文档内容
专题 21.4 一元二次方程的根与系数的关系【十大题型】
【人教版】
【题型1 利用根与系数的关系直接求代数式的值】.............................................................................................1
【题型2 利用根与系数的关系求方程的根】.........................................................................................................2
【题型3 利用根与系数的关系和一元二次方程的解求代数式的值】.................................................................2
【题型4 利用根与系数的关系降次求代数式的值】.............................................................................................2
【题型5 由一元二次方程的两根求值】..................................................................................................................3
【题型6 构造一元二次方程求代数式的值】.........................................................................................................3
【题型7 由一元二次方程的根判断另一个一元二次方程的根】.........................................................................3
【题型8 根与系数的关系与三角形、四边形的综合运用】.................................................................................4
【题型9 由一元二次方程根的取值范围求字母的取值范围】.............................................................................4
【题型10 一元二次方程中的新定义问题】..............................................................................................................5
知识点1：一元二次方程的根与系数的关系
b
若一元二次方程ax2+bx+c=0（a、b、c为常数，a≠0）的两根为x ，x ，则x +x =− ，
1 2 1 2 a
c
x ⋅x = ．
1 2 a
注意它的使用条件为，a≠0，Δ ≥0.
【题型1 利用根与系数的关系直接求代数式的值】
【例1】（23-24九年级·黑龙江绥化·开学考试）已知一元二次方程x2+x=5x+6的两根分别为m、n，则
1 1
+ = ．
m n
【变式1-1】（23-24九年级·广西来宾·期中）若a，b是方程x2−2x−5=0的两个实数根，则(a−2)(b−2)
的值为 ．
【变式1-2】（23-24九年级·四川成都·阶段练习）设方程 的根为 、 ，则 ．
2x2+3x+1=0 x x x2+x2=
1 2 1 2
【变式1-3】（23-24九年级·浙江宁波·期末）已知 x ，x 是方程 2x2+3x−7=0 的两个根，则
1 2的值为（ ）
x3x +x x3
1 2 1 2
21 259 63 133
A． B．− C．− D．−
4 8 8 8
【题型2 利用根与系数的关系求方程的根】
【例2】（23-24九年级·全国·单元测试）若关于x的方程3(x−1)(x−2m)=(m−12)x的两根之和与两根之
积相等，则方程的根为 ．
【变式2-1】（23-24·山东济南·二模）若关于x的一元二次方程x2+mx−6=0有一个根为x=2，则该方程
的另一个根为x= ．
【变式2-2】（23-24九年级·河北保定·阶段练习）若关于 的一元二次方程 的两个根分别是
x ax2=b(ab>0)
m与2m−6，则m的值为 ，方程的根为 ．
【变式2-3】（23-24九年级·浙江台州·阶段练习）若关于x的一元二次方程 的一根为2，则
ax2=c(a≠0)
另一根为 ．
【题型3 利用根与系数的关系和一元二次方程的解求代数式的值】
【例3】（23-24九年级·山东枣庄·期中）已知m、n是关于x的方程x2−2x−2021=0的根，则代数式
m2−4m−2n+2023的值为（ ）
A．2022 B．2023 C．4039 D．4040
【变式3-1】（23-24·江苏南京·模拟预测）设 、 是方程 的两个根，则
x x x2−3x−2020=0 x2−2x +x =
1 2 1 1 2
．
【变式3-2】（23-24九年级·辽宁大连·期中）设α，β是x2+x+18=0的两个实数根，则α2+3α+2β的值
是 ．
【变式3-3】（23-24九年级·河南新乡·期末）已知a，b是方程x2−5x+7=0的两个根，则a2−4a+b−3=
．
【题型4 利用根与系数的关系降次求代数式的值】
【例4】（23-24九年级·湖北武汉·阶段练习）已知a、b是一元二次方程x2−3x+1=0的根，则代数式
1 1
+ 的值是（ ）
a2+1 b2+1
A．3 B．1 C．−3 D．−1
【变式4-1】（23-24九年级·云南·期末）已知m,n是方程x2+x−3=0的两个实数根，则m3−3m+n+2024的值是 ．
【变式4-2】（23-24九年级·山东淄博·期中）已知x ,x 是方程x2−x−2024=0的两个实数根，则代数式
1 2
的值为（ ）
x3−2024x +x2
1 1 2
A．4049 B．4048 C．2024 D．1
【变式4-3】（23-24九年级·江苏苏州·阶段练习）已知：m、n是方程x2+3x−1=0的两根，则
m3−5m+5n= ．
【题型5 由一元二次方程的两根求值】
【例5】（23-24九年级·河北保定·阶段练习）若关于 的一元二次方程 的两个根分别是 与
x ax2=b(ab>0) m
2m−6，则m的值为 ，方程的根为 ．
【变式5-1】（23-24九年级·四川成都·期末）已知关于x的方程2x2+bx+c=0的根为x =−2，x =3，则
1 2
b+c的值是（ ）
A．-10 B．-7 C．-14 D．-2
【变式5-2】（23-24九年级·江苏连云港·阶段练习）在解一元二次方程x2+px+q＝0时，小明看错了系数
p，解得方程的根为1和﹣3；小红看错了系数q，解得方程的根为4和﹣2，则p＝ ．
1
【变式5-3】（23-24九年级·四川广安·阶段练习）已知关于x的一元二次方程x2﹣2kx+ k2﹣2＝0．设x，
1
2
x 是方程的根，且x2﹣2kx+2xx＝5，则k的值为 ．
2 1 1 1 2
【题型6 构造一元二次方程求代数式的值】
【例6】（23-24九年级·江苏无锡·阶段练习）已知s满足2s2−3s−1=0，t满足2t2−3t−1=0，且s≠t，
则s+t= ．
【变式6-1】（23-24·湖南常德·一模）若两个不同的实数m、n满足m2=m+1，n2−n=1，则m2+n2=
．
1 1 1 b a
【变式6-2】（23-24九年级·全国·竞赛）已知实数a、b分别满足a= a2+ 和 b2=3b−1，那么 +
6 3 2 a b
的值是 ．
b
【变式6-3】（23-24九年级·浙江宁波·期末）若a4−3a2=1，b2−3b=1，且a2b≠1，则 的值是
a2
．【题型7 由一元二次方程的根判断另一个一元二次方程的根】
【例7】（23-24九年级·浙江台州·期末）若关于x的一元二次方程ax2+2ax+c=0 (a≠0)的一个根为
m，则方程a（x−1）2+2a（x−1）+c=0的两根分别是（ ）．
A．m+1，−m−1B．m+1，−m+1
C．m+1，m+2 D．m−1 ，−m+1
【变式7-1】（23-24九年级·安徽合肥·期中）已知关于x的一元二次方程x2+cx+a=0的两个整数根恰好比
方程x2+ax+b=0的两个根都大1，则a+b+c的值是 ．
【变式7-2】（23-24九年级·浙江·自主招生）设a、b、c、d是4个两两不同的实数，若a、b是方程
x2−8cx−9d=0的解，c、d是方程x2−8ax−9b=0的解，则a+b+c+d的值为 ．
【变式7-3】（23-24九年级·安徽合肥·期末）关于x的一元二次方程x2+px+q=0有两个同号非零整数
根，关于y的一元二次方程y2+qy+p=0也有两个同号非零整数根，则下列说法正确的是（ ）
A．p是正数，q是负数 B．
(p−2) 2+(q−2) 2＜8
C．q是正数，p是负数 D．
(p−2) 2+(q−2) 2>8
【题型8 根与系数的关系与三角形、四边形的综合运用】
【例8】（23-24九年级·山东·课后作业）已知菱形ABCD的边长为5，两条对角线交于O点，且OA、OB
的长分别是关于 的方程 的根，则 等于( )
x x2+(2m−1)x+m2+3=0 m
A．−3 B．5 C．5或−3 D．−5或3
【变式8-1】（23-24九年级·黑龙江齐齐哈尔·期末）已知三角形的两边长分别是方程x2−11x+30=0的两
个根，则该三角形第三边m的取值范围是 ．
【变式8-2】（23-24九年级·安徽六安·阶段练习）已知正方形ABCD的两邻边AB，AD的长度恰为方程
x2−mx+1=0的两个实数根，则正方形ABCD的周长为（ ）
A．2 B．4 C．6 D．8
【变式8-3】（23-24九年级·浙江杭州·期中）已知关于x的一元二次方程x2−3x+k=0有两个实根x 和x
1 2
．
(1)求实数k的取值范围；
(2)是否存在矩形，x 和x 是这个矩形两邻边的长，且矩形的对角线长为❑√2？若存在，求k的值；若不存
1 2
在，请说明理由．【题型9 由一元二次方程根的取值范围求字母的取值范围】
【例9】（23-24·浙江宁波·模拟预测）已知关于x的一元二次方程x2+ax+b=0有两个根x ，x ，且满足
1 2
10且q>0 B．p>0且q<0 C．p<0且q>0 D．p<0且q<0
【变式9-3】（23-24九年级·河南南阳·期中）若关于x的一元二次方程x2+2x+1−2m=0的两个实数根之
积为负数，则实数m的取值范围是（ ）
1 1
A．m>0 B．m> C．m< D．m<0
2 2
【题型10 一元二次方程中的新定义问题】
【例10】（23-24九年级·黑龙江哈尔滨·期中）定义：若x₁、x₂是方程ax²+bx+c=0(a≠0)的两个实数
( 1)
根，若满足|x −x )=|x ⋅x )，则称此类方程为“差积方程”．例如： x− (x−1)=0是差积方程．
1 ❑2 ❑1 ❑2 2
(1)判断方程6x2−5x+1=0是否为“差积方程”？并验证；
(2)若方程x2−(m+2)x+2m=0是“差积方程”，直接写出m的值；
(3)当方程(ax²+bx+c=0(a≠0)为“差积方程”时，求a、b、c满足的数量关系．
【变式10-1】（23-24九年级·上海青浦·期中）如果一元二次方程的两根相差1，那么该方程称为“差1方
程”． 例如 x2+x=0是“差1方程”． 已知关于 x的方程 x2−(m−1)x−m=0（m是常数）是“差1
方程”，则 m的值为
【变式10-2】（23-24九年级·四川·阶段练习）已知对于两个不相等的实数a、b，定义一种新的运算：
❑√ab ❑√6×15 3❑√10 ❑√10
a@b= ，如6@15= = = ，已知m，n是一元二次方程x2−21x+7=0的两个不
a+b 6+15 21 7
相等的实数根，则[(m+n)@mn]@❑√3= ．
【变式10-3】（23-24九年级·江苏盐城·阶段练习）定义：已知x ，x 是关于x的一元二次方程
1 2
的两个实数根，若 ，且 x ，则称这个方程为“限根方程”．如：一
ax2+bx+c=0(a≠0) x
