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第2 章 有理数的运算·培优卷
【新教材人教版】
时间：120 分钟
满分：120 分
姓名：___________班级：___________考号：___________
考卷信息：
本卷试题共25 题，单选10 题，填空6 题，解答9 题，满分120 分，限时120 分钟，本卷题型针对性较高，覆盖
面广，选题有深度，可量化学生的掌握程度！
一、选择题（本大题共10 小题，每小题3 分，满分30 分）
1．（25-26 七年级上·河南洛阳·期末）计算：(−3) + ( +5) = （ ）
A．−2
B．−8
C．2
D．8
2．（25-26 七年级下·广东佛山·期中）数据0.000000028 用科学记数法表示为（ ）
A．0.28 × 10−9
B．2.8 × 10−8
C．28 × 10−8
D．2.8 × 10−7
3．（25-26 七年级上·内蒙古乌兰察布·期中）对乘积(−2025) × (−2025) × (−2025) × (−2025)记法正确的
是（ ）
A．−20254
B．(−2025)4
C．−(−2025)4
D．−( +2025)4
4．（25-26 七年级上·福建泉州·期末）近似数1.25 × 105表示精确到（ ）
A．千位
B．万位
C．十分位
D．百分位
5．（25-26 七年级上·湖南娄底·期末）如图，是一个数值运算程序框图，若开始输入𝑥= 10，则最后输出的
结果是（ ）
A．1
B．2
C．3
D．5
6．（25-26 七年级下·黑龙江大庆·期中）一根1 米长的绳子第一次剪去一半，第二次剪去剩下的一半，如此
剪下去，剪第六次后，剩下的绳子的长度为（ ）
A．1−
1
2
6
B．
1
2
5
C．
1
2
6
D．1−
1
2
5
7．（25-26 七年级上·重庆渝北·期中）嘉嘉设计了一个“幻方”游戏，现在将1、−2、3、−4、5、−6、7、−8
分别填入图中圆圈内，使横、竖以及内外两个正方形顶点上的4 个数字之和都相等，则𝑐的值为（ ）
A．1
B．3
C．5
D．−8
8．（25-26 七年级上·重庆北碚·月考）下列说法：①若|𝑎| = |𝑏|，则𝑎= 𝑏；②若|𝑎| = 𝑎，则𝑎> 0；③若
𝑎𝑏< 0，则
|𝑎|
𝑎+
|𝑏|
𝑏+
|𝑎𝑏|
𝑎𝑏= −1．其中正确的个数是（ ）
A．0
B．1
C．2
D．3
9．（25-26 八年级上·福建厦门·期末）我国数学家华罗庚在《数学是我国人民所擅长的学科》中谈到，我国
古代数学的许多创新与发展都曾居世界前列，“杨辉三角”就是一例，它具有一定的规律性．从如图中取一斜
列数：1，3，6，10，15，…，我们把第1 个数记为𝑎1，第2 个数记为𝑎2，第3 个数记为𝑎3，…，第n 个数
记为𝑎𝑛．则
1
𝑎1 +
1
𝑎2 +⋯+
1
𝑎2026的值为（ ）
A．
4052
2026
B．
4052
2027
C．
2025
1013
D．
2026
2027
10．若𝑎、𝑏、𝑐均为整数，且|𝑎−𝑏| + |𝑐−𝑎| = 1，则|𝑎−𝑐| + |𝑐−𝑏| + |𝑏−𝑎|的值为（ ）
A．1
B．2
C．3
D．4
二、填空题（本大题共6 小题，每小题3 分，满分18 分）
11．（25-26 六年级上·山东威海·期末）−6的绝对值与4 的差，再加上−7，结果为______．
12．（25-26 六年级上·上海·期末）乐乐在计算(−15) ÷ 𝑚时，误将“ ÷ ”看成“ + ”，所得的结果是−12，那么
(−15) ÷ 𝑚的正确结果应是______．
13．（25-26 七年级下·河北沧州·期中）若32 + 32 + 32 = 3？，则“？”所代表的数是______．
14．（25-26 六年级上·上海静安·期末）如图，现有5 张卡片写着不同数，利用所学过的加、减、乘、除、
乘方运算，从中选取4 张卡片（每张卡片上的数只能用一次），使这4 张卡片上的数运算结果为24，写出
一个符合要求的等式为___________．
15．（25-26 七年级上·湖南益阳·期末）生物学中，描述、解释和预测种群数量的变化，常常需要建立数学
模型．在营养和生存空间没有限制的情况下，某种细菌可通过分裂来繁殖后代，我们用数学模型3𝑛来表示
其繁殖数量的规律，即：31 = 3,32 = 9,33 = 27,34 = 81,35 = 243,36 = 729…，请你推算32026的个位数字
是_____．
16．（25-26 七年级上·河南开封·期末）如图，在一条不完整的数轴上从左至右有𝐴，𝐵，𝐶三点，其中
𝐴𝐵= 2，𝐵𝐶= 1，设点𝐴，𝐵，𝐶所对应的数的和是𝑝，若以𝐴为原点，根据点𝐵，𝐶所对应的数，计算𝑝的值
为______；若原点𝑂在图中数轴上点𝐶的右边，且𝐵𝑂= 2025，计算𝑝的值为______．
三、解答题（本大题共9 小题，满分72 分）
17．（6 分）（25-26 七年级上·江苏泰州·期末）计算：
(1)−5−(−9) + (−4) + |−8|；
(2)−12026 + (−2)3 × −
3
4 −6 ÷ −
1
3 ．
18．（6 分）（24-25 七年级下·吉林辽源·期中）已知|2𝑎−6|与(𝑏+ 2)2互为相反数．
(1)求a、b 的值；
(2)求−𝑏+ 𝑎的倒数．
19．（6 分）（25-26 七年级上·陕西安康·期末）对于有理数m、n，定义一种新运算☆：𝑚☆𝑛= 3𝑚−4𝑛．例
如：1☆2 = 3 × 1−4 × 2 = −5．
(1)求(−4)☆7的值；
(2)已知x 是绝对值为1 的负整数，y 是−3 的倒数，求(−2)☆(𝑥☆𝑦)的值．
20．（8 分）（25-26 七年级下·安徽马鞍山·期中）观察下列各式，解答后面的问题．
第1 个等式：1 × 2 × 3 × 4 + 1 = (12 + 3 × 1 + 1)2；
第2 个等式：2 × 3 × 4 × 5 + 1 = (22 + 3 × 2 + 1)2；
第3 个等式：3 × 4 × 5 × 6 + 1 = (32 + 3 × 3 + 1)2；
……
(1)第5 个等式是______；
(2)第n 个等式是______；
(3)计算：11 × 12 × 13 × 14−10 × 11 × 12 × 13．
21．（8 分）（25-26 七年级下·江苏南京·期中）我们规定：如果𝑎𝑐= 𝑏，记作[𝑎,𝑏] = 𝑐．例如：因为23 = 8，
所以[2,8] = 3．
(1)根据上述规定，填空：[3,27] = ______，[2,0.25] = ______；
(2)若[3,5] = 𝑎，[3,6] = 𝑏，[3,30] = 𝑐．试说明：𝑎+ 𝑏= 𝑐；
(3)若[2,3] = 𝑑，[3,2] = 𝑒，写出𝑑与𝑒的数量关系，并说明理由．
22．（9 分）（25-26 六年级下·黑龙江哈尔滨·期中）哈尔滨红肠是全国驰名的哈尔滨特产．某品牌哈尔滨红
肠计划在国庆节期间开展一系列优惠活动，其中，针对一款原价48 元/盒的哈尔滨红肠推出了两种优惠方案
（两种方案只能选择一种）．方案一：每盒按九折销售．方案二：每买5 盒，送1 盒．
(1)李阿姨需要买4 盒这种哈尔滨红肠，她选择了方案一，李阿姨节约多少钱？
(2)王阿姨需要买8 盒这种哈尔滨红肠，她选择了方案二，相当于每盒单价多少元？
(3)刘阿姨有一张满888 元减168 元的优惠券，这张优惠券不可与上述方案同享．刘阿姨需要买20 盒哈尔滨
红肠，怎样买最划算？写出判断过程．
23．（9 分）（25-26 七年级上·江西上饶·期末）如图，在数轴上𝐴、𝐵、𝐶、𝑂四点对应的数分别表示为𝑎、
𝑏、𝑐、0．
(1)化简：|𝑎−𝑏|−|𝑏+ 𝑐|−|𝑎−𝑐|；
(2)若点𝑀, 𝑁分别是线段𝐴𝐵, 𝑂𝐶的中点，在数轴上对应的数分别为𝑚, 𝑛，且𝑎= −5, 𝑐= 3, 𝑚= −3，则𝐴𝐶=
________；𝑛= ________；𝑏= ________．
24．（10 分）（25-26 七年级上·河北邢台·期末）为积极响应国家推广节能减排的政策，王老师购置了一辆
续航为350km（能行驶的最大路程）的新能源纯电汽车，他将汽车充满电后，连续7 天每天行车电脑上显
示的行驶路程记录如下表（单位：km，以40km为标准，超过部分记为“ + ”，不足部分记为“−”）．已知该
汽车第三天行驶了45km，第六天行驶了34km．
第一天
第二天
第三天
第四天
第五天
第六天
第七天
−6
+2
■
−3
+8
●
+7
(1)“■”处的数为_____，“●”处的数为_____；
(2)求这辆新能源汽车这7 天行驶的总路程；
(3)该汽车行驶完这7 天后，求行车电脑上显示的剩余电量的百分比．
25．（10 分）（25-26 七年级下·湖南衡阳·期中）“阳光向上，跑动青春”，为营造阳光运动的校园氛围，培
养学生热爱体育、崇尚运动的健康观念和良好习惯，学校利用课间进行趣味跑操活动，其中有两名学生课
间在操场上沿着直线进行折返跑，往返1 次．将这条直线看成数轴，起点记为𝑀，折返点记为𝑁，主席台记
为𝑂，两位同学分别记为点𝑃，𝑄，若动点𝑃，𝑄从𝑀同时出发向𝑁点运动，到达𝑁点后折返到𝑀点．已知：数
轴上点𝑀、𝑁对应的数为𝑚、𝑛，且满足|𝑚+ 20| + (𝑛−40)2 = 0，点𝑂对应的数为𝑘,𝑘的相反数等于本身．
(1)直接写出𝑚、𝑛、𝑘的值；
(2)设点𝑃在数轴上对应的数为𝑥，那么当𝑥为多少时能使得𝑃𝑂+ 𝑃𝑁= 50？
(3)已知点𝑃的速度为3 个单位长度/秒，点𝑄的速度为2 个单位长度/秒，当动点𝑃到达点𝑁后，点𝑄开始改变
速度，以𝑎个单位长度/秒继续折返跑，4 秒后，𝑃，𝑄两点相距2 个单位长度，求𝑎的值．
