专题01 解一元二次方程（100 题）（举一反三专项训练）
【新教材人教版】
【题型1 用适当的方法解一元二次方程】............................................................................................................1
【题型2 用指定的方法解一元二次方程】..........................................................................................................28
【题型3 换元破解复合方程】..............................................................................................................................59
【题型4 解含绝对值的一元二次方程】..............................................................................................................63
【题型5 解含参方程】..........................................................................................................................................68
【题型6 降次化解高次方程】..............................................................................................................................71
【题型7 升次突破无理方程】..............................................................................................................................74
【题型1 用适当的方法解一元二次方程】
1．（25-26 八年级下·安徽合肥·期中）用适当方法解下列方程
(1)(2𝑥−1)(𝑥+ 3) = 4；
(2)2(𝑦−1)2 = 3−7𝑦
【答案】(1)𝑥1 = 1，𝑥2 = −
7
2
(2)𝑦1 =
−3−17
4
，𝑦2 =
−3+ 17
4
【分析】（1）先把方程整理成一般式，再利用因式分解法解答即可求解；
（2）先把方程整理成一般式，再利用公式法解答即可求解；
本题考查了解一元二次方程，掌握解一元二次方程的方法是解题的关键．
【详解】（1）解：方程整理成一般形式，得2𝑥2 +5𝑥−7 = 0，
∴(𝑥−1)(2𝑥+ 7) = 0，
∴𝑥−1 = 0或2𝑥+ 7 = 0，
∴𝑥1 = 1，𝑥2 = −
7
2；
（2）解：去括号得2𝑦2−4𝑦+ 2 = 3−7𝑦
方程整理成一般形式，得2𝑦2 +3𝑦−1 = 0，
∴𝑎= 2，𝑏= 3，𝑐= −1，
∵𝛥= 𝑏2−4𝑎𝑐= 32−4 × 2 × (−1) = 17 > 0，
题型归纳
∴𝑦=
−3± 17
2×2
=
−3± 17
4
，
即𝑦1 =
−3−17
4
，𝑦2 =
−3+ 17
4
．
2．（25-26 九年级上·重庆綦江·期末）用适当方法解下列方程：
(1)𝑥2−4𝑥−3 = 0；
(2)4𝑥−8 = 6𝑥(𝑥−2)．
【答案】(1)𝑥1 = 2 +
7,𝑥2 = 2−7
(2)𝑥1 = 2,𝑥2 =
2
3
【分析】本题主要考查了解一元二次方程：
（1）利用配方法计算即可；
（2）利用因式分解法计算即可．
【详解】（1）解：𝑥2−4𝑥= 3
𝑥2−4𝑥+ 4 = 3 + 4，
(𝑥−2)2 = 7，
𝑥−2= ±
7，
𝑥1 = 2 +
7,𝑥2 = 2−7；
（2）解：4𝑥−8 = 6𝑥(𝑥−2)，
4(𝑥−2)−6𝑥(𝑥−2) = 0，
(𝑥−2)(4−6𝑥) = 0，
解得𝑥1 = 2,𝑥2 =
2
3．
3．（25-26 九年级上·河北廊坊·期末）选择适当方法解下列方程：
(1)𝑥2−4𝑥= 12；
(2)5𝑥2−3𝑥= 𝑥+ 1
(3)𝑥2−4𝑥+ 7 = 10．
【答案】(1)𝑥1 = 6,𝑥2 = −2
(2)𝑥1 = 1,𝑥2 = −
1
5
(3)𝑥1 = 2 +
7,𝑥2 = 2−7
【分析】本题考查了解一元二次方程，熟练掌握一元二次方程的解法，选择合适的方法解方程是解题的关
键．
（1）运用因式分解法进行解方程，即可作答．
（2）运用因式分解法进行解方程，即可作答．
（3）运用配方法进行解方程，即可作答．
【详解】（1）解：𝑥2−4𝑥= 12
𝑥2−4𝑥−12 = 0
(𝑥−6) (𝑥+ 2) = 0
∴𝑥−6 = 0或𝑥+ 2 = 0，
∴𝑥1 = 6,𝑥2 = −2；
（2）解：5𝑥2−3𝑥= 𝑥+ 1
5𝑥2−3𝑥−𝑥−1 = 0
5𝑥2−4𝑥−1 = 0
(𝑥−1) (5𝑥+ 1) = 0
∴𝑥−1 = 0或5𝑥+ 1 = 0，
∴𝑥1 = 1,𝑥2 = −
1
5；
（3）解：𝑥2−4𝑥+ 7 = 10
𝑥2−4𝑥= 10−7
𝑥2−4𝑥= 3
𝑥2−4𝑥+ 4 = 7
(𝑥−2)2 = 7
∴𝑥−2 =±
7，
∴𝑥1 = 2 +
7,𝑥2 = 2−7．
4．（24-25 九年级上·河南信阳·期末）用适当方法解下列方程：
(1)𝑥2−8𝑥+ 12 = 0
(2)(𝑥−3)2 = 2𝑥(𝑥−3)
【答案】(1)𝑥1 = 6，𝑥2 = 2
(2)𝑥1 = 3，𝑥2 = −3
【分析】本题考查了解一元二次方程，熟练掌握配方法，因式分解法解一元二次方程是解题的关键；
（1）先把常数项移到方程右边，再把方程两边同时加上一次项系数一半的平方进行配方即可得到答案；
（2）先把右边的式子移到左边，再因式分解求解即可．
【详解】（1）解：𝑥2−8𝑥= −12，
𝑥2−8𝑥+ 16 = 4，
(𝑥−4)2 = 4，
𝑥−4 =± 2，
𝑥1 = 6，𝑥2 = 2；
（2）解：(𝑥−3)2−2𝑥(𝑥−3) = 0，
(𝑥−3)[(𝑥−3)−2𝑥] = 0，
(𝑥−3)(−𝑥−3) = 0，
𝑥−3 = 0或−𝑥−3 = 0，
𝑥1 = 3，𝑥2 = −3．
5．（24-25 九年级上·广东珠海·期中）用适当方法解下列方程
(1)𝑥2 +4𝑥−1 = 0；
(2)2𝑥(𝑥+ 3) = 6(𝑥+ 3)．
【答案】(1)𝑥1 = −2 +
5，𝑥2 = −2−5；
(2)𝑥1 = −3，𝑥2 = 3．
【分析】本题考查了一元二次方程的解法．解一元二次方程常用的方法有直接开平方法，配方法，公式法，
因式分解法，要根据方程的特点灵活选用合适的方法．
（1）运用配方法求解即可；
（2）方程移项后，运用因式分解法求解即可．
【详解】（1）解：𝑥2 +4𝑥−1 = 0，
移项得𝑥2 +4𝑥= 1，
配方得𝑥2 +4𝑥+ 4 = 1 + 4，即(𝑥+ 2)2 = 5，
开方得𝑥+ 2 =±
5，
∴𝑥1 = −2 +
5，𝑥2 = −2−5；
（2）解：2𝑥(𝑥+ 3) = 6(𝑥+ 3)，
移项得2𝑥(𝑥+ 3)−6(𝑥+ 3) = 0，
因式分解得(𝑥+ 3)(2𝑥−6) = 0，
∴𝑥+ 3 = 0，2𝑥−6 = 0，
∴𝑥1 = −3，𝑥2 = 3．
6．（25-26 九年级上·四川泸州·期中）用适当方法解方程：2𝑥2−3𝑥+ 1 = 0
【答案】𝑥1 = 1，𝑥2 =
1
2
【分析】本题主要考查了解一元二次方程，利用公式法解方程即可．
【详解】解：2𝑥2−3𝑥+ 1 = 0
𝑎= 2，𝑏= −3，𝑐= 1，
Δ = 𝑏2−4𝑎𝑐= 9−4 × 2 × 1 = 1 > 0
∴𝑥=
−𝑏± Δ
2𝑎
=
3± 1
2×2 =
3±1
4 ，
∴𝑥1 = 1，𝑥2 =
1
2
7．用适当方法解下列方程：
(1)𝑥2−6𝑥−3 = 0；
(2)2(𝑥−2)2 = 3(𝑥−2)．
【答案】(1)𝑥1 = 3 + 2 3，𝑥2 = 3−2 3；
(2)𝑥1 = 2，𝑥2 =
7
2．
【分析】本题主要考查了解一元二次方程，熟知解一元二次方程的方法是解题的关键．
（1）先把常数项移到方程右边，再两边加上一次项系数的一半的平方进行配方，据此解方程即可；
（2）先移项，然后利用因式分解法解方程即可．
【详解】（1）解：∵𝑥2−6𝑥−3 = 0，
∴𝑥2−6𝑥= 3，
∴𝑥2−6𝑥+ 9 = 3 + 9，
∴(𝑥−3)2 = 12，
∴𝑥−3 =± 2 3，
解得𝑥1 = 3 + 2 3，𝑥2 = 3−2 3；
（2）解：∵2(𝑥−2)2 = 3(𝑥−2)，
∴2(𝑥−2)2−3(𝑥−2) = 0，
∴(𝑥−2)[2(𝑥−2)−3] = 0，
∴𝑥−2 = 0或2𝑥−4−3 = 0，
解得𝑥1 = 2，𝑥2 =
7
2．
8．（25-26 八年级下·浙江湖州·期中）解方程：
(1)𝑥2 +2𝑥= 8；
(2)(𝑥+ 5)2 = 2(𝑥+ 5)．
【答案】(1)𝑥1 = −4，𝑥2 = 2
(2)𝑥1 = −5，𝑥2 = −3
【详解】（1）解：𝑥2 +2𝑥= 8
∴𝑥2 +2𝑥−8 = 0
∴(𝑥+ 4)(𝑥−2) = 0
∴𝑥+ 4 = 0或𝑥−2 = 0
解得：𝑥1 = −4，𝑥2 = 2
（2）解：(𝑥+ 5)2 = 2(𝑥+ 5)
∴(𝑥+ 5)2−2(𝑥+ 5) = 0
∴(𝑥+ 5)(𝑥+ 5−2) = 0
∴(𝑥+ 5)(𝑥+ 3) = 0
∴𝑥+ 5 = 0或𝑥+ 3 = 0
解得：𝑥1 = −5，𝑥2 = −3
9．（25-26 九年级下·黑龙江大庆·期中）解方程：
(1)2(𝑥−1)2−8 = 0；
(2)𝑥2−4𝑥−1 = 0．
【答案】(1)𝑥1 = 3，𝑥2 = −1
(2)𝑥1 = 2 +
5，𝑥2 = 2−5
【详解】（1）解：2(𝑥−1)2−8 = 0
2(𝑥−1)2 = 8
(𝑥−1)2 = 4
𝑥−1 =± 2
𝑥= 1 ± 2
∴𝑥1 = 1 + 2 = 3，𝑥2 = 1−2 = −1；
（2）解：𝑥2−4𝑥−1 = 0
𝑥2−4𝑥= 1
𝑥2−4𝑥+ 4 = 1 + 4
(𝑥−2)2 = 5
𝑥−2 =±
5
𝑥= 2 ±
5
∴𝑥1 = 2 +
5，𝑥2 = 2−5．
10．（25-26 八年级下·浙江金华·期中）用适当的方法解下列方程：
(1)𝑥2 = 7𝑥；
(2)2𝑥2 +5𝑥+ 3 = 0．
【答案】(1)𝑥1 = 0，𝑥2 = 7
(2)𝑥1 = −1，𝑥2 = −
3
2
【详解】（1）解：∵𝑥2 = 7𝑥，
∴𝑥2−7𝑥= 0，
∴𝑥(𝑥−7) = 0，
∴𝑥= 0或𝑥−7 = 0，
解得𝑥1 = 0，𝑥2 = 7；
（2）解：∵2𝑥2 +5𝑥+ 3 = 0，
∴(2𝑥+ 3)(𝑥+ 1) = 0，
∴𝑥+ 1 = 0或2𝑥+ 3 = 0，
解得𝑥1 = −1，𝑥2 = −
3
2．
11．（25-26 九年级上·湖南衡阳·期中）解方程：
(1)𝑥2−1 = 0；
(2)𝑥2−3𝑥−4 = 0．
【答案】(1)𝑥1 = 1，𝑥2 = −1
(2)𝑥1 = 4，𝑥2 = −1
【分析】（1）利用因式分解法解方程；
（2）利用因式分解法解方程
【详解】（1）解：∵𝑥2−1 = 0，
∴(𝑥+ 1)(𝑥−1) = 0，
∴𝑥1 = 1，𝑥2 = −1；
（2）∵𝑥2−3𝑥−4 = 0，
∴(𝑥−4)(𝑥+ 1) = 0，
∴𝑥1 = 4，𝑥2 = −1．
12．（25-26 八年级下·浙江杭州·期中）解方程：
(1)3(𝑥−2)2 = 12；
(2)𝑥2 +6𝑥−7 = 0．
【答案】(1)𝑥1 = 4，𝑥2 = 0
(2)𝑥1 = −7，𝑥2 = 1
【详解】（1）解：3(𝑥−2)2 = 12
(𝑥−2)2 = 4
𝑥−2 =± 2
解得𝑥1 = 4，𝑥2 = 0；
（2）解：𝑥2 +6𝑥−7 = 0
(𝑥+ 7) (𝑥−1) = 0
𝑥+ 7 = 0或𝑥−1 = 0
解得𝑥1 = −7，𝑥2 = 1．
13．（25-26 八年级下·福建福州·期中）解方程：
(1)𝑥2−3𝑥= 0；
(2)2𝑥2−3𝑥+ 1 = 0．
【答案】(1)𝑥1 = 0， 𝑥2 = 3
(2)𝑥1 = 1， 𝑥2 =
1
2
【分析】（1）（2）把方程左边分解因式，再解方程即可．
【详解】（1）解：∵𝑥2−3𝑥= 0，
∴𝑥(𝑥−3) = 0，
∴𝑥= 0或𝑥−3 = 0，
解得𝑥1 = 0， 𝑥2 = 3；
（2）解：∵2𝑥2−3𝑥+ 1 = 0，
∴(2𝑥−1)(𝑥−1) = 0，
∴2𝑥−1 = 0或𝑥−1 = 0，
解得𝑥1 = 1， 𝑥2 =
1
2．
14．（25-26 八年级下·安徽宣城·期中）解下列方程：
(1)3𝑥2−2𝑥−1 = 0；
(2)(𝑥2 + 𝑥)2−5(𝑥2 + 𝑥) +4 = 0．
【答案】(1)𝑥1 = −
1
3，𝑥2 = 1
(2)𝑥1 =
−1+ 5
2
，𝑥2 =
−1−5
2
，𝑥3 =
−1+ 17
2
，𝑥4 =
−1−17
2
【分析】（1）用十字相乘法分解因式，用因式分解法求解即可；
（2）设𝑦= 𝑥2 +𝑥，用换元法求解即可．
【详解】（1）解：∵3𝑥2−2𝑥−1 = 0，
∴(3𝑥+ 1)(𝑥−1) = 0，
∴3𝑥+ 1 = 0或𝑥−1 = 0，
解得𝑥1 = −
1
3，𝑥2 = 1；
（2）解：设𝑦= 𝑥2 +𝑥，则原方程化为𝑦2−5𝑦+ 4 = 0，
∴(𝑦−1)(𝑦−4) = 0，
∴𝑦−1 = 0或𝑦−4 = 0，
解得𝑦1 = 1，𝑦2 = 4，
当𝑦= 1时，则𝑥2 +𝑥= 1，即𝑥2 +𝑥−1 = 0，
∵Δ = 12−4 × 1 × (−1) = 5 > 0，
∴𝑥=
−1± 5
2
；
当𝑦= 4时，则𝑥2 +𝑥= 4，即𝑥2 +𝑥−4 = 0，
∵Δ = 12−4 × 1 × (−4) = 17 > 0，
∴𝑥=
−1± 17
2
；
综上所述，原方程的解为𝑥1 =
−1+ 5
2
，𝑥2 =
−1−5
2
，𝑥3 =
−1+ 17
2
，𝑥4 =
−1−17
2
．
15．（25-26 八年级下·江苏苏州·期中）解下列方程：
(1)(𝑥−1)2−16 = 0；
(2)3(𝑥−1)2 = 2(𝑥−1)；
(3)
1
2𝑥2−3𝑥−5 = 0．
【答案】(1)
𝑥1 = 5，𝑥2 = −3.
(2)
𝑥1 = 1，𝑥2 =
5
3.
(3)
𝑥1 = 3 +
19，𝑥2 = 3−19.
【分析】（1）方程为平方等于常数的形式，可使用直接开平方法求解．
（2）移项后可提取公因式，使用因式分解法求解，注意不能直接约去含未知数的公因式，避免漏根．
（3）先将方程整理为整系数一元二次方程，再用公式法求解即可．
【详解】（1）解：原方程(𝑥−1)2−16 = 0，
移项得(𝑥−1)2 = 16，
开方得𝑥−1 =± 4，
即𝑥−1 = 4或𝑥−1 = −4，
解得𝑥1 = 5，𝑥2 = −3．
（2）原方程3(𝑥−1)2 = 2(𝑥−1)，
移项得3(𝑥−1)2−2(𝑥−1) = 0，
提取公因式得(𝑥−1)[3(𝑥−1)−2] = 0，
整理得(𝑥−1)(3𝑥−5) = 0，
即𝑥−1 = 0或3𝑥−5 = 0，
解得𝑥1 = 1，𝑥2 =
5
3．
（3）原方程
1
2𝑥2−3𝑥−5 = 0，
方程两边同乘2得𝑥2−6𝑥−10 = 0，
这里𝑎= 1，𝑏= −6，𝑐= −10，
计算得𝑏2−4𝑎𝑐= (−6)2−4 × 1 × (−10) = 76 > 0，
代入求根公式𝑥=
−𝑏± 𝑏2−4𝑎𝑐
2𝑎
，
得𝑥=
6± 76
2
= 3 ±
19，
即𝑥1 = 3 +
19，𝑥2 = 3−19．
16．（25-26 八年级下·浙江宁波·期中）解方程：
(1)5(𝑥−2)2 = 20；
(2)2𝑥2−4𝑥−1 = 0．
【答案】(1)𝑥1 = 4，𝑥2 = 0
(2)𝑥1 = 1 +
6
2 ，𝑥2 = 1−
6
2
【详解】（1）解：5(𝑥−2)2 = 20
∴(𝑥−2)2 = 4
∴𝑥−2 =± 2
解得：𝑥1 = 4，𝑥2 = 0
（2）解：2𝑥2−4𝑥−1 = 0
∵𝑎= 2,𝑏= −4,𝑐= −1，Δ = 𝑏2−4𝑎𝑐= 16 + 8 = 24 > 0
∴𝑥=
−𝑏± 𝑏2−4𝑎𝑐
2𝑎
=
4±2 6
4
解得：𝑥1 = 1 +
6
2 ，𝑥2 = 1−
6
2
17．（25-26 八年级下·浙江杭州·期中）解下列方程：
(1)𝑥2−4𝑥+ 3 = 0；
(2)𝑥(𝑥−5) = 2𝑥−10．
【答案】(1)𝑥1 = 1，𝑥2 = 3
(2)𝑥1 = 5，𝑥2 = 2
【分析】用因式分解法解一元二次方程．
【详解】（1）解：𝑥2−4𝑥+ 3 = 0，
∴(𝑥−1)(𝑥−3) = 0，
∴𝑥−1 = 0或𝑥−3 = 0，
解得𝑥1 = 1，𝑥2 = 3；
（2）解：𝑥(𝑥−5) = 2𝑥−10，
𝑥(𝑥−5) = 2(𝑥−5)，
𝑥(𝑥−5)−2(𝑥−5) = 0，
(𝑥−5)(𝑥−2) = 0，
∴𝑥−5 = 0或𝑥−2 = 0，
解得𝑥1 = 5，𝑥2 = 2．
18．（25-26 八年级下·江苏苏州·期中）解下列方程：
(1)(𝑥−1)2−9 = 0．
(2)𝑥2 +4𝑥+ 1 = 0．
【答案】(1)𝑥1 = −2,𝑥2 = 4
(2)𝑥1 = −2−3,𝑥2 = −2 +
3
【详解】（1）解：(𝑥−1)2−9 = 0，
∴(𝑥−1)2 = 9，
∴𝑥−1 =± 3，
解得：𝑥1 = −2,𝑥2 = 4；
（2）解：𝑥2 +4𝑥+ 1 = 0，
∴𝑥2 +4𝑥+ 4 = 3，
∴(𝑥+ 2)2 = 3，
∴𝑥+ 2 =±
3，
解得：𝑥1 = −2−3,𝑥2 = −2 +
3．
19．（25-26 八年级下·浙江温州·期中）解方程：
(1)𝑥2−6𝑥= 0；
(2)𝑥2 +7𝑥= 8．
【答案】(1)
𝑥1 = 0，𝑥2 = 6
(2)
𝑥1 = −8，𝑥2 = 1
【详解】（1）解：𝑥2−6𝑥= 0，
𝑥(𝑥−6) = 0，
𝑥= 0或𝑥−6 = 0，
解得𝑥1 = 0，𝑥2 = 6；
（2）解：𝑥2 +7𝑥= 8，
𝑥2 +7𝑥−8 = 0，
(𝑥+ 8)(𝑥−1) = 0，
解得𝑥1 = −8，𝑥2 = 1．
20．（25-26 八年级下·山东淄博·期中）用适当的方法解方程
(1)𝑥2−6𝑥+ 3 = 0；
(2)𝑥2−3𝑥= 2𝑥−6．
【答案】(1)𝑥1 = 3 +
6，𝑥2 = 3−6
(2)𝑥1 = 2，𝑥2 = 3
【分析】（1）方程二次项系数为1，一次项系数为偶数，用配方法求解更简便，也可使用公式法；
（2）先整理方程，再用因式分解法求解．
【详解】（1）解：𝑥2−6𝑥+ 3 = 0
移项得 𝑥2−6𝑥= −3
配方得 𝑥2−6𝑥+ 9 = −3 + 9
即 (𝑥−3)2 = 6
开方得 𝑥−3 =±
6
因此 𝑥1 = 3 +
6，𝑥2 = 3−6．
（2）解：𝑥2−3𝑥= 2𝑥−6
移项整理得 𝑥2−5𝑥+ 6 = 0
因式分解得 (𝑥−2)(𝑥−3) = 0
因此 𝑥−2 = 0 或 𝑥−3 = 0
因此 𝑥1 = 2，𝑥2 = 3．
21．（25-26 九年级下·江苏常州·月考）解方程：
(1)4𝑥(2𝑥+ 1) = 3(2𝑥+ 1)；
(2)𝑥2 +6𝑥−7 = 0．
【答案】(1)𝑥1 = −
1
2,𝑥2 =
3
4
(2)𝑥1 = −7,𝑥2 = 1
【详解】（1）解：4𝑥(2𝑥+ 1) = 3(2𝑥+ 1)，
4𝑥(2𝑥+ 1)−3(2𝑥+ 1) = 0，
(2𝑥+ 1)(4𝑥−3) = 0，
2𝑥+ 1 = 0或4𝑥−3 = 0，
𝑥= −
1
2或𝑥=
3
4，
所以方程的解为𝑥1 = −
1
2,𝑥2 =
3
4．
（2）解：𝑥2 +6𝑥−7 = 0，
(𝑥+ 7)(𝑥−1) = 0，
𝑥+ 7 = 0或𝑥−1 = 0，
𝑥= −7或𝑥= 1，
所以方程的解为𝑥1 = −7,𝑥2 = 1．
22．（25-26 八年级下·浙江嘉兴·期中）解下列方程：
(1)3𝑥2−27 = 0；
(2)𝑥2 +4𝑥−1 = 0．
【答案】(1)𝑥1 = 3，𝑥2 = −3；
(2)𝑥1 =
5−2，𝑥2 = −5−2
【详解】（1）解：3𝑥2−27 = 0，
3𝑥2 = 27，
𝑥2 = 9，
解得：𝑥1 = 3，𝑥2 = −3；
（2）解：𝑥2 +4𝑥−1 = 0，
𝑥2 +4𝑥= 1，
𝑥2 +4𝑥+ 4 = 1 + 4，
(𝑥+ 2)2 = 5，
𝑥+ 2 =±
5，
解得：𝑥1 =
5−2，𝑥2 = −5−2．
23．（25-26 八年级下·浙江杭州·期中）解下列方程：
(1)25𝑥2 = 16；
(2)𝑎2−2𝑎−15 = 0．
【答案】(1)𝑥1 =
4
5，𝑥2 = −
4
5
(2)𝑎1 = 5，𝑎2 = −3
【分析】（1）将方程变形后用直接开平方法求解；
（2）用因式分解法求解，选择合适的方法即可得到方程的解．
【详解】（1）解：∵25𝑥2 = 16，
∴𝑥2 =
16
25，
∴𝑥1 =
4
5，𝑥2 = −
4
5．
（2）解：∵𝑎2−2𝑎−15 = 0，
(𝑎−5)(𝑎+ 3) = 0，
∴𝑎−5 = 0或𝑎+ 3 = 0，
解得𝑎1 = 5，𝑎2 = −3．
24．（25-26 八年级下·山东东营·月考）解方程
(1)2(𝑥−1)2−8 = 0
(2)3𝑥2 +10𝑥−8 = 0
(3)𝑥2−6𝑥−1 = 0
(4)(𝑥+ 1)2 = (3−2𝑥)2
【答案】(1)𝑥1 = −1,𝑥2 = 3
(2)𝑥1 =
2
3,𝑥2 = −4
(3)𝑥1 = 3−10,𝑥2 = 3 +
10
(4)𝑥1 = 4,𝑥2 =
2
3
【分析】（1）先化简，然后运用直接开平方法求解即可；
（2）直接运用因式分解法求解即可；
（3）直接运用公式法求解即可；
（4）先移项，然后再运用因式分解法求解即可．
【详解】（1）解：2(𝑥−1)2−8 = 0，
2(𝑥−1)2 = 8，
(𝑥−1)2 = 4，
𝑥−1 =± 2，
𝑥=± 2 + 1，
𝑥1 = −1,𝑥2 = 3．
（2）解：3𝑥2 +10𝑥−8 = 0，
(3𝑥−2)(𝑥+ 4) = 0，
3𝑥−2 = 0,𝑥+ 4 = 0，
𝑥1 =
2
3,𝑥2 = −4．
（3）解：𝑥2−6𝑥−1 = 0，
Δ = (−6)2−4 × 1 × (−1) = 40 > 0，
∴𝑥=
−(−6)± (−6)2−4×1×(−1)
2×1
=
6± 40
2
= 3 ±
10，
∴𝑥1 = 3−10,𝑥2 = 3 +
10．
（4）解：(𝑥+ 1)2 = (3−2𝑥)2，
(𝑥+ 1)2−(3−2𝑥)2 = 0，
(𝑥+ 1 + 3−2𝑥) 𝑥+ 1−(3−2𝑥) = 0，
(4−𝑥)(3𝑥−2) = 0，
4−𝑥= 0,3𝑥−2 = 0，
𝑥1 = 4,𝑥2 =
2
3．
25．（25-26 八年级下·浙江·期中）选择合适的方法解下列方程：
(1)𝑥(𝑥+ 2) = (𝑥+ 2)；
(2)2𝑥2−4𝑥+ 1 = 0．
【答案】(1)𝑥1 = −2，𝑥2 = 1
(2)𝑥1 = 1 +
2
2 ，𝑥2 = 1−
2
2
【详解】（1）移项得𝑥(𝑥+ 2)−(𝑥+ 2) = 0．
∴(𝑥+ 2)(𝑥−1) = 0，
∴𝑥+ 2 = 0或𝑥−1 = 0，
解得𝑥1 = −2，𝑥2 = 1．
（2）𝑎= 2，𝑏= −4，𝑐= 1，
∴Δ = 𝑏2−4𝑎𝑐= (−4)2−4 × 2 × 1 = 8，
则𝑥=
−𝑏± 𝑏2−4𝑎𝑐
2𝑎
=
4±2 2
2×2 =
2± 2
2 ，
解得𝑥1 = 1 +
2
2 ，𝑥2 = 1−
2
2 ．
26．（25-26 八年级下·浙江温州·期中）解下列方程：
(1)𝑥2−2𝑥= 0；
(2)𝑥2−4𝑥−12 = 0．
【答案】(1)𝑥1 = 0，𝑥2 = 2
(2)𝑥1 = −2，𝑥2 = 6．
【分析】（1）利用因式分解法解一元二次方程即可；
（2）利用配方法解一元二次方程即可．
【详解】（1）解：∵𝑥2−2𝑥= 0，
∴𝑥(𝑥−2) = 0，
∴𝑥= 0或者𝑥−2 = 0，
∴𝑥1 = 0，𝑥2 = 2．
（2）解：移项得𝑥2−4𝑥= 12，
配方得𝑥2−4𝑥+ 4 = 16，即(𝑥−2)2 = 16，
∴𝑥−2 =± 4，
∴𝑥1 = −2，𝑥2 = 6．
27．（25-26 八年级下·黑龙江绥化·月考）解方程
(1)3𝑥2−6𝑥−5 = 0
(2)𝑥(2𝑥+ 3)−2𝑥−3 = 0
(3)𝑥2−4𝑥+ 1 = 0
(4)(2𝑥−1)2−9 = 0
【答案】(1)𝑥1 =
3+2 6
3
，𝑥2 =
3−2 6
3
(2)𝑥1 = 1，𝑥2 = −
3
2
(3)𝑥1 = 2 +
3，𝑥2 = 2−3
(4)𝑥1 = 2，𝑥2 = −1
【详解】（1）解：3𝑥2−6𝑥−5 = 0
𝑎= 3，𝑏= −6，𝑐= −5
Δ = 𝑏2−4𝑎𝑐= (−6)2−4 × 3 × (−5) = 96 > 0
𝑥= 6 ±
96
2 × 3
= 6 ± 4 6
6
= 3 ± 2 6
3
即𝑥1 =
3+2 6
3
，𝑥2 =
3−2 6
3
．
（2）解：𝑥(2𝑥+ 3)−2𝑥−3 = 0
整理得𝑥(2𝑥+ 3)−(2𝑥+ 3) = 0
因式分解得(2𝑥+ 3)(𝑥−1) = 0
2𝑥+ 3 = 0或𝑥−1 = 0
解得𝑥1 = 1，𝑥2 = −
3
2．
（3）解：𝑥2−4𝑥+ 1 = 0
移项得𝑥2−4𝑥= −1
配方得𝑥2−4𝑥+ 4 = −1 + 4
即(𝑥−2)2 = 3
开方得𝑥−2 =±
3
解得𝑥1 = 2 +
3，𝑥2 = 2−3．
（4）解：(2𝑥−1)2−9 = 0
移项得(2𝑥−1)2 = 9
开方得2𝑥−1 =± 3
当2𝑥−1 = 3时，𝑥= 2
当2𝑥−1 = −3时，𝑥= −1
即𝑥1 = 2，𝑥2 = −1．
28．（25-26 八年级下·浙江金华·期中）解方程：
(1)𝑥2−25 = 0；
(2)𝑥2−8𝑥−9 = 0．
【答案】(1)𝑥1 = 5，𝑥2 = −5
(2)𝑥1 = −1，𝑥2 = 9．
【分析】（1）利用直接开平方的方法解方程即可；
（2）利用十字相乘法把方程左边分解因式，再解方程即可．
【详解】（1）解：∵𝑥2−25 = 0，
∴𝑥2 = 25，
解得𝑥1 = 5，𝑥2 = −5；
（2）解：∵𝑥2−8𝑥−9 = 0，
∴(𝑥+ 1)(𝑥−9) = 0，
∴𝑥+ 1 = 0或𝑥−9 = 0，
解得𝑥1 = −1，𝑥2 = 9．
29．（25-26 八年级下·吉林长春·期中）用适当的方法解方程：
(1)4𝑥2 = 9；
(2)𝑥(𝑥−3) = 5(𝑥−3)；
(3)𝑥2−2𝑥+ 1 = 0；
(4)6𝑥2−7𝑥+ 1 = 0．
【答案】(1)𝑥1 =
3
2,𝑥2 = −
3
2
(2)𝑥1 = 3,𝑥2 = 5
(3)𝑥1 = 𝑥2 = 1
(4)𝑥1 =
1
6,𝑥2 = 1
【分析】（1）利用直接开平方法解答即可；
（2）利用因式分解法解答即可；
（3）利用因式分解法解答即可；
（4）利用因式分解法解答即可．
【详解】（1）解：4𝑥2 = 9，
∴2𝑥=± 3，
∴𝑥1 =
3
2,𝑥2 = −
3
2；
（2）解：𝑥(𝑥−3) = 5(𝑥−3)
∴𝑥(𝑥−3)−5(𝑥−3) = 0，
∴(𝑥−3)(𝑥−5) = 0，
∴𝑥−3 = 0,𝑥−5 = 0，
解得：𝑥1 = 3,𝑥2 = 5；
（3）解：𝑥2−2𝑥+ 1 = 0
(𝑥−1)2 = 0，
∴𝑥−1 = 0，
∴𝑥1 = 𝑥2 = 1；
（4）解：6𝑥2−7𝑥+ 1 = 0，
(6𝑥−1)(𝑥−1) = 0，
∴6𝑥−1 = 0,𝑥−1 = 0，
解得：𝑥1 =
1
6,𝑥2 = 1．
30．（25-26 八年级下·安徽合肥·期中）解方程：(𝑥−4)(𝑥+ 1) = 6．
【答案】𝑥1 = 5，𝑥2 = −2．
【分析】先将原方程整理为一元二次方程的一般形式，再利用因式分解即可求解．
【详解】解：𝑥2−3𝑥−4 = 6
𝑥2−3𝑥−10 = 0
(𝑥−5) (𝑥+ 2) = 0
𝑥−5 = 0或𝑥+ 2 = 0，
∴𝑥1 = 5，𝑥2 = −2．
31．（25-26 九年级下·黑龙江大庆·月考）解下列方程：
(1)(2𝑥−1)2 = 9；
(2)𝑥2−4𝑥−7 = 0；
(3)2𝑥2−5𝑥+ 2 = 0；
(4)(𝑥−3)2 +2𝑥(𝑥−3) = 0．
【答案】(1)𝑥1 = 2，𝑥2 = −1
(2)𝑥1 = 2−11，𝑥2 = 2 +
11
(3)𝑥1 =
1
2，𝑥2 = 2
(4)𝑥1 = 1，𝑥2 = 3
【详解】（1）解：(2𝑥−1)2 = 9，
2𝑥−1 =± 3，
解得𝑥1 = 2，𝑥2 = −1；
（2）解：𝑥2−4𝑥−7 = 0，
𝑥2−4𝑥= 7，
𝑥2−4𝑥+ 4 = 7 + 4，
(𝑥−2)2 = 11，
𝑥−2 =±
11，
解得𝑥1 = 2−11，𝑥2 = 2 +
11；
（3）解：2𝑥2−5𝑥+ 2 = 0，
(2𝑥−1)(𝑥−2) = 0，
2𝑥−1 = 0或𝑥−2 = 0，
解得𝑥1 =
1
2，𝑥2 = 2；
（4）解：(𝑥−3)2 +2𝑥(𝑥−3) = 0，
(𝑥−3)(𝑥−3 + 2𝑥) = 0，
(𝑥−3)(3𝑥−3) = 0，
𝑥−3 = 0或3𝑥−3 = 0，
解得𝑥1 = 1，𝑥2 = 3．
32．（25-26 八年级下·浙江·期中）解方程：
(1)(𝑥−3)2 = (2𝑥−1)(𝑥−3)；
(2)
3
2𝑥2−𝑥−2 = 0．
【答案】(1)𝑥1 = 3，𝑥2 = −2
(2)𝑥1 =
1+ 13
3
，𝑥2 =
1−13
3
【分析】（1）用因式分解法解一元二次方程即可；
（2）用公式法解一元二次方程即可．
【详解】（1）解：(𝑥−3)2 = (2𝑥−1)(𝑥−3)，
(𝑥−3)2−(2𝑥−1)(𝑥−3) = 0，
(𝑥−3) (𝑥−3)−(2𝑥−1) = 0，
(𝑥−3)(−𝑥−2) = 0，
∴𝑥−3 = 0或−𝑥−2 = 0，
∴𝑥1 = 3，𝑥2 = −2；
（2）解：
3
2𝑥2−𝑥−2 = 0，
整理得3𝑥2−2𝑥−4 = 0，
由题意得，𝑎= 3，𝑏= −2，𝑐= −4，
∵𝑏2−4𝑎𝑐= (−2)2−4 × 3 × (−4) = 52 > 0，
∴𝑥=
−(−2)± 52
2×3
=
2±2 13
6
=
1± 13
3
，
即𝑥1 =
1+ 13
3
，𝑥2 =
1−13
3
．
33．解方程：
(1)𝑥2 +3𝑥+ 1 = 0
(2)(𝑥−2)2−16 = 0
【答案】(1)𝑥1 =
−3+ 5
2
，𝑥2 =
−3−5
2
(2)𝑥1 = 6，𝑥2 = −2
【分析】（1）用一元二次方程求根公式即可计算求解；
（2）用直接开平方法，先移项再开方即可得到结果．
【详解】（1）解：𝑥2 +3𝑥+ 1 = 0，
∵𝑎= 1，𝑏= 3，𝑐= 1，
∴Δ = 𝑏2−4𝑎𝑐= 32−4 × 1 × 1 = 5 > 0，
∴𝑥=
−𝑏± 𝑏2−4𝑎𝑐
2𝑎
=
−3± 5
2
，
∴𝑥1 =
−3+ 5
2
，𝑥2 =
−3−5
2
；
（2）解：(𝑥−2)2−16 = 0，
(𝑥−2)2 = 16，
𝑥−2 =± 4，
𝑥−2 = 4，𝑥−2 = −4，
∴𝑥1 = 6，𝑥2 = −2．
34．（25-26 八年级下·浙江杭州·月考）请选用适当的方法解一元二次方程．
(1)3𝑥2 = 5𝑥
(2)𝑥2−8𝑥+ 4 = 0
【答案】(1)
𝑥1 = 0，𝑥2 =
5
3
(2)
𝑥1 = 4 + 2 3，𝑥2 = 4−2 3
【分析】（1）因式分解法解方程即可；
（2）配方法解方程即可.
【详解】（1）解：3𝑥2 = 5𝑥
3𝑥2−5𝑥= 0，
𝑥(3𝑥−5) = 0，
解得𝑥1 = 0,𝑥2 =
5
3；
（2）解：𝑥2−8𝑥+ 4 = 0，
𝑥2−8𝑥= −4，
𝑥2−8𝑥+ 16 = −4 + 16，
(𝑥−4)2 = 12，
𝑥−4 =± 2 3，
解得𝑥1 = 4 + 2 3,𝑥2 = 4−2 3.
35．（25-26 八年级下·黑龙江绥化·月考）用适当的方法解下列方程：
(1)3(𝑥−3)2 = 12；
(2)𝑥2−2𝑥−1 = 0．
(3)𝑥2−3𝑥−4 = 0；
(4)(2𝑥+ 1)(𝑥−3) = −6．
【答案】(1)𝑥1 = 5，𝑥2 = 1
(2)𝑥1 = 1 +
2，𝑥2 = 1−2
(3)𝑥1 = 4，𝑥2 = −1
(4)𝑥1 =
3
2，𝑥2 = 1
【分析】（1）先两边同除以3，再用直接开平方法求解；
（2）用配方法将方程化为完全平方式，再开平方求解；
（3）用因式分解法求解；
（4）先展开整理为一般式，再因式分解求解．
【详解】（1）解：3(𝑥−3)2 = 12，
(𝑥−3)2 = 4，
𝑥−3 =± 2，
𝑥1 = 5，𝑥2 = 1．
（2）解：𝑥2−2𝑥−1 = 0，
(𝑥−1)2−2 = 0，
(𝑥−1)2 = 2，
𝑥−1 =±
2，
𝑥1 = 1 +
2，𝑥2 = 1−2．
（3）解：𝑥2−3𝑥−4 = 0，
(𝑥−4)(𝑥+ 1) = 0，
𝑥1 = 4，𝑥2 = −1．
（4）解：(2𝑥+ 1)(𝑥−3) = −6，
2𝑥2−6𝑥+ 𝑥−3 = −6，
2𝑥2−5𝑥+ 3 = 0，
(2𝑥−3)(𝑥−1) = 0，
𝑥1 =
3
2，𝑥2 = 1．
36．（25-26 八年级下·浙江温州·月考）解方程：
(1)𝑥2−2𝑥−24 = 0
(2)2𝑥2−6𝑥+ 2 = 0
【答案】(1)𝑥1 = −4，𝑥2 = 6
(2)𝑥1 =
3+ 5
2 ，𝑥2 =
3−5
2
【详解】（1）解：𝑥2−2𝑥−24 = 0
(𝑥−6) (𝑥+ 4) = 0
𝑥−6 = 0或𝑥+ 4 = 0
∴𝑥1 = −4，𝑥2 = 6；
（2）解：2𝑥2−6𝑥+ 2 = 0
𝑎= 2,𝑏= −6,𝑐= 2
Δ = (−6)2−4 × 2 × 2 = 20 > 0
𝑥= −𝑏±
𝑏2−4𝑎𝑐
2𝑎
= 6 ±
20
4
= 6 ± 2 5
4
∴𝑥1 =
3+ 5
2 ，𝑥2 =
3−5
2
37．（25-26 八年级下·浙江金华·月考）解方程：
(1)2𝑥2−3𝑥= 0；
(2)(𝑥+ 1)2−6(𝑥+ 1) +8 = 0．
【答案】(1)𝑥1 = 0,𝑥2 =
3
2
(2)𝑥1 = 3,𝑥2 = 1
【分析】（1）直接运用因式分解法求解即可；
（2）以(𝑥+ 1)为整体运用因式分解法求解即可．
【详解】（1）解：2𝑥2−3𝑥= 0，
𝑥(2𝑥−3) = 0，
𝑥= 0,2𝑥−3 = 0，
所以𝑥1 = 0,𝑥2 =
3
2．
（2）解：(𝑥+ 1)2−6(𝑥+ 1) +8 = 0，
[(𝑥+ 1)−4][(𝑥+ 1)−2] = 0，
(𝑥−3)(𝑥−1) = 0，
𝑥−3 = 0,𝑥−1 = 0，
所以𝑥1 = 3,𝑥2 = 1．
38．（25-26 八年级下·山东烟台·月考）解方程：
(1)4𝑥2−9 = 3(2𝑥+ 3)；
(2)𝑥2 +3𝑥+ 1 = 0；
(3)2𝑥2−5𝑥−7 = 0；
(4)𝑦2−2 2𝑦+ 2 = 0．
【答案】(1)𝑥1 = −
3
2，𝑥2 = 3；
(2)𝑥1 =
−3+ 5
2
,𝑥2 =
−3−5
2
；
(3)𝑥1 =
7
2，𝑥2 = −1；
(4)𝑦1 = 𝑦2 =
2．
【分析】（1）利用因式分解法解方程即可；
（2）利用公式法解方程即可；
（3）利用因式分解法解方程即可；
（4）利用直接开方法解方程即可．
【详解】（1）解：4𝑥2−9 = 3(2𝑥+ 3)，
(2𝑥+ 3)(2𝑥−3) = 3(2𝑥+ 3)，
(2𝑥+ 3)(2𝑥−3)−3(2𝑥+ 3) = 0，
(2𝑥+ 3) [(2𝑥−3)−3] = 0
(2𝑥+ 3)(2𝑥−6) = 0，
则2𝑥+ 3 = 0或2𝑥−6 = 0，
解得：𝑥1 = −
3
2，𝑥2 = 3；
（2）解：𝑥2 +3𝑥+ 1 = 0，
其中𝑎= 1，𝑏= 3，𝑐= 1，
∴Δ = 32−4 × 1 × 1 = 5 > 0，
∴𝑥=
−3± 5
2
，
解得：𝑥1 =
−3+ 5
2
,𝑥2 =
−3−5
2
；
（3）解：2𝑥2−5𝑥−7 = 0，
(2𝑥−7)(𝑥+ 1) = 0，
则2𝑥−7 = 0，𝑥+ 1 = 0，
解得：𝑥1 =
7
2，𝑥2 = −1；
（4）解：𝑦2−2 2𝑦+ 2 = 0，
𝑦−2
2
= 0，
解得：𝑦1 = 𝑦2 =
2．
39．（25-26 八年级下·安徽亳州·月考）解方程：(𝑥−2)(𝑥−4) = 6．
【答案】𝑥1 = 3 +
7，𝑥2 = 3−7
【分析】方程整理后，运用配方法求解即可．
【详解】解：(𝑥−2)(𝑥−4) = 6，
𝑥2−2𝑥−4𝑥+ 8 = 6，
𝑥²−6𝑥+ 8 = 6，
𝑥²−6𝑥= −2
𝑥2−6𝑥+ 9 = 7，
(𝑥−3)2 = 7，
𝑥−3 =±
7
𝑥1 = 3 +
7，𝑥2 = 3−7．
40．（25-26 九年级上·新疆乌鲁木齐·月考）解方程：
(1)𝑥2−4𝑥−1 = 0；
(2)(𝑥+ 1)(3𝑥−1) = 1；
(3)3𝑥2−5𝑥+ 1 = 0；
(4)2(2𝑥−1)2 = 6𝑥−3．
【答案】(1)𝑥1 = 2 +
5或𝑥2 = 2−5
(2)𝑥1 =
−1+ 7
3
或𝑥2 =
−1−7
3
(3)𝑥1 =
5+ 13
6
或𝑥2 =
5−13
6
(4)𝑥1 =
1
2或𝑥2 =
5
4
【分析】（1）先确定a，b，c 的值，再求出𝑏2−4𝑎𝑐，然后根据求根公式求出解；
（2）先整理，再根据公式法求解即可；
（3）根据公式法求解；
（4）先移项，再提出公因式，进而得出解．
【详解】（1）解：𝑥2−4𝑥−1 = 0，
由𝑎= 1,𝑏= −4,𝑐= −1，
可知𝑏2−4𝑎𝑐= (−4)2−4 × 1 × (−1) = 20 > 0，
∴𝑥=
4± 20
2
= 2 ±
5，
∴𝑥1 = 2 +
5,𝑥2 = 2−5；
（2）解：(𝑥+ 1)(3𝑥−1) = 1，
整理，得3𝑥2 +2𝑥−2 = 0，
由𝑎= 3,𝑏= 2,𝑐= −2，
可知𝑏2−4𝑎𝑐= 22−4 × 3 × (−2) = 28 > 0，
∴𝑥=
−2± 28
6
=
−1± 7
3
，
∴𝑥1 =
−1+ 7
3
,𝑥2 =
−1−7
3
；
（3）解：3𝑥2−5𝑥+ 1 = 0，
由𝑎= 3,𝑏= −5,𝑐= 1，
可知𝑏2−4𝑎𝑐= (−5)2−4 × 3 × 1 = 13 > 0，
∴𝑥=
5± 13
6
，
∴𝑥1 =
5+ 13
6
,𝑥2 =
5−13
6
；
（4）解：2(2𝑥−1)2 = 6𝑥−3，
整理，得2(2𝑥−1)2−3(2𝑥−1) = 0，
因式分解，得(2𝑥−1)[2(2𝑥−1)−3] = 0，
即(2𝑥−1)(4𝑥−5) = 0，
∴𝑥1 =
1
2,𝑥2 =
5
4．
【题型2 用指定的方法解一元二次方程】
41．（25-26 九年级上·四川达州·期末）按照指定方法解下列方程：
(1)𝑥2 +4𝑥= 4（配方法）
(2)3𝑥2−4𝑥−1 = 0（公式法）
【答案】(1)𝑥1 = −2 + 2 2, 𝑥2 = −2−2 2
(2)𝑥1 =
2+ 7
3 , 𝑥2 =
2−7
3
【分析】本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、
因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键．
（1）利用配方法求解可得答案；
（2）利用公式法求解可得答案．
【详解】（1）解：𝑥2 +4𝑥= 4
𝑥2 +4𝑥+ 4 = 8，
即(𝑥+ 2)2 = 8，
∴𝑥+ 2 =± 2 2，
解得：𝑥1 = −2 + 2 2, 𝑥2 = −2−2 2；
（2）解：3𝑥2−4𝑥−1 = 0，
∵𝑎= 3,𝑏= −4,𝑐= −1，
∴Δ = 𝑏2−4𝑎𝑐= (−4)2−4 × 3 × (−1) = 28 > 0，
∴𝑥=
4± 28
2×3 =
2± 7
3 ，
解得：𝑥1 =
2+ 7
3 , 𝑥2 =
2−7
3 ．
42．（25-26 九年级下·黑龙江·期中）解方程：
(1)(𝑥−1)2 = 3(𝑥−1)（因式分解法）
(2)
1
2𝑥2−8𝑥+
1
2 = 0（配方法）
(3)𝑥2 +3𝑥−4 = 0（公式法）
【答案】(1)
𝑥1 = 1,𝑥2 = 4
(2)
𝑥1 = 8 + 3 7,𝑥2 = 8−3 7
(3)
𝑥1 = 1,𝑥2 = −4
【详解】（1）解：(𝑥−1)2 = 3(𝑥−1)
(𝑥−1)2−3(𝑥−1) = 0
(𝑥−1)[(𝑥−1)−3] = 0，即(𝑥−1)(𝑥−4) = 0
𝑥−1 = 0或𝑥−4 = 0
∴𝑥1 = 1,𝑥2 = 4；
（2）解：
1
2𝑥2−8𝑥+
1
2 = 0
𝑥2−16𝑥+ 1 = 0
𝑥2−16𝑥= −1
𝑥2−16𝑥+ 64 = −1 + 64
(𝑥−8)2 = 63
𝑥−8 = 3 7或𝑥−8 = −3 7
∴𝑥1 = 8 + 3 7,𝑥2 = 8−3 7；
（3）解：𝑥2 +3𝑥−4 = 0
𝑎= 1,𝑏= 3,𝑐= −4
𝑏2−4𝑎𝑐= 32−4 × 1 × (−4) = 25
𝑥= −𝑏±
𝑏2−4𝑎𝑐
2𝑎
= −3 ±
25
2
= −3 ± 5
2
∴𝑥1 = 1,𝑥2 = −4．
43．按照指定方法解下列方程：
(1)16𝑥2 +8𝑥= 3（公式法）；
(2)2𝑥2 +5𝑥−1 = 0（配方法）；
(3)6−2𝑦= (𝑦−3)2（因式分解法）．
【答案】(1)𝑥1 =
1
4，𝑥2 = −
3
4
(2)𝑥1 = −
5
4 +
33
4 ，𝑥2 = −
5
4−
33
4
(3)𝑦1 = 3，𝑦2 = 1
【分析】（1）根据公式法解一元二次方程；
（2）根据配方法解一元二次方程；
（3）根据因式分解法解一元二次方程．
【详解】（1）解：16𝑥2 +8𝑥= 3，
16𝑥2 +8𝑥−3 = 0，
𝑏2−4𝑎𝑐= 82−4 × 16 × (−3) = 256 > 0，
𝑥=
−8± 256
2×16 ，
𝑥1 =
1
4，𝑥2 = −
3
4；
（2）解：方程整理得：𝑥2 +
5
2𝑥=
1
2，
配方得：𝑥2 +
5
2𝑥+
25
16 =
1
2 +
25
16，即𝑥+
5
4
2
=
33
16，
开方得：𝑥+
5
4 =±
33
4 ，
解得：𝑥1 = −
5
4 +
33
4 ，𝑥2 = −
5
4−
33
4 ；
（3）解：方程整理得：(𝑦−3)2 +2(𝑦−3) = 0，
分解因式得：(𝑦−3)(𝑦−3 + 2) = 0，
可得𝑦−3 = 0或𝑦−1 = 0，
解得：𝑦1 = 3，𝑦2 = 1．
【点睛】本题主要考查解一元二次方程，掌握解一元二次方程的方法是解题的关键．
44．（25-26 九年级上·宁夏银川·阶段检测）按照指定方法解下列方程：
(1)(2𝑥−1)2 = 9（用直接开平方法）
(2)𝑥2−6𝑥+ 2 = 0．（用配方法）
【答案】(1)𝑥1 = 2，𝑥2 = −1
(2)𝑥1 = 3 +
7，𝑥2 = 3−7
【分析】本题考查解一元二次方程，熟练掌握一元二次方程的解法是解答的关键．
（1）根据指定的直接开平方法解方程即可；
（2）根据指定的配方法解方程即可．
【详解】（1）解：开方，得2𝑥−1 =± 3
即2𝑥−1 = 3或2𝑥−1 = −3
∴𝑥1 = 2，𝑥2 = −1；
（2）解：移项，得𝑥2−6𝑥= −2
配方，得𝑥2−6𝑥+ 9 = −2 + 9
即(𝑥−3)2 = 7
开方，得𝑥−3 =±
7
∴𝑥1 = 3 +
7，𝑥2 = 3−7．
45．（25-26 九年级上·江苏徐州·月考）按照指定方法解下列方程．
(1)(1−𝑥)2−3 = 0（直接开平方法）；
(2)𝑥2 +4𝑥−3 = 0（配方法）；
(3)2𝑥2−4𝑥−3 = 0（公式法）；
(4)𝑥(𝑥+ 4) = 2𝑥+ 8（因式分解法）．
【答案】(1)𝑥1 = 1 +
3，𝑥2 = 1−3
(2)𝑥1 =
7−2,𝑥2 = −7−2
(3)𝑥1 =
2+ 10
2
，𝑥2 =
2−10
2
(4)𝑥1 = −4，𝑥2 = 2
【分析】本题考查了解一元二次方程，解此题的关键是能根据方程的特点选择适当的方法解一元二次方程．
（1）移项，整理，利用直接开平方法求得方程的解即可；
（2）利用配方法解方程求得答案；
（3）利用公式法，首先求出判别式△的值，继而求得答案；
（4）利用因式分解法求得方程的解即可．
【详解】（1）解：(1−𝑥)2−3 = 0，
整理得(1−𝑥)2 = 3，
∴1−𝑥=±
3，
解得𝑥1 = 1 +
3，𝑥2 = 1−3；
（2）解：𝑥2 +4𝑥−3 = 0，
𝑥2 +4𝑥= 3，
𝑥2 +4𝑥+ 22 = 3 + 22，
(𝑥+ 2)2 = 7，
𝑥+ 2 =±
7，
解得𝑥1 =
7−2,𝑥2 = −7−2；
（3）解：2𝑥2−4𝑥−3 = 0，
∵𝑏2−4𝑎𝑐= (−4)2−4 × 2 × (−3) = 40，
∴𝑥=
4± 40
4
=
2± 10
2
，
解得𝑥1 =
2+ 10
2
，𝑥2 =
2−10
2
；
（4）解：𝑥(𝑥+ 4) = 2𝑥+ 8，
𝑥(𝑥+ 4)−2(𝑥+ 4) = 0，
(𝑥+ 4)(𝑥−2) = 0，
𝑥+ 4 = 0或𝑥−2 = 0
解得𝑥1 = −4，𝑥2 = 2．
46．用指定方法解方程：
(1)（公式法）𝑥2 +4𝑥−5 = 0
(2)（配方法）2𝑥2−4𝑥−3 = 0
【答案】(1)𝑥1 = 1,𝑥2 = −5
(2)𝑥1 = 1 +
10
2 ,𝑥2 = 1−
10
2
【分析】（1）根据公式法解一元二次方程；
（2）先将二次项系数化为1，然后根据配方法解一元二次方程即可求解．
【详解】（1）解：𝑥2 +4𝑥−5 = 0，
∵𝑎= 1,𝑏= 4,𝑐= −5，Δ = 𝑏2−4𝑎𝑐= 16 + 20 = 36，
∴𝑥=
−𝑏± 𝑏2−4𝑎𝑐
2𝑎
=
−4±6
2 ，
解得：𝑥1 = 1,𝑥2 = −5，
（2）解：2𝑥2−4𝑥−3 = 0，
∴𝑥2−2𝑥=
3
2，
两边加上1，𝑥2−2𝑥+ 1 =
3
2 +1，
即(𝑥−1)2 =
5
2，
∴𝑥−1 =±
10
2 ，
解得：𝑥1 = 1 +
10
2 ,𝑥2 = 1−
10
2 ．
【点睛】本题考查了解一元二次方程，掌握解一元二次方程的方法是解题的关键．
47．（25-26 八年级下·山东泰安·期中）按要求解下列方程：
(1)2𝑥2−8𝑥−1 = 0（配方法）；
(2)3𝑥2−5𝑥+ 1 = 0（公式法）．
【答案】(1)𝑥1 = 2 +
3 2
2 ，𝑥2 = 2−
3 2
2 ；
(2)𝑥1 =
5+ 13
6
，𝑥2 =
5−13
6
．
【详解】（1）解：移项，得2𝑥2−8𝑥= 1．
方程两边同时除以2，得𝑥2−4𝑥=
1
2．
配方，方程两边同时加22，得𝑥2−4𝑥+ 22 =
1
2 + 22，
即(𝑥−2)2 =
9
2．
由平方根的意义，得𝑥−2 =±
3 2
2 ．
所以𝑥1 = 2 +
3 2
2 ，𝑥2 = 2−
3 2
2 ．
（2）∵𝑎= 3，𝑏= −5，𝑐= 1．
∴Δ = 𝑏2−4𝑎𝑐= (−5)2−4 × 3 × 1 = 13 > 0，
所以𝑥=
−𝑏± 𝑏2−4𝑎𝑐
2𝑎
=
5± 13
6
．
所以𝑥1 =
5+ 13
6
，𝑥2 =
5−13
6
．
48．（25-26 九年级上·河北邯郸·期中）用指定方法解下列方程：
(1)2𝑥2 +3𝑥−1 = 0；（公式法）
(2)𝑥2−8𝑥+ 10 = 0；（配方法）
(3)𝑥(𝑥−3) = 2𝑥−6（因式分解法）
【答案】(1)𝑥1 =
−3+ 17
4
，𝑥2 =
−3−17
4
(2)𝑥1 = 4 +
6，𝑥2 = 4−6
(3)𝑥1 = 3，𝑥2 = 2
【分析】本题考查一元二次方程的解法，掌握相关知识是解决问题的关键.
（1）先求出根的判别式，再用公式法计算即可；
（2）将常数项移到方程右边，两边同时加上一次项系数一半的平方，配方即得(𝑥−4)2 = 6，直接开方求解
即可；
（3）将所有项移到方程左边，然后提公因式(𝑥−3)得到(𝑥−3)(𝑥−2) = 0，解方程即可．
【详解】（1）解：𝑎= 2，𝑏= 3，𝑐= −1
𝛥= 32−4 × 2 × (−1) = 17 > 0
𝑥= −𝑏±
𝑏2−4𝑎𝑐
2𝑎
= −3 ±
17
4
𝑥1 =
−3+ 17
4
，𝑥2 =
−3−17
4
；
（2）解：𝑥2−8𝑥= −10
𝑥2−8𝑥+ 16 = −10 + 16
(𝑥−4)2 = 6
𝑥−4 =±
6
𝑥= 4 ±
6
𝑥1 = 4 +
6，𝑥2 = 4−6；
（3）解：𝑥(𝑥−3) = 2𝑥−6
𝑥(𝑥−3) = 2(𝑥−3)
𝑥(𝑥−3)−2(𝑥−3) = 0
(𝑥−3)(𝑥−2) = 0
𝑥−3 = 0或𝑥−2 = 0
𝑥1 = 3，𝑥2 = 2．
49．（25-26 九年级上·甘肃酒泉·月考）用指定方法解下列一元二次方程
(1)𝑥(𝑥−2) = 𝑥−2（因式分解法）
(2)2𝑥2−3𝑥−2 = 0（配方法）
(3)𝑥2−2𝑥+ 5 = 2𝑥+ 4（公式法）
(4)(2𝑥−1)2−𝑥2 = 0（合适的方法）
【答案】(1)𝑥1 = 2，𝑥2 = 1
(2)𝑥1 = 2，𝑥2 = −
1
2
(3)𝑥1 = 2 +
3，𝑥2 = 2−3
(4)𝑥1 =
1
3，𝑥2 = 1
【分析】本题考查了解一元二次方程，熟练掌握因式分解法、配方法、公式法解一元二次方程是解题的关
键．
（1）利用因式分解法解方程即可；
（2）利用配方法解方程即可；
（3）利用公式法解方程即可；
（4）利用因式分解法解方程即可．
【详解】（1）解：𝑥(𝑥−2) = 𝑥−2
𝑥(𝑥−2)−(𝑥−2) = 0
(𝑥−2) (𝑥−1) = 0
𝑥−2 = 0或𝑥−1 = 0
∴𝑥1 = 2，𝑥2 = 1；
（2）解：2𝑥2−3𝑥−2 = 0
2𝑥2−3𝑥= 2
𝑥2−3
2 𝑥= 1
𝑥2−3
2 𝑥+ 9
16 = 1 + 9
16
𝑥−
3
4
2
= 25
16
𝑥−3
4 =± 5
4
∴𝑥1 = 2，𝑥2 = −
1
2；
（3）解：方程整理得𝑥2−4𝑥+ 1 = 0，
∴𝑎= 1，𝑏= −4，𝑐= 1，
∴Δ = 𝑏2−4𝑎𝑐= (−4)2−4 × 1 × 1 = 12 > 0，
∴方程有2 个不相等的实数根，
∴𝑥=
−(−4)± 12
2
= 2 ±
3
∴𝑥1 = 2 +
3，𝑥2 = 2−3；
（4）解：(2𝑥−1)2−𝑥2 = 0
(2𝑥−1 + 𝑥) (2𝑥−1−𝑥) = 0
(3𝑥−1) (𝑥−1) = 0
3𝑥−1 = 0或𝑥−1 = 0
∴𝑥1 =
1
3，𝑥2 = 1．
50．（25-26 九年级上·全国·课后作业）用指定方法解下列方程：
(1)4(𝑥−1)2−36 = 0（直接开平方法）．
(2)𝑥2 +2𝑥−4 = 0（配方法）．
(3)7𝑥2−23𝑥+ 6 = 0（公式法）．
(4)2(𝑥+ 1)−𝑥(𝑥+ 1) = 0（因式分解法）．
【答案】(1)𝑥1 = 4,𝑥2 = −2
(2)𝑥1 =
5−1,𝑥2 = −5−1
(3)𝑥1 = 3,𝑥2 =
2
7
(4)𝑥1 = −1,𝑥2 = 2
【分析】本题考查了一元二次方程的解法，直接开平方法，配方法，公式法，因式分解法，熟记各类解法
是解题的关键.
（1）开平方法需要转化成𝑥2 = 𝑚（𝑚≥0）的形式，再根据平方根的定义求解，若𝑚< 0则方程无解；
（2）配方法的关键是要把二次项系数化为1以后，两边都加上一次项系数一半的平方，再运用开平方法求
解;
（3）公式法的核心是利用二次公式：𝑥=
−𝑏± 𝑏2−4𝑎𝑐
2𝑎
，适用于所有有实数根的一元二次方程求解；
（4）因式分解法需要把左边化成因式的积，右边为0的形式再求解.
【详解】（1）解：4(𝑥−1)2−36 = 0
移项，得4(𝑥−1)2 = 36，
∴(𝑥−1)2 = 9
∴𝑥−1 =± 3，
解得𝑥1 = 4,𝑥2 = −2．
（2）𝑥2 +2𝑥−4 = 0
移项，得𝑥2 +2𝑥= 4，
配方，得𝑥2 +2𝑥+ 1 = 4 + 1，即(𝑥+ 1)2 = 5，
∴𝑥+ 1 =±
5，
∴𝑥1 =
5−1,𝑥2 = −5−1．
（3）7𝑥2−23𝑥+ 6 = 0
∵𝑎= 7,𝑏= −23,𝑐= 6，
∴𝑏2−4𝑎𝑐= (−23)2−4 × 7 × 6 = 361 > 0，
∴𝑥= 23 ±
361
2 × 7
= 23 ± 19
14
,
∴𝑥1 = 3,𝑥2 =
2
7．
（4）2(𝑥+ 1)−𝑥(𝑥+ 1) = 0
把方程左边因式分解，得(𝑥+ 1)(2−𝑥) = 0，
∴𝑥+ 1 = 0或2−𝑥= 0，
∴𝑥1 = −1,𝑥2 = 2．
51．（24-25 九年级上·辽宁锦州·月考）请用指定方法解下列方程：
(1)(𝑥−1)2−2 = 0（直接开平方法）；
(2)
1
2𝑡2 +2𝑡= 1（配方法）；
(3)𝑥(3𝑥−2) = 6𝑥−4（因式分解法）；
(4)3𝑥2−5𝑥−2 = 0（公式法）．
【答案】(1)𝑥1 = 1−2，𝑥2 = 1 +
2
(2)𝑡1 = −2−6，𝑡2 = −2 +
6
(3)𝑥1 =
2
3，𝑥2 = 2
(4)𝑥1 = −
1
3，𝑥2 = 2
【分析】本题主要考查解一元二次方程，
（1）先移项，再直接开方即可求解；
（2）等式两边同时乘以2，然后等式两边同时加上一次项系数一半的平方，再直接开方即可求解；
（3）移项，提取公因式即可求解；
（4）确定𝑎，𝑏，𝑐的值，再运用𝛥= 𝑏2−4𝑎𝑐判定根的情况，若𝛥≥0，则𝑥=
−𝑏± 𝑏2−4𝑎𝑐
2𝑎
，否则无解，由此
即可求解．
【详解】（1）解：(𝑥−1)2−2 = 0（直接开平方法）
移项得，(𝑥−1)2 = 2，
直接开方得，𝑥−1 =±
2，
∴𝑥= 1 ±
2，
∴𝑥1 = 1−2，𝑥2 = 1 +
2；
（2）解：
1
2𝑡2 +2𝑡= 1（配方法）
等式两边同时乘以2 得，𝑡2 +4𝑡= 2，
等式两边同时加4 得，𝑡2 +4𝑡+ 4 = 6，
∴(𝑡+ 2)2 = 6，
直接开方得，𝑡+ 2 =±
6，
∴𝑡= −2 ±
6，
∴𝑡1 = −2−6，𝑡2 = −2 +
6；
（3）解：𝑥(3𝑥−2) = 6𝑥−4（因式分解法）
等式右边提取公因式2 得，𝑥(3𝑥−2) = 2(3𝑥−2)，
移项得，𝑥(3𝑥−2)−2(3𝑥−2) = 0，
提取公因式得，(3𝑥−2)(𝑥−2) = 0，
∴3𝑥−2 = 0或𝑥−2 = 0，
解得，𝑥1 =
2
3，𝑥2 = 2；
（4）解：3𝑥2−5𝑥−2 = 0（公式法）
𝑎= 3，𝑏= −5，𝑐= −2，𝛥= (−5)2−4 × 3 × (−2) = 25 + 24 = 49 > 0，
∴𝑥=
5± 49
2×3 =
5±7
6 ，
∴𝑥1 = −
1
3，𝑥2 = 2．
52．用指定方法解方程：
(1)(2𝑥+ 3)2−25 = 0（直接开平方法）
(2)𝑥2−6𝑥−1 = 0（配方法）；
(3)2𝑥2 +𝑥−1 = 0（公式法）．
【答案】(1)𝑥1 = 1，𝑥2 = −4
(2)𝑥1 = 3 +
10，𝑥2 = 3−10
(3)𝑥1 = −1，𝑥2 =
1
2
【分析】本题考查了解一元二次方程，解题的关键是掌握一元二次方程的解法：直接开平方法，配方法，
公式法，因式分解法等．
（1）利用直接开方法解一元二次方程即可；
（2）利用配方法解一元二次方程即可；
（3）利用公式法解一元二次方程即可．
【详解】（1）(2𝑥+ 3)2−25 = 0
(2𝑥+ 3)2 = 25
2𝑥+ 3 =± 5
解得𝑥1 = 1，𝑥2 = −4；
（2）𝑥2−6𝑥−1 = 0
𝑥2−6𝑥= 1
𝑥2−6𝑥+ 9 = 10
(𝑥−3)2 = 10
∴𝑥−3 =±
10
解得𝑥1 = 3 +
10，𝑥2 = 3−10；
（3）2𝑥2 +𝑥−1 = 0
𝑎= 2，𝑏= 1，𝑐= −1
Δ = 𝑏2−4𝑎𝑐= 12−4 × 2 × (−1) = 9
∴𝑥=
−1± 9
2×2
=
−1±3
4
解得𝑥1 = −1，𝑥2 =
1
2．
53．用指定方法解下列一元二次方程
(1)(2𝑥−1)2−36 = 0（直接开平方法）
(2)2𝑥2−4𝑥−7 = 0（配方法）
(3)𝑥2 +𝑥−1 = 0（公式法）
(4)𝑥2−2𝑥= 0（因式分解法）
【答案】(1)𝑥1 = −
5
2,𝑥2 =
7
2
(2)𝑥1 = 1−
3 2
2 ,𝑥2 = 1 +
3 2
2
(3)𝑥1 =
−1+ 5
2
,𝑥2 =
−1−5
2
(4)𝑥1 = 2,𝑥2 = 0
【分析】本题考查了解一元二次方程；
（1）根据直接开平方法解一元二次方程；
（2）根据配方法解一元二次方程；
（3）根据公式法解一元二次方程；
（4）根据因式分解法解一元二次方程，即可求解．
【详解】（1）解：(2𝑥−1)2−36 = 0，
(2𝑥−1)2 = 36，
∴2𝑥−1 =± 6，
解得：𝑥1 = −
5
2,𝑥2 =
7
2；
（2）解：2𝑥2−4𝑥−7 = 0
∴2𝑥2−4𝑥= 7，
∴𝑥2−2𝑥=
7
2，
∴𝑥2−2𝑥+ 1 =
7
2 +1，
∴(𝑥−1)2 =
9
2，
∴𝑥−1 =±
3 2
2 ，
解得：𝑥1 = 1−
3 2
2 ,𝑥2 = 1 +
3 2
2 ；
（3）解：𝑥2 +𝑥−1 = 0，
∵𝑎= 1,𝑏= 1,𝑐= −1，
Δ = 𝑏2−4𝑎𝑐= 1 + 4 = 5，
∴𝑥=
−𝑏± 𝑏2−4𝑎𝑐
2𝑎
=
−1± 5
2
，
解得：𝑥1 =
−1+ 5
2
,𝑥2 =
−1−5
2
；
（4）解：𝑥2−2𝑥= 0，
∴𝑥(𝑥−2) = 0，
∴𝑥= 0或𝑥−2 = 0，
解得：𝑥1 = 2,𝑥2 = 0．
54．按照指定方法解下列方程：
(1)3𝑥2−15 = 0 （用直接开平方法）
(2)𝑥2−8𝑥+ 15 = 0 （用因式分解法）
(3)𝑥2−6𝑥+ 7 = 0 （用配方法）
(4)𝑦2 +2 = 2 2𝑦（用求根公式法）
【答案】(1)𝑥1 =
5，𝑥2 = −5
(2)𝑥1 = 3，𝑥2 = 5
(3)𝑥1 = 3 +
2，𝑥2 = 3−2
(4)𝑦1 = 𝑦2 =
2
【分析】（1）把15 移到右边，两边同时除以3，然后直接开平方求根；
（2）用十字相乘法因式分解求出方程的根；
（3）二次项系数是1，一次项系数是6，把7 移到右边，用配方法解方程；
（4）把右边的项移到左边，用求根公式求出方程的根．
【详解】（1）解：3𝑥2−15 = 0，
∴𝑥2 = 5，
解得：𝑥1 =
5，𝑥2 = −5．
（2）𝑥2−8𝑥+ 15 = 0，
∴(𝑥−3)(𝑥−5) = 0，
∴𝑥−3 = 0或𝑥−5 = 0，
解得：𝑥1 = 3，𝑥2 = 5．
（3）𝑥2−6𝑥+ 7 = 0，
∴𝑥2−6𝑥= −7
∴𝑥2−6𝑥+ 9 = 2
∴(𝑥−3)2 = 2
∴𝑥−3 =±
2
解得：𝑥1 = 3 +
2，𝑥2 = 3−2．
（4）𝑦2 +2 = 2 2𝑦，
∴𝑦2−2 2𝑦+ 2 = 0，
∴Δ = (−2 2)
2
−4 × 1 × 2 = 0，
∴𝑦=
2 2± 0
2×2 ，
解得：𝑦1 = 𝑦2 =
2．
【点睛】本题考查的是解一元二次方程，根据题目的要求，熟练掌握各种解法．
55．用指定方法
．．．．解下列方程
(1)2𝑥2 +5𝑥−2 = 0(用配方法
．．．)；
(2)9𝑥2−(𝑥−1)2 = 0(用因式分解法
．．．．．)．
【答案】(1)𝑥1 =
−5+ 41
4
,𝑥2 =
−5−41
4
(2)𝑥1 =
1
4；𝑥2 = −
1
2
【分析】本题考查解一元二次方程，掌握指定的解法是解题的关键．
（1）按照配方法解一元二次方程的一般步骤求解即可；
（2）按照因式求解法解一元二次方程的一般步骤求解即可．
【详解】（1）解：（1） ∵2𝑥2 +5𝑥−2 = 0，
∴𝑥2 +
5
2𝑥−1 = 0 ，
∴𝑥2 +
5
2𝑥= 1
∴𝑥2 +
5
2𝑥+
5
4
2
= 1 +
5
4
2
，
∴𝑥+
5
4
2
=
41
16 ，
∴𝑥+
5
4 =±
41
16
∴𝑥+
5
4 =±
41
4 ，
∴𝑥= −
5
4 ±
41
4 =
−5± 41
4
，
即𝑥1 =
−5+ 41
4
,𝑥2 =
−5−41
4
；
（2）∵9𝑥2−(𝑥−1)2＝0，
∴(3𝑥)2−(𝑥−1)2 = 0，
∴(3𝑥+ 𝑥−1)(3𝑥−𝑥+ 1) = 0，
∴(4𝑥−1)(2𝑥+ 1) = 0，
∴4𝑥−1 = 0或2𝑥+ 1 = 0，
∴𝑥1 =
1
4；𝑥2 = −
1
2．
56．（25-26 九年级上·辽宁丹东·期中）请用指定方法解下列方程：
(1)𝑥(3𝑥−2) = 6𝑥−4（因式分解法）．
(2)3𝑥2−5𝑥−2 = 0（公式法）．
(3)2𝑥2−3𝑥+
1
8 = 0（配方法）．
【答案】(1)𝑥1 =
2
3，𝑥2 = 2
(2)𝑥1 = −
1
3，𝑥2 = 2
(3)𝑥1 =
3+2 2
4
，𝑥2 =
3−2 2
4
【详解】（1）解：𝑥(3𝑥−2) = 6𝑥−4，
𝑥(3𝑥−2) = 2(3𝑥−2)，
移项得，𝑥(3𝑥−2)−2(3𝑥−2) = 0，
提取公因式得，(3𝑥−2)(𝑥−2) = 0，
∴3𝑥−2 = 0或𝑥−2 = 0，
解得，𝑥1 =
2
3，𝑥2 = 2；
（2）解：3𝑥2−5𝑥−2 = 0，
∵𝑎= 3，𝑏= −5，𝑐= −2，
∴Δ = (−5)2−4 × 3 × (−2) = 25 + 24 = 49 > 0，
∴𝑥=
5± 49
2×3 =
5±7
6 ，
∴𝑥1 = −
1
3，𝑥2 = 2；
（3）解：2𝑥2−3𝑥+
1
8 = 0，
等式两边同时除以2 得，𝑥2−
3
2𝑥+
1
16 = 0，
移项得，𝑥2−
3
2𝑥= −
1
16，
∴配方得，𝑥2−
3
2𝑥+
3
4
2
=
3
4
2
−
1
16，
即𝑥−
3
4
2
=
1
2，
直接开方得，𝑥−
3
4 =±
2
2 ，
∴𝑥1 =
3+2 2
4
，𝑥2 =
3−2 2
4
．
57．（24-25 九年级上·河南新乡·开学考试）用指定方法
．．．．解下列方程：
(1)4𝑥2−144 = 0（直接开平方法）
(2)𝑥2−4𝑥−3 = 0．（配方法）
(3)𝑥2−2𝑥−4 = 0（用公式法）
(4)7𝑥(5𝑥+ 2) = 6(5𝑥+ 2)（用因式分解法）
【答案】(1)𝑥1 = 6，𝑥2 = −6；
(2)𝑥1 = 2 +
7，𝑥2 = 2−7；
(3)𝑥1 = 1 +
5，𝑥2 = 1−5；
(4)𝑥1 = −
2
5，𝑥2 =
6
7．
【分析】此题考查了解一元二次方程，熟练掌握解一元二次方程的各种方法是解题的关键．
（1）开平方得到2𝑥−1 =± 3，即可求出方程的解；
（2）把原方程配方成(𝑥−2)2 = 7，再利用开平方法解方程即可；
（3）写出𝑎= 1，𝑏= −2，𝑐= −4，求出Δ = (−2)2 +16 = 20，代入𝑥=
−𝑏± 𝑏2−4𝑎𝑐
2𝑎
即可得到方程的解；
（4）移项后因式分解得到(5𝑥+ 2)(7𝑥−6) = 0，则5𝑥+ 2 = 0或7𝑥−6 = 0，即可得到方程的解．
【详解】（1）解：4𝑥2−144 = 0，
开平方得，2𝑥=± 12，
∴2𝑥= 12或2𝑥= −12，
解得𝑥1 = 6，𝑥2 = −6；
（2）解：𝑥2−4𝑥−3 = 0，
原方程整理得𝑥2−4𝑥= 3．
配方，得：𝑥2−4𝑥+ 4 = 3 + 4，即(𝑥−2)2 = 7，
两边开平方，得𝑥−2 =±
7，
∴𝑥1 = 2 +
7，𝑥2 = 2−7；
（3）解：𝑥2−2𝑥−4 = 0，
∵𝑎= 1，𝑏= −2，𝑐= −4，
∴Δ = (−2)2 +16 = 20 > 0，
∴𝑥=
−𝑏± 𝑏2−4𝑎𝑐
2𝑎
=
2± 20
2
= 1 ±
5，
∴𝑥1 = 1 +
5，𝑥2 = 1−5；
（4）解：7𝑥(5𝑥+ 2) = 6(5𝑥+ 2)，
移项得，7𝑥(5𝑥+ 2)−6(5𝑥+ 2) = 0，
因式分解得，(5𝑥+ 2)(7𝑥−6) = 0，
∴5𝑥+ 2 = 0或7𝑥−6 = 0，
解得𝑥1 = −
2
5，𝑥2 =
6
7．
58．（24-25 九年级上·重庆南岸·开学考试）用指定方法解下列一元二次方程：
(1)𝑥2 +6𝑥+ 4 = 0（配方法）
(2)2𝑥2−3𝑥−1 = 0（公式法）
(3)(𝑥−1)2 = 3𝑥−3（因式分解法）
(4)3𝑥2 +5𝑥−2 = 0（十字相乘法）
【答案】(1)𝑥1 = −3 +
5，𝑥2 = −3−5
(2)𝑥1 =
3+ 17
4
，𝑥2 =
3−17
4
(3)𝑥1 = 1，𝑥2 = 4
(4)𝑥1 = −2，𝑥2 =
1
3．
【分析】此题考查了解一元二次方程−因式分解法，配方法，公式法，以及直接开方法，熟练掌握各种解法
是解本题的关键．
（1）把常数项4 移项后，再在左右两边同时加上一次项系数6 的一半的平方，再进行计算即可．
（2）找出𝑎，𝑏，𝑐的值，计算出根的判别式大于0，代入求根公式即可求出解；
（3）方程移项后，提取公因式，因式分解得到(𝑥−1)(𝑥−4) = 0，然后解两个一元一次方程即可；
（4）把方程左边进行因式分解得到(𝑥+ 2)(3𝑥−1) = 0，然后解两个一元一次方程即可．
【详解】（1）𝑥2 +6𝑥+ 4 = 0，
𝑥2 +6𝑥= −4，
𝑥2 +6𝑥+ 9 = −4 + 9，
(𝑥+ 3)2 = 5，
𝑥+ 3 =±
5，
𝑥1 = −3 +
5，𝑥2 = −3−5；
（2）2𝑥2−3𝑥−1 = 0，
𝑎= 2，𝑏= −3，𝑐= −1，Δ = (−3)2−4 × 2 × (−1) = 17，
∴𝑥=
3± 17
2×2 =
3± 17
4
，
∴𝑥1 =
3+ 17
4
，𝑥2 =
3−17
4
；
（3）(𝑥−1)2 = 3𝑥−3，
(𝑥−1)2 = 3(𝑥−1)，
(𝑥−1)2−3(𝑥−1) = 0，
∴(𝑥−1)(𝑥−1−3) = 0，
∴(𝑥−1)(𝑥−4) = 0，
∴𝑥−1 = 0或𝑥−4 = 0，
∴𝑥1 = 1，𝑥2 = 4；
（4）3𝑥2 +5𝑥−2 = 0．
(𝑥+ 2)(3𝑥−1) = 0，
∴𝑥+ 2 = 0或3𝑥−1 = 0，
∴𝑥1 = −2，𝑥2 =
1
3．
59．用指定方法解下列一元二次方程．
(1)𝑥2−36 = 0 (直接开平方法)
(2)𝑥2−4𝑥= 2 (配方法)
(3)2𝑥2−5𝑥+ 1 = 0 (公式法)
(4)(𝑥+ 1)2 +8(𝑥+ 1) +16 = 0 (因式分解法)
【答案】(1)𝑥1 = 6，𝑥2 = −6
(2)𝑥1 = 2 +
6，𝑥2 = 2−6
(3)𝑥1 =
5+ 17
4
,𝑥2 =
5−17
4
(4)𝑥1 = 𝑥2 = −5
【分析】本题考查了解一元二次方程，根据要求结合方程的特点灵活运用相关解法是解题的关键．
（1）将常数项移到右侧，利用直接开平方法求解即可；
（2）方程两边同时加上4，左边配成完全平方式，然后两边开平方即可得；
（3）确定出a、b、c 的值，然后按照公式法的步骤进行求解即可；
（4）方程左边利用完全平方公式进行分解，继而进行求解即可得．
【详解】（1）𝑥2−36 = 0，
𝑥2 = 36，
𝑥=± 6，
∴𝑥1 = 6，𝑥2 = −6；
（2）𝑥2−4𝑥= 2，
𝑥2−4𝑥+ 4 = 2 + 4，
(𝑥−2)2 = 6，
𝑥−2 =±
6，
∴𝑥1 = 2 +
6，𝑥2 = 2−6；
（3）2𝑥2−5𝑥+ 1 = 0，
𝑎= 2，𝑏= −5，𝑐= 1，
𝑏2−4𝑎𝑐= (−5)2−4 × 2 × 1 = 17 > 0，
∴𝑥=
−𝑏± 𝑏2−4𝑎𝑐
2𝑎
=
−(−5)± 17
2×2
=
5± 17
4
，
即𝑥1 =
5+ 17
4
,𝑥2 =
5−17
4
；
（4）(𝑥+ 1)2 +8(𝑥+ 1) +16 = 0，
[(𝑥+ 1)+ 4]2 = 0，
(𝑥+ 5)2 = 0，
∴𝑥1 = 𝑥2 = −5．
60．利用指定方法解一元二次方程：
(1)3𝑥2 = 4−2𝑥（公式法）；
(2)5(𝑥−3)2 = 𝑥2−9（因式分解法）．
【答案】(1)𝑥1 =
−1+ 13
3
，𝑥2 =
−1−13
3
(2)𝑥1 = 3，𝑥2 =
9
2
【分析】（1）先把方程化为一般式，再计算出根的判别式的值，然后利用一元二次方程的求根公式得到方
程的解；
（2）先把方程变形为5(𝑥−3)2−(𝑥−3)(𝑥+ 3) = 0，再利用因式分解法把方程转化为𝑥−3 = 0或4𝑥−18 = 0，
然后解两个一次方程即可．
【详解】（1）解：3𝑥2 = 4−2𝑥，
3𝑥2 +2𝑥−4 = 0，
∵𝑎= 3，𝑏= 2，𝑐= −4，
∴Δ = 22−4 × 3 × (−4) = 52 > 0，
∴𝑥=
−𝑏± 𝑏2−4𝑎𝑐
2𝑎
=
−2±2 13
2×3
=
−1± 13
3
解得：𝑥1 =
−1+ 13
3
，𝑥2 =
−1−13
3
．
（2）解：5(𝑥−3)2 = 𝑥2−9，
5(𝑥−3)2−(𝑥2−9) = 0，
5(𝑥−3)2−(𝑥−3)(𝑥+ 3) = 0，
(𝑥−3) 5(𝑥−3)−(𝑥+ 3) = 0，
(𝑥−3)(4𝑥−18) = 0，
𝑥−3 = 0或4𝑥−18 = 0，
解得：𝑥1 = 3，𝑥2 =
9
2．
【点睛】本题考查了解一元二次方程——公式法和因式分解法，因式分解法就是利用因式分解求出方程的解
的方法，这种方法简便易用，是解一元二次方程最常用的方法．
61．用指定方法解下列一元二次方程
(1)3(2𝑥−1)2−12 = 0（直接开平方法）
(2)2𝑥2−4𝑥−7 = 0（配方法）
(3)𝑥2 +𝑥−1 = 0（公式法）
(4)(2𝑥−1)2−𝑥2 = 0（因式分解法）
【答案】(1)𝑥1 =
3
2，𝑥2 = −
1
2
(2)𝑥1 = 1 +
3 2
2 ，𝑥2 = 1−
3 2
2
(3)𝑥1 =
−1+ 5
2
，𝑥2 =
−1−5
2
(4)𝑥1 =
1
3，𝑥2 = 1
【分析】（1）方程变形后，利用平方根定义开方即可求出解；
（2）方程利用配方法求出解即可；
（3）方程利用公式法求出解即可；
（4）方程利用因式分解法求出解即可．
【详解】（1）解：3(2𝑥−1)2−12 = 0，
移项，得3(2𝑥−1)2 = 12，
两边都除以3，得(2𝑥−1)2 = 4，
两边开平方，得2𝑥−1 =± 2，
移项，得2𝑥= 1 ± 2，
解得：𝑥1 =
3
2，𝑥2 = −
1
2；
（2）解：2𝑥2−4𝑥−7 = 0，
两边都除以2，得𝑥2−2𝑥−
7
2 = 0，
移项，得𝑥2−2𝑥=
7
2，
配方，得𝑥2−2𝑥+ 1 =
9
2，即(𝑥−1)2 =
9
2，
解得：𝑥−1 =±
3 2
2 ，
即𝑥1 = 1 +
3 2
2 ，𝑥2 = 1−
3 2
2 ；
（3）解：𝑥2 +𝑥−1 = 0，
这里𝑎= 1，𝑏= 1，𝑐= −1，
∵𝑏2−4𝑎𝑐= 12−4 × 1 × (−1) = 5，
∴𝑥=
−1± 5
2×1 ，
解得：𝑥1 =
−1+ 5
2
，𝑥2 =
−1−5
2
；
（4）解：(2𝑥−1)2−𝑥2 = 0，
方程左边因式分解，得(2𝑥−1 + 𝑥)(2𝑥−1−𝑥) = 0，即(3𝑥−1)(𝑥−1) = 0，
解得：𝑥1 =
1
3，𝑥2 = 1．
【点睛】此题考查了解一元二次方程−因式分解法，公式法与直接开平方法，熟练掌握各种解法是解本题的
关键．
62．按照指定方法解下列方程：
(1)(2𝑥−1)2 = 9（用直接开平方法）
(2)2𝑥2−9𝑥+ 8 = 0（用配方法）
(3)𝑥2−2𝑥−4 = 0（用求根公式法）
(4)7𝑥(5𝑥+ 2) = 6(5𝑥+ 2)（用因式分解法）
【答案】(1)𝑥1 = 2,𝑥2 = −1
(2)𝑥1 =
9+ 17
4
,𝑥2 =
9−17
4
(3)𝑥1 = 1 +
5,𝑥2 = 1−5
(4)𝑥1 = −
2
5,𝑥2 =
6
7
【分析】（1）开平方得到2𝑥−1 =± 3，即可求出方程的解；
（2）把原方程配方成𝑥−
9
4
2
=
17
16，再利用开平方法解方程即可；
（3）写出𝑎= 1，𝑏= −2，𝑐= −4，求出Δ = (−2)2 +16 = 20，代入𝑥=
−𝑏± 𝑏2−4𝑎𝑐
2𝑎
即可得到方程的解；
（4）移项后因式分解得到(5𝑥+ 2)(7𝑥−6) = 0，则5𝑥+ 2 = 0或7𝑥−6 = 0，即可得到方程的解．
【详解】（1）解：(2𝑥−1)2 = 9
开平方得，2𝑥−1 =± 3，
∴2𝑥−1 = 3或2𝑥−1 = −3，
解得𝑥1 = 2,𝑥2 = −1；
（2）2𝑥2−9𝑥+ 8 = 0
解：原方程整理得2𝑥2−9𝑥= −8．
二次项系数化1，得：𝑥2−
9
2𝑥= −4，
配方，得：𝑥2−
9
2𝑥+
9
4
2
= −4 +
9
4
2
，即𝑥−
9
4
2
=
17
16，
两边开平方，得𝑥−
9
4 =±
17
4 ，
∴𝑥1 =
9+ 17
4
,𝑥2 =
9−17
4
．
（3）𝑥2−2𝑥−4 = 0
∵𝑎= 1，𝑏= −2，𝑐= −4，
∴Δ = (−2)2 +16 = 20，
∴𝑥=
−𝑏± 𝑏2−4𝑎𝑐
2𝑎
=
2± 20
2
= 1 ±
5，
∴𝑥1 = 1 +
5,𝑥2 = 1−5；
（4）7𝑥(5𝑥+ 2) = 6(5𝑥+ 2)
移项得，7𝑥(5𝑥+ 2)−6(5𝑥+ 2) = 0，
因式分解得，(5𝑥+ 2)(7𝑥−6) = 0，
∴5𝑥+ 2 = 0或7𝑥−6 = 0，
解得𝑥1 = −
2
5,𝑥2 =
6
7
【点睛】此题考查了解一元二次方程，熟练掌握解一元二次方程的各种方法是解题的关键．
63．用指定方法解下列方程：
(1)𝑥2−𝑥−
3
4 = 0（配方法）；
(2)(𝑥−3)2 = 2(𝑥−3)（因式分解法）；
(3)𝑥2−4𝑥−1 = 0（公式法）．
【答案】(1)𝑥1 =
3
2，𝑥2 = −
1
2
(2)𝑥1 = 3，𝑥2 = 5
(3)𝑥1 = 2 +
5，𝑥2 = 2−5
【分析】（1）利用配方法求解即可；
（2）利用因式分解法求解即可；
（3）利用公式法求解即可．
【详解】（1）原方程可化为𝑥2−𝑥=
3
4，
等式两边加
1
4，得𝑥2−𝑥+
1
4 = 1，
由完全平方公式得，(𝑥−
1
2 )
2
= 1，
∴𝑥−
1
2 = 1或𝑥−
1
2 = −1，
所以原方程的解为𝑥1 =
3
2，𝑥2 = −
1
2．
（2）移项得，(𝑥−3)2−2(𝑥−3) = 0，
提取公因式，得(𝑥−3)(𝑥−3−2) = 0，
则𝑥−3 = 0或𝑥−3−2 = 0，
解得𝑥1 = 3，𝑥2 = 5．
（3）𝑥2−4𝑥−1 = 0，
∵Δ = 𝑏2−4𝑎𝑐= (−4)2−4 × 1 × (−1) = 20＞0，
由求根公式得𝑥=
4± 20
2
= 2 ±
5，
所以原方程的解为𝑥1 = 2 +
5，𝑥2 = 2−5．
【点睛】本题考查了一元二次方程的解法，熟练掌握配方法，因式分解法和公式法求根是解题的关键．
64．按照指定方法解下列方程：
（1）𝑥(𝑥−2 3) + 3 = 0．（自选方法）
（2）3𝑥2−6𝑥−2 = 0．（配方法）
（3）𝑥2−9 = 2𝑥+ 6（因式分解法）
【答案】（1）𝑥1 = 𝑥2 =
3 ；（2）𝑥1 = 1 +
15
3 ，𝑥2 = 1−
15
3 ；（3）𝑥1 = −3,𝑥2 = 5．
【分析】（1）原方程整理成一元二次方程的一般形式，用因式分解法即可；
（2）先把二次项系数化为1，即两边都除以3，然后配方即可；
（3）方程两边分别分解因式，再把左边移项后，提取公因式即可．
【详解】（1）原方程整理得：𝑥2−2 3𝑥+ 3 = 0
即(𝑥−3)
2
= 0
∴𝑥1 = 𝑥2 =
3
（2）方程两边同除以3，得：𝑥2−2𝑥−
2
3 = 0
配方，得：(𝑥−1)2 =
5
3
根据平方根的定义，得：𝑥−1 =
15
3 或𝑥−1 = −
15
3
解得：𝑥1 = 1 +
15
3 ，𝑥2 = 1−
15
3
（3）两边分解因式得：(x+3)(x-3)=2(x+3)
即：(x+3)(x-3)－2(x+3)＝0
提取公因式得：(x+3)(x-5)=0
∴x+3=0 或x-5=0
∴𝑥1 = −3,𝑥2 = 5
【点睛】本题考查了一元二次方程的解法，一元二次方程的解法较多，有直接开平方法，配方法，公式法
及因式分解法等方法，要根据方程的特点灵活选取适当的方法，提高解方程的速度．
65．用指定方法解下列方程：
（1）𝑥2 +4𝑥−2 = 0（配方法）；
（2）(𝑥−2)2 = 3(𝑥−2)（因式分解法）；
（3）2𝑥2−4𝑥−1 = 0（公式法）．
【答案】（1）𝑥1 = −2 +
6, 𝑥2 = −2−6；（2）𝑥1 = 2, 𝑥2 = 5；（3）𝑥1 = 1 +
6
2 , 𝑥2 = 1−
6
2 ．
【分析】（1）等式两边同时加6，利用完全平方公式进行配方即可求解；
（2）先移项，再提取公因式(𝑥−2)，即可求解；
（3）利用公式法𝑥=
−𝑏± 𝑏2−4𝑎𝑐
2𝑎
即可求解．
【详解】（1）等式两边加6，得𝑥2 +4𝑥+ 4 = 6
由完全平方公式得，(𝑥+ 2)2 = 6
∴𝑥+ 2 =
6或𝑥+ 2 = −6
所以原方程的解为𝑥1 = −2 +
6, 𝑥2 = −2−6；
（2）移项得，(𝑥−2)2−3(𝑥−2) = 0
提取公因式，得(𝑥−2)(𝑥−5) = 0
解得𝑥1 = 2, 𝑥2 = 5
所以原方程的解为𝑥1 = 2, 𝑥2 = 5；
（3）𝛥= 42 +4 × 2 × 1 = 24 > 0
由求根公式得𝑥=
4±2 6
2×2
即𝑥= 1 ±
6
2
所以原方程的解为𝑥1 = 1 +
6
2 , 𝑥2 = 1−
6
2 ．
【点睛】本题考查解一元二次方程，根据方程特点选择合适的求解方法是解题的关键．
66．请用指定方法解下列一元二次方程：
（1）4𝑥2 +𝑥−3 = 0（公式法）
（2）𝑥2−6𝑥−16 = 0（配方法）
（3）(𝑥+ 1)(𝑥+ 2) = 2𝑥+ 4（因式分解法）
【答案】（1）𝑥1 =
3
4，𝑥2 = −1；（2）𝑥1 = 8，𝑥2 = −2；（3）𝑥1 = −2，𝑥2 = 1
【分析】（1）由公式法进行解一元二次方程，即可得到答案；
（2）由配方法进行解一元二次方程，即可得到答案；
（3）由因式分解法解一元二次方程，即可得到答案．
【详解】解：（1）4𝑥2 +𝑥−3 = 0，
∴𝛥= 1−4 × 4 × (−3) = 49 > 0，
∴𝑥=
−1±7
8 ，
∴𝑥1 =
3
4，𝑥2 = −1．
（2）方程变形得：𝑥2−6𝑥= 16，
配方得：𝑥2−6𝑥+ 9 = 25，
即(𝑥−3)2 = 25，
开方得：𝑥−3 =± 5，
解得：𝑥1 = 8，𝑥2 = −2；
（3）(𝑥+ 1)(𝑥+ 2) = 2𝑥+ 4
(𝑥+ 1)(𝑥+ 2)−2(𝑥+ 2) = 0
(𝑥+ 2)(𝑥−1) = 0
解得：𝑥1 = −2，𝑥2 = 1．
【点睛】本题考查了解一元二次方程，解题的关键是熟练掌握解一元二次方程的方法进行解题．
67．解下列方程：（有指定方法必须用指定方法）
(1)2𝑥2−3𝑥+ 1 = 0（配方法）；
(2)3𝑥2−4𝑥−1 = 0（公式法）；
(3)(𝑥−3)2 +4𝑥(𝑥−3) = 0．
(4)(𝑥−3)(𝑥+ 4) = 8．
【答案】(1)𝑥1 = 1，𝑥2 =
1
2
(2)𝑥1 =
2+ 7
3 ，𝑥2 =
2−7
3
(3)𝑥1 = 3，𝑥2 =
3
5
(4)𝑥1 = −5，𝑥2 = 4
【分析】本题考查了配方法、公式法．因式分解法解一元二次方程．熟练掌握配方法、公式法．因式分解
法解一元二次方程是解题的关键．
（1）利用配方法进行求解即可；
（2）利用公式法进行求解即可；
（3）利用因式分解法进行求解即可；
（4）整理到一般式后再利用因式分解法进行求解即可．
【详解】（1）解：2𝑥2−3𝑥+ 1 = 0，
2𝑥2−3𝑥= −1，
𝑥2−
3
2𝑥= −
1
2，
𝑥2−
3
2𝑥+
3
4
2
= −
1
2 +
3
4
2
，
𝑥−
3
4
2
=
1
16 ，
𝑥−
3
4 =±
1
4 ，
解得，𝑥1 = 1，𝑥2 =
1
2；
（2）解：3𝑥2−4𝑥−1 = 0，
𝑎= 3，𝑏= −4，𝑐= −1，
Δ = 𝑏2−4𝑎𝑐= (−4)2−4 × 3 × (−1) = 28 > 0，
𝑥1，2 =
−𝑏± 𝑏2−4𝑎𝑐
2𝑎
=
−(−4)± 28
2×3
=
2± 7
3 ，
解得，𝑥1 =
2+ 7
3 ，𝑥2 =
2−7
3 ；
（3）解：(𝑥−3)2 +4𝑥(𝑥−3) = 0，
(𝑥−3)(𝑥−3 + 4𝑥) = 0，
𝑥−3 = 0或5𝑥−3 = 0，
解得，𝑥1 = 3，𝑥2 =
3
5；
（4）解：(𝑥−3)(𝑥+ 4) = 8，
整理得，𝑥2 +𝑥−20 = 0，
(𝑥+ 5)(𝑥−4) = 0，
𝑥+ 5 = 0或𝑥−4 = 0，
解得，𝑥1 = −5，𝑥2 = 4．
68．按指定方法解方程：
(1)𝑥2−4𝑥−2 = 0(配方法)；
(2)2𝑦2−3𝑦−1 = 0(公式法)
(3)3𝑥(𝑥−1) = 2−2𝑥 (适当方法)；
(4)2𝑥2−𝑥−1 = 0 (配方法)
【答案】(1)𝑥1 = 2 +
6，𝑥2 = 2−6；
(2)𝑦1 =
3+ 17
4
，𝑦1 =
3−17
4
；
(3)𝑥1 = 1， 𝑥2 = −
2
3；
(4)𝑥1 = 1,𝑥2 = −
1
2
【分析】（1）先把常数项移到方程的右边，再对左边进行配方，再方程的左右两边同时加上4，左边是完
全平方式，右边等于6，可以解答；
（2）根据方程的系数特点，可先确定各个项的系数，然后求出𝛥的值，最后套用求根公式解得；
（3）根据因式分解法解一元二次方程；
（4）根据配方法解一元二次方程，即可求解．
【详解】（1）解：𝑥2−4𝑥−2 = 0，
移项得，𝑥2−4𝑥= 2，
配方，得𝑥2−4𝑥+ 4 = 2 + 4，
即(𝑥−2)2 = 6，
所以𝑥−2 =±
6，
解得𝑥1 = 2 +
6，𝑥2 = 2−6.
（2）2𝑦2−3𝑦−1 = 0，
𝑎= 2，𝑏= −3，𝑐= −1，
𝛥= 𝑏2−4𝑎𝑐= (−3)2−4 × 2 × (−1) = 17，
𝑦=
3± 17
2×2 ，
所以𝑦1 =
3+ 17
4
，𝑦2 =
3−17
4
.
（3）解：∵3𝑥(𝑥−1) = 2−2𝑥，
∴3𝑥(𝑥−1) + 2(𝑥−1) = 0，
则(𝑥−1)(3𝑥+ 2) = 0，
∴𝑥−1 = 0或3𝑥+ 2 = 0，
解得𝑥1 = 1，𝑥2 = −
2
3．
（4）∵2𝑥2−𝑥−1 = 0，
∴𝑥2−
1
2𝑥=
1
2，
则𝑥2−
1
2𝑥+
1
16 =
1
2 +
1
16，即𝑥−
1
4
2
=
9
16
∴𝑥−
1
4 =±
3
4 ，
即 𝑥1 = 1,𝑥2 = −
1
2．
【点睛】本题考查了一元二次方程的解法，熟悉配方法，公式法，因式分解法是解题的关键．
69．（24-25 九年级上·甘肃兰州·期中）用指定方法解下列方程
(1)用公式法解方程：𝑥²−3𝑥−4 = 0．
(2)用配方法解方程：3𝑥2−2𝑥−1 = 0
【答案】(1)𝑥1 = 4，𝑥2 = −1
(2)𝑥1 = 1，𝑥2 = −
1
3
【分析】本题考查解一元二次方程，熟练掌握解一元二次方程的方法：公式法与配方法是解题的关键．
（1）根据公式法的步骤求解即可；
（2）根据配方法的步骤求解即可．
【详解】（1）解：𝑥²−3𝑥−4 = 0．
𝑎= 1,𝑏= −3,𝑐= −4，
∴Δ = 𝑏2−4𝑎𝑐= (−3)2−4 × 1 × (−4) = 25，
∴𝑥=
3± 25
2
，
∴𝑥1 = 4，𝑥2 = −1；
（2）解：3𝑥2−2𝑥−1 = 0，
3𝑥2−2𝑥= 1，
𝑥2−
2
3𝑥=
1
3，
𝑥2−
2
3𝑥+
1
3
2
=
1
3 +
1
3
2
，
𝑥−
1
3
2
=
4
9，
𝑥−
1
3 =±
2
3，
∴𝑥1 = 1，𝑥2 = −
1
3．
70．请用指定方法解下列方程：
(1)公式法：𝑥2 +𝑥−12 = 0；
(2)因式分解法：4𝑥2−144 = 0．
【答案】(1)𝑥1 = 3,𝑥2 = −4
(2)𝑥1 = 6,𝑥2 = −6
【分析】（1）根据公式法求解即可；
（2）先提取公因式4，再利用平方差公式求解．
【详解】（1）方程𝑥2 +𝑥−12 = 0中，𝑎= 1,𝑏= 1,𝑐= −12,Δ = 12−4 × 1 × (−12) = 49，
∴𝑥=
−1± 49
2
=
−1±7
2 ，
∴𝑥1 = 3,𝑥2 = −4；
（2）方程4𝑥2−144 = 0可变形为：4(𝑥2−36) = 0，
即4(𝑥−6)(𝑥+ 6) = 0，
∴𝑥−6 = 0或𝑥+ 6 = 0，
∴𝑥1 = 6,𝑥2 = −6．
【点睛】本题考查了一元二次方程的解法，属于基础题目，熟练掌握公式法和因式分解法解方程的方法是
解题的关键．
【题型3 换元破解复合方程】
71．（25-26 八年级下·江苏苏州·期中）解方程：
𝑥+1
𝑥2 −
2𝑥2
𝑥+1 = 1．
【答案】𝑥1 = −
1
2，𝑥2 = 1
【分析】设
𝑥+1
𝑥2 = 𝑛，则原方程可化为𝑛−
2
𝑛= 1，把方程𝑛−
2
𝑛= 1化为整式方程求出n 的值，进而得到关于x
的方程，解方程即可得到答案．
【详解】解：设
𝑥+1
𝑥2 = 𝑛，则原方程可化为𝑛−
2
𝑛= 1，
∴𝑛2−𝑛−2 = 0，
∴(𝑛+ 1)(𝑛−2) = 0，
解得𝑛1 = −1，𝑛2 = 2，
经检验，𝑛1 = −1，𝑛2 = 2都是方程𝑛−
2
𝑛= 1的解，
当𝑛= −1时，则
𝑥+1
𝑥2 = −1，
∴𝑥2 +𝑥+ 1 = 0，
此时Δ = 12−4 × 1 × 1 = −3 < 0，方程无实数根；
当𝑛= 2时，则
𝑥+1
𝑥2 = 2，
∴2𝑥2−𝑥−1 = 0，
∴(2𝑥+ 1)(𝑥−1) = 0，
解得𝑥= −
1
2或𝑥= 1，
经检验，𝑥= −
1
2和𝑥= 1都是原方程
𝑥+1
𝑥2 = 2的解；
综上所述，原方程的解为𝑥1 = −
1
2，𝑥2 = 1．
72．（25-26 八年级上·上海·期中）
𝑥2
3 +
12
𝑥2−
5
6𝑥+
5
𝑥= 6．
【答案】
𝑥1 =
−3+ 105
4
，𝑥2 =
−3−105
4
，𝑥3 = 2 +
10，𝑥4 = 2−10 ．
【分析】本题主要考查了用换元法解方程，首先把方程整理成：2 𝑥−
6
𝑥
2
−5 𝑥−
6
𝑥−12 = 0，设𝑦= 𝑥−
6
𝑥，
则原方程可以转化为：2𝑦2−5𝑦−12 = 0，解一元二次方程求出𝑦的值，根据𝑦的值得到关于𝑥的分式方程，继
续解分式方程即可求出原方程的解．
【详解】解：
𝑥2
3 +
12
𝑥2−
5
6𝑥+
5
𝑥= 6，
分组可得：
1
3 𝑥2 +
36
𝑥2 −5
𝑥
6 −
1
𝑥= 6，
方程两边同时乘以6可得：2 𝑥2 +
36
𝑥2 −5 𝑥−
6
𝑥= 36，
整理得：2
𝑥−
6
𝑥
2
+ 12 −5 𝑥−
6
𝑥−36 = 0，
可得：2 𝑥−
6
𝑥
2
−5 𝑥−
6
𝑥−12 = 0，
设𝑦= 𝑥−
6
𝑥，
可得：2𝑦2−5𝑦−12 = 0，
分解因式可得：(2𝑦+ 3)(𝑦−4) = 0，
解得：𝑦1 = −
3
2，𝑦2 = 4，
当𝑦= −
3
2时，
可得：𝑥−
6
𝑥= −
3
2，
整理可得：2𝑥2 +3𝑥−12 = 0，
其中𝛥= 𝑏2−4𝑎𝑐= 32 +4 × 2 × 12 = 105 > 0，
∴方程有两个不相等的实数根，
∴𝑥=
−𝑏± 𝑏2−4𝑎𝑐
2𝑎
=
−3± 105
4
，
解得：𝑥1 =
−3+ 105
4
，𝑥2 =
−3−105
4
，
经检验：𝑥1 =
−3+ 105
4
，𝑥2 =
−3−105
4
均为原分式方程的解；
当𝑦= 4时，
可得：𝑥−
6
𝑥= 4，
整理可得：𝑥2−4𝑥−6 = 0，
其中𝛥= 𝑏2−4𝑎𝑐= (−4)2−4 × 1 × (−6) = 40 > 0，
∴方程有两个不相等的实数根，
∴𝑥=
−𝑏± 𝑏2−4𝑎𝑐
2𝑎
=
4± 40
2
= 2 ±
10，
解得：𝑥3 = 2 +
10，𝑥4 = 2−10 ，
经检验：𝑥3 = 2 +
10，𝑥4 = 2−10 均为原分式方程的解；
综上所述，原分式方程的解为：𝑥1 =
−3+ 105
4
，𝑥2 =
−3−105
4
，𝑥3 = 2 +
10，𝑥4 = 2−10 ．
73．（24-25 九年级上·江苏南通·自主招生）解下列方程：
𝑥2+3𝑥
𝑥2+𝑥−4 +
𝑥2+𝑥−4
2𝑥2+6𝑥=
3
2．
【答案】𝑥1 = −4，𝑥2 = −1，𝑥3 = −2
【分析】本题考查解一元二次方程和分式方程，熟练掌握换元法和整体思想是解题关键．
设
𝑥2+3𝑥
𝑥2+𝑥−4 = 𝑦，换元后将原方程转化为关于𝑦的一元二次方程，求出𝑦的值后，进一步解关于x 的方程，检验
后得出结果．
【详解】解：设
𝑥2+3𝑥
𝑥2+𝑥−4 = 𝑦，则
𝑥2+𝑥−4
2𝑥2+6𝑥=
1
2𝑦，原方程转化为：𝑦+
1
2𝑦=
3
2，
化简，得2𝑦2−3𝑦+ 1 = 0，
因式分解，得(2𝑦−1)(𝑦−1) = 0，
解得，𝑦1 =
1
2，𝑦2 = 1，
当𝑦=
1
2时，
𝑥2+3𝑥
𝑥2+𝑥−4 =
1
2，
化简，得𝑥2 +5𝑥+ 4 = 0，
因式分解，得(𝑥+ 1)(𝑥+ 4) = 0，
解得，𝑥1 = −4，𝑥2 = −1；
当𝑦= 1时，
𝑥2+3𝑥
𝑥2+𝑥−4 = 1，
化简，得2𝑥= −4，
解得，𝑥3 = −2；
经检验，𝑥1 = −4，𝑥2 = −1，𝑥3 = −2都是原方程的解，
∴方程的解为𝑥1 = −4，𝑥2 = −1，𝑥3 = −2．
74．解方程：
𝑥2
𝑥+2 +
2𝑥+4
𝑥2
= 3；
【答案𝑥1=−1；𝑥2=2；𝑥3 = 1 +
5；𝑥4 = 1−5
【分析】该题主要考查了换元思想解方程，一元二次方程的解答，分式方程的解答，解题的关键是运用换
元法进行整体代换；
设
𝑥2
𝑥+2 = 𝑡(𝑡≠0)，将原方程化为𝑡2−3𝑡+ 2 = 0，解得𝑡= 2或𝑡= 1，再分别代入
𝑥2
𝑥+2 = 𝑡求解分式方程的解即
可；
【详解】设
𝑥2
𝑥+2 = 𝑡(𝑡≠0)，
∴原方程化为𝑡+
2
𝑡= 3，
∴ 𝑡2−3𝑡+ 2 = 0，
解得𝑡= 2或𝑡= 1，
当𝑡= 1时，
𝑥2
𝑥+2 = 1，
解得𝑥= 2或𝑥=−1，
经检验，𝑥=−1或𝑥= 2是方程的解；
当𝑡= 2时，
𝑥2
𝑥+2 = 2，
解得𝑥= 1 +
5或𝑥= 1−5，
经检验，𝑥= 1 +
5或𝑥= 1−5是方程的解．
∴原方程的解为：𝑥1=−1；𝑥2=2；𝑥3 = 1 +
5；𝑥4 = 1−5．
75．（2026 八年级下·浙江绍兴·专题练习）解方程：
𝑥
𝑥−2
2
−5 ⋅
𝑥
𝑥−2 +6 = 0．
【答案】𝑥1 = 3，𝑥2 = 4
【分析】设𝑦=
𝑥
𝑥−2，则原方程可转化为𝑦2−5𝑦+ 6 = 0，求出𝑦1 = 2,𝑦2 = 3，即可得出关于x 的方程，然后
解关于x 的分式方程，即可求解．
【详解】解：
𝑥
𝑥−2
2
−5 ⋅
𝑥
𝑥−2 +6 = 0，
设𝑦=
𝑥
𝑥−2，则原方程可转化为𝑦2−5𝑦+ 6 = 0，
解得：𝑦1 = 2,𝑦2 = 3，
当𝑦1 = 2时，
𝑥
𝑥−2 = 2，
解得：𝑥= 4，
检验：当𝑥= 4时，𝑥−2 ≠0，
∴𝑥= 4是原方程的解；
当𝑦2 = 3时，
𝑥
𝑥−2 = 3，
解得：𝑥= 3，
检验：当𝑥= 3时，𝑥−2 ≠0，
∴𝑥= 3是原方程的解；
综上所述，原方程的解是𝑥1 = 3，𝑥2 = 4．
76．（24-25 九年级上·广东江门·月考）解方程：
𝑥2−1
2𝑥−
6𝑥
𝑥2−1 +2 = 0．
【答案】(1)𝑦2 +4𝑦−12 = 0；𝑥1 = −1，𝑥2 = 2
(2)𝑥1 = 1 +
2，𝑥2 = 1−2，𝑥3 = −3 +
10，𝑥4 = −3−10
【分析】本题主要考查了解一元二次方程，解分式方程，换元法解方程，
利用换元法，把原方程转化为𝑦−
3
𝑦+2 = 0，解该分式方程后，再得到原方程的解．
【详解】
𝑥2−1
2𝑥−
6𝑥
𝑥2−1 +2 = 0，
设
𝑥2−1
2𝑥= 𝑦，则
6𝑥
𝑥2−1 =
3
𝑦
∴原方程可变形为：𝑦−
3
𝑦+2 = 0，
即𝑦2 +2𝑦−3 = 0，
解得𝑦1 = 1,𝑦2 = −3，
当𝑦= 1时，
𝑥2−1
2𝑥= 1，
解得𝑥1 = 1 +
2,𝑥2 = 1−2；
当𝑦= −3时，
𝑥2−1
2𝑥= −3，
解得𝑥1 = −3 +
10,𝑥2 = −3−10，
经检验，所有解均是方程的根，
∴𝑥1 = 1 +
2,𝑥2 = 1−2，𝑥3 = −3 +
10,𝑥4 = −3−10.
【题型4 解含绝对值的一元二次方程】
77．解方程：(𝑥−1)2−5|𝑥−1|−6 = 0．
【答案】𝑥1 = 7，𝑥2 = −5
【分析】本题考查了换元法解一元二次方程、绝对值的性质及一元二次方程的解法，解题的关键是通过换
元法将含绝对值的复杂方程转化为普通的一元二次方程，再结合绝对值的非负性对解进行取舍．
先根据(𝑥−1)2 = |𝑥−1|2，将原方程(𝑥−1)2−5|𝑥−1|−6 = 0化为|𝑥−1|2−5|𝑥−1|−6 = 0；令𝑦= |𝑥−1|，将方
程转化为关于𝑦的一元二次方程𝑦2−5𝑦−6 = 0，求解得𝑦1 = 6，𝑦2 = −1；根据绝对值的非负性，舍去
|𝑥−1| = −1；解|𝑥−1| = 6，得𝑥−1 =± 6，进而求出𝑥1 = 7，𝑥2 = −5．
【详解】解：原方程化为|𝑥−1|2−5|𝑥−1|−6 = 0，
令𝑦= |𝑥−1|，原方程化成𝑦2−5𝑦−6 = 0，
解得：𝑦1 = 6，𝑦2 = −1，
当|𝑥−1| = 6，
𝑥−1 =± 6，
解得：𝑥1 = 7，𝑥2 = −5；
当|𝑥−1| = −1时（舍去）．
则原方程的解是𝑥1 = 7，𝑥2 = −5．
78．（24-25 九年级上·四川达州·月考）解下列方程：
(1)𝑥2 =
2|𝑥|；
(2)𝑥2−6𝑥−3|𝑥−3|−1 = 0．
【答案】(1)𝑥1 = 0，𝑥2 = −2，𝑥3 =
2．
(2)𝑥1 = 8，𝑥2 = −2
【分析】本题考查的是利用换元法解一元二次方程，掌握解法步骤是关键；
（1）把原方程化为：𝑥2−2|𝑥| = 0，再按照“范例”中的方法解答即可；
（2）把原方程化为：|𝑥−3|2−3|𝑥−3|−10 = 0，再按照“范例”中的方法解答即可．
【详解】（1）解：∵𝑥2 =
2|𝑥|，
∴𝑥2−2|𝑥| = 0，
设|𝑥| = 𝑦，则𝑦2−2𝑦= 0．
解得：𝑦1 = 0，𝑦2 =
2．
当𝑦= 0时，|𝑥| = 0，
∴𝑥= 0；
当𝑦=
2时，
∴𝑥=±
2；
∴原方程的解是：𝑥1 = 0，𝑥2 = −2，𝑥3 =
2．
（2）解：∵𝑥2−6𝑥−3|𝑥−3|−1 = 0，
∴(𝑥−3)2−3|𝑥−3|−10 = 0，
即|𝑥−3|2−3|𝑥−3|−10 = 0．
设|𝑥−3| = 𝑦，则𝑦2−3𝑦−10 = 0，
解得：𝑦1 = 5，𝑦2 = −2．
当𝑦1 = 5时，即|𝑥−3| = 5，
∴𝑥= 8或𝑥= −2．
当𝑦2 = −2时，即|𝑥−3| = −2，
∴方程无解．
∴原方程的解是：𝑥1 = 8，𝑥2 = −2．
79．（24-25 九年级上·江苏南京·月考）解方程𝑥2−3|𝑥| = 18
【答案】𝑥1 = −6，𝑥2 = 6．
【分析】本题考查了绝对值的意义，换元法解一元二次方程，当所给方程的指数较大，又有倍数关系时，
可考虑用换元法降次求解，掌握相关知识是解题的关键．
原方程可化为|𝑥|2−3|𝑥|−18 = 0，设|𝑥| = 𝑦，原方程可化为𝑦2−3𝑦−18 = 0，求出方程的解，再求出𝑥即可．
【详解】解：原方程可化为|𝑥|2−3|𝑥|−18 = 0，
设|𝑥| = 𝑦，原方程可化为𝑦2−3𝑦−18 = 0，
解得𝑦1 = 6，𝑦2 = −3，
由|𝑥| = 6，得𝑥1 = −6，𝑥2 = 6，
由|𝑥| = −3，此时方程无解，
∴原方程的解为𝑥1 = −6，𝑥2 = 6．
80．（24-25 九年级上·河南信阳·月考）阅读下面的材料，解答问题，
材料：解含绝对值的方程：𝑥2−3|𝑥|−10 = 0．
解：分两种情况：
①当𝑥≥0时，原方程化为：𝑥2−3𝑥−10 = 0解得𝑥1 = 5，𝑥2 = −2（舍去）；
②当𝑥< 0时，原方程化为𝑥2 +3𝑥−10 = 0，解得____________
综上所述，原方程的解是______
请参照上述方法解方程：𝑥2 +2|𝑥+ 2|−4 = 0．
【答案】𝑥1 = −5，𝑥2 = 2（舍去）；𝑥1 = 5，𝑥2 = −5；𝑥1 = 0，𝑥2 = −2
【分析】本题考查了解一元二次方程，分类讨论是解题的关键．
根据题意分两种情况讨论，化简绝对值，然后解一元二次方程即可求解．
【详解】解：②当𝑥< 0时，原方程化为𝑥2 +3𝑥−10 = 0，
(𝑥−2) (𝑥+ 5) = 0
𝑥−2 = 0或𝑥+ 5 = 0
解得𝑥1 = −5，𝑥2 = 2（舍去）；
综上所述，原方程的解是𝑥1 = 5，𝑥2 = −5；
𝑥2 + 2|𝑥+ 2|−4 = 0
①当𝑥+ 2 ≥0时，即𝑥≥−2时，原方程化为：𝑥2 +2(𝑥+ 2)−4 = 0
∴𝑥2 +2𝑥= 0
𝑥(𝑥+ 2) = 0
𝑥= 0或𝑥+ 2 = 0
解得𝑥1 = 0，𝑥2 = −2（舍去）；
②当𝑥+ 2 < 0时，即𝑥< −2时，原方程化为𝑥2−2(𝑥+ 2)−4 = 0
𝑥2−2𝑥−8 = 0
𝑥2−2𝑥= 8
𝑥2−2𝑥+ 1 = 8 + 1
(𝑥−1)2 = 9
𝑥−1 =± 3
解得𝑥1 = −2，𝑥2 = 4（舍去）；
综上所述，原方程的解是𝑥1 = 0，𝑥2 = −2．
81．（25-26 九年级上·重庆万州·月考）解下列方程：
(1)𝑥2−2|𝑥| = 0；
(2)𝑥2−2𝑥−4|𝑥−1|−4 = 0．
【答案】(1)𝑥= −2或𝑥= 0或𝑥= 2
(2)𝑥= −4或𝑥= 6
【分析】本题主要考查了解一元二次方程，正确理解题意是解题的关键．
（1）分𝑥≥0和𝑥< 0两种情况，分别去绝对值，然后解方程即可；
（2）分𝑥≥1和𝑥< 1两种情况，分别去绝对值，然后解方程即可．
【详解】（1）解：当𝑥≥0时，原方程为𝑥2−2𝑥= 0，
∴𝑥(𝑥−2) = 0，
∴𝑥= 0或𝑥−2 = 0，
解得𝑥= 0或𝑥= 2；
当𝑥< 0时，原方程为𝑥2 +2𝑥= 0，
∴𝑥(𝑥+ 2) = 0，
∴𝑥= 0或𝑥+ 2 = 0，
解得𝑥= 0或𝑥= −2；
综上所述，原方程的解为𝑥= −2或𝑥= 0或𝑥= 2；
（2）解：当𝑥≥1时，原方程为𝑥2−2𝑥−4𝑥+ 4−4 = 0，即𝑥2−6𝑥= 0，
∴𝑥(𝑥−6) = 0，
∴𝑥= 0或𝑥−6 = 0，
解得𝑥= 6或𝑥= 0（舍去）；
当𝑥< 1时，原方程为𝑥2−2𝑥+ 4𝑥−4−4 = 0，即𝑥2 +2𝑥−8 = 0，
∴(𝑥+ 4)(𝑥−2) = 0，
∴𝑥+ 4 = 0或𝑥−2 = 0，
解得𝑥= −4或𝑥= 2（舍去）；
综上所述，原方程的解为𝑥= −4或𝑥= 6．
82．解方程𝑥2−2|2𝑥+3|+9=0．
【答案】𝑥1=1,𝑥2=3
【分析】仿照例题，分𝑥≥−
3
2与𝑥<−
3
2，化简绝对值得到一元二次方程，解一元二次方程即可求解．
【详解】当2𝑥+3≥0，即𝑥≥−
3
2时，
原方程可化为：𝑥2−2(2𝑥+3)+9=0
整理得：𝑥2−4𝑥+3=0
解得：𝑥1=1,𝑥2=3
当2𝑥+3<0，即𝑥<−
3
2时，
原方程可化为：𝑥2+2(2𝑥+3)+9=0
整理得𝑥2+4𝑥+15=0
∵Δ=42−4×1×15=−44<0,
∴此方程无实数解，
综上所述，原方程的解为：𝑥1=1,𝑥2=3
【点睛】本题考查了解一元二次方程，分类讨论化简绝对值是解题的关键．
【题型5 解含参方程】
83．（25-26 八年级下·上海·期中）解关于𝑥的方程：𝑎𝑥2 +3 = 1(𝑎≠0)．
【答案】当𝑎< 0时，方程的解为𝑥1 = −
−2𝑎
𝑎，𝑥2 =
−2𝑎
𝑎；当𝑎> 0时，方程无实数根
【分析】根据解方程的步骤求解，注意求解时，要分𝑎< 0或𝑎> 0两种情况讨论即可．
【详解】解：∵ 𝑎𝑥2 +3 = 1(𝑎≠0)，
∴ 𝑎𝑥2 = −2，
∴ 𝑥2 = −
2
𝑎，
∴当𝑎< 0时，𝑥=±
−
2
𝑎，
∴ 𝑥1 = −
−2𝑎
𝑎，𝑥2 =
−2𝑎
𝑎；
当𝑎> 0时，方程无实数根，
综上，当𝑎< 0时，方程的解为𝑥1 = −
−2𝑎
𝑎，𝑥2 =
−2𝑎
𝑎；当𝑎> 0时，方程无实数根．
84．（24-25 八年级下·北京·期中）用适当的方法解下列关于𝑥的方程：
𝑥2−(𝑚+ 2)𝑥+ 𝑚+ 1 = 0
【答案】𝑥1 = 𝑚+ 1，𝑥2 = 1；
【详解】解：𝑥2−(𝑚+ 2)𝑥+ 𝑚+ 1 = 0，
分解因式得(𝑥−𝑚−1)(𝑥−1) = 0，
∴𝑥−𝑚−1 = 0或𝑥−1 = 0，
∴𝑥1 = 𝑚+ 1，𝑥2 = 1；
85．解下列关于x 的一元二次方程：
(1)𝑎𝑥2−2𝑎𝑥−3𝑎−4𝑥+ 12 = 0;
(2)𝑥2−2(𝑚+ 1)𝑥+ 𝑚2 +2𝑚+
3
4 = 0．
【答案】(1)𝑥1 = 3,𝑥2 =
4−𝑎
𝑎
(2)𝑥1 = 𝑚+
1
2,𝑥2 = 𝑚+
3
2
【分析】（1）先把原式整理得𝑎𝑥2−2(𝑎+ 2)𝑥−3(𝑎−4) = 0，再运用因式分解，(𝑥−3)[𝑎𝑥+ (𝑎−4)] = 0，
令每个因式为0，进行计算，即可作答．
（2）先把原式整理得𝑥2−2(𝑚+ 1)𝑥+ 𝑚+
1
2
𝑚+
3
2 = 0，再运用因式分解，𝑥−𝑚−
1
2
𝑥−𝑚−
3
2 = 0，
令每个因式为0，进行计算，即可作答．
本题考查了因式分解解一元二次方程，正确掌握相关性质内容是解题的关键．
【详解】（1）解：整理𝑎𝑥2−2𝑎𝑥−3𝑎−4𝑥+ 12 = 0，
得𝑎𝑥2−2(𝑎+ 2)𝑥−3(𝑎−4) = 0，
得(𝑥−3)[𝑎𝑥+ (𝑎−4)] = 0,
𝑥−3 = 0,𝑎𝑥+ (𝑎−4) = 0,
∴𝑥1 = 3,𝑥2 =
4−𝑎
𝑎；
（2）解：把𝑥2−2(𝑚+ 1)𝑥+ 𝑚2 +2𝑚+
3
4 = 0整理，
得𝑥2−2(𝑚+ 1)𝑥+ 𝑚+
1
2
𝑚+
3
2 = 0，
则𝑥−𝑚−
1
2
𝑥−𝑚−
3
2 = 0，
𝑥−𝑚−
1
2 = 0,𝑥−𝑚−
3
2 = 0，
解得𝑥1 = 𝑚+
1
2,𝑥2 = 𝑚+
3
2．
86．（24-25 八年级下·上海·期中）解关于x 的方程：7−𝑏𝑥2 = 𝑥2 +6(𝑏≠−1)．
【答案】当𝑏> −1时，𝑥=±
𝑏+1
𝑏+1 ，当𝑏< −1时，方程无实数根
【分析】本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、
因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键．
先变形，再利用直接开平方法求解可得．
【详解】解：7−𝑏𝑥2 = 𝑥2 +6(𝑏≠−1)，
整理得：(1 + 𝑏)𝑥2 = 7−6，即𝑥2 =
1
𝑏+1 𝑏≠−1,即𝑏+ 1 ≠0 ，
当𝑏> −1时，𝑥=±
𝑏+1
𝑏+1 ，
当𝑏< −1时，方程无实数根．
87．解关于x 的方程：𝑏𝑥2 +1 = 2𝑏𝑥2
【答案】𝑥=±
𝑏
𝑏
【分析】该题主要考查了解一元二次方程和二次根式的性质，解题的关键是掌握以上知识点．
整理方程后，根据直接开平方法求解即可．
【详解】解：𝑏𝑥2 +1 = 2𝑏𝑥2
∴𝑏𝑥2 = 1，
当𝑏≤0时，等式不成立；
当𝑏> 0时，𝑥2 =
1
𝑏，
∴𝑥=±
1
𝑏=±
𝑏
𝑏．
88．解关于x 的方程
(1)𝑥2−2𝑎𝑥−8𝑎2 = 0；
(2)𝑥2−4𝑏2 = 2𝑎𝑥−𝑎2；
(3)3𝑚2𝑥2−10𝑚𝑥+ 8 = 0；
(4)(𝑥+ 1)2 = 𝑚(𝑥2−1)(𝑚≠1)．
【答案】(1)𝑥1 = −2𝑎，𝑥2 = 4𝑎
(2)𝑥1 = 𝑎+ 2𝑏，𝑥2 = 𝑎−2𝑏
(3)𝑥1 =
2
𝑚，𝑥2 =
4
3𝑚
(4)𝑥1 = −1，𝑥2 =
𝑚+1
𝑚−1
【分析】本题主要考查了解一元二次方程：
（1）先将方程左边分解因式，再解方程即可；
（2）先移项得到𝑥2−2𝑎𝑥+ 𝑎2 = 4𝑏2，再利用直接开平方的方法解方程即可；
（3）利用十字相乘法把方程左边分解因式，再解方程即可；
（4）先移项，再利用提公因式法把方程左边分解因式，最后解方程即可．
【详解】（1）解：∵𝑥2−2𝑎𝑥−8𝑎2 = 0，
∴(𝑥−4𝑎)(𝑥+ 2𝑎) = 0，
∴𝑥+ 2𝑎= 0或𝑥−4𝑎= 0，
解得𝑥1 = −2𝑎，𝑥2 = 4𝑎；
（2）解：∵𝑥2−4𝑏2 = 2𝑎𝑥−𝑎2，
∴𝑥2−2𝑎𝑥+ 𝑎2 = 4𝑏2，
∴(𝑥−𝑎)2 = 4𝑏2，
∴𝑥−𝑎=± 2𝑏，
解得𝑥1 = 𝑎+ 2𝑏，𝑥2 = 𝑎−2𝑏；
（3）解：∵3𝑚2𝑥2−10𝑚𝑥+ 8 = 0，
∴(3𝑚𝑥−4)(𝑚𝑥−2) = 0，
∴3𝑚𝑥−4 = 0或𝑚𝑥−2 = 0，
解得𝑥1 =
2
𝑚，𝑥2 =
4
3𝑚；
（4）解：∵(𝑥+ 1)2 = 𝑚(𝑥2−1)(𝑚≠1)，
∴(𝑥+ 1)2−𝑚(𝑥+ 1)(𝑥−1) = 0，，
∴(𝑥+ 1)−𝑚(𝑥−1) (𝑥+ 1) = 0，
∴𝑥+ 1−𝑚𝑥+ 𝑚= 0或𝑥+ 1 = 0，
解得𝑥1 = −1，𝑥2 =
𝑚+1
𝑚−1．
【题型6 降次化解高次方程】
89．解方程(𝑥2 + 1)2−13𝑥2 +23 = 0；
【答案】(1)B
(2)𝑥1 =
3，𝑥2 = −3，𝑥3 = 2 2，𝑥4 = −2 2
【分析】本题主要考查了因式分解法和换元法解一元二次方程，换元的实质是转化，关键是构造元和设元．
设𝑥2 +1 = 𝑦，则原方程化为𝑦2−13𝑦+ 36 = 0，求出y，再求出x 即可．
【详解】解：原方程变形为(𝑥2 + 1)2−13(𝑥2 + 1) +36 = 0
设𝑥2 +1 = 𝑦，那么(𝑥2 + 1)2 = 𝑦2，于是原方程可变为𝑦2−13𝑦+ 36 = 0，
解得𝑦1 = 4，𝑦2 = 9．
当𝑦1 = 4时，𝑥2 +1 = 4，
∴𝑥=±
3；
当𝑦2 = 9时，𝑥2 +1 = 9，
∴𝑥=± 2 2；
∴原方程有四个根𝑥1 =
3，𝑥2 = −3，𝑥3 = 2 2，𝑥4 = −2 2．
90．解下列方程：
(1)𝑥4−𝑥2−12 = 0；
(2)(𝑥2−1)2−2(𝑥2−1) +1 = 0；
(3)(𝑥2 + 6𝑥+ 1)(𝑥2 + 6𝑥+ 7) = 7．
【答案】(1)𝑥1 = 2，𝑥2 = −2
(2)𝑥1 =
2，𝑥2 = −2
(3)−2，−4，0，−6
【分析】本题考查解一元二次方程，解题的关键是掌握换元法解一元二次方程，利用换元降次求解一元高
次方程．
（1）设𝑥2 = 𝑦，则原方程化为𝑦2−𝑦−12 = 0，进而求解；
（2）设𝑥2−1 = 𝑦，则原方程化为𝑦2−2𝑦+ 1 = 0，进而求解；
（3）设𝑥2 +6𝑥+ 1 = 𝑦，则原方程化为𝑦2 +6𝑦−7 = 0，进而求解；
【详解】（1）解：设𝑥2 = 𝑦，则原方程化为𝑦2−𝑦−12 = 0，
解得𝑦1 = −3，𝑦2 = 4，
当𝑦1 = −3时，𝑥2 = −3无意义，舍去；
当𝑦2 = 4时，𝑥2 = 4，解得𝑥=± 2；
所以原方程的解为𝑥1 = 2，𝑥2 = −2；
（2）设𝑥2−1 = 𝑦，则原方程化为𝑦2−2𝑦+ 1 = 0，
解得𝑦1 = 𝑦2 = 1，
当𝑦1 = 𝑦2 = 1时，𝑥2−1 = 1，𝑥2 = 2，𝑥1 =
2，𝑥2 = −2；
所以原方程的解为𝑥1 =
2，𝑥2 = −2；
（3）(𝑥2 + 6𝑥+ 1)(𝑥2 + 6𝑥+ 7) = 7.
设𝑥2 +6𝑥+ 1 = 𝑦，则原方程化为𝑦2 +6𝑦−7 = 0，
解得𝑦1 = −7，𝑦2 = 1
当𝑦1 = −7时，𝑥2 +6𝑥+ 1 = −7，𝑥2 +6𝑥+ 8 = 0，
解得：𝑥1 = −2，𝑥2 = −4；
当𝑦2 = 1时，𝑥2 +6𝑥+ 1 = 1，
解得𝑥1 = 0，𝑥2 = −6；
所以原方程的解为−2，−4，0，−6
91．（24-25 九年级上·河南驻马店·月考）（25-26 八年级上·浙江·寒假作业）解方程：
𝑥2+2𝑥
2
2
+
1
2(𝑥2 + 2𝑥)
−2 = 0
【答案】𝑥1= 3−1，𝑥2 = −3−1
【分析】本题考查了换元法解一元二次方程，解题的关键是熟练掌握整体换元的思想．
设𝑥2 +2𝑥= 𝑡，则原方程可化为
𝑡
2
2
+
1
2𝑡−2 = 0，先求出𝑡，再解关于𝑥的一元二次方程即可．
【详解】解：设𝑥2 +2𝑥= 𝑡，则原方程可化为
𝑡
2
2
+
1
2𝑡−2 = 0
𝑡
2
2
+ 1
2 𝑡−2 = 0
𝑡2
4 +
1
2𝑡= 2
𝑡2 +2𝑡= 8
𝑡2 +2𝑡+ 1 = 8 + 1
(𝑡+ 1)2 = 9
𝑡+ 1 =± 3
解得：𝑡1=2，𝑡2 = −4
①当𝑡= 𝑥2 +2𝑥= 2时，(𝑥+ 1)2 = 3，解得：𝑥1= 3−1，𝑥2 = −3−1；
②当𝑡= 𝑥2 +2𝑥= −4时，(𝑥+ 1)2 = −3 < 0，所以方程无解。
综上所述，原方程的根为：𝑥1= 3−1，𝑥2 = −3−1．
92．（25-26 八年级上·上海·期中）解方程：𝑥2𝑛−3𝑥𝑛−10 = 0（𝑛为正整数）．
【答案】当𝑛为偶数时，𝑥=±
𝑛5；当𝑛为奇数时，𝑥= −
𝑛2或𝑥=
𝑛5
【分析】本题考查了解一元二次方程，设𝑦= 𝑥𝑛，则原方程可化为𝑦2−3𝑦−10 = 0，利用因式分解法求出方
程的解，进而分𝑛为偶数和奇数两种情况解答即可，掌握换元法是解题的关键．
【详解】解：设𝑦= 𝑥𝑛，
则原方程可化为𝑦2−3𝑦−10 = 0，
∴(𝑦+ 2)(𝑦−5) = 0，
∴𝑦+ 2 = 0或𝑦−5 = 0，
∴𝑦= −2或𝑦= 5，
即𝑥𝑛= −2或𝑥𝑛= 5，
当𝑛为偶数时，𝑥𝑛≥0，此时仅有𝑥𝑛= 5，
∴𝑥=±
𝑛5；
当𝑛为奇数时，𝑥𝑛= −2或𝑥𝑛= 5，
∴𝑥= −
𝑛2或𝑥=
𝑛5；
综上，当𝑛为偶数时，𝑥=±
𝑛5；当𝑛为奇数时，𝑥= −
𝑛2或𝑥=
𝑛5．
93．（25-26 九年级上·江苏扬州·月考）解方程(𝑥−1)4−5(𝑥−1)2−6 = 0．
【答案】𝑥1 = 1 +
6，𝑥2 = 1−6
【分析】设(𝑥−1)2 = 𝑦，则原方程化为一元二次方程：𝑦2−5𝑦−6 = 0，先解出𝑦的值，再进一步解出𝑥的值．
【详解】解：设(𝑥−1)2 = 𝑦，则原方程可化为：𝑦2−5𝑦−6 = 0，
解得：𝑦1 = 6，𝑦2 = −1，
（1）当𝑦= 6时，(𝑥−1)2 = 6，解得𝑥1 = 1 +
6，𝑥2 = 1−6，
（2）当𝑦= −1时，(𝑥−1)2 = −1，此方程无实数根，
综合（1）（2），可得原方程的解是：𝑥1 = 1 +
6，𝑥2 = 1−6．
94．（25-26 八年级下·安徽淮北·月考）(2𝑦−3)4−18(2𝑦−3)2 +81 = 0．
【答案】𝑦1 = 3，𝑦2 = 0
【分析】设(2𝑦−3)2 = 𝑛，则原方程可化为𝑛2−18𝑛+ 81 = 0，解方程，即可求解．
【详解】解：设(2𝑦−3)2 = 𝑛，则原方程可化为𝑛2−18𝑛+ 81 = 0，
解得𝑛1 = 𝑛2 = 9．
∴(2𝑦−3)2 = 9，
即2𝑦−3 = 3或2𝑦−3 = −3，
解得𝑦1 = 3，𝑦2 = 0．
【题型7 升次突破无理方程】
95．（25-26 八年级下·上海·月考）解方程：4𝑥2 +𝑥+ 2𝑥3𝑥2 + 𝑥= 9
【答案】𝑥1 = −
9
2，𝑥2 = 1
【分析】根据2𝑥3𝑥2 + 𝑥可看成是2 ⋅𝑥⋅
3𝑥2 + 𝑥，对方程左边进行变形后利用完全平方公式即可求解．
【详解】解：原方程变形为，(3𝑥2 + 𝑥) +2𝑥3𝑥2 + 𝑥+ 𝑥2 = 9，
∴
3𝑥2 + 𝑥
2
+2𝑥3𝑥2 + 𝑥+ 𝑥2 = 9，
∴
3𝑥2 + 𝑥+ 𝑥
2
= 9，
∴3𝑥2 + 𝑥+𝑥= 3或3𝑥2 + 𝑥+𝑥= −3，
当3𝑥2 + 𝑥+𝑥= 3时，即3𝑥2 + 𝑥= 3−𝑥，
两边同时平方得，3𝑥2 +𝑥= 9−6𝑥+ 𝑥2，
移项、合并同类项得，2𝑥2 +7𝑥−9 = 0，
因式分解得，(2𝑥+ 9)(𝑥−1) = 0，
∴2𝑥+ 9 = 0或𝑥−1 = 0，
∴𝑥1 = −
9
2，𝑥2 = 1，
检验：∵3𝑥2 + 𝑥= 3−𝑥，
∴3−𝑥≥0，
当𝑥= −
9
2时，3−𝑥= 3−−
9
2 = 3 +
9
2 =
15
2 > 0，符合题意，
当𝑥= 1时，3−𝑥= 3−1 = 2 > 0，符合题意，
∴𝑥1 = −
9
2，𝑥2 = 1是原方程的解；
当3𝑥2 + 𝑥+𝑥= −3时，即3𝑥2 + 𝑥= −3−𝑥，
两边同时平方得，3𝑥2 +𝑥= 9 + 6𝑥+ 𝑥2，
移项、合并同类项得，2𝑥2−5𝑥−9 = 0，
∵𝑎= 2，𝑏= −5，𝑐= −9，
∴𝑏2−4𝑎𝑐= (−5)2−4 × 2 × (−9) = 97，
∴𝑥=
5± 97
4
，
检验：∵3𝑥2 + 𝑥= −3−𝑥，
∴−3−𝑥≥0，
当𝑥=
5+ 97
4
时，−3−𝑥= −3−
5+ 97
4
=
−17−97
4
< 0，不符合题意，
当𝑥=
5−97
4
时，−3−𝑥= −3−
5−97
4
=
−17+ 97
4
< 0，不符合题意，
∴𝑥=
5± 97
4
是方程的增根；
综上所述，方程的解为𝑥1 = −
9
2，𝑥2 = 1．
96．（25-26 八年级下·上海·月考）解方程：2𝑥+ 1 +
𝑥−3 = 2 𝑥
【答案】𝑥= 4
【分析】先将方程两边同时平方得到2𝑥+ 1 + 2 (2𝑥+ 1)(𝑥−3) +𝑥−3 = 4𝑥，则2 (2𝑥+ 1)(𝑥−3) = 𝑥+ 2，
再同时平方得到一元二次方程4(2𝑥2−5𝑥−3) = (𝑥+ 2)2，解方程并检验即可．
【详解】解：2𝑥+ 1 +
𝑥−3 = 2 𝑥
两边平方得，2𝑥+ 1 + 2 (2𝑥+ 1)(𝑥−3) +𝑥−3 = 4𝑥
整理得，2 (2𝑥+ 1)(𝑥−3) = 𝑥+ 2
两边平方得，4(2𝑥2−5𝑥−3) = (𝑥+ 2)2
整理得，7𝑥2−24𝑥−16 = 0
解得𝑥1 = −
4
7，𝑥2 = 4，
经检验，𝑥= −
4
7是增根，
∴原方程的解为𝑥= 4．
97．（25-26 八年级上·上海浦东新·月考）解方程：2𝑥+ 4−𝑥+ 3 = 1．
【答案】𝑥= 6
【分析】本题考查无理方程的解法、解一元二次方程、解一元一次不等式组，关键在于通过平方去掉根号
是关键，同时考虑无理方程有意义．以及对计算结果进行检验．
先求出x 的取值范围，再对方程变形进行两次平方，然后解一元二次方程，再检验即可求解．
【详解】解：由题意，
2𝑥+ 4 ≥0
𝑥+ 3 ≥0
，
解得𝑥≥−2．
将2𝑥+ 4−𝑥+ 3 = 1变形，得：2𝑥+ 4 =
𝑥+ 3 +1，
将方程两边平方可得：2𝑥+ 4 = 𝑥+ 3 + 1 + 2 𝑥+ 3，即2 𝑥+ 3 = 𝑥，
再两边平方可得：4(𝑥+ 3) = 𝑥2．
整理得：𝑥2−4𝑥−12 = 0．
解得：𝑥= −2或𝑥= 6．
经检验：𝑥= −2是原方程的增根，𝑥= 6是无理方程的解．
故原方程的解为𝑥= 6．
98．解方程：4𝑥+ 1 = 2𝑥−1．
【答案】𝑥= 2
【分析】本题考查了无理方程的解法，解题的关键是通过平方将无理方程转化为整式方程，然后进行检验．
先对原无理方程两边平方，转化为整式方程求解，再对求得的解进行检验，舍去增根，得到原方程的根．
【详解】解：两边平方得：4𝑥+ 1 = (2𝑥−1)2，
整理，得4𝑥2−8𝑥= 0，
解得：𝑥1 = 0，𝑥2 = 2，
经检验，𝑥1 = 0是原方程的增根，𝑥2 = 2是方程的根，
所以，原方程的根是𝑥= 2．
99．解方程：2 𝑥2 + 5𝑥+ 1 = 2−15𝑥−3𝑥2
【答案】𝑥1 = 0,𝑥2 = −5
【分析】本题主要考查无理方程，将原方程整理为3(𝑥2 + 5𝑥+ 1) +2 𝑥2 + 5𝑥+ 1−5 = 0，设
𝑥2 + 5𝑥+ 1 = 𝑦，则原方程可变形为3𝑦2 +2𝑦−5 = 0，求得𝑦1 = 1，𝑦2 = −
5
3（舍去），再解方程
𝑥2 + 5𝑥+ 1 = 1，可得𝑥1 = 0,𝑥2 = −5．
【详解】解：2 𝑥2 + 5𝑥+ 1 = 2−15𝑥−3𝑥2，
2 𝑥2 + 5𝑥+ 1 = 2−3(𝑥2 + 5𝑥)，
2 𝑥2 + 5𝑥+ 1 = −3(𝑥2 + 5𝑥+ 1) + 5
3(𝑥2 + 5𝑥+ 1) +2 𝑥2 + 5𝑥+ 1−5 = 0，
设𝑥2 + 5𝑥+ 1 = 𝑦，则原方程可变形为3𝑦2 +2𝑦−5 = 0，
∴𝑦=
−2± 22−4×3×(−5)
2×3
=
−2±8
6 ，
∴𝑦1 = 1，𝑦2 = −
5
3，
∵𝑥2 + 5𝑥+ 1 ≥0，
∴𝑦= 1，
∴𝑥2 + 5𝑥+ 1 = 1，
∴𝑥2 +5𝑥+ 1 = 1，
解得𝑥1 = 0,𝑥2 = −5，
经检验，𝑥1 = 0,𝑥2 = −5是原方程的解，
∴原方程的解为𝑥1 = 0,𝑥2 = −5．
100．（24-25 八年级下·浙江宁波·月考）解方程：𝑥2 + 9 +
𝑥2−14𝑥+ 58 =
85．
【答案】𝑥=
7
2
【分析】本题主要考查解无理方程，方程移项得𝑥2−14𝑥+ 58 =
85−𝑥2 + 9，两边平方得
14𝑥+ 36 = 2 85(𝑥2 + 9)，平方整理得4𝑥2−28𝑥+ 49 = 0，解得，𝑥1 = 𝑥2 =
7
2，经检验，𝑥=
7
2是方程的解．
【详解】解：𝑥2 + 9 +
𝑥2−14𝑥+ 58 =
85，
移项得，𝑥2−14𝑥+ 58 =
85−𝑥2 + 9，
方程两边平方，整理得，14𝑥+ 36 = 2 85(𝑥2 + 9)，
平方整理得4𝑥2−28𝑥+ 49 = 0，
解得𝑥1 = 𝑥2 =
7
2，
经检验得，𝑥=
7
2是方程的解，
所以，方程的解为𝑥=
7
2．
