求∠𝐴𝐷𝐶
的度数．
解：在△𝐴𝐵𝐶中，∵∠𝐵𝐴𝐶+ ∠𝐵+ ∠𝐶= 180°（①______）
考点2
三角形的内角与外角的综合应用
又∵∠𝐶= 90°,∠𝐵= 36°，
∴∠𝐵𝐴𝐶= 180°−∠𝐵−∠𝐶= 180°−90°−36° = ②______度
∵𝐴𝐷平分∠𝐶𝐴𝐵，
∴∠𝐵𝐴𝐷=
1
2∠𝐵𝐴𝐶= ③______度．
∵∠𝐴𝐷𝐶= ④______＋⑤______（⑥______），
∴∠𝐴𝐷𝐶= ______度．
【答案】①三角形的内角和定理；②54；③27；④∠𝐵；⑤∠𝐵𝐴𝐷；⑥三角形外角的性质；63；
【分析】根据三角形的内角和定理和三角形外角的性质即可解答．
【详解】解：在△𝐴𝐵𝐶中，∵∠𝐵𝐴𝐶+ ∠𝐵+ ∠𝐶= 180°（三角形的内角和定理）
又∵∠𝐶= 90°,∠𝐵= 36°，
∴∠𝐵𝐴𝐶= 180°−∠𝐵−∠𝐶= 180°−90°−36° = 54度
∵𝐴𝐷平分∠𝐶𝐴𝐵，
∴∠𝐵𝐴𝐷=
1
2∠𝐵𝐴𝐶= 27度．
∵∠𝐴𝐷𝐶= ∠𝐵+ ∠𝐵𝐴𝐷（三角形外角的性质），
∴∠𝐴𝐷𝐶= 63度．
【变式8-1】（25-26 八年级上·天津西青·期末）如图，𝐴𝐷是△𝐴𝐵𝐶的高，𝐴𝐸是△𝐴𝐵𝐶的角平分线，𝐶𝐹平分
∠𝐴𝐶𝐵，与𝐴𝐸相交于点F，已知∠𝐵𝐴𝐶= 80°，∠𝐶𝐹𝐸= 60°，求∠𝐵和∠𝐷𝐴𝐸的度数．
【答案】∠𝐵= 60°，∠𝐷𝐴𝐸= 10°
【分析】本题考查三角形的内角和定理，三角形外角的性质，角平分线、高线及直角三角形两锐角互余，
解题的关键是掌握以上知识点．
先根据角平分线的定义得到∠𝐶𝐴𝐸= ∠𝐵𝐴𝐸=
1
2∠𝐵𝐴𝐶= 40°，然后根据三角形外角的性质得到
∠𝐴𝐶𝐹= ∠𝐶𝐹𝐸−∠𝐶𝐴𝐹= 20°，求出∠𝐴𝐶𝐵= 2∠𝐴𝐶𝐹= 40°，然后利用三角形内角和定理求出∠𝐵；利用直角
三角形两锐角互余求出∠𝐵𝐴𝐷，进而求解即可．
【详解】解：∵∠𝐵𝐴𝐶= 80°，𝐴𝐸是△𝐴𝐵𝐶的角平分线，
∴∠𝐶𝐴𝐸= ∠𝐵𝐴𝐸=
1
2∠𝐵𝐴𝐶=
1
2 × 80° = 40°，
∵∠𝐶𝐹𝐸= 60°，
∴∠𝐴𝐶𝐹= ∠𝐶𝐹𝐸−∠𝐶𝐴𝐹= 20°，
∵𝐶𝐹平分∠𝐴𝐶𝐵，
∴∠𝐴𝐶𝐵= 2∠𝐴𝐶𝐹= 40°，
∴∠𝐵= 180°−∠𝐵𝐴𝐶−∠𝐴𝐶𝐵= 60°，
∵𝐴𝐷⊥𝐵𝐶于点D，
∴∠𝐵𝐴𝐷= 90°−∠𝐵= 90°−60° = 30°，
∴∠𝐷𝐴𝐸= ∠𝐵𝐴𝐸−∠𝐵𝐴𝐷= 40°−30° = 10°．
【变式8-2】（24-25 七年级下·河北秦皇岛·期末）如图，在△𝐴𝐵𝐶中，点𝐷为边𝐵𝐶延长线上一点，射线𝐵𝐸
平分∠𝐴𝐵𝐶，点𝑃为射线𝐵𝐸上一点．
(1)若∠𝐵𝐴𝐶= 50∘，
当𝐶𝑃平分∠𝐴𝐶𝐵时，∠𝐵𝑃𝐶= ___________；
当𝐶𝑃平分∠𝐴𝐶𝐷时，∠𝐵𝑃𝐶= ___________；
(2)当𝐶𝑃平分∠𝐴𝐶𝐵时，𝐶𝑃⊥𝐴𝐵，𝐵𝑃⊥𝐴𝐶，则∠𝐵𝑃𝐶= ___________；
当𝐶𝑃平分∠𝐴𝐶𝐷时，𝐶𝑃∥𝐴𝐵，∠𝐴𝐶𝐵= 4∠𝐵𝐴𝐶，则∠𝐵𝑃𝐶= ___________；
(3)若∠𝐴𝐵𝐶= 40∘，∠𝐴= 60∘，当直线𝐶𝑃垂直于△𝐴𝐵𝐶的边时，∠𝐵𝑃𝐶的度数为___________．
【答案】(1)115°，25°，
(2)120°，15°
(3)70∘或110∘
【分析】本题考查了平行线的性质和三角形的内角和定理、外角的性质，熟练掌握平行线的性质和三角形
的内角和定理、外角的性质是解决本题的关键．
（1）根据角平分线的定义和三角形内角和的性质可得结论；
（2）根据据角平分线的定义和三角形内角和、平行线性质转化角的关系，可得结论；
（3）直线𝐶𝑃与△𝐴𝐵𝐶的一条边垂直，分三种情况：分别和三边垂直，根据三角内角和列式可得结论．
【详解】（1）解：当𝐶𝑃平分∠𝐴𝐶𝐵时，如解图1；
又∵𝐵𝐸平分∠𝐴𝐵𝐶，
∴∠𝐶𝐵𝑃=
1
2∠𝐴𝐵𝐶，∠𝐵𝐶𝑃=
1
2∠𝐴𝐶𝐵，
∠𝐶𝐵𝑃+ ∠𝐵𝐶𝑃=
1
2(∠𝐴𝐵𝐶+ ∠𝐴𝐶𝐵) =
1
2(180°−∠𝐵𝐴𝐶)，
∴∠𝐵𝑃𝐶= 180°−(∠𝐶𝐵𝑃+ ∠𝐵𝐶𝑃) = 180°−
1
2(180°−∠𝐵𝐴𝐶) = 90° +
1
2∠𝐵𝐴𝐶，
∴∠𝐵𝑃𝐶= 90° +
1
2∠𝐵𝐴𝐶= 90° +
1
2 × 50° = 115°；
当𝐶𝑃平分∠𝐴𝐶𝐷时，如解图2；
又∵𝐵𝐸平分∠𝐴𝐵𝐶，
∴∠𝐶𝐵𝑃=
1
2∠𝐴𝐵𝐶，∠𝐴𝐶𝑃=
1
2∠𝐴𝐶𝐷，
又∵∠𝐴𝐶𝐷= ∠𝐵𝐴𝐶+ ∠𝐴𝐵𝐶，∠𝑃𝐶𝐷= ∠𝐵𝑃𝐶+ ∠𝐶𝐵𝑃，
∴∠𝑃𝐶𝐷=
1
2(∠𝐵𝐴𝐶+ ∠𝐴𝐵𝐶) = ∠𝐵𝑃𝐶+
1
2∠𝐴𝐵𝐶，
∴∠𝐵𝑃𝐶=
1
2∠𝐵𝐴𝐶= 25°，
（2）当𝐶𝑃平分∠𝐴𝐶𝐵时，𝐶𝑃⊥𝐴𝐵，𝐵𝑃⊥𝐴𝐶，如解图3，
∴∠𝐶𝐵𝑃= ∠𝐻𝐵𝑃=
1
2∠𝐴𝐵𝐶，∠𝐵𝐶𝐻= ∠𝐻𝐶𝐴=
1
2∠𝐴𝐶𝐵，
∠𝐶𝐵𝑃+ ∠𝐴𝐶𝐵= 90°，∠𝐵𝐶𝑃+ ∠𝐴𝐵𝐶= 90°，
∴
1
2∠𝐴𝐵𝐶+ ∠𝐴𝐶𝐵= 90°，∠𝐴𝐵𝐶+
1
2∠𝐴𝐶𝐵= 90°，
∴
3
2∠𝐴𝐵𝐶+
3
2∠𝐴𝐶𝐵= 180°，即
1
2∠𝐴𝐵𝐶+
1
2∠𝐴𝐶𝐵= 60°
∴∠𝐵𝑃𝐶= 180°−(∠𝐶𝐵𝑃+ ∠𝐵𝐶𝑃) = 180°−(
1
2∠𝐴𝐵𝐶+
1
2∠𝐴𝐶𝐵) = 180°−60° = 120°，
当𝐶𝑃平分∠𝐴𝐶𝐷时，𝐶𝑃∥𝐴𝐵，∠𝐴𝐶𝐵= 4∠𝐵𝐴𝐶，
设∠𝐴𝐵𝑃= ∠𝐶𝐵𝑃= 𝑥，则∠𝐴𝐵𝐶= 2𝑥，
∵𝐶𝑃∥𝐴𝐵，
∴∠𝑃𝐶𝐴= ∠𝑃𝐶𝐷= ∠𝐴𝐵𝐶= 2𝑥，∠𝐵𝐴𝐶= ∠𝑃𝐶𝐴= 2𝑥，
∴∠𝐴𝐶𝐵= 4∠𝐵𝐴𝐶
∴∠𝐴𝐵𝐶+ ∠𝐵𝐴𝐶+ ∠𝐴𝐶𝐵= 2𝑥+ 2𝑥+ 8𝑥= 180°，
∴𝑥= 15°，
∴∠𝐵𝐴𝐶= 2𝑥= 30°，
∴∠𝐵𝑃𝐶=
1
2∠𝐵𝐴𝐶= 15°
（3）∵∠𝐴𝐵𝐶= 40∘，∠𝐴= 60∘，
∴∠𝐴𝐶𝐵= 180°−∠𝐴−∠𝐴𝐵𝐶= 80°，
①当𝐶𝑃⊥𝐵𝐶时，如解图5，则∠𝐵𝐶𝑃= 90°，
∵∠𝑃𝐵𝐶=
1
2∠𝐴𝐵𝐶= 20°，
∴∠𝐵𝑃𝐶= 70°；
②当𝐶𝑃⊥𝐴𝐶时，如解图6，点P 在射线𝐵𝐸的反向延长线上，不合题意舍去，
△𝐵𝐶𝑃中，∠𝐵𝑃𝐶= 180°−20°−30°−90° = 40°；
③当𝐶𝑃⊥𝐴𝐵时，延长𝐶𝑃交直线𝐴𝐵于H，如图7，则∠𝐵𝐻𝐶= 90°，
∵∠𝐴𝐵𝐶= 40°，
∴∠𝐵𝐶𝐺= 50°
△𝐵𝑃𝐶中，∠𝐵𝑃𝐶= ∠𝐴𝐵𝑃+ ∠𝐵𝐻𝐶= 110°；
综上，∠𝐵𝑃𝐶的度数为70°或110°．
【变式8-3】（24-25 七年级下·辽宁大连·期中）【问题情境】
在综合与实践课上，老师让同学们以“两条平行线𝑀𝑁，𝑃𝑄和一块含30°角的直角三角尺𝐴𝐵𝐶（其中
∠𝐴𝐶𝐵= 90°，∠𝐴𝐵𝐶= 30°）”为背景开展数学活动．将三角尺30°角的顶点B 放在直线𝑃𝑄上，直线𝐴𝐶与直
线𝑀𝑁相交于点E．
【操作探究】
（1）聪聪同学将三角尺𝐴𝐵𝐶按图1 所示放置，若∠𝐴𝐸𝑀= 30°，求∠𝐶𝐵𝑃的度数；
（2）明明同学将三角尺𝐴𝐵𝐶绕点B 旋转至图2 位置时，∠𝐴𝐸𝑀与∠𝐶𝐵𝑃有什么数量关系，猜想并证明；
【深入探究】
（3）如图3，如果直线𝑃𝑄不动，慧慧同学加大了平行线𝑀𝑁与𝑃𝑄之间的距离，使平行线之间的距离大于
𝐴𝐵．绕点B 旋转三角尺𝐴𝐵𝐶，点A 始终在平行线之间，请直接写出∠𝐴𝐸𝑀与∠𝐶𝐵𝑃所有可能的数量关系．
【答案】（1）60° ；（2） ∠𝐶𝐵𝑃−∠𝐴𝐸𝑀= 90°，证明见解析；（3）∠𝐴𝐸𝑀+ ∠𝐶𝐵𝑃= 90°或∠𝐴𝐸𝑀+ ∠𝐶𝐵𝑃= 270°
或∠𝐶𝐵𝑃−∠𝐴𝐸𝑀= 90°
【分析】本题考查了平行线的性质、三角形内角和定理、三角形外角的定义及性质，熟练掌握以上知识点
并灵活运用，采用分类讨论的思想是解此题的关键．
（1）延长𝐶𝐴交𝑃𝑄于𝐹，由平行线的性质可得∠𝐸𝐹𝐵= ∠𝐴𝐸𝑀= 30°，再由三角形内角和定理计算即可得解；
（2）延长𝐴𝐶交𝑃𝑄于𝐺，由平行线的性质结合对顶角相等可得∠𝐴𝐸𝑀= ∠𝐶𝐸𝑁= ∠𝐵𝐺𝐶，再由三角形外角的
定义及性质计算即可得解；
（3）分三种情况：根据平行线的性质求解即可．
【详解】解：（1）如图，延长𝐶𝐴交𝑃𝑄于𝐹，
∵𝑀𝑁∥𝑃𝑄，
∴∠𝐸𝐹𝐵= ∠𝐴𝐸𝑀= 30°，
∵∠𝐴𝐶𝐵= 90°，
∴∠𝐶𝐵𝑃= 90°−∠𝐸𝐹𝐵= 60°；
（2）∠𝐶𝐵𝑃−∠𝐴𝐸𝑀= 90°，证明如下：
如图，延长𝐴𝐶交𝑃𝑄于𝐺，
∵∠𝐴𝐸𝑀= ∠𝐶𝐸𝑁，𝑀𝑁∥𝑃𝑄，
∴∠𝐴𝐸𝑀= ∠𝐶𝐸𝑁= ∠𝐵𝐺𝐶，
∵∠𝐶𝐵𝑃= ∠𝐵𝐶𝐺+ ∠𝐵𝐺𝐶，∠𝐵𝐶𝐺= 180°−∠𝐴𝐶𝐵= 90°，
∴∠𝐶𝐵𝑃−∠𝐴𝐸𝑀= 90°；
（3）如图，当𝐴𝐶的延长线与𝑀𝑁交于点𝐸时，延长𝐶𝐴交𝑃𝑄于𝐹，
∵𝑀𝑁∥𝑃𝑄，
∴∠𝐸𝐹𝐵= ∠𝐴𝐸𝑀，
∵∠𝐴𝐶𝐵= 90°，
∴∠𝐶𝐵𝑃= 90°−∠𝐸𝐹𝐵= 90°−∠𝐴𝐸𝑀，
∴∠𝐴𝐸𝑀+ ∠𝐶𝐵𝑃= 90°；
如图，当𝐶𝐴的延长线交𝑀𝑁于𝐸，点𝐶在𝑃𝑄上方时，延长𝐴𝐶交𝑃𝑄于𝐺，
∵𝑀𝑁∥𝑃𝑄，
∴∠𝐴𝐸𝑀+ ∠𝐵𝐺𝐶= 180°，
∵∠𝐶𝐵𝑃= ∠𝐵𝐶𝐺+ ∠𝐵𝐺𝐶，∠𝐵𝐶𝐺= 180°−∠𝐴𝐶𝐵= 90°，
∴∠𝐴𝐸𝑀+ ∠𝐶𝐵𝑃= 270°；
如图：当𝐶𝐴的延长线交𝑀𝑁于𝐸，点𝐶在𝑃𝑄下方时，令𝐶𝐸交𝑃𝑄于𝐻，
∵𝑀𝑁∥𝑃𝑄，
∴∠𝐴𝐸𝑀+ ∠𝐵𝐻𝐸= 180°，
∵∠𝐵𝐻𝐸= ∠𝐴𝐶𝐵+ ∠𝐶𝐵𝑄= 90° + ∠𝐶𝐵𝑄= 90° + 180°−∠𝐶𝐵𝑃= 270°−∠𝐶𝐵𝑃
∴∠𝐶𝐵𝑃−∠𝐴𝐸𝑀= 90°，
综上所述，∠𝐴𝐸𝑀与∠𝐶𝐵𝑃所有可能的数量关系为∠𝐴𝐸𝑀+ ∠𝐶𝐵𝑃= 90°或∠𝐴𝐸𝑀+ ∠𝐶𝐵𝑃= 270°或
∠𝐶𝐵𝑃−∠𝐴𝐸𝑀= 90°．
【题型9 三角形的内角与外角的综合证明】
【例9】如图，在△𝐴𝐵𝐶中，D 是𝐵𝐶上一点，连接𝐴𝐷，∠𝐶𝐴𝐷的平分线交𝐵𝐶于点E，∠𝐵𝐴𝐸= ∠𝐵𝐸𝐴．
(1)求证：∠𝐵𝐴𝐷= ∠𝐶；
(2)若∠𝐶= 55°，∠𝐵= 3∠𝐷𝐴𝐸，求∠𝐵的度数．
【答案】(1)见解析
(2)∠𝐵= 42°．
【分析】（1）由角平分线的定义可得∠𝐷𝐴𝐸= ∠𝐶𝐴𝐸，利用三角形外角的性质可证明结论；
（2）利用（1）的结论可得∠𝐵𝐸𝐴= ∠𝐵𝐴𝐸= 55° + ∠𝐷𝐴𝐸，由三角形的内角和定理可求解∠𝐷𝐴𝐸的度数，进
而求解∠𝐵的度数．
【详解】（1）证明：∵𝐴𝐸平分∠𝐶𝐴𝐷，
∴∠𝐷𝐴𝐸= ∠𝐶𝐴𝐸，
∵∠𝐴𝐸𝐵= ∠𝐶𝐴𝐸+ ∠𝐶，∠𝐵𝐴𝐸= ∠𝐵𝐴𝐷+ ∠𝐷𝐴𝐸，∠𝐵𝐴𝐸= ∠𝐴𝐸𝐵，
∴∠𝐵𝐴𝐷= ∠𝐶；
（2）解：∵∠𝐵𝐴𝐷= ∠𝐶= 55°，
∴∠𝐵𝐸𝐴= ∠𝐵𝐴𝐸= 55° + ∠𝐷𝐴𝐸，
∵∠𝐵+ ∠𝐵𝐸𝐴+ ∠𝐵𝐴𝐸= 180°，∠𝐵= 3∠𝐷𝐴𝐸，
∴3∠𝐷𝐴𝐸+ 2(55° + ∠𝐷𝐴𝐸) = 180°，
解得∠𝐷𝐴𝐸= 14°，
∴∠𝐵= 42°．
【点睛】本题主要考查角平分线的定义，三角形的内角和定理，三角形外角的性质，掌握三角形的内角和
定理是解题的关键．
【变式9-1】已知AD 和BE 相交于点C，∠𝐵𝐴𝐶= ∠𝐴𝐶𝐵，∠𝐸𝐷𝐶= ∠𝐷𝐶𝐸．
(1)如图（1），求证：𝐴𝐵∥𝐷𝐸；
(2)如图（2），点P 是线段BC 上一点，连结AP．
①求证：∠𝐴𝑃𝐸= ∠𝐵𝐴𝑃+ ∠𝐶𝐸𝐷；
②若∠𝐴𝑃𝐸= ∠𝐵𝐴𝐷= 2∠𝐶𝐸𝐷，请直接写出∠𝐶𝐸𝐷的度数；
(3)如图（3），若点M 是射线BA 上一点，作𝑀𝐻⊥直线AD 于点H，∠𝐴𝐷𝐸与∠𝐴𝑀𝐻的角平分线相交于点
N，请直接写出∠𝐷𝑁𝑀的度数．
【答案】(1)详见解析
(2)①详见解析；②36°
(3)45°或135°
【分析】（1）根据三角形的内角和定理，即可求解；
（2）①过点P 作PQ∥AB，则∠𝐵𝐴𝑃= ∠𝐴𝑃𝑄，可得𝑃𝑄∥𝐷𝐸，从而得到∠𝐸= ∠𝐸𝑃𝑄，即可求证；②根据
AB∥DE，可得∠BAD=∠EDC，从而得到∠BAD=∠DCE，再由∠APE=∠BAD=2∠CED，可得
∠EDC=∠DCE=2∠CED，然后三角形的内角和定理，即可求解；
（3）分两种情况讨论：当点M 在点A、B 之间时；当点E 在点A 的左侧时，即可求解．
【详解】（1）证明：∵∠𝐵𝐴𝐶= ∠𝐴𝐶𝐵，∠𝐸𝐷𝐶= ∠𝐷𝐶𝐸．∠𝐴𝐶𝐵= ∠𝐷𝐶𝐸
∴∠𝐵𝐴𝐶= ∠𝐶𝐷𝐸
∴𝐴𝐵∥𝐷𝐸．
（2）①证明：过点P 作PQ∥AB，则∠𝐵𝐴𝑃= ∠𝐴𝑃𝑄
又∵𝐴𝐵∥𝐷𝐸
∴𝑃𝑄∥𝐷𝐸
∴∠𝐸= ∠𝐸𝑃𝑄
∵∠𝐴𝑃𝐸= ∠𝐴𝑃𝑄+ ∠𝐸𝑃𝑄
∴∠𝐴𝑃𝐸= ∠𝐵𝐴𝑃+ ∠𝐸
②∵AB∥DE，
∴∠BAD=∠EDC，
又∵∠EDC=∠DCE，
∴∠BAD=∠DCE，
又∵∠APE=∠BAD=2∠CED，
∴∠EDC=∠DCE=2∠CED，
∵∠EDC+∠DCE+∠CED=180°，
∴5∠CED=180°，
∴∠CED=36°；
（3）解：当点M 在点A、B 之间时，如图所示，MN 与AD 交于点F
∵MH⊥AD，
∴∠AHM=90°，
∴∠MAF+∠AMH=90°，
∵AB∥CD，
∴∠MAF=∠ADE，
∵∠ADE 与∠AMH 的角平分线相交于点N，
∴∠AMF=
1
2∠AMH，∠FDN=
1
2∠ADE=
1
2∠MAF，
∵∠AFM=∠DFN，
∴∠DNM+∠AND=∠MAF+∠AMF，
∴∠DNM+∠MAF=∠MAF+
1
2∠AMH，
∴∠DNM=
1
2（∠MAF+∠AMH）=
1
2×90°=45°；
当点E 在点A 的左侧时，设DM 交直线AD 于点G，
∵MH⊥AD，
∴∠AHM=90°，
∴∠MAG+∠AMH=90°，
∵AB∥CD，
∴∠MAG=∠ADE，
∵∠ADE 与∠AMH 的角平分线相交于点N，
∴∠HMG=
1
2∠AMH，∠GDN=
1
2∠ADE=
1
2∠MAG，
∴∠DNM=∠GDN+∠DGN
=∠GDN+∠HMG+∠MHG
=
1
2∠MAG+
1
2∠AMH+∠MHG
=
1
2（∠MAG+∠AMH）+∠MHG
=
1
2×90°+90°=135°；
综上所述，∠𝐷𝑁𝑀的度数为45°或135°．
【点睛】本题主要考查了平行线的判定和性质，三角形的内角和定理以及外角的性质等知识，熟练掌握平
行线的判定和性质，三角形的内角和定理以及外角的性质是解题的关键．
【变式9-2】如图，已知𝐴𝐷是△𝐴𝐵𝐶的角平分线（∠𝐴𝐶𝐵> ∠𝐵），𝐸𝐹⊥𝐴𝐷于点𝑃，交𝐵𝐶的延长线于点𝑀．
(1)如图1，若∠𝐴𝐶𝐵= 90°，求证：∠𝑀= ∠𝐵𝐴𝐷；
(2)如图2，求证：∠𝑀=
1
2(∠𝐴𝐶𝐵−∠𝐵)．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【分析】（1）利用三角形内角和定理，垂直定义，以及角平分线性质得到∠𝐴𝐷𝐶= ∠𝐴𝐸𝑃，再结合三角形内
角和定理，以及“8”字型，即可证明∠𝑀= ∠𝐵𝐴𝐷；
（2）利用三角形内角和定理，以及三角形外角性质得到∠𝑀= 90°−∠𝐵𝐴𝐷−∠𝐵，再结合角平分线性质，三
角形外角性质，对顶角性质进行等量代换，即可证明∠𝑀=
1
2(∠𝐴𝐶𝐵−∠𝐵)．
【详解】（1）证明：∵ ∠𝐴𝐶𝐵= 90°，
∴∠𝐴𝐷𝐶+ ∠𝐷𝐴𝐶= 90°，
∵ 𝐸𝐹⊥𝐴𝐷于点𝑃，
∴∠𝐴𝑃𝐸= ∠𝑀𝑃𝐷= 90°，
∴∠𝐴𝐸𝑃+ ∠𝐵𝐴𝐷= 90°，
∵ 𝐴𝐷是△𝐴𝐵𝐶的角平分线，
∴∠𝐵𝐴𝐷= ∠𝐷𝐴𝐶，
∴∠𝐴𝐷𝐶= ∠𝐴𝐸𝑃，
∵∠𝐴𝐷𝐶+ ∠𝑀= 90°，
∴ ∠𝑀= ∠𝐷𝐴𝐶= ∠𝐵𝐴𝐷；
（2）证明： ∵ 𝐸𝐹⊥𝐴𝐷于点𝑃，
∴∠𝐴𝑃𝐹= ∠𝑀𝑃𝐷= 90°，
∴∠𝐴𝐹𝑃+ ∠𝐷𝐴𝐶= 90°，
∴∠𝑀= 90°−∠𝐴𝐷𝐶 = 90°−(∠𝐵+ ∠𝐵𝐴𝐷) = 90°−∠𝐵𝐴𝐷−∠𝐵，
∵ 𝐴𝐷是△𝐴𝐵𝐶的角平分线，
∴∠𝐵𝐴𝐷= ∠𝐷𝐴𝐶，
∴∠𝑀= 90°−∠𝐷𝐴𝐶−∠𝐵= ∠𝐴𝐹𝑃−∠𝐵，
∵∠𝐴𝐶𝐷= ∠𝑀+ ∠𝑀𝐹𝐶= ∠𝑀+ ∠𝐴𝐹𝑃，
∴ ∠𝑀= ∠𝐴𝐶𝐷−∠𝑀−∠𝐵，
∴ 2∠𝑀= ∠𝐴𝐶𝐷−∠𝐵，
即2∠𝑀= ∠𝐴𝐶𝐵−∠𝐵，
∴ ∠𝑀=
1
2(∠𝐴𝐶𝐵−∠𝐵)．
【点睛】本题考查了三角形内角和定理，三角形外角性质，对顶角性质，垂直定义，以及角平分线性质，
解题的关键在于熟练掌握相关性质定理．
【变式9-3】（25-26 八年级上·江苏泰州·阶段检测）如图1，已知：在△𝐴𝐵𝐶中，𝐴𝐵= 𝐴𝐶，𝐷是边𝐴𝐵上一
点，𝐶𝐷= 𝐶𝐵．
(1)求证：∠𝐴= ∠𝐷𝐶𝐵；
(2)如图2，𝐵𝐸交𝐶𝐷于𝐹且∠𝐶𝐹𝐵= 90°，求证：∠𝐴= 2∠𝐴𝐵𝐸；
(3)如图3，过点𝐵作𝐵𝐺⊥𝐴𝐶交𝐶𝐷于𝐻，若△𝐷𝐵𝐻为等腰三角形，求∠𝐴的度数．
【答案】(1)证明见解析；
(2)证明见解析；
(3)∠𝐴的度数为36°或45°．
【分析】本题考查了等腰三角形的性质，三角形的外角性质，三角形的内角和定理，角平分线定义等知识，
掌握知识点的应用是解题的关键．
（1）由𝐴𝐵= 𝐴𝐶，𝐶𝐷= 𝐶𝐵，得∠𝐵= ∠𝐴𝐶𝐵，∠𝐵= ∠𝐶𝐷𝐵，然后通过三角形内角和定理得出
∠𝐴= 180°−2∠𝐵，∠𝐷𝐶𝐵= 180°−2∠𝐵，从而求证；
（2）由∠𝐶𝐹𝐵= 90°，得∠𝐶𝐹𝐵= ∠𝐶𝐹𝐸= 90°，所以∠𝐷𝐶𝐵+ ∠𝐶𝐵𝐸= 90°，∠𝐴𝐶𝐷+ ∠𝐶𝐸𝐵= 90°，设
∠𝐴= ∠𝐷𝐶𝐵= 𝑥，∠𝐴𝐵𝐸= 𝑦，则∠𝐵= 90°−𝑥+ 𝑦，然后通过直角三角形的性质，三角形的外角性质可得
∠𝐶𝐸𝐵= ∠𝐴+ ∠𝐴𝐵𝐸= 𝑥+ 𝑦，∠𝐴𝐶𝐷= 90°−∠𝐶𝐸𝐹= 90°−𝑥−𝑦，再由等量代换即可求解；
（3）由（1）得∠𝐴= ∠𝐷𝐶𝐵，∠𝐵= ∠𝐴𝐶𝐵，∠𝐵= ∠𝐶𝐷𝐵，设∠𝐴= ∠𝐷𝐶𝐵= 𝑚，则∠𝐷𝐵𝐻= 90°−𝑚，
∠𝐶𝐷𝐵= 90°−
𝑚
2，∠𝐷𝐻𝐵=
3
2𝑚，分①当𝐷𝐻= 𝐵𝐻时，②当𝐷𝐻= 𝐷𝐵时，③当𝐷𝐵= 𝐵𝐻时三种情况分析即可．
【详解】（1）证明：∵𝐴𝐵= 𝐴𝐶，𝐶𝐷= 𝐶𝐵，
∴∠𝐵= ∠𝐴𝐶𝐵，∠𝐵= ∠𝐶𝐷𝐵，
∵∠𝐴+ ∠𝐵+ ∠𝐴𝐶𝐵= 180°，∠𝐷𝐶𝐵+ ∠𝐵+ ∠𝐶𝐷𝐵= 180°，
∴∠𝐴= 180°−2∠𝐵，∠𝐷𝐶𝐵= 180°−2∠𝐵，
∴∠𝐴= ∠𝐷𝐶𝐵；
（2）解：∵∠𝐶𝐹𝐵= 90°，
∴∠𝐶𝐹𝐵= ∠𝐶𝐹𝐸= 90°，
∴∠𝐷𝐶𝐵+ ∠𝐶𝐵𝐸= 90°，∠𝐴𝐶𝐷+ ∠𝐶𝐸𝐵= 90°，
由（1）得∠𝐴= ∠𝐷𝐶𝐵，∠𝐵= ∠𝐴𝐶𝐵，
设∠𝐴= ∠𝐷𝐶𝐵= 𝑥，∠𝐴𝐵𝐸= 𝑦，则∠𝐵= 90°−𝑥+ 𝑦，
∴∠𝐶𝐸𝐵= ∠𝐴+ ∠𝐴𝐵𝐸= 𝑥+ 𝑦，
∴∠𝐴𝐶𝐷= 90°−∠𝐶𝐸𝐹= 90°−𝑥−𝑦，
∴∠𝐴𝐶𝐵= ∠𝐶𝐸𝐹+ ∠𝐶𝐹𝐵= 90°−𝑦，
∴90°−𝑥+ 𝑦= 90°−𝑦，
∴𝑥= 2𝑦，即∠𝐴= 2∠𝐴𝐵𝐸；
（3）解：由（1）得∠𝐴= ∠𝐷𝐶𝐵，∠𝐵= ∠𝐴𝐶𝐵，∠𝐵= ∠𝐶𝐷𝐵，
∵𝐵𝐺⊥𝐴𝐶，
∴∠𝐴𝐺𝐵= ∠𝐶𝐺𝐵= 90°，
设∠𝐴= ∠𝐷𝐶𝐵= 𝑚，则∠𝐷𝐵𝐻= 90°−𝑚，∠𝐶𝐷𝐵=
180°−𝑚
2
= 90°−
𝑚
2，
∴∠𝐷𝐻𝐵= 180°−∠𝐷𝐵𝐻−∠𝐶𝐷𝐵= 180°−(90°−𝑚)−90°−
𝑚
2
=
3
2𝑚，
①当𝐷𝐻= 𝐵𝐻时，
∴∠𝐻𝐷𝐵= ∠𝐷𝐵𝐻，即90°−
1
2𝑚= 90°−𝑚，
∴𝑚无解，
∴不存在𝐷𝐻= 𝐵𝐻；
②当𝐷𝐻= 𝐷𝐵时，
∴∠𝐷𝐻𝐵= ∠𝐷𝐵𝐻，即
3
2𝑚= 90°−𝑚，
∴𝑚= 36°，
∴∠𝐴= 36°；
③当𝐷𝐵= 𝐵𝐻时，
∴∠𝐻𝐷𝐵= ∠𝐷𝐻𝐵，即90°−
1
2𝑚=
3𝑚
2 ，
∴𝑚= 45°，
∴∠𝐴= 45°；
综上可得：△𝐷𝐵𝐻为等腰三角形，∠𝐴的度数为36°或45°．
【题型10 利用方程思想解决内、外角计算】
【例10】（25-26 七年级下·福建泉州·期中）【阅读材料】
如图1，点𝐵，𝐶分别在∠𝐸𝐴𝐹的两条边上，若∠𝐸𝐴𝐹和∠𝐶𝐵𝐹的角平分线交于点𝑃，则𝐶𝑃平分∠𝐸𝐶𝐵．
【数学思考】
利用上述材料的结论解决下列问题：
如图2，在等边△𝐴𝐵𝐶中，点𝑀在边𝐵𝐶的延长线上，𝐶𝑁∥𝐴𝐵，点𝐷在射线𝐶𝑁上（点𝐷不与点𝐶重合），𝐴𝐸
平分∠𝐶𝐴𝐷交射线𝐶𝑀于点𝐸．
(1)求∠𝑁𝐶𝑀；
(2)当点𝐷在射线𝐶𝑁上移动时，
①有同学猜想：在上述条件下，∠𝐴𝐷𝐶= 2∠𝐴𝐸𝐶始终成立．该猜想是否成立？若成立，请写出推理过程，
若不成立，请举出反例；
②连接𝐷𝐸，若∠𝐴𝐷𝐶−∠𝐴𝐸𝐷= 60∘，求∠𝐶𝐴𝐸的大小．
【答案】(1)∠𝑁𝐶𝑀= 60°
(2)①∠𝐴𝐷𝐶= 2∠𝐴𝐸𝐶成立，推理过程见解析；②∠𝐶𝐴𝐸= 15°
【分析】（1）根据平行线的性质，即可得出；
（2）①利用△𝐴𝐵𝐶是等边三角形，以及𝐶𝑁∥𝐴𝐵，得到∠𝐴𝐶𝐷= ∠𝐴𝐶𝐵= 60°，设∠𝐶𝐴𝐸= ∠𝐷𝐴𝐸= 𝑥，则
∠𝐶𝐴𝐷= 2𝑥，结合三角形外角的性质得到∠𝐴𝐸𝐶= ∠𝐴𝐶𝐵−∠𝐶𝐴𝐸= 60°−𝑥，在△𝐴𝐶𝐷中，∠𝐴𝐷𝐶= 180°−
(∠𝐴𝐶𝐷+ ∠𝐶𝐴𝐷) = 120°−2𝑥，综上∠𝐴𝐷𝐶= 2∠𝐴𝐸𝐶，结论成立；
②分别延长𝐴𝐷，𝐴𝐶到点H，G，先证明𝐶𝑀平分∠𝑁𝐶𝐺，再利用阅读材料的结论𝐷𝐸平分△𝐴𝐶𝐷的外角
∠𝐶𝐷𝐻，设∠𝐶𝐴𝐸= ∠𝐷𝐴𝐸= 𝑥，由平行线的性质得出∠𝐶𝐷𝐻= ∠𝐵𝐴𝐷，求出∠𝐸𝐷𝐻= 30° + 𝑥，又因为∠𝐸𝐷𝐻
是△𝐴𝐷𝐸的外角有∠𝐸𝐷𝐻= ∠𝐷𝐴𝐸+ ∠𝐴𝐸𝐷，得到∠𝐴𝐸𝐷= 30°，最后结合∠𝐴𝐷𝐶−∠𝐴𝐸𝐷= 60∘，即可得出答
案．
【详解】（1）解：∵ △𝐴𝐵𝐶是等边三角形，
∴ ∠𝐵= 60°
∵𝐶𝑁∥𝐴𝐵，
∴∠𝑁𝐶𝑀= ∠𝐵= 60°．
（2）①∠𝐴𝐷𝐶= 2∠𝐴𝐸𝐶成立，理由如下：
∵𝐴𝐸平分∠𝐶𝐴𝐷，
∴∠𝐶𝐴𝐸= ∠𝐷𝐴𝐸=
1
2∠𝐶𝐴𝐷,∠𝐶𝐴𝐷= 2∠𝐷𝐴𝐸，
设∠𝐶𝐴𝐸= ∠𝐷𝐴𝐸= 𝑥，则∠𝐶𝐴𝐷= 2𝑥，
∵ △𝐴𝐵𝐶是等边三角形，
∴∠𝐴𝐶𝐵= ∠𝐵𝐴𝐶= ∠𝐵= 60°，
∵∠𝐴𝐶𝐵= ∠𝐶𝐴𝐸+ ∠𝐴𝐸𝐶，
∴∠𝐴𝐸𝐶= ∠𝐴𝐶𝐵−∠𝐶𝐴𝐸= 60°−𝑥，
∵𝐶𝑁∥𝐴𝐵，
∴∠𝐴𝐶𝐷= ∠𝐵𝐴𝐶= 60°，
在△𝐴𝐶𝐷中，
∠𝐴𝐷𝐶= 180°−(∠𝐴𝐶𝐷+ ∠𝐶𝐴𝐷) = 180°−(60° + 2𝑥) = 120°−2𝑥
又∵∠𝐴𝐸𝐶= 60°−𝑥，
∴ ∠𝐴𝐷𝐶= 2(60°−𝑥) = 2∠𝐴𝐸𝐶．
②解：分别延长𝐴𝐷，𝐴𝐶到点H，G，如图2 所示：
∵∠𝑁𝐶𝑀= 60°,∠𝑀𝐶𝐺= ∠𝐴𝐶𝐵= 60°，
∴∠𝑁𝐶𝑀= ∠𝑀𝐶𝐺= 60°，
∴𝐶𝑀平分∠𝑁𝐶𝐺，
又∵𝐴𝐸平分∠𝐶𝐴𝐷，
由阅读材料的结论得：𝐷𝐸平分△𝐴𝐶𝐷的外角∠𝐶𝐷𝐻，
∴∠𝐸𝐷𝐻=
1
2∠𝐶𝐷𝐻，
设∠𝐶𝐴𝐸= ∠𝐷𝐴𝐸= 𝑥，则∠𝐶𝐴𝐷= 2𝑥，
∵𝐴𝐵∥𝐶𝐷，
∴∠𝐶𝐷𝐻= ∠𝐵𝐴𝐷= ∠𝐵𝐴𝐶+ ∠𝐶𝐴𝐷= 60° + 2𝑥，
∵𝐷𝐸平分∠𝐶𝐷𝐻，
∴∠𝐶𝐷𝐸= ∠𝐸𝐷𝐻=
1
2∠𝐶𝐷𝐻=
1
2(60° + 2𝑥) = 30° + 𝑥，
∵∠𝐸𝐷𝐻= ∠𝐷𝐴𝐸+ ∠𝐴𝐸𝐷
∴∠𝐴𝐸𝐷= ∠𝐸𝐷𝐻−∠𝐷𝐴𝐸= (30° + 𝑥)−𝑥= 30°，
∵∠𝐴𝐷𝐶−∠𝐴𝐸𝐷= 60°，
由①知，∠𝐴𝐷𝐶= 120°−2𝑥，
∴(120°−2𝑥)−30° = 60°，
∴𝑥= 15°，
∴∠𝐶𝐴𝐸= 15°．
【变式10-1】（25-26 八年级上·安徽合肥·期中）如图，在△𝐴𝐵𝐶中，点𝐷在𝐴𝐵上，过点𝐷作𝐷𝐸∥𝐵𝐶，交𝐴𝐶
于点𝐸，𝐷𝑃平分∠𝐴𝐷𝐸，交∠𝐴𝐶𝐵的平分线于点𝑃，𝐶𝑃与𝐷𝐸相交于点𝐺，∠𝐴𝐶𝐹的平分线𝐶𝑄与𝐷𝑃相交于点𝑄．
(1)若∠𝐴= 40∘，∠𝐵= 60∘，则∠𝐷𝑃𝐶= ______°，∠𝑄= _____°；
(2)求证：∠𝑄=
1
2∠𝐴；
(3)若△𝑃𝐶𝑄中存在一个内角等于另一个内角的三倍，请直接写出所有符合条件的∠𝐴的度数．
【答案】(1)110，20
(2)证明见解析
(3)∠𝐴的度数为45°或60°或120°或135°
【分析】（1）根据∠𝐴= 40°，∠𝐵=60°，可求出∠𝐴𝐶𝐵，再根据𝐶𝑃平分∠𝐴𝐶𝐵，𝐷𝑄平分∠𝐴𝐷𝐸，𝐷𝐸∥𝐵𝐶，可
求出∠𝑃𝐺𝐷，∠𝑃𝐷𝐺，进而可求出∠𝐷𝑃𝐶；再根据𝐶𝑄平分∠𝐴𝐶𝐹，可得出∠𝑃𝐶𝑄= 90°，进而求出∠𝑄．
（2）设∠𝐴= 𝑎，根据三角形内角和定理对∠𝐴𝐶𝐵进行表示，再根据𝐶𝑃平分∠𝐴𝐶𝐵，𝐷𝑄平分∠𝐴𝐷𝐸，𝐷𝐸∥𝐵𝐶，
可求出∠𝑃𝐺𝐷，∠𝑃𝐷𝐺，再根据三角形外角的性质求出∠𝑄𝑃𝐶，根据∠𝑃𝐶𝑄= 90°，求出∠𝑄，将∠𝐴与∠𝑄相较
即可证明．
（3）由（2）可知∠𝑄=
1
2∠𝐴，∠𝑃𝐶𝑄= 90°，则△𝑃𝐶𝑄的内角为90°，
1
2∠𝐴，90−
1
2∠𝐴，根据题意分类讨论即
可．
【详解】（1）解：∵ ∠𝐴= 40°，∠𝐵=60°，
∴ ∠𝐴𝐶𝐵= 180°−∠𝐴−∠𝐵= 80°，
∵ 𝐶𝑃平分∠𝐴𝐶𝐵，
∴ ∠𝐵𝐶𝑃= ∠𝐴𝐶𝑃=
1
2∠𝐴𝐶𝐵= 40°，
∵ 𝐷𝐸∥𝐵𝐶，
∴ ∠𝐴𝐷𝐸= ∠𝐵= 60°，∠𝑃𝐺𝐷= ∠𝐵𝐶𝑃= 40°，
∵ 𝐷𝑃平分∠𝐴𝐷𝐸，
∴ ∠𝑃𝐷𝐺=
1
2∠𝐴𝐷𝐸= 30°，
∴ ∠𝐷𝑃𝐶= 180°−∠𝑃𝐷𝐺−∠𝑃𝐺𝐷= 110°，
∴ ∠𝑄𝑃𝐶= 180°−110° = 70°，
∵ 𝐶𝑃平分∠𝐴𝐶𝐵，𝐶𝑄平分∠𝐴𝐶𝐹，
∴ ∠𝐴𝐶𝑃=
1
2∠𝐴𝐶𝐵，∠𝐴𝐶𝑄=
1
2∠𝐴𝐶𝐹，
∵ ∠𝐴𝐶𝐵+ ∠𝐴𝐶𝐹= 180°，
∴ ∠𝐴𝐶𝑃+ ∠𝐴𝐶𝑄= 90°，即∠𝑃𝐶𝑄= 90°，
∴ ∠𝑄= 90°−∠𝑄𝑃𝐶= 20°．
答：110，20．
（2）证明：设∠𝐴= 𝛼，则∠𝐴𝐶𝐵+ ∠𝐵= 180∘−𝛼．
∵𝐷𝐸∥𝐵𝐶，
∴∠𝐴𝐷𝐸= ∠𝐵，∠𝑃𝐺𝐷= ∠𝑃𝐶𝐵，
∵𝐷𝑃平分∠𝐴𝐷𝐸，𝐶𝑃平分∠𝐴𝐶𝐵，
∴∠𝑃𝐷𝐸=
1
2∠𝐴𝐷𝐸=
1
2∠𝐵，∠𝑃𝐶𝐵=
1
2∠𝐴𝐶𝐵= ∠𝑃𝐺𝐷，
∴∠𝐷𝑃𝐶= 180∘−(∠𝑃𝐷𝐸+ ∠𝑃𝐺𝐷)
= 180∘−1
2 (∠𝐵+ ∠𝐴𝐶𝐵)
= 180∘−1
2 × (180°−𝛼)
= 90∘+
1
2𝛼，
∴∠𝑄𝑃𝐶= 180∘−90∘+
1
2 𝛼= 90∘−
1
2𝛼，
∵∠𝐴𝐶𝐵+ ∠𝐴𝐶𝐹= 180∘，
∴∠𝐴𝐶𝑃+ ∠𝐴𝐶𝑄= 90∘，即∠𝑃𝐶𝑄= 90∘，
∴∠𝑄= 90∘−∠𝑄𝑃𝐶= 90∘−90∘−
1
2 𝛼=
1
2𝛼，
∴ ∠𝑄=
1
2∠𝐴．
（3）解：设∠𝐴= 𝛼，则∠𝑄𝑃𝐶= 90°−
1
2𝛼，∠𝑄=
1
2𝛼．
∵ ∠𝑃𝐶𝑄= 90°,
∴可分类讨论：
①当∠𝑃𝐶𝑄= 3∠𝐶𝑃𝑄时，
∴ 90° = 3 × 90°−
1
2 𝛼，
解得𝛼= 120°，
∴ ∠𝐴= 120°；
②当∠𝑃𝐶𝑄= 3∠𝑄时，
∴
1
2𝛼=
1
3 × 90°，
解得𝛼= 60°，
∴ ∠𝐴= 60°
③当∠𝐶𝑃𝑄= 3∠𝑄时，
∴ 90°−
1
2𝛼= 3 ×
1
2𝛼，
解得𝛼= 45°，
∴ ∠𝐴= 45°;
④当∠𝑄= 3∠𝐶𝑃𝑄时，
∴ 3 × (90°−
1
2𝛼) =
1
2𝛼，
解得𝛼= 135°，
∴ ∠𝐴= 135°
综上可知∠𝐴= 45°或60°或120°或135°．
答：∠𝐴的度数为45°或60°或120°或135°．
【点睛】本题考查平行线的性质，角平分线的定义，三角形内角和定理，三角形外角性质，掌握角度的和
差运算与代数推导是解题关键．
【变式10-2】（25-26 八年级上·湖北十堰·期末）如图1，已知∠𝑀𝑂𝑁= 60°，A、B 两点同时从点O 出发，
点A 沿射线𝑂𝑁运动，点B 沿射线𝑂𝑀运动．点C 为△𝐴𝐵𝑂三条内角平分线交点，连接𝐵𝐶、𝐴𝐶．
(1)如图2，当∠𝑂𝐴𝐵= 80°，求∠𝐴𝐶𝐵的大小．
(2)在点A、B 的运动过程中，∠𝐴𝐶𝐵的度数是否发生变化？若不发生变化，求其值；若发生变化，请说明理
由．
(3)如图3，连接𝑂𝐶并延长，与∠𝐴𝐵𝑀的角平分线交于点P，与𝐴𝐵交于点Q．在△𝐵𝐶𝑃中，如果有一个角是
另一个角的2 倍，直接写出∠𝐵𝐴𝑂的度数．
【答案】(1)120°
(2)不发生变化，值为120°
(3)60°或90°
【分析】本题考查三角形的综合应用，三角形内角和定理，三角形外角的性质，角平分线的定义，解题的
关键是掌握分类讨论的思想方法．
（1）根据题意，则∠𝐵𝐴𝐶=
1
2∠𝑂𝐴𝐵，∠𝐴𝐵𝐶=
1
2∠𝐴𝐵𝑂；再根据∠𝑀𝑂𝑁= 60°，∠𝑂𝐴𝐵= 80°，求出∠𝐴𝐵𝑂的
角度，最后根据∠𝐴𝐶𝐵= 180°−∠𝐴𝐵𝐶−∠𝐵𝐴𝐶求解即可；
（2）根据三角形的内角和求出∠𝐴𝐵𝑂+ ∠𝐵𝐴𝑂= 120°，根据角平分线定义得出2∠𝐵𝐴𝐶= ∠𝑂𝐴𝐵，
2∠𝐴𝐵𝐶= ∠𝐴𝐵𝑂，最后根据三角形内角和定理即可解答；（3）设∠𝑂𝐵𝐴= 𝑚根据题意，表示出△𝐵𝐶𝑃的三
个内角，分类讨论，即可．
【详解】（1）解：∵点C 为△𝐴𝐵𝑂三条内角平分线交点，
∴∠𝐵𝐴𝐶=
1
2∠𝑂𝐴𝐵，∠𝐴𝐵𝐶=
1
2∠𝐴𝐵𝑂，
∵∠𝑀𝑂𝑁= 60°，∠𝑂𝐴𝐵= 80°，
∴∠𝐴𝐵𝑂= 180°−60°−80° = 40°，∠𝐵𝐴𝐶=
1
2∠𝑂𝐴𝐵= 40°，
∴∠𝐴𝐵𝐶=
1
2∠𝐴𝐵𝑂= 20°，
∵∠𝐴𝐶𝐵= 180°−∠𝐴𝐵𝐶−∠𝐵𝐴𝐶，
∴∠𝐴𝐶𝐵= 180°−20°−40° = 120°；
（2）解：∵点C 为△𝐴𝐵𝑂三条内角平分线的交点，
∴𝐵𝐶平分∠𝑂𝐵𝐴，𝐴𝐶平分∠𝑂𝐴𝐵，
∴2∠𝐵𝐴𝐶= ∠𝑂𝐴𝐵，2∠𝐴𝐵𝐶= ∠𝐴𝐵𝑂，
∵∠𝑀𝑂𝑁= 60°，
∵∠𝐴𝐵𝑂+ ∠𝐵𝐴𝑂+ ∠𝑀𝑂𝑁= 180°，
∴2∠𝐵𝐴𝐶+ 2∠𝐴𝐵𝐶= 180°−∠𝑀𝑂𝑁= 120°，
∴∠𝐵𝐴𝐶+ ∠𝐴𝐵𝐶= 60°，
∴∠𝐴𝐶𝐵= 180°−(∠𝐴𝐵𝐶+ ∠𝐵𝐴𝐶) = 180°−60° = 120°，
∴ ∠𝐴𝐶𝐵的度数不变，值为120°；
（3）解：设∠𝑂𝐵𝐴= 𝑚，
∴∠𝑀𝐵𝐴= 180°−𝑚，
∵∠𝐴𝐵𝑂+ ∠𝐵𝐴𝑂+ ∠𝑀𝑂𝑁= 180°，∠𝑀𝑂𝑁= 60°，
∴∠𝐵𝐴𝑂+ 𝑚= 120°，
∴∠𝐵𝐴𝑂= 120°−𝑚，
∴∠𝐴𝐵𝑃=
1
2∠𝑀𝐵𝐴= 90°−
1
2𝑚，
∵点C 为△𝐴𝐵𝑂三条内角平分线交点，
∴∠𝐴𝐵𝐶=
1
2𝑚，∠𝑂𝐵𝐶=
1
2𝑚，∠𝐵𝑂𝐶= 30°，
∴∠𝐵𝐶𝑃= ∠𝐵𝐶𝑂+ ∠𝑂𝐵𝐶= 30° +
1
2𝑚，
∴∠𝐶𝐵𝑃= ∠𝐴𝐵𝐶+ ∠𝐴𝐵𝑃= 90°−
1
2𝑚+
1
2𝑚= 90°，
∴∠𝑃= 180°−∠𝐶𝐵𝑃−∠𝐵𝐶𝑃= 60°−
1
2𝑚，
在△𝐵𝐶𝑃中有一个角是另一个角的2 倍，
分以下4 种情况讨论：
①若∠𝐶𝐵𝑃= 2∠𝐵𝐶𝑃，
∴90° = 2 30° +
1
2 𝑚，
∴𝑚= 30°，
∴∠𝐵𝐴𝑂= 120°−𝑚= 120°−30° = 90°；
②∠𝐶𝐵𝑃= 2∠𝑃，
∴90° = 2 60°−
1
2 𝑚，
∴𝑚= 30°，
∴∠𝐵𝐴𝑂= 120°−𝑚= 120°−30° = 90°；
③∠𝐵𝐶𝑃= 2∠𝑃，
∴30° +
1
2𝑚= 2 60°−
1
2 𝑚，
∴𝑚= 60°，
∴∠𝐵𝐴𝑂= 120°−𝑚= 120°−60° = 60°；
④∠𝑃= 2∠𝐵𝐶𝑃，
∴60°−
1
2𝑚= 2 30° +
1
2 𝑚，
∴𝑚= 0°（舍去）；
综上所述，∠𝐵𝐴𝑂为60°或90°．
【变式10-3】（25-26 八年级上·安徽合肥·期中）已知直线𝐴𝐵与𝐶𝐷相交于点O，点E，F 分别在射线𝑂𝐵和𝑂𝐷
上．
(1)如图1，∠𝐵𝑂𝐷= 60°，𝐸𝑃平分∠𝑂𝐸𝐹，𝐹𝑃平分∠𝑂𝐹𝐸，求∠𝐸𝑃𝐹的度数；
(2)如图2，𝐸𝑃平分∠𝑂𝐸𝐹，𝐹𝐺平分∠𝐷𝐹𝐸，𝐹𝐺的反向延长线交𝐸𝑃于点𝑃；
①若∠𝐵𝑂𝐷= 60°，则∠𝑃= __________度（直接写出结果，不需说理）；
②若∠𝐵𝑂𝐷= 𝛼°，求∠𝑃的度数（请写出完整的推理过程）．
(3)如图3，点𝐺在𝐹𝐸的延长线上，∠𝑂𝐸𝐹的角平分线𝐸𝑃，∠𝐴𝑂𝐹的角平分线𝑂𝑃与∠𝑂𝐸𝐺的角平分线所在的直
线分别相交于点P、Q，若△𝑃𝐸𝑄的某一个内角是∠𝑃的2 倍；请直接写出∠𝑂𝐹𝐸的度数．
【答案】(1)120°
(2)①30；②
1
2𝛼°
(3)60°或90°
【分析】本题主要考查了三角形内角和定理，三角形外角的性质，角平分线的定义，利用分类讨论的思想
求解是解题的关键．
（1）由三角形内角和定理可得∠𝑂𝐹𝐸+ ∠𝑂𝐸𝐹的结果，再由角平分线的定义可推出∠𝑃𝐸𝐹+ ∠𝑃𝐹𝐸的结果，
据此由三角形内角和定理可得答案；
（2）①设∠𝑂𝐸𝐹= 2𝑥，由三角形内角和定理可得∠𝑂𝐹𝐸= 120°−2𝑥，则由平角的定义可得
∠𝐷𝐹𝐸= 60° + 2𝑥，由角平分线的定义可推出∠𝑂𝐹𝑃= ∠𝐷𝐹𝐺= 30° + 𝑥，则
∠𝐸𝐹𝑃= ∠𝑂𝐹𝐸+ ∠𝑂𝐹𝑃= 150°−𝑥，据此由三角形内角和定理可得答案；②同（2）①求解即可；
（3）由角平分线的定义和三角形外角的性质可证明∠𝑃=
1
2∠𝑂𝐹𝐸；根据角平分线的定义和三角形内角和定
理可求出∠𝑄= 90°−
1
2∠𝑂𝐹𝐸， 则可得到∠𝑃𝐸𝑄= 90°；再分∠𝑃𝐸𝑄= 2∠𝑃和∠𝑄= 2∠𝑃两种情况，讨论求解即
可．
【详解】（1）解：∵∠𝐵𝑂𝐷= 60°，
∴∠𝑂𝐹𝐸+ ∠𝑂𝐸𝐹= 180°−∠𝐸𝑂𝐹= 120°；
∵𝐸𝑃平分∠𝑂𝐸𝐹，𝐹𝑃平分∠𝑂𝐹𝐸，
∴∠𝑃𝐸𝐹=
1
2∠𝑂𝐸𝐹，∠𝑃𝐹𝐸=
1
2∠𝑂𝐹𝐸，
∴∠𝑃𝐸𝐹+ ∠𝑃𝐹𝐸=
1
2∠𝑂𝐸𝐹+
1
2∠𝑂𝐹𝐸=
1
2 ∠𝑂𝐸𝐹+
1
2 𝑂𝐹𝐸= 60°，
∴∠𝐸𝑃𝐹= 180°−(∠𝑃𝐸𝐹+ ∠𝑃𝐹𝐸) = 120°；
（2）解：①设∠𝑂𝐸𝐹= 2𝑥，
∵∠𝐵𝑂𝐷= 60°，
∴∠𝑂𝐹𝐸= 180°−∠𝑂𝐸𝐹−∠𝐸𝑂𝐹= 120°−2𝑥，
∴∠𝐷𝐹𝐸= 180°−∠𝑂𝐹𝐸= 60° + 2𝑥，
∵𝐸𝑃平分∠𝑂𝐸𝐹，𝐹𝐺平分∠𝐷𝐹𝐸，
∴∠𝑃𝐸𝐹=
1
2∠𝑂𝐸𝐹= 𝑥，∠𝐷𝐹𝐺=
1
2∠𝐷𝐹𝐸= 30° + 𝑥，
∴∠𝑂𝐹𝑃= ∠𝐷𝐹𝐺= 30° + 𝑥，
∴∠𝐸𝐹𝑃= ∠𝑂𝐹𝐸+ ∠𝑂𝐹𝑃= 150°−𝑥，
∴∠𝑃= 180°−∠𝐸𝐹𝑃−∠𝑃𝐸𝐹= 180°−150° + 𝑥−𝑥= 30°；
②设∠𝑂𝐸𝐹= 2𝑦，
∵∠𝐵𝑂𝐷= 𝛼°，
∴∠𝑂𝐹𝐸= 180°−∠𝑂𝐸𝐹−∠𝐸𝑂𝐹= 180°−𝛼°−2𝑦，
∴∠𝐷𝐹𝐸= 180°−∠𝑂𝐹𝐸= 𝛼° + 2𝑦，
∵𝐸𝑃平分∠𝑂𝐸𝐹，𝐹𝐺平分∠𝐷𝐹𝐸，
∴∠𝑃𝐸𝐹=
1
2∠𝑂𝐸𝐹= 𝑦，∠𝐷𝐹𝐺=
1
2∠𝐷𝐹𝐸=
1
2𝛼° + 𝑦，
∴∠𝑂𝐹𝑃= ∠𝐷𝐹𝐺=
1
2𝛼° + 𝑦，
∴∠𝐸𝐹𝑃= ∠𝑂𝐹𝐸+ ∠𝑂𝐹𝑃= 180°−
1
2𝛼°−𝑦，
∴∠𝑃= 180°−∠𝐸𝐹𝑃−∠𝑃𝐸𝐹= 180°−180° +
1
2𝛼° + 𝑦−𝑦=
1
2𝛼°；
（3）解：∵𝑂𝑃平分∠𝐴𝑂𝐷，𝐸𝑃平分∠𝑂𝐸𝐹，
∴∠𝐴𝑂𝑃=
1
2∠𝐴𝑂𝐷，∠𝐴𝐸𝑃=
1
2∠𝐴𝐸𝐹；
∵∠𝐴𝑂𝐷= ∠𝑂𝐸𝐹+ ∠𝑂𝐹𝐸，∠𝐴𝑂𝑃= ∠𝑃+ ∠𝐴𝐸𝑃，
∴
1
2(∠𝑂𝐸𝐹+ ∠𝑂𝐹𝐸) = ∠𝑃+
1
2∠𝐴𝐸𝐹，
∴∠𝑃=
1
2∠𝑂𝐹𝐸；
∵𝐸𝑄平分∠𝑂𝐸𝐺，
∴∠𝑂𝐸𝑄=
1
2∠𝑂𝐸𝐺=
1
2(180°−∠𝑂𝐸𝐹) = 90°−
1
2∠𝑂𝐸𝐹，
又∵∠𝐸𝑂𝑄= ∠𝐴𝑂𝑃= ∠𝑃+ ∠𝐴𝐸𝑃=
1
2∠𝑂𝐹𝐸+
1
2∠𝑂𝐸𝐹，
∴∠𝑄= 180°−∠𝑂𝐸𝑄−∠𝐸𝑂𝑄= 90°−
1
2∠𝑂𝐹𝐸，
∴∠𝑃𝐸𝑄= 180°−∠𝑃−∠𝑄= 90°；
当∠𝑃𝐸𝑄= 2∠𝑃时，则∠𝑃= 45°，
∴∠𝑂𝐹𝐸= 90°；
当∠𝑄= 2∠𝑃时，则2∠𝑃= 90°−∠𝑃，
∴∠𝑃= 30°，
∴∠𝑂𝐹𝐸= 60°；
综上所述，∠𝑂𝐹𝐸的度数为60°或90°．
【题型11 特定几何模型中的角度求和】
【例11】如图，在△𝐴𝐵𝐶中，∠𝐵= 58°，三角形两外角的角平分线交于点E，则∠𝐴𝐸𝐶= ________．
【答案】61°
【分析】先根据三角形的内角和定理和平角定义求得∠DAC+∠ACF 的度数，再根据角平分线的定义求得
∠EAC+∠ECA 的度数，即可解答．
【详解】解：∵∠B+∠BAC+∠BCA=180°，∠B=58°，
∴∠BAC+∠BCA=180°﹣∠B=180°﹣58°=122°，
∵∠BAC+∠DAC=180°，∠BCA+∠ACF=180°，
∴∠DAC+∠ACF=360°﹣（∠BAC+∠BCA）=360°﹣122°=238°，
∵AE 平分∠DAC，CE 平分∠ACF，
∴∠EAC=
1
2∠DAC，∠ECA=
1
2∠ACF，
∴∠EAC+∠ECA =
1
2（∠DAC+∠ACF）=119°，
∵∠EAC+∠ECA+∠AEC=180°，
∴∠AEC=180°﹣（∠EAC+∠ECA）=180°﹣119°=61°，
故答案为：61°．
【点睛】本题考查三角形的内角和定理、角平分线的定义、平角定义，熟练掌握三角形的内角和定理和角
平分线的定义是解答的关键．
【变式11-1】如图，已知在△𝐴𝐵𝐶中，∠𝐴= 40°，现将一块直角三角板放在△𝐴𝐵𝐶上，使三角板的两条直
角边分别经过点𝐵,𝐶，直角顶点D 落在△𝐴𝐵𝐶的内部，则∠𝐴𝐵𝐷+ ∠𝐴𝐶𝐷= （ ）．
A．90°
B．60°
C．50°
D．40°
【答案】C
【分析】由三角形内角和定理可得∠ABC+∠ACB+∠A=180°，即∠ABC+∠ACB=180-∠A=140°，再说明
∠DBC+∠DCB=90°，进而完成解答．
【详解】解：∵在△ABC 中，∠A=40°
∴∠ABC+∠ACB=180-∠A=140°
∵在△DBC 中，∠BDC=90°
∴∠DBC+∠DCB=180°-90°=90°
∴∠𝐴𝐵𝐷+ ∠𝐴𝐶𝐷= 140°-90°=50°
故选C．
【点睛】本题主要考查三角形内角和定理，灵活运用三角形内角和定理成为解答本题的关键．
【变式11-2】（25-26 八年级上·安徽马鞍山·期中）线段𝐴𝐵、𝐶𝐷相交于点𝑂，连接𝐴𝐷、𝐶𝐵，我们把如图1
的图形称之为“8 字形”，则∠𝐴+ ∠𝐷= ∠𝐵+ ∠𝐶，如图2，在图1 的条件下，∠𝐷𝐴𝐵和∠𝐵𝐶𝐷的平分线𝐴𝑃和𝐶𝑃
相交于点𝑃，并且与𝐶𝐷、𝐴𝐵分别相交于𝑀、𝑁，若∠𝐵= 30°，∠𝐷= 40°，则∠𝑃的度数是______．
【答案】35°/35 度
【分析】本题主要考查三角形内角和及外角，角平分线等知识点，熟练掌握基本知识是解题关键；
由“8 字形”结论可知∠𝐷𝐴𝑂+ ∠𝐷= ∠𝑂𝐶𝐵+ ∠𝐵， ∠𝐷𝐴𝑀+ ∠𝐷= ∠𝑂𝐶𝑃+ ∠𝑃，结合∠𝐷= 40°，∠𝐵= 30°得
到∠𝑂𝐶𝐵−∠𝐷𝐴𝑂= 10°，再由角平分线得到∠𝐷𝐴𝑀=
1
2∠𝐷𝐴𝑂，∠𝑂𝐶𝑃=
1
2∠𝑂𝐶𝐵，最后代入
∠𝑃= ∠𝐷𝐴𝑀+ ∠𝐷−∠𝑂𝐶𝑃计算即可．
【详解】解：由“8 字形”结论得到∠𝐷𝐴𝑂+ ∠𝐷= ∠𝑂𝐶𝐵+ ∠𝐵， ∠𝐷𝐴𝑀+ ∠𝐷= ∠𝑂𝐶𝑃+ ∠𝑃，
∵∠𝐷= 40°，∠𝐵= 30°，
∴∠𝐷𝐴𝑂+ 40° = ∠𝑂𝐶𝐵+ 30°，
∴∠𝑂𝐶𝐵−∠𝐷𝐴𝑂= 10°，
∵∠𝐷𝐴𝐵和∠𝐵𝐶𝐷的平分线𝐴𝑃和𝐶𝑃相交于点P，
∴∠𝐷𝐴𝑀=
1
2∠𝐷𝐴𝑂，∠𝑂𝐶𝑃=
1
2∠𝑂𝐶𝐵，
∵∠𝐷𝐴𝑀+ ∠𝐷= ∠𝑂𝐶𝑃+ ∠𝑃，
∴∠𝑃= ∠𝐷𝐴𝑀+ ∠𝐷−∠𝑂𝐶𝑃
=
1
2∠𝐷𝐴𝑂+ 40°−
1
2∠𝑂𝐶𝐵
= 40°−
1
2(∠𝑂𝐶𝐵−∠𝐷𝐴𝑂)
= 40°−
1
2 × 10°
= 35°．
故答案为： 35°．
【变式11-3】（25-26 八年级上·吉林延边·期中）请你参与下面的探究过程，并完成所提出的问题．
【探究】
（1）如图①，点𝑃是△𝐴𝐵𝐶的内角∠𝐴𝐵𝐶与内角∠𝐴𝐶𝐵的平分线𝐵𝑃和𝐶𝑃的交点，若∠𝐴= 70°，则∠𝐵𝑃𝐶=
______°．
（2）如图②，点𝑃是△𝐴𝐵𝐶的外角∠𝐷𝐵𝐶与外角∠𝐸𝐶𝐵的平分线𝐵𝑃和𝐶𝑃的交点．求证：∠𝐵𝑃𝐶= 90°−
1
2∠𝐴．
【拓展】
（3）如图③，点𝑃是△𝐴𝐵𝐶的外角∠𝐷𝐵𝐶与外角∠𝐸𝐶𝐵的平分线𝐵𝑃和𝐶𝑃的交点，点𝑀、𝑁分别在边𝐴𝐵、𝐴𝐶
上，连接𝑀𝑁．设∠𝐵𝑀𝑁+ ∠𝐶𝑁𝑀= 𝑥．
①∠𝐵𝑃𝐶与𝑥的数量关系是______．
②当△𝐵𝑃𝐶为锐角三角形时，直接写出𝑥的取值范围．
【答案】（1）125°；（2）见解析；（3）①∠𝐵𝑃𝐶= 180°−
1
2𝑥；②180° < 𝑥< 360°
【分析】本题考查了三角形内角和，角平分线的性质，外角的性质等相关知识，解题关键在于熟练掌握其
知识点.
（1）先根据三角形内角和定理求出∠𝐴𝐵𝐶+ ∠𝐴𝐶𝐵的度数，再根据角平分线的性质求出∠𝑃𝐵𝐶+ ∠𝑃𝐶𝐵的度
数，由三角形内角和定理即可求出答案；
（2）根据角平分线的定义可得∠𝐷𝐵𝑃= ∠𝐶𝐵𝑃=
1
2∠𝐷𝐵𝐶，∠𝐸𝐶𝑃= ∠𝐵𝐶𝑃=
1
2∠𝐸𝐶𝐵，然后根据三角形内角和
定理列式整理即可得解；
（3）①根据四边形的内角和定理表示出∠𝐷𝐵𝑃= ∠𝐶𝐵𝑃=
1
2∠𝐷𝐵𝐶，∠𝐸𝐶𝑃= ∠𝐵𝐶𝑃=
1
2∠𝐸𝐶𝐵，然后同理
（2）解答即可；②根据△𝐵𝑃𝐶为锐角三角形，得到𝑥的取值范围，即可得到结论．
【详解】解：（1）∵点𝑃是△𝐴𝐵𝐶的内角∠𝐴𝐵𝐶与内角∠𝐴𝐶𝐵的平分线𝐵𝑃和𝐶𝑃的交点，
∴∠𝐴𝐵𝑃= ∠𝐶𝐵𝑃=
1
2∠𝐴𝐵𝐶，∠𝐴𝐶𝑃= ∠𝐵𝐶𝑃=
1
2∠𝐴𝐶𝐵
∴∠𝐴𝐵𝐶+ ∠𝐴𝐶𝐵= 180°−∠𝐴= 180°−70°=110°
∴∠𝐵𝑃𝐶= 180°−∠𝑃𝐵𝐶−∠𝑃𝐶𝐵= 180°−
1
2∠𝐴𝐵𝐶−
1
2∠𝐴𝐶𝐵
= 180°−
1
2(∠𝐴𝐵𝐶+ ∠𝐴𝐶𝐵) = 180°−
1
2 × 110° = 125°
故答案为：125°；
（2）∵点𝑃是△𝐴𝐵𝐶的外角∠𝐷𝐵𝐶与外角∠𝐸𝐶𝐵的平分线𝐵𝑃和𝐶𝑃的交点
∴∠𝐷𝐵𝑃= ∠𝐶𝐵𝑃=
1
2∠𝐷𝐵𝐶，∠𝐸𝐶𝑃= ∠𝐵𝐶𝑃=
1
2∠𝐸𝐶𝐵
∵∠𝐴𝐵𝐶+ ∠𝐴𝐶𝐵= 180°−∠𝐴
∴∠𝐷𝐵𝐶+ ∠𝐸𝐶𝐵= 360°−(∠𝐴𝐵𝐶+ ∠𝐴𝐶𝐵) = 360°−180°+∠𝐴= 180°+∠𝐴
∴∠𝐵𝑃𝐶= 180°−∠𝑃𝐵𝐶−∠𝑃𝐶𝐵= 180°−
1
2∠𝐷𝐵𝐶−
1
2∠𝐸𝐶𝐵
= 180°−
1
2(∠𝐷𝐵𝐶+ ∠𝐸𝐶𝐵) = 180°−
1
2(180° + ∠𝐴) = 90°−
1
2∠𝐴
∴∠𝐵𝑃𝐶= 90°−
1
2∠𝐴；
（3）①点𝑃是△𝐴𝐵𝐶的外角∠𝐷𝐵𝐶与外角∠𝐸𝐶𝐵的平分线𝐵𝑃和𝐶𝑃的交点，
∴∠𝐷𝐵𝑃= ∠𝐶𝐵𝑃=
1
2∠𝐷𝐵𝐶，∠𝐸𝐶𝑃= ∠𝐵𝐶𝑃=
1
2∠𝐸𝐶𝐵
∴∠𝐴𝐵𝐶+ ∠𝐴𝐶𝐵= 360°−(∠𝐵𝑀𝑁+ ∠𝐶𝑁𝑀) = 360°−𝑥
∴∠𝐷𝐵𝐶+ ∠𝐸𝐶𝐵= 360°−(∠𝐴𝐵𝐶+ ∠𝐴𝐶𝐵) = 360°−(360°−𝑥) = 𝑥
∴∠𝐵𝑃𝐶= 180°−∠𝑃𝐵𝐶−∠𝑃𝐶𝐵= 180°−
1
2∠𝐷𝐵𝐶−
1
2∠𝐸𝐶𝐵
= 180°−
1
2(∠𝐷𝐵𝐶+ ∠𝐸𝐶𝐵) = 180°−
1
2𝑥= 180°−
1
2𝑥，
故答案为：∠𝐵𝑃𝐶= 180°−
1
2𝑥；
②∵△𝐵𝑃𝐶为锐角三角形，
∴0° < ∠𝐵𝑃𝐶< 90°；
∴0° < 180°−
1
2𝑥< 90°；
∴180° < 𝑥< 360° .
【题型12 内外角性质的规律探究】
【例12】（25-26 八年级下·甘肃白银·期中）如图，在△𝐴𝐵𝐶中，∠𝐴= 64°，∠𝐴𝐵𝐶与∠𝐴𝐶𝐷的平分线交于点
𝐴1，∠𝐴1𝐵𝐶与∠𝐴1𝐶𝐷的平分线相交于点𝐴2，．．．；依此规律得∠𝐴2026，则∠𝐴2026 = _____．
【答案】
(
1
22020 )
∘
【分析】由∠𝐴1𝐶𝐷= ∠𝐴1 +∠𝐴1𝐵𝐶，∠𝐴𝐶𝐷= ∠𝐴𝐵𝐶+ ∠𝐴，而𝐴1𝐵、𝐴1𝐶分别平分∠𝐴𝐵𝐶和∠𝐴𝐶𝐷，得到
∠𝐴𝐶𝐷= 2∠𝐴1𝐶𝐷，∠𝐴𝐵𝐶= 2∠𝐴1𝐵𝐶，于是有∠𝐴= 2∠𝐴1，同理可得∠𝐴1 = 2∠𝐴2，即∠𝐴= 22∠𝐴2，因此找
出规律．
【详解】解：∵𝐴1𝐵、𝐴1𝐶分别平分∠𝐴𝐵𝐶和∠𝐴𝐶𝐷，
∴∠𝐴𝐶𝐷= 2∠𝐴1𝐶𝐷，∠𝐴𝐵𝐶= 2∠𝐴1𝐵𝐶，
而∠𝐴1𝐶𝐷= ∠𝐴1 +∠𝐴1𝐵𝐶，∠𝐴𝐶𝐷= ∠𝐴𝐵𝐶+ ∠𝐴，
∴2∠𝐴1𝐶𝐷= 2∠𝐴1𝐵𝐶+ ∠𝐴，
∴∠𝐴1𝐶𝐷−∠𝐴1𝐵𝐶= ∠𝐴1，2∠𝐴1𝐶𝐷−2∠𝐴1𝐵𝐶= ∠𝐴，
∴∠𝐴= 2∠𝐴1 = 64°，
∴∠𝐴1 = 32°，
同理可得∠𝐴1 = 2∠𝐴2，
∴∠𝐴= 22∠𝐴2 = 64°，
∴∠𝐴2 = 16°，
以此类推可得：∠𝐴= 2𝑛∠𝐴𝑛，
∴∠𝐴𝑛=
64°
2𝑛.
∴∠𝐴2026 =
64°
22026 =
26×1°
22026 =
1
22020 °．
【变式12-1】如图，𝑎∥𝑏，直线𝑎,𝑏被直线𝑐所截，𝐴𝐶1,𝐵𝐶1分别平分∠𝐸𝐴𝐵,∠𝐹𝐵𝐴,𝐴𝐶2,𝐵𝐶2分别平分∠𝐸𝐴𝐶1,∠𝐹𝐵
𝐶1,𝐴𝐶3,𝐵𝐶3分别平分∠𝐸𝐴𝐶2,∠𝐹𝐵𝐶2交于点𝐶3…依此规律，得角∠𝐶𝑛，则∠𝐶3 = __________度，∠𝐶𝑛=
__________度．
【答案】
22.5°
180°
2𝑛
【分析】根据𝑎∥𝑏以及𝐴𝐶1，𝐵𝐶1分别平分∠𝐸𝐴𝐵，即可得出∠𝐶1 = 90°，写出部分∠𝐶𝑛的度数，根据数据的
变化找出变化规律∠𝐶𝑛=
180°
2𝑛，依此规律即可得出结论．
【详解】解：∵𝑎∥𝑏，
∴∠𝐸𝐴𝐵+ ∠𝐴𝐵𝐹= 180°，
∵𝐴𝐶1，𝐵𝐶1分别平分∠𝐸𝐴𝐵，∠𝐹𝐵𝐴，
∴∠𝐵𝐴𝐶1 = ∠𝐸𝐴𝐶1 =
1
2∠𝐸𝐴𝐵，∠𝐴𝐵𝐶1 = ∠𝐹𝐵𝐶1 =
1
2∠𝐹𝐵𝐴，
∴∠𝐵𝐴𝐶1 +∠𝐴𝐵𝐶1 =
1
2(∠𝐸𝐴𝐵+ ∠𝐴𝐵𝐹) = 90°
∴∠𝐶1 = 180°−(∠𝐵𝐴𝐶1 + ∠𝐴𝐵𝐶1) = 90°，
∵𝐴𝐶2,𝐵𝐶2分别平分∠𝐸𝐴𝐶1,∠𝐹𝐵𝐶1，
∴设∠𝐸𝐴𝐶2 = ∠𝐶1𝐴𝐶2 = 𝑥，∠𝐹𝐵𝐶2 = ∠𝐶1𝐵𝐶2 = 𝑦，
∴∠𝐸𝐴𝐶1 = 𝐵𝐴𝐶1 = 2𝑥,∠𝐹𝐵𝐶1 = ∠𝐴𝐵𝐶1 = 2𝑦，
∴∠𝐵𝐴𝐶2 = 2𝑥+ 𝑥= 3𝑥，∠𝐴𝐵𝐶2 = 2𝑦+ 𝑦= 3𝑦，
∵∠𝐵𝐴𝐶1 +∠𝐴𝐵𝐶1 = 2𝑥+ 2𝑦= 90°，
∴𝑥+ 𝑦= 45°，
∴∠𝐶2 = 180°−(∠𝐵𝐴𝐶2 + ∠𝐴𝐵𝐶2) = 180°−3(𝑥+ 𝑦) = 45°
即∠𝐶2 =
1
2∠𝐶1 = 45° =
180°
22 ，
同理∠𝐶3 =
1
2∠𝐶2 =
180°
23 = 22.5°，
∠𝐶4 =
1
2∠𝐶3 = 11.25° =
180°
24 ，
⋯
∴∠𝐶𝑛=
180°
2𝑛．
【变式12-2】如图，若∠𝐵= 40°,𝐴,𝐶分别为角两边上的任意一点，连接𝐴𝐶,∠𝐵𝐴𝐶与∠𝐴𝐶𝐵的平分线交于点𝑃1
,𝐷、𝐹也为角两边上的任意一点，连接𝐷𝐹,∠𝐵𝐹𝐷与∠𝐹𝐷𝐵的平分线交于点𝑃2,…按这样规律，则∠𝑃2021 =
_____．
【答案】110°/110度
【分析】本题考查了三角形的内角和，角平分线的定义，熟练掌握三角形的内角和是解题的关键．根据三
角形的内角和得到∠𝐵𝐴𝐶+ ∠𝐵𝐶𝐴= 180°−∠𝐵= 140°，由角平分线的定义得到∠𝑃1𝐴𝐶=
1
2∠𝐵𝐴𝐶，∠𝑃1𝐶𝐴=
1
2∠𝐵𝐶𝐴，于是得到∠𝑃1𝐴𝐶+ ∠𝑃1𝐶𝐴=
1
2(∠𝐵𝐴𝐶+ ∠𝐴𝐶𝐵) = 70°，根据三角形的内角和得到∠𝑃1 = 180°−
(∠𝑃1𝐴𝐶+ ∠𝑃1𝐶𝐴) = 110°，同理∠𝑃2 = 110°按这样规律，则可求∠𝑃2021．
【详解】解：∵∠𝐵= 40°，
∴∠𝐵𝐴𝐶+ ∠𝐵𝐶𝐴= 180°−∠𝐵= 140°，
∵∠𝐵𝐴𝐶与∠𝐴𝐶𝐵的平分线交于𝑃1，
∴∠𝑃1𝐴𝐶=
1
2∠𝐵𝐴𝐶，∠𝑃1𝐶𝐴=
1
2∠𝐵𝐶𝐴，
∴∠𝑃1𝐴𝐶+ ∠𝑃1𝐶𝐴=
1
2(∠𝐵𝐴𝐶+ ∠𝐴𝐶𝐵) = 70°，
∴∠𝑃1 = 180°−(∠𝑃1𝐴𝐶+ ∠𝑃1𝐶𝐴) = 110°，
同理∠𝑃2 = 110°，
…，
按这样规律，则∠𝑃2021 = 110°，
故答案为：110°．
【变式12-3】（24-25 八年级上·山东德州·期中）如图，已知∠𝐴𝑂𝐵= 𝛼，在射线𝑂𝐴、𝑂𝐵上分别取点𝑂𝐴1 = 𝑂
𝐵1，连接𝐴1𝐵1，在𝐵1𝐴1、𝐵1𝐵上分别取点𝐴2、𝐵2，使𝐵1𝐵2 = 𝐵1𝐴2，连接𝐴2𝐵2，…，按此规律，记∠𝐴2𝐵1𝐵2
= 𝜃1，∠𝐴3𝐵2𝐵3 = 𝜃2，…，∠𝐴𝑛+1𝐵𝑛𝐵𝑛+1 = 𝜃𝑛，则𝜃2025−𝜃2024的值为______．
【答案】
180°−𝛼
22025
【分析】本题考查了等腰三角形的性质，三角形外角性质，熟练掌握等腰三角形的性质是解题的关键；
根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理得出𝜃1 =
180°+𝛼
2
，𝜃2 =
3×180°+𝛼
22
，进而求得𝜃𝑛=
(2𝑛−1)×180°+𝛼
2𝑛
，
进而求解即可
【详解】解：∵𝑂𝐴1 = 𝑂𝐵1，∠𝐴𝑂𝐵= 𝛼，
∴∠𝑂𝐴1𝐵1 =
180°−𝛼
2
，
∴∠𝐴2𝐵1𝐵2 = 𝜃1 = ∠𝑂𝐴1𝐵1 +∠𝐴𝑂𝐵=
180°−𝛼
2
+𝛼=
180°+𝛼
2
，
∵ 𝐵1𝐵2 = 𝐵1𝐴2，
∴∠𝐵1𝐴2𝐵2 =
180°−𝜃1
2
，
∴∠𝐴3𝐵2𝐵3 = 𝜃2 = ∠𝐵1𝐴2𝐵2 + 𝜃1 =
180°+𝜃1
2
=
3×180°+𝛼
22
，
∴∠𝐴4𝐵3𝐵4 = 𝜃3 =
7×180°+𝛼
23
，
故𝜃𝑛=
(2𝑛−1)×180°+𝛼
2𝑛
，
∴𝜃2025 =
(22025−1)×180°+𝛼
22025
，
∴𝜃2024 =
(22024−1)×180°+𝛼
22024
，
∴𝜃2025−𝜃2024 =
(22025−1)×180°+𝛼
22025
−
(22024−1)×180°+𝛼
22024
=
(22025−1)×180°+𝛼
22025
−
(22025−2)×180°+2𝛼
22025
=
180°−𝛼
22025
故答案为：
180°−𝛼
22025
