文档内容
七年级下册数学《第六章 实数》
6.3 实 数
无理数的概念
知识点一
◆1、无理数：无限不循环小数又叫做无理数.
◆2、常见的无理数的三种形式：
π
(1)圆周率π以及一些含π的数，2π﹣3， ；
2
√2 √ 3 3
(2)开方开不尽的数，如： ， 等；
(3)有规律但不循环的数，如1.01001000100001…等.
实数的概念和分类
知识点二
◆1、实数的概念：有理数和无理数统称为实数.
◆2、实数的分类：
（1）按定义分类．
（2）按性质分类.实数与数轴的关系
知识点三
◆1、实数与数轴上的点是一一对应的，即每一个实数都可以用数轴上的一个点来表示；反过来，数轴上
的每一个点都表示一个实数.
◆2、与规定有理数的大小一样，对于数轴上的任意两个点，右边的点所表示的实数总比左边的点表示的实数
大.
◆3、实数的大小比较
①正实数大于零，负实数小于零，正实数大于负实数；
②两个正实数，绝对值大的数较大；
③两个负实数，绝对值大的数反而小.
实数的性质
知识点四
在实数范围内 ，相反数、倒数、绝对值的意义和有理数范围内的相反数、倒数、绝对值的意义完全一
样．
◆1、 数a的相反数是-a，这里a表示任意一个实数.
◆2、 一个正实数的绝对值是它本身；一个负实数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0.
{ a(a＞0)
即设a表示任意一个实数，则 |a|=
0(a=0)
−a(a＜0)
实数的运算
知识点五
◆1、当数从有理数扩充到实数以后，实数之间不仅可以进行加、减、乘、除(除数不为0)、乘方运算，
而且正数及0可以进行开平方运算，任意一个实数可以进行开立方运算.
◆2、实数的混合运算顺序与有理数的混合运算的顺序一样，实数运算过程中的运算顺序为：先算乘
方、
开方、再算乘法、除法，最后算加法、减法，同级运算按照自左向右的顺序进行，有括号先算括号
里的.
◆3、实数的运算律.
①加法交换律： a＋b＝b＋a；
②加法结合律：(a＋b)＋c＝a＋(b＋c)③乘法交换律： ab＝ba；
④乘法结合律：(ab)c＝a(bc)
⑤分配律： a(b＋c)＝ab＋ac.
题型一 无理数的识别
【例题1】（2022秋•皇姑区校级期末）下列各数中，无理数是（ ）
π
A． B．√16
2
C．0.25 D．0.1010010001解题技巧提炼
（1）对有理数和无理数进行区分时，应先对某些数进行计算或化简，然后根据结
果进行分类，不能仅看到用根号表示的数就认为是无理数；
（2）π是无理数，，化简后含π的数也是无理数，判断一个数是否为无理数要抓
住两点：一是无限小数；二是其形式不循环.
11
【变式1-1】（2022秋•碑林区校级期末）在实数﹣2， ，√9，√3−27，√11中的无理数是 ．
7
【变式1-2】下列实数中，不是无理数的是（ ）
A．√2 B．π C．√33 D．﹣2
【变式1-3】下列说法错误的有（ ）
①无限小数是无理数；
②无理数都是带根号的数；
③只有正数才有平方根；
④3的平方根是√3；
⑤﹣2是（﹣2）2的平方根．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【变式1-4】（2022春•杜尔伯特县期中）下列语句正确的是（ ）
A．3.78788788878888是无理数
B．无理数分正无理数、零、负无理数
C．无限小数不能化成分数
D．无限不循环小数是无理数
23 π
【变式 1-5】（2022 秋•高邮市期中）下列一组数：﹣8，2.7， ， ，0.66666…，0，2，
7 2
0.080080008…，其中是无理数的有（ ）
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个题型二 实数的分类
【例题2】（2022秋•丽水期中）把下列各数的序号填在相应的横线上：
1 22
①﹣3.14，② 2π，③− ，④ 0.618，⑤−√16，⑥ 0，⑦﹣1，⑧+3，⑨ ，⑩﹣
3 7
0.030030003……（每相邻两个3之间0的个数逐渐多1）．
整数集合：{ ……}；
分数集合：{ ……}；
无理数集合：{ ……}．
解题技巧提炼
本题采用分类法解答，可先把题目中所列各数分成有理数和无理数两类，再从有
理数中找整数及分数.
1
【变式2-1】（2021秋•社旗县期末）实数− ，−√6，0，﹣1中，为负整数的是（ ）
3
1
A．﹣1 B．−√6 C．0 D．−
3
【变式2-2】（2022秋•宁波期中）下列实数：2，√3 9，1， √9 ， π ，− 7 ，0.3 ⋅ ，分数有（ ）
4 2 3
A．2 个 B．3 个 C．4 个 D．5 个
【变式2-3】（2022春•宜秀区校级月考）下列说法正确的是（ ）
A．实数包括有理数、无理数和零
B．有理数包括正有理数和负有理数
C．无限不循环小数和无限循环小数都是无理数
D．无论是有理数还是无理数都是实数【变式2-4】（2022春•夏津县期末）下列说法中错误的是（ ）
17
A．√3−27是整数 B．− 是有理数
13
√3
C． 是分数 D．√9的立方根是无理数
3
【变式2-5】（2022秋•黑山县期中）把下列各数分别填入相应的集合内：
√2 √4 3
√33，−√4， ， ，− ，0，﹣0.2121121112…（相邻两个2之间的1的个数逐次加1）
5 9 4
【变式2-6】（2021春•个旧市校级期中）在下列各数中，选择合适的数填入相应的集合中．
1 π √3
− ，√3 9， ，3.14．−√327，0，﹣5.123456…，√0.25，−
5 2 2
（1）有理数集合：{ …}；
（2）无理数集合：{ …}；
（3）正实数集合：{ …}；
（4）负实数集合：{ …}；
题型三 实数和数轴的关系
【例题3】（2022•海淀区校级模拟）实数a与b在数轴上对应点的位置如图所示，则正确的结论是（
）A．a＜0 B．a＜b C．b+5＞0 D．|a|＞|b|
解题技巧提炼
根据“实数与数轴上的点一一对应”及“在数轴上右边的点总比左边的点表示的
数大”，我们可以把各数在数轴上表示出来，利用数形结合思想计较实数的大小.
【变式3-1】（2021春•南岸区期中）实数a在数轴上对应点的位置如图所示，若实数b满足a＜b＜2，
则b的值可以是（ ）
A．﹣2 B．﹣1 C．2 D．3
【变式3-2】（2022春•鼓楼区期中）若将三个数−√2，√5，√10表示在如图所示的数轴上，则被墨迹覆
盖的数是三个数中的 ．
【变式3-3】把表示下列各数的点画在数轴上，再按从小到大的顺序，用“＜”号把这些数连接起来：
3，﹣（﹣1），﹣1.5，0，﹣|﹣4|，√2．【变式3-4】（2022春•海安市校级月考）7、如图：数轴上表示1、√5的对应点分别为A、B，且点A为
线段BC的中点，则点C表示的数是（ ）
A．√5−1 B．1−√5 C．√5−2 D．2−√5
1
【变式3-5】（2022秋•邢台期中）如图，有一个半径为 个单位长度的圆，将圆上的点A放在原点，并
2
把圆沿数轴逆时针方向滚动一周，点A到达点A'的位置，则点A'表示的数 ；若点B表示的数是
−√10，则点B在点A'的 （填“左边”、“右边”）．
【变式3-6】（2022秋•宁波期中）如图，数轴上点A到点B的距离与点B到点C的距离相等，若点B表
示1，点C表示√7，则点A表示的数是 ．
【变式3-7】（2022秋•西安月考）如图，已知实数−√5，﹣1，√5，3，其在数轴上所对应的点分别为
点A，B，C，D．
（1）求点C与点D之间的距离；
（2）记点A与点B之间距离为a，点C与点D之间距离为b，求a﹣b的值．题型四 实数的大小比较
【例题4】在﹣1，0， ，√3这四个数中，最大的数是（ ）
A．﹣1 πB．0 C． D．√3
π
解题技巧提炼
1、①正数都大于0；②负数都小于0；③正数大于一切负数；④两个负数，绝对
值大的其值反而小．
2、比较实数大小比较的常用方法有：（1）取近似值法（或估算法）；（2）平方
法（或立方法）（脱去根号比较）.当一个带根号的无理数和一个有理数进行比较
时，首选的方法就是把有理数还原成带根号的形式，比较被开方数，也可采用近
似值的方法来比较大小.
【变式4-1】（2022•沂源县一模）在3，−√3，0，2这四个数中，最小的一个数是（ ）
A．3 B．−√3 C．0 D．2
【变式4-2】三个数﹣ ，﹣3，−√3的大小顺序是（ ）
A．﹣3＜﹣ ＜−√3πB．﹣ ＜﹣3＜−√3 C．﹣ ＜−√3＜−3D．﹣3＜−√3＜−
π π π π
1
【变式4-3】设a为实数且0＜a＜1，则在a2，a，√a， 这四个数中（ ）
a
1 1 1 1
A． ＞a＞√a＞a2B．a2＞a＞√a＞ C．√a＞a＞ ＞a2 D． ＞√a＞a＞a2
a a a a【变式4-4】比较2，√5，√37的大小，正确的是（ ）
A．2＜√5＜√37 B．2＜√37＜√5 C．√5＜√37＜2 D．√37＜2＜√5
【变式4-5】比较大小：−√3 ﹣1.5．
【变式4-6】比较大小：2√11 3√5．
√3−1 1
【变式4-7】（2021秋•新津县校级月考）比较大小： ，3√2 2√3．
2 2
题型五 求一个的数的相反数或绝对值
【例题5】实数−√3的绝对值是（ ）
√3 √3
A．√3 B．− C．−√3 D．
3 3
解题技巧提炼
1、 求一个数的相反数时，结果符号相反、绝对值不变；即数a的相反数是-a，
这里a表示任意一个实数.
2、 一个正实数的绝对值是它本身；一个负实数的绝对值是它的相反数；
0的绝对值是0.
【变式5-1】√2的相反数是（ ）
1
A．−√2 B．√2 C． D．2
√2
【变式5-2】|−√2|的平方是（ ）A．−√2 B．√2 C．﹣2 D．2
【变式5-3】填空：
（1）√5的相反数是 ，绝对值是 ；
（2）√3−1的相反数是 ，绝对值是 ；
（3）若|x|=√3，则x＝ ．
【变式5-4】（2022秋•辉县市校级月考）√5−2的相反数是 ；√81的平方根是 ．
【变式5-5】（2021•市南区模拟）下列各组数中互为相反数的是（ ）
A．﹣2与 B．﹣2与 C．2与（ ）2 D．| |与
√(−2) 2 √3−8 −√2 −√2 √2
【变式5-6】（2021秋•莲湖区校级月考）已知√31−3b与√32a+1互为相反数，求3﹣6a+9b的平方根．
【变式5-7】（2022春•如皋市校级月考）已知|x|=√5，y是11的平方根，且x＞y，求x+y的值．
题型六 有关数轴与绝对值的化简【例题6】（2022秋•大竹县校级期末）实数a、b在数轴上对应点的位置如图，则|a﹣b| 的结果是（
−√a2
）
A．2a﹣b B．b﹣2a C．b D．﹣b
解题技巧提炼
本题给出数轴上一些实数，求一些含绝对值的式子的和,方法是先去掉绝对值符
号，再进行合并计算.
【变式6-1】实数a、b在数轴上所对应的点如图所示，则| b|+|a | 的值 ．
√3− +√3+√a2
【变式6-2】实数a、b、c在数轴上的位置如图，化简 |a+c| |b|
√(a−b) 2− +√(c−b) 2−
【变式6-3】（2021春•南通期末）如图，a，b，c是数轴上三个点A、B、C所对应的实数．试化简：
|a+b| |b﹣c|．
√c2+ +√3 (a+b) 3−【 变 式 6-4 】 实 数 a ， b ， c 表 示 在 数 轴 上 如 图 所 示 ， 完 成 下 列 问 题 ， 试 化 简 ：
．
√(a−c) 2−|b−a|+√3 (b−c) 3
【变式6-5】（2022秋•保定月考）如图，一只蚂蚁从点B沿数轴向左爬了2个单位长度到达点A，点B
表示√3，设点A所表示的数为m．
（1）实数m的值是 ；
（2）求（m+2）2+|m+1|的值 ．
题型七 实数非负性的应用
【例题7】（2022春•涧西区期中）已知实数a，b，c满足（a﹣2）2+|2b+6|+√5−c=0．
（1）求实数a，b，c的值；
（2）求√a−3b+c的平方根．解题技巧提炼
几个非负数的和等于零，则每个非负数的值都等于零，据此得出关于字母的方
程，运用方程思想求相关字母的值.
【变式7-1】已知m，n是实数，且√2m+1+|3n−2|=0，求m2+n2的平方根．
【变式7-2】已知|a+1|+√3a−2b−1=0，求4a+5b2的算术平方根．
【变式7-3】（2022秋•原阳县月考）若 √ a− 1 b+|b3﹣8|＝0，求 1 (−3ab2 ) 2 的值．
2 4
【变式7-4】（2021秋•抚州期末）已知|a|+a＝0，且|a2﹣1|+（b﹣2）2+√3−c=0，求a﹣b+4c的平方
根．【变式7-5】（2022春•孟村县期中）已知|2a+b|与√3b+12互为相反数．
（1）求2a﹣3b的平方根；
（2）解关于x的方程ax2+4b﹣2＝0．
题型八 实数的运算
【例题8】（2022春•海淀区校级月考）计算：
（1）|√10−3|+|√10−4|+√3−27；
1
（2）|√3−2|+√3−8× +(−√3) 2．
2解题技巧提炼
实数的混合运算顺序为：先算乘方、开方、再算乘法、除法，最后算加法、减
法，同级运算按照自左向右的顺序进行，有括号先算括号里的.有理数的运算律实
数同样适用，在运算中，当遇到无理数并且需要求出结果的近似值时，可以按照
所求的精确度用相应的近似有限小数去代替无理数，再进行计算.
【变式8-1】计算|√327|+|−√16|+√4−√38的值是（ ）
A．1 B．±1 C．2 D．7
【变式8-2】计算：﹣12+√3 52+102− √ 3 1 −|− 1 |．
16 4
【变式8-3】计算：﹣22+√36−√3−64−|√5−2|．
【变式8-4】（2022秋•江都区月考）计算：
（1）√(1−2) 2+√3 (−2) 3+ √ 1 7 ； （2）|1−√3|+（﹣2）2−√3．
9
【变式8-5】计算：
（1） ； （2） ．
−12020+√364−(−2)×√9 −12022+√(−2) 2−√327+|2−√3|【变式8-6】（2021•淇滨区校级开学）已知a=|√3−√6|+|1−√3|−|√6−2|，求﹣2a+2的平方根．
