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专题03 与绝对值有关的十七大压轴题型（（举一反三专项训练）
【新教材人教版】
【题型1 利用绝对值的代数意义求范围】............................................................................................................1
【题型2 利用绝对值的代数意义去绝对值】........................................................................................................2
【题型3 利用绝对值的几何数意义将绝对值转化为距离】................................................................................2
【题型4 绝对值的非负性】....................................................................................................................................3
【题型5 分类讨论求多绝对值的值】....................................................................................................................3
【题型6 零点分段去多绝对值化简】....................................................................................................................4
【题型7 零点分段法解多绝对值方程】................................................................................................................4
【题型8 零点分段法求多绝对值型最值】............................................................................................................4
【题型9 利用绝对值的几何数意义解多绝对值方程】........................................................................................5
【题型10 利用绝对值的几何数意义求多绝对值型最值】....................................................................................5
【题型11 两个绝对值之和求最值】........................................................................................................................6
【题型12 三个绝对值之和求最小值】....................................................................................................................6
【题型14 系数不为1 型绝对值之和求最小值】....................................................................................................7
【题型15 绝对值之差求最大值】............................................................................................................................7
【题型16 绝对值和差混搭求最大值】....................................................................................................................7
【题型17 利用隐最值求最值】................................................................................................................................8
方法技巧1 代数视角看绝对值的意义
绝对值的代数意义：|𝑎| =
𝑎(𝑎> 0)，
0(𝑎= 0)，
−𝑎(𝑎< 0)．
（去绝对值法则）
|非负| = 本身；
|非正| =相反数．
变式结论：
①若|𝑎| = 𝑎，则(𝑎≥0)；
②若|𝑎| = －𝑎，则(𝑎≤0)；
③|𝑎| ≥𝑎.
【题型1 利用绝对值的代数意义求范围】
【例1】（24-25 七年级上·浙江杭州·阶段检测）如果|2−𝑥| = 𝑥−2，那么x 的取值范围是（ ）
A．𝑥> 2
B．𝑥≥2
C．𝑥< 2
D．𝑥≤2
【变式1-1】（24-25 七年级上·山东德州·月考）若|𝑎| = 𝑎，则𝑎的取值范围是（ ）
A．𝑎> 0
B．𝑎≥0
C．𝑎≤0
D．𝑎< 0
【变式1-2】（24-25 七年级上·河南焦作·期中）如果|−2𝑎| = −2𝑎，则𝑎的取值范围______．
题型归纳
【变式1-3】（24-25 七年级下·安徽蚌埠·月考）若|3−3𝑎| = 3𝑎−3，则a 的取值范围在数轴上表示正确的是
（ ）
A．
B．
C．
D．
【题型2 利用绝对值的代数意义去绝对值】
【例2】已知实数𝑎在数轴上的位置如图所示，则化简|𝑎−1| + 1的结果为（ ）
A．1.4
B．𝑎
C．2 + 𝑎
D．2−𝑎
【变式2-1】（25-26 七年级下·河南驻马店·期中）|π−5| = _____________．
【变式2-2】（25-26 六年级上·山东威海·期末）若5 < 𝑎< 6，则化简|𝑎−5|−|𝑎−6| = （ ）
A．2𝑎−11
B．2𝑎−1
C．1
D．11
【变式2-3】（24-25 七年级上·北京·期中）如图，a，b 是有理数，则式子|𝑎|−|𝑏| + |𝑎+ 𝑏|化简的结果为（ ）
A．0
B．2𝑎
C．𝑏+ 𝑎
D．2𝑏−𝑎
方法技巧2 几何视角看绝对值的意义
绝对值⇔距离，数⇔形
|𝑎|的几何意义：数轴上表示a 的点到原点的距离．
|𝑥－𝑎|的几何意义：数轴上表示𝑥的点与表示𝑎的点之
间的距离．
【题型3 利用绝对值的几何数意义将绝对值转化为距离】
【例3】（25-26 七年级上·湖南岳阳·期末）若|𝑥| = 7,|𝑦| = 6，且𝑥𝑦< 0，则𝑥−𝑦的值为_____．
【变式3-1】（25-26 七年级下·河南洛阳·期中）若|𝑥+ 2| = 3，则𝑥= ______．
【变式3-2】（2025 六年级上·全国·专题练习）数轴上点A 表示的数为−4，点B 表示的数为x，若A，B 两
点之间的距离为11，求x 的值．
【变式3-3】（2025 六年级上·全国·专题练习）若|𝑡+ 4| + |𝑡−1| + |𝑡−8| = 12，请结合数轴确定t 的取值．
方法技巧3 绝对值的非负性
1. |𝑎| ≥0，绝对值无负数
2. 若|𝑎| + |𝑏| = 0，则𝑎= 0且𝑏= 0
3. 若|𝑎| + 𝑏2=0，则𝑎= 0且𝑏= 0
【题型4 绝对值的非负性】
【例4】已知：|𝑥+
1
2| + (𝑦−2)2 = 0，则𝑥2的值为__________
【变式4-1】（25-26 七年级上·福建宁德·月考）已知|𝑥+ 2| + (2𝑦−1)2 = 0，则𝑥−2𝑦的值是（ ）
A．3
B．2
C．−3
D．−2
【变式4-2】（2025 七年级上·全国·专题练习）已知|2𝑎−3|与|5−𝑏|互为相反数，则2𝑎−𝑏= （ ）
A．−1
B．1
C．−2
D．2
【变式4-3】（25-26 七年级下·重庆·开学考试）若有理数x、y 满足：𝑦= |𝑥| +4，𝑥+ |𝑦| = 8，则𝑥𝑦= ________．
方法技巧4 多绝对值处理——分类讨论
|𝑎|
𝑎或
𝑎
|𝑎|
𝑎> 0⇒值为1；
𝑎< 0⇒值为－1．
|𝑎|
𝑎+ |𝑏|
𝑏= ± 2或0．
①a，b 同正，值为1 + 1 = 2；
②a，b 同负，值为−1−1 = −2；
③a，b 异号，值为1−1 = 0．
注：无需讨论具体数的符号．
【题型5 分类讨论求多绝对值的值】
【例5】若1 < 𝑥< 2，求代数式
|𝑥−2|
𝑥−2 −
|𝑥−1|
1−𝑥+
|𝑥|
𝑥= ____________．
【变式5-1】已知a，b，c 是有理数，当 𝑎𝑏𝑐<0 时，求
|𝑎|
𝑎+
|𝑏|
𝑏+
|𝑐|
𝑐 的值是（ ）
A．1 或−3
B．1，−1或−3
C．−1或3
D．1，−1，3 或−3
【变式5-2】已知𝑎𝑏≠0，试求
|𝑎|
𝑎+
|𝑏|
𝑏+
|𝑎𝑏|
𝑎𝑏的值不可能为（ ）
A．3
B．-3
C．0
D．-1
【变式5-3】已知𝑎+ 𝑏+ 𝑐= 0，其中𝑎> 0，𝑐< 0且|𝑎| < |𝑐|，求
|𝑏+𝑐|
𝑎
+
|𝑎+𝑐|
𝑏
+
|𝑎+𝑏|
𝑐的值（ ）
A．−1
B．1
C．2
D．3
方法技巧5 多绝对值处理——零点分段
零点：使绝对值为0 的未知数的值即为零点．
方法：
①寻找所有零点，并在数轴上表示；
②依据零点将数轴进行分段；
③分别根据每段未知数的范围去绝对．
易错点：分类不明确，不会去绝对值，
化简：|𝑥−𝑎| + |𝑥−𝑏|(𝑎< 𝑏)．
令𝑥−𝑎= 0，𝑥−𝑏= 0，解得𝑥= 𝑎，𝑥= 𝑏，
故零点为a，b，分三种情况讨论：
①𝑥< 𝑎；
②𝑎≤𝑥≤𝑏；
③𝑥> 𝑏．
【题型6 零点分段去多绝对值化简】
【例6】（24-25 七年级上·湖北孝感·期末）化简代数式|2𝑥+ 4|−|𝑥−4|；
【变式6-1】（25-26 七年级上·黑龙江哈尔滨·期中）化简|𝑥−4| + |𝑥+ 7|；
【变式6-2】化简|𝑥−5| + |𝑥+ 2|；
【变式6-3】化简|𝑥−3| +2|𝑥−1|−|2𝑥+ 4|．
【题型7 零点分段法解多绝对值方程】
【例7】解方程：
(1)|𝑥−3| + 8 = 3|𝑥−3|．
(2)|𝑥−3|−3|𝑥+ 2| = 𝑥−9．
【变式7-1】（25-26 七年级上·甘肃兰州·期末）解方程|𝑥−1| + |𝑥+ 2| = 𝑥+ 3．
【变式7-2】解方程：2|𝑥+ 1| +3|𝑥−4| = 60．
【变式7-3】解方程：|2𝑥+ 3|−|𝑥−1| = 4𝑥−3．
【题型8 零点分段法求多绝对值型最值】
【例8】若|𝑥+ 1| + |𝑥−1|的最小值记为𝑛，|−𝑥−1|−|𝑥−1|的最大值记为𝑚，则−𝑛𝑚= _____．
【变式8-1】（24-25 七年级上·江苏无锡·月考）当式子|𝑥−3|−|𝑥+ 5|取得最大值时，x 的最大整数值是______．
【变式8-2】（24-25 七年级上·重庆·月考）当|𝑥−2| + |𝑥−7|取最小值时，𝑥的取值范围是______，最小值为
______．
【变式8-3】（2025 六年级上·全国·专题练习）已知−
1
2 ≤𝑥≤
3
2；，则|2𝑥+ 1|−|𝑥−1| +3|𝑥|−|𝑥−2|的最大值
为___________．
方法技巧6 多绝对值处理——数形结合
𝑃𝐴= |𝑥−𝑎|，|𝑥−𝑎|表示P，A 两点之间的距离；
𝑃𝐵= |𝑥−𝑏|，|𝑥−𝑏|表示P，B 两点之间的距离；
𝑃𝐴+ 𝑃𝐵= |𝑥−𝑎| + |𝑥−𝑏|，
|𝑥−𝑎| + |𝑥−𝑏|表示P 到A，B 两点的距离之和．
【题型9 利用绝对值的几何数意义解多绝对值方程】
【例9】（24-25 七年级上·安徽滁州·月考）我们知道，|𝑎|可以理解为|𝑎−0|，它表示：数轴上表示数a 的点
到原点的距离，这是绝对值的几何意义．进一步地，数轴上的两个点A，B，表示的数分别为a，b，那么
A，B 两点之间的距离为𝐴𝐵= |𝑎−𝑏|，反过来，式子|𝑎−𝑏|的几何意义是：数轴上表示数a 的点和表示数b
的点之间的距离．利用此结论，回答以下问题：
（1）数轴上表示数−1的点和表示数−3的点之间的距离是______．
（2）数轴上点A 用数a 表示，当|𝑎+ 2| + |𝑎−3| = 5时，这样的整数a 有______个
【变式9-1】（25-26 七年级上·重庆·期中）若|𝑥−2| + |𝑥+ 5| = 7，则满足条件的整数𝑥有_____个．
【变式9-2】解答下列问题：
（1）若|x – 5|=|x+1|，则x= __________；
（2）若|x－3|+|x+2|=7，则x=__________．
【变式9-3】已知点A，B 在数轴上分别表示有理数a，b，A，B 两点之间的距离𝐴𝐵= |𝑎−𝑏|，所以|𝑥−3|的
几何意义是数轴上表示有理数3 的点与表示有理数x 的点之间的距离.
(1)若|𝑥−3| = 5，则𝑥= ______；
(2)若|𝑥−3| = |𝑥−(−1)|，则𝑥= ______.
【题型10 利用绝对值的几何数意义求多绝对值型最值】
【例10】我们知道，在数轴上，|𝑎|表示数a 到原点的距离，这是绝对值的几何意义．进一步地可以规定，
数轴上两个点A、B，分别用a，b 表示，那么A、B 两点之间的距离为：𝐴𝐵= |𝑎−𝑏|．利用此结论，那么式
子|𝑥−1| + |𝑥−3| + |𝑥−5| + |𝑥−7| + |𝑥−9|的最小值是__________．
【变式10-1】（24-25 七年级上·广东深圳·期中）|𝑥+ 1|−|𝑥−2|的最大值是______．
【变式10-2】（24-25 七年级上·山西吕梁·月考）当|𝑥+ 5| + |𝑥−4| + |𝑥−1|取得最小值时，x 的值为_______．
【变式10-3】（25-26 六年级上·上海浦东新·期中）|𝑥+ 1| + |𝑥−𝑎| + |𝑥−2|的最小值是5，则𝑎= __________ ．
方法技巧7 两个绝对值之和求最值
若𝑎< 𝑏，则当𝑎≤𝑥≤𝑏时，|𝑥−𝑎| + |𝑥−𝑏|有最小值𝑏−𝑎．
【题型11 两个绝对值之和求最值】
【例11】当𝑥满足________条件时，|𝑥−2| + |𝑥+ 3|有最小值，这个最小值是________．
【变式11-1】|𝑥−4| + |𝑥+ 2|的最小值为_____________．
【变式11-2】当_________时，|𝑥−3| + |𝑥+ 4|有最小值，最小值是_________；
【变式11-3】（24-25 七年级上·湖南长沙·月考）若𝑥是实数，则𝑦= |𝑥−1| + |𝑥−3|的最小值为___．
方法技巧8 三个绝对值之和求最小值
若𝑎< 𝑏< 𝑐，则当𝑥= 𝑏时，|𝑥−𝑎| + |𝑥−𝑏| + |𝑥−𝑐|有最小值𝑐−𝑎．
【题型12 三个绝对值之和求最小值】
【例12】设𝑇= |𝑥−𝑝| + |𝑥−15| + |𝑥−15−𝑝|，其中0 < 𝑝< 15．对于满足𝑝≤𝑥≤15的x 来说，T 的最小值
是_______．
【变式12-1】（25-26 七年级上·陕西西安·月考）已知x 为有理数，若|𝑥+ 2| + |𝑥−3| + |𝑥+ 2𝑎|的最小值为
7，则a 的值为________．
【变式12-2】（25-26 七年级上·湖北武汉·期中）式子
1
6|𝑥−1| + |
1
3 𝑥−
1
4| + |
1
2 𝑥−
2
3|的最小值是______．
【变式12-3】（24-25 七年级上·全国·随堂练习）若𝑥表示一个有理数，则|𝑥−4| + |𝑥+ 1| + |𝑥+ 7|的最小值
是______．
方法技巧9 三个以上绝对值之和求最小值
一般地，设𝑎1 < 𝑎2 < 𝑎3 < ⋯𝑎𝑛，𝑃= |𝑥−𝑎1| + |𝑥−𝑎2| + |𝑥−𝑎3| + ⋯+ |𝑥−𝑎𝑛|．
①若n 为奇数，则当𝑥= 𝑎𝑛+1
2 时，P 有最小值；②若n 为偶数，则当𝑎𝑛
2 ≤𝑥≤𝑎𝑛
2+1时，P 有最小值．
口诀：按序排列，奇取中值，偶取中段．
【题型13 三个以上绝对值之和求最小值】
【例13】𝑥= __，|𝑥−1| + |𝑥−2| + |𝑥−3| +⋯+ |𝑥−2013|有最小值，最小值是__．
【变式13-1】（25-26 七年级上·江苏无锡·月考）已知m 是有理数，则|𝑚+ 2| + |𝑚−4| + |𝑚−6| + |𝑚−8|的
最小值是________．
【变式13-2】（24-25 七年级下·重庆·开学考试）x 是有理数，|𝑥−5| + |𝑥−7| + |𝑥+ 6| + |𝑥−9|的最小值是
___________．
【变式13-3】（2025·浙江杭州·模拟预测）当|
3
2 𝑥−1| + |
5
2 𝑥−1| + |
7
2 𝑥−1| + |
9
2 𝑥−1| + |
11
2 𝑥−1| + |
13
2 𝑥−1|取得
最小值时，x 满足_____
方法技巧10 系数不为1 型绝对值之和求最小值
系数不为1 型绝对值之和求最小值，可化为系数为1 型问题解决.
【题型14 系数不为1 型绝对值之和求最小值】
【例14】（25-26 七年级上·江苏南京·月考）|𝑥−1| +2|𝑥−2| +3|𝑥−3| +4|𝑥−4|的最小值为______．
【变式14-1】（25-26 九年级上·北京海淀·自主招生）|𝑥−1| + 2|2−𝑥| + |𝑥+ 1| + |𝑥+ 2|的最小值是
__________．
【变式14-2】（25-26 七年级上·浙江舟山·期中）5|𝑥+ 2| +2|𝑥−3| + |𝑥−4|的最小值是______．
【变式14-3】（24-25 七年级上·四川成都·月考）求𝑥为何值时，式子
1
2|2𝑥+ 1| +
1
2|2𝑥+ 2| +
1
2|2𝑥+ 3| +⋯+
1
2|2𝑥+(2𝑘+ 1)|有最小值，并求出此最小值．
方法技巧11 绝对值之差求最大值
若𝑎< 𝑏，则当𝑥≥𝑏时，|𝑥−𝑎|−|𝑥−𝑏|的最大值为𝑏−𝑎．
【题型15 绝对值之差求最大值】
【例15】（24-25 七年级上·江苏无锡·月考）当式子|𝑥−3|−|𝑥+ 5|取得最大值时，x 的最大整数值是______．
【变式15-1】|𝑥−2|−|𝑥−7|的最大值是_______．
【变式15-2】代数式|𝑥−1|−|𝑥+ 4|−5的最大值是________．
【变式15-3】代数式|𝑥−1|−|𝑥+ 2|，当𝑥< −2时，可化简为______；若代数式的最大值为𝑎与最小值为𝑏，
则𝑎𝑏的值______．
方法技巧12 绝对值和差混搭求最大值
绝对值和差混搭求最大值：数形结合，分析表示数x 的点的位置．
【题型16 绝对值和差混搭求最大值】
【例16】设−1 ≤𝑥≤2，则|𝑥−2|−
1
2|𝑥| + |𝑥+ 2|的最大值与最小值之差为____
【变式16-1】已知0 ≤𝑎≤4，那么设𝑘= |𝑎−2| + |𝑎−3|−|𝑎+ 1|，则𝑘的最大值为_______，最小值为_______．
【变式16-2】设﹣1≤x≤3，则|x﹣3|﹣
1
2|x|+|x+2|的最大值与最小值之和为__．
【变式16-3】（2025 六年级上·全国·专题练习）已知−
1
2 ≤𝑥≤
3
2；，则|2𝑥+ 1|−|𝑥−1| +3|𝑥|−|𝑥−2|的最大
值为___________．
方法技巧13 利用隐最值求最值
注意挖掘几个绝对值之和有最小值，及取得最小值时字母的范围这个隐藏的条件．
【题型17 利用隐最值求最值】
【例17】|𝑥+ 1| + |𝑥−2|指数轴上表示𝑥的点到表示−1和2 两个点的距离之和．
（1）|𝑥+ 1| + |𝑥−2|的最小值为______．
（2）已知|𝑥+ 1| + |𝑥−2|
|𝑦−2| + |𝑦+ 1|
|𝑧−3| + |𝑧+ 1| = 36，则𝑥+ 2𝑦+ 3𝑧的最大值是______．
【变式17-1】已知𝑥,𝑦均为整数，且|𝑥−𝑦| + |𝑥−3| = 1，则𝑥+ 𝑦的最小值为______．
【变式17-2】已知（|x+1|＋|x-2|）(|y-2|＋|y+2|)＝12，则代数式3x＋5y 的最小值为________．
【变式17-3】若(|𝑥+ 4| + |𝑥+ 1|)(|𝑦−3| + |𝑦−8|) = 15，求𝑥+ 𝑦的最大值和最小值.
