第25 章 一元二次方程·培优卷
【新教材人教版】
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共10 小题，每小题3 分，满分30 分）
1．（25-26 八年级下·浙江台州·期中）下列关于𝑥的方程中，属于一元二次方程的是（ ）
A．2𝑥−5 = 𝑥2
B．𝑥+
1
𝑥= 3
C．𝑥2 +2𝑦= 1
D．3𝑥2−2𝑥= 3𝑥2
【答案】A
【分析】本题根据一元二次方程的定义判断，一元二次方程必须满足三个条件：是整式方程，只含有一个
未知数，未知数的最高次数为2，依次判断各选项即可．
【详解】选项A 中，原方程整理得𝑥2−2𝑥+ 5 = 0 ，满足一元二次方程的全部条件，故A 符合要求；
选项B 中，原方程是分式方程，不是整式方程，故B 不符合要求；
选项C 中，原方程含有𝑥,𝑦两个未知数，故C 不符合要求；
选项D 中，原方程整理得−2𝑥= 0，未知数最高次数为1，是一元一次方程，故D 不符合要求．
故选：A．
2．（25-26 八年级下·江苏苏州·期中）如果关于x 的方程(𝑥−9)2 = 𝑚+ 3可以用直接开平方法求解，那么m
的取值范围是（ ）
A．𝑚> 0
B．𝑚≥0
C．𝑚> −3
D．𝑚≥−3
【答案】D
【分析】根据直接开平方法解一元二次方程的要求，等式右边必须为非负数，据此列不等式求解即可得到𝑚
的取值范围．
【详解】解：∵任意实数的平方为非负数
∴(𝑥−9)2 ≥0
∵方程(𝑥−9)2 = 𝑚+ 3可以用直接开平方法求解
∴等式右边需满足非负，即𝑚+ 3 ≥0
解得𝑚≥−3．
3．（25-26 九年级下·甘肃陇南·期中）若关于𝑥的一元二次方程𝑥2−𝑘𝑥+ 4 = 0有两个不相等的实数根，则𝑘
的值可以是（ ）
A．−3
B．−2
C．4
D．5
【答案】D
【分析】因为关于𝑥的一元二次方程𝑥2−𝑘𝑥+ 4 = 0有两个不相等的实数根，所以𝛥= (−𝑘)2−4 × 1 × 4 > 0，
根据不等式即可求出𝑘的值，再根据取值范围确定𝑘的值．
【详解】解：∵关于𝑥的一元二次方程𝑥2−𝑘𝑥+ 4 = 0有两个不相等的实数根，
∴Δ = (−𝑘)2−4 × 1 × 4 = 𝑘2−16 > 0，
即𝑘2 > 16，
当𝑘= −3时，𝑘2 = 9 < 16，故A 选项不符合题意；
当𝑘= −2时，𝑘2 = 4 < 16，故B 选项不符合题意；
当𝑘= 4时，𝑘2 = 16，不满足𝑘2 > 16，故C 选项不符合题意；
当𝑘= 5时，𝑘2 = 25 > 16，满足条件，故D 选项符合题意．
4．（25-26 九年级上·广东湛江·期末）已知𝑥= 2是一元二次方程𝑥2 +𝑚𝑥−6 = 0的一个根，则方程的另一个
根为（ ）
A．𝑥= 3
B．𝑥= −3
C．𝑥= 1
D．𝑥= −1
【答案】B
【分析】题目主要考查一元二次方程的根及因式分解法解一元二次方程，将已知根代入方程求出m 的值，
再解一元二次方程得到另一个根即可，熟练掌握求解方法是解题关键．
【详解】解：∵𝑥= 2是方程𝑥2 +𝑚𝑥−6 = 0的根，
∴将𝑥= 2代入方程得22 +2𝑚−6 = 0，
即4 + 2𝑚−6 = 0，
解得𝑚= 1，
则原方程为𝑥2 +𝑥−6 = 0，
因式分解得(𝑥+ 3)(𝑥−2) = 0，
∴𝑥= −3或𝑥= 2，
故方程的另一个根为𝑥= −3．
故选：B．
5．（25-26 九年级上·四川宜宾·期末）用配方法将方程𝑥2−4𝑥−2025 = 0转化为(𝑥+ 𝑚)2 = 𝑛的形式，则𝑚+ 𝑛
的值为（ ）
A．2027
B．−2027
C．2031
D．−2031
【答案】A
【分析】本题考查配方法解一元二次方程，需熟练掌握配方法步骤，通过配方得到(𝑥+ 𝑚)2 = 𝑛的形式，求
出𝑚、𝑛的值后计算𝑚+ 𝑛．
【详解】解：∵𝑥2−4𝑥−2025 = 0，
∴𝑥2−4𝑥= 2025，
∴𝑥2−4𝑥+ 4 = 2025 + 4，
∴(𝑥−2)2 = 2029，
与(𝑥+ 𝑚)2 = 𝑛对比，得𝑚= −2，𝑛= 2029，
∴𝑚+ 𝑛= −2 + 2029 = 2027．
故选：A．
6．（25-26 八年级下·浙江嘉兴·期中）已知关于𝑥的方程𝑚(𝑥−𝑏)2 = 𝑛和𝑚(𝑥−1)(𝑥−𝑎) = 0的解相同，则𝑎与
𝑏之间的等量关系为（ ）
A．𝑎+ 2𝑏= −1
B．𝑎−2𝑏= −1
C．𝑎−𝑏= 1
D．𝑎+ 𝑏= 1
【答案】B
【分析】将两个方程进行展开，再根据两个方程的解相同进行比较求解即可．
【详解】解：由题意得，𝑚(𝑥−1)(𝑥−𝑎) = 0
𝑚(𝑥2−𝑎𝑥−𝑥+ 𝑎) = 0
𝑚𝑥2−𝑚(𝑎+ 1)𝑥+ 𝑚𝑎= 0；
𝑚(𝑥−𝑏)2 = 𝑛
𝑚(𝑥2−2𝑏𝑥+ 𝑏2)−𝑛= 0
𝑚𝑥2−2𝑚𝑏𝑥+ 𝑚𝑏2−𝑛= 0，
∵关于𝑥的方程𝑚(𝑥−𝑏)2 = 𝑛和𝑚(𝑥−1)(𝑥−𝑎) = 0的解相同，
∴𝑎+ 1 = 2𝑏，𝑚𝑏2−𝑛= 𝑚𝑎，
∴𝑎−2𝑏= −1．
7．（25-26 八年级下·浙江金华·期中）受国际油价影响，今年我国汽油价格总体呈上升趋势．我市92＃汽油价格
一月底是7.66元／升，三月底92＃汽油价格调整为8.58元／升．假设我市92＃汽油价格这两个月平均每月的
增长率为𝑥，根据题意列出方程，正确的是（ ）
A．7.66(1 + 𝑥2) = 8.58
B．7.66(1 + 𝑥)2 = 8.58
C．8.58(1 + 𝑥)2 = 7.66
D．7.66(1 + 𝑥) + 7.66(1 + 𝑥)2 = 8.58
【答案】B
【分析】本题考查平均增长率问题，从一月底到三月底共经过两次增长，以一月底价格为基础，根据平均
增长率的关系列方程即可得到结果．
【详解】解：设平均每月的增长率为𝑥
∵一月底价格为7.66元/升
∴二月底价格为 7.66(1 + 𝑥) 元/升
∴三月底价格为7.66(1 + 𝑥)2
又∵三月底价格为8.58元/升
∴可得方程 7.66(1 + 𝑥)2 = 8.58
8．设𝑥1、𝑥2是关于𝑥的方程𝑥2−3𝑥+ 𝑘= 0的两个根，且𝑥1 = 2𝑥2，则𝑘的值是（ ）
A．2
B．4
C．−2
D．−4
【答案】A
【分析】利用一元二次方程根与系数的关系，先根据两根之和结合𝑥1 = 2𝑥2求出两个根，再通过两根之积计
算𝑘的值，即可选出正确选项．
【详解】解：∵𝑥1、𝑥2是方程𝑥2−3𝑥+ 𝑘= 0的两个根，
∴根据一元二次方程根与系数的关系可得 𝑥1 + 𝑥2 = 3，𝑥1 ⋅𝑥2 = 𝑘，
又∵𝑥1 = 2𝑥2，
∴2𝑥2 + 𝑥2 = 3，
解得𝑥2 = 1，
∴𝑥1 = 2 × 1 = 2，
∴𝑘= 𝑥1 ⋅𝑥2 = 2 × 1 = 2．
9．（25-26 九年级上·四川绵阳·期末）已知一元二次方程𝑎𝑥2 +𝑏𝑥+ 𝑐= 0有一个根为
1
2024，且𝑏+ 2𝑐= 0，
则方程𝑐𝑥2 +𝑏𝑥+ 𝑎= 0一定有一个根为（ ）
A．−2020
B．−2022
C．−2024
D．−2025
【答案】B
【分析】本题考查了一元二次方程的解和根与系数的关系，
由已知根𝑥=
1
2024代入方程变形可以得出𝑥= 2024是方程𝑐𝑥2 +𝑏𝑥+ 𝑎= 0的一个根，由此得出结合条件
𝑏+ 2𝑐= 0，再根据新方程两根之和为−
𝑏
𝑐= −
−2𝑐
𝑐= 2，由此求出新方程的另一根为−2022，
【详解】解：∵ 方程 𝑎𝑥2 +𝑏𝑥+ 𝑐= 0 有一个根为
1
2024，
∴ 𝑎
1
2024
2
+𝑏
1
2024 +𝑐= 0，
两边同乘 20242 得： 𝑎+ 𝑏⋅2024 + 𝑐⋅20242 = 0，
即 𝑐⋅20242 +𝑏⋅2024 + 𝑎= 0．
∴𝑥= 2024是方程𝑐𝑥2 +𝑏𝑥+ 𝑎= 0的一个根，
设方程𝑐𝑥2 +𝑏𝑥+ 𝑎= 0的另一个根为𝑚，则：2024 + 𝑚= −
𝑏
𝑐，
又∵ 𝑏+ 2𝑐= 0，
∴ 𝑏= −2𝑐，
∴2024 + 𝑚= −
𝑏
𝑐= −
−2𝑐
𝑐，
∴2024 + 𝑚= 2．
∴𝑚= −2022，
∴方程𝑐𝑥2 +𝑏𝑥+ 𝑎= 0的两根为2024和−2022，
故选B．
10．（25-26 八年级下·安徽合肥·期中）对于关于𝑥的方程𝑎𝑥2 +𝑏𝑥+ 𝑐= 0，有下列说法：
①若𝑎−𝑏+ 𝑐= 0，则方程𝑎𝑥2 +𝑏𝑥+ 𝑐= 0(𝑎≠0)必有一个根为1；
②当𝑎= 0时，方程𝑎𝑥2 +𝑏𝑥+ 𝑐= 0无实数解；
③若𝑐是方程𝑎𝑥2 +𝑏𝑥+ 𝑐= 0(𝑎≠0)的一个根，则一定有𝑎𝑐+ 𝑏+ 1 = 0成立；
④一元二次方程𝑎𝑥2 +𝑏𝑥+ 𝑐= 0(𝑎≠0)有两个相等的实根𝑥1 = 𝑥2 = 𝑥0，则2𝑎𝑥0 +𝑏= 0；
其中正确的是（ ）
A．①③
B．②④
C．①③④
D．④
【答案】D
【详解】解：对于①：将𝑥= 1代入𝑎𝑥2 +𝑏𝑥+ 𝑐= 0得𝑎+ 𝑏+ 𝑐= 0，若𝑎−𝑏+ 𝑐= 0，则𝑥= −1满足方程，
即方程的根为−1，不是1，故①错误；
对于②：当𝑎= 0时，方程变为𝑏𝑥+ 𝑐= 0，若𝑏≠0，方程有实数解𝑥= −
𝑐
𝑏，故②错误；
对于③：∵𝑐是方程𝑎𝑥2 +𝑏𝑥+ 𝑐= 0(𝑎≠0)的一个根，代入得𝑎𝑐2 +𝑏𝑐+ 𝑐= 0，整理得𝑐(𝑎𝑐+ 𝑏+ 1) = 0，
∴𝑐= 0或𝑎𝑐+ 𝑏+ 1 = 0，不是一定有𝑎𝑐+ 𝑏+ 1 = 0，故③错误；
对于④：∵一元二次方程𝑎𝑥2 +𝑏𝑥+ 𝑐= 0(𝑎≠0)有两个相等的实根𝑥1 = 𝑥2 = 𝑥0，
∴𝑎𝑥2
0 +𝑏𝑥0 +𝑐= 0，且判别式Δ = 𝑏2−4𝑎𝑐= 0，即4𝑎𝑐= 𝑏2，
对𝑎𝑥2
0 +𝑏𝑥0 +𝑐= 0两边同乘4𝑎得4𝑎2𝑥2
0 +4𝑎𝑏𝑥0 +4𝑎𝑐= 0，代入4𝑎𝑐= 𝑏2得：
(2𝑎𝑥0 + 𝑏)2 = 0，
∴2𝑎𝑥0 +𝑏= 0，故④正确；
综上只有④正确．
二、填空题（本大题共6 小题，每小题3 分，满分18 分）
11．（25-26 八年级下·浙江杭州·期中）将方程(1−𝑥)(𝑥+ 3) = 1化成一般形式是____________
【答案】𝑥2 +2𝑥−2 = 0
【分析】一元二次方程的一般式为𝑎𝑥2 +𝑏𝑥+ 𝑐= 0(𝑎≠0)，其中𝑎是二次项系数，𝑏是一次项系数，𝑐是常
数项，根据多项式与多项式的乘法法则先去括号，然后移项，合并同类项计算即可．
【详解】解：∵(1−𝑥)(𝑥+ 3) = 1，
∴𝑥−𝑥2 +3−3𝑥= 1，
∴𝑥−𝑥2 +3−3𝑥−1 = 0，
∴−𝑥2−2𝑥+ 2 = 0，即𝑥2 +2𝑥−2 = 0．
12．（25-26 八年级下·浙江杭州·期中）若𝑥= 1是一元二次方程𝑥2−6𝑥+ 𝑚= 0的根，则𝑚的值为___．
【答案】5
【详解】解：将𝑥= 1代入方程𝑥2−6𝑥+ 𝑚= 0，
得12−6 × 1 + 𝑚= 0，即1−6 + 𝑚= 0，
解得𝑚= 5．
13．（25-26 八年级下·安徽合肥·期中）用配方法解一元二次方程9𝑥2 +𝑏𝑥+ 𝑎= 0得3𝑥−3 =±
6，则𝑎的值
为__________．
【答案】3
【分析】根据配方法得到的结果还原出一元二次方程的一般形式为9𝑥2−18𝑥+ 3 = 0，再通过对比系数求出
𝑎的值．
【详解】解：用配方法解得3𝑥−3 =±
6，
两边平方得(3𝑥−3)2 = 6，
展开左边得9𝑥2−18𝑥+ 9 = 6，
整理得9𝑥2−18𝑥+ 3 = 0，
原方程为9𝑥2 +𝑏𝑥+ 𝑎= 0
对比系数，可得𝑎= 3．
14．（25-26 八年级上·上海·期末）已知𝑥、𝑦为实数，且(𝑥2 + 𝑦2)(𝑥2 + 𝑦2 + 1) = 20，则𝑥2 + 𝑦2的值是
___________．
【答案】4
【分析】本题考查了换元法，解一元二次方程，注意解的取值范围是解题关键．
设𝑡= 𝑥2 + 𝑦2，则原方程化为𝑡(𝑡+ 1) = 20，解二次方程并根据𝑡≥0确定值．
【详解】解：设𝑡= 𝑥2 + 𝑦2，则𝑡≥0，
原方程化为𝑡(𝑡+ 1) = 20，
即𝑡2 +𝑡−20 = 0，
Δ = 12−4 × 1 × (−20) = 81，
∴𝑡=
−1± 81
2
=
−1±9
2 ，
解得𝑡= 4或𝑡= −5，
由于𝑡≥0，故𝑡= 4，
即𝑥2 + 𝑦2 = 4．
故答案为：4．
15．（25-26 九年级下·黑龙江·期中）已知等腰三角形𝐴𝐵𝐶中，𝐵𝐶= 8，𝐴𝐵，𝐴𝐶的长是关于𝑥的方程𝑥2
−10𝑥+ 𝑚= 0的两个实数根，则𝑚的值为_____．
【答案】25或16
【分析】应分两种情况进行讨论，分别利用根与系数的关系、三角形三边关系定理求得方程的两个根，进
而求得答案．
【详解】解：∵关于x 的方程𝑥2−10𝑥+ 𝑚= 0，
∴𝑎= 1，𝑏= −10，𝑐= 𝑚，
∴𝑥1 + 𝑥2 = −
𝑏
𝑎= 10，𝑥1𝑥2 =
𝑐
𝑎= 𝑚，
∵△𝐴𝐵𝐶是等腰三角形，𝐴𝐵、𝐴𝐶的长是关于x 的方程𝑥2−10𝑥+ 𝑚= 0的两根，
∴①当𝐵𝐶= 8为底时，则𝐴𝐵、𝐴𝐶均为等腰三角形的腰，有𝐴𝐵+ 𝐴𝐶= 𝑥1 + 𝑥2 = 10且𝐴𝐵= 𝐴𝐶，
∴𝐴𝐵= 𝐴𝐶= 5，此时等腰三角形的三边分别为5、5、8，根据三角形三边关系定理可知可以构成三角形，则
𝑚= 𝑥1𝑥2 = 𝐴𝐵⋅𝐴𝐶= 25；
②当𝐵𝐶= 8为腰时，则𝐴𝐵、𝐴𝐶中一个为腰一个为底，有𝑥1 + 𝑥2 = 8 + 𝑥2 = 10，即𝑥2 = 2，此时等腰三角
形的三边分别为2、8、8，根据三角形三边关系定理可知可以构成三角形，则𝑚= 𝑥1𝑥2 = 𝐴𝐵⋅𝐴𝐶= 16．
∴综上所述，𝑚的值为25或16．
16．（25-26 九年级上·广东茂名·期末）若关于𝑥的一元二次方程𝑥2−3𝑥−(𝑚2 + 𝑚) = 0(𝑚> 0)，当
𝑚= 1,2,3,⋯,2025时，相应的一元二次方程的两根分别记为𝛼1,𝛽1;𝛼2,𝛽2;⋯;𝛼2025,𝛽2025，则
1
𝛼1 +
1
𝛽1 +
1
𝛼2 +
1
𝛽2
+⋯
1
𝛼2025 +
1
𝛽2025的值为_____．
【答案】−
6075
2026
【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系：若𝑥1，𝑥2是一元二次方程𝑎𝑥2 +𝑏𝑥+ 𝑐= 0(𝑎≠0)的两
根时，𝑥1 + 𝑥2 = −
𝑏
𝑎，𝑥1𝑥2 =
𝑐
𝑎．
利用根与系数的关系得到𝛼1 + 𝛽1 = 3，𝛼1𝛽1 = −1 × 2；𝛼2 + 𝛽2 = 3，𝛼2𝛽2 = −2 × 3；…𝛼2025 + 𝛽2025
= 3，𝛼2025𝛽2025 = −2025 × 2026；把原式变形，再代入，即可求出答案．
【详解】解：∵𝑥2−3𝑥−(𝑚2 + 𝑚) = 0，𝑚= 1,2,3,⋯,2025，
∴由根与系数的关系得：𝛼1 + 𝛽1 = −
−3
1 = 3，𝛼1𝛽1 =
−(12+1)
1
= −(12 + 1) = −1 × 2；
𝛼2 + 𝛽2 = −
−3
1 = 3，𝛼2𝛽2 =
−(22+2)
1
= −(22 + 2) = −2 × 3；
…
𝛼2025 + 𝛽2025 = −
−3
1 = 3，𝛼2025𝛽2025 =
−(20252+2025)
1
= −(20252 + 2025) = −2025 × 2026；
∴原式=
𝛼1+𝛽1
𝛼1𝛽1 +
𝛼2+𝛽2
𝛼2𝛽2 + ....
𝛼2025+𝛽2025
𝛼2025𝛽2025
=
3
−1 × 2 +
3
−2 × 3 + ....
3
−2025 × 2026
= −3 ×
1
1 × 2 +
1
2 × 3 + ....
1
2025 × 2026
= −3 × 1−
1
2 +
1
2 −
1
3 + ....
1
2025 −
1
2026
= −3 × 1−
1
2026
= −3 × 2025
2026
= −
6075
2026．
故答案为：−
6075
2026．
三、解答题（本大题共9 小题，满分72 分）
17．（6 分）（24-25 八年级下·浙江杭州·期中）解下列一元二次方程：
(1)𝑥2−4𝑥+ 2 = 0；
(2)(𝑥−3)2−2𝑥(𝑥−3) = 0．
【答案】(1)
𝑥1 = 2 +
2，𝑥2 = 2−2
(2)
𝑥1 = 3，𝑥2 = −3
【分析】（1）用配方法，需将常数项移到等号右侧，再在等式两边加上一次项系数一半的平方，据此解方
程即可．
（2）用因式分解法求解，提取公因式后将方程转化为两个一次方程的乘积等于0 的形式，再分别求解一次
方程即可．
【详解】（1）移项，得𝑥2−4𝑥= −2，
配方，得𝑥2−4𝑥+ 4 = 2，即 (𝑥−2)2 = 2，
开平方，得𝑥−2 =±
2，
∴𝑥1 = 2 +
2，𝑥2 = 2−2；
（2）提取公因式(𝑥−3)，得(𝑥−3)[(𝑥−3)−2𝑥] = 0，
化简，得(𝑥−3)(−𝑥−3) = 0，即 (𝑥−3)(𝑥+ 3) = 0，
∴𝑥−3 = 0 或 𝑥+ 3 = 0，
∴𝑥1 = 3，𝑥2 = −3．
18．（6 分）（25-26 九年级下·江苏盐城·期中）已知关于x 的一元二次方程𝑥2 + (𝑚+ 2)𝑥+ 𝑚+ 1 = 0．
(1)若方程有一实数根为3，求m 的值；
(2)求证：无论m 取何值，方程总有实数根．
【答案】(1)𝑚= −4
(2)见解析
【分析】（1）直接把𝑥= 3代入到原方程中得到关于𝑚的方程，解方程即可得到答案；
（2）根据一元二次方程根的判别式进行求解即可．
【详解】（1）解：∵方程有一实数根为3，
∴32 +3(𝑚+ 2) +𝑚+ 1 = 0，
解得𝑚= −4；
（2）证明：∵关于x 的一元二次方程𝑥2 + (𝑚+ 2)𝑥+ 𝑚+ 1 = 0
∴Δ = 𝑏2−4𝑎𝑐= (𝑚+ 2)2−4 × 1 × (𝑚+ 1)
= 𝑚2 + 4𝑚+ 4−4𝑚−4
= 𝑚2 ≥0，
∴无论𝑚取何值，方程总有实数根．
19．（6 分）（25-26 八年级下·浙江杭州·期中）已知实数𝑥1,𝑥2满足𝑥1 + 𝑥2 = −3,𝑥1𝑥2 = −4，
(1)求作以𝑥1，𝑥2为根的二次项系数为1 的一元二次方程；
(2)若𝑎2 +𝑎−1 = 0,𝑏2 +𝑏−1 = 0(𝑎≠𝑏)，求𝑎+ 𝑏的值．
【答案】(1)一元二次方程为𝑥2 +3𝑥−4 = 0
(2)𝑎+ 𝑏= −1
【分析】（1）根据题目要求及已知条件设一元二次方程为𝑥2 +𝑝𝑥+ 𝑞= 0，然后，根据一元二次方程中根
与系数的关系，找到关于𝑝,𝑞的方程，解出𝑝,𝑞的值代入原方程即可；
（2）根据所给等式得出𝑎和𝑏是一元二次方程𝑥2 +𝑥−1 = 0的两个实数根， 再根据一元二次方程中根与系数
的关系，得出𝑎+ 𝑏的值即可．
【详解】（1）解：设一元二次方程为𝑥2 +𝑝𝑥+ 𝑞= 0．
∵𝑥1 + 𝑥2 = −3,𝑥1𝑥2 = −4，
∴𝑥1 + 𝑥2 = −
𝑝
1 = −3,𝑥1𝑥2 =
𝑞
1 = −4，
∴𝑝= 3, 𝑞= −4，
∴一元二次方程为𝑥2 +3𝑥−4 = 0；
（2）解：由题意，得𝑎和𝑏是一元二次方程𝑥2 +𝑥−1 = 0的两个实数根，
∴𝑎+ 𝑏= −
1
1 = −1．
∴𝑎+ 𝑏的值为−1．
20．（8 分）（25-26 八年级下·江苏苏州·期中）坐落于苏州金鸡湖畔的“苏州之眼”摩天轮，是全球八大太空
舱摩天轮之一、也是亚洲最大的水上摩天轮，为纪念其正式运营，某电商平台推出一款“苏州之眼”摩天轮模
型纪念品，引发文旅消费热潮．
(1)据统计，某电商平台2025 年3 月的销售量是3 万件，2025 年5 月的销售量达到4.32 万件．若月平均增
长率相同，求月平均增长率；
(2)苏州观前街某实体店“苏州之眼”摩天轮模型的进价为每件65 元，若售价定为每件75 元，每天可售出20
件，市场调研发现，售价每降低1 元，每天销量可增加5 件，为配合“江南文化节”推广，商家决定降价促销，
同时尽量减少库存．若使每天销售后获利240 元，售价应降低多少元?
【答案】(1)月平均增长率为20%；
(2)售价应降低4 元．
【分析】（1）设出未知数，利用“初始销量×(1+月平均增长率)²=最终销量”列一元二次方程，舍去不符合题
意的负根，即可得到结果．
（2）设出降价金额，分别表示出每件商品的利润和降价后的销量，利用“总利润=每件利润×销量”列一元二
次方程，结合“尽量减少库存”的要求，选择符合题意的解即可．
【详解】（1）解：设月平均增长率为x，
根据题意得，3 × (1 + 𝑥)2 = 4.32
解得：𝑥1 = 0.2 = 20%，𝑥2 = −2.2（舍去）
答：月均增长率为20%．
（2）解：设售价应降低x 元，则每件盈利为(75−𝑥−65)元，即(10−𝑥)元，销量为：(20 + 5𝑥)件，
由题意得，(10−𝑥)(20 + 5𝑥) = 240，
解得，𝑥1 = 2,𝑥2 = 4，
∵尽量减少库存，
∴ 𝑥= 4，即售价应降低4 元．
答：若使每天销售后获利240 元，售价应降低4 元．
21．（8 分）（25-26 八年级下·山东泰安·期中）定义：若关于𝑥的一元二次方程𝑎𝑥2 +𝑏𝑥+ 𝑐= 0（𝑎≠0）
的两个实数根为𝑥1和𝑥2（𝑥1 ≤𝑥2），分别以𝑥1,𝑥2为横、纵坐标得到点𝑃(𝑥1,𝑥2)，则称点𝑃为该一元二次方程
的“两根点”．
(1)求方程𝑥2 = −𝑥的“两根点”𝑃的坐标：
(2)点𝑃是关于𝑥的一元二次方程𝑥2−(5𝑚+ 1)𝑥+ 5𝑚= 0的“两根点”．若点𝑃在直线𝑦= −3𝑥上，求𝑚的值．
【答案】(1)(−1,0)
(2)𝑚= −
1
15
【分析】（1）求出方程的解，根据方程的解写出“两根点”𝑃的坐标；
（2）求出方程的解为𝑥1 = 5𝑚，𝑥2 = 1，分5𝑚< 1和5𝑚> 1两种情况求𝑚的值．
【详解】（1）解：𝑥2 = −𝑥，
解得：𝑥1 = −1，𝑥2 = 0，
∵−1 < 0，
∴方程𝑥2 = −𝑥的“两根点”𝑃的坐标为(−1,0)；
（2）解：𝑥2−(5𝑚+ 1)𝑥+ 5𝑚= 0，
分解因式可得：(𝑥−5𝑚)(𝑥−1) = 0，
解得方程的两根分别为：5𝑚和1，
当5𝑚≤1时，即𝑚≤
1
5，
“两根点”𝑃的坐标为(5𝑚,1)，
∵点𝑃在直线𝑦= −3𝑥上，
∴−3 × 5𝑚= 1，
解得：𝑚= −
1
15；
当1 ≤5𝑚时，即𝑚≥
1
5，
“两根点”𝑃的坐标为(1,5𝑚)，
∵点𝑃在直线𝑦= −3𝑥上，
∴−3 × 1 = 5𝑚，
解得：𝑚= −
3
5（不符合题意，舍去）；
∴𝑚= −
1
15．
22．（9 分）（25-26 九年级上·青海海东·期末）我们已经学习了利用配方法解一元二次方程，其实配方法还
有其他重要应用，例如：试求二次三项式𝑥2 +4𝑥+ 5最小值．
解：𝑥2 +4𝑥+ 5 = 𝑥2 +4𝑥+ 4 + 1 = (𝑥+ 2)2 +1，
∵(𝑥+ 2)2 ≥0,(𝑥+ 2)2 +1 ≥1，
∴𝑥2 +4𝑥+ 5 ≥1，即𝑥2 +4𝑥+ 5的最小值是1．
试利用“配方法”解决下列问题：
(1)已知代数式−2𝑥2 +4𝑥−5，求它的最大值；
(2)知识迁移：如图，在Rt △𝐴𝐵𝐶中，∠𝐶= 90°,𝐴𝐶= 8cm,𝐵𝐶= 6cm，点𝑃在𝐴𝐶边上以2cm/s的速度从点𝐴向
点𝐶移动，点𝑄在𝐶𝐵边上以1cm/s的速度从点𝐶向点𝐵移动.若点P，Q 同时出发，且当一点移动到终点时，另
一点也随之停止，设四边形𝐴𝑃𝑄𝐵的面积为𝑆cm2，运动时间为𝑡秒，求𝑆的最小值．
【答案】(1)−3；
(2)20．
【分析】本题考查根据配方法求最值，熟练掌握配方的方法是解题的关键；
（1）将−2𝑥2 +4𝑥−5配方得−2(𝑥−1)2−3，根据−2(𝑥−1)2 ≤0，求解即可；
（2）根据题意求出t 的取值范围，由𝑆= 𝑆△𝐴𝐵𝐶−𝑆△𝑃𝐶𝑄列方程，用配方法求最值即可．
【详解】（1）解：−2𝑥2 +4𝑥−5 = −2(𝑥2−2𝑥+ 1−1)−5 = −2(𝑥−1)2−3，
∵−2(𝑥−1)2 ≤0,
∴−2(𝑥−1)2−3 ≤−3,
∴−2𝑥2 +4𝑥−5的最大值为−3；
（2）解：∵𝐴𝐶= 8cm,𝐵𝐶= 6cm，点𝑃在AC 边上以2cm/s的速度从点𝐴向点𝐶移动，点𝑄在𝐶𝐵边上以1cm/s
的速度从点𝐶向点𝐵移动
∴点𝑃从𝐴点运动到𝐶点所需时间为8 ÷ 2 = 4s，
点𝑄从𝐶点运动到𝐵点所需时间为6 ÷ 1 = 6s，
∴0 ≤𝑡≤4,
𝑆= 𝑆△𝐴𝐵𝐶−𝑆△𝑃𝐶𝑄= 1
2 × 𝐴𝐶× 𝐵𝐶−1
2 × 𝑃𝐶× 𝑄𝐶,
𝑆= 1
2 × 8 × 6−1
2 (8−2𝑡)𝑡,
𝑆= 𝑡2−4𝑡+ 24 = (𝑡−2)2 + 20 ≥20,
∴𝑆的最小值为20．
23．（9 分）（25-26 九年级上·广东珠海·期中）解题时，最容易想到的方法未必是最简单的，你可以再想一
想，尽量优化解法．
例题呈现
关于x 的方程𝑎(𝑥+ 𝑚)2 +𝑏= 0的解是𝑥1 = 1，𝑥2 = −2（𝑎、𝑚、𝑏均为常数，𝑎≠0），则方程𝑎(𝑥+ 𝑚+ 2)2
+𝑏= 0的解是？
解法探讨
（1）小明的思路如下所示：
小明的思路
第1 步把1、−2代入到第1 个方程中求出m 的值；
第2 步把m 的值代入到第1 个方程中求出−
𝑏
𝑎；
第3 步用直接开平方法解第2 个方程．
（2）小红仔细观察两个方程，她把第2 个方程𝑎(𝑥+ 𝑚+ 2)2 +𝑏= 0中的“𝑥+ 2”看作第1 个方程中的“x”，
则“𝑥+ 2”的值是______，从而更简单地解决了问题．
（3）小亮的思路则是用二次函数与一元二次方程的联系，从函数图象平移的角度迅速求得了该方程的解是
______；
策略运用
（4）小明、小红和小亮认真思考后发现，利用方程结构的特点，无需计算“根的判别式”就能轻松解决以下
问题，请用他们的方法完成解答．
已知方程(𝑎2−2𝑏2)𝑥2 +(2𝑏2−2𝑐2)𝑥+ 2𝑐2−𝑎2 = 0有两个相等的实
数根，其中a、b、c 是△𝐴𝐵𝐶三边的长，判断△𝐴𝐵𝐶的形状．
【答案】（1）见解析；（2）1或−2；（3）𝑥1 = −1,𝑥2 = −4；（4）△𝐴𝐵𝐶是直角三角形．
【分析】此题考查了用特殊方法解一元二次方程．
（1）根据题意利用待定系数法求解即可；
（2）把后面一个方程中的𝑥+ 2看作整体，相当于前面一个方程中的𝑥求解；
（3）根据二次函数的平移规律作答即可；
（4）先根据方程有两个相等的实数根，求得方程的根，再根据根与系数的关系列出方程，找到𝑎、𝑏、𝑐的
关系，从而判断三角形的形状．
【详解】（1）解：将𝑥1 = 1，𝑥2 = −2代入到方程𝑎(𝑥+ 𝑚)2 +𝑏= 0中，
得
𝑎(𝑚+ 1)2 + 𝑏= 0
𝑎(𝑚−2)2 + 𝑏= 0
，
∴𝑚+ 1 =± (𝑚−2)，
解得𝑚=
1
2
∴𝑎
1
2 + 1
2
+𝑏= 0．
∴−
𝑏
𝑎=
9
4
第2个方程可变形为𝑎(𝑥+
1
2 + 2)
2
+𝑏= 0，
即𝑥+
5
2
2
=
9
4，
解得：𝑥1 = −1,𝑥2 = −4；
（2）解：∵关于𝑥的方程𝑎(𝑥+ 𝑚)2 +𝑏= 0的解是𝑥1 = 1，𝑥2 = −2，
∴把第2个方程𝑎(𝑥+ 𝑚+ 2)2 +𝑏= 0中的“𝑥+ 2”看作第1个方程中的“𝑥”，则“𝑥+ 2”的值为1或−2，
故答案为：1或−2；
（3）解：函数𝑦= 𝑎(𝑥+ 𝑚)² + 𝑏的图象与x 轴交于点(1,0)和(−2,0)，
函数𝑦= 𝑎(𝑥+ 𝑚+ 2)2 +𝑏的图象相当于将上述图象向左平移2 个单位，
∴与x 轴交于点(−1,0)和(−4,0)，
∴方程的解为𝑥1 = −1,𝑥2 = −4；
故答案为：𝑥1 = −1,𝑥2 = −4；
（4）解：∵当𝑥= 1时，(𝑎2−2𝑏2)𝑥2 +(2𝑏2−2𝑐2)𝑥+ 2𝑐2−𝑎2 = 0成立，
∴方程(𝑎2−2𝑏2)𝑥2 +(2𝑏2−2𝑐2)𝑥+ 2𝑐2−𝑎2 = 0必有一根是𝑥= 1
∴方程(𝑎2−2𝑏2)𝑥2 +(2𝑏2−2𝑐2)𝑥+ 2𝑐2−𝑎2 = 0的两根为𝑥1 = 𝑥2 = 1．
∴𝑥1 ⋅𝑥2 = 1 =
2𝑐2−𝑎2
𝑎2−2𝑏2．
∴𝑎2 = 𝑏2 + 𝑐2．
∴△𝐴𝐵𝐶是一个直角三角形
24．（10 分）（25-26 九年级上·四川广元·期末）我国古代数学家赵爽（公元3~4 世纪）在其所著的《勾股
圆方图注》中记载过一元二次方程的几何解法，用“拼”的方法完成了配方，例如：𝑥2 +2𝑥−24 = 0，可以变
形为𝑥(𝑥+ 2) = 24，用四个长为𝑥+ 2、宽为x、面积为24 的矩形，拼成如图所示的大正方形，利用大正方
形的面积等于四个矩形的面积加中间小正方形的面积可以得到(𝑥+ 𝑥+ 2)2 = 4 × 24 + 22．
【模仿实践】（1）用“拼”的方法解方程𝑥2 +5𝑥−14 = 0，先变形为________，每个小长方形的长为
________，宽为________，小正方形的面积为________；
【深入探究】（2）用“拼”的方法解方程2𝑥2 +5𝑥= 3，写出解题过程．
【答案】（1）𝑥(𝑥+ 5) = 14；𝑥+ 5；𝑥；25；（2）见解析
【分析】本题主要考查一元二次方程的运用，解一元二次方程，图形面积的计算方法，理解图示面积，材
料提示的计算方法，解一元二次方程的方法是解题的关键．
（1）仿照用“拼”的方法，根据面积关系列方程求解即可；
（2）先变形为2𝑥(2𝑥+ 5) = 6，再用“拼”的方法，根据面积关系列方程求解即可．
【详解】（1）解：仿照方法2 配方解𝑥2 +5𝑥−14 = 0，先变形为𝑥(𝑥+ 5) = 14，如图2，
每个小长方形的长为𝑥+ 5，宽为𝑥，小正方形的面积为52 = 25，
利用图形的面积关系得配方后的方程为(𝑥+ 𝑥+ 5)2 = 4 × 14 + 52，即(2𝑥+ 5)2 = 81，
解为𝑥1 = 2,𝑥2 = −7，
故答案为：𝑥(𝑥+ 5) = 14，𝑥+ 5，𝑥，25；
（2）解：先变形为2𝑥(2𝑥+ 5) = 6，如图，
每个小长方形的长为2𝑥+ 5，宽为2𝑥，
利用图形的面积关系得配方后的方程为(2𝑥+ 2𝑥+ 5)2 = 4 × 6 + 52，即(4𝑥+ 5)2 = 49，
∴4𝑥+ 5 =± 7；
解为𝑥1 = −3,𝑥2 =
1
2．
25．（10 分）（25-26 八年级下·浙江·期中）我们把根均为整数的一元二次方程称为“全整根方程”．对于“全
整根方程”𝑎𝑥2 +𝑏𝑥+ 𝑐= 0(𝑎≠0)，设其两根为𝑥1、𝑥2(𝑥1 ≥𝑥2)，定义有序数对𝑀(𝑠,𝑝)为该方程的特征数对
（其中𝑠= |𝑥1 + 𝑥2|，𝑝= |𝑥1𝑥2|）．若两个“全整根方程”的特征数对分别为𝑀1(𝑠1,𝑝1)，𝑀2(𝑠2,𝑝2)，𝑠1 + 𝑠2
= |𝑝1−𝑝2|，则称这两个方程互为“关联全整根方程”．
举例说明：方程①：𝑥2−9𝑥+ 20 = 0（𝑥1 = 4，𝑥2 = 5），特征数对𝑀1(9,20)；
方程②：𝑥2 +6𝑥+ 5 = 0（𝑥1 = −1，𝑥2 = −5），特征数对𝑀2(6,5)；
验证：因为9 + 6 = |20−5|，因此这两个方程是互为“关联全整根方程”．
解答下列问题：
(1)【概念辨析与计算】已知关于x 的方程𝑥2−(𝑘+ 2)𝑥+ 2𝑘= 0（k 为整数）是“全整根方程”．
①则该方程的两根分别为 ， ；
②若其特征数对为𝑀(3,2)，求k 的值．
(2)【关联探究与推理】若方程𝑥2 +𝑎𝑥+ 𝑏= 0和𝑥2 +𝑝𝑥+ 𝑞= 0都是全整根方程，且它们的两根分别为𝛼，𝛽
和𝛼+ 1，𝛽+ 1．请用含a，b 的代数式表示p，q．
(3)【𝐴𝐼验证与拓展】某同学利用𝐴𝐼工具生成了“全整根方程”A：𝑥2 +𝑚𝑥+ 𝑛= 0（𝑚> 0，0 < 𝑛< 25）与“全
整根方程”B：𝑥2 +10𝑥+ 25 = 0，且它们互为“关联全整根方程”，求n 的最大值．
【答案】(1)①𝑘，2；②1
(2)𝑝= 𝑎−2；𝑞= 𝑏−𝑎+ 1
(3)𝑛max = 9
【分析】（1）①解方程𝑥2−(𝑘+ 2)𝑥+ 2𝑘= 0，得𝑥= 2或𝑥= 𝑘，因此两根为2和𝑘；
②根据方程𝑥2−(𝑘+ 2)𝑥+ 2𝑘= 0的特征数对为𝑀(3,2)，得出𝑠= |𝑥1 + 𝑥2| = 3 ，𝑝= |𝑥1𝑥2| = 2， 根据韦
达定理得出𝑥1 + 𝑥2 = 𝑘+ 2，𝑥1𝑥2 = 2𝑘，则|𝑘+ 2|= 3
∣2𝑘∣= 2
，求解即可．
（2）根据方程𝑥2 +𝑎𝑥+ 𝑏= 0的根为𝛼,𝛽，由韦达定理得𝛼+ 𝛽= −𝑎，𝛼𝛽= 𝑏，根据方程𝑥2 +𝑝𝑥+ 𝑞= 0的
根为𝛼+ 1,𝛽+ 1，由韦达定理得：(𝛼+ 1) + (𝛽+ 1) = −𝑝，即(𝛼+ 𝛽) +2 = −𝑝，代入𝛼+ 𝛽= −𝑎得
−𝑎+ 2 = −𝑝，整理得𝑝= 𝑎−2．两根积：(𝛼+ 1)(𝛽+ 1) = 𝑞，得𝑞= 𝑏−𝑎+ 1．
（3）解方程𝑥2 +10𝑥+ 25 = 0，得出𝑥= −5，得出方程B 的特征数对𝑠2 = 10，𝑝2 = 25．对方程A：𝑥2
+𝑚𝑥+ 𝑛= 0，由韦达定理得𝑥1 + 𝑥2 = −𝑚，𝑥1𝑥2 = 𝑛，则𝑠1 = 𝑚，𝑝1 = 𝑛，根据“关联全整根方程”定义得
出𝑚+ 10 = |𝑛−25|，结合0 < 𝑛< 25，得𝑚= 15−𝑛，求出0 < 𝑛< 15，根据方程A 是“全整根方程”，得出
Δ = 𝑚2−4𝑛= (𝑛−17)2−64是非负完全平方数，即可解答．
【详解】（1）解：①𝑥2−(𝑘+ 2)𝑥+ 2𝑘= 0，
∴(𝑥−2)(𝑥−𝑘) = 0，
解得：𝑥= 2或𝑥= 𝑘，
因此两根为2和𝑘；
②∵其特征数对为𝑀(3,2)，
∴𝑠= |𝑥1 + 𝑥2| = 3 ，𝑝= |𝑥1𝑥2| = 2，
∵𝑥1 + 𝑥2 = 𝑘+ 2，𝑥1𝑥2 = 2𝑘，
∴|𝑘+ 2|= 3
∣2𝑘∣= 2
，
由第二个方程得𝑘=± 1，
代入第一个方程验证：𝑘= 1时，∣1 + 2∣= 3，符合要求；
𝑘= −1时，∣−1 + 2∣= 1 ≠3舍去，因此𝑘= 1．
（2）解：∵方程𝑥2 +𝑎𝑥+ 𝑏= 0的根为𝛼,𝛽，
由韦达定理得𝛼+ 𝛽= −𝑎，𝛼𝛽= 𝑏，
∵方程𝑥2 +𝑝𝑥+ 𝑞= 0的根为𝛼+ 1,𝛽+ 1，
由韦达定理得：(𝛼+ 1) + (𝛽+ 1) = −𝑝，即(𝛼+ 𝛽) +2 = −𝑝，
代入𝛼+ 𝛽= −𝑎得−𝑎+ 2 = −𝑝，
整理得𝑝= 𝑎−2．
两根积：(𝛼+ 1)(𝛽+ 1) = 𝑞，展开得𝛼𝛽+ (𝛼+ 𝛽) +1 = 𝑞，
代入𝛼𝛽= 𝑏，𝛼+ 𝛽= −𝑎得𝑏−𝑎+ 1 = 𝑞，
因此𝑞= 𝑏−𝑎+ 1．
（3）解：𝑥2 +10𝑥+ 25 = 0，
∴(𝑥+ 5)2 = 0，解得：𝑥= −5，
∴方程B 的特征数对：𝑠2 = |(−5)+(−5)| = 10，𝑝2 = |(−5)×(−5)| = 25．
对方程A：𝑥2 +𝑚𝑥+ 𝑛= 0，
由韦达定理得𝑥1 + 𝑥2 = −𝑚，𝑥1𝑥2 = 𝑛，
∴𝑠1 = |𝑥1 + 𝑥2| = 𝑚（𝑚> 0），𝑝1 = |𝑥1𝑥2| = 𝑛，
∵“全整根方程”A：𝑥2 +𝑚𝑥+ 𝑛= 0（𝑚> 0，0 < 𝑛< 25）与“全整根方程”B：𝑥2 +10𝑥+ 25 = 0，且它们互
为“关联全整根方程”，
∴𝑚+ 10 = |𝑛−25|，
∵0 < 𝑛< 25，
∴𝑚= 15−𝑛，
∵𝑚> 0，
∴15−𝑛> 0，
∴𝑛< 15，
∴0 < 𝑛< 15，
∵方程A：𝑥2 +𝑚𝑥+ 𝑛= 0是“全整根方程”，
∴Δ = 𝑚2−4𝑛= (15−𝑛)2−4𝑛= 𝑛2−34𝑛+ 225 = (𝑛−17)2−64是非负完全平方数，
∴𝑛= 9时，Δ = 0，符合，此时𝑚= 6；
𝑛= 7时，Δ = 36 = 62，符合，此时𝑚= 8；
其余n 均不满足Δ为非负完全平方数，因此𝑛的最大值为9．
