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专题13.2 三角形的边（举一反三讲义）
【新教材人教版】
【题型1 判断能否构成三角形】............................................................................................................................1
【题型2 求三角形第三边的取值范围】................................................................................................................1
【题型3 三角形三边关系的化简与求值】............................................................................................................2
【题型4 三角形三边关系在等腰三角形中的应用】............................................................................................2
【题型5 三角形三边关系求最值】........................................................................................................................3
【题型6 利用三角形三边关系证明线段的不等关系】........................................................................................3
【题型7 三角形三边关系的应用】........................................................................................................................4
【题型8 三角形的稳定性】....................................................................................................................................6
知识点1 三角形的三边关系
1.定义：三角形两边的和大于第三边，两边的差小于第三边.
2.判断三条线段能否组成三角形：若两条较短的线段长之和大于最长线段的长，则这三条线段可以组成三
角形；反之，则不能组成三角形.
【题型1 判断能否构成三角形】
【例1】（25-26 七年级下·吉林长春·期中）下列每组数分别表示三根木棒的长，将它们首尾连接后，能摆成
三角形的一组是（ ）
A．1cm，2cm，3cm
B．4cm，6cm，10cm
C．5cm，6cm，12cm
D．4cm，5cm，6cm
【变式1-1】（25-26 八年级上·湖南娄底·期末）𝑚、2、5是某三角形三边的长，则𝑚的长不可能是（ ）
A．7
B．6
C．5
D．4
【变式1-2】（25-26 八年级上·河北邢台·期末）把一根8 厘米长的小棒剪成三段，首尾相接围成一个三角形，
第一剪不符合
．．．要求的是（ ）
考点1
三角形的边
题型归纳
A．
B．
C．
D．
【变式1-3】（25-26 七年级下·上海宝山·阶段检测）已知四条线段的长度分别是1cm、2cm、3cm、4cm，
任意选择其中三条线段，能构成的三角形有______个．
【题型2 求三角形第三边的取值范围】
【例2】（25-26 八年级上·河北廊坊·期末）三角形的三边长分别为7，11，𝑎，则𝑎的取值范围是______．
【变式2-1】（25-26 七年级下·辽宁沈阳·期中）一个三角形的两边长分别为3 和5，若周长是奇数，则第三
边的长为______．
【变式2-2】（25-26 八年级上·河北保定·期末）如图，由两根钢丝绳和臂架组成的塔吊可近似看成三角形，
已知臂架的长为46m，其中一根钢丝绳的长为30m，则另一根钢丝绳的长可能是（ ）
A．17m
B．16m
C．15m
D．14m
【变式2-3】（25-26 八年级上·安徽淮南·期末）已知三角形的其中两条边分别为3 和5，第三边长为x，且x
是三条边中最短的，则第三边x 的取值范围为________；
【题型3 三角形三边关系的化简与求值】
【例3】（25-26 七年级下·辽宁阜新·期中）已知△𝐴𝐵𝐶的三边长分别为a，b，c，化简
|𝑎+ 𝑏−𝑐|−|𝑏−𝑎−𝑐| + ∣𝑎−𝑏−𝑐∣= __________．
【变式3-1】若三角形的三边长分别为2，5，𝑎，则化简：|𝑎−3| + |𝑎−7|的结果为_____．
【变式3-2】（25-26 八年级上·贵州安顺·期中）已知𝑎，𝑏，𝑐是△𝐴𝐵𝐶的三边．
(1)化简|𝑎+ 𝑏−𝑐| + |𝑎−𝑏−𝑐|．
(2)若𝑎和𝑏满足方程组
𝑎+ 2𝑏= 12
2𝑎−𝑏= −1
且𝑐为奇数，求这个三角形的周长．
【变式3-3】（25-26 八年级上·江西南昌·阶段检测）已知△𝐴𝐵𝐶的三边长分别为𝑎,𝑏,𝑐．
(1)化简：|𝑎−𝑏−𝑐| + |𝑏−𝑐−𝑎| + |𝑎+ 𝑏−𝑐|；
(2)若𝑎= 4,𝑏= 7，并且最长边长是7，求第三边𝑐的取值范围．
【题型4 三角形三边关系在等腰三角形中的应用】
【例4】（24-25 八年级上·贵州遵义·期中）用一条长为15cm的细绳围成一个等腰三角形．
(1)设等腰三角形的腰长为𝑎，求𝑎的取值范围；
(2)若等腰三角形的一边长为3cm，求另两边长．
【变式4-1】等腰三角形的周长为13，其中一边长为3，则该等腰三角形的底边长为___________．
【变式4-2】等腰三角形的两边长分别为 1cm 和 5cm，则这个等腰三角形的周长为_____cm．
【变式4-3】等腰三角形的三边长分别为3x-2,4x-3,6-2x,则该三角形的周长为( )
A．6
B．6 或9 或8.5
C．9 或8.5
D．与x 的取值有关
【题型5 三角形三边关系求最值】
【例5】如图，在△𝐴𝐵𝐶中，∠𝐴𝐶𝐵= 90°，𝐴𝐶= 12，𝐵𝐶= 9，P 是𝐴𝐵上的一个动点（不与点B 重合）.点
B 与点𝐵′关于直线𝑃𝐶对称，连接𝐶𝐵′，𝐴𝐵′，𝑃𝐵′，则线段𝐴𝐵′的最小值是_________.
【变式5-1】（24-25 八年级上·广东湛江·月考）如图，在△𝐴𝐵𝐶中，𝐴𝐵= 3，𝐵𝐶= 4，𝐴𝐶= 5，D 为𝐵𝐶边
上一动点，将△𝐴𝐵𝐷沿𝐴𝐷翻折得到△𝐴𝑃𝐷，点B 的对应点为点P，连接𝐶𝑃，则𝐶𝑃的最小值为__________．
【变式5-2】（24-25 七年级下·江苏淮安·阶段检测）如图，在△𝐴𝐵𝐶中，𝐴𝐵= 8，将△𝐴𝐵𝐶平移6 个单位
长度得到△𝐴1𝐵1𝐶1，M 是𝐴𝐵的中点，则𝑀𝐴1的最大值为______．
【变式5-3】（24-25 七年级上·江苏盐城·月考）如图，𝐴𝐶= 6，𝐵𝐶= 8，𝐴𝐵= 10，点D 是平面内一点，且
满足𝐴𝐷= 2𝐶𝐷，则2𝐵𝐷+ 𝐴𝐷的最小值是_______．
【题型6 利用三角形三边关系证明线段的不等关系】
【例6】如图，在△𝐴𝐵𝐶中，𝐴𝐵= 𝐴𝐶，点𝐷在𝐴𝐶的延长线上．求证：𝐴𝐷−𝐴𝐵> 𝐵𝐷−𝐵𝐶．
【变式6-1】如图，在△𝐴𝐵𝐶中，点𝐷在𝐴𝐶上，连接𝐵𝐷，点𝑃在𝐵𝐷上，连接𝐶𝑃，求证：
𝐴𝐵+ 𝐴𝐶> 𝐵𝑃+ 𝐶𝑃
．
【变式6-2】如图，在△ABC 中，AB=AC，点D 为AC 上的一点，求证： 2AC> BD+CD．
【变式6-3】（24-25 八年级上·浙江·期末）如图，已知O 为△𝐴𝐵𝐶内任意一点，求证
(1) 𝑂𝐴+ 𝑂𝐵+ 𝑂𝐶>
1
2(𝐴𝐵+ 𝐵𝐶+ 𝐶𝐴)；
(2) 𝑂𝐴+ 𝑂𝐵+ 𝑂𝐶< 𝐴𝐵+ 𝐴𝐶+ 𝐵𝐶
【题型7 三角形三边关系的应用】
【例7】（25-26 八年级上·甘肃陇南·阶段检测）某校计划在校园内修建一个等腰三角形花坛，其周长为30
米，底边比腰短3 米．求花坛各边的长度．
【变式7-1】（24-25 八年级上·四川自贡·月考）数学活动课上，老师让同学们用长度分别是20cm，90cm，
100cm的三根木棒搭一个三角形的木架，小明不小心把100cm的木棒折去了35cm，他发现：用折断后剩下
的木棒与另两根木棒怎么也搭不成三角形．
(1)你知道为什么吗？
(2)100cm长的木棒至少折去多长后剩余的部分就不能与另两根木棒搭成三角形？
【变式7-2】（25-26 八年级上·辽宁鞍山·月考）如图，小明想用浅色灯带与深色灯带分别装饰三角形圣诞树
的顶部和底部．
(1)你知道小明所用的哪条灯带更长吗？说明理由；
(2)小明共用了243cm长的灯带，且已知三角形三边长为三个连续的自然数，你能帮小明求出三角形每条边
的长度吗？
【变式7-3】（25-26 八年级上·甘肃张掖·月考）实践教育：为提高学生火灾逃生能力，学校组织学生进行模
拟逃生演练，需要制作若干个铁质三角形框架模拟火灾中坍塌的环境．
数据收集：设计小组成员到建材市场收集数据如下：
铁条规格/米
2
3
4
5
6
单价（元/根）
6
8
10
15
20
数据应用：设计小组需要制作两边长分别为2 米和5 米，第三边长为偶数的不同规格的三角形框架．
(1)根据市场能购买到的铁条制作满足上述条件的三角形框架，共有___________种制作方案．
(2)若（1）中每种规格的框架各制作一个，则购买铁条共需多少钱？
知识点2 三角形的稳定性
在日常生活中，三角形的形状随处可见，并且工程建筑中经常采用三角形的结构，如屋顶钢架结构等，其
中的道理是三角形具有稳定性.
【题型8 三角形的稳定性】
【例8】（25-26 七年级下·四川成都·阶段检测）如图，一扇窗户打开后，用窗钩𝐴𝐵可将其固定，其理论依
据是______．
【变式8-1】下列图形中不具有稳定性的是（ ）
A．
B．
考点2
三角形的稳定性
C．
D．
【变式8-2】（25-26 八年级下·辽宁鞍山·开学考试）如图，小李家有一个已经变形的六边形置物架，需通过
增加木条使其固定，工人师傅至少需要加固________根木条．
【变式8-3】（25-26 八年级上·全国·课后作业）如图1，在四边形木条框架中，任意添加1 根对角线木条，
就能使框架的形状稳定.
判断下列说法是否正确.(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)在图2 中任意添加2 根对角线木条，都能使框架的形状稳定.(
)
(2)在图3 中任意添加3 根对角线木条，都能使框架的形状稳定.(
)
(3)图4 是一个用螺钉将木条链接成的框架，颇具美感，它的形状是稳定的.(
)
