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第25 章 一元二次方程·培优卷
【新教材人教版】
时间：120 分钟
满分：120 分
姓名：___________班级：___________考号：___________
考卷信息：
本卷试题共25 题，单选10 题，填空6 题，解答9 题，满分120 分，限时120 分钟，本卷题型针对性较高，覆盖
面广，选题有深度，可量化学生的掌握程度！
一、选择题（本大题共10 小题，每小题3 分，满分30 分）
1．（25-26 八年级下·浙江台州·期中）下列关于𝑥的方程中，属于一元二次方程的是（ ）
A．2𝑥−5 = 𝑥2
B．𝑥+
1
𝑥= 3
C．𝑥2 +2𝑦= 1
D．3𝑥2−2𝑥= 3𝑥2
2．（25-26 八年级下·江苏苏州·期中）如果关于x 的方程(𝑥−9)2 = 𝑚+ 3可以用直接开平方法求解，那么m
的取值范围是（ ）
A．𝑚> 0
B．𝑚≥0
C．𝑚> −3
D．𝑚≥−3
3．（25-26 九年级下·甘肃陇南·期中）若关于𝑥的一元二次方程𝑥2−𝑘𝑥+ 4 = 0有两个不相等的实数根，则𝑘
的值可以是（ ）
A．−3
B．−2
C．4
D．5
4．（25-26 九年级上·广东湛江·期末）已知𝑥= 2是一元二次方程𝑥2 +𝑚𝑥−6 = 0的一个根，则方程的另一个
根为（ ）
A．𝑥= 3
B．𝑥= −3
C．𝑥= 1
D．𝑥= −1
5．（25-26 九年级上·四川宜宾·期末）用配方法将方程𝑥2−4𝑥−2025 = 0转化为(𝑥+ 𝑚)2 = 𝑛的形式，则𝑚+ 𝑛
的值为（ ）
A．2027
B．−2027
C．2031
D．−2031
6．（25-26 八年级下·浙江嘉兴·期中）已知关于𝑥的方程𝑚(𝑥−𝑏)2 = 𝑛和𝑚(𝑥−1)(𝑥−𝑎) = 0的解相同，则𝑎与
𝑏之间的等量关系为（ ）
A．𝑎+ 2𝑏= −1
B．𝑎−2𝑏= −1
C．𝑎−𝑏= 1
D．𝑎+ 𝑏= 1
7．（25-26 八年级下·浙江金华·期中）受国际油价影响，今年我国汽油价格总体呈上升趋势．我市92＃汽油价格
一月底是7.66元／升，三月底92＃汽油价格调整为8.58元／升．假设我市92＃汽油价格这两个月平均每月的
增长率为𝑥，根据题意列出方程，正确的是（ ）
A．7.66(1 + 𝑥2) = 8.58
B．7.66(1 + 𝑥)2 = 8.58
C．8.58(1 + 𝑥)2 = 7.66
D．7.66(1 + 𝑥) + 7.66(1 + 𝑥)2 = 8.58
8．设𝑥1、𝑥2是关于𝑥的方程𝑥2−3𝑥+ 𝑘= 0的两个根，且𝑥1 = 2𝑥2，则𝑘的值是（ ）
A．2
B．4
C．−2
D．−4
9．（25-26 九年级上·四川绵阳·期末）已知一元二次方程𝑎𝑥2 +𝑏𝑥+ 𝑐= 0有一个根为
1
2024，且𝑏+ 2𝑐= 0，
则方程𝑐𝑥2 +𝑏𝑥+ 𝑎= 0一定有一个根为（ ）
A．−2020
B．−2022
C．−2024
D．−2025
10．（25-26 八年级下·安徽合肥·期中）对于关于𝑥的方程𝑎𝑥2 +𝑏𝑥+ 𝑐= 0，有下列说法：
①若𝑎−𝑏+ 𝑐= 0，则方程𝑎𝑥2 +𝑏𝑥+ 𝑐= 0(𝑎≠0)必有一个根为1；
②当𝑎= 0时，方程𝑎𝑥2 +𝑏𝑥+ 𝑐= 0无实数解；
③若𝑐是方程𝑎𝑥2 +𝑏𝑥+ 𝑐= 0(𝑎≠0)的一个根，则一定有𝑎𝑐+ 𝑏+ 1 = 0成立；
④一元二次方程𝑎𝑥2 +𝑏𝑥+ 𝑐= 0(𝑎≠0)有两个相等的实根𝑥1 = 𝑥2 = 𝑥0，则2𝑎𝑥0 +𝑏= 0；
其中正确的是（ ）
A．①③
B．②④
C．①③④
D．④
二、填空题（本大题共6 小题，每小题3 分，满分18 分）
11．（25-26 八年级下·浙江杭州·期中）将方程(1−𝑥)(𝑥+ 3) = 1化成一般形式是____________
12．（25-26 八年级下·浙江杭州·期中）若𝑥= 1是一元二次方程𝑥2−6𝑥+ 𝑚= 0的根，则𝑚的值为___．
13．（25-26 八年级下·安徽合肥·期中）用配方法解一元二次方程9𝑥2 +𝑏𝑥+ 𝑎= 0得3𝑥−3 =±
6，则𝑎的值
为__________．
14．（25-26 八年级上·上海·期末）已知𝑥、𝑦为实数，且(𝑥2 + 𝑦2)(𝑥2 + 𝑦2 + 1) = 20，则𝑥2 + 𝑦2的值是
___________．
15．（25-26 九年级下·黑龙江·期中）已知等腰三角形𝐴𝐵𝐶中，𝐵𝐶= 8，𝐴𝐵，𝐴𝐶的长是关于𝑥的方程𝑥2
−10𝑥+ 𝑚= 0的两个实数根，则𝑚的值为_____．
16．（25-26 九年级上·广东茂名·期末）若关于𝑥的一元二次方程𝑥2−3𝑥−(𝑚2 + 𝑚) = 0(𝑚> 0)，当
𝑚= 1,2,3,⋯,2025时，相应的一元二次方程的两根分别记为𝛼1,𝛽1;𝛼2,𝛽2;⋯;𝛼2025,𝛽2025，则
1
𝛼1 +
1
𝛽1 +
1
𝛼2 +
1
𝛽2
+⋯
1
𝛼2025 +
1
𝛽2025的值为_____．
三、解答题（本大题共9 小题，满分72 分）
17．（6 分）（24-25 八年级下·浙江杭州·期中）解下列一元二次方程：
(1)𝑥2−4𝑥+ 2 = 0；
(2)(𝑥−3)2−2𝑥(𝑥−3) = 0．
18．（6 分）（25-26 九年级下·江苏盐城·期中）已知关于x 的一元二次方程𝑥2 + (𝑚+ 2)𝑥+ 𝑚+ 1 = 0．
(1)若方程有一实数根为3，求m 的值；
(2)求证：无论m 取何值，方程总有实数根．
19．（6 分）（25-26 八年级下·浙江杭州·期中）已知实数𝑥1,𝑥2满足𝑥1 + 𝑥2 = −3,𝑥1𝑥2 = −4，
(1)求作以𝑥1，𝑥2为根的二次项系数为1 的一元二次方程；
(2)若𝑎2 +𝑎−1 = 0,𝑏2 +𝑏−1 = 0(𝑎≠𝑏)，求𝑎+ 𝑏的值．
20．（8 分）（25-26 八年级下·江苏苏州·期中）坐落于苏州金鸡湖畔的“苏州之眼”摩天轮，是全球八大太空
舱摩天轮之一、也是亚洲最大的水上摩天轮，为纪念其正式运营，某电商平台推出一款“苏州之眼”摩天轮模
型纪念品，引发文旅消费热潮．
(1)据统计，某电商平台2025 年3 月的销售量是3 万件，2025 年5 月的销售量达到4.32 万件．若月平均增
长率相同，求月平均增长率；
(2)苏州观前街某实体店“苏州之眼”摩天轮模型的进价为每件65 元，若售价定为每件75 元，每天可售出20
件，市场调研发现，售价每降低1 元，每天销量可增加5 件，为配合“江南文化节”推广，商家决定降价促销，
同时尽量减少库存．若使每天销售后获利240 元，售价应降低多少元?
21．（8 分）（25-26 八年级下·山东泰安·期中）定义：若关于𝑥的一元二次方程𝑎𝑥2 +𝑏𝑥+ 𝑐= 0（𝑎≠0）
的两个实数根为𝑥1和𝑥2（𝑥1 ≤𝑥2），分别以𝑥1,𝑥2为横、纵坐标得到点𝑃(𝑥1,𝑥2)，则称点𝑃为该一元二次方程
的“两根点”．
(1)求方程𝑥2 = −𝑥的“两根点”𝑃的坐标：
(2)点𝑃是关于𝑥的一元二次方程𝑥2−(5𝑚+ 1)𝑥+ 5𝑚= 0的“两根点”．若点𝑃在直线𝑦= −3𝑥上，求𝑚的值．
22．（9 分）（25-26 九年级上·青海海东·期末）我们已经学习了利用配方法解一元二次方程，其实配方法还
有其他重要应用，例如：试求二次三项式𝑥2 +4𝑥+ 5最小值．
解：𝑥2 +4𝑥+ 5 = 𝑥2 +4𝑥+ 4 + 1 = (𝑥+ 2)2 +1，
∵(𝑥+ 2)2 ≥0,(𝑥+ 2)2 +1 ≥1，
∴𝑥2 +4𝑥+ 5 ≥1，即𝑥2 +4𝑥+ 5的最小值是1．
试利用“配方法”解决下列问题：
(1)已知代数式−2𝑥2 +4𝑥−5，求它的最大值；
(2)知识迁移：如图，在Rt △𝐴𝐵𝐶中，∠𝐶= 90°,𝐴𝐶= 8cm,𝐵𝐶= 6cm，点𝑃在𝐴𝐶边上以2cm/s的速度从点𝐴向
点𝐶移动，点𝑄在𝐶𝐵边上以1cm/s的速度从点𝐶向点𝐵移动.若点P，Q 同时出发，且当一点移动到终点时，另
一点也随之停止，设四边形𝐴𝑃𝑄𝐵的面积为𝑆cm2，运动时间为𝑡秒，求𝑆的最小值．
23．（9 分）（25-26 九年级上·广东珠海·期中）解题时，最容易想到的方法未必是最简单的，你可以再想一
想，尽量优化解法．
例题呈现
关于x 的方程𝑎(𝑥+ 𝑚)2 +𝑏= 0的解是𝑥1 = 1，𝑥2 = −2（𝑎、𝑚、𝑏均为常数，𝑎≠0），则方程𝑎(𝑥+ 𝑚+ 2)2
+𝑏= 0的解是？
解法探讨
（1）小明的思路如下所示：
小明的思路
第1 步把1、−2代入到第1 个方程中求出m 的值；
第2 步把m 的值代入到第1 个方程中求出−
𝑏
𝑎；
第3 步用直接开平方法解第2 个方程．
（2）小红仔细观察两个方程，她把第2 个方程𝑎(𝑥+ 𝑚+ 2)2 +𝑏= 0中的“𝑥+ 2”看作第1 个方程中的“x”，
则“𝑥+ 2”的值是______，从而更简单地解决了问题．
（3）小亮的思路则是用二次函数与一元二次方程的联系，从函数图象平移的角度迅速求得了该方程的解是
______；
策略运用
（4）小明、小红和小亮认真思考后发现，利用方程结构的特点，无需计算“根的判别式”就能轻松解决以下
问题，请用他们的方法完成解答．
已知方程(𝑎2−2𝑏2)𝑥2 +(2𝑏2−2𝑐2)𝑥+ 2𝑐2−𝑎2 = 0有两个相等的实
数根，其中a、b、c 是△𝐴𝐵𝐶三边的长，判断△𝐴𝐵𝐶的形状．
24．（10 分）（25-26 九年级上·四川广元·期末）我国古代数学家赵爽（公元3~4 世纪）在其所著的《勾股
圆方图注》中记载过一元二次方程的几何解法，用“拼”的方法完成了配方，例如：𝑥2 +2𝑥−24 = 0，可以变
形为𝑥(𝑥+ 2) = 24，用四个长为𝑥+ 2、宽为x、面积为24 的矩形，拼成如图所示的大正方形，利用大正方
形的面积等于四个矩形的面积加中间小正方形的面积可以得到(𝑥+ 𝑥+ 2)2 = 4 × 24 + 22．
【模仿实践】（1）用“拼”的方法解方程𝑥2 +5𝑥−14 = 0，先变形为________，每个小长方形的长为
________，宽为________，小正方形的面积为________；
【深入探究】（2）用“拼”的方法解方程2𝑥2 +5𝑥= 3，写出解题过程．
25．（10 分）（25-26 八年级下·浙江·期中）我们把根均为整数的一元二次方程称为“全整根方程”．对于“全
整根方程”𝑎𝑥2 +𝑏𝑥+ 𝑐= 0(𝑎≠0)，设其两根为𝑥1、𝑥2(𝑥1 ≥𝑥2)，定义有序数对𝑀(𝑠,𝑝)为该方程的特征数对
（其中𝑠= |𝑥1 + 𝑥2|，𝑝= |𝑥1𝑥2|）．若两个“全整根方程”的特征数对分别为𝑀1(𝑠1,𝑝1)，𝑀2(𝑠2,𝑝2)，𝑠1 + 𝑠2
= |𝑝1−𝑝2|，则称这两个方程互为“关联全整根方程”．
举例说明：方程①：𝑥2−9𝑥+ 20 = 0（𝑥1 = 4，𝑥2 = 5），特征数对𝑀1(9,20)；
方程②：𝑥2 +6𝑥+ 5 = 0（𝑥1 = −1，𝑥2 = −5），特征数对𝑀2(6,5)；
验证：因为9 + 6 = |20−5|，因此这两个方程是互为“关联全整根方程”．
解答下列问题：
(1)【概念辨析与计算】已知关于x 的方程𝑥2−(𝑘+ 2)𝑥+ 2𝑘= 0（k 为整数）是“全整根方程”．
①则该方程的两根分别为 ， ；
②若其特征数对为𝑀(3,2)，求k 的值．
(2)【关联探究与推理】若方程𝑥2 +𝑎𝑥+ 𝑏= 0和𝑥2 +𝑝𝑥+ 𝑞= 0都是全整根方程，且它们的两根分别为𝛼，𝛽
和𝛼+ 1，𝛽+ 1．请用含a，b 的代数式表示p，q．
(3)【𝐴𝐼验证与拓展】某同学利用𝐴𝐼工具生成了“全整根方程”A：𝑥2 +𝑚𝑥+ 𝑛= 0（𝑚> 0，0 < 𝑛< 25）与“全
整根方程”B：𝑥2 +10𝑥+ 25 = 0，且它们互为“关联全整根方程”，求n 的最大值．
