专题02 二次函数图象与各项系数符号（60 题）（举一反三专项训练）
【新教材人教版】
1．（2026·山东·中考真题）如图，点𝑃是抛物线𝑦= 𝑎𝑥2 +𝑏𝑥+ 𝑐（𝑎≠0）的顶点．下列结论正确的是（ ）
A．2𝑎+ 𝑏= 0
B．−
3
4 < 𝑎< −
1
2
C．对任意实数𝑡，𝑎𝑡2 +𝑏𝑡< 4𝑎+ 2𝑏总成立
D．若点𝐴(1−𝑚,𝑦1)，𝐵(1 + 𝑚,𝑦2)在抛物线上，则𝑦1 < 𝑦2
2．（2026·四川凉山·中考真题）已知抛物线𝑦= 𝑎𝑥2 +𝑏𝑥+ 𝑐（𝑎≠0）的部分图象如图所示，则下列结论中
正确的是（ ）
A．𝑎𝑏𝑐> 0
B．𝑏+ 4𝑎= 0
C．5𝑎+ 𝑐>0
D．当𝑥< −5或𝑥> 1时，𝑦> 0
3．（2026·陕西西安·模拟预测）已知抛物线𝑦= 𝑎𝑥2 +𝑏𝑥+ 𝑐（𝑎、𝑏、𝑐为常数，且𝑎≠0）经过点(−1,0)、
(0,6)，其对称轴在𝑦轴右侧，下列结论：①𝑎𝑏𝑐< 0；②𝑎> −6；③𝑏−𝑎= −6；④4𝑎𝑐−𝑏2 < 0．其中正
确的有（ ）
A．①②③
B．①④
C．①②④
D．②③④
4．（2026·黑龙江佳木斯·三模）如图，抛物线𝑦= 𝑎𝑥2 +𝑏𝑥+ 𝑐经过点(−1,0)，与x 轴的另一个交点在点(2,0)
和点(3,0)之间，与y 轴相交于正半轴：①𝑏= 𝑎+ 𝑐；②𝑎+ 𝑏> 0；③2𝑎+ 𝑏> 0；④
4𝑎𝑐−𝑏2
4𝑎
+𝑎+ 𝑏+ 𝑐< 0
中，正确结论的个数是（ ）
A．1 个
B．2 个
C．3 个
D．4 个
5．（2026·四川眉山·中考真题）如图，抛物线𝑦= 𝑎𝑥2 +𝑏𝑥+ 𝑐 与x 轴交于点𝐴(−1,0)，顶点坐标(1,𝑛)，与
y 轴的交点在(0,−2)，(0,−3)之间（包含端点），下列结论：①3𝑎+ 𝑏< 0 ；②
2
3 ≤𝑎≤1 ；③对于任意
实数m，𝑎+ 𝑏≤𝑚(𝑎𝑚+ 𝑏)总成立；④关于x 的方程𝑎𝑥2 +𝑏𝑥+ 𝑐= 𝑛−1 有两个不相等的实数根．其中正
确结论的个数为（ ）
A．1 个
B．2 个
C．3 个
D．4 个
6．（25-26 九年级下·广东河源·阶段检测）如图，二次函数𝑦= 𝑎𝑥2 +𝑏𝑥+ 𝑐的部分图象与𝑥轴的一个交点𝐴位
于(−2, 0)和(−1, 0)之间，顶点𝑃的坐标为(1, 𝑛)．下列结论：
①𝑎𝑏𝑐< 0；②对于任意实数𝑚，都有𝑎𝑚2 +𝑏𝑚−𝑎−𝑏≥0；③3𝑏< 2𝑐；④若该二次函数的图象与𝑥轴的
另一个交点为𝐵，则点𝐵的横坐标位于3 和4 之间．其中所有正确结论的序号是___________．
7．（2026·江苏徐州·一模）如图，抛物线𝑦= 𝑎𝑥2 +𝑏𝑥+ 𝑐(𝑎≠0)与𝑥轴交于点𝐴(1,0)，点𝐵(3,0)，下列结论：
①𝑎𝑏𝑐< 0；②4𝑎+ 𝑏= 0；③𝑏2−4𝑎𝑐> 0；④𝑎−𝑏+ 𝑐> 0．正确的个数为________个．
8．（25-26 九年级下·内蒙古赤峰·阶段检测）如图，二次函数𝑦= 𝑎𝑥2 +𝑏𝑥+ 𝑐(𝑎≠0)的图象与𝑥轴交于𝐴，𝐵
两点，与𝑦轴交于点𝐶，且𝑂𝐴= 𝑂𝐶．则下列结论：①𝑎𝑏𝑐< 0；②
𝑏2−4𝑎𝑐
4𝑎
> 0；③𝑎𝑐−𝑏+ 1 = 0；④方程
𝑎𝑥2 +𝑏𝑥+ 𝑐= 𝑐有两个不相等的实数根．其中正确结论是______．（填写序号）
9．（25-26 九年级上·山东烟台·期末）如图，二次函数𝑦= 𝑎𝑥2 +𝑏𝑥+ 𝑐的图像与𝑥轴交于点𝐴，(3,0)、𝐵
(−1,0)，与𝑦轴交于点𝐶(0,𝑚)，其中−4 < 𝑚< −3．则下列结论：
①2𝑎+ 𝑏−𝑐> 0；②方程𝑎𝑥2 +𝑏𝑥+ 𝑐−5 = 0没有实数根；③−
8
3 < 𝑏< −2；④
𝑎+𝑏+𝑐
𝑏−𝑎> 0；
⑤若(−2,𝑦1)，(4,𝑦2)两点都在抛物线𝑦= 𝑎𝑥2 +𝑏𝑥+ 𝑐的图像上，则𝑦2 < 𝑦1．
其中正确的有____．（填写序号）
10．（25-26 九年级上·山东威海·期末）二次函数𝑦= 𝑎𝑥2 +𝑏𝑥+ 𝑐(𝑎≠0)图象上部分点的坐标满足下表：
𝑥
⋯
−3
−2
0
3
5
⋯
𝑦
⋯
24
10
−6
0
24
⋯
下面四个结论：
①𝑎𝑏𝑐< 0；②2𝑎+ 𝑏= 0；③𝑎𝑚2 +𝑏𝑚−𝑎−𝑏≥0；④当−1 < 𝑥< 3时，𝑦< 0；⑤8𝑎+ 𝑐< 0．
其中正确的是__________(填写序号)．
11．（2026·四川广元·三模）如图，二次函数𝑦= 𝑎𝑥2 +𝑏𝑥+ 𝑐(𝑎≠0)的图象与𝑥轴交于两点(−1,0)，(𝑥1,0)，
且2 < 𝑥1 < 3．下列结论：①𝑎𝑏𝑐> 0；②2𝑎+ 𝑐< 0；③4𝑎−𝑏+ 2𝑐< 0；④若𝑚和𝑛是关于𝑥的一元二次
方程𝑎(𝑥+ 1)(𝑥−𝑥1) +𝑐= 0(𝑎≠0)的两根，且𝑚< 𝑛，则𝑚< −1，𝑛> 2，其中正确结论的个数是（ ）
A．1
B．2
C．3
D．4
12．（2026·安徽淮南·三模）如图，二次函数𝑦1 = 𝑎𝑥2 +𝑏𝑥+ 𝑐(𝑎≠0)与𝑥轴，𝑦轴分别交于𝐴，𝐵两点，对称
轴为直线𝑥= 2，一次函数𝑦2 = −2𝑥+ 𝑚的图象也经过𝐴，𝐵两点，则下列结论错误的是( )
A．𝑎𝑏𝑐< 0
B．当0 < 𝑥<
𝑚
2时，𝑦2 > 𝑦1
C．方程𝑎𝑥2 +𝑏𝑥+ 𝑐−
𝑚
2 = 0有两个不相等的实数根
D．二次函数𝑦1 = 𝑎𝑥2 +𝑏𝑥+ 𝑐(𝑎≠0)的图象的最低点的坐标为(2,−3𝑏+ 𝑐)
13．（25-26 九年级下·山东烟台·期中）如图，二次函数𝑦= 𝑎𝑥2 +𝑏𝑥+ 𝑐的图象与𝑥轴交于点𝐴(−1,0)，与𝑦轴
的交点𝐵在(0,2)与(0,3)之间（不包括这两点），对称轴为直线𝑥= 2，下列结论：
①𝑎𝑏𝑐< 0；②9𝑎+ 3𝑏+ 𝑐< 0；③−
3
5 < 𝑎< −
2
5；④若𝑎= −
1
2且1 ≤𝑥≤4时，则
5
2 ≤𝑦≤4．
正确的有几个（ ）
A．1 个
B．2 个
C．3 个
D．4 个
14．（25-26 九年级下·陕西西安·期中）如图，二次函数𝑦= 𝑎𝑥2 +𝑏𝑥+ 𝑐(𝑎≠0)的图像与x 轴交于点𝐴(3,0)，
与y 轴交于点B，对称轴为直线𝑥= 1，有下列四个结论：①4𝑎−2𝑏+ 𝑐> 0；②3𝑎+ 2𝑐> 0；③𝑎𝑥2
+𝑏𝑥≥𝑎+ 𝑏；④若−3 < 𝑐< −2，则−4 < 𝑎+ 𝑏+ 𝑐< −
8
3；下列选项正确的是（ ）
A．②④
B．①③
C．①③④
D．①②③
15．（2026·贵州·模拟预测）如图，二次函数𝑦= 𝑎𝑥2 +𝑏𝑥+ 𝑐(𝑎≠0)的图象与x 轴交于点𝐴(3,0)，对称轴为
直线𝑥= 1，下列四个结论：
①𝑎𝑏𝑐> 0；
②当𝑥> 1时，y 随x 的增大而增大；
③二次函数图形与x 轴的另一个交点的横坐标为−1；
④4𝑎−2𝑏+ 𝑐< 0；
其中正确结论的个数为（ ）
A．4 个
B．3 个
C．2 个
D．1 个
16．（2026·黑龙江绥化·三模）如图，二次函数𝑦= 𝑎𝑥2 +𝑏𝑥+ 𝑐(𝑎<0)与x 轴交于A，B 两点，与y 轴正半
轴交于点C，它的对称轴为直线𝑥= 2，则下列说法中正确的有（ ）
①𝑎𝑏𝑐< 0；②
4𝑎𝑐−𝑏2
4𝑎
>0；③16𝑎+ 4𝑏+ 𝑐>0；④5𝑎+ 𝑐>0；
⑤方程𝑎𝑥2 +𝑏𝑥+ 𝑐= 0(𝑎≠0)其中一个解的取值范围为−2 < 𝑥< −1．
A．2 个
B．3 个
C．4 个
D．5 个
17．（25-26 九年级下·黑龙江·期中）已知二次函数𝑦= 𝑎𝑥2 +𝑏𝑥+ 𝑐(𝑎≠0)的图象的对称轴为直线𝑥= −1，
部分图象如图所示．下列结论中：①𝑎𝑏𝑐> 0；②𝑏−2𝑎= 0；③3𝑎+ 𝑐> 0；④若𝑚为任意实数，则有𝑎𝑚2
+𝑏𝑚≤𝑎−𝑏；⑤当图象经过点
1
2 ,2 时，方程𝑎𝑥2 +𝑏𝑥+ 𝑐= 2的两根为𝑥1，𝑥2(𝑥1 < 𝑥2)，𝑥1 +3𝑥2
= −1．其中正确的结论有（ ）
A．①②③
B．②③⑤
C．②③④⑤
D．②③④
18．（2026·安徽合肥·一模）如图，二次函数𝑦= 𝑎𝑥2 +𝑏𝑥+ 𝑐(𝑎> 0)图象的顶点为𝐷，其图象与𝑥轴的交点
𝐴、𝐵的横坐标分别为−1, 3．与𝑦轴负半轴交于点𝐶，在下列结论中：①2𝑎−𝑏= 0；②𝑐= −3𝑎；③当𝑚≠1
时，𝑎+ 𝑏< 𝑎𝑚2 +𝑏𝑚；④𝑎𝑥2 +𝑏𝑥+ 𝑐= 1有两个不相等的实数根，其中正确的结论个数是（ ）
A．1 个
B．2 个
C．3 个
D．4 个
19．（25-26 九年级上·湖南株洲·期末）如图是二次函数𝑦= 𝑎𝑥2 +𝑏𝑥+ 𝑐图象的一部分，其对称轴为直线
𝑥= −1，且过点(−3,0)，下列说法：①𝑎𝑐< 0；②2𝑎−𝑏= 0；③4𝑎−2𝑏+ 𝑐> 0；④若(−2,𝑦1)，(0,𝑦2)是
抛物线上两点，则𝑦1 = 𝑦2；⑤关于𝑥的方程𝑎𝑥2 +𝑏𝑥+ 𝑐= −2，有两个相等的实数根；其中说法正确的是
（ ）
A．①②③
B．①②④⑤
C．①②④
D．①②③④
20．（25-26 九年级上·北京平谷·期末）二次函数𝑦= 𝑎𝑥2 +𝑏𝑥+ 𝑐的顶点为𝑃(2,𝑘)，且经过点𝐴(5,0)，其部分
图象如图所示．对于此抛物线有如下四个结论：①𝑏< 0；②𝑘+ 9𝑎= 0；③若点(𝑥1,𝑚)，(𝑥2,𝑛)在抛物线
𝑦= 𝑎𝑥2 +𝑏𝑥+ 𝑐上，当−1 < 𝑥1 < 0，5 < 𝑥2 < 6时，则有𝑚< 𝑛；④若此抛物线过点𝐶(𝑡,𝑚)，则−𝑡+ 4一
定是方程𝑎𝑥2 +𝑏𝑥+ 𝑐= 𝑚的一个根．其中正确结论的序号是_______ ．
21．（2026·陕西·一模）如图，二次函数𝑦= 𝑎𝑥2 +𝑏𝑥+ 𝑐与𝑥轴交于点𝐴(3,0)、𝐵(−1,0)，与𝑦轴交于点𝐶
(0,𝑚)，其中−4 < 𝑚< −3．则下列结论：
①𝑎−𝑐> 0；
②方程𝑎𝑥2 +𝑏𝑥+ 𝑐−5 = 0没有实数根；
③−
8
3 < 𝑏< −2；
④
𝑎+𝑏+𝑐
𝑏−𝑎> 0．
其中错误的个数有（ ）
A．1 个
B．2 个
C．3 个
D．4 个
22．（25-26 九年级上·安徽安庆·期末）如图，已知二次函数𝑦= 𝑎𝑥2 +𝑏𝑥+ 𝑐的图象与𝑥轴交于(−3,0)，顶点
是(−1,𝑚)，则以下结论：①𝑎𝑏𝑐> 0；②4𝑎+ 2𝑏+ 𝑐> 0；③若𝑦≥𝑐，则𝑥≤−2或𝑥≥0；④𝑏+ 𝑐=
1
2
𝑚．其中正确的是（ ）
A．①②③④
B．②③④
C．②③
D．①④
23．（24-25 九年级上·山东青岛·期末）如图，二次函数𝑦= 𝑎𝑥2 +𝑏𝑥+ 𝑐的图象与一次函数𝑦= 𝑚𝑥+ 𝑛的图
象相交于𝐴，𝐵两点，已知点𝐴的横坐标为−3，点𝐵的横坐标为2，二次函数图象的对称轴是直线𝑥= −1．下
列结论：①𝑎𝑏𝑐> 0；②当−3 ≤𝑥≤2时，𝑚𝑥+ 𝑛≥𝑎𝑥2 +𝑏𝑥+ 𝑐；③𝑎−𝑏+ 𝑐< 0；④3𝑎+ 𝑐> 0．其中
正确的是__________．（只填写序号）
24．（2024·上海虹口·三模）如图，已知开口向上的抛物线𝑦= 𝑎𝑥2 +𝑏𝑥+ 𝑐与𝑥轴交于点(−1,0)，对称轴为
直线𝑥= 1，其中结论正确的序号为________
①2𝑎+ 𝑏= 0；
②函数𝑦= 𝑎𝑥2 +𝑏𝑥+ 𝑐的最小值为−4𝑎；
③若关于𝑥的方程𝑎𝑥2 +𝑏𝑥+ 𝑐= 𝑎−1无实数根，则0 < 𝑎<
1
5；
④代数式(𝑎−𝑏)(𝑏−𝑐)(𝑐−𝑎) < 0
25．（2024·湖北武汉·模拟预测）抛物线 𝑦= 𝑎𝑥² + 𝑏𝑥+ 𝑐（a，b，c 是常数，且𝑐> 0）经过点(−1,0)和(𝑡,0)
两点，其中𝑡> 2，下列结论：①𝑎𝑏< 0；②𝑐𝑡−𝑏𝑡= 𝑐；③2𝑎+ 𝑐< 0；④
𝑏2−9𝑎2
𝑎𝑐
< 4．其中正确的结论是
____________．（填写序号）
26．如图，已知抛物线𝑦= 𝑎𝑥2 +𝑏𝑥+ 𝑐（𝑎，𝑏，𝑐为常数，𝑎≠0）经过点2，0 ，且对称轴为直线𝑥=
1
2，
有下列结论：①𝑎𝑏𝑐> 0；②𝑎+ 𝑏> 0；③4𝑎+ 2𝑏+ 3𝑐< 0；④无论𝑎，𝑏，𝑐取何值，抛物线一定经过
𝑐
2𝑎,0 ；⑤4𝑎𝑚2 +4𝑏𝑚−𝑏≥0，其中正确结论是______．
27．已知抛物线𝑦=𝑎𝑥2+𝑏𝑥+𝑐开口向下，与𝑥轴交于点𝐴(−1,0)，顶点坐标为(1,𝑛)，与𝑦轴的交点在(0,2)，(0,3)
之间(包含端点)，则下列结论：①2𝑎+𝑏=0；②−1≤𝑎≤−
2
3；③对于任意实数𝑚，𝑎(𝑚2−1)+𝑏(𝑚−1)≤0总
成立；④关于𝑥的方程𝑎𝑥2+𝑏𝑥+𝑐−𝑛+1=0有两个不相等的实数根，其中结论正确的是_______（填序号）
28．（2026·湖北武汉·一模）抛物线𝑦= 𝑎𝑥2 +𝑏𝑥+ 𝑐（𝑎，𝑏，𝑐是常数，其中𝑎> 0）与𝑥轴交于𝐴(𝑥1,0)和𝐵(𝑥2,0)
两点，对称轴为𝑥= 1．下列五个结论：
①𝑐< 0；
②2𝑎+ 𝑏= 0；
③若−2 < 𝑥1 < −1，则3 < 𝑥2 < 4；
④𝑥2
1 + 𝑥2
2 =
2𝑏+2𝑐
𝑎
；
⑤对于任意实数𝑡，不等式𝑎𝑡2 +𝑏𝑡≥𝑎+ 𝑏总成立．
其中正确结论的序号是________．
29．（25-26 九年级下·湖北武汉·阶段检测）已知抛物线𝑦= 𝑎𝑥2 +𝑏𝑥+ 𝑐与x 轴交于点(−1,0)，对称轴为直
线𝑥= 1，且抛物线与y 轴的交点在x 轴上方．下列结论：①𝑎< 0；②𝑐= −3𝑎；③对于任意实数t，不等
式𝑎𝑡2 +𝑏𝑡+ 𝑎< 0恒成立；④𝑎+ 𝑏𝑥+ 𝑐𝑥2 = 0的两根分别为𝑥1 = −1，𝑥2 =
1
3；⑤若𝑀(𝑥1,𝑦1)、𝑁(𝑥2,𝑦2)
是抛物线上的两点，且𝑥1 < 𝑥2，当𝑥1 + 𝑥2 > 2𝑘时总有𝑦1 > 𝑦2，则𝑘> 1．其中正确的结论有_____（填序
号）．
30．（2026·湖北武汉·二模）抛物线𝑦= 𝑎𝑥2 +𝑏𝑥+ 𝑐（a，b，c 是常数，𝑎> 0）经过(−1,𝑛)，(3,𝑛)两点，其
中𝑛> 0，下列五个结论：①𝑏< 0；②𝑐> 0；③关于x 的不等式𝑎𝑥2 + (𝑏−1)𝑥< 0解集为0 < 𝑥< 2 +
1
𝑎；
④若关于x 的一元二次方程𝑎𝑥2 +𝑏𝑥+ 𝑐= 0有两个相等的实数根，则𝑛= 4𝑎；⑤若𝐴(𝑥1,𝑦1)，𝐵(𝑥2,𝑦2)为
抛物线上两点，且满足𝑥1 < 𝑥2和𝑦1 ≥𝑦2，则𝑥1 + 𝑥2 ≤2．其中正确的是____________（填写序号）．
31．（25-26 九年级下·广东肇庆·期中）如图，抛物线𝑦= 𝑎𝑥2 +𝑏𝑥+ 𝑐(𝑎≠0)与x 轴交于点−3，0 ，其对
称轴为直线𝑥= −
1
2，结合图象分析下列结论：①𝑎𝑏𝑐> 0；②
𝑏2−4𝑎𝑐
4𝑎
<0；③当𝑥< 0时，𝑦随𝑥的增大而增大；
④3𝑎+ 𝑐> 0；其中正确的结论有________个．
32．（2026·湖北武汉·模拟预测）已知二次函数𝑦= 𝑎𝑥2 +𝑏𝑥+ 𝑐（𝑎，𝑏，𝑐为常数，𝑎≠0）图像的顶点坐标
是(−1,𝑛)，且经过(1,0)，(0,𝑚)两点，3 < 𝑚< 4．有下列结论：
①关于𝑥的一元二次方程𝑎𝑥2 +𝑏𝑥+ 𝑐−𝑛+ 1 = 0（𝑎≠0）有两个不相等的实数根；
②当𝑥> −1时，𝑦的值随𝑥值的增大而增大；
③−
4
3 < 𝑎< −1；
④4𝑎−2𝑏+ 𝑐< 0；
⑤对于任意实数𝑡，总有(𝑡+ 1)(𝑎𝑡−𝑎+ 𝑏) ≤0．
其中所有正确结论的序号是______．
33．（2026·广东梅州·模拟预测）如图，已知抛物线𝑦= 𝑎𝑥2 +𝑏𝑥+ 𝑐经过点(1,1)，(𝑚,0)，(3,0)，给出下列
四个结论：①𝑎𝑏𝑐> 0；②4𝑎𝑐−𝑏2 < 4𝑎；③5𝑎+ 2𝑏+ 𝑐< 0；④𝑎+ 𝑏+ 𝑐> 0．其中正确的结论是_____
（填序号）
34．如图，抛物线𝑦= 𝑎𝑥2 +𝑏𝑥+ 𝑐的对称轴是直线𝑥= −1．有下列结论：①𝑎𝑏𝑐< 0；②4𝑎+ 𝑐< 2𝑏；③
若(𝑥1,𝑦1)和(𝑥2,𝑦2)是抛物线上的两点，则当|𝑥1 + 1| > |𝑥2 + 1|时，𝑦1 > 𝑦2；④抛物线的顶点为(−1,𝑚)，
则关于𝑥的方程𝑎𝑥2 +𝑏𝑥+ 𝑐= 𝑚−1无实数根．其中正确结论是________．（只需填写序号）
35．（2026·江西新余·一模）二次函数𝑦= 𝑎𝑥2 +𝑏𝑥+ 𝑐(𝑎≠0)的图象如图所示，顶点坐标为(1,𝑛)；与x 轴
的交点为𝐴(−1,0)和点B；与y 轴的交点在(0,2)与(0,3)之间（包括端点）．①𝑏2−4𝑎𝑐> 0；②3𝑎+ 𝑐< 0；
③点(−2,𝑦1)，
1
2 ,𝑦2 ，(5,𝑦3)都在抛物线上，则𝑦1 > 𝑦3 > 𝑦2；④方程𝑎𝑥2 +𝑏𝑥+ 𝑐−𝑛−1 = 0无实根；⑤
8
3
≤𝑛≤4．其中正确结论是______．
36．（24-25 九年级上·广东广州·阶段检测）如图，已知抛物线𝑦= 𝑎𝑥2 +𝑏𝑥+ 𝑐的对称轴在𝑦轴右侧，抛物线
与𝑥轴交于点𝐴(−2,0)和点𝐵，与𝑦轴的负半轴交于点𝐶，且𝑂𝐵:𝑂𝐶= 2:1，则下列结论：①
𝑎−𝑏
𝑐
< 0；②
2𝑏−4𝑎𝑐= 1；③ 𝑎=
1
4；④当−1 < 𝑏< 0时，在𝑥轴下方的抛物线上一定存在关于对称轴对称的两点𝑀，𝑁
（点𝑀在点𝑁左边），使得𝐴𝑁⊥𝐵𝑀．其中正确的结论是______（填写序号）．
37．（25-26 九年级下·山东青岛·开学考试）抛物线𝑦= 𝑎𝑥2 +𝑏𝑥+ 𝑐(𝑎≠0)的部分图象如图所示，与x 轴的
一个交点坐标为(4,0)，抛物线的对称轴是直线𝑥= 1．下列结论：①𝑎𝑏𝑐< 0；②4𝑎−2𝑏+ 𝑐= 0；③方程
𝑎𝑥2 +𝑏𝑥+ 𝑐= 2有两个不相等的实数根；④5𝑎+ 2𝑐> 0；⑤若(𝑥1,𝑦1)和(𝑥2,𝑦2)是抛物线上两点，则当
|𝑥1−1| > |𝑥2−1|时，𝑦1 > 𝑦2其中正确的是________．
38．（25-26 九年级上·湖北武汉·阶段检测）如图，已知抛物线 𝑦= 𝑎𝑥2 +𝑏𝑥+ 𝑐(a、b、c 为常数， 且
（𝑎≠0）的对称轴是直线𝑥= 1，且抛物线与x 轴的一个交点坐标是(4,0)，与y 轴交点坐标是(0,𝑚)且
2 < 𝑚< 3．有下列结论：
①𝑎𝑏𝑐< 0；
②9𝑎−3𝑏+ 𝑐> 0；
③
9
4 < 𝑦最大值<
27
8 ；
④关于x 的一元二次方程 𝑎𝑥2 + (𝑏−1)𝑥+ 𝑐−2 = 0必有两个不相等实根；
⑤若点𝐴(𝑥1,𝑦1)，𝐵(𝑥2,𝑦2) ，𝐶(𝑥3,𝑦3)在抛物线𝑦= 𝑎𝑥2 +𝑏𝑥+ 𝑐上，且 𝑛< 𝑥1 < 𝑛+ 1 < 𝑥2 < 𝑛+ 2 < 𝑥3
< 𝑛+ 3，当𝑦1 < 𝑦3 < 𝑦2时，则n 的取值范围为 −
3
2 < 𝑛< 0．其中正确的是________________．（只用填
序号即可）
39．（2025·湖北武汉·模拟预测）抛物线𝑦= 𝑎𝑥2 +𝑏𝑥+ 𝑐(𝑎,𝑏,𝑐是常数，𝑎> 0)经过(−2,0),(𝑚,0)两点，且
2 < 𝑚< 3．
下列五个结论：
①𝑏< 0；
②𝑏2−4𝑎𝑐< 0；
③若抛物线经过点(−1,−1)，则
1
4 < 𝑎<
1
3；
④若关于𝑥的不等式2𝑎𝑥2 +2𝑏𝑥< −𝑐𝑥的解集为0 < 𝑥< 𝑡，则2 < 𝑡< 3；
⑤点𝐴(𝑥1,𝑦1),𝐵(𝑥2,𝑦2)在抛物线上，若𝑥1 + 𝑥2 >
1
2,𝑥1 < 𝑥2，总有𝑦1 < 𝑦2，则2 < 𝑚≤
5
2．
其中正确的结论是______（填写序号）．
40．已知二次函数𝑦= 𝑎𝑥2 +𝑏𝑥+ 𝑐的图象经过(1,0)，(−2,𝑡)两点，其中𝑡< 0，对称轴为𝑥= −1．下列四个
结论：①𝑏𝑐< 0；②𝑐= 𝑡；③点𝐴(𝑠,𝑦1)、𝐵𝑠＋1,𝑦2 在抛物线上，当𝑠< −1时，𝑦1 > 𝑦2；④已知关于𝑥的
方程𝑎𝑥2 +𝑏𝑥+ 𝑐−𝑚= 0(𝑚> 0)有两个根，其中一个根是3，若关于𝑥的方程𝑎𝑥2 +𝑏𝑥+ 𝑐−𝑛= 0(0 < 𝑛< 𝑚)
有整数根，则其根为−4和2；其中正确的结论是____(填写序号)
41．（2026·广东清远·一模）如图，二次函数𝑦= 𝑎𝑥2 +𝑏𝑥+ 𝑐(𝑎≠0)的图象与𝑥轴交于两点(−1,0)，(𝑥1,0)，
且2 < 𝑥1 < 3．下列结论：
①𝑎𝑏𝑐> 0；
②2𝑎+ 𝑏> 0；
③4𝑎−2𝑏+ 𝑐< 0；
④若𝑚和𝑛是关于𝑥的一元二次方程𝑎𝑥2 +𝑏𝑥+ 2𝑐= 0的两根，且𝑚< 𝑛，则𝑚< −1，𝑛> 2．
其中包含所有正确结论的是（ ）
A．①②
B．①④
C．①②④
D．②③④
42．（2026·黑龙江齐齐哈尔·三模）如图是二次函数𝑦= 𝑎𝑥2 +𝑏𝑥+ 𝑐(𝑎≠0)的部分图象，该函数图象的对
称轴是直线𝑥= 1，图象与𝑦轴交点的纵坐标是2．则下列结论：①𝑏𝑐< 0；②2𝑎+ 𝑏= 0；③方程𝑎𝑥2
+𝑏𝑥+ 𝑐= 0一定有一个根在2 和3 之间；④若𝑚为任意实数，则𝑎(𝑚−1)(𝑚+ 1) ≤𝑏(1−𝑚)；⑤𝑎< −
2
3．其中正确结论的个数为（ ）
A．5 个
B．4 个
C．3 个
D．2 个
43．（2026·山东烟台·中考真题）如图，二次函数𝑦= 𝑎𝑥2 +𝑏𝑥+ 𝑐的部分图象与𝑥轴交于点𝐴(1,0)，与𝑦轴的
交点𝐶位于点(0,−2)和点(0,−3)之间，顶点为点𝑃，对称轴为直线𝑥= 2．下列说法：①𝑎𝑏𝑐< 0；
②4𝑎+ 𝑏= 0；③−1 < 𝑎< −
2
3；④设抛物线与𝑥轴的另一交点为𝐵，当∠𝐶𝑃𝐵= 90°时，𝑎= −
2
2 ．其中正
确的是（ ）
A．②③④
B．②③
C．②④
D．①③④
44．（2026·山东青岛·模拟预测）如图，𝑂是坐标原点，已知二次函数𝑦= 𝑎𝑥2 +𝑏𝑥+ 𝑐（𝑎≠0）的图象与𝑥
轴交于𝐴，𝐶两点，与𝑦轴交于𝐵点，顶点为𝐷，对称轴为直线𝑥= −2，其中𝐴(2,0)，𝐵(0,𝑐)，且
−3 < 𝑐< −2．以下结论：①𝑎𝑏𝑐< 0；②
2
3 < 𝑏< 1；③5𝑎+ 𝑐> 0；④若点(−1 + 𝑚,𝑛)在该函数图象上，
则点(−3−𝑚,𝑛)也在该函数图象上；以上结论正确的个数是（ ）
A．4 个
B．3 个
C．2 个
D．1 个
45．（2026·山东青岛·三模）二次函数𝑦= 𝑎𝑥2 +𝑏𝑥+ 𝑐(𝑎≠0)的图象的一部分如图所示，已知图象经过点
(−1,0)，其对称轴为直线𝑥= 1．下列结论，其中正确的有（ ）
①𝑎𝑏𝑐< 0；②𝑏2−4𝑎𝑐< 0；③8𝑎+ 𝑐< 0；④9𝑎+ 3𝑏+ 2𝑐< 0；⑤点𝐶(𝑥1,𝑦1)、𝐷(𝑥2,𝑦2)是抛物线上的
两点，若𝑥1 < 𝑥2，则𝑦1 < 𝑦2；⑥若抛物线经过点(−3,𝑛)，则关于𝑥的一元二次方程𝑎𝑥2 +𝑏𝑥+ 𝑐−𝑛= 0(𝑎≠0)
的两根分别为−3，5．
A．2 个
B．3 个
C．4 个
D．5 个
46．（2026·黑龙江齐齐哈尔·三模）已知二次函数𝑦= 𝑎𝑥2 +𝑏𝑥+ 𝑐(𝑎≠0)图象的对称轴为直线𝑥= −1，部
分图象如图所示，下列结论：①𝑎𝑏𝑐< 0；②𝑏−2𝑎= 0；③3𝑎+ 𝑐< 0；④若𝑚为任意实数，则有
𝑎−𝑏𝑚≤𝑎𝑚2 +𝑏；⑤当图象经过点
1
2 ,2 时，方程𝑎𝑥2 +𝑏𝑥+ 𝑐= 2的两根为𝑥1，𝑥2(𝑥1 < 𝑥2)，𝑥1 +3𝑥2
= 1，其中正确的有（ ）
A．2 个
B．3 个
C．4 个
D．5 个
47．（2026·黑龙江齐齐哈尔·三模）已知二次函数𝑦= 𝑎𝑥2 +𝑏𝑥+ 𝑐（a，b，c 为常数，𝑎≠0）图象的顶点坐
标是(−2,𝑚)，且经过点(−1,−4)，0 < 𝑐< 2．有下列结论：①𝑏𝑐< 0；②关于x 的方程|𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥+ 𝑐|
+1−𝑐= 0有两个不相等的实数根；③−
16
3 < 𝑚+ 𝑐< −4；④对于任意实数t，总有(𝑡+ 3)(𝑎𝑡−𝑎+ 𝑏)
≤0．⑤当𝑐= 1，𝑛≤𝑥≤𝑛+ 2时，y 的最小值是1，则𝑛= 0或6．其中正确的结论有（）
A．1 个
B．2 个
C．3 个
D．4 个
48．（25-26 九年级下·山东烟台·阶段检测）抛物线 𝑦= 𝑎𝑥2 +𝑏𝑥+ 𝑐(𝑎≠0)的对称轴为直线𝑥= 1，与x 轴
的一个交点坐标为(−1,0)，其部分图象如图所示，下列结论：①𝑎𝑏𝑐< 0；②2𝑎+ 𝑏= 0；③当𝑦> 0时，
x 的取值范围是−1 ≤𝑥≤3；④
𝑏2+𝑐2
𝑎2
= 13； ⑤若二次函数顶点为(1,𝑛)，则有4𝑎𝑐−𝑏2 < 4𝑎𝑛，其中正确
的个数是（ ）
A．1
B．2
C．3
D．4
49．（25-26 九年级下·四川南充·阶段检测）抛物线𝑦= 𝑎𝑥2−2𝑎𝑥+ 𝑐（a，c 为常数且𝑎𝑐≠0）经过(−1,𝑦1)，
(2,𝑦2)，(𝑚,0)，(𝑛,0)，𝑦1 > 𝑦2且𝑚> 𝑛，以下结论：①𝑦2 = 𝑐；②𝑚> 2且𝑛< −1；③方程𝑎𝑥2−(2𝑎−1)
𝑥+ 𝑐−1 = 0一定有两个不等的实数根：④𝑎> 𝑐，其中正确的结论有（ ）
A．①②③
B．①③④
C．①②④
D．①③
50．（2026·黑龙江齐齐哈尔·二模）已知抛物线𝑦= 𝑎𝑥2 +𝑏𝑥+ 𝑐（𝑎，𝑏，𝑐为常数，且𝑎≠0）的对称轴为直
线𝑥= −1，其与𝑥轴的一个交点为𝐴(1,0)，与𝑦轴的交点𝐶在点(0,−2)，(0,−3)之间（不含端点），有下列结
论：①𝑎𝑏𝑐> 0；②2𝑎+ 𝑏+ 𝑐> 0；③
2
3 < 𝑎< 1；④若方程𝑎𝑥2 + (𝑏−1)𝑥+ 𝑐−1 = 0的两根分别为𝑥1，𝑥2
（𝑥1 < 𝑥2），则−3 < 𝑥1 < 1 < 𝑥2．⑤抛物线上有𝑀(𝑚−2,𝑦1)，𝑁(𝑚+ 1,𝑦2)，当𝑦1 > 𝑦2时则𝑚的取值范
围是𝑚>
1
2，其中，正确结论的个数是（ ）
A．2
B．3
C．4
D．5
51．（2026·山东济南·二模）如图，已知二次函数𝑦= 𝑎𝑥2 +𝑏𝑥+ 𝑐的图象与𝑥轴交于点(−3,0)，其顶点坐标
为(−1,𝑚)．有以下结论：①𝑎𝑏𝑐> 0；②3𝑎+ 𝑐= 0；③若𝑦≥𝑐，则𝑥的取值范围为𝑥≤−2或𝑥≥0；
④𝑏+ 𝑐=
1
2𝑚；⑤若𝑦≥𝑥−4𝑎对任意实数𝑥恒成立，则𝑎的取值范围为𝑎≥
1
6．
其中正确的有（ ）
A．2个
B．3个
C．4个
D．5个
52．（2026·山东青岛·二模）已知二次函数𝑦= 𝑎𝑥2 +𝑏𝑥+ 𝑐(𝑎≠0)的图象与x 轴交于点𝐴(1,0)，与y 轴的交
点B 在(0,−2)和(0,−1)之间（不包括这两点），对称轴为直线𝑥= −1．下列结论：①4𝑎−2𝑏+ 𝑐 < 0；②4𝑎𝑐−
𝑏2 < −4𝑎；③对于任意实数t，𝑎𝑡2 +𝑏𝑡> 𝑎−𝑏；④
1
3 < 𝑎<
2
3．其中，正确结论有（ ）
A．①②③
B．①②④
C．②③④
D．①③④
53．（2026·河北邯郸·三模）如图，抛物线𝑦= 𝑎𝑥2 +𝑏𝑥+ 𝑐与x 轴交于𝐴(−4,0),𝐵(2,0)，交y 轴负半轴于点
C，对称轴交抛物线于点D，交x 轴于点E，则下列结论∶①2𝑎−𝑏= 0；②𝑎𝑏𝑐> 0；③𝑎−𝑏≤𝑎𝑚2 +𝑏𝑚
（m 为任意实数）；④若点𝑄(𝑚,𝑛)是第三象限内抛物线上的动点，当△𝑄𝐴𝐶的面积最大时，𝑚= −2，其
中正确的有（ ）
A．1 个
B．2 个
C．3 个
D．4 个
54．（2026·湖北随州·一模）已知二次函数𝑦= 𝑎𝑥2 +𝑏𝑥+ 𝑐(𝑎≠0)的图象如图所示，它与x 轴交于点𝐴
(𝑥1,0)，点𝐵(𝑥2,0)两点，其中−3 < 𝑥1 < −2，1 < 𝑥2 < 2，与y 轴交于点𝐶(0,2)．下列结论：①𝑎𝑏𝑐> 0；
②4𝑎+ 2𝑏+ 𝑐< 0；③当𝑥1𝑥2 = −4时，△𝐴𝐵𝐶为直角三角形；④若方程𝑎𝑥2 +𝑏𝑥+ 𝑐= 2的两个根是𝑥3，
𝑥4，则|𝑥3−𝑥4| =
𝑏
𝑎．其中正确的结论有（ ）
A．4 个
B．3 个
C．2 个
D．1 个
55．（2026·安徽铜陵·二模）如图，抛物线𝑦= 𝑎𝑥2 +𝑏𝑥+ 𝑐(𝑎≠0)的顶点为(1,𝑛)，与𝑥轴其中一个交点𝐵的
坐标为(3,0)，与𝑦轴的交点在(0,−3)与(0,−2)之间（不含端点）．下列结论中：①𝑎𝑏𝑐> 0；②
2
3 < 𝑎< 1；
③(𝑎+ 𝑐)2 = 𝑏2；④2𝑐+ 𝑎< 2𝑛，正确的个数为（ ）
A．1
B．2
C．3
D．4
56．（25-26 九年级下·山东烟台·期中）二次函数𝑦= 𝑎𝑥2 +𝑏𝑥+ 𝑐(𝑎≠0)的图象如图所示，下列结论：
①𝑎𝑏𝑐< 0；②2𝑎+ 𝑏< 0；③3|𝑎| + |𝑐| < 2|𝑏|；④若−1 < 𝑚< 𝑛< 1，则𝑚+ 𝑛<
𝑏
𝑎．其中正确的结论有
（ ）
A．4 个
B．3 个
C．2 个
D．1 个
57．（25-26 九年级下·四川南充·期中）在平面直角坐标系中，已知抛物线𝑦= 𝑎𝑥2 +𝑏𝑥+ 𝑐（𝑎,𝑏,𝑐是常数，
𝑎≠0）经过点(3,𝑘)，当𝑥≤2时，𝑦≥𝑘+ 1；当𝑥> 2时，𝑦≥𝑘．下列结论：①𝑘= 9𝑎+ 3𝑏+ 𝑐；
②𝑏< −4𝑎；③函数𝑦的最小值为𝑘+ 1；④𝑎的值为1．其中，正确结论的个数有（）
A．1 个
B．2 个
C．3 个
D．4 个
58．（2026·黑龙江齐齐哈尔·一模）如图，已知抛物线𝑦= 𝑎𝑥2 +𝑏𝑥+ 𝑐（a，b，c 为常数，且𝑎≠0）的对称
轴是𝑥= 1，且抛物线与x 轴的一个交点坐标是(4,0)，与y 轴的交点坐标是(0,𝑚)，且2 < 𝑚< 3．有下列结
论：①𝑎𝑏𝑐< 0；②9𝑎+ 3𝑏+ 𝑐> 0；③
9
4 < 𝑦最大<
27
8 ；④关于x 的一元二次方程𝑎𝑥2 + (𝑏−1)𝑥+ 𝑐−2 = 0
必有两个不相等的实数根．其中结论正确的个数有（ ）
A．1 个
B．2 个
C．3 个
D．4 个
59．（2026·山东聊城·一模）已知二次函数𝑦= 𝑎𝑥2 +𝑏𝑥+ 𝑐(𝑎≠0)的图像的一部分如图所示，对称轴为
𝑥= 3，对于下列结论：
①𝑎𝑏𝑐< 0；
②多项式𝑎𝑥2 +𝑏𝑥+ 𝑐可因式分解为(𝑥−1)(𝑥+ 5)；
③若点(𝑚,𝑦1)，(𝑚+ 4,𝑦2)在函数图像上，且𝑦1 > 𝑦2，则𝑚< 1；
④不等式𝑎𝑥2 + (𝑏+ 1)𝑥+ 𝑐> 5的解集为0 < 𝑥< 5．
其中正确的个数有（ ）
A．1 个
B．2 个
C．3 个
D．4 个
60．（25-26 九年级上·四川绵阳·期末）函数𝑦= 𝑎𝑥2 +𝑏𝑥+ 𝑐(𝑎≠0)的图像与x 轴交于点2，0 ，顶点坐标
为−1，𝑛，其中𝑛> 0．以下结论正确的是（ ）．
①𝑎𝑏𝑐> 0；
②𝑡(𝑎𝑡+ 𝑏) ≤𝑎−𝑏（t 为任意实数）；
③函数𝑦= 𝑎𝑥2 +𝑏𝑥+ 𝑐(𝑎≠0)在𝑥= 1和x＝﹣2 处的函数值相等；
④函数𝑦= 𝑘𝑥+ 1的图像与𝑦= 𝑎𝑥2 +𝑏𝑥+ 𝑐(𝑎≠0)的函数图像总有两个不同交点；
⑤函数𝑦= 𝑎𝑥2 +𝑏𝑥+ 𝑐(𝑎≠0)在−3 ≤𝑥≤3内既有最大值又有最小值．
A．①②⑤
B．①②③
C．①③⑤
D．②③④⑤
