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专题02 与数轴有关的十七大压轴题型（举一反三专项训练）
【新教材人教版】
【题型1 求数轴上的两点距离】............................................................................................................................1
【题型2 借助数轴求两点中点】............................................................................................................................2
【题型3 与数轴有关的和差倍分的计算】............................................................................................................3
【题型4 数轴上点的平移】....................................................................................................................................4
【题型5 数轴上点的运动】....................................................................................................................................5
【题型6 数轴上点的相遇与追及问题】................................................................................................................7
【题型7 数轴上点的和差问题】............................................................................................................................8
【题型8 数轴上点的倍分问题】............................................................................................................................9
【题型9 数轴上距离定值问题】..........................................................................................................................11
【题型10 数轴上和差定值问题】..........................................................................................................................12
【题型11 数轴上比为定值问题】..........................................................................................................................14
【题型12 数轴上定值求参问题】..........................................................................................................................15
【题型13 数轴上动线段问题】..............................................................................................................................17
【题型14 数轴上挡板与往返问题】......................................................................................................................19
【题型15 数轴上的折叠问题】..............................................................................................................................21
【题型16 数轴与有理数的多结论问题】..............................................................................................................23
【题型17 数轴上的新定义问题】..........................................................................................................................24
方法技巧1：数轴上的两点距离
两点距离
位置明确（右减左）：𝐴𝐵= 𝑎−𝑏
位置不明确（加绝对值）：𝐴𝐵= |𝑎−𝑏|
【题型1 求数轴上的两点距离】
【例1】（25-26 七年级上·安徽亳州·月考）如图，在数轴上从左到右有A，B，C 三点，其中点𝐴到点𝐵的距
离为3，点𝐵到点𝐶的距离为8，设点A，B，C 所表示的数的和是𝑚．
（1）若点𝐴为原点，则点𝐵所表示的数是__________；
（2）若点𝐵到原点𝑂的距离为4，则𝑚的值是__________．
题型归纳
【变式1-1】（25-26 七年级上·湖南永州·开学考试）数轴上，点A 到原点（表示数0 的点）的距离为4，点
B 到原点的距离为6，那么A 与B 的距离为___．
【变式1-2】（24-25 七年级上·四川南充·月考）已知数轴上𝐴,𝐵两点对应的数分别为−3,−6，若在数轴上找
一点𝐶，使得点𝐴,𝐶的距离为4，再在数轴上找一点D，使得点B,D 的距离为1，则𝐶𝐷的距离为
____________________．
【变式1-3】（25-26 七年级上·河南安阳·期中）如图所示，在一条不完整的数轴（向右为正方向）上从左到
右有点𝐴、𝐵、𝐶，其中点𝐴到点𝐵的距离为3，点𝐵到点𝐶的距离为8，设点𝐴、𝐵、𝐶所对应的数的和是𝑚．若
原点𝑂在图中数轴上，且点𝐵到原点𝑂的距离为4，则𝑚= _____．
两点中点
中点定义：线段上的一点把线段分成相等的两部分，这个
点叫作这条线段的中点；
中点公式：若A：a，B：b，则AB 的中点𝑀:
𝑎+𝑏
2
【题型2 借助数轴求两点中点】
【例2】（25-26 七年级上·江苏苏州·月考）数轴上的三个点，若其中一个点与其它两个点的距离相等，则称
该点是其它两个点的“中点”，这三点满足“中点关系”．已知点A、B 表示的数分别为−1、5，点C 为数轴上
一动点，若A、B、C 三点满足“中点关系”，则点C 表示的数为_______．
【变式2-1】如图，数轴上𝐴、𝐵两点表示的数分别为−6，2，将长为3的线段𝑃𝑄摆放在数轴上，使得点𝑃与𝐴𝐵
中点重合，则点𝑄表示的数________．
【变式2-2】（24-25 七年级上·湖北武汉·月考）已知如图，数轴上点A，B 分别与刻度尺上2，18 对齐，点
A 在数轴上表示的数为−4．第一次取𝐴𝐵的中点𝑀1，第二次取𝐴𝑀1的中点𝑀2，第三次取𝐴𝑀2的中点𝑀3，按
此规律依次取得中点𝑀6，则点𝑀6在数轴上表示的数是________．
【变式2-3】（24-25 七年级上·福建福州·期末）已知点𝐴,𝐵,𝐶,𝐷是同一数轴上的不同四点，且点𝑀为线段𝐴𝐵
的中点，点𝑁为线段𝐶𝐷的中点．如图，设数轴上点𝑂表示的数为0，点𝐷表示的数为1．
(1)若数轴上点𝐴,𝐵,𝐶表示的数分别是−4,−2,3，直接写出此时线段𝑀𝑁的长是_____________．
(2)若𝐴、𝐵、𝐶、𝐷四点从左到右依次在数轴上，𝐴𝐵+ 𝐶𝐷= 10,𝐴𝐶+ 𝐵𝐷=
3
2𝐴𝐷，请结合数轴，求𝐴点表示的
数．
(3)若点𝐴,𝐵,𝐶均在点𝑂的右侧，且始终满足𝑀𝑁=
𝑂𝐴+𝑂𝐵+𝑂𝐶
2
，求点𝑀在数轴上所表示的数．
距离和差倍分
点P 在A，B 之间
点P 在B 右侧
点P 的位置不确定
𝑃𝐴= 𝑥−𝑎；𝑃𝐵= 𝑏−𝑥；
𝑃𝐴+ 𝑃𝐵= 𝑏−𝑎
𝑃𝐴= 𝑥−𝑎；𝑃𝐵= 𝑥−𝑏；
𝑃𝐴+ 𝑃𝐵= 2𝑥−𝑎−𝑏
𝑃𝐴= |𝑥−𝑎|；𝑃𝐵= |𝑥−𝑏|；
𝑃𝐴+ 𝑃𝐵= |𝑥−𝑎| + |𝑥−𝑏|
【题型3 与数轴有关的和差倍分的计算】
【例3】（24-25 七年级上·宁夏银川·阶段检测）已知数轴上点𝐴在原点左边，到原点的距离为8个单位长度，
点𝐵在原点的右边，从点𝐴走到点𝐵，要经过32个单位长度．
(1)𝐴，𝐵两点分别表示的数为_______．
(2)若点𝐶也是数轴上的点，点𝐶表示的数是正数，点𝐶到点𝐵的距离是点𝐶到原点的距离的3倍，则点𝐶表示的
数为_______．
【变式3-1】（25-26 七年级上·安徽六安·期中）1．如图，数轴上点A，B 表示的数分别是−1，5，点C 是数
轴上一动点．在点C 移动的过程中：
（1）若点C 到A，B 两点的距离相等，则点C 表示的数是______；
（2）若点C 到点A 距离是它到点B 距离的2 倍，则点C 表示的数是______．
【变式3-2】如图，在数轴上有A、B、C、D 四个整数点（即各点均表示整数），且2AB=BC=3CD，若A、D
两点表示的数分别为﹣5 和6，且AC 的中点为E，BD 的中点为M，BC 之间距点B 的距离为
1
3BC 的点N，则
该数轴的原点为（ ）
A．点E
B．点B
C．点M
D．点N
【变式3-3】在一条不完整的数轴上从左到右有点𝐴，𝐵，𝐶，其中𝐴𝐵= 2，𝐵𝐶= 1，如图所示，设点𝐴，𝐵，
𝐶所对应数的和是𝑝．
(1)若以𝐵为原点，写出点𝐴，𝐶所对应的数，并计算𝑝的值；若以𝐶为原点，𝑝又是多少？
(2)若原点𝑂在图中数轴上点𝐶的右边，且𝐶𝑂= 25，求𝑝．
点的平移
点A 表示的数为a，将点A 向左平移n 个单
位长度得到点B，则点B 表示的数为a－n
点A 表示的数为a，将点A 向右平移n 个单
位长度得到点B，则点B 表示的数为a＋n
【题型4 数轴上点的平移】
【例4】（2026·山东济宁·一模）一个点从数轴上的原点出发，向负半轴移动2025 个单位长度，再向正方向
移动2026 个单位长度到达点P，则点P 表示的数是（ ）
A．−2
B．−1
C．1
D．2
【变式4-1】如图，点A、B、C 为数轴上的点，请回答下列问题：
（1）将点A 向右平移3 个单位长度后，点A，B，C 表示的数中，哪个数最小？
（2）将点C 向左平移6 个单位长度后，点A 表示的数比点C 表示的数小多少？
（3）将点B 经过怎样的平移后，点B 与点C 的距离是2？
【变式4-2】（24-25 七年级上·陕西西安·期末） 已知𝑀，𝑁两点在数轴上所表示的数分别为𝑚和𝑛，其中𝑚
表示的数为10，𝑛表示的数为−2．有一个玩具火车𝐴𝐵放置在数轴上；将火车沿数轴左右水平移动，当点𝐴
移动到点𝐵时，点𝐵与点𝑀重合，当点𝐵移动到点𝐴时，点𝐴与点𝑁重合．若将此玩具火车沿数轴左右水平移动，
当𝑁𝐴:𝐵𝑀= 3:1时，点𝐴所表示的数为_____．
【变式4-3】（25-26 七年级上·河北张家口·阶段检测）如图1，电脑显示屏上画出了一条不完整的数轴，并
标出了表示−6的点𝐴．小明同学设计了一个电脑程序：点𝑀，𝑁分别从点𝐴同时出发，每按一次键盘，点𝑀
向右平移2 个单位长度，点𝑁向左平移1 个单位长度．例如，第一次按键后，屏幕显示点𝑀，𝑁的位置如图2．
(1)第_____次按键后，点𝑀正好到达原点；
(2)第6 次按键后，点𝑀到达的点表示的数与点𝑁到达的点表示的数的乘积是多少？
(3)第𝑛次按键后，点𝑀与点𝑁到原点的距离相等，求𝑛的值．
点的运动
运动时间为t，运动速度为v，点A 表示的数为a
向左运动→B：a－vt
向右运动→B：a＋vt
两动点之间的距离表示
位置明确（右减左）：𝐴𝐵= 𝑎−𝑏
位置不明确（加绝对值）：𝐴𝐵= |𝑎−𝑏|
【题型5 数轴上点的运动】
【例5】（25-26 七年级上·河北石家庄·期末）已知数轴上有A，B 两点，分别代表−10,5，两只电子蚂蚁甲，
乙分别从𝐴、𝐵两点同时出发，甲沿线段𝐴𝐵以2 个单位长度／秒的速度向右运动，甲到达点𝐵处时运动停止，
乙沿𝐵𝐴方向以1 个单位长度／秒的速度向左运动．
（1）A，B 两点间的距离为__________个单位长度；
（2）__________秒时，甲、乙相距6 个单位长度．
【变式5-1】（25-26 七年级上·福建漳州·期中）如图所示，已知数轴上点A 表示的数为8，点B 表示的数为
−6．动点P 从点A 出发，以每秒3 个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动；动点Q 从点B 出发，以每秒1
个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，设运动时间为t 秒(𝑡> 0)．若点P、Q 同时出发，当P、Q 两点相
距2 个单位长度时，t 的值为（ ）
A．3
B．4
C．3 或4
D．3 或5
【变式5-2】（2025 七年级下·全国·专题练习）数轴的再思考：
(1)在数轴上点A 表示数−4，点B 表示数8．若将数轴折叠，使得点A 与点B 重合，则折痕所表示的数为
________，原点与数________表示的点重合．
(2)动点P、Q 同时从原点出发，点P 向负半轴运动，点Q 向正半轴运动，点Q 的速度是点P 速度的2 倍，
运动到2s时，两点相距12 个单位长度．
①求P、Q 两点的运动速度，并在数轴上标出P、Q 两点的位置；
②若P、Q 两动点从①中的位置再次同时开始在数轴上运动，运动速度不变，运动方向不限，问：几秒后，
P、Q 两点相距4 个单位长度？
【变式5-3】（25-26 七年级上·广东广州·期中）有理数a、b、c 在数轴上所对应的点分别为A、B、C，其中
点A 在原点的左边，与原点的距离为10 个单位长度，且a、b、c 满足|𝑐−18| + |𝑎+ 𝑏| = 0．
(1)则𝑎= ，𝑏= ，𝑐= ．
(2)在数轴上A、B 两点之间的距离𝐴𝐵= |𝑎−𝑏|，B、C 两点之间的距离𝐵𝐶= |𝑏−𝑐|，若点A 以每秒1 个单位
长度的速度向左运动，同时点B 和点C 分别以每秒2 个单位长度和5 个单位长度的速度向右运动，设运动
时间为t 秒，请问：𝐵𝐶−𝐴𝐵的值是否随着时间t 的变化而改变？若变化，请说明理由；若不变，请求其值．
(3)如图，若将一条数轴在原点O 和点B 处各折一下，得到一条“折线数轴”、我们称A，C 两点在折线数轴
上的路程为𝐴𝑂、𝑂𝐵、𝑂𝐶三段的和、动点P 从点A 出发，以2 个单位长度每秒的速度沿着“折线数轴”向右运
动，在𝑂𝐵段运动期间速度变为原来的一半．点P 从点A 出发的同时，点Q 从点C 出发，以1 个单位长度每
秒的速度沿着“折线数轴”向左运动，当点P 到达点B 时，点P，Q 均停止运动．设运动的时间为t 秒．
①当𝑡= 3时，点P 和点Q 在折线数轴上相距
个单位长度；
②当𝑡= 7.5时，点P 和点Q 在折线数轴上相距
个单位长度；
③当𝑡= 9时，点P 和点Q 在折线数轴上相距
个单位长度．
行程问题
运动时间为t，运动速度为v，A：a，B：b
相遇→A、B 重合→数相同→𝑎−𝑣𝐴𝑡= 𝑏+ 𝑣𝐵𝑡
相遇→A、B 重合→数相同→𝑎+ 𝑣𝐴𝑡= 𝑏+ 𝑣𝐵𝑡
【题型6 数轴上点的相遇与追及问题】
【例6】（25-26 七年级上·吉林白山·期中）如图，已知在数轴上有𝐴、𝐵两点，分别代表−40、20．两只电
子蚂蚁甲、乙分别从𝐴、𝐵两点同时出发，甲沿数轴正方向以每秒1 个单位长度的速度运动，当甲到达点𝐵
处时运动停止，乙沿数轴负方向以每秒4 个单位长度的速度运动．设运动时间为𝑥（秒）．
(1)在运动过程中甲表示的数为________，乙表示的数为_______（用含𝑥的代数式表示）；
(2)求甲、乙相遇时在数轴上表示的数；
(3)当甲、乙相距10 个单位长度时，求𝑥的值；
(4)若乙到达𝐴点后立刻返回并保持原速度不变，则在乙返回𝐵点的过程中，甲、乙还能在数轴上相遇吗？若
能，直接写出相遇点表示的数；若不能，请说明理由．
【变式6-1】（24-25 七年级上·贵州贵阳·期末）已知数轴上有𝐴,𝐵,𝐶三个点，点𝐴,𝐵从原点出发向右匀速运动，
已知点𝐴的速度是每秒4 个单位，点𝐵的速度是每秒6 个单位；点𝐴出发2 秒后，点𝐵才出发；此时点𝐶从−2
处向右出发，且在点𝐴,𝐵之间不间断的来回匀速运动，点𝐶的速度是每秒8 个单位．
(1)点𝐴出发2 秒时，它所对应的数是 ；
(2)点𝐵追上点𝐴用了多长时间？
(3)点𝐶出发追上点𝐴后返回，第一次遇到点𝐵，共用了多长时间？
【变式6-2】（24-25 七年级上·湖南永州·月考）数轴体现了数形结合的数学思想，若数轴上点A，B 表示的
数分别为a，b，则A、B 两点之间的距离表示为𝐴𝐵= |𝑎−𝑏|．如：点A 表示的数为2，点B 表示的数为3，
则𝐴𝐵= |2−3| = 1．
(1)问题提出：如图，数轴上点A 表示的数为−2，点B 表示的数为13，A、B 两点之间的距离𝐴𝐵= ______．
(2)拓展探究：若点P 从点A 出发，以每秒3 个单位长度的速度沿数轴向右运动，同时点Q 从点B 出发．以
每秒2 个单位长度的速度向左运动．设运动时间为t 秒（𝑡> 0）
①用含t 的式子表示：t 秒后，点Р 表示的数为______；点Q 表示的数为______；
②求当t 为何值时，P、Q 两点相遇，并求出相遇点所表示的数．
(3)类比延伸：在（2）的条件下，如果P、Q 两点相遇后按照原来的速度继续运动，当各自到达线段𝐴𝐵的端
点后立即改变运动方向，并以原来的速度在线段𝐴𝐵上做往复运动，那么再经过多长时间P、Q 两点第二次
相遇．请直接写出所需要的时间和此时相遇点所表示的数．
【变式6-3】（24-25 七年级上·重庆大足·期末）如图，数轴上有𝐴、𝐵两点，𝐴𝐵= 12cm，点O 是线段𝐴𝐵上
的一点，𝑂𝐴= 2𝐵𝑂．
(1)若点C 是线段𝐴𝐵上一点，且满足𝐴𝐶= 𝐶𝑂+ 𝐶𝐵，求𝐶𝑂的长；
(2)若动点𝑃,𝑄分别从𝐴,𝐵同时出发，向右运动，点P 的速度为1cm/s，点Q 的速度为2cm/s．设运动时间为t𝑠．
①当𝑡为何值时，2𝑄𝑂−𝑂𝑃= 5；
②当点Q 经过点O 时，动点M 从点O 出发，以3cm/s的速度也向右运动．当点M 追上点P 后立即返回，
以3cm/s的速度向点Q 运动，遇到点Q 后再立即返回，以3cm/s的速度向点P 运动，当点𝑀再次追上点𝑃时，
点𝑃、𝑄、𝑀停止运动．请直接写出运动时间𝑡的值．
【题型7 数轴上点的和差问题】
【例7】（24-25 七年级上·广东广州·期中）已知数轴上点𝐴对应的数是−10，点𝐵对应的数是2．若点𝑃从点𝐴
出发以每秒2个单位的速度运动，与此同时，点𝑄从点𝐵出发以每秒3个单位的速度运动，设运动时间为𝑡秒．
(1)若点𝑃与𝑄相向运动，当𝑃，𝑄相遇时，求运动时间；
(2)若点𝑃与𝑄同时向左运动，当𝑃与𝑄相距5个单位长度时，求运动时间；
(3)若点𝑃与𝑄相向运动，点𝐶对应的数是−5，当𝑃𝐶+ 𝑄𝐶= 3时，求𝑡的值．
【变式7-1】（24-25 七年级上·陕西咸阳·期末）如图，数轴上点A 表示的数为−6．点B 表示的数为14，点
O 为原点，动点M、N 分别从点O、点B 同时出发，都沿数轴向左运动，点M 运动的速度是每秒1 个单位
长度，点N 运动的速度是每秒3 个单位长度，当点N 运动到点A 时，点M、N 同时停止运动，设运动时间
为t 秒．
(1)在点M、N 整个运动过程中，点M 表示的数为_______，点N 表示的数为_______；（用含t 的代数式表
示）
(2)若点M 位于点A 右侧，且𝐴𝑁= 5𝐴𝑀，求运动时间t 的值；
(3)在点M、N 整个运动过程中，当𝐴𝑁+ 4𝐴𝑀=
5
2时，求运动时间t 的值．
【变式7-2】已知𝐴，𝐵两点在数轴上，点𝐴表示的数为−12，点𝐵在点𝐴的右侧，且距𝐴点20 个单位．
(1)点𝐵表示的数为__________；
(2)点𝑃，𝑄是数轴上的两个动点，点𝑃从点𝐴以每秒5 个单位长度的速度沿数轴向右运动，同时点𝑄从点𝐵以
每秒3 个单位长度的速度沿数轴向右运动．设运动时间为𝑡秒(𝑡> 0)．
①当原点𝑂为线段𝑃𝑄的中点时，求运动时间𝑡的值；
②当线段𝑃𝐵的长为5 时，求点𝑄表示的数；
③在运动过程中，当𝑃𝐴+ 𝑃𝐵= 21𝑃𝑄时，请直接写出运动时间𝑡的值．
【变式7-3】（25-26 七年级上·陕西·期末）如图，数轴上点𝐴表示的数为−7，点𝐵表示的数为16，点𝑂为原
点，动点𝑀，𝑁分别从点𝑂，点𝐵同时出发，都沿数轴向左运动，点𝑀运动的速度是每秒1个单位长度，点𝑁
运动的速度是每秒3个单位长度，当点𝑁运动到点𝐴时，点𝑀,𝑁同时停止运动，设运动时间为𝑡秒．
(1)在点𝑀、𝑁整个运动过程中，点𝑀表示的数为_____，点𝑁表示的数为_____；（用含𝑡的代数式表示）
(2)若点𝑀位于点𝐴右侧，且𝐴𝑁= 5𝐴𝑀，求运动时间𝑡的值；
(3)在点𝑀、𝑁整个运动过程中，当𝐴𝑁+ 4𝐴𝑀=
5
2时，求运动时间𝑡的值．
【题型8 数轴上点的倍分问题】
【例8】（25-26 七年级下·山东青岛·开学考试）如图，已知数轴上点𝐴表示的数为30，点𝐵表示的数为−10，
点𝑃从点𝐵出发，以每秒10个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，同时动点𝑄从点𝐴出发，以每秒5 个单位
长度的速度沿数轴向右匀速运动，若运动时间为𝑡秒(𝑡≥0)．
(1)𝐴，𝐵两点间的距离为______，点𝑃表示的数是______，点𝑄表示的数是______；(用含𝑡的代数式表示)
(2)当点𝑃和𝑄相距5个单位长度时，求运动时间𝑡的值；
(3)若点𝑀为𝐴𝑃的中点，𝐵𝑃= 3𝐴𝑃，求此时点𝑀表示的数．
【变式8-1】（25-26 七年级上·江苏无锡·期末）如图，A，B 两点在数轴上对应的数分别为a，b，且点A 在
点B 的左边，且2𝑥2𝑦𝑏与3𝑥𝑎+12𝑦90的和是单项式．
(1)求出a，b 的值；
(2)现有一只电子蚂蚁P 从点A 出发，以3 个单位长度/秒的速度向右运动，同时另一只电子蚂蚁Q 从点B
出发，以2 个单位长度/秒的速度向左运动．
①设两只电子蚂蚁在数轴上的点C 相遇，求出点C 对应的数是多少？
②经过多长时间𝑃𝐴= 4𝑄𝐴，求运动时间t？
【变式8-2】（25-26 七年级上·四川凉山·月考）如图1，已知数轴上点A 表示的数为a，点B 表示的数为b，
且满足|𝑎+ 5| + (𝑏−10)2 = 0．𝑃是数轴上的一个动点，点𝑃到点𝐴的距离表示为𝑃𝐴，点𝑃到点𝐵的距离表示
为𝑃𝐵．
(1)𝑎= ________，𝑏= ________；
(2)当|𝑃𝐴−𝑃𝐵| = 3时，求点𝑃所表示的数；
(3)如图2，动点𝑃从点𝐴出发，以每秒1 个单位长度的速度沿数轴向右运动，动点𝑄从点𝐵出发，以每秒2 个
单位长度的速度沿数轴向左运动．
①若运动时间均为𝑡(s)，用代数式表示𝑃，𝑄之间的距离；
②若点𝐵，𝑄之间的距离是点𝑃，𝑄之间距离的2 倍，求此时运动时间𝑡的值．
【变式8-3】（25-26 七年级上·吉林·期末）如图，在数轴上，点𝐴表示最大的负整数，𝐴𝐵= 3，点𝐶在正半
轴上，且𝐴𝐶= 10．
(1)点𝐴表示的数是___________，点𝐵表示的数是___________，点𝐶表示的数是___________；
(2)若点𝑀在线段𝐵𝐶上，且满足𝐵𝑀:𝑀𝐶= 2:1，求点𝑀表示的有理数；
(3)点𝑃从点𝐴出发，以每秒2个单位长度的速度沿数轴向右运动，同时点𝑄从点𝐶出发，以每秒3个单位长度的
速度沿数轴向左运动，设运动时间是𝑡秒（𝑡> 0）．
①当𝑡= 1时，求𝑃𝑄的长；
②是否存在这样的𝑡值，使得𝑃𝑄= 2𝑃𝐵？若存在，请直接写出满足条件的所有𝑡值；若不存在，请说明理由．
动点定值
一、动点距离为定值
二、动点距离差为定值
𝑃𝑄= 𝑥+ 𝑎
2
−𝑥+ 𝑏
2
= 1
2 (𝑎−𝑏) = 1
2 𝐴𝐵
𝐴𝐶= 4𝑎+ 5𝑡−(𝑎+ 2𝑡) = 3𝑎+ 3𝑡，
𝐴𝐵= 𝑎+ 2𝑡−(−𝑎−𝑡) = 2𝑎+ 3𝑡，
𝐴𝐶−𝐴𝐵= (3𝑎+ 3𝑡)−(2𝑎+ 3𝑡) = 𝑎
【题型9 数轴上距离定值问题】
【例9】如图，数轴上A、B 两点表示的数分别为a、b，且a、b 满足|a＋2|＋(b－8)2＝0，点P 从点A 出发，
以每秒3 个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，同时点Q 从点B 出发，以每秒2 个单位长度的速度向左
匀速运动．设运动时间为t 秒（t＞0）
(1) ① 线段AB 的中点表示的数为___________
② 用含t 的代数式表示：t 秒后，点P 表示的数为___________
(2) 求当t 为何值时，PQ＝
1
2AB
(3) 若点M 为PA 的中点，点N 为PB 的中点，点P 在运动过程中，线段MN 的长度是否发生变化？若变化，
请说明理由；若不变，请求出线段MN 的长.
【变式9-1】（24-25 七年级上·福建三明·期中）定义：在直线上点𝐴、𝐵之间的部分（含点𝐴、𝐵）叫线段
𝐴𝐵，在线段𝐴𝐵上到点𝐴、𝐵距离相等的点叫线段𝐴𝐵的中点．
(1)[操作·探索]
在数轴上点𝐴、𝐵分别表示的数是𝑎、𝑏，请完成下表：
𝑎
3
−5
5
−10
−5.5
…
𝑏
7
0
−1
2
−1.5
…
线段𝐴𝐵的中点对应的数
−2.5
−4
…
(2)[发现·证明]
我们经历操作、探索、观察、发现、归纳，获得猜想性结论：在数轴上，若点𝐴、𝐵表示的数是𝑎、𝑏，则线
段𝐴𝐵的中点对应的数是_______．为了证明该结论的正确性，不妨设点𝐴在点𝐵的右侧，请你通过运算证明
以上结论的正确性．
(3)[思考·应用]
已知在数轴上点𝐴、𝐵表示的数分别是6、−4，在数轴上的动点𝑃从点𝐴出发，以一定的速度向点𝐵匀速运动；
若𝑀为𝐴𝑃的中点，𝑁为𝑃𝐵的中点，问：在点𝑃的运动过程中，线段𝑀𝑁的长度是否会发生变化？如果会发生
变化，请说明理由；如果不会发生变化，请求出线段𝑀𝑁的长度．
【变式9-2】如图，数轴上点𝐴表示的数为−3，点𝐵表示的数为9，点𝑃从点𝐴出发，以每秒2 个单位长度的
速度沿数轴向右匀速运动，同时点𝑄从点𝐵出发，以每秒1 个单位长度的速度向左匀速运动．设运动时间为𝑡
秒(𝑡> 0)．
(1)①线段𝐴𝐵的中点𝐶表示的数为______；
②用含𝑡的代数式表示：𝑡秒后，点𝑃表示的数为______；点𝑄表示的数为______；
(2)求当𝑡为何值时，𝑃𝑄=
1
2𝐴𝐵；
(3)若点𝑀为𝑃𝐴的中点，点𝑁为𝑃𝐵的中点，点𝑃在运动过程中，线段𝑀𝑁的长度是否发生变化？若不变，请求
出线段𝑀𝑁的长．
【变式9-3】如图，已知数轴上点A 表示的数为8，B 是数轴上一点（B 在A 点左边），且𝐴𝐵= 10，动点P
从点A 出发，以每秒6 个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，设运动时间为t（𝑡> 0）秒．
(1)写出数轴上点B 所表示的数______；
(2)点P 所表示的数______（用含t 的代数式表示）；
(3)C 是𝐴𝑃的中点，D 是𝑃𝐵的中点，点P 在运动的过程中，线段𝐶𝐷的长度是否发生变化？若变化，说明理由，
若不变，请你求出线段𝐶𝐷的长．
【题型10 数轴上和差定值问题】
【例10】（24-25 七年级上·辽宁大连·期末）如图，已知数轴上依次有𝐴，𝐵，𝐶三点，若用𝐴𝐵表示𝐴、𝐵两点
的距离，𝐴𝐶表示𝐴、𝐶两点的距离，点𝐴对应的数是−20，点𝐶对应的数是20，且𝐴𝐵=
1
4𝐴𝐶．
(1)𝐴𝐶= ______，点𝐵对应的数为______；
(2)若点𝑃、𝑄分别从𝐴、𝐶两点同时出发，向左运动，速度分别为2 个单位长度每秒、5 个单位长度每秒，则
运动了多少秒时，𝑃到𝐵的距离与𝑄到𝐵的距离相等？
(3)若点𝑃、𝑄仍然以（2）中的速度分别从𝐴、𝐶两点出发，点𝑃仍向左运动，点𝑄向右运动，动点𝑅从𝐵点出发
也向左运动，点𝑅的速度为1 个单位长度每秒，三点同时出发，设运动时间为𝑡秒，试判断7𝑃𝑅−𝑃𝑄的值是否
会随𝑡的变化而变化？请说明理由．
【变式10-1】如图，在数轴上A 表示的数为a，点B 表示的数为b，且a，b 满足|𝑎+ 10| + (𝑏−5)2 = 0．
(1)a＝ ，b＝ ；
(2)点C 在线段𝑂𝐴上一个动点其对应的数为x，请化简式子：|𝑥+ 10|−|𝑥−1| + |𝑥−5|．（写出化简过程）
(3)点A、B 分别以2 个单位/秒和3 个单位/秒的速度同时向右运动，点M 从原点O 以5 个单位/秒的速度同
时向右运动，请问3𝐴𝑀+ 2𝑂𝐵−3𝑂𝑀的值是否随着运动时间t 的变化而变化？若变化，请说明理由；若不变，
请求其值．
【变式10-2】如图，在数轴上，点O 为原点，点A 表示的数为𝑎，点B 表示的数为b，且𝑎，b 满足|𝑎+ 8| +
(𝑏−6)2=0
（1）A，B 两点对应的数分别为a，b 的值．
（2）若点A，B 分别以4 个单位/秒和2 个单位/秒的速度相向面行，则几秒后A，B 两点相距2 个单位长度？
（3）若点A，B 以（2）中的速度同时向右运动，同时点P 从原点O 以7 个单位/秒的速度向右运动，设运
动时间为t 秒，请问：在运动过程中，AP+2OB−OP 的值是否会发生变化？若变化，请用t 表示这个值：若
不变．请求出这个定值．
【变式10-3】（25-26 七年级上·湖南株洲·期末）利用有理数的减法，可以计算数轴上两点间的距离．如图，
点A 在数轴上对应的数为−3，点B 对应的数为2，点C 对应的数为−6，那么线段𝐴𝐶，𝐵𝐶的长度可表示为：
𝐴𝐶= −3−(−6) = 3， 𝐵𝐶= 2−(−6) = 8，于是可以发现这样的结论：在数轴上，如果点A，B 对应的数分
别为a，b，那么A，B 之间的距离就是它们分别对应的数a，b 中较大的数减去较小的数的差．
(1)试用“有理数的减法”求出图中A，B 两点间的距离；
(2)在图中的数轴上是否存在点M，使得𝑀𝐴+ 𝑀𝐵= 13，若存在，求出所有满足条件的点M 对应的数；若
不存在，请说明理由；
(3)若点N 是图中数轴上点A 左侧的一点，线段𝐵𝑁的中点为点Q，点P 为线段𝐴𝑁的三等分点且靠近于点N，
当点N 在A 点左侧运动时，请判断4𝑁𝑄−3𝐴𝑃的值是否会变化？如果不变，请直接写出它的值；如果变化，
请说明理由．
【题型11 数轴上比为定值问题】
【例11】（25-26 七年级上·湖北武汉·阶段检测）数轴上两个点𝐴、𝐵所对应的数为−8，4，𝐴、𝐵两点各自以
一定的速度同时运动，且𝐴点的运动速度为2个单位/秒．
(1)若𝐴、𝐵两点相向而行，在原点处相遇，求𝐵点运动的速度；
(2)若𝐴、𝐵两点从开始位置上同时按照（1）中的速度向数轴正方向运动，多少秒钟后， 𝐴、𝐵与原点距离相
等？
(3)𝐴、𝐵两点以（1）中的速度同时出发，向数轴负方向运动，与此同时，𝐶点从原点出发也向数轴负方向运
动，点𝐴、𝐵、𝐶分别运动到𝐴1、𝐵1、𝐶1，且𝐶1点总在𝐴1、𝐵1两点之间，并在运动过程中始终有
𝐵𝐶
𝐴𝐶=
1
2（𝐵𝐶
表示𝐵点到𝐶点的距离），设运动𝑡秒钟后，下列两个结论：①𝐴𝐴1 +𝐵𝐵1的值不变；②
𝐶𝐶1
𝐴𝐴1的值不变，请选
择正确的结论，并求其值．
【变式11-1】如图，已知数轴上点A 表示的数为8，点B 数轴上位于A 点左侧一点，且𝐴𝐵= 14．动点P
从点A 出发，以每秒5 个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，设运动时间为t 秒．
(1)写出数轴上点B 表示的数____，点P 表示的数____（用含t 的式子表示）；
(2)动点Q 从点B 出发，以每秒3 个单位长度的速度向左匀速运动，且点P，Q 同时出发．
①问点P 运动多少秒时，𝐵𝑄= 𝐵𝑃？
②若M 为𝐴𝑃的中点，在点P，Q 运动的过程中，
𝑄𝑃+𝑄𝐴
𝑄𝑀的值在某一个时间段t 内为定值．求出这个定值，并
直接写出在哪一个时间段内．
【变式11-2】（24-25 七年级上·全国·期中）已知数轴上A、B 两点对应的数分别为−1和−5，点P 为数轴上
一动点，其对应的数为x．
(1)若点P 到点A、点B 的距离相等，写出点P 对应的数；
(2)数轴上是否存在点P，使点P 到点A、点B 的距离之和是8？若存在，直接写出x 的值；若不存在，请说
明理由；
(3)若数轴上点M、N 所对应的数为m、n，其中A 为𝑃𝑀的中点，B 为𝑃𝑁的中点，⽆论点P 在何处，
𝑀𝑁
𝐴𝐵是否
为一个定值？若是，求出定值；若不是，请说明理由．
【变式11-3】（24-25 七年级上·广东惠州·期中）如图，在数轴上点A，B 表示的数分别为a，b，且|𝑎+ 3| +
(𝑏−9)2 = 0，点𝑂为原点．
(1)请直接写出𝑎= ______，𝑏= _____，A，B 两点之间的距离为_____；
(2)一动点P 从A 出发，以每秒2 个单位长度向左运动，一动点Q 从B 出发，以每秒3 个单位长度向左运动，
设运动时间为t（秒）．
①试探究：P，Q 两点到原点的距离可能相等吗？若能，请求出t 的值；若不能，请说明理由；
②若动点Q 从点B 出发后，到达原点O 后保持原来的速度向右运动，当点Q 在线段𝑂𝐵上运动时，分别取𝑂𝐵
和𝐴𝑄的中点E，F，试判断
𝐴𝐵−𝑂𝑄
𝐸𝐹
的值是否为定值？若是，请求出该定值；若不是，请说明理由．
【题型12 数轴上定值求参问题】
【例12】（25-26 七年级上·福建莆田·期中）如图，在数轴上点A 表示的数为a、点B 表示的数为b，且a，b
满足|𝑎+ 20| + (𝑏−30)2 = 0，𝐴𝐵表示点A 与点B 之间的距离．
(1)求a，b 的值；
(2)动点P 从数1 对应的点开始向右运动，速度为每秒1 个单位长度．同时点A，B 在数轴上运动，点A，B
的速度分别为每秒2 个单位长度，每秒3 个单位长度，运动时间为t 秒．
①若点A 向右运动，点B 向左运动，𝐴𝑃= 𝑃𝐵，求t 的值；
②若点A 向左运动，点B 向右运动，问是否存在常数m，使得2𝐴𝑃−𝑚⋅𝑃𝐵的值为定值？若存在，求出m
的值，且定值为多少？若不存在，说明理由．
【变式12-1】（25-26 七年级上·吉林松原·期中）【问题背景】数轴是初中数学的一个重要工具，利用数轴
可以将数与形完美地结合．研究数轴我们发现：若数轴上点A、点B 表示的数分别为a、b，则A、B 两点
之间的距离可用AB 表示，𝐴𝐵= |𝑎−𝑏|，若已知𝑎> 𝑏，则𝐴𝐵= 𝑎−𝑏．如图，已知数轴上有A、B、C 三个
点，它们表示的数分别是−18、−8、8．
（1）填空：𝐴𝐵= ______，𝐵𝐶= ______；
【构建联系】
（2）现有动点P 从B 点出发，以每秒1 个单位长度的速度向右运动，同时点Q 从A 点出发，以每秒3 个
单位长度的速度向右运动．设点P 运动的时间为t 秒．
①填空：运动过程中点P 表示的数是________，点Q 表示的数是________（用含t 的代数式表示）；
②若𝑃𝑄= 6，求t 的值；
【深入探究】
（3）若点A 以每秒3 个单位长度的速度向左运动，同时点C 以每秒2 个单位长度的速度向右运动，动点D
从原点开始以每秒m 个单位长度的速度向左运动，运动时间为t 秒，运动过程中，点D 始终在A、C 两点
之间，且𝐶𝐷−3𝐴𝐷的值始终是一个定值，直接写出m 的值．
【变式12-2】（25-26 七年级上·重庆·期中）如图，在数轴上有A，B，C 三个点，所表示的数分别是a，b，
−10，原点O 是线段𝐴𝐵上一点．已知𝐴𝐶= 4，且𝑂𝐴= 3𝑂𝐵，有两条动线段𝑃𝑄和𝑀𝑁满足𝑃𝑄= 2，
𝑀𝑁= 4．初始状态点P 与点C 重合，点N 与点B 重合，若线段𝑃𝑄以每秒2 个单位的速度从点C 开始沿数
轴向右匀速运动，同时线段𝑀𝑁以每秒1 个单位的速度从点B 开始沿数轴向左匀速运动．
(1)直接写出a，b 的值；𝑎= ，𝑏= ；
(2)设运动时间为t 秒，当点M 运动到点C 时，线段𝑃𝑄，𝑀𝑁同时停止运动，当C，P，M 中某一点为另外两
点构成线段的中点时，求时间t 的值；
(3)当点Q 运动到点B 时，线段𝑃𝑄立即以相同的速度返回，直到点M 运动到点C 时，线段𝑃𝑄，𝑀𝑁同时停
止运动，设运动时间为t 秒，当𝑡> 5时，存在两个常数m，n 使得𝑚⋅𝑄𝐶−𝑛⋅𝑁𝐶的值与t 无关，请直接写出
m 与n 的数量关系．
【变式12-3】（25-26 七年级上·重庆·期中）如图，点𝐴、𝐵、𝐶在数轴上表示的数分别为−24、8、12，点𝑂
是原点，点𝑃从点𝐴开始以每秒4 个单位的原始速度沿着数轴正方向运动，同时，点𝑄从𝐵点开始以每秒2 个
单位的原始速度沿着数轴负方向运动，设它们运动的时间为𝑡（𝑡> 0）．
(1)请用含𝑡的式子表示点𝑃、𝑄表示的数，𝑃表示为_____，𝑄表示为_____；
(2)当点𝑃、𝑄之间的距离是点𝑄、𝑂之间的距离的2 倍时，求𝑡的值；
(3)当点𝑃运动到点𝐶时立即以原始速度的
3
4沿着数轴的负方向运动，点𝑄到达𝐴时立即以原速的2 倍速度沿着
数轴正方向运动，点𝑃返回到𝐴点时以原始速度的2 倍再次沿着数轴的正方向朝点𝐵运动，当点𝑃运动到点𝐵
时，点𝑃、𝑄均停止运动．请问在𝑃、𝑄运动过程中是否存在某个时间𝑡，使得𝑃、𝑄两点之间的距离为10？如果存
在，请直接
．．写出𝑡的值；如果不存在，请说明理由．
【题型13 数轴上动线段问题】
【例13】（25-26 七年级上·河南商丘·期末）如图，数轴上点A 表示的数是−12，点A 的右侧顺次有B，M
两点，线段𝐴𝐵= 8，点D 位于原点的右侧且𝑂𝐷= 8，𝐷𝑀= 30，点C 恰好为线段𝐵𝐷的中点．
(1)数轴上点C，点M 表示的数分别是多少？
(2)若线段𝐶𝐷以每秒1 个单位长度的速度向右运动，当点D 到达点M 时线段𝐶𝐷停止运动；同时线段𝐴𝐵以每
秒3 个单位长度的速度向右运动，当点B 到达点M 时线段𝐴𝐵停止运动．设线段𝐶𝐷的运动时间为t 秒．
①当点A 与点D 到原点的距离相等时，求t 的值；
②当点D 为线段𝐶𝐵的中点时，直接写出t 的值．
【变式13-1】（25-26 七年级上·湖北武汉·月考）A，B 在数轴上，分别表示数𝑚，𝑛，且|𝑚+ 3| + (𝑛−21)2 = 0．
(1)直接写出𝑚的值是 ，𝑛的值是 ，线段𝐴𝐵的长度是 ；
(2)如图1，𝑃𝑄是一条定长的线段（点𝑃在点𝑄的左侧），它在数轴上从左向右匀速运动，在运动过程中，线
段𝑃𝑄完全经过点𝐴（即点𝐴在线段𝑃𝑄上的这段过程）所需的时间为3 秒，线段𝑃𝑄完全经过线段𝐴𝐵（即线段
𝑃𝑄与线段𝐴𝐵有公共点的这段过程）所需的时间为15 秒．
①求线段𝑃𝑄的长；
②直接写出线段𝑃𝑄运动的速度为 个单位长度/秒；
③如图2，当动线段𝑃𝑄运动到𝑄点与𝐴点重合时，与此同时，点𝐶从𝑃点出发，在动线段𝑃𝑄上，以1 个单位
长度/秒的速度向𝑄点运动，遇到𝑄点后，点𝐶立即原速返回，向𝑃点运动，遇到𝑃点后也立即原速返回，向𝑄
点运动．设动线段𝑃𝑄，以及点𝐶同时运动的时间为𝑡秒（0 ≤𝑡≤23），当3𝑃𝐶−𝑄𝐵= 6时，求𝑡的值．
【变式13-2】（25-26 七年级上·河北石家庄·期末）点A，B 在数轴上，分别表示数𝑎，𝑏，|𝑎+ 25| + (𝑏−15)2
= 0．
(1)a 的值是___________，b 的值是___________，线段𝐴𝐵的长度是___________；
(2)如图1，线段𝑃𝑄的长为定值（点P 在点Q 的左侧），它在数轴上始终从左向右匀速运动，在运动过程中，
线段𝑃𝑄完全经过点A（即点A 在线段𝑃𝑄上的这段过程）所需的时间为2 秒，线段𝑃𝑄完全经过线段𝐴𝐵（即
线段𝑃𝑄与线段𝐴𝐵有公共点的这段过程）所需的时间为12秒．
①求线段𝑃𝑄的长；
②线段𝑃𝑄运动的速度为___________个单位长度/秒；
③如图2，当线段𝑃𝑄运动到点Q 与点A 重合时，点C 从点P 的位置开始也沿数轴向右运动，速度为6 个
单位长度/秒，当点C 和点𝑄相遇时，点C 立刻以原速度沿数轴向左运动．直接写出点C 再次与点𝑃相遇时，
点C 在数轴上表示的数．
【变式13-3】（25-26 七年级上·辽宁·期末）已知|𝑎+ 16| + (𝑏−20)2 = 0．如图1，在数轴上有A、B、C 三
个点，且A、B、C 三点所表示的数分别是a、b、-21．有两条动线段𝑃𝑄和𝑀𝑁（点Q 与点A 重合，点N 与
点B 重合，且点P 在点Q 的左边，点M 在点N 的左边），𝑃𝑄= 4，𝑀𝑁= 8，若线段𝑀𝑁以每秒1 个单位
的速度从点B 开始沿数轴向左匀速运动，同时线段𝑃𝑄以每秒3 个单位的速度从点A 开始沿数轴向右匀速运
动，设运动时间为t 秒（整个运动过程中，线段𝑃𝑄和𝑀𝑁长度保持不变）．
(1)直接依次写出a、b 的值：𝑎= _____，𝑏= _____；
(2)如图2，当点Q 运动到点B 时，线段𝑃𝑄立即以相同的速度返回，当点P 运动到点C 时，线段𝑃𝑄、𝑀𝑁同
时停止运动，t 为何值时点Q 与点M 之间的距离为3 个单位长度；
(3)如图3，当两条线段有重合部分时，线段𝑃𝑄的速度变为原来的
4
3倍，线段𝑀𝑁的速度变为原来的2 倍，当
重合部分消失后速度恢复，请直接写出当线段𝑃𝑄和𝑀𝑁重合部分长度为1 时所对应的t 的值．
方法技巧2：数轴上挡板与往返问题
一个较高速度的动点不断在两低速动点间往返运动，两低速动点相遇时，高速度动点随之停止，在这个运
动过程中，虽然不能清晰的分析出这里的运动状态，但是我们可以通过两低速动点相遇时所花费的时间来
得到高速动点的运动时间，结合其速度求出它的运动路程。
【题型14 数轴上挡板与往返问题】
【例14】如图在数轴上A 点表示数a，B 点表示数b，𝑎、𝑏满足|𝑎+ 3| + |𝑏−7| = 0．
(1)点A 表示的数为______；点B 表示的数为______；
(2)若在原点O 处放一挡板，一小球甲从点A 处以1 个单位/秒的速度向左运动；同时另一小球乙从点B 处
以2 个单位/秒的速度也向左运动，在碰到挡板后（忽略球的大小，可看作一点）以原来的速度向相反的方
向运动，设运动的时间为t（秒）．
①当𝑡= 1时，甲小球到原点的距离= ______，乙小球到原点的距离= ______；当𝑡= 4时，甲小球到原点
的距离= ______；乙小球到原点的距离= ______；
②试探究：甲，乙两小球到原点的距离可能相等吗？若不能，请说明理由．若能，请直接写出甲，乙两小
球到原点的距离相等时经历的时间．
【变式14-1】（25-26 七年级上·山东济南·期中）我们知道：如果A 、B 两点在数轴上对应的数分别为𝑥1、
𝑥2，C 为线段𝐴𝐵的中点，则点C 在数轴上对应的数x 可以表示为𝑥=
𝑥1+𝑥2
2
，已知M、N 两个点对应的数分
别为−1和2．
(1)如图1，两个点同时出发沿着数轴运动，点M 向左运动，点N 向右运动，M、N 的速度分别每秒4 个单
位长度和2 个单位长度，若t 秒后它们之间的距离为15 个单位长度，求t 的值；
(2)如图2，两个点出发沿着数轴运动，点M 比点N 晚出发1 秒，点M 向右运动，点N 向左运动，M、N 的
速度分别每秒1 个单位长度和2 个单位长度，求点N 出发几秒后“−3”为𝑀𝑁的中点；
(3)如图3，三个定点P 、Q、H 在数轴上对应的数分别为−8、8 和4，M、N 两个点同时出发沿着数轴运动，
点M 向左运动，点N 向右运动，速度分别每秒1 个单位长度和2 个单位长度．当M 到达点P 时返回，N 到
达点Q 时返回，直到M、N 相遇时停止运动，且 M 返回时速度变为每秒2 个单位长度，N 返回时速度变为
每秒1 个单位长度．在M、N 出发的同时，动点K 也从点P 出发沿着数轴以4 个单位每秒的速度向右运动，
到H 点时停止运动，求M、N 从开始出发到M、N 相遇的整个运动过程中，M、N、K 其中一个点分别为另
外两个点为端点的线段中点时对应的时间t（写出计算过程）．
【变式14-2】（24-25 七年级上·江苏镇江·期中）如图已知数轴上点A、B 分别表示𝑎、𝑏，且|𝑏+ 6|与（𝑎−9
)2互为相反数，O 为原点． 若电子蚂蚁M、N 分别从点A、B 同时出发，点M 以每秒1 个单位长度的速度
沿数轴向左匀速运动，点N 以每秒2 个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，
(1)𝑎= ，𝑏= ；
(2)若电子蚂蚁N 向右运动遇到电子蚂蚁M 就会按原速返回，返回至点B 后立刻原速向右运动，遇到电子蚂
蚁M 就会按原速返回，返回至点B 后立刻原速向右运动……，循环运动一直到电子蚂蚁M 运动到点B 处结
束，此时电子蚂蚁N 的运动路程为 ；
(3)电子蚂蚁N 到点A 后立刻按原来的速度改变方向向左运动，设运动时间为𝑡(𝑡>0)秒．
①求t 为何值时，电子蚂蚁M、N 与A 的距离相同；
②求t 为何值时，电子蚂蚁M 与N 相距4 个单位长度，直接写出答案．
【变式14-3】（24-25 七年级上·浙江金华·期中）如图，A、B 两点在数轴上对应的数分别为−20、40，C 点
在A、B 之间．在A、B、C 三点处各放一个挡板，M、N 两个小球都同时从C 处出发，M 向数轴负方向运
动，N 向数轴正方向运动，碰到挡板后则向反方向运动，一直如此下去（当N 小球第二次碰到B 挡板时，
两球均停止运动）．
(1)若两个小球的运动速度相同，当M 小球第一次碰到A 挡板时，N 小球也刚好第一次碰到B 挡板，求C 点
所对应的数；
(2)若点C 所表示的数为25，M、N 小球的运动速度分别为2 个单位/秒，3 个单位/秒，则N 小球前三次碰
到挡板的时间依次为a、b、c 秒钟，设两个球的运动时间为t 秒钟．
①请直接写出下列时间段内N 小球所对应的数（用含t 的代数式表示）：
当0 ≤𝑡≤𝑎时，N 小球对应的数为 ；当𝑎< 𝑡≤𝑏时，N 小球对应的数为 ；当𝑏< 𝑡≤𝑐时，N 小球对应的
数为 ；
②当M、N 两个小球的距离等于30 时，求t 的值．
(3)若点C 所表示的数为25，移走A、B、C 三处的挡板，点P 从A 点出发，以6 个单位/秒的速度沿数轴向
右运动，同时点Q 从B 点出发，以4 个单位/秒的速度沿数轴向左运动．已知E 为𝐴𝑃中点，点F 在线段BQ
上，且𝑄𝐹=
1
4𝐵𝑄，问出发多少秒后，点E 到点F 的距离是点E 到原点O 的距离的4 倍？
【题型15 数轴上的折叠问题】
【例15】（25-26 七年级上·海南海口·期中）数轴是数学中“数形结合”的核心工具，它将抽象的数与直观的
点一一对应．在折叠数轴的问题中，中点公式是解题的关键：若数轴上𝑎表示的点和𝑏表示的点重合，则这
两点的中点（折痕点）表示的数为
𝑎+𝑏
2 .我们可以把折叠想象成将数轴沿中点“对折”，此时重合的点到中点的
距离相等．下面请结合具体示例，深入理解这一工具的应用：
操作一：
（1）折叠纸面，若使1 表示的点与−1表示的点重合，则−3表示的点与 表示的点重合；
操作二：
（2）折叠纸面，若使2 表示的点与−6表示的点重合，回答以下问题：
①3 表示的点与 表示的点重合；
②若数轴上𝐴、𝐵两点之间距离为16（𝐴在𝐵的左侧），且𝐴、𝐵两点经折叠后重合，求𝐴、𝐵两点表示的数分
别是多少；
操作三：
（3）如图，在数轴上剪下9 个单位长度（从−3到6的）一条线段，并把这条线段沿某点折叠（如图①），
然后在重叠部分某处剪一刀得到三条线段（如图②）．若这三条线段的长度之比从左到右依次为1:1:2（如
图③），请你求出折痕处对应的点所表示的数是多少．
【变式15-1】（24-25 七年级上·浙江金华·月考）数轴是分析问题的工具，如图1，小浩在草稿纸上画了一条
数轴进行如下探究：
(1)折叠纸面，使数轴上表示3 的点与表示−3的点重合，则表示−1的点与表示 的点重合；
(2)折叠纸面，若使−2表示的点与4 表示的点重合：
①表示5 表示的点与 表示的点重合；
②若数轴上A，B 两点之间距离为6（点A 在B 的左侧），且A，B 两点经折叠后重合，则A，B 两点表示
的数是多少？
(3)如图2，在数轴上剪下表示−2和7 的两点间的一段纸带，并把纸带两端朝纸带的正中间处折叠，使表示−2
和7 的两点重合，则两条折痕处对应的点所表示的数是多少？
【变式15-2】（25-26 七年级上·浙江绍兴·期中）数轴是一个非常重要的数学工具，它使数和数轴上的点建
立起对应关系，揭示了数与点之间的内在联系．某数学小组在一张白纸上画了一条数轴，点𝐴、𝐵、𝐶对应的
数分别为𝑎、𝑏、𝑐，且𝑎、𝑏满足|𝑎+ 6| + (𝑏−1)2 = 0，𝑐是16 的算术平方根．动点𝑃从点𝐴出发沿数轴以每
秒1 个单位长度的速度向右运动，设点𝑃运动的时间为𝑡秒(𝑡> 0)．
(1)填空：𝑎= ________，𝑏= ________，𝑐= ________，点𝑃在数轴上所表示的数为________（用含𝑡的代数
式表示）；
操作一：
(2)以点𝑃为折点，向右折叠数轴，使𝐴，𝐶两点重合，此时𝑃所表示的数为________，𝑡= ________；
操作二：
(3)以点𝑃为折点，向右折叠数轴，若折叠后𝐴，𝐶两点之间的距离为2，此时𝑡= ________；
操作三：
(4)以点P为折点，向右折叠数轴，再将第一次折叠后的数轴沿某点继续向右折叠一次，有没有这样的时间𝑡
使得𝐴，𝐶两点重合，且点𝐵与数轴上的数11 重合？若有，请求出符合条件的时间𝑡的最大值和最小值；若无，
请说明理由．
【变式15-3】（25-26 七年级上·浙江宁波·期中）操作探究：已知在纸面上有一数轴（如图所示），
操作一：
（1）折叠纸面，使表示的1 点与−1表示的点重合，则−3表示的点与 表示的点重合；
操作二：
（2）折叠纸面，使−1表示的点与3 表示的点重合，回答以下问题：
①6 表示的点与数 表示的点重合；
②若数轴上A、B 两点之间距离为15，（A 在B 的左侧），且A、B 两点经折叠后重合，求A、B 两点表示
的数是多少？
操作三：
（3）在数轴上剪下9 个单位长度（从−1到8）的一条线段，并把这条线段沿某点折叠，然后在重叠部分某
处剪一刀得到三条线段（例如下图）．若这三条线段的长度之比为1:1:2，则折痕处对应的点所表示的数可
能是 ．（写出必要的分析过程或画出图形）
【题型16 数轴与有理数的多结论问题】
【例16】（25-26 七年级上·四川达州·期末）有理数𝑎，𝑏，𝑐，𝑑在数轴上的对应点的位置如图所示．则在下
列选项中，正确个数是（ ）
①若𝑎𝑐= 0，则𝑏𝑑< 0
②若|𝑐| = 2，|𝑑| = 3，则𝑑−𝑐= 1或𝑑−𝑐= 5
③若𝑎+ 𝑏+ 𝑐= 0且𝑎𝑏𝑐≠0，则
𝑏+𝑐
|𝑎| +
2(𝑎+𝑐)
|𝑏|
+
3(𝑎+𝑏)
|𝑐|
= 0
④若𝑎𝑏𝑐𝑑𝑒为一个五位自然数，则|𝑎−𝑏| + |𝑏−𝑐| + |𝑐−𝑑| + |𝑑−𝑒|的最大值是17
A．1
B．2
C．3
D．4
【变式16-1】（25-26 七年级上·河北石家庄·期末）如图，已知A，B（𝐵在𝐴的左侧）是数轴上的两点，点𝐴
对应的数为4，且𝐴𝐵= 6，动点𝑃从点𝐴出发，以每秒2 个单位长度的速度沿数轴向左运动，在点𝑃的运动过
程中，M，N 始终为𝐴𝑃，𝐵𝑃的中点，设运动时间为𝑡(𝑡> 0)秒，则下列结论中正确个数是（ ）
①𝑡= 3时，点𝑃运动到点𝐵；②𝐵𝑃= 2时，𝑡= 2；③在点𝑃的运动过程中，线段𝑀𝑁的长度不变．
A．0
B．1
C．2
D．3
【变式16-2】（24-25 七年级上·河南郑州·期中）有下列说法：
①已知a，b，c 是不为0 的有理数且𝑎𝑏𝑐> 0，则
|𝑎|
𝑎+
|𝑏|
𝑏+
|𝑐|
𝑐−3的值为−4或0．
②若P 和Q 都是关于x 的五次多项式，则𝑃+ 𝑄也是关于x 的五次多项式．
③如果定义{𝑎,𝑏} =
𝑎+ 𝑏(𝑎> 𝑏)
0(𝑎= 𝑏)
𝑏−𝑎(𝑎< 𝑏)
，当𝑎𝑏< 0，𝑎+ 𝑏< 0，|𝑎| > |𝑏|时，{𝑎,𝑏}的值为𝑏−𝑎．
④若有理数a，b，c 在数轴上对应的三点如图所示：则化简|𝑎−𝑏|−|𝑐+ 𝑏| + |𝑎−𝑐|的结果为−2𝑏．其中正确
的说法是（ ）
A．①②
B．②③
C．②③④
D．①③④
【变式16-3】（24-25 七年级上·广东江门·月考）若点𝐴、𝐵在数轴上代表的数为𝑎、𝑏，则𝐴、𝐵两点之间的距
离𝐴𝐵= |𝑎−𝑏|，则下列说法：
①数轴上表示𝑥和−1的两点之间的距离是|𝑥−1|；
②若𝐴𝐵= 3，点𝐵表示的数是2，则点𝐴表示的数是1；
③当𝑥= 3时，代数式|𝑥+ 1| + |𝑥−3| + |𝑥−5|有最小值为6；
④当代数式|𝑥+ 2| + |𝑥−2|取最小值时，𝑥的取值范围是−2 ≤𝑥≤2；
⑤三个不同的点𝐴，𝐵，𝐶在数轴上代表的数分别为𝑎，𝑏，𝑐，若|𝑎−𝑏| + |𝑐−𝑎| = |𝑏−𝑐|，则点𝐴位于𝐵，𝐶两
点之间．
其中说法正确的个数有（ ）个
A．1
B．2
C．3
D．4
【题型17 数轴上的新定义问题】
【例17】（25-26 七年级上·河南洛阳·期末）对于数轴上的𝐴，𝐵，𝐶三点，给出如下定义：若其中一个点与
其它两个点的距离恰好满足2 倍的数量关系，则称该点是其它两个点的“友谊点”．例如：数轴上点𝐴，𝐵，𝐶
所表示的数分别为1，3，4，此时点𝐵是点𝐴，𝐶的“友谊点”．
(1)若点𝐴，𝐶所表示的数分别为1，4，点𝐷，𝐸所表示的数分别为−2，5，那么点𝐴，𝐶的“友谊点”的是点________；
(2)若点𝐴表示数−5，点𝐵表示数20，𝑃为线段𝐴𝐵上一点，且点𝑃是点𝐴，𝐵的“友谊点”，求点𝑃表示的数．
【变式17-1】（25-26 七年级上·安徽合肥·期末）综合与探究：
在学习数轴与线段的过程中，我们积累了一定的研究经验，请运用已有经验，对“优点”进行研究．定义：点
𝐶在线段𝐴𝐵上，若𝐵𝐶= 2𝐴𝐶或𝐴𝐶= 2𝐵𝐶，则称点𝐶是线段𝐴𝐵的“优点”，线段𝐴𝐶，𝐵𝐶称作互为“优点”伴侣线
段．
(1)观察判断
如图1，点𝐶为线段𝐴𝐵的“优点”．
①若𝐴𝐶= 8,𝐴𝐶< 𝐵𝐶，则𝐴𝐵= _____；
②若点𝐷也是线段𝐴𝐵的“优点”（不同于点𝐶），则𝐴𝐶_____𝐵𝐷（填“＝”或“≠”）；
(2)性质探究
如图2，在原点为𝑂的数轴上有𝐸,𝐹两点，其中𝐸点表示的数为1，𝐹点表示的数为4．若点𝑀在点𝑁的左侧，
且𝑀,𝑁均为线段𝑂𝐹的“优点”，求线段𝑀𝑁的长；
(3)拓展应用
在（2）的探究中，若点𝐺在线段𝐸𝐹的延长线上，且线段𝐸𝐹与𝐺𝐹互为“优点”伴侣线段，求点𝐺表示的数．
【变式17-2】（25-26 七年级上·辽宁抚顺·期末）定义：如图1，点C 在线段𝐴𝐵上，若𝐴𝐶= 5𝐵𝐶或
𝐵𝐶= 5𝐴𝐶，则称点C 是线段𝐴𝐵的“五美分点”．
【理解定义】
（1）若线段𝐴𝐵= 6，点C 是线段𝐴𝐵的“五美分点”，求线段𝐴𝐶的长度；
【定义应用】
（2）如图2，点D 在射线𝑂𝑀上，𝑂𝐷= 12，若点E，F 均为线段𝑂𝐷的“五美分点”，且𝑂𝐸< 𝑂𝐹，点G 为线
段𝐷𝐸的中点，求线段𝐹𝐺的长度；
【定义拓展】
（3）如图3，点D 在射线𝑂𝑀上，𝑂𝐷= 12．点P 从点O 出发，以每秒5 个单位长度的速度沿射线𝑂𝑀向右
运动，同时点Q 从点D 出发，以每秒2 个单位长度的速度也沿射线𝑂𝑀向右运动，运动时间为t 秒，点P 追
上点Q 时，两点同时停止运动，请问当P，D，Q 三点中某一点为其余两点所构成线段的“五美分点”时，t
的值是多少？
【变式17-3】（25-26 七年级上·福建泉州·期末）定义：若数轴上三个点𝐴，𝐵，𝐶，满足𝐶𝐴= 2𝐶𝐵，则称点𝐶
是[𝐴,𝐵]的“倍点”．例如：数轴上点𝐴表示的数是−1，点𝐵表示的数是2，点𝐶表示的数是1，此时𝐶𝐴= 2，
𝐶𝐵= 1，则𝐶𝐴= 2𝐶𝐵，则称点𝐶是[𝐴,𝐵]的“倍点”．如图，已知数轴上的点𝑀表示的数是−3，点𝑁表示的数
是6．
(1)则原点𝑂____________[𝑀,𝑁]的“倍点”；（填“是”或“不是”）
(2)若点𝐷是[𝑁,𝑀]的“倍点”，求点𝐷表示的数；
(3)已知动点𝑃从点𝑀出发，以每秒1 个单位的速度沿数轴向左匀速运动；动点𝑄从点𝑁出发，以每秒4 个单
位长度的速度向左匀速运动，若点𝑃，点𝑄同时出发，设点𝑃的运动时间为𝑡（秒）．当点𝑄是[𝑀,𝑃]的“倍点”
时，求时间𝑡的值．
