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专题03 配方法的应用（举一反三专项训练）
【新教材人教版】
【题型1 利用配方法求值】....................................................................................................................................1
【题型2 单配方比较大小】....................................................................................................................................1
【题型3 双配方比较大小】....................................................................................................................................2
【题型4 单变量单配方求最值】............................................................................................................................2
【题型5 双变量双配方求最值】............................................................................................................................2
【题型6 双变量先消元再配方求最值】................................................................................................................3
【题型7 利用配方法判断三角形形状】................................................................................................................3
【题型8 利用配方法证明恒成立问题】................................................................................................................4
【题型9 利用配方法在实数范围内分解因式】....................................................................................................5
【题型10 利用配方法解决新定义问题】................................................................................................................5
【题型1 利用配方法求值】
【例1】（2025 九年级上·广东深圳·专题练习）若将一元二次方程𝑥2−6𝑥−2 = 0化成(𝑥+ 𝑚)2 +𝑛= 0的形式，
则2𝑚−𝑛的值为______．
【变式1-1】（25-26 九年级上·江苏宿迁·月考）已知多项式𝐴= 𝑥2−𝑥+ (3−2𝑘)，若无论x 取何实数，A 的
值都不是负数，则k 的取值范围是______．
【变式1-2】（24-25 九年级上·江苏泰州·期中）已知𝑚+ 𝑛= 4,𝑚𝑛−𝑝2 +8𝑝≥20，则𝑚𝑛𝑝的值为________．
【变式1-3】已知𝑥2 + 𝑦2−2𝑥−4𝑦+ 5 = 0，则
1
𝑥𝑦+
1
(𝑥+1)(𝑦+1) +
1
(𝑥+2)(𝑦+2) +⋯+
1
(𝑥+2023)(𝑦+2023)的值等于
_________．
【题型2 单配方比较大小】
【例2】（24-25 九年级上·江苏徐州·期中）若m 为实数，𝑃= −𝑚2−𝑚+ 1，𝑄= 𝑚2−5𝑚+ 4，则比较P，
Q 的大小可得：______．
【变式2-1】已知𝑃= 𝑥2−2𝑥，𝑄= 2𝑥−5（x 为任意实数），则关于P，Q 的大小关系判断正确的是（ ）
A．𝑃> 𝑄
B．𝑃= 𝑄
C．𝑃< 𝑄
D．无法确定
【变式2-2】（25-26 八年级下·浙江杭州·期中）已知𝐴= 2𝑥+ 𝑚，𝐵= 𝑥2 +𝑚+ 4，则比较代数式A 与B 的
题型归纳
值：A________B．（请用“ > ”、“ < ”、“ = ”表示）
【变式2-3】（25-26 九年级上·江苏泰州·期中）已知，𝑀= 12𝑚−33，𝑁= 2𝑚2−4𝑚，则
M________N ．（填 “＞”，“ < ”或“ = ”）
【题型3 双配方比较大小】
【例3】已知𝑥= 𝑎2 + 𝑏2 +18，𝑦= 8𝑏+ 4𝑎−3，则𝑥，𝑦的大小关系是________．
【变式3-1】已知𝑎、𝑏是实数，𝑥= 𝑎2 + 𝑏2 +20，𝑦= 4(2𝑏−𝑎)．则𝑥、𝑦的大小关系是（ ）
A．𝑥≤𝑦
B．𝑥≥𝑦
C．𝑥＜𝑦
D．𝑥＞𝑦
【变式3-2】若𝐴＝𝑥2+2𝑥﹣6𝑦，𝐵＝﹣𝑦2+4𝑥﹣11，则A、B 的大小关系为（ ）
A．A＞B
B．A＜B
C．A≥B
D．A＝B
【变式3-3】已知a、b 满足x＝a2+b2+21，y＝4（2b﹣a），则x、y 的大小关系是（ ）
A．x≤y
B．x≥y
C．x＞y
D．x＜y
【题型4 单变量单配方求最值】
【例4】代数式𝑥2 +4𝑥+ 5的最小值为________．
【变式4-1】二次三项式𝑥2 +5𝑥+ 7的最小值为________．
【变式4-2】（25-26 九年级上·全国·课后作业）当𝑥= __时，多项式−2𝑥2−4𝑥+ 3有最大值？求出这个最大
值是 __ ．
【变式4-3】已知x 为全体实数，则−4𝑥2 +7𝑥−2的最大值为_________．
【题型5 双变量双配方求最值】
【例5】代数式−𝑎2−2𝑏2−2𝑎+ 8𝑏−5的最大值为______________．
【变式5-1】已知𝑀= 8𝑥2−𝑦2 +6𝑥−2，𝑁= 9𝑥2 +4𝑦+ 13，则𝑀−𝑁的值 （ ）
A．为正数
B．为负数
C．为非正数
D．不能确定
【变式5-2】不论a，b 为何实数，𝑎2 + 𝑏2−2𝑎−4𝑏+ 8的值（ ）
A．总是正数
B．总是负数
C．可以是零
D．可以是正数也可以是负数
【变式5-3】（24-25 九年级上·重庆丰都·月考）【项目学习】“我们把多项式𝑎2 +2𝑎𝑏+ 𝑏2及𝑎2−2𝑎𝑏+ 𝑏2叫
做完全平方式”．
如果一个多项式不是完全平方式，我们常做如下变形：先添加一个适当的项，使式中出现完全平方式，再
减去这个项，使整个式的值不变，这种方法叫做配方法，配方法是一种重要的解决问题的数学方法．例如：
求当𝑎取何值，代数式𝑎2 +6𝑎+ 8有最小值？最小值是多少？
解：𝑎2 +6𝑎+ 8 = 𝑎2 +6𝑎+ 32−32 +8 = (𝑎+ 3)2−1
因为(𝑎+ 3)2 ≥0，所以𝑎2 +6𝑎+ 8 ≥−1，
因此，当𝑎= −3时，代数式𝑎2 +6𝑎+ 8有最小值，最小值是−1．
【问题解决】
利用配方法解决下列问题：
（1）当𝑥= ___________时，代数式𝑥2−2𝑥−1有最小值，最小值为___________．
（2）当𝑥取何值时，代数式2𝑥2 +8𝑥+ 12有最小值？最小值是多少？
【拓展提高】
（3）当𝑥，𝑦何值时，代数式5𝑥2−4𝑥𝑦+ 𝑦2 +6𝑥+ 25取得最小值，最小值为多少？
【题型6 双变量先消元再配方求最值】
【例6】已知实数x，y 满足2𝑥+ 𝑦= 4，则代数式𝑥𝑦−2𝑥+ 2𝑦−4的最大值为______．
【变式6-1】（24-25 九年级上·江苏宿迁·期中）已知实数𝑎，𝑏满足𝑎+ 𝑏2 = 1，则代数式𝑎2−4𝑏2 +12的最小
值是______．
【变式6-2】已知实数𝑥，𝑦满足𝑥2 +3𝑥+ 𝑦−3 = 0，则𝑥+ 𝑦的最大值为______.
【变式6-3】已知实数m，n 满足𝑚−𝑛2 = 2，则代数式𝑚2 +2𝑛2 +4𝑚−3的最小值等于（ ）
A．9
B．6
C．−8
D．−16
【题型7 利用配方法判断三角形形状】
【例7】已知三角形三边长为a、b、c，且满足𝑎2−4𝑏= 7， 𝑏2−4𝑐= −6， 𝑐2−6𝑎= −18，则此三角形的
形状是（ ）
A．等腰三角形
B．等边三角形
C．直角三角形
D．无法确定
【变式7-1】先阅读，再解决问题，例题：若𝑚2+2𝑚𝑛+2𝑛2−6𝑛+9=0，求𝑚和𝑛的值．
解：∵𝑚2+2𝑚𝑛+2𝑛2−6𝑛+9=0，
∴(𝑚+𝑛)2+(𝑛−3)2=0，
∴𝑚+𝑛=0，𝑛−3=0，
∴𝑛=3，𝑚=−3．
(1)若𝑥2+2𝑦2−2𝑥𝑦+4𝑦+4=0，求𝑥𝑦的值；
(2)已知Δ𝐴𝐵𝐶的三边长𝑎，𝑏，𝑐都是正整数，且满足𝑎2+𝑏2−6𝑎−6𝑏+18+|3−𝑐|=0，请问Δ𝐴𝐵𝐶是怎样形状的
三角形？
(3)根据以上的方法是说明代数式：𝑥2+4𝑥+𝑦2−8𝑦+21的值一定是一个正数．
【变式7-2】已知a，b，c 是△ABC 的三边，若a，b，c 满足a2－6a＋b2－8b＋𝑐−5＋25＝0，则△ABC 是
_____________三角形；若a，b，c 满足a2＋b2＋c2－ab－bc－ac＝0，则△ABC 是_________三角形．
【变式7-3】若△𝐴𝐵𝐶的三边𝑎、𝑏、𝑐满足条件：𝑎2 + 𝑏2 + 𝑐2 +338 = 10𝑎+ 24𝑏+ 26𝑐，则这个三角形最
长边上的高为________．
【题型8 利用配方法证明恒成立问题】
【例8】【阅读材料】利用公式法，可以将一些形如𝑎𝑥2 +𝑏𝑥+ 𝑐(𝑎≠0)的多项式变形为𝑎(𝑥+ 𝑚)2 +𝑛的形
式，我们把这样的变形方法叫做多项式𝑎𝑥2 +𝑏𝑥+ 𝑐(𝑎≠0)的配方法，运用多项式的配方法及平方差公式能
对一些多项式进行因式分解或有关运算．
例如：对于𝑎2 +6𝑎+ 8．（1）用配方法分解因式；（2）当𝑎取何值，代数式𝑎2 +6𝑎+ 8有最小值？最小值
是多少？
解：（1）原式= 𝑎2 +6𝑎+ 8 + 1−1
= 𝑎2 + 6𝑎+ 9−1
= (𝑎+ 3)2−1
= [(𝑎+ 3) + 1][(𝑎+ 3)−1]
= (𝑎+ 4)(𝑎+ 2)．
（2）由（1）得：𝑎2 +6𝑎+ 8 = (𝑎+ 3)2−1，
∵ (𝑎+ 3)2 ≥0，
∴(𝑎+ 3)2−1 ≥−1，
∴当𝑎= −3时，代数式𝑎2 +6𝑎+ 8有最小值，最小值是−1．
【问题解决】利用配方法解决下列问题：
(1)用配方法因式分解：𝑥2 +2𝑥−8；
(2)试说明不论𝑚为何值，代数式−𝑚2 +4𝑚−5恒为负数；
(3)若已知(𝑎+ 𝑐)(𝑏−𝑎) =
1
4(𝑏+ 𝑐)2且𝑎≠0，求
𝑏−𝑐
𝑎的值．
【变式8-1】（24-25 九年级上·甘肃·期中）用配方法求证：代数式4𝑥2−8𝑥+ 9的值恒为正数．
【变式8-2】记𝑧= 3𝑥(3𝑦−𝑥)−(4𝑥−3𝑦)(𝑥+ 3𝑦)．
(1)若𝑥 , 𝑦均为整数，求证：当𝑥是3的倍数时，𝑧能被9整除；
(2)若𝑦= 𝑥+ 1，求𝑧的最小值．
【变式8-3】（24-25 九年级上·河北沧州·月考）已知 𝑀= 𝑥2−𝑥+ 1．
(1)当𝑀= 3时，求x 的值；
(2)若𝑀= 3𝑥2 +1，求M 的值；
(3)求证：𝑀> 0．
【题型9 利用配方法在实数范围内分解因式】
【例9】在实数范围内分解因式：𝑥2−5𝑥+ 3 = ________．
【变式9-1】在实数范围内分解因式：𝑥2 +6𝑥−5 = _________．
【变式9-2】在实数范围内分解因式2𝑥2−8𝑥𝑦+ 5𝑦2等于（）
A．2 𝑥−
4+ 6
2
𝑥−
4−6
2
B．𝑥−
4+ 6
2
𝑦
𝑥−
4−6
2
𝑦
C．2 𝑥−
4+ 6
2
𝑦
𝑥−
4−6
2
𝑦
D．2𝑥−4𝑦−6𝑦
2𝑥−4𝑦+
6𝑦
【变式9-3】【阅读材料】
利用完全平方公式，可以将多项式𝑎3𝑥2 +𝑏𝑥+ 𝑐（𝑎，𝑏，𝑐均为常数且𝑎≠0）变形为𝑎(𝑥+ 𝑚)2 +𝑛的形式，
如𝑥2−2𝑥−8 = 𝑥2−2𝑥+ 1−1−8 = (𝑥2−2𝑥+ 1)−9 = (𝑥−1)2−9．我们把这样的变形方法叫做多项式𝑎𝑥2
+𝑏𝑥+ 𝑐的配方法．运用多项式的配方法及平方差公式能对一些多项式进行分解因式．例如：𝑥2−2𝑥−8 =
(𝑥−1)2−9 = (𝑥−1 + 3)(𝑥−1−3) = (𝑥+ 2)(𝑥−4)．
【问题解决】
(1)用多项式的配方法将𝑥2 +6𝑥−1化成(𝑥+ 𝑚)2 +𝑛的形式是 ，当多项式𝑥2 +6𝑥−1的值为−10时，𝑥的值为 ．
(2)把多项式𝑥2−8𝑥+ 12进行分解因式．
【题型10 利用配方法解决新定义问题】
【例10】（24-25 九年级上·广东阳江·月考）小明在学习有关配方的知识时，发现一个有趣的现象：关于x
的多项式𝑥2−4𝑥+ 7，由于𝑥2−4𝑥+ 7 = (𝑥−2)2 +3，所以当𝑥−2取任意一对互为相反数的数时，多项式𝑥2
−4𝑥+ 7的值是相等的，例如，当𝑥−2 =± 1，即𝑥= 3或1 时，𝑥2−4𝑥+ 7的值均为4：当𝑥−2 =± 2，即𝑥= 4
或0 时，𝑥2−4𝑥+ 7的值均为7，于是小明给出一个定义：关于x 的多项式，若当𝑥−𝑚取任意一对互为相反
数的数时，该多项式的值相等，就称该多项式关于𝑥= 𝑚对称，例如𝑥2−4𝑥+ 7关于𝑥= 2对称．
请结合小明的思考过程，运用此定义解决下列问题：
(1)多项式𝑥2−2𝑥+ 5关于𝑥= _______对称；若关于x 的多项式𝑥2 +2𝑛𝑥+ 3关于𝑥= 6对称，求n 的值；
(2)若整式(𝑥2 + 6𝑥+ 9)(𝑥2−4𝑥+ 4)关于𝑥= 𝑎对称，求实数a 的值．
【变式10-1】（24-25 九年级上·四川内江·月考）对于有理数a，b，定义𝑚𝑖𝑛{𝑎,𝑏}的含义为：当𝑎≥𝑏时，
𝑚𝑖𝑛{𝑎,𝑏} = 𝑏；当𝑎≤𝑏时，𝑚𝑖𝑛{𝑎,𝑏} = 𝑎．若min{40,12𝑚−4𝑛−𝑚2−𝑛2} = 40，则𝑚𝑛的值等于________．
【变式10-2】（24-25 九年级上·广西南宁·月考）配方法是数学中非常重要的一种思想方法，这种方法常被
用到代数式的变形中．定义：若一个整数能表示成𝑎2 + 𝑏2（a，b 为整数）的形式，则称这个数为“完美
数”．例如，5 是“完美数”，理由：因为5 = 12 + 22，所以5 是“完美数”．若𝑆= 𝑥2 +9𝑦2 +2𝑥−12𝑦+ 𝑘（x，
y 是整数，k 是常数），且为“完美数”，则k 的值为（ ）
A．3
B．4
C．5
D．6
【变式10-3】阅读材料：把形如𝑎𝑥2 +𝑏𝑥+ 𝑐的二次三项式或（其一部分）配成完全平方式的方法叫做配方
法，配方法的基本形式是完全平方公式的逆写，即𝑎2 +2𝑎𝑏+ 𝑏2 = (𝑎+ 𝑏)2．配方法在代数式求值，解方程，
最值问题等都有着广泛的应用．
例如：①我们可以将代数式𝑎2 +6𝑎+ 10进行变形，其过程如下：
𝑎2 + 6𝑎+ 10 = (𝑎2 + 6𝑎) + 10 = (𝑎2 + 6𝑎+ 9) + 10−9 = (𝑎+ 3)2 + 1
∵(𝑎+ 3)2 ≥0，
∴(𝑎+ 3)2 +1 ≥1，
因此，该式有最小值1．
材料二：我们定义：如果两个多项式A 与B 的差为常数，且这个常数为正数，则称A 是B 的“雅常式”，这
个常数称为A 关于B 的“雅常值”．如多项式𝐴= 𝑥2 +2𝑥+ 1，𝐵= (𝑥+ 4)(𝑥−2)，𝐴−𝐵= (𝑥2 + 2𝑥+ 1)−
(𝑥+ 4)(𝑥−2) = (𝑥2 + 2𝑥+ 1)−(𝑥2 + 2𝑥−8) = 9，
则A 是B 的“雅常式”，A 关于B 的“雅常值”为9．
(1)已知多项式𝐶= 𝑥2 +𝑥−1，𝐷= (𝑥+ 2)(𝑥−1)，判断C 是否为D 的“雅常式”，若不是，请说明理由，若是，
请证明并求出C 关于D 的“雅常值”；
(2)已知多项式𝑀= (𝑥−𝑎)2，𝑁= 𝑥2−2𝑥+ 𝑏（a，b 为常数），M 是N 的“雅常式”，且当x 为实数时，N 的
最小值为−2，求M 关于N 的“雅常值”．
