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专题26.1 二次函数的概念（举一反三讲义）
【新教材人教版】
【题型1 二次函数的识别】....................................................................................................................................1
【题型2 根据二次函数的定义求参数】................................................................................................................3
【题型3 二次函数的一般形式】............................................................................................................................5
【题型4 二次函数的各项系数】............................................................................................................................7
【题型5 列二次函数关系式-面积类】...................................................................................................................9
【题型6 列二次函数关系式-利润类】.................................................................................................................11
【题型7 列二次函数关系式-增长率类】.............................................................................................................13
【题型8 列二次函数关系式-循环传播类】.........................................................................................................15
知识点1 二次函数的概念
1. 一般地，形如𝒚= 𝒂𝒙𝟐+𝒃𝒙+ 𝒄（a,b,c 是常数，a≠0）的函数，叫做二次函数.其中，𝒙是自变量，二次函
数的二次项系数、一次项系数分别是a,b，常数项是c .自变量的取值范围是全体实数.
2. 二次函数必须同时满足三个条件：（1）函数解析式为整式；（2）化简后自变量的最高次数是2；（3)
二次项系数不为0.
3. 二次函数的取值范围：一般情况下，二次函数中自变量的取值范围是全体实数，对于实际问题，自变量
的取值范围还需使实际问题有意义.
【题型1 二次函数的识别】
【例1】（25-26 八年级下·山东东营·期中）下列各式中，𝑦是𝑥的二次函数的是（ ）
考点1
二次函数的概念
题型归纳
一次项系数
常数项
二次项系数
（a 不为0）
b,c 没有
条件限制
必须化为一般形式，
方可判断各项的系数
𝑦= 𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥+ 𝑐
A．𝑦= 2𝑥−3
B．𝑦= 𝑥2−5𝑥+ 13
C．𝑦= 𝑎𝑥2 +𝑏𝑥+ 𝑐
D．𝑦= 𝑥2−
1
𝑥+2
【答案】B
【分析】根据二次函数定义逐一判断选项即可.
【详解】解：二次函数的定义为：一般地，形如𝑦= 𝑎𝑥2 +𝑏𝑥+ 𝑐（𝑎，𝑏，𝑐是常数，𝑎≠0）的函数，叫做
二次函数.
∵选项A 中𝑦= 2𝑥−3是一次函数，
∴A 不符合题意；
∵选项B 中𝑦= 𝑥2−5𝑥+ 13 ，符合二次函数的定义，
∴B 符合题意；
∵选项C 中𝑦= 𝑎𝑥2 +𝑏𝑥+ 𝑐，未说明𝑎≠0，当𝑎= 0时不是二次函数，
∴C 不符合题意；
∵选项D 中𝑦= 𝑥2−
1
𝑥+2 里，
1
𝑥是分式，不是整式，不符合二次函数定义，
∴D 不符合题意.
【变式1-1】（25-26 九年级上·上海虹口·月考）函数𝑦= 𝑥(2𝑥−1)______二次函数．（填“是”或者“不是”）
【答案】是
【分析】本题主要考查了二次函数的识别，解题的关键是掌握二次函数的定义．
通过将函数表达式化为一般形式，判断其是否符合二次函数的定义．
【详解】解：函数𝑦= 𝑥(2𝑥−1)可展开为𝑦= 2𝑥2−𝑥，该形式为𝑦= 𝑎𝑥2 +𝑏𝑥+ 𝑐，其中𝑎= 2 ≠0，因此是二
次函数．
故答案为：是．
【变式1-2】（24-25 九年级上·黑龙江大庆·期中）给出下列函数：①𝑦=
2𝑥2−1；②𝑦= 𝑥2−𝑥(1 + 𝑥)；
③𝑦= 𝑥2 +
1
𝑥；④𝑦= 𝑥(1−𝑥)．其中是二次函数的有______．
【答案】④
【分析】本题考查了二次函数的定义，熟练掌握二次函数的一般形式是解题的关键．根据二次函数的一般
形式：形如𝑦= 𝑎𝑥2 +𝑏𝑥+ 𝑐（a，b，c 为常数且𝑎≠0），逐一判断即可解答．
【详解】解：①𝑦=
2𝑥2−1不是二次函数；
②𝑦= 𝑥2−𝑥(1 + 𝑥) = −𝑥是一次函数，不是二次函数；
③𝑦= 𝑥2 +
1
𝑥不是二次函数；
④𝑦= 𝑥(1−𝑥) = 𝑥2−𝑥是二次函数；
综上，是二次函数的有④，
故答案为：④．
【变式1-3】（25-26 九年级上·安徽安庆·期末）在物理学中，物体由于运动而具有的能量，称为物体的动能，
其满足关系𝐸=
1
2𝑚𝑣2，则下列说法正确的是（ ）
A．当𝑚一定时，𝐸与𝑣满足一次函数关系
B．当𝑚一定时，𝐸与𝑣满足二次函数关系
C．当𝑣一定时，𝐸与𝑚不满足函数关系
D．当𝑣一定时，𝐸与𝑚满足二次函数关系
【答案】B
【分析】本题主要考查了一次函数，二次函数的定义，熟练掌握一次函数与二次函数的定义是解题的关键．
根据一次函数，二次函数的定义，即可判断．
【详解】解：∵一次函数的形式为𝑦= 𝑘𝑥+ 𝑏（𝑘≠0，𝑘、𝑏为常数），二次函数的形式为𝑦= 𝑎𝑥2 +𝑏𝑥+ 𝑐
（𝑎≠0，𝑎、𝑏、𝑐为常数）
①当𝑚一定时，令𝑘=
1
2𝑚（𝑘为常数且𝑘≠0），则𝐸= 𝑘𝑣2，符合二次函数的形式，∴𝐸与𝑣满足二次函数关
系，故A 不符合题意，B 符合题意；
②当𝑣一定时，令𝑘=
1
2𝑣2（𝑘为常数且𝑘≠0），则𝐸= 𝑘𝑚，符合一次函数的形式，∴𝐸与𝑚满足一次函数关
系，故C、D 不符合题意．.
故选：B．
【题型2 根据二次函数的定义求参数】
【例2】如果函数𝑦= (𝑘−3)𝑥𝑘2−3𝑘+2 +𝑘𝑥+ 1是关于x 的二次函数，则𝑘= ________．
【答案】0
【分析】根据二次函数的定义可得二次项系数不为0，且x 的最高次数为2，据此列方程与不等式求解即可
得到k 的值．
【详解】解：根据二次函数的定义，得
𝑘−3 ≠0
𝑘2−3𝑘+ 2 = 2
，
解方程𝑘2−3𝑘+ 2 = 2，解得𝑘= 0或𝑘= 3．
由𝑘−3 ≠0得𝑘≠3，
因此𝑘= 0．
【变式2-1】（25-26 九年级上·江苏盐城·期末）若函数𝑦= 𝑥𝑚−1−𝑥+ 2是二次函数，那么𝑚的值为 （ ）
A．0
B．1
C．2
D．3
【答案】D
【分析】本题考查二次函数的定义，依据二次函数最高次项的次数为2 这一性质列方程求解即可．
【详解】∵𝑦= 𝑥𝑚−1−𝑥+ 2是二次函数，
∴𝑚−1 = 2
解得𝑚= 3
此时函数为𝑦= 𝑥2−𝑥+ 2，满足二次函数的定义．
故选：D．
【变式2-2】（25-26 九年级上·河北保定·期末）已知二次函数𝑦= □𝑥2 +𝑥+ 3的开口向下，则□可能是（ ）
A．−2𝑥2
B．−2
C．−3𝑥
D．5
【答案】B
【分析】本题主要考查了二次函数的性质，掌握二次函数性质是解题的关键．
二次函数开口向下需二次项系数为负，且□应为常数以保证函数为二次函数．
【详解】解：A、代入后函数变为 𝑦= (−2𝑥2)𝑥2 +𝑥+ 3 = −2𝑥4 +𝑥+ 3，不是二次函数，故选项不符合题
意；
B、代入后𝑎= −2 < 0，开口向下，故选项符合题意；
C、代入后𝑦= (−3𝑥)𝑥2 +𝑥+ 3 = −3𝑥3 +𝑥+ 3，不是二次函数，故选项不符合题意；
D、代入后𝑎= 5 > 0，开口向上，故选项不符合题意；
故选：B．
【变式2-3】（25-26 九年级上·广东江门·期中）若函数𝑦= (𝑚−3)𝑥|𝑚|−1 +2𝑥−1是关于𝑥的二次函数，则𝑚的
值为_____．
【答案】
−3
【分析】本题考查二次函数的定义，根据二次函数的定义，需满足𝑥的最高次数为2，且二次项系数不为0，
据此进行求解即可.
【详解】解：∵𝑦= (𝑚−3)𝑥|𝑚|−1 +2𝑥−1是关于𝑥的二次函数，
∴|𝑚|−1 = 2，且𝑚−3 ≠0，
∴𝑚= −3.
【题型3 二次函数的一般形式】
【例3】把二次函数y = −4(1 + 2x)(x−3)化为一般形式为：________．
【答案】y = −8x2 +20x +12
【分析】先利用整式的乘法得到y=-4（x-3+2x2-6x），然后去括号合并即可得到二次函数的一般式．
【详解】y=−4(1+2x)(x−3)=−4(x−3+2x2−6x)=−8x2+20x+12，
故答案为y=−8x2+20x+12.
【点睛】本题考查的知识点是二次函数的三种形式，解题的关键是熟练的掌握二次函数的三种形式.
【变式3-1】（24-25 九年级上·吉林·月考）将二次函数𝑦= 𝑥(𝑥−1) +3𝑥化为一般形式后，正确的是（ ）
A．𝑦= 𝑥2−𝑥+ 3
B．𝑦= 𝑥2−2𝑥+ 3
C．𝑦= 𝑥2−2𝑥
D．𝑦= 𝑥2 +2𝑥
【答案】D
【分析】本题考查二次函数的一般式，根据整式乘法展开后合并同类项即可．
【详解】𝑦= 𝑥(𝑥−1) +3𝑥= 𝑥2−𝑥+ 3𝑥= 𝑥2 +2𝑥，
故选：D．
【变式3-2】已知二次函数𝑦= 3(𝑥−1)2 +2．
(1)将二次函数化为一般形式，并指出相应的𝑎，𝑏，𝑐的值；
(2)当𝑥= 6时，求𝑦的值．
【答案】(1)𝑦= 3𝑥2−6𝑥+ 5；𝑎= 3，𝑏= −6，𝑐= 5
(2)𝑦= 77
【分析】（1）将二次函数化为一般形式，并指出相应的𝑎，𝑏，𝑐的值即可；
（2）把𝑥= 6代入函数解析式求出y 的值即可．
【详解】（1）解：∵𝑦= 3(𝑥−1)2 +2
= 3(𝑥2−2𝑥+ 1) + 2
= 3𝑥2−6𝑥+ 3 + 2
= 3𝑥2−6𝑥+ 5，
∴𝑎= 3，𝑏= −6，𝑐= 5；
（2）解：把𝑥= 6代入函数解析式𝑦= 3(𝑥−1)2 +2得：
𝑦= 3 × (6−1)2 +2 = 77．
【点睛】本题主要考查了二次函数的一般形式，求二次函数值，解题的关键是熟练掌握二次函数性质，准
确计算．
【变式3-3】（24-25 九年级上·宁夏固原·月考）如图所示，一个矩形的长为4cm，宽为3cm，如果将这个矩
形的长与宽都增加𝑥cm，那么这个矩形的面积增加𝑦cm2．
(1)求y 与x 之间的函数关系式；（整理成一般形式）
(2)计算当增加面积为8 时，x 的值是多少．
【答案】(1)𝑦= 𝑥2 +7𝑥(𝑥≥0)
(2)1
【分析】本题考查的是二次函数的应用，解一元二次方程以及二次函数的定义，熟知一般地，形如𝑦= 𝑎𝑥2
+𝑏𝑥+ 𝑐（a、b、c 是常数，𝑎≠0）的函数，叫做二次函数是解题的关键．
（1）根据题意，算出原来矩形的面积，再算边长增加后的面积，然后列出y 与x 的函数关系式；
（2）结合（1）得到的函数关系式，令𝑦= 8，解方程，取符合实际的值即可．
【详解】（1）解：∵矩形的长为4cm，宽为3cm，
∴矩形的面积= 4 × 3 = 12(cm2)．
∵矩形的长与宽都增加𝑥cm(𝑥≥0)，
∴增加后矩形的面积= (4 + 𝑥)(3 + 𝑥)cm2，
∴𝑦= (4 + 𝑥)(3 + 𝑥)−12，即𝑦= 𝑥2 +7𝑥，
故y 与x 之间的函数关系式为𝑦= 𝑥2 +7𝑥(𝑥≥0)；
（2）解：根据题意，令𝑦= 𝑥2 +7𝑥= 8，即𝑥2 +7𝑥−8 = 0，
∴(𝑥+ 8)(𝑥−1) = 0，
解得：𝑥= −8（舍去）或𝑥= 1，
∴x 的值是1．
【题型4 二次函数的各项系数】
【例4】（2025 九年级·全国·专题练习）已知二次函数𝑦= 2𝑥2 +4𝑥−1，它的二次项系数为𝑎，一次项系数为
𝑏，常数项为𝑐，则𝑦= 𝑐𝑥2−𝑎𝑥+ 𝑏为______．
【答案】𝑦= −𝑥2−2𝑥+ 4
【分析】本题考查了二次函数的概念，正确理解二次函数的概念即可解答．
根据二次函数的解析式得出𝑎，𝑏，𝑐的值，再代入𝑦= 𝑐𝑥2−𝑎𝑥+ 𝑏即可．
【详解】解：由题意知，𝑎= 2，𝑏= 4，𝑐= −1，
∴𝑦= 𝑐𝑥2−𝑎𝑥+ 𝑏= −𝑥2−2𝑥+ 4，
故答案为：𝑦= −𝑥2−2𝑥+ 4 ．
【变式4-1】指出下列二次函数的二次项系数、一次项系数和常数项．
函数解析式
二次项系数
一次项系数
常数项
（1）𝑦= −0.9𝑥2 +2𝑥−3
（2）𝑦= −2𝑥2−7
（3）𝑦= −𝑥2 +𝑥
（4）𝑦= (𝑥+ 1)(𝑥−1) +1
【答案】见解析
【分析】根据二次函数的定义，二次函数的解析式处理．
【详解】解：
函数解析式
二次项系数
一次项系数
常数项
（1）𝑦= −0.9𝑥2
+2𝑥−3
−0.9
2
−3
（2）𝑦= −2𝑥2−7
−2
0
−7
（3）𝑦= −𝑥2 +𝑥
−1
1
0
（4）𝑦= (𝑥+ 1)
(𝑥−1) +1
1
0
0
【点睛】本题考查二次函数的定义，理解二次函数的解析式是解题的关键．
【变式4-2】（25-26 八年级上·安徽淮南·月考）二次函数𝑦= 2𝑥2−3的二次项系数、一次项系数、常数项的
和为（ ）
A．−1
B．1
C．5
D．−5
【答案】A
【分析】此题主要考查了二次函数的定义，关键是注意在找二次项系数，一次项系数和常数项时，不要漏
掉符号．
根据二次函数的定义得出二次项系数、一次项系数、常数项，再相加计算即可．
【详解】解：二次函数𝑦= 2𝑥2−3的二次项系数是2，一次项系数是0，常数项是−3，
∴二次项系数、一次项系数、常数项的和为2 + 0 + (−3) = −1，
故选：A．
【变式4-3】（25-26 九年级上·山东德州·月考）已知函数𝑦= (𝑚2 + 𝑚)𝑥𝑚2−2𝑚−1 + (𝑚−3)𝑥+ 𝑚2−11是关
于x 的二次函数．
(1)求m 的值；
(2)写出二次项系数、一次项系数及常数项．
【答案】(1)𝑚= 3
(2)二次项系数是12，一次项系数是0，常数项是−2
【分析】本题主要考查二次函数的定义，熟练掌握二次函数的定义，二次函数一般式是解决本题的关键．
（1）根据二次函数的定义，即𝑦= 𝑎𝑥2 +𝑏𝑥+ 𝑐(𝑎≠0)列式求解即可；
（2）根据二次函数一般式判定即可．
【详解】（1）解：根据二次函数的定义得𝑚2−2𝑚−1 = 2
𝑚2 + 𝑚≠0
，
由𝑚2−2𝑚−1 = 2得𝑚1 = −1，𝑚2 = 3，
由𝑚2 +𝑚≠0得𝑚≠−1且𝑚≠0，
∴𝑚= 3．
（2）解：由（1）得：二次函数解析式为𝑦= 12𝑥2−2，
故二次项系数是12，一次项系数是0，常数项为−2．
知识点1 列二次函数关系式
1.理解题意：找出实际问题中的已知量和変量（自变量，因变量），将文字或图形语言转化为数学语言；
2.分析关系：找到已知量和变量之间的关系，列出等量关系式；
3.列函数表达式：设出表示变量的字母，把等量关系式用含字母的式子替换，将表达式写成用自变量表示的
函数的形式.
【题型5 列二次函数关系式-面积类】
【例5】一个正方形的边长为5，如果边长增加x，那么面积增加y 与x 之间的函数表达式是：________．
【答案】𝑦= 𝑥2 +10𝑥
【分析】本题主要考查了根据实际问题列二次函数表达式，解题的关键是找到相应的等量关系．
根据正方形的面积公式列出函数表达式即可．
【详解】解：根据题意得，𝑦= (𝑥+ 5)2−52 = 𝑥2 +10𝑥，
故答案为：𝑦= 𝑥2 +10𝑥．
【变式5-1】（25-26 九年级上·河北沧州·期中）用长为8m的铝合金条制成如图所示的矩形窗框，设𝐴𝐵为𝑥
（单位：米），则窗框的透光面积𝑦（单位：m2），关于𝑥（单位：m）的函数解析式为（铝合金条粗细忽
略不计）（ ）
A．𝑦= −𝑥2 +4𝑥
B．𝑦= −3𝑥2 +8𝑥
C．𝑦= −
3
2𝑥2 +4𝑥
D．𝑦= −𝑥2 +
8
3𝑥
【答案】C
【分析】本题考查了二次函数的应用，由题意得𝐴𝐷= 𝐵𝐶=
8−3𝑥
2 米，进而根据矩形的面积公式解答即可求
解，正确识图是解题的关键．
【详解】解：由题意得，𝐴𝐷= 𝐵𝐶=
8−3𝑥
2 米，
考点2
列二次函数关系式
∴𝑦= 𝐴𝐵·𝐴𝐷= 𝑥·
8−3𝑥
2
= −
3
2𝑥2 +4𝑥，
故选：C．
【变式5-2】等边三角形的周长为𝐶，面积为𝑆，则面积𝑆关于周长𝐶的函数解析式为________．
【答案】𝑆=
3
36𝐶2
【分析】直接利用等边三角形的性质得出AD 的长，再利用三角形面积求法得出答案．
【详解】解：如图所示：过点A 作AD⊥BC 于点D．
∵等边三角形的周长为C，∴AB=BC=AC=
𝐶
3，∴DC=BD=
𝐶
6，∴AD= （
𝐶
3 ）
2−（
𝐶
6 ）
2=
3
6 C，∴S=
1
2×
3
6 C×
𝐶
3=
3
36C2．
故答案为S=
3
36C2．
【点睛】本题主要考查了等边三角形的性质以及三角形面积求法，正确表示出三角形的高是解题的关键．
【变式5-3】如图，正方形𝐴𝐵𝐶𝐷的边长是10cm，𝐸是𝐴𝐵上一点，𝐹是𝐴𝐷延长线上的一点，𝐵𝐸= 𝐷𝐹．四边
形𝐴𝐸𝐺𝐹是矩形，矩形𝐴𝐸𝐺𝐹的面积𝑦(cm2)与𝐵𝐸的长𝑥cm (0 < 𝑥≤10)的函数关系是______．
【答案】𝑦= −𝑥2 +100/𝑦= 100−𝑥2
【分析】由已知图形可以分析得到矩形𝐴𝐸𝐺𝐹的长𝐴𝐹为(10 + 𝑥)cm，宽𝐴𝐸为(10−𝑥)cm，由面积公式即可计
算得到正确答案．
【详解】解：∵正方形𝐴𝐵𝐶𝐷的边长是10cm，且𝐵𝐸= 𝐷𝐹
∴矩形𝐴𝐸𝐺𝐹的长𝐴𝐹的长为(10 + 𝑥)cm，宽𝐴𝐸的长为(10−𝑥)cm
∴矩形𝐴𝐸𝐺𝐹的面积为：𝑦= 𝐴𝐹·𝐴𝐸= (10 + 𝑥)(10−𝑥)=−𝑥2 +100
故答案为：𝑦= −𝑥2 +100
【点睛】本题考查变量之间的关系，由矩形面积推导二次函数关系式等知识点．数形结合列式计算是解此
类题的关键．
【题型6 列二次函数关系式-利润类】
【例6】（25-26 九年级上·安徽安庆·月考）某商品的进货单价为30元/个，当销售单价为40元/个时，每天
能卖出40个，若销售单价每上涨1元/个，则每天的销量就减少1个．设该商品的销售单价为𝑥元/个，每天的
利润为𝑦元，则𝑦与𝑥之间的函数关系式为（ ）
A．𝑦= (𝑥−30) 40−(40−𝑥)
B．𝑦= (𝑥−40) 40−(𝑥−40)
C．𝑦= (10 + 𝑥)(40 + 𝑥)
D．𝑦= (𝑥−30) 40−(𝑥−40)
【答案】D
【分析】本题考查销售问题的数量关系，根据利润= （售价−进价）× 销量列函数关系式即可．
【详解】解：设该商品的销售单价为𝑥元/个，
则每个某商品的利润为：(𝑥−30)元，销量为：40−(𝑥−40) ，
则每天的利润𝑦= (𝑥−30) 40−(𝑥−40) ，
故选：D．
【变式6-1】（25-26 九年级上·安徽合肥·月考）某商店从厂家以每件21 元的价格购进一批商品，该商品在
不超过进价20%的情况下可以自行定价．若每件商品售价为x 元，可卖出(350−10𝑥)件商品，则商店所得利
润y（元）与售价x（元）的函数关系式是______，自变量x 的取值范围为______．
【答案】
𝑦= −10𝑥2 +560𝑥−7350
21 ≤𝑥≤25.2
【分析】本题考查的是列二次函数关系式，掌握“总利润等于每件商品的利润乘以销售的数量”是解题的关
键．由题意分析出每件商品的盈利为：(𝑥−21)元，再根据：总利润等于每件商品的利润乘以销售的数量，
再化简，进一步求解𝑥的范围即可．
【详解】解：由题意得：每件商品的盈利为：(𝑥−21)元，
所以：𝑦= (𝑥−21)(350−10𝑥)
= −10𝑥2 +210𝑥+ 350𝑥−7350
= −10𝑥2 +560𝑥−7350，
∵𝑥≤21 × (1 + 20%) = 25.2且𝑥≥21，
∴21 ≤𝑥≤25.2．
故答案为：𝑦= −10𝑥2 +560𝑥−7350，21 ≤𝑥≤25.2
【变式6-2】某种品牌的服装进价为每件150元，当售价为每件210元时，每天可卖出20件，现需降价处理，
且经市场调查：每件服装每降价2元，每天可多卖出1件．在确保盈利的前提下，若设每件服装降价𝑥元，每
天售出服装的利润为𝑦元，则𝑦与𝑥的函数关系式为（ ）
A．𝑦= −
1
2𝑥2 +10𝑥+ 1200(0 < 𝑥< 60) B．𝑦= −
1
2𝑥2−10𝑥+ 1250(0 < 𝑥< 60)
C．𝑦= −
1
2𝑥2 +10𝑥+ 1250(0 < 𝑥< 60) D．𝑦= −
1
2𝑥2 +10𝑥+ 1250(𝑥≤60)
【答案】A
【分析】设每件服装降价x 元，每件的销售利润为(210−𝑥−150)元，每天可卖出20 + 1 ×
𝑥
2 件，利用每天
售出服装的利润=每件的销售利润×日销售量，即可得出y 关于x 的函数关系式，再结合要确保盈利且日销售
量为整数，即可得出x 的取值范围．
【详解】设每件服装降价x 元，每件的销售利润为(210−𝑥−150)元，每天可卖出20 + 1 ×
𝑥
2 件，每天售出
服装的利润为y 元，由题意得：
𝑦= (210−150−𝑥)(20 +
𝑥
2)，
又∵要确保盈利，且日销售量为整数，
∴0 < 𝑥< 60，且x 为偶数，
∴y 关于x 的函数解析式为𝑦= −
1
2𝑥2 +10𝑥+ 1200（0 < 𝑥< 60，x 为偶数）．
故选：A．
【点睛】本题考查了根据实际问题列二次函数关系式，根据各数量之间的关系，找出y 关于x 的函数关系式
是解题的关键．
【变式6-3】某产品每件成本10 元，试销阶段每件产品的销售单价x（元/件）与日销售量y（件）之间的关
系如下表．
x（元/件）
15
18
20
22
…
y（件）
250
220
200
180
…
按照这样的规律可得，日销售利润w（元）与销售单价x（元/件）之间的函数关系式是________．
【答案】𝑤= −10𝑥2 +500𝑥−4000
【分析】本题考查了二次函数的求解，理解题意是解决本题的关键．
根据表中数据确定销售量y 与销售单价x 成一次函数关系，再利用利润公式建立w 与x 的二次函数关系即
可．
【详解】解：由表可知，销售量y 与销售单价x 满足一次函数关系，设𝑦= 𝑘𝑥+ 𝑏，
将点(15,250)和(18,220)代入，
得
15𝑘+ 𝑏= 250
18𝑘+ 𝑏= 220
，
解得
𝑘= −10
𝑏= 400
，
∴𝑦= −10𝑥+ 400，
∴日销售利润𝑤= 销售收入−总成本= 𝑥⋅𝑦−10𝑦
= 𝑦(𝑥−10)
= (−10𝑥+ 400) (𝑥−10)
= −10𝑥2 + 100𝑥+ 400𝑥−4000
= −10𝑥2 +500𝑥−4000．
故答案为：𝑤= −10𝑥2 +500𝑥−4000．
【题型7 列二次函数关系式-增长率类】
【例7】（25-26 九年级上·江苏徐州·期末）某化肥厂10 月份生产某种化肥200t，如果11、12 月的月平均增
长率为x，则12 月份化肥的产量𝑦(t)与x 之间的函数关系式为______．
【答案】𝑦= 200(1 + 𝑥)2
【分析】本题主要考查列函数解析式，根据月平均增长率问题，11 月份产量为200(1 + 𝑥)，12 月份产量为
200(1 + 𝑥)2，从而得到函数关系式．
【详解】解：依题意，月平均增长率为𝑥，则11 月份化肥产量为200(1 + 𝑥)，12 月份化肥产量为200(1 + 𝑥)
(1 + 𝑥) = 200(1 + 𝑥)2，
故𝑦= 200(1 + 𝑥)2，
故答案为：𝑦= 200(1 + 𝑥)2．
【变式7-1】（24-25 九年级上·浙江温州·月考）某楼盘8 月份以每平方米20000 元的均价对外销售，受市场
经济影响，经过连续两个月降价，如果设平均每月降价的百分率为x，则10 月份楼盘出售均价y 元与平均
每月降价的百分率x 之间的函数关系式__________．
【答案】𝑦= 20000(1−𝑥)2
【分析】本题主要考查了列二次函数关系式，设平均每月降价的百分率为x，则9 月份的楼盘出售均价为
20000(1−𝑥)元，则10 月份的楼盘出售均价为20000(1−𝑥)2元，据此可得答案．
【详解】解：由题意得，𝑦= 20000(1−𝑥)2，
故答案为：𝑦= 20000(1−𝑥)2．
【变式7-2】（24-25 九年级上·湖南长沙·阶段检测）某工厂七月份生产零件50 万个，设该厂第三季度平均
每月的增长率为𝑥，如果第三季度共生产零件𝑦万个，那么𝑦与𝑥满足的函数关系式是（ ）
A．𝑦= 50(1 + 𝑥)2
B．𝑦= 50 + 50(1 + 𝑥)
C．𝑦= 50(1 + 𝑥) +50(1 + 𝑥)2
D．𝑦= 50 + 50(1 + 𝑥) +50(1 + 𝑥)2
【答案】D
【分析】本题考查了根据实际问题列二次函数关系式．设该厂第三季度平均每月的增长率为x，则八月份生
产零件50(1 + 𝑥)万个，九月份生产零件50(1 + 𝑥)2万个，根据第三季度共生产零件y 万个，即可列出𝑦与𝑥之
间的函数关系式．
【详解】解：设该厂第三季度平均每月的增长率为x，则八月份生产零件50(1 + 𝑥)万个，九月份生产零件
50(1 + 𝑥)2万个，根据题意得：
𝑦与𝑥满足的函数关系式是
𝑦= 50 + 50(1 + 𝑥) +50(1 + 𝑥)2．
故选：D
【变式7-3】（24-25 九年级上·辽宁鞍山·月考）某厂今年十月份新产品的研发资金为8 万元，以后每月新产
品的研发资金与上个月相比增长率都是𝑥，则该厂今年十一、十二月份新产品的研发资金w（万元）关于x
的函数关系式为（ ）
A．𝑤= 8(1 + 𝑥)2
B．𝑤= 8 + 8(1 + 𝑥) + 8(1 + 𝑥)2
C．𝑤= 8(1 + 𝑥) + 8(1 + 𝑥)2
D．𝑤= 8(1 + 𝑥)3
【答案】C
【分析】本题考查了根据实际问题列二次函数关系式，根据题意可得今年十月份新产品的研发资金为8 万
元，则十一月份的新产品的研发资金为8(1 + 𝑥)，十二月份新产品的研发资金的为8(1 + 𝑥)2，即可求解．
【详解】解：根据题意，今年十月份新产品的研发资金为8 万元，则十一月份的新产品的研发资金为8
(1 + 𝑥)，十二月份新产品的研发资金的为8(1 + 𝑥)2，
∴该厂今年十一、十二月份新产品的研发资金w（万元）关于x 的函数关系式为𝑤= 8(1 + 𝑥) + 8(1 + 𝑥)2，
故选：C．
【题型8 列二次函数关系式-循环传播类】
【例8】（25-26 九年级上·内蒙古赤峰·期中）2025 年的“蒙超足球联赛”燃遍全网，由于本年度比赛激烈程
度和网上关注度超乎想象，2026 年要增加参赛球队数，进行主客场双循环比赛（每两队之间都进行两场比
赛），设共有𝑥个队参加比赛，比赛总场数为𝑦，则𝑦关于𝑥的关系式为__________．
【答案】𝑦= 𝑥2−𝑥
【分析】本题考查了列二次函数关系式；根据题意，每个队伍参加(𝑥−1)场比赛，列出函数关系式，即可求
解．
【详解】解：设共有𝑥个队参加比赛，比赛总场数为𝑦，则𝑦关于𝑥的关系式为𝑦= 𝑥(𝑥−1)．
即𝑦= 𝑥2−𝑥．
故答案为：𝑦= 𝑥2−𝑥．
【变式8-1】（25-26 九年级上·安徽淮北·期中）在某种病毒的传播过程中，每轮传染平均1 人会传染x 个人，
若最初1 个人感染该病毒，经过两轮传染，共有y 人感染，则y 与x 的函数关系式为______．
【答案】𝑦= (𝑥+ 1)2
【分析】本题考查的是列二次函数关系式，根据病毒传播模型，每轮传染中每人传染x 人，最初1 人感染，
经过两轮传染，总感染人数y 等于(𝑥+ 1)2.
【详解】解：最初有1 人感染，第一轮传染中，1 人传染x 人，新感染人数为𝑥人，
第一轮后总感染人数为(1 + 𝑥)人，
第二轮传染开始有(1 + 𝑥)人感染，每人传染x 人，新感染人数为𝑥(1 + 𝑥)人，
第二轮后总感染人数为(1 + 𝑥) + (1 + 𝑥)𝑥= (1 + 𝑥)(1 + 𝑥) = (1 + 𝑥)2（人），
故y 与x 的函数关系式为𝑦= (1 + 𝑥)2.
故答案为：𝑦= (1 + 𝑥)2
【变式8-2】同学聚会，每两个人之间握手一次，试写出握手的总数m 与参加聚会的人数n 之间的函数关系
式_______________．
【答案】𝑚=
1
2𝑛2−
1
2𝑛
【分析】根据参加聚会的人数以及握手方式，求解即可．
【详解】解：n 位同学中，因为每人除自己之外都要与其余同学分别握手一次，即握（𝑛−1）次手，
考虑到两位同学彼此的握手只算一次，所以n 位同学共握手
1
2𝑛(𝑛−1)次．
即𝑚=
1
2𝑛(𝑛−1) =
1
2𝑛2−
1
2𝑛
故答案为：𝑚=
1
2𝑛2−
1
2𝑛
【点睛】此题考查了二次函数的实际应用，解题的关键是理解题意，找到等量关系，列出函数关系式．
【变式8-3】n 个球队参加篮球比赛，每两队之间进行一场比赛，比赛的场次数m 与球队数𝑛(𝑛≥2)之间的
函数关系是______．
【答案】𝑚=
1
2𝑛2−
1
2𝑛
【分析】n 个球队都要与除自己之外的（n-1）球队个打一场，因此要打n（n-1）场，然而有重复一半的场
次，故比赛场次为
1
2n（n-1），得出关系式．
【详解】解：m=
1
2n（n-1）=
1
2n2-
1
2n，
故答案为：m=
1
2n（n-1）=
1
2n2-
1
2n．
【点睛】考查函数关系式的求法，在具体的情景中，蕴含数量之间的关系，理解和发现数量之间的关系是
正确解答的关键．
