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专题26.4 二次函数与一元二次方程（举一反三讲义）
【新教材人教版】
【题型1 抛物线与x 轴是否有公共点】................................................................................................................2
【题型2 利用二次函数的图象确定方程根的情况】............................................................................................3
【题型3 抛物线与x 轴的截线长】........................................................................................................................4
【题型4 图象法确定一元二次方程的近似解】....................................................................................................4
【题型5 图象法解一元二次不等式】......................................................................................................................7
【题型6 利用不等式求二次函数中参数】............................................................................................................8
【题型7 根据两函数交点确定不等式的解集】....................................................................................................9
【题型8 抛物线与x 轴交点上的四点比较大小】..............................................................................................10
知识点1 二次函数与一元二次方程的关系
一元二次方程是二次函数的函数值𝑦= 0时的情况，反映在图象上就是一元二次方程的根为对应二次函数的
图象与x 轴交点的横坐标．
（1）若抛物线𝑦= 𝑎𝑥2 +𝑏𝑥+ 𝑐(𝑎≠0)与x 轴两交点的横坐标分别为𝑥1，𝑥2，则𝑥1，𝑥2为一元二次方程𝑎𝑥2
+𝑏𝑥+ 𝑐= 0(𝑎≠0)的两个根．
（2）二次函数图象与x 轴交点个数与对应一元二次方程根的情况的关系：
𝒂> 𝟎（示意图）
𝒂< 𝟎（示意图）
一元二次方程根的情况
𝑏2−4𝑎𝑐> 0
有两个不相等的实数根
𝑥1,2 = −𝑏±
𝑏2−4𝑎𝑐
2𝑎
𝑏2−4𝑎𝑐= 0
有两个相等的实数根
𝑥1 = 𝑥2 = −𝑏
2𝑎
考点1
二次函数与一元二次方程
题型归纳
𝑏2−4𝑎𝑐< 0
无实数根
知识点2 利用二次函数的图象求一元二次方程的近似解
利用二次函数图象求一元二次方程的近似解的一般步骤
（1）画出二次函数𝑦= 𝑎𝑥2 +𝑏𝑥+ 𝑐(𝑎≠0)的图象；
（2）确定二次函数𝑦= 𝑎𝑥2 +𝑏𝑥+ 𝑐(𝑎≠0)的图象与x 轴交点的横坐标在哪两个整数之间；
（3）列表，在（2）中的两数之间取值估计，并用计算器估算近似解，则近似解在对应y 值正负交替的地
方．
通过列表求近似根的具体过程：
在列表求近似根时，近似根就出现在对应的y 值正负交替的位置，也就是对x 取一系列值，看y 对应的哪两
个值，由负变成正或由正变成负，此时x 的两个对应值之中必有个近似根，比如x 由𝑥1取到𝑥2时，对应y 的
值出现𝑦1 > 0，𝑦2 < 0或𝑦1 < 0，𝑦2 > 0，那么𝑥1，𝑥2中必有一个是近似根，比较|𝑦1|与|𝑦2|的大小，若
|𝑦1| > |𝑦2|，则说明𝑥2是近似根；反之，则说明𝑥1是近似根．从图象上观察，（𝑥，𝑦）离x 轴越近，y 值越
接近0，而𝑦= 0时x 的值就是方程的确切根．
【题型1 抛物线与x 轴是否有公共点】
【例1】已知二次函数𝑦= −
1
2𝑥2 +𝑏𝑥+ 𝑐的图象经过𝐴(0,−8)，𝐵(−2,−20)两点．
(1)求b，c 的值；
(2)二次函数𝑦= −
1
2𝑥2 +𝑏𝑥+ 𝑐的图象与x 轴是否有公共点？若有，求公共点的坐标；若没有，请说明理由．
【变式1-1】（25-26 九年级上·陕西咸阳·阶段检测）已知二次函数𝑦= −𝑥2 +2𝑚𝑥+ 4−𝑚2（m 为常数），
则该二次函数的图象与𝑥轴（ ）
A．有两个公共点
B．有一个公共点
C．没有公共点
D．无法确定公共点的个数
【变式1-2】（24-25 九年级上·北京顺义·期中）若二次函数𝑦= 𝑥2−4𝑥+ 𝑚的图象与𝑥轴有公共点，那么𝑚的
取值范围是（ ）
A．𝑚≥−4
B．𝑚> −4
C．𝑚≤4
D．𝑚< 4
【变式1-3】（24-25 九年级上·贵州贵阳·期中）将二次函数𝑦= 𝑥2−4𝑥−3的图象向上平移a 个单位长度，当
抛物线与两坐标轴有且只有2 个公共点时，a 的值为________．
【题型2 利用二次函数的图象确定方程根的情况】
【例2】（25-26 九年级上·广西梧州·期末）如图是函数𝑦= 𝑥2−4𝑥+ 3的图像．则方程𝑥2 +4𝑥+ 3 = 0的解
是___________．
【变式2-1】（2026·四川成都·一模）如图，二次函数𝑦= 𝑎𝑥2 +𝑏𝑥+ 𝑐的部分图象如图所示，其对称轴是直
线𝑥= −1.5，且图象经过点(1,−2)，下列说法正确的是（ ）
A．𝑎> 0
B．𝑐< 0
C．当𝑥< −1时，y 的值随x 值的增大而增大
D．𝑥= −4是方程𝑎𝑥2 +𝑏𝑥+ 𝑐+ 2 = 0的一个根
【变式2-2】（25-26 九年级下·江苏扬州·期中）如图是二次函数𝑦= 𝑎𝑥2 +𝑏𝑥+ 𝑐的图象，若关于𝑥的方程𝑎𝑥2
+𝑏𝑥+ 𝑐= 𝑚总有一正一负两个实数根，则𝑚的取值范围是__________．
【变式2-3】（25-26 九年级上·浙江绍兴·期末）已知函数𝑦= 𝑎𝑥2 +𝑏𝑥(𝑎≠0)的图象和函数𝑦= 𝑡的图象如图
所示，则关于𝑥的一元二次方程𝑎𝑥2 +𝑏𝑥−𝑡= 0的解是___________．
【题型3 抛物线与x 轴的截线长】
【例3】如图，抛物线𝑦= 𝑥2−𝑎𝑥−(𝑎+ 1)（其中a 为常数）的对称轴为直线𝑥= 1，与x 轴交于点A，点B，
则𝐴𝐵的长度为_________．
【变式3-1】在平面直角坐标系中，抛物线𝑦= 𝑥2 +𝑏𝑥+ 𝑐的顶点坐标为(1,−4)，若抛物线与𝑥轴相交于𝐴，𝐵
两点，则𝑏= ________．𝐴𝐵= ________．
【变式3-2】（25-26 九年级上·浙江台州·阶段检测）如图，二次函数𝑦= 𝑥2 +6𝑥+ 𝑐的图象与x 轴交于A，B
两点，与y 轴正半轴交于点C，若𝐴𝐵= 4，则点C 的坐标是________ ．
【变式3-3】（24-25 九年级上·江苏泰州·阶段检测）在平面直角坐标系中，将二次函数𝑦= (𝑥−2024)(𝑥−2025)
−6的图象向上平移6 个单位长度，所得的抛物线与𝑥轴有两个公共点𝑃，𝑄，则𝑃𝑄= _____．
【题型4 图象法确定一元二次方程的近似解】
【例4】（25-26 九年级上·山西吕梁·期末）小亮利用函数图象求方程𝑥2 +2𝑥−2 = 0的实数根时，先画出函
数𝑦= 𝑥2 +2𝑥−2的图象如图所示，该图象与𝑥轴的公共点𝐴的横坐标大约是0.7，由此可以估计方程𝑥2
+2𝑥−2 = 0的实数根为________（结果保留小数点后一位）．
【变式4-1】（25-26 九年级上·浙江金华·期中）下表是函数𝑦= 2𝑥2−3𝑥−6的部分自变量与对应的函数值：
x
2.5
2.6
2.7
2.8
2.9
y
−1
−0.28
0.48
1.28
2.12
根据此表，可以判断方程2𝑥2−3𝑥−6 = 0的一 个解x 可能的取值范围是________．
【变式4-2】二次函数𝑦= 𝑎𝑥2 +𝑏𝑥+ 𝑐的图象如图所示，𝐴(2.18,−0.51)，𝐵(2.68,0.54)为图象上的两点，则
方程𝑎𝑥2 +𝑏𝑥+ 𝑐= 0的一个解可能是（ ）
A．2.18
B．2.68
C．−0.51
D．2.45
【变式4-3】（25-26 九年级上·江苏泰州·阶段检测）九下数学课本“5.4二次函数与一元二次方程”，由函数图
像求方程近似根的活动，体验了数学中“无限逼近”的思想和方法，培养了“数形结合”探讨问题的研究能力．
【问题再现】
你能利用函数𝑦= 𝑥2 +2𝑥−5的图像（如图5−11），探索方程𝑥2 +2𝑥−5=0 的根的取值范围吗？
从图5−11可以看出，函数𝑦= 𝑥2 +2𝑥−5的图像与x 轴有两个公共点，它们分别位于表示实数1 与2，−4与
−3的点之间，所以一元二次方程𝑥2 +2𝑥−5 = 0有两个根，它们分别介于实数1 与2，−4与−3之间
下面，我们借助计算器，探究介于1 与2 之间根的近似值
【解决问题】
解：当𝑥= 1时，𝑦= < 0
当𝑥= 2时，𝑦= > 0
∴1 < 𝑥< 2．
x 的近似值可能为1 或2
当𝑥= 1.5时，𝑦= 0.25 > 0
∴ < 𝑥<
∴𝑥≈ （精确到1）．
(1)补充以上解题过程；
(2)继续探索：方程𝑥2 +2𝑥−5 = 0介于1 与2 之间的根的近似值（精确到0.1），因为 < 𝑥< ，所以
𝑥≈ ．
知识点3 二次函数与一元二次不等式的关系
利用二次函数图象解一元二次不等式的步骤
（1）将一元二次不等式化为𝑎𝑥2 +𝑏𝑥+ 𝑐> 0(或< 0)的形式；
（2）明确二次项系数a 的正负、对称轴在y 轴哪侧，并计算𝑏2−4𝑎𝑐的值；
（3）作出不等式对应的二次函数𝑦= 𝑎𝑥2 +𝑏𝑥+ 𝑐的草图；
（4）二次函数在x 轴上方的图象对应的函数值大于零，在x 轴下方的图象对应的函数值小于零．
以𝑦= 𝑎𝑥2 +𝑏𝑥+ 𝑐(𝑎> 0)为例，二次函数与一元二次不等式的关系如下表：
∆= 𝒃𝟐−𝟒𝒂𝒄
∆> 𝟎
∆= 𝟎
∆< 𝟎
二次函数
𝑦= 𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥+ 𝑐
(𝑎> 0)的图像
一元二次方程
𝑥1，𝑥2
𝑥1 = 𝑥2 = −𝑏
2𝑎
没有实数根
考点2
二次函数与一元二次不等式
𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥+ 𝑐= 0
(𝑎> 0)的根
不等式
𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥+ 𝑐> 0
(𝑎> 0)的解集
𝑥< 𝑥1或𝑥> 𝑥2
𝑥≠𝑥1的一切实数
全体实数
不等式
𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥+ 𝑐< 0
(𝑎> 0)的解集
𝑥1 < 𝑥< 𝑥2
无解
无解
【题型5 图象法解一元二次不等式】
【例5】（25-26 九年级上·湖南衡阳·期末）如图是二次函数𝑦= −𝑥2 +2𝑥+ 3的图象，使𝑦≥0成立的𝑥的取
值范围是_____．
【变式5-1】（25-26 九年级上·北京·期中）如图，抛物线𝑦= 𝑎𝑥2 +𝑏𝑥+ 𝑐的部分图象如图所示，若𝑎𝑥2
+𝑏𝑥+ 𝑐≥3，则𝑥的取值范围是（ ）
A．𝑥≥0
B．𝑥≤0
C．−2 ≤𝑥≤0
D．𝑥≤−2或𝑥≥0
【变式5-2】（25-26 九年级上·湖北武汉·阶段检测）抛物线 𝑦= 𝑎𝑥2 +𝑏𝑥+ 𝑐如图所示，回答下列问题．
(1)方程𝑎𝑥2 +𝑏𝑥+ 𝑐= −3的解是___________；
(2)关于𝑥的不等式𝑎𝑥2 +𝑏𝑥+ 𝑐< −3的解集是___________；
(3)当−2 ≤𝑥< 2时，y 的取值范围是___________；
(4)若关于𝑥的方程𝑎𝑥2 +𝑏𝑥+ 𝑐= 𝑡的两个实数根异号，则t 的取值范围是___________．
【变式5-3】二次函数𝑦= 𝑎𝑥2 +𝑏𝑥+ 𝑐图象如图所示，则关于𝑥的不等式𝑎(𝑥+ 2)2 +𝑏(𝑥+ 2) +𝑐≤0的解集
为______．
【题型6 利用不等式求二次函数中参数】
【例6】不等式𝑥2 + |2𝑥−6| ≥𝑎对于一切实数𝑥都成立，则𝑎的最大值为____．
【变式6-1】若二次函数𝑦= 𝑥2−2𝑎𝑥−1（𝑎为常数）的图象在−2⩽𝑥⩽5的部分与𝑥轴有两个公共点，则𝑎的取
值范围是（ ）
A．−
3
4 ≤𝑎< 0
B．−
3
4 ≤𝑎≤
12
5
C．𝑎≤−
3
4或𝑎≤
12
5
D．𝑎≤−
3
4或𝑎≥
12
5
【变式6-2】已知关于x 的二次函数y＝x2﹣（a+1）x+a 图象与直线x＝t 相交于点P，仅存在两个整数t 使
点P 在x 轴下方，则实数a 的取值范围是 ________________．
【变式6-3】（2026·安徽合肥·一模）已知二次函数𝑦= −𝑥2 +𝑏𝑥+ 𝑐的图象与𝑥轴一个交点横坐标为𝑐(𝑐≠0)．
（1）𝑐−𝑏= ______；
（2）若抛物线顶点纵坐标大于4，则𝑐的取值范围是______．
【题型7 根据两函数交点确定不等式的解集】
【例7】（2026·四川广安·二模）如图，一次函数𝑦= 2𝑥−3的图象与二次函数𝑦= 𝑎𝑥2 +𝑏𝑥+ 𝑐(𝑎≠0)的图
象交于点𝐴、𝐵，且点𝐴在𝑥轴上，点𝐵在𝑦轴上，则关于𝑥的不等式𝑎𝑥2 + (𝑏−2)𝑥+ 𝑐+ 3 > 0的解集为___．
【变式7-1】（25-26 九年级上·湖北孝感·期中）如图，抛物线𝑦= 𝑎𝑥2与直线𝑦= 𝑏𝑥+ 𝑐的两个交点坐标分别
为(−2,2)，1,
1
2 ，则不等式𝑎𝑥2 ≥𝑏𝑥+ 𝑐的解集是______．
【变式7-2】（2026·湖北恩施·二模）如图，抛物线𝑦= 𝑎𝑥2 +𝑏𝑥+ 𝑐(𝑎≠0)与直线𝑦= 𝑥交于B，C 两点，与
𝑦轴交于点𝐴，已知点C 的坐标为(1,1)，点B 的横坐标为3，𝐵𝐴⊥𝑦轴．下列结论错误的是（ ）
A．𝑐= 3
B．𝑎𝑏𝑐< 0
C．2𝑎+ 𝑏+ 1 = 0
D．当1 < 𝑥< 3时， 𝑥2 +𝑏𝑥+ 𝑐> 𝑥
【变式7-3】（25-26 八年级下·浙江金华·期中）如图，已知抛物线𝑦1 = 𝑥2 +𝑏𝑥+ 𝑐经过𝐴(1,0),𝐵(0,2) 两点，
顶点为𝐷．
(1)分别求抛物线𝑦1 = 𝑥2 +𝑏𝑥+ 𝑐和直线𝐴𝐵:𝑦2 = 𝑘𝑥+ 𝑚(𝑘≠0)的解析式；
(2)请根据图象直接写出：𝑦1 > 𝑦2时𝑥的取值范围；
【题型8 抛物线与x 轴交点上的四点比较大小】
【例8】（2025 九年级下·全国·专题练习）已知抛物线𝑦= (𝑥−𝑥1)(𝑥−𝑥2)−3(𝑥1 < 𝑥2)，抛物线与𝑥轴交于
𝑚，0 ，𝑛，0 两点(𝑚< 𝑛)，则𝑚，𝑛，𝑥1，𝑥2的大小关系是___________．
【变式8-1】（24-25 九年级上·山东济宁·期中）已知抛物线𝑦= 𝑥2 +𝑏𝑥+ 𝑐的图象与𝑥轴的两交点的横坐标分
别𝑥1，𝑥2(𝑥1 < 𝑥2)，一元二次方程𝑥2 +𝑏𝑥+ 𝑐−5 = 0的两根为𝑥3，𝑥4(𝑥3 < 𝑥4)，则𝑥1，𝑥2，𝑥3，𝑥4的大小
关系是（ ）
A．𝑥3 < 𝑥1 < 𝑥2 < 𝑥4
B．𝑥1 < 𝑥2 < 𝑥3 < 𝑥4
C．𝑥1 < 𝑥3 < 𝑥2 < 𝑥4
D．𝑥1 < 𝑥3 < 𝑥4 < 𝑥2
【变式8-2】已知抛物线𝑦= 𝑥2 +𝑏𝑥+ 𝑐的图象与x 轴的两交点的横坐标分别𝛼、𝛽(𝛼< 𝛽)，而𝑥2
+𝑏𝑥+ 𝑐−2 = 0的两根为𝑀、𝑁(𝑀< 𝑁)，则𝛼、β、M、N 的大小顺序为（ ）
A．𝛼< 𝛽< 𝑀< 𝑁
B．𝑀< 𝛼< 𝛽< 𝑁
C．𝛼< 𝑀< 𝛽< 𝑁
D．𝑀< 𝛼< 𝑁< 𝛽
【变式8-3】在平面直角坐标系𝑥𝑂𝑦中，抛物线𝑦= 𝑎(𝑥−2)2 +𝑘与𝑥轴交于𝑚，0 ，𝑛，0 两点，其中
𝑚< 𝑛．将此抛物线向下平移，与𝑥轴交于𝑝，0 ，𝑞，0 两点，其中𝑝< 𝑞，下面结论正确的是（ ）
A．当𝑎> 0时，𝑚+ 𝑛= 𝑝+ 𝑞， 𝑛−𝑚> 𝑞−𝑝
B．当𝑎> 0时，𝑚+ 𝑛> 𝑝+ 𝑞，𝑛−𝑚= 𝑞−𝑝
C．当𝑎< 0时，𝑚+ 𝑛= 𝑝+ 𝑞，𝑛−𝑚> 𝑞−𝑝
D．当𝑎< 0时，𝑚+ 𝑛> 𝑝+ 𝑞， 𝑛−𝑚= 𝑞−𝑝
