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专题25.3 实际问题与一元二次方程（举一反三讲义）
【新教材人教版】
【题型1 数字问题】................................................................................................................................................1
【题型2 单循环与双循环问题】............................................................................................................................3
【题型3 传播问题】................................................................................................................................................6
【题型4 增长率问题】............................................................................................................................................8
【题型5 销售利润问题】......................................................................................................................................10
【题型6 边框与甬通道问题】..............................................................................................................................14
【题型7 围墙类问题】..........................................................................................................................................18
【题型8 工程问题】..............................................................................................................................................21
【题型9 行程问题】..............................................................................................................................................25
【题型10 图表信息问题】......................................................................................................................................28
知识点1 数字、循环、传播问题
1. 数字问题
2. 循环问题
若参赛队伍数为n，则单循环赛中每队比赛场数为(𝑛−1)场，比赛总场数为
𝑛(𝑛−1)
2
场.双循环赛中每队比赛场
数为2(𝑛−1)场，比赛总场数为𝑛(𝑛−1)场．
3. 传播问题
传染源+第一轮被传染的+第二轮被传染的=二轮传染后被传染的总数．
【题型1 数字问题】
【例1】（25-26 九年级上·江苏无锡·期末）小明问𝐷𝑒𝑒𝑝𝑆𝑒𝑒𝑘这样一个问题：“有没有这样一个数？先计算这
个数的平方，再减去这个数，最后加上1，其运算结果和这个数相同．”𝐷𝑒𝑒𝑝𝑆𝑒𝑒𝑘在深度思考后，给出的正
两位数
十位数字
个位数字
10𝑥+ 𝑦
𝑥
𝑦
三位数
百位数字
十位数字
个位数字
100𝑎+ 10𝑏+ 𝑐
𝑎
𝑏
𝑐
考点1
数字、循环、传播问题
题型归纳
确答案是（ ）
A．1
B．
1
2
C．−1
D．1 或−1
【答案】A
【分析】本题主要考查了一元二次方程的应用，可通过设未知数，根据题目描述的运算关系列出一元二次
方程，再利用因式分解法求解方程得到答案．
【详解】解：设这个数为𝑥
∵根据题意，该数的平方减去该数加1 的结果等于这个数，
∴列方程得：𝑥2−𝑥+ 1 = 𝑥，
移项整理得：𝑥2−2𝑥+ 1 = 0，
因式分解得：(𝑥−1)2 = 0，
解得：𝑥= 1，
∴符合条件的数是1，
故选：A．
【变式1-1】（25-26 九年级上·全国·课后作业）一个三位数，十位上的数字比个位上的数字大3，百位上的
数字等于个位上的数字的平方．如果这个三位数比它个位上的数字与十位上的数字的积的25倍大202，则这
个三位数是________．
【答案】452
【分析】本题考查了一元二次方程的应用，正确理解数字与每个位上的数字的关系是解题的关键．
设该三位数个位上的数字为𝑥，则十位上的数字是(𝑥+ 3)，百位上的数字是𝑥2；再根据“这个三位数比它个
位上的数字与十位上的数字的积的25倍大202 ”列出方程求解即可．
【详解】解：设该三位数个位上的数字为𝑥，则十位上的数字是(𝑥+ 3)，百位上的数字是𝑥2．
由题意，得100𝑥2 +10(𝑥+ 3) + 𝑥= 25𝑥(𝑥+ 3) + 202，
整理，得75𝑥2−64𝑥−172 = 0，
解得𝑥1 = 2,𝑥2 = −
86
75（舍去），
∴十位上的数字为2 + 3 = 5，百位上的数字为22 = 4．
故答案为：452．
【变式1-2】（24-25 八年级下·全国·课后作业）一个两位数，十位上的数字比个位上的数字的平方小4，如
果把这个数的个位数字与十位数字交换，那么所得到的两位数比原来的数小18，求原来的两位数．
【答案】原来的两位数为53
【分析】本题主要考查了列代数式，列一元二次方程解决数字问题，解题的关键是根据题意列出代数式．
设原来的两位数的个位数字为x，则十位数字为(𝑥2−4)，根据题意表示出两位数，然后列出方程求解即可．
【详解】解：设原来的两位数的个位数字为x，则十位数字为(𝑥2−4)，
依题意，得10(𝑥2−4) +𝑥−10𝑥+(𝑥2−4) = 18，
整理，得𝑥2−𝑥−6 = 0，
解得𝑥1 = 3，𝑥2 = −2（不符合题意，舍去），
∴10(𝑥2−4) +𝑥= 10 × (32−4) +3 = 53．
答：原来的两位数为53．
【变式1-3】（2025 九年级上·全国·专题练习）请欣赏改编自苏轼《念奴矫·赤壁怀古》的诗歌：大江东去浪
淘尽，千古风流人物．而立（三十而立）之年督东吴，早逝英年两位数．十位恰小个位三，个位平方与寿
同．最后两句大意为十位上的数比个位小3，个位上的数的平方等于他去世时的年龄．求周瑜去世时的年龄．
【答案】周瑜去世时年龄为36 岁．
【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关
键．
设十位上的数为𝑥，根据题中“十位上的数比个位小3，个位上的数的平方等于他去世时的年龄”，列方程解答
即可．
【详解】解：设周瑜去世时年龄的十位上的数是𝑥．
由题意，得10𝑥+ (𝑥+ 3) = (𝑥+ 3)2，
解得𝑥1 = 2,𝑥2 = 3．
∵周瑜已过而立之年，
∴𝑥= 3，
∴𝑥+ 3 = 6．
故答案为：周瑜去世时年龄为36 岁．
【题型2 单循环与双循环问题】
【例2】（25-26 九年级上·河南驻马店·期中）九年级乒乓球赛制采用单循环形式（每两人之间进行一场比
赛）．
(1)若参赛者有6 人，按赛制共进行了几场比赛？
(2)以下是小文和小博对比赛总场数的统计，判断小博的说法是否正确，并说明理由．
(3)若八年级也举行单循环赛制的乒乓球比赛，且比赛场次控制在90~100 之间，则应该安排___________名
参赛者．
【答案】(1)15 场
(2)说法正确，理由见解析
(3)14
【分析】本题考查一元二次方程的应用，理解题意是解答的关键．
（1）由题意，得6 个队伍需比赛的局数为
6×(6−1)
2
，即可求解；
（2）设有x 个队伍报名参赛，根据题意列方程
𝑥×(𝑥−1)
2
= 40，然后解方程，根据方程根的情况可得结论；
（3）设有𝑥人参赛，则比赛的总场数为
𝑥×(𝑥−1)
2
，然后取当𝑥= 13，𝑥= 14，𝑥= 15，计算
𝑥×(𝑥−1)
2
的值，结合
题意即可得出答案．
【详解】（1）解：
6×(6−1)
2
= 15
故按赛制共进行了15 场比赛；
（2）解：小博的说法正确．
理由：设有𝑥人参赛，
由题意得
𝑥×(𝑥−1)
2
= 40，
整理得𝑥2−𝑥−80 = 0，
解得𝑥=
1± 321
2
∵𝑥的取值不为整数，即方程的解不符合实际，
∴小博的说法正确；
（3）解：设有𝑥人参赛，则比赛的总场数为
𝑥×(𝑥−1)
2
，
当𝑥= 13时，
13×(13−1)
2
= 78；
当𝑥= 14时，
14×(14−1)
2
= 91；
当𝑥= 15时，
15×(15−1)
2
= 105；
又比赛场次控制在90~100 之间，
∴应该安排14 名参赛者，
故答案为：14．
【变式2-1】（24-25 八年级下·全国·课后作业）一次会议上，每两个参加会议的人都互相握了一次手，有人
统计一共握了66 次手．若设这次会议到会的人数为𝑥，依题意可列方程（ ）
A．
1
2𝑥(𝑥−1) = 66
B．
1
2(1−𝑥)2 = 66
C．𝑥(1 + 𝑥) = 66
D．𝑥(𝑥−1) = 66
【答案】A
【分析】本题考查一元二次方程的应用，解题的关键是理解握手问题中存在重复计算的情况，从而正确列
出方程．据此解答即可．
【详解】解：∵设这次会议到会的人数为𝑥人
∴每个人需要和除自己外的(𝑥−1)人握手
又∵每两人之间的握手会被重复计算一次
∴总握手次数为
1
2𝑥(𝑥−1)
∵已知一共握了66 次手
∴依题意可列方程
1
2𝑥(𝑥−1) = 66
故选：A．
【变式2-2】（25-26 九年级上·天津·期中）某班元旦晚会上，某合唱小组的每位同学都给小组内其他所有同
学各赠送了一张贺卡，共赠送贺卡30 张，该合唱小组人数为（ ）人．
A．5
B．6
C．29
D．30
【答案】B
【分析】本题主要考查了一元二次方程的实际应用.
设该合唱小组人数为x 人，根据题意可得每个人都要给其他(𝑥−1)人送一张贺卡，再由一共赠贺卡30 张建
立方程求解即可．
【详解】解：设该合唱小组人数为x 人，
由题意得，𝑥(𝑥−1) = 30，
整理得𝑥2−𝑥−30 = 0，
解得𝑥= 6或𝑥= −5（舍去），
故选：B．
【变式2-3】随着天府机场的开通，一架架飞机掠过资阳的天空，每两个飞机场之间都开辟一条航线，某航
空公司一共开辟了21 条航线，则这个航空公司飞往的飞机场有_____个．
【答案】7
【分析】本题属于一元二次方程的实际应用问题，可通过设未知数，根据每两个机场间航线的计数规则建
立方程求解，核心是避免航线的重复计算．
【详解】解：设这个航空公司飞往的飞机场有𝑥个，
根据题意列方程：
1
2𝑥(𝑥−1) = 21，
解得：𝑥1 = 7，𝑥2 = −6，
因为飞机场的数量为正整数，所以𝑥= −6不符合实际意义，舍去．
【题型3 传播问题】
【例3】（25-26 八年级下·安徽合肥·期中）冬季是流感等呼吸道传染病高发的季节，某班级最初有1 人患流
感，由于未采取有效防范措施，经过两轮传染后该班级共有16 人患流感，若设每轮传染中平均一个人传染
了𝑥个人，则可列方程为__________．
【答案】1 + 𝑥+ 𝑥(1 + 𝑥) = 16或(1 + 𝑥)2 = 16
【分析】根据传染模型，每轮传染中所有病人均参与传染，两轮后总人数为初始人数乘以(1 + 𝑥)的平方，
即可作答．
【详解】解：∵初始患流感人数为1，
∴第一轮传染后，患流感人数为1 + 𝑥
∴第二轮传染时，有1 + 𝑥人，每人传染x 人，
∴ 新传染人数为𝑥(1 + 𝑥)，
∴第二轮后总患病人数为(1 + 𝑥) +𝑥(1 + 𝑥) = (1 + 𝑥)(1 + 𝑥) = (1 + 𝑥)2，
又∵ 两轮后共有16 人患流感，
∴(1 + 𝑥)2 = 16.
【变式3-1】某种植物的主干长出若干数目的支干，每个支干又长出同样数目的小分支，主干、支干和小分
支的总数是111，则每个支干长出（ ）个小分支
A．11
B．10
C．12
D．9
【答案】B
【分析】根据题意设未知数，结合总数量关系列方程求解，舍去不符合实际的负根即可得到结果．
【详解】解：设每个支干长出的小分支数为𝑥，
∵主干有1个，支干数量为𝑥，每个支干长出𝑥个小分支，因此小分支数量为𝑥⋅𝑥，
∴根据总数量列方程得 1 + 𝑥+ 𝑥2 = 111，
整理得 𝑥2 +𝑥−110 = 0，
因式分解得 (𝑥−10)(𝑥+ 11) = 0，
解得 𝑥= 10 或 𝑥= −11，
∵分支个数是正整数，负根不符合实际意义，
∴舍去𝑥= −11，得𝑥= 10．
【变式3-2】（24-25 九年级上·辽宁营口·月考）为了宣传环保，小明写了一篇倡议书，决定用微博转发的方
式传播，他设计了如下的传播规则：将倡议书发表在自己的微博上，再邀请 𝑎个好友转发倡议书，每个好
友转发倡议书之后，又邀请𝑎个互不相同的好友转发倡议书．以此类推，已知经过两轮传播后，共有111人
参与了传播活动，则𝑎的值是（ ）．
A．8
B．9
C．10
D．11
【答案】C
【分析】本题考查了列一元二次方程解实际问题的运用，分析实际问题中的数量关系，利用其中的相等关
系列出方程，找到“等量关系”列方程是解决问题的关键．
第一轮传播了𝑎个人，第二轮传播了𝑎2个人，根据两轮传播后，共有111 人参与列出方程求解即可．
【详解】解：由题意得，
𝑎+ 𝑎2 +1 = 111，
解得，𝑎1 = −11（舍去），𝑎2 = 10，
∴𝑎的值是10，
故选：C．
【变式3-3】（2026·山西忻州·一模）数学活动课上，同学们与AI智能体进行数字传播闯关游戏．AI智能体
给出规则：游戏开始时有6 名同学拥有通关密码，在每一轮传播中，每名拥有密码的同学都会传给相同数
量的新同学，但每一轮传播结束后，都会随机有6 名同学失去密码，不再参与下一轮传播．经过两轮完整
传播后，场上共有114 名同学持有通关密码．求每一轮传播中，1 名同学传给多少名新同学．
【答案】4 名
【分析】先设每一轮传播中，1 名同学传给x 名新同学，根据题意列出一元二次方程，求出解，舍去不合题
意的即可．
【详解】解：设每一轮传播中，1 名同学传给x 名新同学，
根据题意，得(6 + 6𝑥−6)(1 + 𝑥)−6 = 114．
解得𝑥1 = 4，𝑥2 = −5（不合题意，舍去）．
答：每一轮传播中，1 名同学传给4 名新同学．
知识点2 平均增长率及利润问题
1. 平均增长（降低）率问题
设增长（降低）的基数为a，每次的平均增长率（降低率）为x，增长（降低）n 次后的数量为b，则增长
率公式为𝑎(1 + 𝑥)𝑛= 𝑏，降低率公式为𝑎(1−𝑥)𝑛= 𝑏．
2. 销售利润问题
（1）利润=售价－进价；
（2）利润率=利润
进价× 100% =
售价−进价
进价
× 100%；
（3）售价=进价× (1 + 利润率)；
（4）总利润=每件商品的利润×销售量=总收入－总支出．
【题型4 增长率问题】
【例4】（25-26 八年级下·浙江宁波·期中）某厂家2025年1~5月份销售的电车数量如图所示．若从3 月份到
5 月份，该厂家电车销售的平均月增长率为𝑥，根据题意可得方程（ ）
2025年1~5月份销售电车统计图
考点2
平均增长率及利润问题
A．140(1 + 𝑥)2 = 461
B．180(1 + 𝑥)2 = 461
C．461(1−𝑥)2 = 180
D．368(1 + 𝑥)2 = 450
【答案】D
【详解】解：由图可知，3月份的销量为368辆，5月份的销量为450辆，
∴可列方程368(1 + 𝑥)2 = 450．
【变式4-1】（25-26 八年级下·浙江温州·期中）某服装店搞促销活动，将一款原价为118 元的衬衣第一次降
价后，销售量仍然不好，又进行第二次降价，两次降价的百分率相同，现售价为76 元，设降价的百分率为
𝑥，可列出方程__________．
【答案】118(1−𝑥)2 = 76
【详解】根据题意，原价为118 元，降价百分率为x，可得第一次降价后的售价为118(1−𝑥)．
第二次降价是在第一次降价后的价格基础上下降x，因此第二次降价后的售价为76，所以可列方程为118
(1−𝑥)2 = 76．
【变式4-2】（25-26 九年级上·河南南阳·期末）2025 年7 月25 日首映的《南京照相馆》，以南京大屠杀期
间百姓冒险保存日军暴行底片的故事，警示人们铭记历史、自强自立，上映即获全国追捧．据统计，该电
影第一周票房约2.6亿元，三周总票房约20.8亿元．若在此期间每周票房按相同的增长率增长，设票房周增
长率为𝑥，根据题意可列方程为_______．
【答案】2.6 + 2.6(1 + 𝑥) +2.6(1 + 𝑥)2 = 20.8
【分析】本题考查了列一元二次方程．
由于每周票房按相同的增长率增长，从第一周到第三周经历了两次增长，因此第二周票房为2.6(1 + 𝑥)亿元，
第三周票房为2.6(1 + 𝑥)2亿元，根据“三周总票房约20.8亿元”列方程即可．
【详解】解：设票房周增长率为𝑥，
则第二周票房为2.6(1 + 𝑥)亿元，
第三周票房为2.6(1 + 𝑥)2亿元，
根据题意三周总票房约20.8亿元，
故列方程为2.6 + 2.6(1 + 𝑥) +2.6(1 + 𝑥)2 = 20.8．
故答案为：2.6 + 2.6(1 + 𝑥) +2.6(1 + 𝑥)2 = 20.8．
【变式4-3】“杂交水稻之父”——袁隆平先生所率领的科研团队在增产攻坚第一阶段实现水稻亩产量700 公
斤的目标，第三阶段实现水稻亩产量1008 公斤的目标．
（1）如果第二阶段、第三阶段亩产量的增长率相同，求亩产量的平均增长率；
（2）按照（1）中亩产量增长率，科研团队期望第四阶段水稻亩产量达到1200 公斤，请通过计算说明他们
的目标能否实现．
【答案】（1）20%；（2）能
【分析】（1）设亩产量的平均增长率为x，依题意列出关于x 的一元二次方程，求解即可；
（2）根据（1）求出的平均增长率计算第四阶段亩产量即可．
【详解】解：（1）设亩产量的平均增长率为x，根据题意得：
700(1 + 𝑥)2 = 1008，
解得：𝑥1 = 0.2 = 20%，𝑥2 = −2.2（舍去），
答：亩产量的平均增长率为20%．
（2）第四阶段的亩产量为1008 × (1 + 20%) = 1209.6（公斤），
∵1209.6 > 1200，
∴他们的目标可以实现．
【点睛】本题主要考查由实际问题抽象出一元二次方程，掌握2 次变化的关系式是解决本题的关键．
【题型5 销售利润问题】
【例5】（25-26 九年级上·湖南衡阳·期中）商场将进价为2 000 元的冰箱以2 400 元售出，平均每天能售出8
台．为了促销，商场决定采取适当的降价措施，调查表明：这种冰箱的售价每降低50 元，平均每天就能多
售出4 台，商场要想在这种冰箱销售中每天盈利4 800 元，同时又要使消费者得到更多实惠，每台冰箱应降
价（ ）
A．100 元
B．200 元
C．300 元
D．400 元
【答案】B
【分析】本题考查“一元二次方程的应用”，根据题意列出方程是解题关键．
设降价x 元，根据题意，分别用x 表示销售量和售价，根据利润= （售价−进价）× 销售量，列方程求解
即可．
【详解】设每台冰箱降价x 元，则售价为(2400−𝑥)元，
由题意，得每天的销售量为8 + 4 ×
𝑥
50 = 8 +
2𝑥
25（台），
由题意，可列方程(2400−𝑥−2000) 8 +
2𝑥
25 = 4800，
整理得𝑥2−300𝑥+ 20000 = 0，
解得𝑥= 200或𝑥= 100，
∵要让消费者得到更多实惠，即降价幅度尽可能大，
∴应降价200 元，
故选：B．
【变式5-1】（2025 九年级上·全国·专题练习）某旅行社的一则广告如下：
我社组团去井冈山红色研学活动，收费标准：如果人数不超过30，那么人均旅游费用为800 元；如果人数
多于30，那么每增加1 人，人均旅游费用降低10 元，但人均旅游费用不得低于500 元．
现该旅行社组织了一批学生去井冈山红色研学活动，共计收到费用29250 元，则这次旅游可以安排_____人
参加．
【答案】45
【分析】本题主要考查了一元二次方程的应用，正确得出等量关系是解题关键．根据题意得
30 × 800 = 24000 < 29250，可以得出人数大于30人；设这次旅游可以安排𝑥人参加，可得人均旅游费为：
800−10(𝑥−30)，根据题意建立方程求解即可，根据人均旅游费用不得低于500 元取舍方程的解，即可求解．
【详解】解：根据题意得30 × 800 = 24000 < 29250，
所以该旅行社的人数大于30人，
设这次旅游可以安排𝑥人参加，则人均旅游费为800−10(𝑥−30)元，
由题意得：𝑥800−10(𝑥−30) = 29250，
解得：𝑥1 = 45,𝑥2 = 65
当𝑥= 65时，人均费用= 800−10(65−30) = 450＜500，不符合要求；当𝑥= 45时，人均费用
= 800−10(45−30) = 650 ≥500，符合要求．
故这次旅游可以安排45人参加．
故答案为：45．
【变式5-2】（2026 九年级下·重庆·专题练习）2026 年4 月5 日是清明节，清明节前一周，铂航妈妈到超市
购买了6 个肉松青团和8 个红豆青团，共付款54 元，已知每个红豆青团比每个肉松青团贵1.5 元．
(1)求每个肉松青团和每个红豆青团各多少元．
(2)为进一步提升青团的销量，超市将两种青团分别包装成𝐴，𝐵两种礼盒销售，两种礼盒每盒都有16 个青团
（包装成本忽略不计），𝐴礼盒中有𝑚个肉松青团，𝐵礼盒中有𝑚个红豆青团．包装后每个青团降价0.5元，
统计发现，𝐴，𝐵两种礼盒的销量分别为(2𝑚+ 18)盒、(80−5𝑚)盒，𝐴，𝐵两种礼盒的销售总额为4100 元，
求m 的值．
【答案】(1)每个肉松青团的价格为3 元，每个红豆青团的价格为4.5元
(2)6
【分析】（1）设每个肉松青团的价格为𝑥元，则每个红豆青团的价格为(𝑥+ 1.5)元，根据“6 个肉松青团和8
个红豆青团，共付款54 元”列方程求解即可；
（2）降价后，肉松青团单价为3−0.5 = 2.5元，红豆青团单价为4.5−0.5 = 4元，则每盒𝐴礼盒有𝑚个肉松、
(16−𝑚)个红豆，单盒价格为2.5𝑚+ 4(16−𝑚) = 64−1.5𝑚；每盒𝐵礼盒有𝑚个红豆、(16−𝑚)个肉松，单盒
价格为2.5(16−𝑚) +4𝑚= 40 + 1.5𝑚；根据“𝐴，𝐵两种礼盒的销售总额为4100 元”列方程求解即可．
【详解】（1）解：设每个肉松青团的价格为𝑥元，则每个红豆青团的价格为(𝑥+ 1.5)元，
由题意得：6𝑥+ 8(𝑥+ 1.5) = 54，
解得：𝑥= 3，
𝑥+ 1.5 = 4.5，
答：每个肉松青团的价格为3 元，每个红豆青团的价格为4.5元；
（2）解：降价后，肉松青团单价为3−0.5 = 2.5元，红豆青团单价为4.5−0.5 = 4元，
则每盒𝐴礼盒：𝑚个肉松、(16−𝑚)个红豆，单盒价格为2.5𝑚+ 4(16−𝑚) = 64−1.5𝑚；
每盒𝐵礼盒：𝑚个红豆、(16−𝑚)个肉松，单盒价格为2.5(16−𝑚) +4𝑚= 40 + 1.5𝑚；
根据题意，得(2𝑚+ 18)(64−1.5𝑚) + (80−5𝑚)(40 + 1.5𝑚) = 4100，
化简得𝑚2−2𝑚−24 = 0，
解得𝑚1 = 6，𝑚2 = −4（不符合实际，舍去），
即m 的值为6．
【变式5-3】（25-26 八年级下·安徽合肥·期中）根据表中的素材，探索完成任务．
素材1
某工厂一车间对某款车型零部件进行智能化、一体化加工，生产效率显著提升．已知该零件4 月
份生产100 个，6 月份生产144 个．
素材2
该厂生产该零件的成本为30 元/个；
市场调研发现：当售价为40 元/个时，月销售量为600 个，若售价每上涨1 元/个，则月销售量将
减少10 个．
问题解决
(1)任务一：求该车间4 月份到6 月份生产数量的月平均增长率．
(2)任务二：工厂为了提升利润，决定调整售价．要求月销售利润达到10000 元，且尽可能让消费者得到实
惠，该零件的实际售价应定为多少？
(3)任务三：有员工提出目标，希望月销售利润能达到20000 元，请问这个目标能否实现？如果能，请写出
具体的涨价方案；如果不能，请说明理由．
【答案】(1)20%
(2)该零件的实际售价应定为50 元
(3)不能，理由见解析
【分析】（1）设该车间4 月份到6 月份生产数量的平均增长率为x，利用该车间6 月份生产数量= 该车间
4 月份生产数量× (1 + 𝑥)2，可列出关于x 的一元二次方程，解之取其符合题意的值即可得出结论；
（2）设该零件的实际售价为m 元，则每个的销售利润为(𝑚−30)元，利用总利润= 每个的销售利润× 月销
售量，可列出关于m 的一元二次方程，解之可得出m 的值，再结合要尽可能让消费者得到实惠，即可确定
结论；
（3）设该零件的实际售价为n 元，可列出关于n 的一元二次方程，解之即可确定结论．
【详解】（1）解：设车间4 月份到6 月份生产数量的月平均增长率为x，
由题意得100(1 + 𝑥)2 = 144，
解得𝑥= 0.2 = 20%或𝑥= −2.2（舍去）．
答：该车间4 月份到6 月份生产数量的月平均增长率为20%；
（2）解：设该零件的实际售价为m 元，
由题意得(𝑚−30) 600−10(𝑚−40) = 10000，
整理得𝑚2−130𝑚+ 4000 = 0，
解得𝑚= 50或𝑚= 80．
∵尽可能让消费者得到实惠，
∴𝑚= 50．
答：该零件的实际售价应定为50 元；
（3）解：设该零件的实际售价为n 元时，月销售利润能达到20000 元，
由题意得(𝑛−30) 600−10(𝑛−40) = 20000，
整理得𝑛2−130𝑛+ 5000 = 0，
∵Δ = (−130)2−4 × 1 × 5000 = −3100 < 0，
∴方程没有实数根，
故月销售利润不能达到20000 元．
知识点3 面积问题
面积公式：𝑆长方形= 𝑎𝑏，𝑆正方形= 𝑎2，𝑆圆= 𝜋𝑟2，𝑆三角形= 1
2𝑎ℎ；
说明：①a，b 分别为长方形的长、宽；
②a 为正方形的边长；
③r 为圆的半径；
④a 为三角形的一边长，h 为边长为a 的边上的高．
【题型6 边框与甬通道问题】
【例6】（25-26 八年级下·浙江温州·期中）某公园有一块长30 米，宽20 米的长方形空地，现将其划分成一
个长方形𝐴𝐵𝐶𝐷区域I（阴影部分）和一个环形道路区域II（空白部分），如图1 所示．区域II 道路的宽度相
等，且不超过5 米．其中区域I种植甲、乙两种花卉，且满足𝐴𝐸= 𝐴𝐻= 𝐶𝐹= 𝐶𝐺，设道路宽为𝑥米．
(1)请用含𝑥的代数式表示长方形𝐴𝐵𝐶𝐷的面积；
(2)若．长方形𝐴𝐵𝐶𝐷的面积为336 平方米，求道路宽𝑥的值；
(3)若．点𝐸为𝐴𝐵的中点，建设成本如图2，建造总费用恰好为50000 元（建造总费用包含花卉种植费和道路铺
设费），求道路宽𝑥的值．
【答案】(1)(20−2𝑥)(30−2𝑥)
(2)道路宽为3 米
考点3
面积问题
(3)当道路宽为5 米时，建造总费用为50000 元
【详解】（1）解：(20−2𝑥)(30−2𝑥)．
（2）解：由题意得(20−2𝑥)(30−2𝑥) = 336 ，
解得𝑥1 = 3，𝑥2 = 22（舍去），
答：道路宽为3 米．
（3）解：∵点𝐸为𝐴𝐵的中点，𝐴𝐸= 𝐴𝐻= 𝐶𝐹= 𝐶𝐺，四边形𝐴𝐵𝐶𝐷是矩形，
∴𝐸𝐺∥𝐵𝐶，𝐸𝐺= 𝐵𝐶，𝑆▱𝐸𝐹𝐺𝐻= 𝑆△𝐸𝐹𝐺+𝑆△𝐸𝐺𝐻=
1
2𝐵𝐶⋅𝐶𝐷，
∴𝑆▱𝐸𝐹𝐺𝐻=
1
2𝑆矩形𝐴𝐵𝐶𝐷，
由题意知：
环形道路的面积为：20 × 30−(20−2𝑥)(30−2𝑥) = −4𝑥2 +100𝑥，
花卉甲的种植面积为：
1
2(20−2𝑥)(30−2𝑥)，
花卉乙的种植面积为：
1
2(20−2𝑥)(30−2𝑥)，
∴(−4𝑥2 + 100𝑥) × 50 +
1
2(20−2𝑥)(30−2𝑥) × 200 +
1
2(20−2𝑥)(30−2𝑥) × 100 = 50000，
整理得：𝑥2−25𝑥+ 100 = 0
解得𝑥1 = 5,𝑥2 = 20（舍去）
所以当道路宽为5 米时，建造总费用为50000 元．
【变式6-1】（25-26 八年级下·浙江台州·期中）如图，一块长12 米、宽8 米的长方形户外草坪，规划了两
横两纵等宽的石板小径（阴影部分），石板小径的总面积占草坪总面积的
3
8，则石板小径的宽度为_______米．
【答案】1
【分析】设石板小径的宽度为𝑥米，利用平移法将剩余草坪拼成一个长方形，根据剩余草坪面积等于总面积
乘以剩余比例列出一元二次方程，求解并取合适的值即可．
【详解】设石板小径的宽度为𝑥米，
根据题意，利用平移法，剩余草坪可视为长为(12−2𝑥)米，宽为(8−2𝑥)米的长方形，
草坪总面积为12 × 8 = 96平方米，
石板小径的总面积占草坪总面积的
3
8，则剩余草坪面积占总面积的1−
3
8 =
5
8，
列方程得： (12−2𝑥)(8−2𝑥) = 96 ×
5
8，
解得： 𝑥1 = 1,𝑥2 = 9，
当𝑥= 9时，8−2𝑥= 8−18 = −10 < 0，不合题意，舍去，
所以𝑥= 1．
即石板小径的宽度为1 米．
故答案为：1．
【变式6-2】（25-26 八年级下·安徽合肥·期中）综合与实践：
探索果园土地规划和销售利润问题
素材1：某农户承包了一块长方形果园𝐴𝐵𝐶𝐷，如图是果园的平面图，其中𝐴𝐵= 100米，𝐵𝐶= 150米，准备
在果园的四周铺设道路，上下两条横向道路（沿𝐵𝐶方向）的宽度都为2𝑥米，左右两条纵向道路（沿𝐴𝐵方向）
的宽度都为𝑥米，道路围合的中间矩形区域为种植园区（如图中阴影区域）．出于货车通行等因素的考虑，
道路宽度𝑥不超过7 米，且不小于3 米．
素材2：该农户在种植园区种植草莓，市场调研信息：草莓培育一年可产果，若每平方米草莓的月销售利润
为40 元，每月可销售出800 平方米种植面积对应的草莓产量（即月销售覆盖800 平方米的种植面积）．受
天气原因，农户决定降价促销，若每平方米的草莓月利润每下调1 元，每月可多销售50 平方米种植面积对
应的草莓产量，果园每月的承包费为1000 元．
问题解决
(1)种植园区的长为______米，宽为______米；（用含𝑥的代数式表示）
(2)若种植园区的面积为11200 平方米，道路设置的宽度𝑥是否符合要求？请说明理由．
(3)若农户预期一个月的总利润为35000 元，为让客户得到实惠，每平方米草莓的月利润应该下调多少元？
（总利润= 销售利润−承包费）
【答案】(1)(150−2𝑥)，(100−4𝑥)
(2)符合要求，理由见解析
(3)20 元
【分析】（1）根据题意列出代数式即可；
（2）根据题意列出(150−2𝑥)(100−4𝑥) = 11200，即可得到答案；
（3）设每平方米草莓的月利润应该下调𝑦元，由题意即可得到(40−𝑦)(800 + 50𝑦)−1000 = 35000，即可得
到答案．
【详解】（1）解：种植园区的长为(150−2𝑥)米，宽为(100−4𝑥)米；
（2）解：符合要求．
理由如下，
(150−2𝑥)(100−4𝑥) = 11200，
整理得，𝑥2−100𝑥+ 475 = 0，
解得，𝑥1 = 95，𝑥2 = 5．
∵道路宽度𝑥不超过7 米，且不小于3 米，
∴𝑥= 5，即道路设置的宽度𝑥符合要求；
（3）解：设每平方米草莓的月利润应该下调𝑦元，
∴(40−𝑦)(800 + 50𝑦)−1000 = 35000，
整理得，𝑦2−24𝑦+ 80 = 0，
解得，𝑦1 = 20，𝑦2 = 4．
∵让客户得到实惠，
∴每平方米草莓的月利润应该下调20 元．
【变式6-3】（25-26 八年级下·浙江温州·月考）阳光小区附近有一块长100m，宽80m的长方形空地，在空
地上有两条相同宽度的步道（一纵一横）和一个边长为步道宽度7 倍的正方形休闲广场，两条步道的总面
积与正方形休闲广场的面积相等，如图1 所示，设步道的宽为𝑎(m)．则步道的宽为_____；方便市民进行跑
步健身，现按如图2 所示方案增建塑胶跑道．已知塑胶跑道的宽为1m，长方形区域甲的面积比长方形区域
乙大441m2，且区域丙为正方形，塑胶跑道的总面积为____m2．
【答案】
3.6m
199
【分析】根据题意可得正方形休闲广场的边长为7𝑎(m)，根据两条步道的总面积与正方形休闲广场的面积相
等建立方程可求出步道的宽；设区域丙的边长为𝑏(m)，长方形区域甲和长方形区域乙的宽相等，那么长方
形区域甲的长比长方形区域乙的长多的长度乘以区域丙的边长即为长方形区域甲的面积比长方形区域乙多
的面积，据此建立方程求出区域丙的边长即可得到答案．
【详解】解：由题意得，100𝑎+ 80𝑎−𝑎2 = (7𝑎)2，
∴50𝑎2−180𝑎= 0，
∴10𝑎(5𝑎−18) = 0，
解得𝑎= 3.6或𝑎= 0（舍去），
∴步道的宽为3.6m；
设区域丙的边长为𝑏(m)，
由题意得，长方形区域甲和长方形区域乙的宽相等，长方形区域甲的长比长方形区域乙的长多
100−80 + 1 = 21(m)，
∵长方形区域甲的面积比长方形区域乙大441m2，
∴21𝑏= 441，
∴𝑏= 21，
∴塑胶跑道的总面积为1 × (100 + 80 + 21−2) = 199(m2)．
【题型7 围墙类问题】
【例7】（25-26 八年级下·安徽池州·期中）如图，有一长方形鸡场，鸡场的一边靠墙（墙足够长），另三边
用竹篱笆围成，竹篱笆的总长为37米，与墙平行的边留有1米宽的门（门用其他材料做成），若鸡场的面积
为180平方米，则鸡场与墙垂直的边长为（ ）
A．9米
B．8米
C．10米
D．9米或10米
【答案】D
【分析】设鸡场与墙垂直的边长为𝑥米，则与墙平行的边长为37−2𝑥+ 1 = (38−2𝑥)米，根据题意列出方程
解答即可求解．
【详解】解：设鸡场与墙垂直的边长为𝑥米，则与墙平行的边长为37−2𝑥+ 1 = (38−2𝑥)米，
由题意得，𝑥(38−2𝑥) = 180 ，
解得𝑥1 = 9，𝑥2 = 10，
∴鸡场与墙垂直的边长为9米或10米．
【变式7-1】（25-26 九年级上·全国·期末）如图，要利用一面墙（墙长为25 米）建羊圈，用100 米的围栏
围成总面积为400 平方米的三个大小相同的矩形羊圈，求羊圈的边长𝐴𝐵，𝐵𝐶各为_____米．
【答案】20，20
【分析】本题考查了一元二次方程的应用．设𝐴𝐵的长度为𝑥米，则𝐵𝐶的长度为(100−4𝑥)米，然后根据矩形
的面积公式列出方程，结合题意舍掉不合适的结果即可．
【详解】解：设𝐴𝐵的长度为𝑥米，则𝐵𝐶的长度为(100−4𝑥)米，
根据题意得：(100−4𝑥)𝑥= 400，
解得：𝑥1 = 20，𝑥2 = 5，
∴100−4𝑥= 20或100−4𝑥= 80，
∵80 > 25
∴𝑥= 5舍去，
∴𝐴𝐵= 20，𝐵𝐶= 20，
答：羊圈的边长𝐴𝐵，𝐵𝐶各为20 米，20 米．
故答案为：20，20．
【变式7-2】（24-25 九年级上·四川绵阳·月考）如图，农场决定利用长为12 米的旧墙，另外三面用篱笆围
成，中间再用篱笆分成两个矩形菜园𝐴𝐵𝐶𝐷，已知篱笆总长度为27 米，所围成的大矩形𝐴𝐵𝐶𝐷的面积为42
平方米，那么𝐴𝐵的长为________．
【答案】7m/7 米
【分析】本题考查一元二次方程的实际应用，设𝐴𝐵的长为x 米，则𝐴𝐷= 𝐵𝐶= 27−3𝑥，根据“𝐴𝐵𝐶𝐷的面积
为42 平方米”列一元二次方程，解方程后，根据“𝐴𝐷长小于等于12 米”对求出的根进行取舍即可．
【详解】解：设𝐴𝐵的长为x 米，
由题意得，𝑥(27−3𝑥) = 42，
整理，得：𝑥2−9𝑥+ 14 = 0，
解得𝑥1 = 7，𝑥2 = 2，
当𝑥= 7时，𝐴𝐷= 27−3 × 7 = 6 < 12，符合题意；
当𝑥= 2时，𝐴𝐷= 27−3 × 2 = 21 > 12，不合题意；
综上可知，𝐴𝐵的长为7m，
故答案为：7m．
【变式7-3】（25-26 九年级上·河南许昌·月考）用篱笆靠墙围成矩形花圃𝐴𝐵𝐶𝐷，墙可利用的最大长度为12
m，篱笆总长为20m．
(1)若围成的花圃面积为42m2，求𝐵𝐶的长；
(2)如图（2），若计划在花圃中间用一道篱笆隔成两个小矩形，且围成的花圃总面积为40m2，则能否成功
围成花圃？如果能，求𝐵𝐶的长；如果不能，请说明理由．
【答案】(1)𝐵𝐶的长为6m
(2)不能围成花圃，利用见解析
【分析】此题主要考查了一元二次方程的应用．
（1）由于篱笆总长为20m，设平行于墙的𝐵𝐶边长为𝑥m，由此得到𝐴𝐵=
20−𝑥
2 m，接着根据题意列出方程
20−𝑥
2
⋅𝑥= 42，解方程即可求出𝐵𝐶的长；
（2）根据（1）得到
20−𝑥
3
⋅𝑥= 40，此方程的判别式Δ = (−20)2−4 × 120 = −80 < 0，由此得到方程无实数
解，所以不能围成花圃．
【详解】（1）解：设平行于墙的𝐵𝐶边长为𝑥m．
根据题意得，𝐴𝐵=
20−𝑥
2 m，
则
20−𝑥
2
⋅𝑥= 42，即𝑥2−20𝑥+ 84 = 0，
∴𝑥1 = 6，𝑥2 = 14，
因为14 > 12，
所以𝑥= 14舍去，
所以𝑥= 6，
答：𝐵𝐶的长为6m；
（2）解：不能围成花圃，理由如下：
根据题意得，
20−𝑥
3
⋅𝑥= 40，
方程可化为𝑥2−20𝑥+ 120 = 0，
∴Δ = (−20)2−4 × 120 = −80 < 0，
∴方程无实数解，
∴不能围成花圃．
知识点4 工程（行程）问题
工作总量=工作效率×工作时间；路程=速度×时间.
【题型8 工程问题】
【例8】（25-26 九年级上·重庆巫山·期末）学校图书馆需将4800 本新图书进行整理上架，现有甲、乙两个
志愿者报名承担此项工作．已知甲计划每天比乙计划每天多整理100 本图书，且甲整理1200 本图书与乙整
理1000 本图书的时间相等
考点4
工程、行程、图表信息问题
(1)求甲计划每天整理多少本图书？
(2)学校决定由甲承担此项图书整理工作．为赶工期，甲实际每天整理的图书数量比计划每天多4𝑎本，最终
完成所用的时间比甲计划所需的时间少0.04𝑎天，求a 的值
【答案】(1)600
(2)50
【分析】本题考查了分式方程的应用，一元二次方程的应用，正确掌握相关性质内容是解题的关键．
（1）设乙计划每天整理x 本图书，则甲计划每天整理(𝑥+ 100)本图书，结合甲整理1200 本图书与乙整理
1000 本图书的时间相等，列分式方程求解；
（2）先得出计划时间为8天，根据实际工作效率和时间关系列一元二次方程求解，即可作答．
【详解】（1）解：设乙计划每天整理x 本图书，则甲计划每天整理(𝑥+ 100)本图书，
依题意，
1200
𝑥+100 =
1000
𝑥，
解得𝑥= 500，
经检验：当𝑥= 500时，𝑥(𝑥+ 100) ≠0，
∴𝑥= 500是原分式方程的解，
∴甲计划每天整理500 + 100 = 600（本）
（2）解：由（1）得甲计划每天整理600 本，
∵总图书4800 本，
则计划时间
4800
600 = 8天，
依题意，甲实际每天整理(600 + 4𝑎)本，实际完成时间(8−0.04𝑎)天
根据工作量关系，得方程(600 + 4𝑎)(8−0.04𝑎) = 4800，
展开得4800−24𝑎+ 32𝑎−0.16𝑎² = 4800，
化简得8𝑎−0.16𝑎2 = 0，
即𝑎(8−0.16𝑎) = 0
解得𝑎= 0或𝑎= 50，
由于𝑎= 0不符合实际意义，故𝑎= 50．
【变式8-1】（25-26 九年级上·陕西咸阳·月考）“万里无云镜九州，最团圆夜是中秋．”临近中秋节，某月饼
厂接到一笔3200盒月饼的订单，现决定由甲、乙两组共同完成，已知两组同时开工，甲组加工10天，乙组
加工8 天就能完成这笔订单，且甲组3 天加工的月饼数量比乙组2 天加工的月饼数量多300盒．
(1)求甲、乙两组平均每天各能加工多少盒月饼；
(2)甲、乙两组同时开工2 天后，这笔订单临时又增加了500盒月饼，甲组从第3 天起提高了工作效率，而乙
组的工作效率不变，并提前完成了这笔订单．经调研发现，若甲组平均每天每多加工100盒月饼，则甲、乙
两组就各自都提前1 天完成任务，已知甲、乙两组加工的天数均为整数，则甲组提高工作效率后，甲、乙
两组都提前多少天完成了这笔订单？
【答案】(1)甲组平均每天能加工200盒月饼，乙组平均每天能加工150盒月饼
(2)甲组提高工作效率后，甲、乙两组都提前2 天完成了这笔订单
【分析】本题考查列方程（组）解应用题，找到等量关系列出方程（组）是解决问题的关键．
（1）设甲组平均每天能加工x 盒月饼，乙组平均每天能加工y 盒月饼，根据题意找到两个等量关系列方程
再求解即可；
（2）设甲组提高工作效率后，甲、乙两组都提前a 天完成了这笔订单，根据题意列出方程求解并保留符合
题意的整数解即可．
【详解】（1）解：设甲组平均每天能加工x 盒月饼，乙组平均每天能加工y 盒月饼，
根据题意，得
10𝑥+ 8𝑦= 3200
3𝑥−2𝑦= 300
，
解得
𝑥= 200
𝑦= 150
，
答：甲组平均每天能加工200盒月饼，乙组平均每天能加工150盒月饼；
（2）解：设甲组提高工作效率后，甲、乙两组都提前a 天完成了这笔订单，根据题意，得
2 × (200 + 150) + (200 + 100𝑎)(10−2−𝑎) +150(8−2−𝑎) = 3200 + 500，
整理得2𝑎2−9𝑎+ 10 = 0，
解得𝑎1 = 2，𝑎2 =
5
2（不符合题意，舍去），
答：甲组提高工作效率后，甲、乙两组都提前2 天完成了这笔订单．
【变式8-2】（25-26 九年级上·重庆·月考）列方程解下列问题：
甲、乙两人加工生产同种零件．甲每小时比乙多生产10 个，甲生产120 个该种零件的时间与乙生产100 个
该种零件的时间相同．
(1)求甲、乙两人每小时各生产多少个零件？
(2)由于市场需求量大幅增加，该厂更换了生产设备．更换设备后，甲每小时生产的零件数量比原来增长了
5𝑚%，乙每小时比原来多生产𝑚个零件，甲、乙两人同时工作𝑚小时共可以生产1500 个零件，求𝑚的值．
【答案】(1)甲每小时生产60 个零件， 则乙每小时生产50 个零件
(2)10
【分析】本题主要考查了分式方程的实际应用，一元二次方程的实际应用，根据题意，得到等量关系是解
题的关键．
（1）设甲每小时生产x 个零件， 则乙每小时生产(𝑥−10)个零件，根据“甲生产120 个该种零件的时间与乙
生产100 个该种零件的时间相同．”列出方程，即可求解；
（2）先求出更换设备后，甲每小时生产的零件数量为60 + 60 × 5𝑚% = (60 + 3𝑚)，乙每小时生产(50 + 𝑚)
个零件，根据“甲、乙两人同时工作𝑚小时共可以生产1500 个零件，” 列出方程，即可求解．
【详解】（1）解：设甲每小时生产x 个零件， 则乙每小时生产(𝑥−10)个零件，根据题意得：
120
𝑥=
100
𝑥−10，
解得：𝑥= 60，
经检验，𝑥= 60是原方程的解，且符合题意，此时𝑥−10 = 50，
答：甲每小时生产60 个零件， 则乙每小时生产50 个零件；
（2）解：更换设备后，甲每小时生产的零件数量为60 + 60 × 5𝑚% = (60 + 3𝑚)，乙每小时生产(50 + 𝑚)
个零件，根据题意得：
(60 + 3𝑚+ 50 + 𝑚)𝑚= 1500，
整理得：2𝑚2 +55𝑚−750 = 0，
解得：𝑚1 = 10,𝑚2 = −
75
2 （舍去），
即m 的值为10．
【变式8-3】（24-25 九年级上·河南驻马店·月考）某企业为迎接2025 年新年，计划给全体员工定制一批新
的工装，该企业委托甲、乙两个工厂共同生产这批工装，根据调查统计，甲厂每小时能生产45 套这种工装，
乙厂每小时能生产50 套这种工装．
(1)若甲厂生产的时间和乙厂生产的时间共8 小时，生产工装的总套数不少于380 套，则乙厂至少生产这种
工装多少小时?
(2)原计划甲、乙两个工厂每天均生产8 小时，但现在为了该企业的需求，两个工厂每天均需要增加生产时
间（增加的生产时间不得超过8 小时），且甲厂增加的时间比乙厂增加的时间多3 小时，因为甲厂机器损
耗及人员不足，甲厂每增加1 小时，该厂每小时的平均产量将减少3 套，乙厂每小时的产量保持不变，这
样两个工厂每天生产的工装总套数为890 套，求甲厂实际每天生产工装增加的时间．
【答案】(1)4 小时
(2)5 小时
【分析】本题考查一元一次不等式的应用、一元二次方程的应用，熟练掌握以上知识点是关键．
（1）根据题意和题目中的数据，可以列出相应的不等式，然后求解即可；
（2）根据题意和题目中的数据，可以列出相应的方程，然后求解即可，注意求得结果要符合题意．
【详解】（1）解：设乙厂生产这种工装𝑥小时，则甲厂生产这种工装(8−𝑥)小时，
由题意得45(8−𝑥) +50𝑥≥380，
解得𝑥≥4，
答：乙厂至少生产这种工装4 小时；
（2）解：设甲厂实际每天生产工装增加的时间为𝑎小时，
由题意得(45−3𝑎)(8 + 𝑎) +50(8 + 𝑎−3) = 890，
解得𝑎1 = 5，𝑎2 =
56
3 （舍去），
答：甲厂实际每天生产工装增加的时间为5 小时．
【题型9 行程问题】
【例9】一个小球以5m/s速度开始向前滚动，并且均匀减速，4s后小球停止滚动．小球滚动5m约用了________
秒（结果保留小数点后一位）
【答案】1.2．
【分析】利用等量关系：速度× 时间=路程，时间为𝑥𝑠，根据题意列出方程：𝑥·
5+(5−1.25𝑥)
2
= 5求解即可．
【详解】由题意得：小球的平均每秒减少的滚动速度是
5+0
4 = 1.25(𝑚/𝑠)，
设小球滚动5𝑚时约用了𝑥𝑠，
由题意得：𝑥·
5+(5−1.25𝑥)
2
= 5，
整理得：𝑥2−8𝑥+ 8 = 0，
解得：𝑥= 4 ± 2 2，
∵𝑥< 4，
∴𝑥= 4−2 2 ≈1.2，
故小球滚动5𝑚用了1.2 秒．
【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，重点在于求出平均每秒小球的运动减少的速度，读懂题意是解
题的关键．
【变式9-1】《九章算术》中有一题：“今有二人同立，甲行率六，乙行率四，乙东行，甲南行十步而斜东
北与乙会，问甲乙各行几何？”大意是说：“甲、乙二人同时从同一地点出发，甲的速度为6，乙的速度为4，
乙一直向东走，甲先向南走10 步，后又斜向北偏东方向走了一段后与乙相遇，甲、乙各走了多少步？”请问
乙走的步数是（ ）
A．36
B．26
C．24
D．10
【答案】C
【分析】设甲、乙两人相遇的时间为t，则乙走了4𝑡步，甲斜向北偏东方向走了(6𝑡−10)步，利用勾股定理
即可得出关于t 的一元二次方程，解之即可得出t 值，将其值代入4𝑡中即可求出结论．
【详解】解：设甲、乙两人相遇的时间为t，则乙走了4𝑡步，甲斜向北偏东方向走了(6𝑡−10)步，
依题意得：102 + (4𝑡)2 = (6𝑡−10)2，
整理得：20𝑡2−120𝑡= 0，
解得：𝑡1 = 6,𝑡2 = 0（不合题意，舍去），
∴4𝑡= 4 × 6 = 24．
故乙走的步数是24．
故选：C．
【点睛】本题考查了一元二次方程的应用以及勾股定理，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的
关键．
【变式9-2】（2024·广东广州·模拟预测）今年年初一美丽的白鹅潭江而进行了以“活力湾区，新彩广州”为
主题的烟花汇演，甲、乙两人从各自家前往最佳观赏点之一的洲头咀公园观看烟花汇演，由于当晚该公园
附近路段实施了交通管制，甲先将车开到距离自己家20 千米的停车场后，再步行2 千米到达目的地，共花
了1 小时．此期间，已知甲开车的平均速度是甲步行平均速度的10 倍．
(1)求甲开车的平均速度及步行的平均速度分别是多少？
(2)乙是骑车前往与他家相距8 千米的目的地，若乙骑车的平均速度比甲步行的平均速度快8a 千米/小时
（𝑎> 0），乙骑车时间比甲开车时间多a 小时，求a 的值．
【答案】(1)甲开车的平均速度是40 千米/小时，步行的平均速度是4 千米/小时
(2)𝑎的值为
1
2
【分析】本题考查了分式方程的应用以及一元二次方程的应用．
（1）设甲步行的平均速度是𝑥千米/小时，则甲开车的平均速度是10𝑥千米/小时，利用时间= 路程÷ 速度，
结合甲到达目的地共花了1 小时，可列出关于𝑥的分式方程，解之经检验后，可得出甲步行的平均速度，再
将其代入10𝑥中，即可求出甲开车的平均速度；
（2）利用路程= 速度× 时间，可列出关于𝑎的一元二次方程，解之取其符合题意的值，即可得出结论．
【详解】（1）设甲步行的平均速度是𝑥千米/小时，则甲开车的平均速度是10𝑥千米/小时，
根据题意得：
20
10𝑥+
2
𝑥= 1，
解得：𝑥= 4，
经检验，𝑥= 4是所列方程的解，且符合题意，
∴10𝑥= 10 × 4 = 40（千米/小时）．
答：甲开车的平均速度是40 千米/小时，甲步行的平均速度是4 千米/小时；
（2）根据题意得：(4 + 8𝑎)(
20
40 +𝑎) = 8，
即(
1
2 + 𝑎)
2
= 1，
解得：𝑎1 =
1
2，𝑎2 = −
3
2（不符合题意，舍去）．
答：𝑎的值为
1
2．
【变式9-3】九龙坡区有七条特色的山城步道，不仅景色宜人，而且各有特色．中梁山云岭森林公园是主城
区首个全开放式无围墙森林公园，公园里有一条长10km的登山步道，学校两个登山小队组织周末登山活动，
计划沿步道登山，若两队同时出发，第一队的登山速度是第二队登山速度的1.2倍，他们比第二队早40 分钟
到达步道终点．
(1)两个小队的登山速度各是多少千米/小时？
(2)到达步道终点后，第一队队长小明继续沿着另一条山路登山，直至山顶．在他从山路登山开始的前30 分
钟内，平均每分钟消耗热量10 卡路里，超过30 分钟后，每多登山2 分钟，平均每分钟消耗的热量就增加1
卡路里，在山路登山到山顶的过程中小明共消耗1050 卡路里热量，小明从山路登山直至山顶共用多少分钟
．．？
【答案】(1)第一队的登山速度为3 千米/小时， 第二队的登山速度为2.5千米/小时
(2)60 分钟
【分析】本题主要考查了一元二次方程的实际应用，分式方程的实际应用，
（1）设第二队的登山速度为x 千米/小时，则第一队的登山速度为1.2𝑥千米/小时，根据第一队比第二队早
40 分钟到达步道终点列出方程求解即可；
（2）小明从山路登山直至山顶共用m 分钟，根据“在整个锻炼过程中，小明共消耗1050 卡的热量”列出关
于m 的一元二次方程，求解取其符合题意的值即可．
【详解】（1）解；设第二队的登山速度为x 千米/小时，则第一队的登山速度为1.2𝑥千米/小时，
由题意得，
10
𝑥−
10
1.2𝑥=
40
60，
解得𝑥= 2.5，
经检验，𝑥= 2.5是原方程的解，且符合题意，
∴1.2𝑥= 3，
∴第一队的登山速度为3 千米/小时， 第二队的登山速度为2.5千米/小时；
（2）解：小明从山路登山直至山顶共用m 分钟，
由题意得，30 × 10 + 10 +
𝑚−30
2
(𝑚−30) = 1050，
解得𝑚= 60或𝑚= −20（舍去），
答：小明从山路登山直至山顶共用60 分钟．
【题型10 图表信息问题】
【例10】（24-25 九年级下·广东深圳·开学考试）体重为衡量个人健康的重要指标之一，表（1）为成年人利
用身高（米）计算理想体重（公斤）的三种方式，由于这些计算方式没有考虑脂肪及肌肉重量占体重的比
例，结果仅供参考．
表（1）
算法一
女性理想体重
身高×身高× 22
男性理想体重
身高×身高× 22
算法二
100 ×身高−70 × 0.6
100 ×身高−80 × 0.7
算法三
100 ×身高−158 × 0.5 + 52
100 ×身高−170 × 0.6 + 62
表（2）
实际体重
类别
大于理想体重的120%
肥胖
介于理想体重的110%~120%
过重
介于理想体重的90%~110%
正常
介于理想体重的80%~90%
过轻
小于理想体重的80%
消瘦
(1)甲说：有的女性使用算法一与算法二算出的理想体重会相同．你认为正确吗？请说明理由．
(2)无论我们使用哪一种算法计算理想体重，都可将个人的实际体重表（2）归类为的其中一种类别．
①一名身高为ℎ米的成年男性用算法二得出的理想体重不低于70 公斤，直接写出ℎ的取值范围________．
②小王的父亲身高1.75 米，体重为73 公斤，请根据算法三算出父亲的理想体重，并评估他可能被归类为
哪一种类别？
【答案】(1)甲的说法不正确，理由见解析
(2)①ℎ≥1.8；②过重
【分析】该题主要考查了求代数式的值，一元二次方程，一元一次不等式的应用，解题的关键是熟练掌握
表中算法，两个表的互补性．
（1）设女性身高为x 米，根据算法一和算法二的计算方法表示出理想体重，列出方程求解，判断即可；
（2）①由男性的理想体重算法二，列不等式，求出h 的取值范围即可；②由男性的理想体重算法三，求
出小王的父亲的理想体重，算出实际体重占理想体重的百分比，再对照表（2）比较即得．
【详解】（1）解：假设甲叙述正确，设女性的身高为x 米，
根据题意，得22𝑥2 = (100𝑥−70) × 0.6，
整理，得11𝑥2−30𝑥+ 21 = 0，
∵Δ = (−30)2−4 × 11 × 21 = −24 < 0，
∴原方程没有实数根，
∴假设不成立，即甲叙述错误；
（2）解：①由题意可知：(100ℎ−80) × 0.7 ≥70，
解得ℎ≥1.8，
故答案为：ℎ≥1.8；
②小王父亲的理想体重(100 × 1.75−170) × 0.6 + 62 = 5 × 0.6 + 62 = 65（公斤），
实际体重占比
73
65 × 100% ≈112%，
过重，
答：小王的父亲体重被归类为过重类别．
【变式10-1】某市为鼓励居民节约用水，对居民用水实行阶梯收费，每户居民用水量每月不超过a 吨时，
每吨按0.3a 元缴纳水费；每月超过a 吨时，超过部分每吨按0.4a 元缴纳水费．
（1）若a＝12，某户居民3 月份用水量为22 吨，则该用户应缴纳水费多少元？
（2）若如表是某户居民4 月份和5 月份的用水量和缴费情况：
月份
用水量（吨）
交水费总金额（元）
4
18
62
5
24
86
根据上表数据，求规定用水量a 的值
【答案】（1）91.2 ；（2）10
【分析】（1）根据题意得：该用户3 月份用水量超过a 吨，然后根据“用水量每月不超过a 吨时，每吨按
0.3a 元缴纳水费；每月超过a 吨时，超过部分每吨按0.4a 元缴纳水费”，即可求解；
（2）若𝑎> 18 ，可得𝑎2 =
620
3 < 182 ，从而得到𝑎< 18 ，再由“用水量每月不超过a 吨时，每吨按0.3a
元缴纳水费；每月超过a 吨时，超过部分每吨按0.4a 元缴纳水费”，列出方程，即可求解．
【详解】解：（1）根据题意得：该用户3 月份用水量超过a 吨，
0.3 × 122 +0.4 × 12 × (22−12) = 91.2 元；
（2）若𝑎> 18 ，有
0.3𝑎2 = 62 ，解得：𝑎2 =
620
3 < 182 ，即𝑎< 18 ，不合题意，舍去，
∴𝑎< 18 ，
根据题意得：0.3𝑎2 +0.4𝑎(18−𝑎) = 62 ，
解得：𝑎1 = 10,𝑎2 = 62 （舍去），
答：规定用水量a 的值为10 吨．
【点睛】本题主要考查了一元二次方程的应用，明确题意，准确得到等量关系是解题的关键．
【变式10-2】疫情期间，“大白”成了身穿防护服的人员的代称．开学以来，我校很多老师在繁重的课务之余
承担起了核酸检测的任务，化身可敬可爱的“大白”．据多日检测结果调查发现一个熟能生巧的现象，当每位
大白检测人数是20人时，每位同学人均检测时间是30秒，而检测人数每提高10人，人均就少耗时1秒（若每
位大白的检测人数不超过150人，设人均少耗时𝑥秒）．
(1)补全下列表格：
检测人数（人）
20
30
60
…
人均检测时间
（秒）
30
28
…
30−𝑥
(2)某位大白一节课（40min）刚好同时完成了检测任务，那么他今日检测总人数为多少人？
【答案】(1)40，20 + 10𝑥，29，26
(2)他今日检测总人数为120人
【分析】（1）设检测人数为y，人均检测时间为t（秒），由题意可得出y、t 与x 之间的函数关系式，即可
补全表格；
（2）根据人均检测时间×检测人数＝总检测时间，可得关于x 的一元二次方程，解之即可得出结论．
【详解】（1）解：设检测人数为𝑦，人均检测时间为𝑡(秒)，
由题意得：𝑦= 20 + 10𝑥、𝑡= 30−𝑥，
补全表格如下：
检测人数(人)
20
30
40
60
…
20 + 10𝑥
人均检测时间(秒)
30
29
28
26
…
30−𝑥
（2）解：由题意得，(20 + 10𝑥)(30−𝑥) = 40 × 60，
解得𝑥1 = 18，𝑥2 = 10，
当𝑥= 18时，检测总人数为20 + 10 × 18 = 200(人)，
∵每位大白的检测人数不超过150人，
∴𝑥= 18不符合题意，舍去，
当𝑥= 10时，检测总人数为20 + 10 × 10 = 120(人)，
答：他今日检测总人数为120人．
【点睛】本题考查一次函数的应用，一元二次方程的应用，根据条件建立函数关系是解决本题的关键．
【变式10-3】某旅行社一则旅游消息如下：
旅游人数
收费标准
不超过10人
人均收费2400元
超过10人
每增加一人，人均收费减少60元，但人均收费不低于1500元
(1)甲公司员工分两批参加该项旅游，分别支付给旅行社12000元和24000元，甲公司员工有__________人．
(2)乙公司员工一起参加该项旅游，支付给旅行社36000元，乙公司员工多少人？
【答案】(1)15；
(2)乙公司20人．
【分析】（1）设甲公司员工有x 人，根据第一次、第二次支付的费用和人均收费标准，判断出两次都不超
过10 人，直接用总费用除以人均收费，即可得出答案；
（2）设乙公司员工𝑥人，根据支付的费用先判断出公司去的人数超过了10 人，再根据每增加一人，人均收
费减少60 元，列出方程，求出𝑥的值，再根据人均收费不低于1500 元，即可得出乙公司去的人数．
【详解】（1）解：设甲公司有𝑥人，
12000 ÷ 2400 + 24000 ÷ 2400，
= 10 + 5，
= 15（人）．
故答案为：15
（2）设乙公司𝑥人，
2400−60(𝑥−10) 𝑥= 36000，
𝑥1 = 20，𝑥2 = 30，
若𝑥= 30，每人费用：2400−60 × 20 = 1200 < 1500，不符舍去，
若𝑥= 20，每人费用：2400−60 × 10 = 1800 > 1500，符合，
答：乙公司20人．
【点睛】此题考查了一元二次方程的应用，读懂题意正确列式和列方程是解题的关键．
