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专题25.3 实际问题与一元二次方程（举一反三讲义）
【新教材人教版】
【题型1 数字问题】................................................................................................................................................1
【题型2 单循环与双循环问题】............................................................................................................................2
【题型3 传播问题】................................................................................................................................................3
【题型4 增长率问题】............................................................................................................................................4
【题型5 销售利润问题】........................................................................................................................................4
【题型6 边框与甬通道问题】................................................................................................................................6
【题型7 围墙类问题】............................................................................................................................................8
【题型8 工程问题】................................................................................................................................................9
【题型9 行程问题】..............................................................................................................................................10
【题型10 图表信息问题】......................................................................................................................................11
知识点1 数字、循环、传播问题
1. 数字问题
2. 循环问题
若参赛队伍数为n，则单循环赛中每队比赛场数为(𝑛−1)场，比赛总场数为
𝑛(𝑛−1)
2
场.双循环赛中每队比赛场
数为2(𝑛−1)场，比赛总场数为𝑛(𝑛−1)场．
3. 传播问题
传染源+第一轮被传染的+第二轮被传染的=二轮传染后被传染的总数．
【题型1 数字问题】
【例1】（25-26 九年级上·江苏无锡·期末）小明问𝐷𝑒𝑒𝑝𝑆𝑒𝑒𝑘这样一个问题：“有没有这样一个数？先计算这
个数的平方，再减去这个数，最后加上1，其运算结果和这个数相同．”𝐷𝑒𝑒𝑝𝑆𝑒𝑒𝑘在深度思考后，给出的正
两位数
十位数字
个位数字
10𝑥+ 𝑦
𝑥
𝑦
三位数
百位数字
十位数字
个位数字
100𝑎+ 10𝑏+ 𝑐
𝑎
𝑏
𝑐
考点1
数字、循环、传播问题
题型归纳
确答案是（ ）
A．1
B．
1
2
C．−1
D．1 或−1
【变式1-1】（25-26 九年级上·全国·课后作业）一个三位数，十位上的数字比个位上的数字大3，百位上的
数字等于个位上的数字的平方．如果这个三位数比它个位上的数字与十位上的数字的积的25倍大202，则这
个三位数是________．
【变式1-2】（24-25 八年级下·全国·课后作业）一个两位数，十位上的数字比个位上的数字的平方小4，如
果把这个数的个位数字与十位数字交换，那么所得到的两位数比原来的数小18，求原来的两位数．
【变式1-3】（2025 九年级上·全国·专题练习）请欣赏改编自苏轼《念奴矫·赤壁怀古》的诗歌：大江东去浪
淘尽，千古风流人物．而立（三十而立）之年督东吴，早逝英年两位数．十位恰小个位三，个位平方与寿
同．最后两句大意为十位上的数比个位小3，个位上的数的平方等于他去世时的年龄．求周瑜去世时的年龄．
【题型2 单循环与双循环问题】
【例2】（25-26 九年级上·河南驻马店·期中）九年级乒乓球赛制采用单循环形式（每两人之间进行一场比
赛）．
(1)若参赛者有6 人，按赛制共进行了几场比赛？
(2)以下是小文和小博对比赛总场数的统计，判断小博的说法是否正确，并说明理由．
(3)若八年级也举行单循环赛制的乒乓球比赛，且比赛场次控制在90~100 之间，则应该安排___________名
参赛者．
【变式2-1】（24-25 八年级下·全国·课后作业）一次会议上，每两个参加会议的人都互相握了一次手，有人
统计一共握了66 次手．若设这次会议到会的人数为𝑥，依题意可列方程（ ）
A．
1
2𝑥(𝑥−1) = 66
B．
1
2(1−𝑥)2 = 66
C．𝑥(1 + 𝑥) = 66
D．𝑥(𝑥−1) = 66
【变式2-2】（25-26 九年级上·天津·期中）某班元旦晚会上，某合唱小组的每位同学都给小组内其他所有同
学各赠送了一张贺卡，共赠送贺卡30 张，该合唱小组人数为（ ）人．
A．5
B．6
C．29
D．30
【变式2-3】随着天府机场的开通，一架架飞机掠过资阳的天空，每两个飞机场之间都开辟一条航线，某航
空公司一共开辟了21 条航线，则这个航空公司飞往的飞机场有_____个．
【题型3 传播问题】
【例3】（25-26 八年级下·安徽合肥·期中）冬季是流感等呼吸道传染病高发的季节，某班级最初有1 人患流
感，由于未采取有效防范措施，经过两轮传染后该班级共有16 人患流感，若设每轮传染中平均一个人传染
了𝑥个人，则可列方程为__________．
【变式3-1】某种植物的主干长出若干数目的支干，每个支干又长出同样数目的小分支，主干、支干和小分
支的总数是111，则每个支干长出（ ）个小分支
A．11
B．10
C．12
D．9
【变式3-2】（24-25 九年级上·辽宁营口·月考）为了宣传环保，小明写了一篇倡议书，决定用微博转发的方
式传播，他设计了如下的传播规则：将倡议书发表在自己的微博上，再邀请 𝑎个好友转发倡议书，每个好
友转发倡议书之后，又邀请𝑎个互不相同的好友转发倡议书．以此类推，已知经过两轮传播后，共有111人
参与了传播活动，则𝑎的值是（ ）．
A．8
B．9
C．10
D．11
【变式3-3】（2026·山西忻州·一模）数学活动课上，同学们与AI智能体进行数字传播闯关游戏．AI智能体
给出规则：游戏开始时有6 名同学拥有通关密码，在每一轮传播中，每名拥有密码的同学都会传给相同数
量的新同学，但每一轮传播结束后，都会随机有6 名同学失去密码，不再参与下一轮传播．经过两轮完整
传播后，场上共有114 名同学持有通关密码．求每一轮传播中，1 名同学传给多少名新同学．
知识点2 平均增长率及利润问题
1. 平均增长（降低）率问题
设增长（降低）的基数为a，每次的平均增长率（降低率）为x，增长（降低）n 次后的数量为b，则增长
率公式为𝑎(1 + 𝑥)𝑛= 𝑏，降低率公式为𝑎(1−𝑥)𝑛= 𝑏．
2. 销售利润问题
（1）利润=售价－进价；
（2）利润率=利润
进价× 100% =
售价−进价
进价
× 100%；
考点2
平均增长率及利润问题
（3）售价=进价× (1 + 利润率)；
（4）总利润=每件商品的利润×销售量=总收入－总支出．
【题型4 增长率问题】
【例4】（25-26 八年级下·浙江宁波·期中）某厂家2025年1~5月份销售的电车数量如图所示．若从3 月份到
5 月份，该厂家电车销售的平均月增长率为𝑥，根据题意可得方程（ ）
2025年1~5月份销售电车统计图
A．140(1 + 𝑥)2 = 461
B．180(1 + 𝑥)2 = 461
C．461(1−𝑥)2 = 180
D．368(1 + 𝑥)2 = 450
【变式4-1】（25-26 八年级下·浙江温州·期中）某服装店搞促销活动，将一款原价为118 元的衬衣第一次降
价后，销售量仍然不好，又进行第二次降价，两次降价的百分率相同，现售价为76 元，设降价的百分率为
𝑥，可列出方程__________．
【变式4-2】（25-26 九年级上·河南南阳·期末）2025 年7 月25 日首映的《南京照相馆》，以南京大屠杀期
间百姓冒险保存日军暴行底片的故事，警示人们铭记历史、自强自立，上映即获全国追捧．据统计，该电
影第一周票房约2.6亿元，三周总票房约20.8亿元．若在此期间每周票房按相同的增长率增长，设票房周增
长率为𝑥，根据题意可列方程为_______．
【变式4-3】“杂交水稻之父”——袁隆平先生所率领的科研团队在增产攻坚第一阶段实现水稻亩产量700 公
斤的目标，第三阶段实现水稻亩产量1008 公斤的目标．
（1）如果第二阶段、第三阶段亩产量的增长率相同，求亩产量的平均增长率；
（2）按照（1）中亩产量增长率，科研团队期望第四阶段水稻亩产量达到1200 公斤，请通过计算说明他们
的目标能否实现．
【题型5 销售利润问题】
【例5】（25-26 九年级上·湖南衡阳·期中）商场将进价为2 000 元的冰箱以2 400 元售出，平均每天能售出8
台．为了促销，商场决定采取适当的降价措施，调查表明：这种冰箱的售价每降低50 元，平均每天就能多
售出4 台，商场要想在这种冰箱销售中每天盈利4 800 元，同时又要使消费者得到更多实惠，每台冰箱应降
价（ ）
A．100 元
B．200 元
C．300 元
D．400 元
【变式5-1】（2025 九年级上·全国·专题练习）某旅行社的一则广告如下：
我社组团去井冈山红色研学活动，收费标准：如果人数不超过30，那么人均旅游费用为800 元；如果人数
多于30，那么每增加1 人，人均旅游费用降低10 元，但人均旅游费用不得低于500 元．
现该旅行社组织了一批学生去井冈山红色研学活动，共计收到费用29250 元，则这次旅游可以安排_____人
参加．
【变式5-2】（2026 九年级下·重庆·专题练习）2026 年4 月5 日是清明节，清明节前一周，铂航妈妈到超市
购买了6 个肉松青团和8 个红豆青团，共付款54 元，已知每个红豆青团比每个肉松青团贵1.5 元．
(1)求每个肉松青团和每个红豆青团各多少元．
(2)为进一步提升青团的销量，超市将两种青团分别包装成𝐴，𝐵两种礼盒销售，两种礼盒每盒都有16 个青团
（包装成本忽略不计），𝐴礼盒中有𝑚个肉松青团，𝐵礼盒中有𝑚个红豆青团．包装后每个青团降价0.5元，
统计发现，𝐴，𝐵两种礼盒的销量分别为(2𝑚+ 18)盒、(80−5𝑚)盒，𝐴，𝐵两种礼盒的销售总额为4100 元，
求m 的值．
【变式5-3】（25-26 八年级下·安徽合肥·期中）根据表中的素材，探索完成任务．
素材1
某工厂一车间对某款车型零部件进行智能化、一体化加工，生产效率显著提升．已知该零件4 月
份生产100 个，6 月份生产144 个．
素材2
该厂生产该零件的成本为30 元/个；
市场调研发现：当售价为40 元/个时，月销售量为600 个，若售价每上涨1 元/个，则月销售量将
减少10 个．
问题解决
(1)任务一：求该车间4 月份到6 月份生产数量的月平均增长率．
(2)任务二：工厂为了提升利润，决定调整售价．要求月销售利润达到10000 元，且尽可能让消费者得到实
惠，该零件的实际售价应定为多少？
(3)任务三：有员工提出目标，希望月销售利润能达到20000 元，请问这个目标能否实现？如果能，请写出
具体的涨价方案；如果不能，请说明理由．
知识点3 面积问题
面积公式：𝑆长方形= 𝑎𝑏，𝑆正方形= 𝑎2，𝑆圆= 𝜋𝑟2，𝑆三角形= 1
2𝑎ℎ；
说明：①a，b 分别为长方形的长、宽；
②a 为正方形的边长；
③r 为圆的半径；
④a 为三角形的一边长，h 为边长为a 的边上的高．
【题型6 边框与甬通道问题】
【例6】（25-26 八年级下·浙江温州·期中）某公园有一块长30 米，宽20 米的长方形空地，现将其划分成一
个长方形𝐴𝐵𝐶𝐷区域I（阴影部分）和一个环形道路区域II（空白部分），如图1 所示．区域II 道路的宽度相
等，且不超过5 米．其中区域I种植甲、乙两种花卉，且满足𝐴𝐸= 𝐴𝐻= 𝐶𝐹= 𝐶𝐺，设道路宽为𝑥米．
(1)请用含𝑥的代数式表示长方形𝐴𝐵𝐶𝐷的面积；
(2)若．长方形𝐴𝐵𝐶𝐷的面积为336 平方米，求道路宽𝑥的值；
(3)若．点𝐸为𝐴𝐵的中点，建设成本如图2，建造总费用恰好为50000 元（建造总费用包含花卉种植费和道路铺
设费），求道路宽𝑥的值．
【变式6-1】（25-26 八年级下·浙江台州·期中）如图，一块长12 米、宽8 米的长方形户外草坪，规划了两
横两纵等宽的石板小径（阴影部分），石板小径的总面积占草坪总面积的
3
8，则石板小径的宽度为_______米．
【变式6-2】（25-26 八年级下·安徽合肥·期中）综合与实践：
考点3
面积问题
探索果园土地规划和销售利润问题
素材1：某农户承包了一块长方形果园𝐴𝐵𝐶𝐷，如图是果园的平面图，其中𝐴𝐵= 100米，𝐵𝐶= 150米，准备
在果园的四周铺设道路，上下两条横向道路（沿𝐵𝐶方向）的宽度都为2𝑥米，左右两条纵向道路（沿𝐴𝐵方向）
的宽度都为𝑥米，道路围合的中间矩形区域为种植园区（如图中阴影区域）．出于货车通行等因素的考虑，
道路宽度𝑥不超过7 米，且不小于3 米．
素材2：该农户在种植园区种植草莓，市场调研信息：草莓培育一年可产果，若每平方米草莓的月销售利润
为40 元，每月可销售出800 平方米种植面积对应的草莓产量（即月销售覆盖800 平方米的种植面积）．受
天气原因，农户决定降价促销，若每平方米的草莓月利润每下调1 元，每月可多销售50 平方米种植面积对
应的草莓产量，果园每月的承包费为1000 元．
问题解决
(1)种植园区的长为______米，宽为______米；（用含𝑥的代数式表示）
(2)若种植园区的面积为11200 平方米，道路设置的宽度𝑥是否符合要求？请说明理由．
(3)若农户预期一个月的总利润为35000 元，为让客户得到实惠，每平方米草莓的月利润应该下调多少元？
（总利润= 销售利润−承包费）
【变式6-3】（25-26 八年级下·浙江温州·月考）阳光小区附近有一块长100m，宽80m的长方形空地，在空
地上有两条相同宽度的步道（一纵一横）和一个边长为步道宽度7 倍的正方形休闲广场，两条步道的总面
积与正方形休闲广场的面积相等，如图1 所示，设步道的宽为𝑎(m)．则步道的宽为_____；方便市民进行跑
步健身，现按如图2 所示方案增建塑胶跑道．已知塑胶跑道的宽为1m，长方形区域甲的面积比长方形区域
乙大441m2，且区域丙为正方形，塑胶跑道的总面积为____m2．
【题型7 围墙类问题】
【例7】（25-26 八年级下·安徽池州·期中）如图，有一长方形鸡场，鸡场的一边靠墙（墙足够长），另三边
用竹篱笆围成，竹篱笆的总长为37米，与墙平行的边留有1米宽的门（门用其他材料做成），若鸡场的面积
为180平方米，则鸡场与墙垂直的边长为（ ）
A．9米
B．8米
C．10米
D．9米或10米
【变式7-1】（25-26 九年级上·全国·期末）如图，要利用一面墙（墙长为25 米）建羊圈，用100 米的围栏
围成总面积为400 平方米的三个大小相同的矩形羊圈，求羊圈的边长𝐴𝐵，𝐵𝐶各为_____米．
【变式7-2】（24-25 九年级上·四川绵阳·月考）如图，农场决定利用长为12 米的旧墙，另外三面用篱笆围
成，中间再用篱笆分成两个矩形菜园𝐴𝐵𝐶𝐷，已知篱笆总长度为27 米，所围成的大矩形𝐴𝐵𝐶𝐷的面积为42
平方米，那么𝐴𝐵的长为________．
【变式7-3】（25-26 九年级上·河南许昌·月考）用篱笆靠墙围成矩形花圃𝐴𝐵𝐶𝐷，墙可利用的最大长度为12
m，篱笆总长为20m．
(1)若围成的花圃面积为42m2，求𝐵𝐶的长；
(2)如图（2），若计划在花圃中间用一道篱笆隔成两个小矩形，且围成的花圃总面积为40m2，则能否成功
围成花圃？如果能，求𝐵𝐶的长；如果不能，请说明理由．
知识点4 工程（行程）问题
工作总量=工作效率×工作时间；路程=速度×时间.
【题型8 工程问题】
【例8】（25-26 九年级上·重庆巫山·期末）学校图书馆需将4800 本新图书进行整理上架，现有甲、乙两个
志愿者报名承担此项工作．已知甲计划每天比乙计划每天多整理100 本图书，且甲整理1200 本图书与乙整
理1000 本图书的时间相等
(1)求甲计划每天整理多少本图书？
(2)学校决定由甲承担此项图书整理工作．为赶工期，甲实际每天整理的图书数量比计划每天多4𝑎本，最终
完成所用的时间比甲计划所需的时间少0.04𝑎天，求a 的值
【变式8-1】（25-26 九年级上·陕西咸阳·月考）“万里无云镜九州，最团圆夜是中秋．”临近中秋节，某月饼
厂接到一笔3200盒月饼的订单，现决定由甲、乙两组共同完成，已知两组同时开工，甲组加工10天，乙组
加工8 天就能完成这笔订单，且甲组3 天加工的月饼数量比乙组2 天加工的月饼数量多300盒．
(1)求甲、乙两组平均每天各能加工多少盒月饼；
(2)甲、乙两组同时开工2 天后，这笔订单临时又增加了500盒月饼，甲组从第3 天起提高了工作效率，而乙
组的工作效率不变，并提前完成了这笔订单．经调研发现，若甲组平均每天每多加工100盒月饼，则甲、乙
两组就各自都提前1 天完成任务，已知甲、乙两组加工的天数均为整数，则甲组提高工作效率后，甲、乙
两组都提前多少天完成了这笔订单？
【变式8-2】（25-26 九年级上·重庆·月考）列方程解下列问题：
甲、乙两人加工生产同种零件．甲每小时比乙多生产10 个，甲生产120 个该种零件的时间与乙生产100 个
该种零件的时间相同．
(1)求甲、乙两人每小时各生产多少个零件？
(2)由于市场需求量大幅增加，该厂更换了生产设备．更换设备后，甲每小时生产的零件数量比原来增长了
5𝑚%，乙每小时比原来多生产𝑚个零件，甲、乙两人同时工作𝑚小时共可以生产1500 个零件，求𝑚的值．
【变式8-3】（24-25 九年级上·河南驻马店·月考）某企业为迎接2025 年新年，计划给全体员工定制一批新
的工装，该企业委托甲、乙两个工厂共同生产这批工装，根据调查统计，甲厂每小时能生产45 套这种工装，
乙厂每小时能生产50 套这种工装．
考点4
工程、行程、图表信息问题
(1)若甲厂生产的时间和乙厂生产的时间共8 小时，生产工装的总套数不少于380 套，则乙厂至少生产这种
工装多少小时?
(2)原计划甲、乙两个工厂每天均生产8 小时，但现在为了该企业的需求，两个工厂每天均需要增加生产时
间（增加的生产时间不得超过8 小时），且甲厂增加的时间比乙厂增加的时间多3 小时，因为甲厂机器损
耗及人员不足，甲厂每增加1 小时，该厂每小时的平均产量将减少3 套，乙厂每小时的产量保持不变，这
样两个工厂每天生产的工装总套数为890 套，求甲厂实际每天生产工装增加的时间．
【题型9 行程问题】
【例9】一个小球以5m/s速度开始向前滚动，并且均匀减速，4s后小球停止滚动．小球滚动5m约用了________
秒（结果保留小数点后一位）
【变式9-1】《九章算术》中有一题：“今有二人同立，甲行率六，乙行率四，乙东行，甲南行十步而斜东
北与乙会，问甲乙各行几何？”大意是说：“甲、乙二人同时从同一地点出发，甲的速度为6，乙的速度为4，
乙一直向东走，甲先向南走10 步，后又斜向北偏东方向走了一段后与乙相遇，甲、乙各走了多少步？”请问
乙走的步数是（ ）
A．36
B．26
C．24
D．10
【变式9-2】（2024·广东广州·模拟预测）今年年初一美丽的白鹅潭江而进行了以“活力湾区，新彩广州”为
主题的烟花汇演，甲、乙两人从各自家前往最佳观赏点之一的洲头咀公园观看烟花汇演，由于当晚该公园
附近路段实施了交通管制，甲先将车开到距离自己家20 千米的停车场后，再步行2 千米到达目的地，共花
了1 小时．此期间，已知甲开车的平均速度是甲步行平均速度的10 倍．
(1)求甲开车的平均速度及步行的平均速度分别是多少？
(2)乙是骑车前往与他家相距8 千米的目的地，若乙骑车的平均速度比甲步行的平均速度快8a 千米/小时
（𝑎> 0），乙骑车时间比甲开车时间多a 小时，求a 的值．
【变式9-3】九龙坡区有七条特色的山城步道，不仅景色宜人，而且各有特色．中梁山云岭森林公园是主城
区首个全开放式无围墙森林公园，公园里有一条长10km的登山步道，学校两个登山小队组织周末登山活动，
计划沿步道登山，若两队同时出发，第一队的登山速度是第二队登山速度的1.2倍，他们比第二队早40 分钟
到达步道终点．
(1)两个小队的登山速度各是多少千米/小时？
(2)到达步道终点后，第一队队长小明继续沿着另一条山路登山，直至山顶．在他从山路登山开始的前30 分
钟内，平均每分钟消耗热量10 卡路里，超过30 分钟后，每多登山2 分钟，平均每分钟消耗的热量就增加1
卡路里，在山路登山到山顶的过程中小明共消耗1050 卡路里热量，小明从山路登山直至山顶共用多少分钟
．．？
【题型10 图表信息问题】
【例10】（24-25 九年级下·广东深圳·开学考试）体重为衡量个人健康的重要指标之一，表（1）为成年人利
用身高（米）计算理想体重（公斤）的三种方式，由于这些计算方式没有考虑脂肪及肌肉重量占体重的比
例，结果仅供参考．
表（1）
算法一
女性理想体重
身高×身高× 22
男性理想体重
身高×身高× 22
算法二
100 ×身高−70 × 0.6
100 ×身高−80 × 0.7
算法三
100 ×身高−158 × 0.5 + 52
100 ×身高−170 × 0.6 + 62
表（2）
实际体重
类别
大于理想体重的120%
肥胖
介于理想体重的110%~120%
过重
介于理想体重的90%~110%
正常
介于理想体重的80%~90%
过轻
小于理想体重的80%
消瘦
(1)甲说：有的女性使用算法一与算法二算出的理想体重会相同．你认为正确吗？请说明理由．
(2)无论我们使用哪一种算法计算理想体重，都可将个人的实际体重表（2）归类为的其中一种类别．
①一名身高为ℎ米的成年男性用算法二得出的理想体重不低于70 公斤，直接写出ℎ的取值范围________．
②小王的父亲身高1.75 米，体重为73 公斤，请根据算法三算出父亲的理想体重，并评估他可能被归类为
哪一种类别？
【变式10-1】某市为鼓励居民节约用水，对居民用水实行阶梯收费，每户居民用水量每月不超过a 吨时，
每吨按0.3a 元缴纳水费；每月超过a 吨时，超过部分每吨按0.4a 元缴纳水费．
（1）若a＝12，某户居民3 月份用水量为22 吨，则该用户应缴纳水费多少元？
（2）若如表是某户居民4 月份和5 月份的用水量和缴费情况：
月份
用水量（吨）
交水费总金额（元）
4
18
62
5
24
86
根据上表数据，求规定用水量a 的值
【变式10-2】疫情期间，“大白”成了身穿防护服的人员的代称．开学以来，我校很多老师在繁重的课务之余
承担起了核酸检测的任务，化身可敬可爱的“大白”．据多日检测结果调查发现一个熟能生巧的现象，当每位
大白检测人数是20人时，每位同学人均检测时间是30秒，而检测人数每提高10人，人均就少耗时1秒（若每
位大白的检测人数不超过150人，设人均少耗时𝑥秒）．
(1)补全下列表格：
检测人数（人）
20
30
60
…
人均检测时间
（秒）
30
28
…
30−𝑥
(2)某位大白一节课（40min）刚好同时完成了检测任务，那么他今日检测总人数为多少人？
【变式10-3】某旅行社一则旅游消息如下：
旅游人数
收费标准
不超过10人
人均收费2400元
超过10人
每增加一人，人均收费减少60元，但人均收费不低于1500元
(1)甲公司员工分两批参加该项旅游，分别支付给旅行社12000元和24000元，甲公司员工有__________人．
(2)乙公司员工一起参加该项旅游，支付给旅行社36000元，乙公司员工多少人？
