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专题14.1 全等三角形及其性质（举一反三讲义）
【新教材人教版】
【题型1 全等三角形的识别与符号表示】............................................................................................................2
【题型2 寻找全等三角形的对应顶点、对应边和对应角】................................................................................2
【题型3 分割成几个全等三角形】........................................................................................................................3
【题型4 利用全等三角形对应角相等求角的大小】............................................................................................5
【题型5 利用全等三角形对应边相等求线段的长度】........................................................................................6
【题型6 利用全等三角形性质求周长与面积】....................................................................................................7
【题型7 平移背景下的全等三角形性质应用】....................................................................................................8
【题型8 旋转背景下的全等三角形性质应用】....................................................................................................9
【题型9 利用全等三角形性质判定线段的位置关系】......................................................................................10
知识点1 全等形
形状、大小相同的图形放在一起能够完全重合，能够完全重合的两个图形叫作全等形.
知识点2 全等三角形
1. 全等三角形的有关概念
一个三角形经过平移、轴对称或旋转变换后得到另一个三角形. 这两个三角形可以重合. 我们把两个能完全
重合的三角形叫做全等三角形．互相重合的顶点叫做对应顶点，互相重合的边叫做对应边，互相重合的角
叫做对应角．
2. 全等三角形的表示方法
全等用符号“≌”表示，读作“全等于”．
表示两个三角形全等时，通常把对应顶点的字母写在对应的位置上．这样容易写出对应边、对应角．如图
中的△𝐴𝐵𝐶与△𝐷𝐸𝐹全等，记作“ △𝐴𝐵𝐶≌△𝐷𝐸𝐹”，点A 与点D、点B 与点E、点C 与点F 是对应顶点．
考点1
全等三角形的概念与对应元素
题型归纳
【题型1 全等三角形的识别与符号表示】
【例1】（25-26 八年级下·广西崇左·开学考试）如图，七巧板中有5个等腰直角三角形（①~⑤），其中与
三角形③全等的是（ ）
A．⑤
B．④
C．②
D．①
【变式1-1】（2026 七年级下·全国·专题练习）已知在△𝐴𝐵𝐶和△𝐴′𝐵′𝐶′中，A 与𝐴′，B 与𝐵′是对应点，则
△𝐴𝐵𝐶和△𝐴′𝐵′𝐶′全等用符号语言表示为：______ ．
【变式1-2】（24-25 七年级下·上海徐汇·期末）已知△𝐴𝐵𝐶的三边长互不相等，若以𝐵、𝐶为两个顶点画不
同位置的三角形（与原三角形不重合），使所画的三角形与△𝐴𝐵𝐶全等，这样的三角形最多可以画
___________个．
【变式1-3】全等三角形也叫做合同三角形，平面内的合同三角形分为真正合同三角形和镜面合同三角
形．假如△𝐴𝐵𝐶和△𝐴′𝐵′𝐶′是全等三角形，且点A 与点𝐴′对应，点B 与点𝐵′对应，点C 与点𝐶′对应．如下
图，当沿周界𝐴→𝐵→𝐶→𝐴及𝐴′→𝐵′→𝐶′→𝐴′环绕时，若运动方向相同，则称它们是真正合同三角形；若运动
方向相反，则称它们是镜面合同三角形．
下列各组合同三角形中，属于镜面合同三角形的有__________．
【题型2 寻找全等三角形的对应顶点、对应边和对应角】
【例2】如图所示，△𝐴𝐶𝐵≌△𝐷𝐸𝐹，其中𝐴与𝐷，𝐶与𝐸是对应顶点，则𝐶𝐵的对应边是______，∠𝐴𝐵𝐶的对
应角是_______．
【变式2-1】（24-25 八年级上·广西崇左·阶段检测）如图，两个三角形△𝐴𝐵𝐶与△𝐵𝐷𝐸全等，观察图形，
判断在这两个三角形中边𝐵𝐷的对应边为（ ）
A．𝐵𝐸
B．𝐴𝐵
C．𝐶𝐴
D．𝐵𝐶
【变式2-2】如图，△𝐴𝐵𝐶≌△𝐶𝐷𝐴．下列结论：①𝐴𝐵与𝐴𝐷是对应边；②𝐴𝐶与𝐶𝐴是对应边；③∠𝐵𝐴𝐶与∠𝐷𝐴𝐶
是对应角；④∠𝐶𝐴𝐵与∠𝐴𝐶𝐷是对应角．其中正确的是________．（填序号）
【变式2-3】（24-25 七年级下·全国·课后作业）如图，已知∠1 = ∠2，∠𝐵= ∠𝐷，△𝐴𝐵𝐶和△𝐸𝐴𝐷全等，则
下列表示正确的是（ ）
A．△𝐴𝐵𝐶≌△𝐴𝐸𝐷
B．△𝐴𝐵𝐶≌△𝐸𝐴𝐷
C．△𝐴𝐵𝐶≌△𝐷𝐸𝐴
D．△𝐴𝐵𝐶≌△𝐴𝐷𝐸
【题型3 分割成几个全等三角形】
【例3】（24-25 七年级下·全国·期中）请把如图所示的正方形分别分成2 个、4 个、8 个全等的图形．
【变式3-1】（2025 八年级上·全国·专题练习）小明通过实验发现：如图所示，将一个长方形可以分割成四
个全等的长方形，三个全等的长方形，于是他对含60°的直角三角形进行分割研究，发现也可以分割成四个
全等的直角三角形，三个全等的直角三角形．
请你在图中依次画出分割线；
【变式3-2】（24-25 八年级上·云南大理·期中）如图，在11 × 10的网格中，每个小正方形的边长都是1，△𝐴𝐵𝐶
的顶点都在格点上．
(1)在图甲中画直线𝐶𝐷，将△𝐴𝐵𝐶分成面积相等的两个三角形，与△𝐴𝐵𝐶的边交于点𝐷；
(2)在图乙中画△𝐴𝐵𝐸，使得△𝐴𝐵𝐶与△𝐴𝐵𝐸全等（只画一个）．
【变式3-3】小红想将一个等边三角形沿着图中的虚线剪下得到几个全等三角形，下列操作中沿虚线剪下得
到的三角形是全等图形的是（ ）
A．
B．
C．
D．
考点2
利用全等三角形的性质计算
知识点2 全等三角形的性质
1. 全等三角形的对应边相等，对应角相等．
2. 全等三角形的其他性质
（1）全等三角形的周长相等；
（2）全等三角形的面积相等；
（3）全等三角形对应边上的中线相等，对应角的平分线相等，对应边上的高相等．
【题型4 利用全等三角形对应角相等求角的大小】
【例4】（24-25 七年级下·福建宁德·期末）如图，△𝐴𝑂𝐵≌△𝐶𝑂𝐷，∠𝐴𝑂𝐵= 110°，𝑂𝐵⊥𝑂𝐶，则
∠𝐷𝑂𝐵= ___________°．
【变式4-1】（25-26 八年级上·广东汕头·期末）如图，△𝐴𝐵𝐶≌△𝐷𝐸𝐹，∠𝐵= 40°，∠𝐷= 80°，则∠𝐴的度
数是（ ）
A．100°
B．80°
C．60°
D．40°
【变式4-2】如图，△𝐴𝐵𝐶≌△𝐴𝐸𝐷，若∠𝐵𝐴𝐶= 40°，∠𝐶𝐴𝐸= 15°，则∠𝐶𝐴𝐷等于______°．
【变式4-3】（25-26 八年级上·山东潍坊·期中）如图，已知△𝐴𝐵𝐶≌△𝐴𝐷𝐸，𝐵𝐶的延长线交𝐷𝐴于点F，交𝐷𝐸
于点G，∠𝐷= 25°，∠𝐸= 120°，∠𝐷𝐴𝐶= 25°，则∠𝐸𝐺𝐵= ______度．
【题型5 利用全等三角形对应边相等求线段的长度】
【例5】（25-26 八年级上·福建福州·期末）如图，已知△𝐴𝐷𝐶≌△𝐴𝐸𝐵，𝐴𝐵= 8，𝐶𝐸= 5，则𝐴𝐸的长度为
（ ）．
A．2
B．3
C．4
D．5
【变式5-1】（25-26 八年级上·安徽合肥·期末）如图，若△𝐴𝐵𝐶≌△𝐴𝐷𝐸，𝐴𝐵= 5，𝐴𝐸= 2，则𝐶𝐷的长为
（ ）
A．2
B．2.5
C．3
D．4
【变式5-2】已知△𝐴𝐵𝐶≌△𝐷𝐸𝐹 ，△𝐴𝐵𝐶 的三边为5、𝑚、𝑛，△𝐷𝐸𝐹的三边为11、𝑝、𝑞，若△𝐴𝐵𝐶三
边均为整数，则𝑚+ 𝑛+ 𝑝+ 𝑞的最小值为______．
【变式5-3】如图，已知△𝐴𝐵𝐶≌△𝐷𝐸𝐹，𝐷𝐹∥𝐵𝐶，且∠𝐵=60°，∠𝐹= 40°，点A 在𝐷𝐸上，求∠𝐵𝐴𝐷的度数．
【题型6 利用全等三角形性质求周长与面积】
【例6】（25-26 八年级上·安徽亳州·期末）如图，在△𝐴𝐵𝐶中，𝐶𝐷⊥𝐴𝐵于点D、E 是𝐶𝐷上一点，若
△𝐵𝐷𝐸≌△𝐶𝐷𝐴，𝐴𝐵= 14，𝐴𝐶= 12，则△𝐵𝐷𝐸的周长为（ ）
A．20
B．22
C．24
D．26
【变式6-1】如图，△𝐴𝐵𝐶中，∠𝐴𝐶𝐵= 90∘，将△𝐴𝐵𝐶沿𝐴𝐶方向平移𝐴𝐷的长度得到△𝐷𝐸𝐹，且𝐴𝐷= 3，𝐵𝐶= 6，
𝐵𝐺= 2，则图中阴影部分的面积是______________．
【变式6-2】（24-25 八年级上·湖北·期中）中国古代数学家刘徽在《九章算术注》中，给出了证明三角形面
积公式的出入相补法．如图，在△𝐴𝐵𝐶中，分别取𝐴𝐵，𝐴𝐶的中点𝐷，𝐸，连接𝐷𝐸，过点𝐴作𝐴𝐹⊥𝐷𝐸，垂足
为𝐹，将△𝐴𝐵𝐶分割后拼接成长方形𝐵𝐶𝐻𝐺．若𝐷𝐸= 5，𝐴𝐹= 3，则△𝐴𝐵𝐶的面积是_____．
【变式6-3】（24-25 八年级上·湖南衡阳·期末）如图，△𝐴𝐵𝐶≌△𝐴𝐷𝐸，点E 在边𝐵𝐶上（不与点B，C 重
合），DE 与AB 交于点F．
(1)若∠𝐶𝐴𝐷= 110°，∠𝐵𝐴𝐸= 30°，求∠𝐵𝐴𝐷的度数；
(2)若𝐴𝐷= 10，𝐵𝐸= 𝐶𝐸= 4.5，求△𝐴𝐷𝐹与△𝐵𝐸𝐹的周长和．
知识点3 全等变换
一个图形经过平移、翻折、旋转后，位置发生变化，但形状、大小都没有改变，即平移、翻折、旋转前后
的图形全等．
如图（1），把△𝐴𝐵𝐶沿BC 所在直线向右平移一段距离，得到△𝐷𝐸𝐹，则△𝐴𝐵𝐶≌△𝐷𝐸𝐹．
如图（2），把△𝐴𝐵𝐶沿BC 所在直线翻折，得到△𝐷𝐵𝐶，则△𝐴𝐵𝐶≌△𝐷𝐵𝐶．
如图（3），把△𝐴𝐵𝐶绕点A 旋转，得到△𝐴𝐸𝐷，则△𝐴𝐵𝐶≌△𝐴𝐸𝐷．
【题型7 平移背景下的全等三角形性质应用】
【例7】如图，△𝐴𝐵𝐶的边长𝐵𝐶长为7cm，将△𝐴𝐵𝐶向上平移3cm得到△𝐴′𝐵′𝐶′，已知四边形𝐵𝐶𝐶′𝐵′为长
方形，则阴影部分的面积为__．
【变式7-1】（24-25 七年级下·江苏南京·阶段检测）如图，△𝐷𝐸𝐹由△𝐴𝐵𝐶平移得到，下列说法中，不正
确的是（ ）
A．𝐴𝐵∥𝐷𝐸
B．𝐶𝐹∥𝐵𝐸
考点3
全等三角形在图形变换与位置关系中的应用
C．∠𝐴𝐵𝐶= ∠𝐷𝐹𝐸
D．∠𝐵𝐴𝐶= ∠𝐸𝐷𝐹
【变式7-2】如图所示，△𝐴𝐵𝐶平移得到△𝐷𝐸𝐹，若∠𝐷𝐸𝐹= 35°，∠𝐴𝐶𝐵= 70°，则∠𝐴的度数是（ ）
A．55°
B．65°
C．75°
D．85°
【变式7-3】如图，在一次演出中，△𝐴𝐵𝐶位置上重合着两个三角形道具，演员把其中一个沿直角𝐴𝐵𝐶的𝐵𝐶
边所在的直线向右推动，使之平移到△𝐷𝐸𝐹位置．
(1)若𝐵𝐸= 3，𝐸𝐹= 8，求𝐸𝐶的长．
(2)除了∠𝐴𝐵𝐶= 90°，还能求出哪些角的度数？求出这些角的度数．
(3)你还能得出哪些关于线段位置关系的结论？写出一个，并加以证明．
【题型8 旋转背景下的全等三角形性质应用】
【例8】（24-25 九年级上·广东韶关·期中）数学课堂上，为探究旋转的性质，同学们进行了如下操作：如图
所示，将一个三角形硬纸板，放置在一张白纸上，描出硬纸板的形状△𝐴𝐵𝐶，并用图钉固定点A，将三角
形硬纸板绕点A 顺时针旋转一定角度后，再描出形状得到△𝐴𝐷𝐸，经测量∠𝐵𝐴𝐶= 50°，∠𝐶𝐴𝐷= 15°则
∠𝐶𝐴𝐸= _______．
【变式8-1】（2025 七年级下·全国·专题练习）如图，把△𝐴𝐵𝐶绕点A 旋转一定角度得到△𝐴𝐷𝐸，那么这两
个三角形的关系可用符号表示为___________，点B 的对应顶点为___________，边𝐷𝐸的对应边为
___________，∠𝐵𝐴𝐶的对应角为___________．
【变式8-2】（25-26 七年级上·河北石家庄·期中）如图，将三角形𝐴𝐵𝐶绕点C 沿顺时针方向旋转后得到三角
形𝐴′𝐵′𝐶，若点𝐵′恰好落在线段𝐴𝐵上，𝐴𝐶，𝐴′𝐵′交于点𝑂，则下面结论错误的是（ ）
A．∠𝐵𝐶𝐵′ = ∠𝐴𝐶𝐴′
B．𝐴′𝑂= 𝐴′𝐶
C．𝐶𝐴= 𝐶𝐴′
D．𝐵𝐶= 𝐵′𝐶
【变式8-3】（24-25 九年级上·福建厦门·期中）如图，E 是正方形𝐴𝐵𝐶𝐷中𝐶𝐷边上的点，以点A 为中心，把
△𝐴𝐷𝐸顺时针旋转，得到△𝐴𝐵𝐹，其中∠𝐷𝐴𝐸= 15°．那么旋转角的度数是（ ）
A．15°
B．75°
C．90°
D．105°
【题型9 利用全等三角形性质判定线段的位置关系】
【例9】如图，在△𝐴𝐵𝐶中，∠𝐶= 90°,𝐴𝐶= 𝐵𝐶，点𝐷为△𝐴𝐵𝐶内一点，将△𝐷𝐵𝐶绕点𝐶逆时针旋转到△𝐸𝐴𝐶
的位置．则𝐴𝐸与𝐵𝐷的位置关系（ ）
A．𝐴𝐸⊥𝐵𝐷
B．𝐴𝐸与𝐵𝐷相交且交成的锐角为45∘
C．𝐴𝐸∥𝐵𝐷
D．无法确定
【变式9-1】如图，已知△𝐴𝐵𝐷和△𝐶𝐷𝐵全等，点𝐵和点𝐷是对应点，点𝐴和点𝐶是对应点，则𝐴𝐵和𝐶𝐷的位
置关系是______
【变式9-2】（24-25 八年级上·河北沧州·阶段检测）如图，△𝐴𝐵𝐶≌△𝐸𝐵𝐷，A、B、D 三点在一条直线上；
（1）线段𝐵𝐶和𝐴𝐷的位置关系是：_________；
（2）若𝐴𝐷= 14，𝐶𝐸= 2，则𝐵𝐸的长为________．
【变式9-3】（25-26 八年级上·云南曲靖·期中）如图，点A，C，E 在同一条直线上，点D 在𝐵𝐶上，且
△𝐴𝐵𝐶≌△𝐷𝐸𝐶，𝐴𝐶= 4，𝐶𝐸= 6．
(1)求𝐵𝐷的长；
(2)判断𝐴𝐸与𝐵𝐶的位置关系，并说明理由．
