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第1 章 有理数·培优卷
【新教材人教版】
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共10 小题，每小题3 分，满分30 分）
1．（25-26 九年级下·湖南长沙·期中）中国战国时期已出现负数的雏形，汉代以“负算”表示亏缺数量，并用
算筹颜色区分正负数：红为正，黑为负．如果5 个红算筹记作+5，那么3 个黑算筹应记作（ ）
A．+3
B．−3
C．+5
D．−5
【答案】B
【分析】本题考查正负数的意义，用正负数表示具有相反意义的量，根据题目给出的计数规则直接推导即
可．
【详解】解：∵规则为红算筹记正，黑算筹记负，且5 个红算筹记作+5
∴3 个黑算筹应记作−3．
2．（25-26 七年级上·河南周口·期末）下列各数中，既不是正数也不是负数的是（ ）
A．−4
B．0
C．1
D．2024
【答案】B
【分析】本题考查正数与负数的概念，依据正数、负数的定义即可判断出结果．
【详解】解：A、−4是负数，不符合题意；
B、0 既不是正数也不是负数，符合题意；
C、1 是正数，不符合题意；
D、2024 是正数，不符合题意；
故选：B．
3．（25-26 九年级下·江苏盐城·期中）2026 首个春假，小鸣出门踏青，2026 的相反数是（ ）
A．−2026
B．
1
2026
C．−
1
2026
D．2026
【答案】A
【详解】解：2026的相反数为−2026．
4．（25-26 九年级下·河北衡水·期中）如图，数轴上的点M，N 分别表示−3，2，则点M 到点N 的距离为
（ ）
A．5
B．−5
C．1
D．−1
【答案】A
【详解】解：∵数轴上的点M，N 分别表示−3，2，
∴点M 到点N 的距离为|2−(−3)| = |2 + 3| = 5 ．
5．（24-25 七年级上·云南昭通·月考）下列各数：−( +5)，−2.5，0，|−2|，其中比−4小的数是（ ）
A．−( +5)
B．−2
C．0
D．−2.5
【答案】A
【分析】本题主要考查正负数，熟练掌握正负数比较大小是解题的关键．根据负数绝对值大的反而小，即
可得到答案．
【详解】解：−( +5) = −5 < −4，
故选A．
6．（25-26 九年级下·河南平顶山·期中）检测4 个篮球,其中超过标准质量的部分记为正数,不足标准质量的
部分记为负数,则下列最接近标准质量的篮球是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】因为绝对值越小说明与标准质量的偏差越小，所以比较这几个绝对值的大小，绝对值最小的对应
的篮球即为所求．
【详解】通过求4 个数的绝对值，得|−2.1| = 2.1,|−0.7| = 0.7,| +3.5| = 3.5,| +1.8| = 1.8．
∵−0.7的绝对值最小，
∴B 选项中的篮球是最接近标准质量的．
7．（25-26 七年级上·河南南阳·期中）如图，小明在写作业时不慎将两滴墨水滴在数轴上，根据图中数值，
可以确定墨迹盖住的所有整数的和是（ ）
A．−8
B．−9
C．−10
D．−11
【答案】C
【分析】本题主要考查数轴，解题的关键是熟练掌握数轴上的点对应的数的规律．结合数轴找到−6.3 ∼−1
与0 ∼4.1之间的整数，然后相加即可．
【详解】解：根据图中数值，确定墨迹盖住的数在−6.3 ∼−1与0 ∼4.1之间，
∴盖住的整数是−6,−5,−4,−3,−2,1,2,3,4，
∴所盖住的整数的和为：
−6 + (−5) + (−4) + (−3) + (−2) +1 + 2 + 3 + 4 = −10．
故选：C．
8．（25-26 七年级上·河北唐山·期末）若|𝑥| = 8，|𝑦| = 2，且|𝑥+ 𝑦| = 𝑥+ 𝑦，则2𝑥−𝑦= （ ）．
A．14或−18
B．14或18
C．−14或18
D．−14或−18
【答案】B
【分析】本题考查绝对值的性质，运用分类讨论思想是关键．
根据绝对值的定义得出𝑥和𝑦的可能取值，结合𝑥+ 𝑦的取值范围，分类讨论即可．
【详解】解：∵|𝑥| = 8，|𝑦| = 2，
∴𝑥=± 8，𝑦=± 2，
∵|𝑥+ 𝑦| = 𝑥+ 𝑦，
∴𝑥+ 𝑦≥0，
当𝑥= −8时，无论𝑦= 2或−2，都有𝑥+ 𝑦< 0，不符合题意，故舍去；
当𝑥= 8，𝑦= 2时，
𝑥+ 𝑦= 10 > 0，符合题意，
此时2𝑥−𝑦= 2 × 8−2 = 14；
当𝑥= 8，𝑦= −2时，
𝑥+ 𝑦= 6 > 0，符合题意，
此时2𝑥−𝑦= 2 × 8−(−2) = 16 + 2 = 18；
综上所述，2𝑥−𝑦= 14或18．
故选：B．
9．（25-26 七年级下·安徽滁州·期中）如图，直径为单位“1”的圆上一点𝐴与数轴上表示−1的点重合，将该圆
向右滚动一周后，点𝐴落在数轴上的点𝐵处，则点𝐵表示的实数是（ ）
A．2.14
B．1−π
C．π−1
D．π +1
【答案】C
【分析】由题意得到圆滚动一周即求出圆的周长，即可得到答案．
【详解】解：圆的周长为：𝜋𝑑= 𝜋，
∵圆上一点𝐴与数轴上表示−1的点重合，
∴点𝐵表示的实数是π−1．
10．（25-26 七年级上·湖南长沙·期末）南北走向的潭州大道可视为数轴，自动换电站位于原点O．某智能
无人快递车续航为20km，即换一次电池最多可行驶20km．某天快递车依次接到7 个派送订单，派送顺序为
𝐴→𝐵→𝐶→𝐷→𝐸→𝐹 →𝐺，对应的点位如图所示：（单位长度：1km），快递车从自动换电站满电出发，最终
需回到换电站．在派送过程中，如果续航不足，需返回换电站更换电池（满电）后再继续派送．下列描述
中，正确的有（ ）
①快递车在完成C 点订单后，需返回换电站换电池；
②第一次回到换电站时，显示剩余续航9km；
③配送过程中，快递车可以只换1 次电池；
④快递车完成所有订单后回到换电站，共行驶40km．
A．①②
B．①④
C．②③
D．③④
【答案】B
【分析】本题考查数轴上的距离计算与实际应用．通过计算各点间的距离，结合“单次续航20𝑘m”的限制，
判断每个描述的正确性即可．
【详解】解：首先确定各点所表示的数：𝑂(0)，𝐴(5)，𝐵(−3)，𝐶(−2)，𝐷(6)，𝐸(2)，𝐹(−1)，𝐺(−5)，配
送顺序为𝐴→𝐵→𝐶→𝐷→𝐸→𝐹→𝐺．
计算每段行驶距离：𝑂→𝐴= 5km，
𝐴→𝐵= 8km，
𝐵→𝐶= 1km，
𝐶→𝐷= 8km，
𝐷→𝐸= 4km，
𝐸→𝐹= 3km，
𝐹→𝐺= 4km，
𝐺→𝑂= 5km．
①从𝑂出发到𝐴→𝐵→𝐶，累计行驶5 + 8 + 1 = 14km，剩余续航20−14 = 6km．下一段𝐶→𝐷需行驶8km，
6 < 8，续航不足，
∴必须返回换电站𝑂(返回距离2km)，故①正确；
②由①得第一次回到换电站时，显示剩余续航6−2 = 4km，故②错误．
③根据题意：第一次换电：完成𝐶点后返回𝑂(行驶16km)，
第二次换电：完成𝐹点后返回𝑂(行驶14km)，
第三次行程：𝑂→𝐺→𝑂= 10km(无需换电)．
需换电2次即可完成所有订单，故③错误；
④分析“配送车完成所有订单后回到换电站，共行驶40km”：
总行驶距离为：第一次行程𝑂→𝐴→𝐵→𝐶→𝑂= 5 + 8 + 1 + 2 = 16km，
第二次行程𝑂→𝐷→𝐸→𝐹→𝑂= 6 + 4 + 3 + 1 = 14km，
第三次行程𝑂→𝐺→𝑂= 5 + 5 = 10km，
合计16 + 14 + 10 = 40km，故④正确．
综上，正确的描述为①④，
故选：B．
二、填空题（本大题共6 小题，每小题3 分，满分18 分）
11．（25-26 七年级上·河南商丘·期末）如果吊篮升高5 米记作+5米，那么−20米表示吊篮_______．
【答案】下降20 米
【分析】本题主要考查正负数的意义．正数与负数表示意义相反的两种量，看清规定哪一个为正，则和它
意义相反的就为负．据此直接得出结论即可．
【详解】解：吊篮升高5 米记作+5米，那么−20米表示吊篮下降20 米；
故答案为：下降20 米．
12．（25-26 六年级上·山东淄博·期末）化简：−+(−2) = ____________．
【答案】2
【分析】本题考查了相反数的概念，解决本题的关键是熟练掌握相反数的概念．
先计算内层括号+ (−2)，再计算外层负号由此求解即可．
【详解】解：−+(−2) = −(−2) = 2．
故答案为：2．
13．（25-26 七年级上·北京门头沟·期末）在0,5,−
2
5,6%,0.22,−0.32,
9
7中，是负有理数的为__________．
【答案】
−2
5 ,−0.32
【分析】本题考查了负有理数的概念，解决本题的关键是熟练掌握负有理数的概念．
负有理数是指负数且是有理数的数，包括负整数和负分数，从给定数中筛选即可．
【详解】解：0 既不是正数也不是负数；
5 是正数；
−
2
5是负分数，属于负有理数；
6% = 0.06，是正数；
0.22 是正小数；
−0.32是负小数，属于负有理数；
9
7是正分数，
因此，负有理数为−
2
5和−0.32．
故答案为：−
2
5,−0.32．
14．（25-26 六年级下·黑龙江哈尔滨·期中）如下图所示，数轴上A 点表示−1，那么表示−3的点在A 点的______
边（填入左或者右）．
【答案】左
【详解】解：∵−3 < −1，
∴表示−3的点在A 点的左边．
15．（25-26 七年级上·湖北荆州·期末）写出一个比−
3
2小的有理数是_______（写出一个即可）．
【答案】
−2（答案不唯一）
【分析】本题考查了有理数的大小比较，熟练掌握有理数大小比较的方法是解答本题的关键．根据正数大
于0，负数小于0，正数大于一切负数，两个负数，绝对值大的反而小解答即可．
【详解】解：∵|−2| = 2，|−
3
2| =
3
2，2 >
3
2，
∴−2 < −
3
2．
故答案为：−2（答案不唯一）．
16．（25-26 九年级下·福建泉州·阶段检测）已知a，b 是有理数，𝑎> 0，𝑏< 0，则
𝑎
|𝑎| +
𝑏
|𝑏| = _____ ．
【答案】0
【详解】解：∵𝑎> 0，𝑏< 0，
∴|𝑎| = 𝑎,|𝑏| = −𝑏，
∴
𝑎
|𝑎| +
𝑏
|𝑏| =
𝑎
𝑎+
𝑏
−𝑏= 1−1 = 0 ．
三、解答题（本大题共9 小题，满分72 分）
17．（6 分）（25-26 七年级上·重庆江北·期中）把下列各数填在相应的横线上：66，−9.5，17%，−182，
5
6，0，−
51
13，2.07．
(1)正数：______________________．
(2)负数：______________________．
(3)既不是正数也不是负数：___________．
(4)整数：_______________________．
【答案】(1)66，17%，
5
6，2.07
(2)−9.5，−182，−
51
13
(3)0
(4)66，−182，0
【分析】本题考查了正负数的定义，解题关键是明确正负数的定义，大于0 的数是正数，在正数前面添一
个负号的数叫负数，0 既不是正数也不是负数，解题时根据正负数的概念直接判断即可．
【详解】（1）解：根据正数的概念知，正数有：66，17%，
5
6，2.07；
故答案为： 66，17%，
5
6，2.07；
（2）解：根据负数的概念知，负数有：−9.5，−182，−
51
13；
故答案为：−9.5，−182，−
51
13；
（3）解：既不是正数也不是负数的是0；
故答案为：0；
（4）解：整数有66，−182，0；
故答案为：66，−182，0．
18．（6 分）（25-26 七年级上·山东德州·期末）如图，数轴上每个刻度为1个单位长度，点𝐴表示的数是−3．
(1)则𝐵所表示的数是______；
(2)数轴上有点𝐶，且与点𝐵的距离为2个单位长度，那么点𝐶表示的数为______．
【答案】(1)4
(2)2或6
【分析】本题主要考查了数轴的特点，数轴上表示数，数轴上两点间的距离，掌握知识点的应用是解题的
关键 ．
（1）根据点𝐴表示的数，确定原点，由此即可求解；
（2）根据题意，运用数轴上两点之间距离的计算方法，分类讨论即可．
【详解】（1）解：因为点𝐴表示的数是−3，
所以原点如图所示，
所以点𝐵表示的数为4，
故答案为：4；
（2）解：因为点𝐵表示的数为4，
所以①当点𝐶在点𝐵左边时，点𝐶表示的数为4−2 = 2；
②当点𝐶在点𝐵的右边时，点𝐶表示的数为4 + 2 = 6，
故答案为：2或6．
19．（6 分）（25-26 七年级上·全国·课后作业）观察下面各数：−1，+2，−3，+4，−5，+6，−7，+8，
−9，......
(1)写出这列数中的第100 个数和第2023 个数．
(2)在前2024 个数中，正数和负数分别有多少个？
(3)2025 是否在这列数中？若在，请写出2025 是第几个数；若不在，请说明理由．
【答案】(1)第100 个数为100，第2023 个数为−2023
(2)正数有1012 个，负数有1012 个
(3)不在，理由见解析
【分析】本题考查了数字的变化类，找到变化规律是解题的关键．
（1）先分别从奇数位和偶数位，符号和绝对值方面进行找规律，再分别代入计算；
（2）利用规律进行求解；
（3）根据奇数位是负数即可判断．
【详解】（1）解：因为这列数中奇数位是负数，偶数位是正数，所以这列数中的第100 个数为100，第2023
个数为−2023．
（2）解：在前2024 个数中，正数有1012 个，负数有1012 个．
（3）．解：2025 不在这列数中。理由：因为这列数的绝对值等于其项数，所以如果2025 在这列数中，它
必然是第2025 个数。根据规律，奇数项为负数，所以第2025 个数应为−2025，故2025 不在这列数中．
20．（8 分）（25-26 七年级上·广西南宁·期中）已知a、b 互为相反数(𝑎≠𝑏)，c 是最小的自然数，d 是最小
的正整数．
(1)填空：
𝑎
𝑏= _____．
(2)求𝑎+ 𝑏−𝑐−𝑑的值．
【答案】(1)−1
(2)−1
【分析】本题主要考查了相反数，有理数的相关概念，解题的关键是掌握以上概念．
（1）根据相反数的定义求值即可；
（2）根据相反数，有理数的相关概念，列出等式，然后代入求值即可．
【详解】（1）解：∵a、b 互为相反数，且𝑎≠𝑏，
∴
𝑎
𝑏= −1，
故答案为：−1；
（2）解：∵a、b 互为相反数，
∴𝑎+ 𝑏= 0；
∵𝑐是最小的自然数，
∴𝑐= 0；
∵d 是最小的正整数
∴𝑑= 1
∴𝑎+ 𝑏−𝑐−𝑑= 0−0−1 = −1．
21．（8 分）（25-26 六年级上·上海金山·期中）（1）如图，在数轴上点A 表示的数是_______，点B 表示
的数是_______．
（2）请在数轴上用点C 表示数−2
1
2的相反数，点D 表示数−
1
3．
（3）将A、B、C、D 四个点所表示的数按从大到小的顺序排列，用“ > ”连接．
【答案】（1）−1，2
2
3；（2）见解析；（3）2
2
3 > 2
1
2 > −
1
3 > −1．
【分析】本题主要考查了数轴上的数，相反数，比较有理数的大小，理解两个整数之间的单位长度是解题
的关键．
（1）观察数轴可得答案；
（2）先求得−2
1
2的相反数为2
1
2，根据单位长度，在数轴上表示两个数即可；
（3）根据数轴上的位置得出答案．
【详解】解：（1）点𝐴表示的数是−1，点𝐵表示的数是2
2
3，
故答案为：−1，2
2
3；
（2）−2
1
2的相反数为2
1
2，如图，
（3）由数轴知：2
2
3 > 2
1
2 > −
1
3 > −1．
22．（9 分）（25-26 七年级上·河南周口·期末）安徽巢湖水系近三年的水量进出大致如下（“ + ”表示进，
“−”表示出，单位：亿立方米）：+18，−15；+12，−17；+16，−11．
(1)最近3年，巢湖水系的水量总体是增加还是减少了？
(2)若水量的进出都需要费用为每亿立方米3万元，那么这三年的水量进出共需要多少费用？
【答案】(1)增加了3亿立方米
(2)267万元
【分析】（1）将近三年的水量进出数据求代数和即可；
（2）将近三年的水量进出数据先取绝对值、再求和，将求和结果乘以每亿立方米费用即可．
【详解】（1）解：+18 + (−15) + ( +12) + (−17) + ( +16) + (−11)
= 18−15 + 12−17 + 16−11
= 3−5 + 5
= 3（亿立方米）
∴最近3年，巢湖水系的水量总体是增加3亿立方米；
（2）解：| +18| + |−15| + | +12| + |−17| + | +16| + |−11|
= 18 + 15 + 12 + 17 + 16 + 11
= 89（亿立方米）
∴这三年的水量进出共需费用为3 × 89 = 267（万元）．
23．（9 分）（25-26 七年级上·山西朔州·阶段检测）如图，数轴上点𝑀表示的数为1．
(1)点𝑀向右移动1 个单位长度后对应的点表示的数为___________，再向左移动3 个单位长度后对应的点表
示的数为___________．
(2)若数轴上点𝑁表示的数为𝑛，且|𝑛| = 3，求点𝑀与点𝑁之间的距离．
【答案】(1)2，−1
(2)2 或4
【分析】本题考查了数轴上点的移动与数轴上两点间的距离，绝对值的意义，掌握数轴上两点之间的距离
求解方法是解决问题的关键．
（1）根据数轴上点的移动求出点的坐标；
（2）根据绝对值的意义先求出𝑛=± 3，再分情况求出结果即可．
【详解】（1）解：∵点𝑀表示的数为1，
∴向右移动1 个单位长度后对应的点表示的数为1 + 1 = 2，
再向左移动3 个单位长度后对应的点表示的数为2−3 = −1，
故答案为：2，−1；
（2）∵|𝑛| = 3，
∴𝑛=± 3，
∵点𝑀表示的数为1，
当𝑛= 3时，𝑀𝑁= 3−1 = 2，
当𝑛= −3时，𝑀𝑁= |−3| +1 = 4，
∴点𝑀与点𝑁之间的距离为2 或4．
24．（10 分）（25-26 七年级上·陕西西安·期末）当前，人们对健康愈加重视，跑步成了人们进行体育锻炼
的首要选择．爸爸计划每天跑3 千米，他记录了一周跑步路程变化的情况如下表：（正数表示比计划增加
的路程，负数表示比计划减少的路程）
星期
一
二
三
四
五
六
日
路程/千
米
+0.5
+1
−1
−0.5
+2
−1
+1.5
(1)星期二爸爸的跑步路程是 千米；
(2)爸爸跑步路程最多的一天是星期 ；
(3)爸爸这七天一共跑步多少千米？
【答案】(1)4
(2)五
(3)爸爸这七天一共跑步23.5千米
【分析】本题考查有理数加法在实际生活中的应用，核心是正确理解表格中增减量的含义，即实际路程为
计划路程与对应增减量的和．
（1）直接通过计划路程加星期二的增减量计算实际路程；
（2）根据表格找出比计划跑步路程多跑最远的一天即可；
（3）用七天计划总路程加上所有增减量的总和来计算总路程．
【详解】（1）解：星期二爸爸的跑步路程为3 + 1 = 4（千米），
故答案为：4；
（2）解：由表格可知，比计划增加的路程最多的一天多跑了2 千米，即星期五，
所以爸爸跑步路程最多的一天是星期五，
故答案为：五；
（3）解：七天计划跑步总路程为3 × 7 = 21（千米），
一周路程增减量的总和为0.5 + 1 + (−1) + (−0.5) +2 + (−1) +1.5 = 2.5（千米）
所以七天实际总路程为21 + 2.5 = 23.5（千米），
答：爸爸这七天一共跑步23.5千米．
25．（10 分）（25-26 七年级上·黑龙江大庆·期末） 阅读下列材料：我们知道|𝑥|的几何意义是数轴上数𝑥的
对应点与原点之间的距离，即|𝑥| = |𝑥−0|，也可以说，|𝑥|表示数轴上数𝑥与数0 对应点之间的距离．这个结
论可以推广为|𝐴−𝐵|表示数轴上数A 与数B 对应点之间的距离．
(1)用绝对值表示数轴上−4与1 之间的距离；
(2)若|𝑥−3| = 2，则𝑥可以表示数轴上的哪些数；
(3)依据（2）的结论，求使得|𝑥−2| + |𝑥+ 3| = 5成立的所有符合条件的整数的和；
(4)由以上的探索猜想对于任何有理数𝑥，求出|𝑥−3| + |𝑥+ 4|的最小值？
【答案】(1)|−4−1|或|1−(−4)|
(2)1 或5
(3)−3
(4)7
【分析】（1）根据绝对值表示的几何意义即可进行求解；
（2）根据在数轴上，某点到3 所对应的点的距离为2，即可得到符合条件的数；
（3）根据（2）结论表示为：在数轴上某点到−3所对应的点的距离和到2 所对应的点的距离之和为5，得
出满足条件的整数x 的值，再求和即可；
（4）由|𝑥−3| + |𝑥+ 4|的几何意义是数轴上表示有理数x 的点与表示有理数3 的点之间的距离与数轴上表
示有理数x 的点与表示有理数−4的点之间的距离之和，则当x 在−4与3 之间的数轴上时，|𝑥−3| + |𝑥+ 4|
最小，求出答案即可．
【详解】（1）解：∵|𝐴−𝐵|表示数轴上数𝐴与数𝐵对应点之间的距离，
∴数轴上−4与1 之间的距离为|−4−1|或|1−(−4)|；
（2）解：|𝑥−3| = 2表示：在数轴上，某点到3 所对应的点的距离为2，
∴𝑥= 1或𝑥= 5，
可以表示数轴上的数1 或数5；
（3）解：|𝑥−2| + |𝑥+ 3| = 5，表示为在数轴上某点到−3所对应的点的距离和到2 所对应的点的距离之和
为5，
∴−3 ≤𝑥≤2，
∴满足条件的整数x 可为−3，−2，−1，0，1，2，
∴整数的和为(−3) + (−2) + (−1) +0 + 1 + 2 = −3；
（4）解：|𝑥−3| + |𝑥+ 4|表示在数轴上到3 和−4的距离之和，
所以当x 在−4与3 之间的数轴上时，有最小值为3−(−4) = 7，
即|𝑥−3| + |𝑥+ 4|的最小值为7．
