专题26.4 二次函数与一元二次方程（举一反三讲义）
【新教材人教版】
【题型1 抛物线与x 轴是否有公共点】................................................................................................................2
【题型2 利用二次函数的图象确定方程根的情况】............................................................................................4
【题型3 抛物线与x 轴的截线长】........................................................................................................................7
【题型4 图象法确定一元二次方程的近似解】....................................................................................................9
【题型5 图象法解一元二次不等式】....................................................................................................................13
【题型6 利用不等式求二次函数中参数】..........................................................................................................16
【题型7 根据两函数交点确定不等式的解集】..................................................................................................18
【题型8 抛物线与x 轴交点上的四点比较大小】..............................................................................................21
知识点1 二次函数与一元二次方程的关系
一元二次方程是二次函数的函数值𝑦= 0时的情况，反映在图象上就是一元二次方程的根为对应二次函数的
图象与x 轴交点的横坐标．
（1）若抛物线𝑦= 𝑎𝑥2 +𝑏𝑥+ 𝑐(𝑎≠0)与x 轴两交点的横坐标分别为𝑥1，𝑥2，则𝑥1，𝑥2为一元二次方程𝑎𝑥2
+𝑏𝑥+ 𝑐= 0(𝑎≠0)的两个根．
（2）二次函数图象与x 轴交点个数与对应一元二次方程根的情况的关系：
𝒂> 𝟎（示意图）
𝒂< 𝟎（示意图）
一元二次方程根的情况
𝑏2−4𝑎𝑐> 0
有两个不相等的实数根
𝑥1,2 = −𝑏±
𝑏2−4𝑎𝑐
2𝑎
𝑏2−4𝑎𝑐= 0
有两个相等的实数根
𝑥1 = 𝑥2 = −𝑏
2𝑎
考点1
二次函数与一元二次方程
题型归纳
𝑏2−4𝑎𝑐< 0
无实数根
知识点2 利用二次函数的图象求一元二次方程的近似解
利用二次函数图象求一元二次方程的近似解的一般步骤
（1）画出二次函数𝑦= 𝑎𝑥2 +𝑏𝑥+ 𝑐(𝑎≠0)的图象；
（2）确定二次函数𝑦= 𝑎𝑥2 +𝑏𝑥+ 𝑐(𝑎≠0)的图象与x 轴交点的横坐标在哪两个整数之间；
（3）列表，在（2）中的两数之间取值估计，并用计算器估算近似解，则近似解在对应y 值正负交替的地
方．
通过列表求近似根的具体过程：
在列表求近似根时，近似根就出现在对应的y 值正负交替的位置，也就是对x 取一系列值，看y 对应的哪两
个值，由负变成正或由正变成负，此时x 的两个对应值之中必有个近似根，比如x 由𝑥1取到𝑥2时，对应y 的
值出现𝑦1 > 0，𝑦2 < 0或𝑦1 < 0，𝑦2 > 0，那么𝑥1，𝑥2中必有一个是近似根，比较|𝑦1|与|𝑦2|的大小，若
|𝑦1| > |𝑦2|，则说明𝑥2是近似根；反之，则说明𝑥1是近似根．从图象上观察，（𝑥，𝑦）离x 轴越近，y 值越
接近0，而𝑦= 0时x 的值就是方程的确切根．
【题型1 抛物线与x 轴是否有公共点】
【例1】已知二次函数𝑦= −
1
2𝑥2 +𝑏𝑥+ 𝑐的图象经过𝐴(0,−8)，𝐵(−2,−20)两点．
(1)求b，c 的值；
(2)二次函数𝑦= −
1
2𝑥2 +𝑏𝑥+ 𝑐的图象与x 轴是否有公共点？若有，求公共点的坐标；若没有，请说明理由．
【答案】(1) 𝑐= −8
𝑏= 5
(2)有；(2,0)和(8,0)
【分析】（1）将点A、B 的坐标代入函数表达式得出b、c 的方程组，解方程组即可；
（2）
【详解】（1）解：将点A、B 的坐标代入函数表达式得：
𝑐= −8
−1
2 × 4−2𝑏+ 𝑐= −20
，
解得：
𝑐= −8
𝑏= 5
．
（2）解：有，理由如下：
由（1）知，抛物线的表达式为𝑦= −
1
2𝑥2 +5𝑥−8，
则Δ = 52−4 × −
1
2 × (−8) = 9 > 0，
故抛物线与x 轴有两个公共点，
令𝑦= −
1
2𝑥2 +5𝑥−8 = 0，解得𝑥= 2或8，
故公共点坐标为(2,0)和(8,0)．
【点睛】本题主要考查了求二次函数解析式，二次函数与x 轴的交点坐标，解题的关键是熟练掌握待定系
数法求二次函数解析式的一般步骤，正确进行运算．
【变式1-1】（25-26 九年级上·陕西咸阳·阶段检测）已知二次函数𝑦= −𝑥2 +2𝑚𝑥+ 4−𝑚2（m 为常数），
则该二次函数的图象与𝑥轴（ ）
A．有两个公共点
B．有一个公共点
C．没有公共点
D．无法确定公共点的个数
【答案】A
【分析】本题考查了二次函数与𝑥轴的交点问题，令𝑦= 0，则−𝑥2 +2𝑚𝑥+ 4−𝑚2 = 0，再求出Δ = 16 > 0，
由此即可得解，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键．
【详解】解：令𝑦= 0，则−𝑥2 +2𝑚𝑥+ 4−𝑚2 = 0，
∵Δ = (2𝑚)2−4 × (−1) × (4−𝑚2) = 4𝑚2 +16−4𝑚2 = 16 > 0，
∴该二次函数的图象与𝑥轴有两个公共点，
故选：A．
【变式1-2】（24-25 九年级上·北京顺义·期中）若二次函数𝑦= 𝑥2−4𝑥+ 𝑚的图象与𝑥轴有公共点，那么𝑚的
取值范围是（ ）
A．𝑚≥−4
B．𝑚> −4
C．𝑚≤4
D．𝑚< 4
【答案】C
【分析】本题考查了二次函数与𝑥轴的交点问题和一元二次方程的根的判别式，根据已知得出方程𝑥2
−4𝑥+ 𝑚= 0有两个实数根，即Δ ≥0，求出不等式的解集即可．
【详解】解：∵函数𝑦= 𝑥2−4𝑥+ 𝑚的图象与𝑥轴有公共点，
∴方程𝑥2−4𝑥+ 𝑚= 0有两个实数根，即Δ = 42−4 × 1 × 𝑚≥0，
解得：𝑚≤4．
故选：C．
【变式1-3】（24-25 九年级上·贵州贵阳·期中）将二次函数𝑦= 𝑥2−4𝑥−3的图象向上平移a 个单位长度，当
抛物线与两坐标轴有且只有2 个公共点时，a 的值为________．
【答案】3 或7
【分析】本题主要考查了二次函数图象的性质，二次函数的平移，二次函数与一元二次方程，
将二次函数𝑦= 𝑥2−4𝑥−3的图像向上平移a 个单位长度得𝑦= 𝑥2−4𝑥−3 + 𝑎，再根据抛物线与y 有一个交点，
可知抛物线与x 轴只有一个交点，即可得𝑏2−4𝑎𝑐= (−4)2−4 × 1 × (−3 + 𝑎) = 0；当抛物线与x 轴有两个
交点，且有一个交点为原点符合题意，分别求出答案即可.
【详解】解：∵将二次函数𝑦= 𝑥2−4𝑥−3的图像向上平移a 个单位长度得𝑦= 𝑥2−4𝑥−3 + 𝑎，
∴抛物线的开口向上，
当抛物线与y 有一个交点，则抛物线与x 轴只有一个交点，
即𝑏2−4𝑎𝑐= (−4)2−4 × 1 × (−3 + 𝑎) = 0，
解得𝑎= 7；
当抛物线与x 轴有两个交点，且有一个交点为原点时，
∴−3 + 𝑎= 0，
解得𝑎= 3.
当抛物线与两坐标轴有且只有2 个交点时，a 的值为3 或7.
故答案为：3 或7.
【题型2 利用二次函数的图象确定方程根的情况】
【例2】（25-26 九年级上·广西梧州·期末）如图是函数𝑦= 𝑥2−4𝑥+ 3的图像．则方程𝑥2 +4𝑥+ 3 = 0的解
是___________．
【答案】𝑥1 = −3，𝑥2 = −1
【分析】本题主要考查了二次函数与一元二次方程之间的关系，根据函数图象可得函数𝑦= 𝑥2−4𝑥+ 3与x
轴的两个交点坐标为(1,0)，(3,0)，可推出函数𝑦= 𝑥2−4𝑥+ 3与函数𝑦= 𝑥2 +4𝑥+ 3关于y 轴对称，则函数
𝑦= 𝑥2 +4𝑥+ 3与x 轴的两个交点坐标为(−1,0)，(−3,0)，据此可得答案．
【详解】解：由函数图象可知，函数𝑦= 𝑥2−4𝑥+ 3与x 轴的两个交点坐标为(1,0)，(3,0)，
在𝑦= 𝑥2−4𝑥+ 3中，当𝑥= 𝑡时，𝑦= 𝑡2−4𝑡+ 3，
在𝑦= 𝑥2 +4𝑥+ 3中，当𝑥= −𝑡时，𝑦= (−𝑡)2−4𝑡+ 3 = 𝑡2−4𝑡+ 3，
∴函数𝑦= 𝑥2−4𝑥+ 3与函数𝑦= 𝑥2 +4𝑥+ 3关于y 轴对称，
∴函数𝑦= 𝑥2 +4𝑥+ 3与x 轴的两个交点坐标为(−1,0)，(−3,0)，
∴方程𝑥2 +4𝑥+ 3 = 0的解是𝑥1 = −3，𝑥2 = −1，
故答案为：𝑥1 = −3，𝑥2 = −1．
【变式2-1】（2026·四川成都·一模）如图，二次函数𝑦= 𝑎𝑥2 +𝑏𝑥+ 𝑐的部分图象如图所示，其对称轴是直
线𝑥= −1.5，且图象经过点(1,−2)，下列说法正确的是（ ）
A．𝑎> 0
B．𝑐< 0
C．当𝑥< −1时，y 的值随x 值的增大而增大
D．𝑥= −4是方程𝑎𝑥2 +𝑏𝑥+ 𝑐+ 2 = 0的一个根
【答案】D
【分析】根据开口方向、与y 轴交点、对称轴及抛物线对称性，逐一判断A、B、C 选项，由方程等价于
𝑦= −2，利用对称性得𝑥= −4是根，判断D 选项．
【详解】解：A．∵二次函数图象开口向下，
∴𝑎< 0，故选项错误，不符合题意；
B．∵图象与y 轴的交点在正半轴，
∴当𝑥= 0时，𝑦= 𝑐> 0，故选项错误，不符合题意；
C．∵对称轴为直线𝑥= −1.5，且开口向下，
∴当𝑥< −1.5时，𝑦随𝑥的增大而增大；当𝑥> −1.5时，𝑦随𝑥的增大而减小，
𝑥< −1，此范围包含对称轴左侧和右侧部分区域，
∴𝑦随𝑥增大而增大不成立，故选项错误，不符合题意；
D．方程𝑎𝑥2 +𝑏𝑥+ 𝑐+ 2 = 0
𝑎𝑥2 +𝑏𝑥+ 𝑐= −2，
即求二次函数图象上函数值为−2时对应的𝑥值．
∵对称轴为𝑥= −1.5，且图象经过点(1,−2)；
∴点(1,−2)关于对称轴𝑥= −1.5的对称点横坐标为：𝑥= −1.5−[1−(−1.5)] = −4
即点(−4,−2)也在二次函数图象上；
当𝑥= −4时，𝑎𝑥2 +𝑏𝑥+ 𝑐= −2，成立，𝑥= −4是方程的一个根，选项正确，符合题意．
【变式2-2】（25-26 九年级下·江苏扬州·期中）如图是二次函数𝑦= 𝑎𝑥2 +𝑏𝑥+ 𝑐的图象，若关于𝑥的方程𝑎𝑥2
+𝑏𝑥+ 𝑐= 𝑚总有一正一负两个实数根，则𝑚的取值范围是__________．
【答案】𝑚< 2
【分析】利用数形结合思想，根据交点的坐标意义求解即可；
【详解】解：根据题意，得当𝑚= 2时，此时𝑦= 2，与抛物线𝑦= 𝑎𝑥2 +𝑏𝑥+ 𝑐的交点坐标中一个为负，一
个为零，
当𝑚＜2时，与抛物线𝑦= 𝑎𝑥2 +𝑏𝑥+ 𝑐的交点坐标中一个为负，一个为正，
故答案为：𝑚＜2；
【变式2-3】（25-26 九年级上·浙江绍兴·期末）已知函数𝑦= 𝑎𝑥2 +𝑏𝑥(𝑎≠0)的图象和函数𝑦= 𝑡的图象如图
所示，则关于𝑥的一元二次方程𝑎𝑥2 +𝑏𝑥−𝑡= 0的解是___________．
【答案】𝑥1 = −0.5，𝑥2 = 2.5
【分析】本题考查了二次函数的性质．函数𝑦= 𝑎𝑥2 +𝑏𝑥(𝑎≠0)的图象和函数𝑦= 𝑡的图象交点的横坐标就
是关于𝑥的一元二次方程𝑎𝑥2 +𝑏𝑥−𝑡= 0的解，据此求解即可．
【详解】解：由图象知，抛物线𝑦= 𝑎𝑥2 +𝑏𝑥(𝑎≠0)的对称轴为直线𝑥= 1，
函数𝑦= 𝑎𝑥2 +𝑏𝑥(𝑎≠0)的图象和函数𝑦= 𝑡的图象一个交点的横坐标为−0.5，
∴一个交点的横坐标为2.5，
∴关于𝑥的一元二次方程𝑎𝑥2 +𝑏𝑥−𝑡= 0的解是𝑥1 = −0.5，𝑥2 = 2.5．
故答案为：𝑥1 = −0.5，𝑥2 = 2.5．
【题型3 抛物线与x 轴的截线长】
【例3】如图，抛物线𝑦= 𝑥2−𝑎𝑥−(𝑎+ 1)（其中a 为常数）的对称轴为直线𝑥= 1，与x 轴交于点A，点B，
则𝐴𝐵的长度为_________．
【答案】4
【分析】本题考查了求抛物线与坐标轴的交点，待定系数法求解析式，根据对称轴求得𝑎= 2的值，解方程
𝑥2−2𝑥+ 3 = 0，即可求解．
【详解】解：∵抛物线𝑦= 𝑥2−𝑎𝑥−(𝑎+ 1)（其中a 为常数）的对称轴为直线𝑥= 1，
∴𝑥= −
−𝑎
2 = 1
解得：𝑎= 2，
∴抛物线解析式为：𝑦= 𝑥2−2𝑥+ 3，
令𝑦= 0，即𝑥2−2𝑥+ 3 = 0，
解得：𝑥1 = −1,𝑥2 = 3，
∴𝐴(−1,0),𝐵(3,0),
∴𝑂𝐴= 1,𝑂𝐵= 3，
∴𝐴𝐵= 𝑂𝐴+ 𝑂𝐵= 1 + 3 = 4,
故答案为：4．
【变式3-1】在平面直角坐标系中，抛物线𝑦= 𝑥2 +𝑏𝑥+ 𝑐的顶点坐标为(1,−4)，若抛物线与𝑥轴相交于𝐴，𝐵
两点，则𝑏= ________．𝐴𝐵= ________．
【答案】
−2
4
【分析】本题考查了二次函数的性质，二次函数与坐标轴的交点问题，先求得解析式，进而求得𝑏的值，令
𝑦= 0，进而得出𝐴𝐵的长．
【详解】解：∵𝑦= 𝑥2 +𝑏𝑥+ 𝑐中，𝑎= 1，顶点坐标为(1,−4)，
∴抛物线解析式为𝑦= (𝑥−1)2−4 = 𝑥2−2𝑥−3，则𝑏= −2，
令𝑦= 0，则𝑥2−2𝑥−3 = 0，
解得：𝑥1 = −1,𝑥2 = 3
∴𝐴𝐵= 3−(−1) = 4,
故答案为：−2，4．
【变式3-2】（25-26 九年级上·浙江台州·阶段检测）如图，二次函数𝑦= 𝑥2 +6𝑥+ 𝑐的图象与x 轴交于A，B
两点，与y 轴正半轴交于点C，若𝐴𝐵= 4，则点C 的坐标是________ ．
【答案】(0,5)
【分析】本题考查了抛物线与x 轴的交点，主要考查函数图象上点的坐标特征，正确利用根和系数的关系
是解题关键．
设点A、B 的横坐标分别为m、n， 𝐴𝐵= |𝑚−𝑛| =
(𝑚+ 𝑛)2−4𝑚𝑛=
36−4𝑐= 4，即可求解．
【详解】解：令𝑦= 𝑥2 +6𝑥+ 𝑐= 0，
设点A、B 的横坐标分别为m、n，
∴𝑚+ 𝑛= −6，𝑚𝑛= 𝑐(𝑐> 0)，
则𝐴𝐵= |𝑚−𝑛| =
(𝑚+ 𝑛)2−4𝑚𝑛=
36−4𝑐= 4，
解得：𝑐= 5，
∴点C 的坐标为(0,5)，
故答案为：(0,5)．
【变式3-3】（24-25 九年级上·江苏泰州·阶段检测）在平面直角坐标系中，将二次函数𝑦= (𝑥−2024)(𝑥−2025)
−6的图象向上平移6 个单位长度，所得的抛物线与𝑥轴有两个公共点𝑃，𝑄，则𝑃𝑄= _____．
【答案】1
【分析】本题考查了抛物线与x 轴的交点：把求二次函数𝑦= 𝑎𝑥2 +𝑏𝑥+ 𝑐（a，b，c 是常数，𝑎≠0）与x
轴的交点坐标问题转化为解关于x 的一元二次方程．也考查了二次函数的性质和二次函数图象与几何变
换．利用抛物线的平移规律得到平移后的抛物线解析式为𝑦= (𝑥−2024)(𝑥−2025)，然后解方程(𝑥−2024)
(𝑥−2025) = 0得到点P、Q 的坐标，从而得到𝑃𝑄的长．
【详解】解：二次函数𝑦= (𝑥−2024)(𝑥−2025)−6的图象向上平移6 个单位长度所得抛物线解析式为𝑦=
(𝑥−2024)(𝑥−2025)−6 + 6 = (𝑥−2024)(𝑥−2025)，
当𝑦= 0时，(𝑥−2024)(𝑥−2025) = 0，
解得𝑥1 = 2024，𝑥2 = 2025，
∴点P、Q 的坐标为(2024,0),(2025,0)，
∴𝑃𝑄= 2025−2024 = 1．
故答案为：1．
【题型4 图象法确定一元二次方程的近似解】
【例4】（25-26 九年级上·山西吕梁·期末）小亮利用函数图象求方程𝑥2 +2𝑥−2 = 0的实数根时，先画出函
数𝑦= 𝑥2 +2𝑥−2的图象如图所示，该图象与𝑥轴的公共点𝐴的横坐标大约是0.7，由此可以估计方程𝑥2
+2𝑥−2 = 0的实数根为________（结果保留小数点后一位）．
【答案】𝑥1 = 0.7，𝑥2 = −2.7
【分析】本题主要考查了二次函数图象和一元二次方程的解．
由图象与𝑥轴的公共点𝐴的横坐标大约是0.7，再利用对称性即可求解．
【详解】解：∵函数图象与𝑥轴的公共点𝐴的横坐标大约是0.7，且对称轴为𝑥= −1，
∴函数图象与𝑥轴的另一个公共点的横坐标大约是−2.7，
由此可以估计方程𝑥2 +2𝑥−2 = 0的实数根为𝑥1 = 0.7，𝑥2 = −2.7．
故答案为：𝑥1 = 0.7，𝑥2 = −2.7．
【变式4-1】（25-26 九年级上·浙江金华·期中）下表是函数𝑦= 2𝑥2−3𝑥−6的部分自变量与对应的函数值：
x
2.5
2.6
2.7
2.8
2.9
y
−1
−0.28
0.48
1.28
2.12
根据此表，可以判断方程2𝑥2−3𝑥−6 = 0的一 个解x 可能的取值范围是________．
【答案】2.6 < 𝑥< 2.7
【分析】本题考查观察图表得知函数值情况，一元二次方程的根，二次函数与一元二次方程的关系．通过
观察函数值的变化，当𝑥= 2.6时𝑦< 0，𝑥= 2.7时𝑦> 0，因此方程根在2.6和2.7之间．
【详解】解：由表可知，当𝑥= 2.6时，𝑦= −0.28 < 0；当𝑥= 2.7时，𝑦= 0.48 > 0，
由于二次函数图象是连续的，函数值由负变正，说明方程2𝑥2−3𝑥−6 = 0的一个解在𝑥= 2.6和𝑥= 2.7之间，
即2.6 < 𝑥< 2.7，
故答案为：2.6 < 𝑥< 2.7．
【变式4-2】二次函数𝑦= 𝑎𝑥2 +𝑏𝑥+ 𝑐的图象如图所示，𝐴(2.18,−0.51)，𝐵(2.68,0.54)为图象上的两点，则
方程𝑎𝑥2 +𝑏𝑥+ 𝑐= 0的一个解可能是（ ）
A．2.18
B．2.68
C．−0.51
D．2.45
【答案】D
【分析】本题考查了图象法求一元二次方程的近似值，根据自变量两个取值所对应的函数值是−0.51和
0.54，可得当函数值为0时，𝑥的取值应在所给的自变量两个值之间，掌握知识点的应用是解题的关键．
【详解】解：∵图象上有两点分别为𝐴(2.18,−0.51)，𝐵(2.68,0.54)，
∴当𝑥= 2.18时，𝑦= −0.51；𝑥= 2.68时，𝑦= 0.54，
∴当𝑦= 0时，2.18 < 𝑥< 2.68，只有选项D符合，
故选：D．
【变式4-3】（25-26 九年级上·江苏泰州·阶段检测）九下数学课本“5.4二次函数与一元二次方程”，由函数图
像求方程近似根的活动，体验了数学中“无限逼近”的思想和方法，培养了“数形结合”探讨问题的研究能力．
【问题再现】
你能利用函数𝑦= 𝑥2 +2𝑥−5的图像（如图5−11），探索方程𝑥2 +2𝑥−5=0 的根的取值范围吗？
从图5−11可以看出，函数𝑦= 𝑥2 +2𝑥−5的图像与x 轴有两个公共点，它们分别位于表示实数1 与2，−4与
−3的点之间，所以一元二次方程𝑥2 +2𝑥−5 = 0有两个根，它们分别介于实数1 与2，−4与−3之间
下面，我们借助计算器，探究介于1 与2 之间根的近似值
【解决问题】
解：当𝑥= 1时，𝑦= < 0
当𝑥= 2时，𝑦= > 0
∴1 < 𝑥< 2．
x 的近似值可能为1 或2
当𝑥= 1.5时，𝑦= 0.25 > 0
∴ < 𝑥<
∴𝑥≈ （精确到1）．
(1)补充以上解题过程；
(2)继续探索：方程𝑥2 +2𝑥−5 = 0介于1 与2 之间的根的近似值（精确到0.1），因为 < 𝑥< ，所以
𝑥≈ ．
【答案】(1)−2，3，1，1.5，1
(2)1.44，1.45，1.4
【分析】本题考查了二次函数和一元二次方程，一元二次方程的近似根．
（1）观察画出的抛物线，取1 和2 的中间数代入表达式中试值；
（2）根据所求的函数值缩小取值范围，依次取两个端点值的中间数，代入表达式中试值，进而求得根的近
似值．
【详解】（1）解：当𝑥= 1时，𝑦= 12 +2−5 = −2 < 0，
当𝑥= 2时，𝑦= 22 +2 × 2−5 = 3 > 0．
∴1 < 𝑥< 2．
x 的近似值可能为1 或2
当𝑥= 1.5时，𝑦= 0.25 > 0
∴ 1 < 𝑥< 1.5．
∴𝑥≈1（精确到1）．
故答案为：−2，3，1，1.5，1．
（2）解：由（1）可知1 < 𝑥< 1.5．
当𝑥= 1.4时，𝑦= 1.42 +2 × 1.4−5 = −0.24 < 0，
当𝑥= 1.5时，𝑦= 0.25 > 0．
∴1.4 < 𝑥< 1.5．
取中间值，当𝑥= 1.45时，𝑦= 1.452 +2 × 1.45−5 = 0.0025 > 0，
当𝑥< 1.45时 ，𝑥= 1.44，𝑦= 1.442 +2 × 1.44−5 = −0.0464 < 0．
∴1.44 < 𝑥< 1.45．
∴精确到0.1，𝑥≈1.4．
知识点3 二次函数与一元二次不等式的关系
利用二次函数图象解一元二次不等式的步骤
（1）将一元二次不等式化为𝑎𝑥2 +𝑏𝑥+ 𝑐> 0(或< 0)的形式；
（2）明确二次项系数a 的正负、对称轴在y 轴哪侧，并计算𝑏2−4𝑎𝑐的值；
考点2
二次函数与一元二次不等式
（3）作出不等式对应的二次函数𝑦= 𝑎𝑥2 +𝑏𝑥+ 𝑐的草图；
（4）二次函数在x 轴上方的图象对应的函数值大于零，在x 轴下方的图象对应的函数值小于零．
以𝑦= 𝑎𝑥2 +𝑏𝑥+ 𝑐(𝑎> 0)为例，二次函数与一元二次不等式的关系如下表：
∆= 𝒃𝟐−𝟒𝒂𝒄
∆> 𝟎
∆= 𝟎
∆< 𝟎
二次函数
𝑦= 𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥+ 𝑐
(𝑎> 0)的图像
一元二次方程
𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥+ 𝑐= 0
(𝑎> 0)的根
𝑥1，𝑥2
𝑥1 = 𝑥2 = −𝑏
2𝑎
没有实数根
不等式
𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥+ 𝑐> 0
(𝑎> 0)的解集
𝑥< 𝑥1或𝑥> 𝑥2
𝑥≠𝑥1的一切实数
全体实数
不等式
𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥+ 𝑐< 0
(𝑎> 0)的解集
𝑥1 < 𝑥< 𝑥2
无解
无解
【题型5 图象法解一元二次不等式】
【例5】（25-26 九年级上·湖南衡阳·期末）如图是二次函数𝑦= −𝑥2 +2𝑥+ 3的图象，使𝑦≥0成立的𝑥的取
值范围是_____．
【答案】−1 ≤𝑥≤3
【分析】本题考查二次函数与不等式的关系，抛物线与𝑥轴的交点，掌握相关知识是解决问题的关键．令−𝑥2
+2𝑥+ 3 = 0，求出抛物线与𝑥轴两交点坐标，利用图像即可求𝑦≥0时的𝑥的取值范围．
【详解】解：令−𝑥2 +2𝑥+ 3 = 0
(𝑥+ 1) (𝑥−3) = 0
𝑥1 = −1,𝑥2 = 3，
由图象得：当−1 ≤𝑥≤3时，𝑦≥0．
故答案为：−1 ≤𝑥≤3．
【变式5-1】（25-26 九年级上·北京·期中）如图，抛物线𝑦= 𝑎𝑥2 +𝑏𝑥+ 𝑐的部分图象如图所示，若𝑎𝑥2
+𝑏𝑥+ 𝑐≥3，则𝑥的取值范围是（ ）
A．𝑥≥0
B．𝑥≤0
C．−2 ≤𝑥≤0
D．𝑥≤−2或𝑥≥0
【答案】C
【分析】本题考查了二次函数的对称性，二次函数与不等式，掌握数形结合思想的应用是解题的关键．
由函数图象得对称轴为𝑥= −1，然后可得点(0,3)关于𝑥= −1的对称点的坐标，进而可得答案．
【详解】解：由函数图象得：二次函数𝑦= 𝑎𝑥2 +𝑏𝑥+ 𝑐的对称轴为直线𝑥= −1，
∴点(0,3)关于直线𝑥= −1的对称点的坐标为(−2,3)，
∴关于x 的不等式𝑎𝑥2 +𝑏𝑥+ 𝑐≥3的解集是−2 ≤𝑥≤0
故选：C．
【变式5-2】（25-26 九年级上·湖北武汉·阶段检测）抛物线 𝑦= 𝑎𝑥2 +𝑏𝑥+ 𝑐如图所示，回答下列问题．
(1)方程𝑎𝑥2 +𝑏𝑥+ 𝑐= −3的解是___________；
(2)关于𝑥的不等式𝑎𝑥2 +𝑏𝑥+ 𝑐< −3的解集是___________；
(3)当−2 ≤𝑥< 2时，y 的取值范围是___________；
(4)若关于𝑥的方程𝑎𝑥2 +𝑏𝑥+ 𝑐= 𝑡的两个实数根异号，则t 的取值范围是___________．
【答案】(1)𝑥1 = −2，𝑥2 = 0
(2)−2 < 𝑥< 0
(3)−4 ≤𝑦< 5
(4)𝑡> −3
【分析】考查抛物线的对称性、二次方程的解与抛物线交点的关系、二次不等式的解集、二次函数的取值
范围、根的符号与系数的关系．抓住抛物线的对称轴、顶点、特殊点（如(0,−3)）的特征是关键．易忽略抛
物线的对称性；误判不等式的解集方向；计算端点y 值时出错．
（1）根据抛物线过(0,−3)及对称轴𝑥= −1，找对称点得解；
（2）由开口方向和交点，确定𝑦< −3对应的x 区间；
（3）结合顶点（最小值）和𝑥= 2时的y 值（最大值）确定范围；
（4）利用根异号时常数项小于0，结合抛物线最小值确定t 的范围．
【详解】（1）解：抛物线过点(0,−3)，且对称轴为𝑥= −1，由对称性知另一交点为𝑥= −2，故解为𝑥1
= −2，𝑥2 = 0．
故答案为：𝑥1 = −2，𝑥2 = 0．
（2）解：抛物线开口向上，𝑦< −3对应两点𝑥= −2与𝑥= 0之间的区域，故解集为−2 < 𝑥< 0．
故答案为：−2 < 𝑥< 0．
（3）解：抛物线顶点为(−1,−4)；
由对称性得，𝑥= 2与𝑥= −4对称，y 值大于−3，∴当𝑥= 2时，𝑦> −3，
∵结合开口向上，𝑥= 2时𝑦= 𝑎(2 + 1)2−4 = 9𝑎−4，由𝑥= 0时𝑦= −3得𝑐= −3，顶点−
𝑏
2𝑎= −1，
4𝑎𝑐−𝑏2
4𝑎
= −4，解得𝑎= 1，故𝑥= 2时𝑦= 1 × 4 + 2 × 2−3 = 5．故取值范围为−4 ≤𝑦< 5．
故答案为：−4 ≤𝑦< 5．
（4）解：方程即𝑎𝑥2 +𝑏𝑥+ (𝑐−𝑡) = 0，根异号则常数项𝑐−𝑡< 0（𝑎> 0），且抛物线顶点𝑦min = −4，故
𝑡> −3(𝑐= −3)，结合有实根需𝑡≥−4，最终范围为𝑡> −3．
故答案为：𝑡> −3．
【变式5-3】二次函数𝑦= 𝑎𝑥2 +𝑏𝑥+ 𝑐图象如图所示，则关于𝑥的不等式𝑎(𝑥+ 2)2 +𝑏(𝑥+ 2) +𝑐≤0的解集
为______．
【答案】−1 ≤𝑥≤1
【分析】本题考查的是二次函数与不等式组，能根据题意利用数形结合求出不等式的解集是解答此题的关
键．先得到函数𝑦= 𝑎(𝑥+ 2)2 +𝑏(𝑥+ 2) +𝑐的图象与𝑥轴的交点为−1，1，再利用数形结合的方法解题即
可.
【详解】解：∵由函数𝑦= 𝑎𝑥2 +𝑏𝑥+ 𝑐图象可知，当1 ≤𝑥≤3时，函数图象在𝑥轴的下方（包括交点），
∴函数𝑦= 𝑎(𝑥+ 2)2 +𝑏(𝑥+ 2) +𝑐的图象与𝑥轴的交点为−1，1，（把𝑥+ 2作为一个整体，代入上面的函数
中，）
∴不等式𝑎(𝑥+ 2)2 +𝑏(𝑥+ 2) +𝑐≤0的解集为−1 ≤𝑥≤1，
故答案为：−1 ≤𝑥≤1．
【题型6 利用不等式求二次函数中参数】
【例6】不等式𝑥2 + |2𝑥−6| ≥𝑎对于一切实数𝑥都成立，则𝑎的最大值为____．
【答案】5
【分析】本题主要考查二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键；由题意易
得要使不等式𝑥2 + |2𝑥−6| ≥𝑎对于一切实数𝑥都成立，则需满足𝑎≤𝑥2 +|2𝑥−6| min，进而根据二次函数
的最值问题可求解．
【详解】解：由题意得：𝑎≤𝑥2 +|2𝑥−6| min，
∵𝑥2 + |2𝑥−6| = 𝑥2 + 2𝑥−6,𝑥≥3
𝑥2−2𝑥+ 6,𝑥< 3
=
(𝑥+ 1)2−7,𝑥≥3
(𝑥−1)2 + 5,𝑥< 3
，
∴当𝑥≥3时，函数𝑦= (𝑥+ 1)2−7的最小值是当𝑥= 3时取得，(3 + 1)2−7 = 9即为9；
当𝑥< 3时，函数𝑦= (𝑥−1)2 +5的最小值是当𝑥= 1时取得，即为5；
∴𝑥2 +|2𝑥−6| min = 5，
∴𝑎≤5，
即a 的最大值为5．
【变式6-1】若二次函数𝑦= 𝑥2−2𝑎𝑥−1（𝑎为常数）的图象在−2⩽𝑥⩽5的部分与𝑥轴有两个公共点，则𝑎的取
值范围是（ ）
A．−
3
4 ≤𝑎< 0
B．−
3
4 ≤𝑎≤
12
5
C．𝑎≤−
3
4或𝑎≤
12
5
D．𝑎≤−
3
4或𝑎≥
12
5
【答案】B
【分析】根据题意二次函数的图像在−2⩽𝑥⩽5的部分与x 轴要有两个公共点，所以只需把x=-2 和x=5 代入
二次函数解析式𝑦= 𝑥2−2𝑎𝑥−1中，使得它们对应的函数值大于或等于零即可，最后构建不等式组求解即可．
【详解】∵ 二次函数𝑦= 𝑥2−2𝑎𝑥−1的图像在−2⩽𝑥⩽5的部分与x 轴有两个交点
∴ 当 x=-2和x=5 时，得
4+4𝑎−1 ≥0
25−10𝑎−1 ≥0
解得
𝑎≥−3
4
𝑎≤12
5
∴此不等式的解集为-
3
4 ≤𝑎≤
12
5
故选B．
【点睛】本题主要考查二次函数的图像，关键是根据题意得到在自变量−2⩽𝑥⩽5所对应的函数图像是在x 轴
的上方还是下方，也可以试着画函数图像来分析问题，进而构建不等式组来求解．
【变式6-2】已知关于x 的二次函数y＝x2﹣（a+1）x+a 图象与直线x＝t 相交于点P，仅存在两个整数t 使
点P 在x 轴下方，则实数a 的取值范围是 ________________．
【答案】﹣2≤a＜﹣1 或3＜a≤4
【分析】根据二次函数y＝x2﹣（a+1）x+a 图象与直线x＝t 相交于点P，设出P 点坐标，由P 在x 轴下方得
到t2﹣（a+1）t+a＜0，即（t﹣a）（t﹣1）＜0，分两种情况谈论，即可解答．
【详解】解：∵二次函数y＝x2﹣（a+1）x+a 图象与直线x＝t 相交于点P，
∴点P 坐标为：（t，t2﹣（a+1）t+a），
∵点P 在x 轴下方，
∴t2﹣（a+1）t+a＜0，即（t﹣a）（t﹣1）＜0，
①当a＞1 时，则1＜t＜a，
∵t 仅有两个整数，
∴3＜a≤4；
②当a＜1 时，则a＜t＜1，
又∵t 仅有两个整数，
∴﹣2≤a＜﹣1．
综上所述，实数a 的取值范围为：﹣2≤a＜﹣1 或3＜a≤4．
故答案为：﹣2≤a＜﹣1 或3＜a≤4．
【点睛】本题考查了二次函数与不等式．解题的关键在于找出不等关系．
【变式6-3】（2026·安徽合肥·一模）已知二次函数𝑦= −𝑥2 +𝑏𝑥+ 𝑐的图象与𝑥轴一个交点横坐标为𝑐(𝑐≠0)．
（1）𝑐−𝑏= ______；
（2）若抛物线顶点纵坐标大于4，则𝑐的取值范围是______．
【答案】
1
𝑐> 3或𝑐< −5
【分析】（1）代入𝑥= 𝑐可得−𝑐2 +𝑏𝑐+ 𝑐= 0，即−𝑐(𝑐−𝑏−1) = 0，然后两边同时除以𝑐即可；
（2）求出顶点纵坐标
−4(𝑏+1)−𝑏2
−4
=
𝑏2
4 +𝑏+ 1 =
𝑏
2 + 1
2
> 4，然后代入求不等式即可．
【详解】解：（1）代入𝑥= 𝑐可得−𝑐2 +𝑏𝑐+ 𝑐= 0，即−𝑐(𝑐−𝑏−1) = 0，
∵𝑐≠0，
∴𝑐−𝑏−1 = 0，
∴𝑐−𝑏= 1；
（2）抛物线𝑦= −𝑥2 +𝑏𝑥+ 𝑏+ 1顶点纵坐标为
−4(𝑏+1)−𝑏2
−4
=
𝑏2
4 +𝑏+ 1 =
𝑏
2 + 1
2
，
由题意得：
𝑏
2 + 1
2
> 4，
∴
𝑏
2 +1 > 2或
𝑏
2 +1 < −2，
解得𝑏> 2或𝑏< −6，
由（1）得𝑐−𝑏= 1，
∴𝑏= 𝑐−1，
∴𝑐−1 > 2或𝑐−1 < −6，
∴𝑐> 3或𝑐< −5．
【题型7 根据两函数交点确定不等式的解集】
【例7】（2026·四川广安·二模）如图，一次函数𝑦= 2𝑥−3的图象与二次函数𝑦= 𝑎𝑥2 +𝑏𝑥+ 𝑐(𝑎≠0)的图
象交于点𝐴、𝐵，且点𝐴在𝑥轴上，点𝐵在𝑦轴上，则关于𝑥的不等式𝑎𝑥2 + (𝑏−2)𝑥+ 𝑐+ 3 > 0的解集为___．
【答案】𝑥< 0或𝑥>
3
2
【分析】先求得𝐴,𝐵的坐标；根据图象，找到二次函数图象在一次函数图象上面部分的𝑥的取值范围．
【详解】解：令𝑥= 0，可得𝑦=−3，
∴𝐵(0,−3)，
令𝑦= 0，可得0 = 2𝑥−3，解得𝑥=
3
2，
∴𝐴
3
2 ,0 ，
由图可得关于x 的不等式𝑎𝑥2 +𝑏𝑥+ 𝑐> 2𝑥−3即𝑎𝑥2 + (𝑏−2)𝑥+ 𝑐+ 3 > 0的解集为𝑥< 0或𝑥>
3
2．
【变式7-1】（25-26 九年级上·湖北孝感·期中）如图，抛物线𝑦= 𝑎𝑥2与直线𝑦= 𝑏𝑥+ 𝑐的两个交点坐标分别
为(−2,2)，1,
1
2 ，则不等式𝑎𝑥2 ≥𝑏𝑥+ 𝑐的解集是______．
【答案】𝑥≤−2或𝑥≥1
【分析】本题考查了二次函数与一次函数的图象与不等式的关系，解题的关键是根据两函数图象的交点，
确定抛物线𝑦= 𝑎𝑥2在直线𝑦= 𝑏𝑥+ 𝑐上方（含交点）对应的𝑥的取值范围．
【详解】解：不等式𝑎𝑥2 ≥𝑏𝑥+ 𝑐表示抛物线𝑦= 𝑎𝑥2在直线𝑦= 𝑏𝑥+ 𝑐上方（含交点）的部分对应的𝑥的取
值．
已知两函数交点坐标为(−2,2)和(1,
1
2)，结合图象可知，此时𝑥≤−2或𝑥≥1．
故答案为：𝑥≤−2或𝑥≥1．
【变式7-2】（2026·湖北恩施·二模）如图，抛物线𝑦= 𝑎𝑥2 +𝑏𝑥+ 𝑐(𝑎≠0)与直线𝑦= 𝑥交于B，C 两点，与
𝑦轴交于点𝐴，已知点C 的坐标为(1,1)，点B 的横坐标为3，𝐵𝐴⊥𝑦轴．下列结论错误的是（ ）
A．𝑐= 3
B．𝑎𝑏𝑐< 0
C．2𝑎+ 𝑏+ 1 = 0
D．当1 < 𝑥< 3时， 𝑥2 +𝑏𝑥+ 𝑐> 𝑥
【答案】D
【分析】求出𝐵点坐标，待定系数法求出函数解析式，结合函数图象，逐一进行判断即可.
【详解】解：∵点𝐵在直线𝑦= 𝑥上，且B 的横坐标为3，
∴点𝐵的纵坐标为3，
∴𝐵(3,3)，
∵𝐵𝐴⊥𝑦轴，
∴𝐴(0,3)，
把𝐴(0,3)，𝐵(3,3)，𝐶(1,1)代入𝑦= 𝑎𝑥2 +𝑏𝑥+ 𝑐(𝑎≠0)，得
𝑐= 3
9𝑎+ 3𝑏+ 𝑐= 3
𝑎+ 𝑏+ 𝑐= 1
，解得
𝑐= 3
𝑎= 1
𝑏= −3
，
∴𝑦= 𝑥2−3𝑥+ 3，
∴𝑎𝑏𝑐= 1 × (−3) × 3 = −9 < 0，2𝑎+ 𝑏+ 1 = 2−3 + 1 = 0；
由图象可知，当1 < 𝑥< 3时，抛物线在直线的下方，故𝑥2−3𝑥+ 3 < 𝑥；
即𝑥2 +𝑏𝑥+ 𝑐< 𝑥；
综上：只有选项D 错误.
【变式7-3】（25-26 八年级下·浙江金华·期中）如图，已知抛物线𝑦1 = 𝑥2 +𝑏𝑥+ 𝑐经过𝐴(1,0),𝐵(0,2) 两点，
顶点为𝐷．
(1)分别求抛物线𝑦1 = 𝑥2 +𝑏𝑥+ 𝑐和直线𝐴𝐵:𝑦2 = 𝑘𝑥+ 𝑚(𝑘≠0)的解析式；
(2)请根据图象直接写出：𝑦1 > 𝑦2时𝑥的取值范围；
【答案】(1)𝑦= 𝑥2−3𝑥+ 2；𝑦= −2𝑥+ 2
(2)𝑥< 0或𝑥> 1
【分析】（1）用待定系数法即可求解两函数的解析式；
（2）观察图象即可求解．
【详解】（1）解：把𝐴(1,0),𝐵(0,2) 代入𝑦1 = 𝑥2 +𝑏𝑥+ 𝑐，得
1 + 𝑏+ 𝑐= 0
𝑐= 2
，
解得
𝑏= −3
𝑐= 2
，
∴该抛物线解析式是：𝑦= 𝑥2−3𝑥+ 2，
把𝐴(1,0),𝐵(0,2) 代入𝑦2 = 𝑘𝑥+ 𝑚(𝑘≠0)，得
𝑘+ 𝑚= 0
𝑚= 2
，
解得
𝑘= −2
𝑚= 2
，
∴该直线的解析式是𝑦= −2𝑥+ 2；
（2）解：由图象得到：当𝑥< 0或𝑥> 1时，二次函数𝑦1 = 𝑥2 +𝑏𝑥+ 𝑐的值大于一次函数𝑦2 = 𝑘𝑥+ 𝑚的值．
【题型8 抛物线与x 轴交点上的四点比较大小】
【例8】（2025 九年级下·全国·专题练习）已知抛物线𝑦= (𝑥−𝑥1)(𝑥−𝑥2)−3(𝑥1 < 𝑥2)，抛物线与𝑥轴交于
𝑚，0 ，𝑛，0 两点(𝑚< 𝑛)，则𝑚，𝑛，𝑥1，𝑥2的大小关系是___________．
【答案】𝑚< 𝑥1 < 𝑥2 < 𝑛
【分析】本题主要考查了二次函数的图象与性质、二次函数的平移，设抛物线的解析式为𝑦′ = (𝑥−𝑥1)
(𝑥−𝑥2)，函数𝑦′ = (𝑥−𝑥1)(𝑥−𝑥2)向下平移3个单位得到函数𝑦= (𝑥−𝑥1)(𝑥−𝑥2)−3(𝑥1 < 𝑥2)，根据平移的性
质画出两个二次函数图象的示意图，根据抛物线与𝑥交点的位置进行判断即可．
【详解】解：设抛物线的解析式为𝑦′ = (𝑥−𝑥1)(𝑥−𝑥2)，
则𝑥1、𝑥2是函数𝑦′和𝑥轴的交点的横坐标，
而𝑦= (𝑥−𝑥1)(𝑥−𝑥2)−3 = 𝑦′−3，
即函数𝑦′ = (𝑥−𝑥1)(𝑥−𝑥2)向下平移3个单位得到函数𝑦= (𝑥−𝑥1)(𝑥−𝑥2)−3(𝑥1 < 𝑥2)，
则两个函数的图像如图所示（省略了𝑦轴），
由图像可得:𝑚< 𝑥1 < 𝑥2 < 𝑛，
故答案为：𝑚< 𝑥1 < 𝑥2 < 𝑛．
【变式8-1】（24-25 九年级上·山东济宁·期中）已知抛物线𝑦= 𝑥2 +𝑏𝑥+ 𝑐的图象与𝑥轴的两交点的横坐标分
别𝑥1，𝑥2(𝑥1 < 𝑥2)，一元二次方程𝑥2 +𝑏𝑥+ 𝑐−5 = 0的两根为𝑥3，𝑥4(𝑥3 < 𝑥4)，则𝑥1，𝑥2，𝑥3，𝑥4的大小
关系是（ ）
A．𝑥3 < 𝑥1 < 𝑥2 < 𝑥4
B．𝑥1 < 𝑥2 < 𝑥3 < 𝑥4
C．𝑥1 < 𝑥3 < 𝑥2 < 𝑥4
D．𝑥1 < 𝑥3 < 𝑥4 < 𝑥2
【答案】A
【分析】本题考查了二次函数与一元二次方程的关系，二次函数的图象与性质．抛物线𝑦= 𝑥2 +𝑏𝑥+ 𝑐−5图
象是由𝑦= 𝑥2 +𝑏𝑥+ 𝑐向下平移5 个单位所得，作出图象，结合一元二次方程的根与系数的关系求解即可．
【详解】解：∵一元二次方程𝑥2 +𝑏𝑥+ 𝑐−5 = 0的两根为𝑥3，𝑥4(𝑥3 < 𝑥4)，
∴函数𝑦= 𝑥2 +𝑏𝑥+ 𝑐−5的图象与𝑥轴的两个交点的横坐标为𝑥3，𝑥4(𝑥3 < 𝑥4)，
∵𝑦= 𝑥2 +𝑏𝑥+ 𝑐−5的图象是由𝑦= 𝑥2 +𝑏𝑥+ 𝑐向下平移5 个单位所得，如图，
∴𝑥3 < 𝑥1 < 𝑥2 < 𝑥4，选项A 符合题意，
故选：A．
【变式8-2】已知抛物线𝑦= 𝑥2 +𝑏𝑥+ 𝑐的图象与x 轴的两交点的横坐标分别𝛼、𝛽(𝛼< 𝛽)，而𝑥2
+𝑏𝑥+ 𝑐−2 = 0的两根为𝑀、𝑁(𝑀< 𝑁)，则𝛼、β、M、N 的大小顺序为（ ）
A．𝛼< 𝛽< 𝑀< 𝑁
B．𝑀< 𝛼< 𝛽< 𝑁
C．𝛼< 𝑀< 𝛽< 𝑁
D．𝑀< 𝛼< 𝑁< 𝛽
【答案】B
【分析】根据题意，画出函数𝑦= 𝑥2 +𝑏𝑥+ 𝑐和y=2 的图象草图，根据函数图象可直接求解．
【详解】解：∵a=1>0
∴抛物线的开口向上，与x 轴的两个交点的横坐标分别是𝛼、𝛽(𝛼< 𝛽)
又∵𝑥2 +𝑏𝑥+ 𝑐−2 = 0的两根是抛物线𝑦= 𝑥2 +𝑏𝑥+ 𝑐与直线y=2 的交点横坐标，且𝑀< 𝑁
∴抛物线𝑦= 𝑥2 +𝑏𝑥+ 𝑐的图象如图，
由图象可知：𝑀< 𝛼< 𝛽< 𝑁
故选：B．
【点睛】本题考查了二次函数与一元二次方程的关系和数形结合思想，解题的关键是正确画出函数的图象．
【变式8-3】在平面直角坐标系𝑥𝑂𝑦中，抛物线𝑦= 𝑎(𝑥−2)2 +𝑘与𝑥轴交于𝑚，0 ，𝑛，0 两点，其中
𝑚< 𝑛．将此抛物线向下平移，与𝑥轴交于𝑝，0 ，𝑞，0 两点，其中𝑝< 𝑞，下面结论正确的是（ ）
A．当𝑎> 0时，𝑚+ 𝑛= 𝑝+ 𝑞， 𝑛−𝑚> 𝑞−𝑝
B．当𝑎> 0时，𝑚+ 𝑛> 𝑝+ 𝑞，𝑛−𝑚= 𝑞−𝑝
C．当𝑎< 0时，𝑚+ 𝑛= 𝑝+ 𝑞，𝑛−𝑚> 𝑞−𝑝
D．当𝑎< 0时，𝑚+ 𝑛> 𝑝+ 𝑞， 𝑛−𝑚= 𝑞−𝑝
【答案】C
【分析】分情况讨论：𝑎> 0或𝑎< 0，注意抛物线与x 轴两交点关于对称轴对称，故得到交点横坐标之间的
关系.
【详解】解：当𝑎> 0时，如图所示：
∵抛物线的对称轴为直线x = 2，
∴m + n = p + q = 4，且n−m < q−p；
当a < 0时，如图所示：
∵抛物线的对称轴为直线x = 2，
∴m + n = p + q = 4，且n−m > q−p．
故选：C．
【点睛】本题考查二次函数的性质和平移；由对称轴得到抛物线与x 轴交点的横坐标之间的数量关系是解
题的关键．
