专题1.1 正数和负数（举一反三讲义）
【新教材人教版】
【题型1 识别正负数】............................................................................................................................................2
【题型2 判断相反意义量】....................................................................................................................................3
【题型3 解释正负数意义】....................................................................................................................................5
【题型4 用正负数表示量】....................................................................................................................................7
【题型5 实际情境辨正负】....................................................................................................................................8
【题型6 用正负数表示允许偏差】......................................................................................................................11
【题型7 正负数范围归类填空】..........................................................................................................................13
知识点1 正数和负数的概念
1. 正数和负数的定义：
定义
示例
补充
正
数
大于0 的数叫做正数．有时，为
了明确表达意义，在正数的前面
也加上符号“+”（读作“正”）
3，1.8%，3.5，3
5都是
正数
正数前的“+”可
以省略不写
负
数
在正数前加上符号“−”的数叫
作负数
−3，−2.7%，−3
4，−4.5
都是负数
负数前的“−”不
能省略
2. 注意：0 既不是正数，也不是负数．
3. 0 的意义
（1）0 是正负数的分界；
（2）0 可以表示“没有”；
考点
正数和负数
题型归纳
（3）0 可以用来表示基准，一般地，高于基准的量用数表示，低于基准的量用负数表示．
知识点2 具有相反意义的量
1. 定义：在日常生活中，人们常用正数、负数来表示一对具有相反意义的量．
2. 表示方法：一般地，对于具有相反意义的量，我们可以把其中一种意义的量规定为正的，并用正数来表
示，把与它意义相反的量规定为负的，并用负数来表示．
例如：若规定海平面的海拔高度为0m，珠穆朗玛峰高于海平面8848.86 m,记作+8 848.86 m．
【题型1 识别正负数】
【例1】（25-26 六年级下·黑龙江绥化·期中）下列说法中正确的是（ ）
A．0 是正数
B．0 是负数
C．0 不是自然数
D．0 不是正数也不是负数
【答案】D
【分析】根据正数、负数、自然数的定义逐一判断选项即可．
【详解】解：根据定义，大于0 的数是正数，小于0 的数是负数，0 既不大于0 也不小于0，
∴0 不是正数，也不是负数，
故选项A、B 不符合题意，选项D 符合题意；
∵初中教材规定，0 是自然数，
∴选项C 不符合题意．
【变式1-1】（25-26 七年级上·宁夏银川·期末）我国是最早认识和使用负数的国家，早在东汉时期就提出了
正数和负数的概念； 下列各数中：−1，2，−3.14，0，负数的个数为_______．
【答案】2
【分析】本题考查负数的概念，根据负数是指小于零的数，通常带有负号，逐个判断即可．
【详解】解：−1 < 0，2 > 0，−3.14 < 0，0 = 0，
即负数有−1，−3.14，个数为2，
故答案为：2．
【变式1-2】（25-26 六年级下·黑龙江哈尔滨·月考）−5，+32，0，+6，3 这几个数中，正数有（ ）个
A．1
B．2
C．3
D．4
【答案】C
【分析】本题根据正数的定义进行判断，大于0 的数是正数，0 既不是正数也不是负数，逐个判断给定的数，
统计正数的个数即可得到结果．
【详解】解：∵正数的定义为大于0 的数，0 既不是正数也不是负数
给定的数分别为−5，+32，0，+6，3，
其中大于0 的数为+32，+6，3，共3 个
∴正数有3 个．
【变式1-3】（25-26 七年级上·北京·期末）算筹是我国古代广泛应用的一种运算工具，摆放方式分“纵式”摆
放和“横式”摆放，图案与数字的对应关系如下表，算筹记数的表示方法为：个位用纵式，十位用横式，百位
再用纵式，千位再用横式，万位再用纵式……，这样从右到左，纵横相间，以此类推．算筹也可以表示负数，
表示方法为：在个位上再斜向摆放一根算筹．
如：数字823 所对应的图案为“
”，则“
”所表示的数是______．
【答案】−3672
【分析】本题考查了正负数的意义，结合题干的条件，进行逐个查找，又因为算筹也可以表示负数，表示
方法为：在个位上再斜向摆放一根算筹，进行分析，即可作答．
【详解】
解：依题意，观察表格的信息，得“
”所表示的数是−3672，
故答案为：−3672
【题型2 判断相反意义量】
【例2】（25-26 七年级上·河北唐山·月考）如图有两张卡片，上面各标有四组词语．
Ⅰ．前进20 米；
①收入300 元；
Ⅱ．运出250 吨；
②后退50 米；
Ⅲ．上升6°C；
③运进800 吨；
Ⅳ．支出100 元．
④下降1°C．
(1)将具有相反意义的量配对，直接在横线上填序号：
Ⅰ—②，Ⅱ—______，Ⅲ—______，Ⅳ—______；
(2)若“ +20%”表示增加20%，则“−6%”表示______．
【答案】(1)③，④，①
(2)减少6%
【分析】本题考查了相反意义的量，解题的关键是理解相反意义的量的定义，即两个量的意义相反，并且
数量可以用正负数表示．
（1）根据相反意义的量的定义，找出与各组词语意义相反的量；
（2）根据正负数表示相反意义的量的规则，分析“−6%”的意义．
【详解】（1）解：相反意义的量配对
II“运出250 吨”，相反意义的量是“运进”，所以II－③，
III“上升6°C”，相反意义的量是“下降”，所以III—④，
IV“支出100 元”，相反意义的量是“收入”，所以IV－①
故答案为：③，④，①；
（2）解：因为“ +20%＂表示增加20%，
所以“−”表示与“增加”相反的意义，即“减少”，因此“−6%”表示减少6%．
故答案为：减少−6%．
【变式2-1】（25-26 七年级上·湖南衡阳·期中）下列说法正确的是（ ）
A．“黑色”和“白色”是具有相反意义的量
B．“快”和“慢”是具有相反意义的量
C．“向北走4.5 米”和“向南走8 米”是具有相反意义的量
D．“+15 米”就表示向东走了15 米
【答案】C
【分析】本题考查相反意义的量的概念．根据相反意义的量判断即可．
【详解】本题AB 选项中只具备意义相反的词，而不是量，说法不正确，不符合题意；
C、中明确了两个相反的量，即“向北走4.5 米”和“向南走8 米”，说法正确，符合题意；
D、中没有明确具体的方向，所以” +15米”不能代表向哪个方向走，说法不正确，不符合题意．
故答案为：C
【变式2-2】（25-26 九年级下·河北廊坊·期中）《九章算术》中注“今两算得失相反，要令正负以名之．”意
思：有两数若其意义相反，则分别叫作正数和负数．下列可以用来表示一个问题中具有相反意义的量的是
（ ）
A．1 和2
B．−1和−2
C．1 和−2
D．0 和1
【答案】C
【分析】本题考查了相反意义的量，熟练掌握正负数表示相反意义的量是解题的关键．根据正负数表示具
有相反意义的量，逐项分析即可判断．
【详解】解：A、1 和2 都是正数，不能表示具有相反意义的量，不符合题意；
B、−1和−2都是负数，不能表示具有相反意义的量，不符合题意；
C、1 是正数，−2是负数，能表示具有相反意义的量，符合题意；
D、0 既不是正数也不是负数，1 是正数，不能表示具有相反意义的量，不符合题意；
故选：C．
【变式2-3】（25-26 七年级上·全国·课后作业）写出与下列各量具有相反意义的量：
（1）零上7°C；（2）盈利200 元；（3）运进3 吨；
（4）支出1000 元；（5）低于海平面155 米；
（6）股票上涨3.2%．
【答案】（1）零下7°C；（2）亏损200 元；（3）运出3 吨；（4）收入1000 元；（5）高于海平面155 米；
（6）股票下跌3.2%
【分析】此题考查了对正负数概念的理解，正数和负数是用来表示具有相反意义的量；依据正数和负数的
认识，结合相反数意义的量找出与零上相反的量是零下，同理解答其他小题．
【详解】解：（1）零上7°C，则相反意义的量为：零下7°C；
（2）盈利200 元，则相反意义的量为：亏损200 元；
（3）运进3 吨，则相反意义的量为：运出3 吨；
（4）支出1000 元，则相反意义的量为：收入1000 元；
（5）低于海平面155 米，则相反意义的量为：高于海平面155 米；
（6）股票上涨3.2%，则相反意义的量为：股票下跌3.2%．
【题型3 解释正负数意义】
【例3】（25-26 七年级上·河南许昌·期中）我国古代数学著作《九章算术》中注有“今两算得失相反，要令
正负以名之”，意思是：今有两数，若其意义相反，则分别叫做正数与负数．如果某仓库运进面粉7 吨，记
为+7吨，那么“−10吨”表示的意义为______．
【答案】运出面粉10 吨
【分析】本题主要考查了正负数，解题关键是理解“正”和“负”的相对性，明确什么是一对具有相反意义的
量．在一对具有相反意义的量中，先规定其中一个为正，则另一个就用负表示．
【详解】解：如果某仓库运进面粉7 吨，记为+7吨，那么“−10吨”表示的意义为运出面粉10 吨．
故答案为：运出面粉10 吨．
【变式3-1】（25-26 七年级上·江苏镇江·期中）《孙子算经》中提到“今有两数意义相反，当以正负别之”，
意思是：有两个数如果它们的意义相反，就用正数和负数来区分．若海拔高于海平面150米记作+150 米，
则−120 米表示海拔为（ ）
A．高于海平面120米
B．低于海平面120米
C．高于海平面30米
D．低于海平面30米
【答案】B
【分析】本题考查正负数的意义，掌握相关知识是解决问题的关键．根据正数表示高于海平面，负数表示
低于海平面解答即可．
【详解】解：∵高于海平面150米记作+150米，
∴低于海平面应用负数表示，
∴−120米表示低于海平面120米．
故选：B．
【变式3-2】（25-26 七年级上·云南文山·期末）中国是最早使用正负数表示具有相反意义的量的国家．若向
西走5 米记作−5米，则+2米表示（ ）
A．向东走2 米
B．向南走2 米
C．向西走2 米
D．向北走2 米
【答案】A
【分析】此题考查了相反意义的量，解题关键是理解“正”和“负”的相对性，明确什么是一对具有相反意义的
量．在一对具有相反意义的量中，先规定其中一个为正，则另一个就用负表示．
根据相反意义的量，向西记为负，则向东记为正．
【详解】解：∵向西走5 米记作−5米，
∴相反方向向东记为正，
∴+2米表示向东走2 米
故选A．
【变式3-3】（25-26 七年级上·云南·单元测试）生产劳动情境·商品生产某方便面厂生产的100g袋装方便面
外包装上印有(100 ± 5)g的字样．
(1)请问：“ ± 5g”表示什么意义？
(2)某同学购买一袋这样的方便面，称了一下发现只有97g，问该厂家在重量上有无欺诈行为？说明理由．
【答案】(1) ± 5g表示比标准质量100g多5g或少5g都是合格产品
(2)无欺诈行为．理由见解析
【分析】本题考查了正负数的意义，理解正和负的相对性、明确什么是一对具有相反意义的量是解题的关
键．
（1）根据正负数的意义解答；
（2）求出合格产品的质量范围，然后判断即可．
【详解】（1）± 5g表示比标准质量100g多5g或少5g都是合格产品；
（2）无欺诈行为．理由如下：
100−5 = 95(g),100 + 5 = 105(g)，
∴合格产品的质量𝑚的取值范围为：95g ≤m ≤105g，
∵97g在此范围内，所以该厂家在重量上无欺诈行为．
【题型4 用正负数表示量】
【例4】（25-26 九年级下·河南信阳·阶段检测）如果水位升高2m时水位变化记作+2m，那么水位下降4m
时水位变化记作（ ）
A．−2m
B．0m
C．−4m
D．+2m
【答案】C
【详解】解：∵水位升高2m时水位变化记作+ 2m，即规定升高记为正，下降记为负，
∴水位下降4m时水位变化记作−4m．
【变式4-1】（25-26 九年级下·陕西宝鸡·期中）等高线指的是地形图上高度相等的相邻各点所连成的闭合曲
线，在等高线上标注的数字为该等高线的海拔．若高于海平面3000m 的山峰，在等高线上标注为+3000m，
若某盆地低于海平面200m，在等高线上标注为（ ）
A．−200m
B．0m
C．200m
D．−2000m
【答案】A
【详解】解：∵高于海平面3000m标注为+ 3000m，即把海平面记作基准，高于海平面记为正，
∴低于海平面记为负，
∵该盆地低于海平面200m，
∴标注为−200m.
【变式4-2】（25-26 九年级下·福建福州·期中）如果公元前121 年记作−121年，那么公元2026 年应记作______
年．
【答案】+2026
【详解】解:根据题意得，公元2026 年记作+2026年．
【变式4-3】（25-26 七年级上·湖南永州·期末）微信账单上，收入的钱用正数表示，支出的钱用负数表
示．如果收入50元记作+50元，则李叔叔今日购买苹果使用微信支出20元记作_________元．
【答案】−20
【分析】本题考查正负数的实际意义，关键是理解“正”和“负”的相对性，明确一对具有相反意义的量的表示
规则．
【详解】解：∵题目明确收入的钱用正数表示，支出的钱用负数表示，
∴李叔叔今日购买苹果使用微信支出20元记作−20元；
故答案为：−20．
【题型5 实际情境辨正负】
【例5】（25-26 七年级上·福建福州·期末）体育课上，学校对某班的学生进行跳绳测试，在一定时间内，以
能跳160 次为达到标准，超过标准的次数用正数来表示，不足标准的次数用负数来表示，其中10 名男同学
成绩如下：5，−4，−1，7，0，9，0，12，−5，1．
(1)求这10 名同学的达标率为多少？
(2)求这10 名同学共跳绳多少次？
【答案】(1)70%
(2)1624 次
【分析】本题考查了有理数混合运算的应用，熟练掌握运算法则是解题的关键．
（1）用达标人数除以10 计算即可；
（2）根据有理数的乘法的应用解答即可．
【详解】（1）解：根据题意，达标人数为7 人，
故这10 名同学的达标率为：
7
10 × 100% = 70%．
（2）解：根据题意，得这10 名同学共跳绳：
160 × 10 + (5−4−1 + 7 + 0 + 9 + 0 + 12−5 + 1) = 1624（次）．
【变式5-1】（25-26 七年级上·云南曲靖·期末）在一次环境检测任务中，一架无人机起飞后对某区域进行大
气数据采集．无人机起飞后的高度变化如下表：
高度变化
记作
上升3.1 千米
+3.1千米
下降2.2 千米
−2.2千米
上升4.5 千米
+4.5千米
下降1.7 千米
−1.7千米
请解答下列问题：
(1)此时这架无人机比起飞点高了多少千米？
(2)如果无人机每上升或下降1 千米需消耗的电量为0.3 度，那么这架无人机在完成上述检测任务后共消耗多
少电量？
【答案】(1)3.7 千米
(2)3.45 度
【分析】本题主要考查了有理数的加减法的实际应用，有理数乘法的实际应用，正确理解题意列出算式求
解是解题的关键．
（1）把4 次飞行的数据进行相加，若结果为正则比起点高，若结果为负，则比起点低；
（2）求出4 次飞行的总路程，再用路程乘以每千米的耗电量即可得到答案．
【详解】（1）解：3.1−2.2 + 4.5−1.7 = 3.7（千米），
答：此时这架无人机比起飞点高了3.7 千米；
（2）解：(3.1 + 2.2 + 4.5 + 1.7) × 0.3 = 11.5 × 0.3 = 3.45（度），
答：这架无人机在完成上述检测任务后共消耗3.45 度电．
【变式5-2】（25-26 七年级上·河北唐山·期末）南湖公园，全称南湖城市中央生态公园，是唐山市国家4A
级景区，是集自然生态、历史文化和现代文化为一体的大型城市中央生态公园．某星期日，南湖公园共接
待游客约1.7 万人，接下来的一星期中，每天的游客人数变化如下表（正数表示比前一天多的人数，负数表
示比前一天少的人数）．
星期一
星期二
星期三
星期四
星期五
星期六
星期日
人数变
化（万
人）
−0.4
+0.1
−0.2
−0.1
+0.5
+1.1
−0.3
(1)星期三的人数为________万人；
(2)这一星期内，游客人数最多的是星期________，是________万人；
(3)请求出这一星期内南湖公园一共接待了多少名游客．
【答案】(1)1.2
(2)六，2.7
(3)这一星期内南湖公园一共接待了11.7 万名游客
【分析】本题考查有理数运算的实际应用，正确的列出算式是解题的关键：
（1）用上周日的人数加上表格中前三个数据，求和即可；
（2）求出每天的人数，比较大小即可；
（3）（2）中每天的数据求和即可．
【详解】（1）解：1.7−0.4 + 0.1−0.2 = 1.2（万人）；
故答案为：1.2；
（2）解：星期一人数为1.7−0.4 = 1.3（万人）；
星期二人数为1.3 + 0.1 = 1.4（万人）；
星期三人数为1.4−0.2 = 1.2（万人）；
星期四人数为1.2−0.1 = 1.1（万人）；
星期五人数为1.1 + 0.5 = 1.6（万人）；
星期六人数为1.6 + 1.1 = 2.7（万人）；
星期日人数为2.7−0.3 = 2.4（万人）；
故人数最多的是星期六，有2.7 万人；
故答案为：六，2.7
（3）解：1.3 + 1.4 + 1.2 + 1.1 + 1.6 + 2.7 + 2.4 = 11.7（万人）；
答：这一星期内南湖公园一共接待了11.7 万名游客．
【变式5-3】（25-26 七年级上·浙江衢州·期末）直播助农已成为乡村振兴的重要抓手，衢州“红小播”团队在
某次公益助农中售卖刚上市的猕猴桃，计划每天销售100 千克，实际每天销售量超过计划量记为正，不足
计划量记为负，下表是该团队一周的销售情况：
星期
一
二
三
四
五
六
日
与计划量偏差（千克）
+3
−5
0
+11
−7
﹢13
+5
(1)这周实际销售猕猴桃的总量是多少千克？
(2)若猕猴桃售价为8元/千克，则这一周销售收入共多少元？
【答案】(1)720千克
(2)5760元
【分析】本题考查正数和负数以及有理数的混合运算的应用；
（1）根据一周实际销售猕猴桃的数量相加计算即可；
（2）将总数量乘以每千克的收入解答即可．
【详解】（1）解：+3−5 + 0 + 11−7 + 13 + 5 = 20（千克）
100 × 7 + 20 = 720（千克）
答：这周实际销售猕猴桃的总量是720 千克．
（2）解：720 × 8 = 5760（元）
答：这一周销售收入共5760 元．
【题型6 用正负数表示允许偏差】
【例6】（25-26 六年级下·黑龙江哈尔滨·期中）智能手表标注“续航：72 ± 4小时”，最长续航___________
小时．
【答案】76
【详解】解：智能手表标注“续航：72 ± 4小时”，最长续航72 + 4 = 76（小时）．
【变式6-1】（25-26 七年级上·陕西榆林·期末）一种巧克力的质量标识为“100 ± 0.25克”，表示其标准重量
为100克，上下偏差不超过0.25克就符合标准，则下列巧克力符合标准的是（ ）
A．100.51克
B．100.30克
C．99.70克
D．99.80克
【答案】D
【分析】此题考查了正负数的实际应用，根据巧克力的质量标识为“100 ± 0.25克”，求出合格质量范围的取
值范围，进而即可求解，理解正负数的意义是解题的关键．
【详解】解：∵标准重量100克，偏差± 0.25克，
∴100−0.25 = 99.75（克），100 + 0.25 = 100.25（克），
∴合格范围为99.75克≤合格质量≤ 100.25克，
A、100.51 > 100.25，不符合；
B、100.30 > 100.25，不符合；
C、99.70 < 99.75，不符合；
D、99.75 < 99.80 < 100.25，符合；
故选：D．
【变式6-2】（25-26 七年级上·陕西安康·期末）某种牛奶的包装盒上的净含量标识为：“250 ± 0.5mL”，表
示其标准质量为250mL，上下偏差不超过0.5mL就符合要求，则生产符合要求的这种牛奶的净含量最小是
______________mL．
【答案】249.5
【分析】此题考查了正负数的实际应用，理解正负数的意义是解题的关键．根据净含量标识为“250 ± 0.5
mL”，符合要求的净含量范围是标准净含量250mL减去偏差0.5mL到加上偏差0.5mL，求出符合要求的净含
量范围即可求解．
【详解】解：由题意，标准净含量为250mL，允许偏差为± 0.5mL，
∴250−0.5 = 249.5mL，250 + 0.5 = 250.5mL，
∴符合要求的净含量范围为249.5mL ≤标准净含量≤250.5mL，
∴生产符合要求的牛奶的最小净含量是249.5mL，
故答案为：249.5．
【变式6-3】（2025·湖北·三模）生活中经常能看到用正负数表示允许偏差的情形．某品牌乒乓球的产品参
数中标明球的直径是40mm ± 0.05mm，则下列乒乓球直径不合格的是（ ）
A．39.99mm
B．40mm
C．40.03mm
D．41mm
【答案】D
【分析】本题主要考查了正负数的意义，有理数的加减运算的实际应用，理解正负数是具有相反意义的量
成为解题的关键．
根据题意可知：合格乒乓球的直径范围是40mm ± 0.05mm，即39.95mm到40.05mm之间（含端点），然后
再结合各选项判断即可．
【详解】解：∵合格乒乓球的直径范围是40mm ± 0.05mm，
∴合格乒乓球的直径范围是40−0.05 = 39.95mm至40 + 0.05 = 40.05mm．
∴A、B、C 选项在该范围内，乒乓球合格；D 选项不在该范围，乒乓球不合格，符合题意．
故选D．
【题型7 正负数范围归类填空】
【例7】（25-26 七年级上·全国·课后作业）下列各数，哪些是整数但不是正数，哪些是分数但不是负数？
2，
1
3，0，−7，0.24，−0.3，−
2
9．
【答案】0，−7是整数但不是正数；
1
3，0.24是分数但不是负数
【分析】本题考查整数、正数、分数、负数的定义，熟练掌握有理数的分类是解题的关键．先从给定数中
筛选出符合条件的整数，再筛选出符合条件的分数，注意区分整数和分数的定义，以及正负数的判断标准．
【详解】解：是整数但不是正数的有：0，−7；
是分数但不是负数的有：
1
3，0.24．
【变式7-1】（25-26 七年级上·全国·课后作业）请任意写出3 个正数与3 个负数：
正数：{ …}．
负数：{ …}．
【答案】正数：{1,2.2,3,⋯}（答案不唯一）；负数：{−1,−2.2,−3,⋯}（答案不唯一）
【分析】本题考查了正数与负数，熟练掌握正数与负数的定义是解题关键．根据大于0 的数是正数、小于0
的数是负数解答即可得．
【详解】解：正数：{1,2.2,3,⋯}；
负数：{−1,−2.2,−3,⋯}．
【变式7-2】（25-26 七年级上·全国·课后作业）请把下列各数分别填入相应的圈内：
−7，4.8，+15，−3.5，−
1
2，
5
12．
【答案】见解析
【分析】本题考查了正数与负数，熟练掌握正数与负数的定义是解题关键．根据大于0 的数是正数、小于0
的数是负数解答即可得．
【详解】解：把各数分别填入相应的圈内如下：
．
【变式7-3】（25-26 七年级上·云南昆明·期中）把下列各数填入相应的大括号内−2021，
23
7 ，−3.14，15%，
0，−
11
5 ，+8，0.23．
负数集合{ }；整数集合{ }．
分数集合{ }；非负数集合{ }．
【答案】
负数集合：{−2021,−3.14,−
11
5 }；
整数集合：{−2021,0, + 8}；
分数集合：{
23
7 ,−3.14,15%,−
11
5 ,0.23}；
非负数集合：{
23
7 ,15%,0, + 8,0.23}．
【分析】本题考查了有理数的分类，关键是根据定义准确区分；
根据负数、整数、分数、非负数的定义进行填写．
【详解】解：负数是小于零的数；
整数包括正整数、负整数、零；
分数包括正分数、负分数；
非负数包括零和正数；
故答案为：负数集合：{−2021,−3.14,−
11
5 }；
整数集合：{−2021,0, + 8}；
分数集合：{
23
7 ,−3.14,15%,−
11
5 ,0.23}；
非负数集合：{
23
7 ,15%,0, + 8,0.23}．
