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专题02 利用一元二次方程的解求值（举一反三专项训练）
【新教材人教版】
【题型1 逢解必带-定义法】...................................................................................................................................1
【题型2 逢解必带-整体法】...................................................................................................................................1
【题型3 逢解必带-消参法】...................................................................................................................................2
【题型4 逢解必带-降次法】...................................................................................................................................2
【题型5 逢解必带-换元法】...................................................................................................................................2
【题型6 含参定根-与根无关】...............................................................................................................................3
【题型7 含参定根-比较系数】...............................................................................................................................3
【题型8 公共根-设根消参】...................................................................................................................................3
【题型1 逢解必带-定义法】
【例1】（2026·江西上饶·三模）已知关于x 的一元二次方程(𝑎−2)𝑥2−3𝑥+ 𝑎2−4 = 0有一个根为𝑥= 0，则
𝑎= ______．
【变式1-1】（2026·四川宜宾·一模）已知关于x 的一元二次方程(𝑎+ 1)𝑥2−2𝑥+ 𝑎2 +𝑎= 0有一个根为
𝑥= 0，则a 的值为__________.
【变式1-2】（25-26 九年级上·重庆·期中）已知𝑥= −1是一元二次方程(𝑘−3)𝑥2 + (𝑘2−4)𝑥−𝑘+ 8 = 0的一
个根，则𝑘的值是（ ）
A．3
B．−3
C．−3或3
D．−2或2
【变式1-3】（25-26 九年级下·江西九江·期中）已知一元二次方程(𝑚−1)𝑥2 + (2𝑚+ 1)𝑥+ 𝑚= 0有一个根
是1，则另一个根是（ ）
A．−1
B．2
C．1
D．0
【题型2 逢解必带-整体法】
【例2】（24-25 九年级上·湖南衡阳·月考）已知：𝑎是方程𝑥2 +2023𝑥−1 = 0的一个根，求代数式𝑎(𝑎+ 1)(𝑎−1)
+2023𝑎2 +1的值是_________．
【变式2-1】（25-26 九年级上·河北保定·期末）若𝑥= 𝑎为方程𝑥2−7𝑥+ 6 = 0的一个解，则代数式2014−2𝑎2
+14𝑎的值为（ ）
题型归纳
A．2007
B．2019
C．2025
D．2026
【变式2-2】（25-26 九年级上·重庆·期末）若a，b 是方程𝑥2 +𝑥−4 = 0的两个实数根，则(𝑎2 + 3𝑎−3)
(𝑏2 + 3𝑏−3)的值为_____．
【变式2-3】（25-26 九年级上·广东·期中）已知𝑎是方程𝑥2−2026𝑥+ 1 = 0的一个根，则𝑎2−2025𝑎+
2026
𝑎2+1的
值为（ ）
A．2023
B．2024
C．2025
D．2026
【题型3 逢解必带-消参法】
【例3】已知条件 方程ax2 +bx + c = 0(a ≠0) 的两个根分别是 2， -3，则
a+b
c 的值为____________．
【变式3-1】（25-26 九年级上·贵州铜仁·月考）已知关于𝑥的一元二次方程𝑎𝑥2 +𝑏𝑥+ 𝑐= 0(𝑎≠0)的两根分
别为−2，1，则
𝑏
𝑐的值为____________．
【变式3-2】已知关于 x 的一元二次方程 ax2 +bx +c =0(a ≠0)的两根为x1, x2,若满足 x1 +x2 = 2，且 x1 x
2= -3，求代数式
a+b
c 的值。
【变式3-3】（25-26 八年级下·浙江温州·期中）已知𝑎，𝑏，𝑐是非零实数，关于𝑥的一元二次方程𝑎𝑥2 +𝑏𝑥+
𝑐
4 = 0，𝑐𝑥2 +𝑎𝑥+
𝑏
4 = 0，𝑏𝑥2 +𝑐𝑥+
𝑎
4 = 0，有公共解，则代数式
𝑐2
𝑎𝑏−
𝑎
𝑏−
𝑏
𝑎的值为______．
【题型4 逢解必带-降次法】
【例4】（25-26 九年级上·山东德州·期末）若𝑎是方程𝑥2−𝑥−1 = 0的一个根，则−𝑎3 +2𝑎+ 2026的值为
（ ）
A．2025
B．−2025
C．2026
D．−2026
【变式4-1】（25-26 八年级上·上海·期中）已知𝛼与𝛽是方程𝑥2 +𝑥−3 = 0的两个不同的根，那么代数式𝛼3−4
𝛽2 +10的值为______．
【变式4-2】（24-25 九年级上·湖北武汉·月考）如果m，n 是一元二次方程𝑥2 +𝑥−3 = 0的两个根，那么多
项式𝑚3 +3𝑛−𝑚𝑛+
3
𝑛+2032的值是_______．
【变式4-3】设α 是方程𝑥2 +4𝑥−1 = 0的一个根，则𝛼4 +8𝛼3 +14𝛼2−8𝛼−15的值为__________．
【题型5 逢解必带-换元法】
【例5】（24-25 八年级下·浙江宁波·期中）关于𝑥的方程𝑎(𝑥+ 𝑚+ 2)2 +𝑏= 0的解是𝑥1 = −3，𝑥2 = 6（𝑎，
𝑚，𝑏均为常数，𝑎≠0），则方程𝑎(𝑥+ 𝑚)2 +𝑏= 0的解是________．
【变式5-1】（2025·山东烟台·一模）若𝑥= 2025是关于𝑥的方程𝑎𝑥2 +𝑏𝑥+ 1 = 0的一个根，则关于𝑥的方程
𝑎(𝑥+ 2)2 +𝑏𝑥+ 2𝑏= −1必有一个根为（ ）
A．2023
B．2024
C．2025
D．2027
【变式5-2】（24-25 九年级上·湖北省直辖县级单位·月考）关于𝑥的方程𝑎𝑥2 +𝑏𝑥+ 𝑐= 0两根分别为−3，7，
则方程𝑎(𝑥+ 1)2 +𝑏(𝑥+ 1) + 𝑐= 0的两根为（ ）
A．−4，6
B．−2，8
C．3，−7
D．−3，7
【变式5-3】（25-26 八年级上·上海·期中）关于 𝑥 的一元二次方程 𝑎𝑥2 +𝑏𝑥+ 𝑐= 0(𝑎≠0) 的两个根分别
𝑥1 = −1,𝑥2 = 2 ，则方程 𝑐(𝑥−1)2 +𝑏(𝑥−1) +𝑎= 0 的两个根分别是_____
【题型6 含参定根-与根无关】
【例6】关于𝑥的一元二次方程m𝑥2十𝑥−m+1=0 必有一根为 ．
【变式6-1】关于 x 的方程 k𝑥2 - (2k + 3)x + k + 3 = 0，必有一根为多少？
【变式6-2】若𝑎≠𝑏，则关于𝑥的方程(𝑎−𝑏)𝑥2 +(𝑐−𝑏)𝑥+ 𝑐−𝑎= 0必有一根是 ．
【变式6-3】已知关于 x 的一元二次方程 (m+n)𝑥2 + 2(m-n)x + (m-3n) = 0， 若该方程对于任意实数 m, n
（m+n ≠0）都必有一个公共的实数根，求这个根是多少？
【题型7 含参定根-比较系数】
【例7】已知4𝑎+ 𝑐= 2𝑏，则一元二次方程𝑎𝑥2 +𝑏𝑥+ 𝑐= 0必有一根是____________．
【变式7-1】（25-26 九年级上·广东茂名·月考）关于𝑥的一元二次方程𝑎𝑥2−𝑏𝑥−2025 = 0满足𝑎+ 𝑏= 2025，
则方程必有一根为（ ）
A．1
B．−1
C．± 1
D．无法确定
【变式7-2】若𝑎−𝑏+ 𝑐= 0，𝑎≠0，则关于𝑥的一元二次方程𝑎𝑥2 +𝑏𝑥+ 𝑐= 0中（ ）
A．必有一根为1 B．必有一根为−1
C．必有一根为0
D．必有一根为2
【变式7-3】若关于x 的一元二次方程ax2+bx+c=0 中二次项系数与常数项之和等于一次项系数,那么方程必
有一根为____.
【题型8 公共根-设根消参】
【例8】如果两个一元二次方程x2+x+k＝0 与x2+kx+1＝0 有且只有一个根相同，那么k 的值是_____．
【变式8-1】已知一元二次方程𝑥2 +𝑎𝑥+ 𝑏= 0①，𝑥2 +𝑏𝑥+ 𝑎= 0②，方程①与方程②有且只有一个公共
根，则𝑎与𝑏之间应满足的关系式为________．
【变式8-2】（25-26 八年级下·山东青岛·期中）定义：若两个一元二次方程有且只有一个相同的实数根,我们
就称这两个方程为“牵手方程”,例如方程𝑥2 = 4和𝑥2−2𝑥= 0有且仅有一个相同的实数根𝑥= 2,所以这两个方
程为“牵手方程”．若方程𝑥2 +2𝑥−3 = 0和(𝑥−3)(𝑥+ 𝑚) = 0为“牵手方程”,则m 的值为__________．
【变式8-3】已知关于𝑥的两个一元二次方程：①(𝑎−1)𝑥2−(𝑎2 + 2)𝑥+ (𝑎2 + 2𝑎) = 0，②(𝑏−1)𝑥2-(𝑏2 + 2)
𝑥+ (𝑏2 + 2𝑏) = 0，其二次项系数不相等且a，b 均为正整数，若这两个方程有一个公共根，则𝑎+ 𝑏= ____．
