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专题2.2 有理数的乘法与除法（举一反三讲义）
【新教材人教版】
【题型1 有理数乘法的基本运算】........................................................................................................................2
【题型2 有理数的乘法中的符号判断】................................................................................................................3
【题型3 有理数的乘法的应用】............................................................................................................................3
【题型4 求一个数的倒数】....................................................................................................................................4
【题型5 根据倒数的性质求值】............................................................................................................................5
【题型6 有理数的乘法的简便计算】....................................................................................................................5
【题型7 有理数的乘法与绝对值、倒数的综合】................................................................................................6
【题型8 有理数除法的基本运算】........................................................................................................................7
【题型9 有理数的除法在实际生活中的应用】....................................................................................................8
【题型10 有理数的乘除混合运算的基本计算】....................................................................................................8
【题型11 有理数的乘除混合运算的实际应用】....................................................................................................9
【题型12 有理数的加减乘除混合运算】................................................................................................................9
【题型13 有理数的加减乘除混合运算中的简便计算】......................................................................................10
【题型14 有理数的加减乘除混合运算的实际应用】..........................................................................................11
知识点1 有理数乘法法则
1. 正数乘正数，积为正数；正数乘负数，积为负数；负数乘正数，积为负数；负数乘负数，积为正数．积
的绝对值等于各乘数的绝对值的积．
2. 两数相乘，同号得正，异号得负，且积的绝对值等于乘数的绝对值的积；任何数与0 相乘，都得0．
3. 有理数乘法法则也可以表示如下：
设a，b 为正有理数，c 为任意有理数，则
( + 𝑎) × ( + 𝑏) = 𝑎× 𝑏，(−𝑎) × (−𝑏) = 𝑎× 𝑏；
(−𝑎) × ( + 𝑏) = −(𝑎× 𝑏)，( + 𝑎) × (−𝑏) = −(𝑎× 𝑏)；
𝑐× 0 = 0，0 × 𝑐= 0．
知识点2 倒数的概念与求法
考点1
有理数的乘法
题型归纳
1. 倒数的概念：乘积是1 的两个数互为倒数．即若a 与b 互为倒数，则𝒂× 𝒃= 𝟏．
2. 倒数的求法
类型
方法
真、假分数的倒数
将分子分母交换位置
非0 整数的倒数
整数作分母，1 作分子
对于可以除尽的数的倒数，可以用1 除
以这个数求倒数
小数的倒数
对于除不尽的数，转换为分数，再按照
真、假分数求倒数的方法来进行
带分数的倒数
先把带分数化为假分数，然后将分子分
母调换位置
知识点3 有理数的乘法运算律
运算律
文字叙述
用字母表示
乘法交换律
两个数相乘，交换乘数的位置,积不变
𝑎𝑏= 𝑏𝑎
乘法结合律
三个数相乘，先把前两个数相乘，或者先把
后两个数相乘，积不变
(𝑎𝑏)𝑐= 𝑎(𝑏𝑐)
乘法分配率
一个数与两个数的和相乘，等于把这个数
分别与这两个数相乘，再把积相加
𝑎(𝑏+ 𝑐) = 𝑎𝑏+ 𝑎𝑐
知识点4 多个有理数相乘的符号法则
1. 几个不为0 的数相乘，负的乘数的个数是偶数时，积为正数，
奇数时，积为负数．
2. 几个数相乘，如果其中有乘数为0，那么积为0．
【题型1 有理数乘法的基本运算】
【例1】（25-26 七年级上·福建漳州·期末）如图，小林有5 张标有数字的卡片，从中取出2 张，则卡片上两
数乘积的最大值为_____．
【变式1-1】计算(−3) × (−4)的结果是（ ）
A．12
B．−12
C．−7
D．7
【变式1-2】（25-26 七年级上·黑龙江哈尔滨·期末）如图所示为一个正方体的侧面展开图，则原正方体相对
两个面的数字积最小的是（ ）
A．−5
B．−6
C．−9
D．−15
【变式1-3】（25-26 七年级上·江苏常州·月考）若两个整数的乘积是6，则这两个整数的和的最小值是
___________．
【题型2 有理数的乘法中的符号判断】
【例2】下列说法正确的是（ ）
A．两数之积为正，这两数同为正
B．三数相乘，积为负，这三个数都是负数
C．两数之积为负，这两数为异号
D．几个数相乘，积的符号由因数的个数决定
【变式2-1】下列乘积的结果，符号为正的是（ ）
A．0 × (−3) × (−4) × (−5)
B．(−6) × (−15) × −
1
2 ×
1
3
C．−2 × (−12) × ( +2)
D．−1 × (−5) × (−3)
【变式2-2】（24-25 六年级上·山东烟台·期中）若有理数𝑎,𝑏,𝑐满足𝑎𝑏𝑐= 10，𝑎+ 𝑏+ 𝑐= 0，则𝑎,𝑏,𝑐中负数
的个数是______．
【变式2-3】（25-26 七年级上·江苏南京·期中）5 个非零有理数两两相乘，若所有乘积中恰好有4 个负数，
则这5 个数中负数的个数为___________．
【题型3 有理数的乘法的应用】
【例3】（25-26 七年级上·河南平顶山·期末）人体的血液的质量约占人体的7%至8%之间．已知小红的体重
为35kg，则她体内的血液质量可能为（ ）
A．2kg
B．2.4kg
C．2.7kg
D．3.1kg
【变式3-1】（25-26 七年级上·北京海淀·期末）中央民族大学附属中学开展民族团结主题活动，七年级共有
320 名学生参与，其中少数民族学生人数占总人数的
3
8，则少数民族学生人数为（ ）
A．120
B．160
C．200
D．240
【变式3-2】（25-26 七年级上·贵州黔东南·期末）某地居民电费根据年用电量实行阶梯式收费，收费标准如
下表：
年用电量（度）
对应电价（元/度）
3000 度及以下
0.46
超过3000 度但不超过4700 度的部分
0.5
超过4700 度的部分
0.76
若该地某家在2025 年累计年用电量为5000 度，则他家应缴电费__________元．
【变式3-3】（2024·山东烟台·中考真题）《周髀算经》是中国现存最早的数理天文著作．书中记载这样一
道题：“今有女子不善织，日减功迟．初日织五尺，末日织一尺，今三十日织，问织几何？”意思是：现有一
个不擅长织布的女子，织布的速度越来越慢，并且每天减少的数量相同．第一天织了五尺布，最后一天仅
织了一尺布，30天完工，问一共织了多少布？
A．45尺
B．88尺
C．90尺
D．98尺
【题型4 求一个数的倒数】
【例4】（25-26 九年级上·重庆·期中）2026 的倒数是（ ）
A．−2026
B．2026
C．−
1
2026
D．
1
2026
【变式4-1】（25-26 六年级上·上海·期末）−5
1
3的倒数是______．
【变式4-2】（25-26 七年级上·河北邢台·期末）一个正方体的平面展开图如图所示，已知正方体相对两个面
上的数互为倒数，则𝑎𝑏= （ ）
A．−
1
6
B．−6
C．
3
2
D．
1
2
【变式4-3】（25-26 七年级上·河南开封·期中）𝑎是最大的负整数，𝑏的倒数是它本身，𝑐是绝对值最小的有
理数，则𝑎+ 𝑏−𝑐= （ ）
A．−1
B．1
C．0 或−1
D．0 或−2
【题型5 根据倒数的性质求值】
【例5】（2025 七年级上·全国·专题练习）若a，b 互为倒数，则−2025 + 3𝑎𝑏的值为__________．
【变式5-1】（25-26 七年级上·广东东莞·月考）已知𝑎, 𝑏互为相反数，𝑐, 𝑑互为倒数，则𝑐𝑑+ 5(𝑎+ 𝑏)的值为
___________．
【变式5-2】（25-26 七年级上·山东临沂·期末）若𝑎与𝑏互为相反数，𝑐与𝑑互为倒数，则2025𝑎+ 2026𝑏+ 𝑐𝑑𝑎
的值是__________．
【变式5-3】（25-26 七年级上·全国·期末）已知𝑚和𝑛互为相反数，𝑝和
𝑞
2互为倒数，𝑎是绝对值最小的有理数，
𝑏是最小的正整数，求−
𝑚+𝑛+1
2
−𝑝𝑞−𝑎𝑏的值．
【题型6 有理数的乘法的简便计算】
【例6】（2025 七年级上·全国·专题练习）用简便方法计算：
(1) +2
8
31 × −1
2
7 ×
+2
1
15 × −4
1
2 ；
(2)
1
15 + −
5
6 −−
7
12
× (−60)；
(3)9
13
14 × (−7)．
【变式6-1】（25-26 六年级上·山东淄博·期末）计算(−4) × 8 × (−0.25)时，将式子变形为(−4)×(−0.25) × 8
进行简便运算，这样做的依据是运用了______．
【变式6-2】（25-26 七年级上·山西临汾·期末）在简便运算时，把21 × −9
6
7 变形成最合适的形式是（ ）
A．21 × −10 +
1
7
B．21 × −9−
1
7
C．21 × −10−
6
7
D．21 × −9 +
6
7
【变式6-3】学习了有理数的运算后，王老师给同学们出了这样一道题：计算71
15
16 × (−8)，看谁算得又对又
快．
下面是两位同学给出的不同解法．
小强：原式= −
1151
16 × 8 = −
9208
16 = −575
1
2
小莉：原式= 71 +
15
16 × (−8) = 71 × (−8) +
15
16 × (−8) = −568−
15
2 = −575
1
2．
(1)以上两种解法，你认为谁的解法比较简便？
(2)你还有其他解法吗？如果有，请你写出解答过程；
(3)你能用简便方法计算−99
98
99 × 198吗？如果能，请你写出解答过程．
【题型7 有理数的乘法与绝对值、倒数的综合】
【例7】（24-25 七年级上·河北廊坊·月考）已知𝑎与𝑏互为倒数，𝑚与𝑛互为相反数，𝑥的绝对值等于1，则
2022(𝑚+ 𝑛)−2023|𝑥| +2024𝑎𝑏的值为__________．
【变式7-1】下列说法：
①2018 个有理数相乘，其中负数有2005 个，那么所得的积为负数
②若m 满足|m|＋m＝0 则m<0
③有理数
𝑏
𝑎的倒数是
𝑎
𝑏
④若三个有理数a，b，c 满足
|𝑎𝑏|
𝑎𝑏+
|𝑎𝑐|
𝑎𝑐+
|𝑏𝑐|
𝑏𝑐=-1，则
|𝑎|
𝑎+
|𝑏|
𝑏+
|𝑐|
𝑐= −1
其中正确的是有（ ）个
A．0
B．1
C．2
D．3
【变式7-2】（24-25 七年级上·河北石家庄·月考）解答下列问题：
(1)已知|𝑎| = 7,|𝑏| = 3，
①若𝑎𝑏> 0，求𝑎+ 𝑏的值．
②若|𝑎+ 𝑏| = 𝑎+ 𝑏，求𝑎−𝑏的值．
(2)已知𝑎,𝑏互为倒数，𝑐,𝑑互为相反数（𝑐,𝑑不为0），|𝑚| = 3，根据已知条件请回答：
①𝑎𝑏= _______，𝑐+ 𝑑= _______，𝑚= _______，
𝑐
𝑑= _______．
②求|
𝑚
3| +𝑎𝑏+
𝑐+𝑑
4|𝑚| +
𝑐
𝑑的值．
【变式7-3】（25-26 七年级上·河南许昌·期中）（1）若a 与b 互为相反数，c 和d 互为倒数，m 是最大的负
整数，数轴上n 对应的点到−3对应的点的距离是7，求4(𝑎+ 𝑏−2) +5𝑐𝑑−𝑚𝑛的值；
（2）已知|𝑥| = 4，|𝑦| = 9，且𝑥𝑦< 0，求2𝑥−𝑦的值．
考点2
有理数的除法
知识点5 有理数的除法
1. 有理数除法法则
（1）除以一个不等于0 的数，等于乘这个数的倒数．即𝑎÷ 𝑏= 𝑎⋅1
𝑏(𝑏≠0)．
（2）两数相除，同号得正，异号得负，且商的绝对值等于被除数的绝对值除以除数的绝对值的商．若 𝑎𝑏>
0，则
𝒂
𝒃> 𝟎；若𝑎𝑏< 0,则
𝒂
𝒃< 𝟎．
（3）0 除以任何一个不等于0 的数，都得0．
2. 有理数除法的两个法则要根据具体情况灵活选用
（1）对于除法的两个法则，在计算时可根据具体情况选用，一般在不能整除的情况下选用法则（1）比较
简便，在能整除的情况下，选用法则（2）比较简便．
（2）如果被除数和除数都是整数，且不能整除，或者如果被除数和除数中有小数或分数，一般选用法则
（1)进行计算．
知识点6 有理数乘除混合运算
有理数的乘除混合运算通常是先将除法转化为乘法，然后按照乘法法则，确定积的符号，最后求出结果．
【题型8 有理数除法的基本运算】
【例8】（25-26 六年级下·黑龙江绥化·月考）小溪在计算𝑎÷ (−9)时，除号变乘号时，忘记把−9改成它的
倒数，结果是54，则𝑎÷ (−9)的正确结果是______．
【变式8-1】（25-26 七年级上·河北邢台·期末）计算(−7) ÷ 14的结果是（ ）
A．−2
B．2
C．−
1
2
D．
1
2
【变式8-2】（25-26 六年级上·上海·期末）乐乐在计算(−15) ÷ 𝑚时，误将“ ÷ ”看成“ + ”，所得的结果是
−12，那么(−15) ÷ 𝑚的正确结果应是______．
【变式8-3】（25-26 七年级上·河北衡水·期末）如图1，点A，B，C 是数轴上从左到右排列的三点，分别对
应的数为−2，m，4．某同学将刻度尺如图2 放置，使刻度尺上的1.2cm对齐数轴上的点A，发现点B 对齐
刻度尺2.6cm处，点C 对齐刻度尺5.4cm处．那么，数轴上点B 所对应的数m 为______．
【题型9 有理数的除法在实际生活中的应用】
【例9】（25-26 六年级上·黑龙江哈尔滨·期末）
4
3升的牛奶能平均装在4个瓶子里，则每个瓶子装_____升．
【变式9-1】（25-26 七年级上·黑龙江哈尔滨·期末）将2025 转换为八进制数为__________．
【变式9-2】（24-25 七年级上·浙江金华·月考）一列“动车组”高速列车和一列普通列车的车身长分别为80
米与100 米，它们相向行驶在平行的轨道上，若坐在高速列车上的旅客看见普通列车驶过窗口的时间是6
秒，则坐在普通列车上的旅客看见高速列车驶过窗口的时间是（ ）
A．7.5秒
B．4.8秒
C．5 秒
D．4 秒
【变式9-3】（25-26 七年级下·山东泰安·期中）我国古代人们根据《孙子算经》“物不知数”问题改编的灯谜：
大年三十彩灯悬，彩灯齐明光灿灿，三三数时能数尽，五五数时剩一盏，七七数时刚刚好，八八数时还缺
三、大体意思是：大年三十挂彩灯，彩灯数量满足以下条件：
3 个3 个地数，正好数完（没有剩余）；
5 个5 个地数，最后剩1 盏；
7 个7 个地数，正好数完；
8 个8 个地数，还差3 盏（也就是数到最后一组差3 盏不到8 盏）
请问：这些彩灯最少有_____盏?
【题型10 有理数的乘除混合运算的基本计算】
【例10】（25-26 七年级上·山东日照·期中）已知：𝑎×
2
3 = 𝑏× 1
3
5 = 𝑐÷
2
3，且a，b，c 都均为正数，则a，
b，c 中最小的数是（ ）
A．a
B．b
C．c
D．无法确定
【变式10-1】（25-26 七年级上·山西长治·期末）−
1
2 × 2 ÷ −
1
2 × 2 = ( )
A．2
B．−1
C．1
D．4
【变式10-2】（25-26 七年级上·山西太原·阶段检测）已知𝑎是有理数，[𝑎]表示不超过𝑎的最大整数，如：
[3.2] = 3，[−1.5] = −2，则[5.4] ÷ [−3] × [−5.2] = ______．
【变式10-3】（24-25 七年级上·河南南阳·月考）下列各式中，与5 ÷
4
7 ÷
8
7的运算结果相同的是（ ）
A．5 ÷
4
7 ÷
8
7
B．5 ÷
4
7 ×
8
7
C．5 ÷
8
7 ÷
4
7
D．5 ×
7
4 ×
8
7
【题型11 有理数的乘除混合运算的实际应用】
【例11】（25-26 六年级上·黑龙江哈尔滨·期末）已知平均每个水龙头一天漏水约0.06t，如果1 个人1 年用
30t水，那么按照这个漏水速度，100 个水龙头1 年（365 天）的漏水量可供______人用1 年．
【变式11-1】（24-25 七年级上·湖南怀化·开学考试）买2千克葡萄和3千克芒果，共付款40元．已知2千克
葡萄的价钱等于1千克芒果的价钱，那么葡萄每千克(
)元，芒果每千克(
)元．
【变式11-2】（24-25 六年级下·黑龙江绥化·期中）一根木头，锯成3段需要6分钟，照这样计算，锯成6段要
(
)分钟．
【变式11-3】（24-25 六年级下·上海·期中）在长16 厘米，宽10 厘米的长方形上剪半径为2 厘米的小圆，
最多可以剪______个圆．
知识点7 有理数的四则运算
有理数的四则运算：先算乘除，后算加减，有括号先算括号里面的（先小括号，再中括号，最后大括号），
同级运算，按照从左往右的顺序进行计算．
【题型12 有理数的加减乘除混合运算】
【例12】（25-26 七年级下·河南新乡·期末）若要使16□(5−8) × 4的结果为负整数，则“□”里应填（ ）
A．+
B．-
C．×
D．÷
【变式12-1】（25-26 七年级上·福建漳州·期末）要使算式2 + |−5□3|的结果最大，则“□”内应填入的运算符
号为（ ）
A．+
B．−
C．×
D．÷
【变式12-2】某学校把WIFI密码按照如下规律设置，根据提供的信息可以推断该校的WIFI密码是
_____________．
账号：xuexiao
1 ∗2 ⊕3 = 030609
4 ∗5 ⊕6 = 243054
9 ∗2 ⊕5 = 451055
4 ∗6 ⊕8 = 密码
考点3
有理数的加减乘除混合运算
【变式12-3】（25-26 七年级上·河北衡水·期末）小华同学在黑板上列出了算式−12 × (
2
3−
)−2，其中
“
”是被擦去的部分．
(1)如果被擦去的部分是
1
2，求这个算式的结果；
(2)如果这个算式的结果是2，求被擦去部分的值．
【题型13 有理数的加减乘除混合运算中的简便计算】
【例13】（25-26 六年级上·黑龙江绥化·期末）计算．
(1)
7
2 ÷
5
4 +
15
2 ÷
5
4
(2)
1
3 +
1
4 +
1
6 ÷
1
24
(3)137 ×
9
136（用简便算法）
(4)
2
9 × 0.375 ÷
6
7
【变式13-1】（25-26 七年级上·全国·寒假作业）用简便方法计算：
(1)(−7) × −
22
7
+19 ÷ −
7
22 −5 × −
22
7 ；
(2) −
7
6 × (−15) × −
6
7 ×
1
5．
【变式13-2】（25-26 六年级上·全国·期末）脱式计算，能简便的用简便方法计算．
(1)40 + 60 × 14 ÷ 21；
(2)16 × 1.5 ÷
3
14；
(3)32.6−
14
5 +17.4−
11
5
(4)12.5 × 2.4 × 25；
(5)43 × 75% +58 ×
3
4−0.75；
(6)16.4−
9
4 + 3.75 ÷ 37.5% ．
【变式13-3】（25-26 七年级上·湖南湘潭·月考）计算下列各题，能简算的要简算．
(1)8.37−
7
4−
5
2 +1.63
(2)65 ×
4
5 +0.8 × 135
(3)
3
8 ÷
2
9 +
3
4 ×
9
5
【题型14 有理数的加减乘除混合运算的实际应用】
【例14】（25-26 七年级上·黑龙江大庆·期末）为节约用电，某市实行阶梯电价：每月用电不超过180 度，
每度0.5元；超过180 度，超出部分每度0.6 元．
(1)小明家12 月用电150 度，应交电费多少元？
(2)小红家12 月用电220 度，应交电费多少元？
【变式14-1】（25-26 七年级上·河南洛阳·期末）最近几年，全球的新能源汽车发展迅猛，尤其在我国、新
能源汽车产量都大幅增加．阳阳家把家中的燃油车换成了一辆新能源纯电汽车，他连续7 天记录了每天行
驶的路程如下表，以50km为标准，多于50km的部分记为正，不足50km的部分记为负，刚好50km的记为零．
第n 天
1
2
3
4
5
6
7
路程/km
−12
−12
−16
−8
−22
−30
−33
(1)这7 天里第3 天走的路程是 km，路程最多的一天比最少的一天多走 km；
(2)请求出阳阳家的新能源汽车这七天共行驶了多少km？
【变式14-2】王先生到市行政中心大楼办事，假定乘电梯向上一层记作+1，向下一层记作−1，王先生从1
楼出发，要去不同楼层办理具体事务，电梯上下楼层依次记录为（单位：层）：+6，−3，+10，−8，+12，
−7，−10．
(1)请你通过计算说明王先生最后是否回到出发点1 楼；
(2)该电梯每向上或下一层平均需要15 秒（包含了开关门，上下客），求王先生乘坐电梯期间（不包括等待
电梯的时间）共用时多少分钟？
【变式14-3】（25-26 七年级上·河南许昌·期末）外卖送餐为我们生活带来了许多便利，某学习小组调查了
一名外卖小哥一周的送餐情况，规定送餐量超过60 单（送一次外卖称为一单）的部分记为“＋”，低于60 单
的部分记为“－”，下表是该外卖小哥一周的送餐量：
星期
一
二
三
四
五
六
日
送餐量
（单位：
单）
−3
+4
−5
+14
−8
+7
+12
(1)该外卖小哥这一周送餐量最多的一天比最少的一天多送_____单；
(2)该外卖小哥这一周总共送餐多少单？
(3)外卖小哥每天的工资由底薪60 元加上送单补贴构成．送单补贴的方案如下：每天送餐量不超过60 单的
部分，每单补贴2 元；超过60 单但不超过70 单的部分，每单补贴4 元；超过70 单的部分，每单补贴6
元．该外卖小哥这一周工资收入多少元？
