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第25 章 一元二次方程（举一反三讲义）全章题型归纳
【新教材人教版】
【夯实基础】...............................................................................................................................................................1
【题型1 定义与一般形式辨析】..........................................................................................................................1
【题型2 直接开平方法求解】..............................................................................................................................2
【题型3 配方法步骤演练】..................................................................................................................................2
【题型4 公式法求根运算】..................................................................................................................................3
【题型5 因式分解法应用】..................................................................................................................................4
【题型6 根的判别式的应用】..............................................................................................................................4
【题型7 根与系数的关系】..................................................................................................................................5
【题型8 根据实际问题列方程】..........................................................................................................................5
【进阶拔高】...............................................................................................................................................................6
【题型9 含参方程根的讨论】..............................................................................................................................6
【题型10 整数根与有理根问题】..........................................................................................................................7
【题型11 根据方程根的情况求解】......................................................................................................................7
【题型12 方程与几何图形结合（动点）】..........................................................................................................8
【题型13 分式方程转化为整式方程】..................................................................................................................9
【题型14 双根号方程的求解】............................................................................................................................10
【题型15 根的代数式化简求值】........................................................................................................................10
【创新思辨】.............................................................................................................................................................11
【题型16 高次方程降次与换元】........................................................................................................................11
【题型17 构造一元二次方程求解】....................................................................................................................11
【题型18 含绝对值的一元二次方程】................................................................................................................12
【题型19 函数与一元二次方程综合】................................................................................................................12
【题型20 存在性与探索性问题】........................................................................................................................13
【夯实基础】
【题型1 定义与一般形式辨析】
【例1】（25-26 八年级下·山东东营·月考）将一元二次方程𝑥2 = 4(𝑥−1) +2化成一般形式后，一次项系数为
____．
【变式1-1】（25-26 九年级上·辽宁鞍山·月考）若关于x 的方程 2𝑥𝑚−2 +3𝑥+ 5 = 0是一元二次方程，则m
的值为____________．
【变式1-2】（24-25 八年级下·浙江宁波·期中）关于𝑥的方程𝑎(𝑥+ 𝑚+ 2)2 +𝑏= 0的解是𝑥1 = −3，𝑥2 = 6
题型归纳
（𝑎，𝑚，𝑏均为常数，𝑎≠0），则方程𝑎(𝑥+ 𝑚)2 +𝑏= 0的解是________．
【变式1-3】（25-26 八年级下·安徽合肥·期中）对于关于𝑥的方程𝑎𝑥2 +𝑏𝑥+ 𝑐= 0，有下列说法：
①若𝑎−𝑏+ 𝑐= 0，则方程𝑎𝑥2 +𝑏𝑥+ 𝑐= 0(𝑎≠0)必有一个根为1；
②当𝑎= 0时，方程𝑎𝑥2 +𝑏𝑥+ 𝑐= 0无实数解；
③若𝑐是方程𝑎𝑥2 +𝑏𝑥+ 𝑐= 0(𝑎≠0)的一个根，则一定有𝑎𝑐+ 𝑏+ 1 = 0成立；
④一元二次方程𝑎𝑥2 +𝑏𝑥+ 𝑐= 0(𝑎≠0)有两个相等的实根𝑥1 = 𝑥2 = 𝑥0，则2𝑎𝑥0 +𝑏= 0；
其中正确的是（ ）
A．①③
B．②④
C．①③④
D．④
【题型2 直接开平方法求解】
【例2】（25-26 八年级下·安徽亳州·月考）已知方程(𝑥+ 1)2 = 9的两个根为𝑥1，𝑥2，且𝑥1 > 𝑥2，则
𝑥1
𝑥2 =
________．
【变式2-1】（25-26 八年级下·江苏苏州·期中）如果关于x 的方程(𝑥−9)2 = 𝑚+ 3可以用直接开平方法求解，
那么m 的取值范围是（ ）
A．𝑚> 0
B．𝑚≥0
C．𝑚> −3
D．𝑚≥−3
【变式2-2】（25-26 九年级上·广西钦州·期末）下列一元二次方程中，没有实数根的是（ ）
A．𝑥2 = 0
B．𝑥2−1 = 0
C．𝑥2 +1 = 0
D．𝑥2 +2𝑥+ 1 = 0
【变式2-3】（2026·黑龙江哈尔滨·一模）对任意有理数𝑎、𝑏，定义关于“ ⊕”的一种运算如下：
𝑎⊕𝑏= 2𝑎−𝑏2，例如：5 ⊕2 = 2 × 5−22 = 6，(−3) ⊕4 = 2 × (−3)−42 = −22．若(−13) ⊕𝑥= −126，
则|𝑥|的值为______．
【题型3 配方法步骤演练】
【例3】（25-26 八年级下·安徽阜阳·期中）用配方法解方程𝑥2 +8𝑥+ 3 = 0时，若将方程变形为(𝑥+ 𝑝)2
= 𝑞，则𝑞−𝑝= ____．
【变式3-1】（2026·上海静安·二模）当a 是任意有理数时，下列代数式的值一定为正数的是（ ）
A．𝑎2
B．𝑎2 +𝑎
C．𝑎2 +𝑎+
1
5
D．𝑎2 +𝑎+ 1
【变式3-2】（25-26 九年级上·山东济宁·阶段检测）古希腊数学家丢番图在《算术》中就提到了一元二次方
程的问题，不过当时古希腊人还没有寻求到它的求根公式，只能用图解等方法来求解．在欧几里得的《几
何原本》中，形如𝑥2 +𝑎𝑥= 𝑏2（𝑎> 0，𝑏> 0）的方程的图解法是：如图，以
𝑎
2和b 为两直角边作Rt
△𝐴𝐵𝐶，再在斜边上截取𝐵𝐷=
𝑎
2，则该方程的一个正实数根等于线段_______的长．
【变式3-3】（25-26 八年级下·浙江·期中）我国古代数学家刘徽在《九章算术注》中，运用“出入相补（以
盈补虚）”原理，即通过图形割补求解一元二次方程𝑥2 +6𝑥= 27，如图1：在边长为x 的正方形的四条边向
外作边长为x 和
3
2的长方形，再把它补充成一个边长为𝑥+ 3的大正方形，得到大正方形的面积为(𝑥+ 3)2 =
𝑥2 +6𝑥+ 9 = 27 + 9 = 36（因为𝑥2 +6𝑥= 27）．所以大正方形的边长为𝑥+ 3 = 6，得到𝑥= 3．聪明的小
明也用图形割补法解关于x 的方程𝑥2 +𝑎𝑥−𝑏= 0时，构造了类似的图形，如图2，已知大正方形𝐴𝐵𝐶𝐷面积
为64，小正方形𝐸𝐹𝐺𝐷面积为25，则𝑥2 +𝑎𝑥−𝑏= 0中的𝑎= _______；𝑏= _______．
【题型4 公式法求根运算】
【例4】（25-26 八年级下·安徽合肥·期中）一元二次方程
1
2𝑥2−3 7𝑥+ 19 = 0的较小的实数根应在（ ）
A．1 和2 之间
B．2 和3 之间
C．3 和4 之间
D．4 和5 之间
【变式4-1】（25-26 八年级下·安徽淮南·月考）下列一元二次方程的根可以根据𝑥=
−3± 32−4×2×1
2×2
计算得出
的是（ ）
A．2𝑥2 +3𝑥+ 1 = 0
B．2𝑥2 +3𝑥−1 = 0
C．3𝑥2 +𝑥−2 = 0
D．−2𝑥2−𝑥+ 3 = 0
【变式4-2】（25-26 八年级上·福建福州·期末）解方程：𝑥2 +2𝑥−4 = 0（公式法）
【变式4-3】（25-26 八年级下·安徽淮南·月考）定义新运算：对于两个不相等的实数𝑎、𝑏，我们规定符号
max{𝑎,𝑏}表示𝑎、𝑏中的较大值，如：max{1,3} = 3，max{−1,−3} = −1．
（1）max 2 3,3 2 = ______；
（2）若max{𝑥,−𝑥} =
𝑥2−2𝑥−1
2
，则𝑥的值是______．
【题型5 因式分解法应用】
【例5】（25-26 八年级下·山东东营·期中）三角形两边长分别为3 和6，第三边长是方程𝑥2−6𝑥+ 8 = 0的
解，则这个三角形的周长是（ ）
A．15
B．13
C．11 或8
D．11 和13
【变式5-1】（25-26 八年级下·山东威海·期中）已知关于𝑥的一元二次方程(𝑚−2)𝑥2 +𝑥+ 𝑚2 +𝑚−6 = 0的
一个根为0，则𝑚的值为____．
【变式5-2】（25-26 八年级下·浙江·期中）对于任意实数a，b，c 有(𝑎,𝑏) ∗𝑐= 𝑎𝑏−𝑐，其中等式右边是通常
的乘法和减法运算．例如，(1,2)*3 = 1 × 2−3 = −1．
(1)求关于x 的一元二次方程(𝑥,𝑥−1) ∗2 = 0的解；
(2)若关于x 的一元二次方程(𝑥,𝑘𝑥) ∗(𝑥2 + 2𝑥−1) = 0无实数根，求k 的取值范围．
【变式5-3】（25-26 八年级下·山东青岛·期中）定义：若两个一元二次方程有且只有一个相同的实数根,我们
就称这两个方程为“牵手方程”,例如方程𝑥2 = 4和𝑥2−2𝑥= 0有且仅有一个相同的实数根𝑥= 2,所以这两个方
程为“牵手方程”．若方程𝑥2 +2𝑥−3 = 0和(𝑥−3)(𝑥+ 𝑚) = 0为“牵手方程”,则m 的值为__________．
【题型6 根的判别式的应用】
【例6】（2026·河北·二模）下列一元二次方程，没有实数根的是（ ）
A．3𝑥2−5𝑥= 0
B．2𝑥2−4𝑥+ 7 = 0
C．5𝑥2 +5𝑥−1 = 0
D．3𝑥2 = 9𝑥−2
【变式6-1】（2026·河南新乡·一模）若𝑥= −1是方程𝑥2−3𝑥+ 𝑚= 0的一个根，则此方程的根的情况是
（ ）
A．有两个不相等的实数根
B．有两个相等的实数根
C．有一个实数根
D．𝑚< 0时，没有实数根
【变式6-2】（2026·山东青岛·一模）已知关于𝑥的一元二次方程𝑥2 + (𝑚+ 𝑛)𝑥+ 𝑚𝑛= 0，其中𝑚、𝑛在数轴
上的对应点如图所示，则这个方程的根的情况是_______．
【变式6-3】（25-26 八年级下·安徽合肥·期中）已知关于𝑥的一元二次方程𝑥2−𝑥+ 𝑚= 0有两个实数根𝑎和𝑏．
(1)求实数𝑚的取值范围．
(2)若𝑎= 2𝑏，求𝑚的值．
(3)若3(𝑎2 + 𝑏)2 +12(𝑎2 + 𝑏)−63 = 0 ，求𝑚的值．
【题型7 根与系数的关系】
【例7】（25-26 八年级下·浙江杭州·期中）已知关于𝑥的一元二次方程𝑥2 +2(𝑘−1)𝑥+ 𝑘2 = 0的两个不相等
的实数根𝑥1，𝑥2，且
1
𝑥1 +
1
𝑥2 = 4，则𝑘的值为______．
【变式7-1】（2026·天津和平·二模）若𝑥1，𝑥2是方程𝑥2−20𝑥−25 = 0的两个根，则（ ）
A．𝑥1 + 𝑥2 = 20
B．𝑥1 + 𝑥2 = 10
C．𝑥1𝑥2 = −
25
2
D．𝑥1𝑥2 = 25
【变式7-2】（25-26 八年级下·浙江杭州·期中）若m，n 是方程𝑥2 +2𝑥−2026 = 0的两个实数根，则代数式
𝑚2 +3𝑚+ 𝑛的值为（ ）
A．−2
B．2024
C．2026
D．2028
【变式7-3】（25-26 八年级下·江苏苏州·期中）对于关于x 的代数式𝑎𝑥2 +𝑏𝑥+ 𝑐（a，b，c 是常数，且
𝑎≠0），若存在实数m，使得当𝑥= 𝑚时，代数式的值也等于m，则称m 为这个代数式的“不动值”．例如：
对于关于x 的代数式𝑥2，当𝑥= 0时，代数式的值等于0；当𝑥= 1时，代数式的值等于1，我们就称0 和1
都是这个代数式的“不动值”．
(1)下列x 的取值：①𝑥= −1，②𝑥= 0，③𝑥= 1，④𝑥= 2；其中是关于x 的代数式𝑥2−2的“不动值”是______
（填序号）；
(2)判断关于x 的代数式3𝑥2−𝑥+ 1是否存在“不动值”，若存在，请求出代数式的“不动值”；若不存在，请说
明理由；
(3)若关于x 的代数式𝑥2−3𝑥+ 𝑐有两个“不动值”，且一个“不动值”是另一个“不动值”的3 倍，求c 的值．
【题型8 根据实际问题列方程】
【例8】（25-26 九年级下·重庆开州·期中）随着环保意识的增强和技术的进步，电动汽车逐渐成为消费者的
新宠，某品牌电动车今年1 月份的销量为2000 辆，由于国补政策的连月升温，3 月份的销量比1 月份增加
了1000 辆．设每个月销量的平均增长率为x，则下列方程正确的是（ ）
A．2000(1−𝑥)2 = 1000
B．2000(1 + 𝑥)2 = 1000
C．2000(1 + 𝑥)2 = 2000 + 1000
D．2000(1 + 2𝑥) = 2000 + 1000
【变式8-1】（2026·重庆秀山·一模）我国南宋数学家杨辉在《田亩比类乘除捷法》中记录了这样的一个问
题：“直田积八百六十四步，只云长阔共六十步，问长多阔几何？”其大意是：矩形面积是864 平方步，其中
长与宽和为60 步，问长比宽多多少步？若设长比宽多𝑥步，则可列方程为__________．
【变式8-2】（25-26 八年级下·安徽合肥·月考）2025 年11 月，世界首座千米级双层斜拉一悬索协作体系公
铁大桥——安徽铜陵长江三桥正式通车．铜陵长江三桥是《长江干线过江通道布局规划（2020—2035 年）》
中规划的过江通道之一，是安徽省重大基础设施建设项目，如图，某摄影爱好者拍摄一张长为12cm、宽为8cm
的大桥全景照，现要在照片四周镶一条等宽的边，制成一幅面积为192cm2的挂图．设照片四周所镶边的宽
为𝑥cm，则所列方程正确的是（ ）
A．(8 + 𝑥)(12 + 𝑥) = 192
B．(8−𝑥)(12−𝑥) = 192
C．(8 + 2𝑥)(12 + 2𝑥) = 192
D．(8−2𝑥)(12−2𝑥) = 192
【变式8-3】（2026·山西晋城·一模）某家电商铺售卖符合1 级能效标准的节能台灯，每盏台灯的进价为40
元，当售价定为每盏50 元时，每天可售出500 盏台灯．经市场调研发现，该台灯每盏售价每上涨1 元，每
天的销售量就会减少10 盏．若设此款台灯每盏上涨x 元（x 为正整数），且该商铺每天销售该台灯的总利
润为8000 元，则下列所列方程正确的是（ ）
A．(50 + 𝑥)(500−10𝑥) = 8000
B．(50 + 𝑥−40)(500−10𝑥) = 8000
C．(50 + 𝑥−40)(500−𝑥) = 8000
D．(50 + 𝑥−40)(500 + 10𝑥) = 8000
【进阶拔高】
【题型9 含参方程根的讨论】
【例9】（25-26 八年级下·广西崇左·期中）定义：若一元二次方程𝑎𝑥2 +𝑏𝑥+ 𝑐= 0(𝑎≠0)满足𝑏= 𝑎+ 𝑐，
则称该方程为“和谐方程”．
(1)下列方程属于“和谐方程”的是 ；（填序号）
①3𝑥2 +4𝑥+ 1 = 0；②𝑥2−2𝑥−1 = 0；③2𝑥2 +2𝑥= 0
(2)求证：和谐方程总有实数根；
(3)已知一元二次方程𝑎𝑥2 +𝑏𝑥+ 𝑐= 0(𝑎≠0)为和谐方程，若该方程有两个相等的实数根，求a，c 的数量
关系．
【变式9-1】（25-26 八年级下·浙江金华·月考）已知关于𝑥的一元二次方程𝑥2−𝑚𝑥+
1
4𝑚2−1 = 0的两个实数
根分别是一个直角三角形的两条边的长度，第三条边为10时，则𝑚的值为___________．
【变式9-2】（25-26 八年级上·浙江宁波·期末）已知𝑎，𝑏是关于𝑥的一元二次方程𝑥2−2𝑡𝑥+ 𝑡2−2𝑡+ 4 = 0
的两个实数根，则(𝑎+ 4)(𝑏+ 4)的最小值是( )
A．11
B．20
C．28
D．36
【变式9-3】（2026·四川乐山·一模）关于𝑥的方程𝑎𝑥2−4|𝑥| +2 = 0 有4个不同的实数根，则𝑎的取值范围是
（ ）
A．𝑎< 2
B．𝑎> 2
C．1 ≤𝑎≤2
D．0 < 𝑎< 2
【题型10 整数根与有理根问题】
【例10】（25-26 八年级下·浙江宁波·期中）设m 满足不等式𝑚≤40，且关于x 的一元二次方程(𝑥−2)2 +
(𝑎−𝑚)2 = 2𝑚𝑥+ 𝑎2−2𝑎𝑚有两个整数根，则符合条件的整数m 的个数为______．
【变式10-1】设m 是整数,关于x 的方程mx2-（m-1）x+1=0 有有理根，则方程的根为（
）．
A．𝑥1 =
1
2,𝑥2 =
1
3
B．x=-1
C．x1=−1,𝑥2 =
1
2,𝑥3 =
1
3
D．有无数个根
【变式10-2】已知关于𝑥的方程𝑚𝑥2−(𝑚−1)𝑥+ 2 = 0有实数根．
(1)若方程的两根之和为整数，求𝑚的值；
(2)若方程的根为有理根，求整数𝑚的值．
【变式10-3】（25-26 九年级上·江苏盐城·月考）已知关于𝑥的方程(𝑚−1)𝑥2−2𝑚𝑥+ 𝑚+ 1 = 0．
(1)求证：无论常数𝑚取何值，方程总有实数根；
(2)当整数𝑚取何值时，方程有两个整数根？
【题型11 根据方程根的情况求解】
【例11】（25-26 九年级上·陕西咸阳·阶段检测）新定义：关于𝑥的一元二次方程𝑎𝑥2 +𝑏𝑥+ 𝑐= 0(𝑎≠0)如
果有两个不相等的实数根，且其中一个根为另一个根的2 倍，则称这样的一元二次方程为“倍根方程”．如方
程𝑥2−6𝑥+ 8 = 0是“倍根方程”．若关于𝑥的一元二次方程(𝑥−2)(𝑎𝑥−𝑏) = 0(𝑎≠0)是“倍根方程”．则代数式
2𝑎−𝑏
𝑎+𝑏的值为（ ）
A．
1
2或
2
5
B．−
1
2或−
2
5
C．
1
2或−
2
5
D．−
1
2或
2
5
【变式11-1】如果关于𝑥的一元二次方程𝑎𝑥2 +𝑏𝑥+ 𝑐= 0(𝑎≠0)有两个实数根，且其中一个根比另一个根
大1，那么称这样的方程为“邻根方程”．例如，一元二次方程𝑥2 +𝑥= 0的两个根是𝑥1 = 0，𝑥2 = −1，则方
程𝑥2 +𝑥= 0是“邻根方程”．若关于𝑥的方程𝑎𝑥2 +𝑏𝑥+ 1 = 0(𝑎> 0)是“邻根方程”，令𝑡= 10𝑎−𝑏2，则𝑡的最
大值是______．
【变式11-2】（25-26 八年级下·安徽合肥·期中）定义：若关于𝑥的一元二次方程𝑎𝑥2 +𝑏𝑥+ 𝑐= 0(𝑎≠0)中
的常数项是该方程的一个根，则该一元二次方程就叫作常数根一元二次方程．
(1)已知关于𝑥的方程𝑥2 +3𝑥+ 𝑐= 0是常数根一元二次方程，求𝑐的值；
(2)如果关于𝑥的方程𝑥2 +5𝑚𝑥+ 𝑚+ 1 = 0是常数根一元二次方程，求𝑚的值；
(3)若关于𝑥的常数根一元二次方程𝑎𝑥2 +𝑏𝑥+ 𝑐= 0(𝑎≠0)中不含零根，求证：关于𝑦的方程𝑎𝑐𝑦2 +𝑏𝑦+ 1 = 0
是常数根一元二次方程．
【变式11-3】（25-26 九年级上·江苏无锡·期中）定义：已知𝑥1，𝑥2是关于x 的一元二次方程𝑎𝑥2 +𝑏𝑥+ 𝑐= 0
(𝑎≠0)的两个实数根，若𝑥1 < 𝑥2 < 0，且3 <
𝑥1
𝑥2 < 4，则称这个方程为“特根方程”．现有以下三个结论：
①方程𝑥2 +9𝑥+ 14 = 0是“特根方程”；
②若关于x 的一元二次方程2𝑥2 + (𝑘+ 7)𝑥+ 𝑘2 +3 = 0是“特根方程”，且方程的两根𝑥1、𝑥2满足𝑥1 + 𝑥2 +
𝑥1𝑥2 = −1，则k 的值为2 或−1；
③若关于x 的一元二次方程𝑥2 + (2−𝑚)𝑥−2𝑚= 0是“特根方程”，则m 有且只有一个整数解．
这三个结论中判断正确的是（ ）
A．①
B．①②
C．①③
D．①②③
【题型12 方程与几何图形结合（动点）】
【例12】（25-26 八年级上·海南三亚·期末）如图，在△𝐴𝐵𝐶中，∠𝐵= 90°，𝐴𝐵= 16cm，𝐵𝐶= 12cm，
𝐴𝐶= 20cm，𝑃、𝑄是△𝐴𝐵𝐶边上的两个动点，其中点𝑃从点𝐴开始沿𝐴→𝐵的方向运动，且速度为1cm/s，点𝑄
从点𝐵开始沿𝐵→𝐶→𝐴的方向运动，且速度为2cm/s，𝑃，𝑄两点同时出发，当𝑃运动到点B时，两点停止运动，
设运动的时间为𝑡秒．
(1)𝐵𝑃= ________cm（用含𝑡的代数式表示）；
(2)点𝑄在边𝐵𝐶上运动时．当△𝑃𝑄𝐵是等腰三角形时，求出此时𝑡的值．
(3)点𝑄在边𝐶𝐴上运动时，当△𝐵𝐶𝑄是以𝐵𝐶或𝐵𝑄为底边的等腰三角形时，求出此时𝑡的值．
(4)点𝑄在运动过程中，通过计算说明𝑃𝑄能否把△𝐴𝐵𝐶的周长平分？
【变式12-1】（24-25 八年级下·广西百色·期中）如图，在Rt △𝐴𝐵𝐶中，∠𝐵𝐴𝐶= 30°，𝐵𝐶= 5cm，点E 从A
点出发，沿射线𝐴𝐵运动，速度为2cm/s，点F 从点C 出发，沿线段𝐶𝐴运动，速度为1cm/s，连接𝐸𝐹．E、F
两点同时出发，当点F 到达点A 时，点E 也停止运动，请问经过________s 后，△𝐴𝐸𝐹的面积恰为12cm2．
【变式12-2】（2026·湖南长沙·一模）如图1，将Rt △𝐸𝐹𝐺 与正方形𝐴𝐵𝐶𝐷按如图所示的方式摆放，边 𝐹𝐺
在直线𝐵𝐶上，∠𝐸𝐺𝐹= 90°，𝐸𝐺= 𝐹𝐺= 10cm， 𝐴𝐵= 16cm，Rt △𝐸𝐹𝐺以2cm/s的速度沿着𝐵𝐶方向运动，
初始时点𝐺与点𝐵重合，当点𝐹与点𝐶 重合时停止运动，在运动过程中，当Rt △𝐸𝐹𝐺与正方形𝐴𝐵𝐶𝐷重叠部分
面积为18cm2时，其运动时间为（ ）
A．10
B．20
C．1或10
D．2或20
【变式12-3】（25-26 八年级下·安徽合肥·期中）如图，在长方形𝐴𝐵𝐶𝐷中，𝐴𝐵= 6cm，𝐴𝐷= 14cm，动点𝑃
从𝐷点出发，以1cm/s的速度沿着𝐷𝐴向𝐴点运动，同时动点𝑄从𝐵点出发以2cm s的速度沿𝐵𝐶向𝐶点运动，若
其中一个动点到达终点，另一动点也同时停止．运动时间为𝑡，将四边形𝑃𝐷𝐶𝑄以直线𝑃𝑄为轴进行翻折，得
到四边形𝑃𝐷′𝐶′𝑄，射线𝑄𝐶′经过点𝐴时，可以是（ ）
A．𝑡= 3
B．𝑡=
7
2
C．𝑡=
10
3
D．𝑡= 4
【题型13 分式方程转化为整式方程】
【例13】（25-26 八年级上·上海杨浦·期末）将方程
𝑥
𝑥2+4𝑥+3−
2
𝑥+3 = 1去分母后，所得的整式方程的一般式是
_____．
【变式13-1】（25-26 八年级上·广西崇左·月考）用换元法解方程
8(𝑥2+2𝑥)
𝑥2−1
+
3(𝑥2−1)
𝑥2+2𝑥= 11时，若设
𝑥2−1
𝑥2+2𝑥= 𝑦，
则可得到整式方程是（ ）
A．3𝑦2−11𝑦+ 8 = 0
B．3𝑦2 +8𝑦= 11
C．8𝑦2−11𝑦+ 3 = 0
D．8𝑦2 +3𝑦= 11
【变式13-2】 （25-26 八年级上·山东青岛·期末）解分式方程：
(1)
6
𝑥2−9 +
3
𝑥−3 = 4
(2)
3
𝑥2+2𝑥+
2
𝑥2−4 =
4
𝑥2−2𝑥
【变式13-3】对于两个不相等的实数a、b，我们规定符号𝑀𝑎𝑥{𝑎,𝑏}表示a、b 中的较大值，如：
𝑀𝑎𝑥{2,4} = 4，按照这个规定，方程𝑀𝑎𝑥{𝑥,−𝑥} =
2𝑥+1
𝑥的解为（ ）
A．1−2
B．2−2
C．1 +
2或1−2
D．1 +
2或−1
【题型14 双根号方程的求解】
【例14】（24-25 八年级下·上海闵行·期末）无理方程𝑥2−4𝑥+ 3 =
1−𝑥的解是______．
【变式14-1】方程𝑥−3 ⋅
𝑥−5＝0 的解是___．
【变式14-2】解方程：2𝑥−4−𝑥+ 5 = 1．
【变式14-3】𝑥+ 2−𝑥−2 𝑥2 + 2𝑥= −2𝑥．
【题型15 根的代数式化简求值】
【例15】已知𝑎是方程𝑥2−2021𝑥+ 1 = 0的一个根，则𝑎3−2021𝑎2−
2021
𝑎2+1 = ____．
【变式15-1】（25-26 九年级上·江苏扬州·月考）若𝑎是一元二次方程2𝑥2 = 6𝑥−4的根，则代数式𝑎2−3𝑎+ 2025
的值为（ ）
A．2021
B．2022
C．2023
D．2024
【变式15-2】（25-26 九年级下·山东东营·期中）已知m，n 是一元二次方程𝑥2 +2𝑥−2029 = 0的两个实数根，
则代数式𝑚2 +4𝑚+ 2𝑛的值为（ ）
A．2025
B．2026
C．2024
D．2021
【变式15-3】已知a，b 是一元二次方程x2+x﹣1＝0 的两根，则3a2﹣b+
2
𝑎2的值是_____．
【创新思辨】
【题型16 高次方程降次与换元】
【例16】（25-26 八年级下·安徽合肥·期中）已知实数x 满足𝑥4−4𝑥2−12 = 0，则代数式𝑥2 +1的值是（ ）
A．7
B．4
C．7 或−1
D．−5或3
【变式16-1】（25-26 八年级上·浙江宁波·自主招生）已知关于𝑥的方程𝑥4−9𝑥2−10 = 0有________个实数根．
A．1
B．2
C．3
D．4
【变式16-2】（25-26 八年级下·安徽淮北·月考）解下列方程：
(2𝑦−3)4−18(2𝑦−3)2 +81 = 0．
【变式16-3】（25-26 九年级上·安徽阜阳·月考）解方程：(𝑎2 + 3𝑎)(𝑎2 + 3𝑎+ 2) = 120．
【题型17 构造一元二次方程求解】
【例17】阅读下面的例题．
解方程𝑥2−|𝑥|−2 = 0．
解：原方程化为|𝑥|2−|𝑥|−2 = 0．
令𝑦= |𝑥|，原方程化成𝑦2−𝑦−2 = 0，解得𝑦1 = 2，𝑦2 = −1．
当|𝑥| = 2时，𝑥=± 2；当|𝑥| = −1时（不合题意，舍去）．
∴原方程的解是𝑥1 = 2，𝑥2 = −2．
请模仿上面的方法解方程：(𝑥−1)2−5|𝑥−1|−6 = 0．
【变式17-1】（25-26 九年级上·河北保定·期中）𝑥2−3|𝑥| = 18．
【变式17-2】（24-25 九年级上·河南信阳·月考）阅读下面的材料，解答问题，
材料：解含绝对值的方程：𝑥2−3|𝑥|−10 = 0．
解：分两种情况：
①当𝑥≥0时，原方程化为：𝑥2−3𝑥−10 = 0解得𝑥1 = 5，𝑥2 = −2（舍去）；
②当𝑥< 0时，原方程化为𝑥2 +3𝑥−10 = 0，解得____________
综上所述，原方程的解是______
请参照上述方法解方程：𝑥2 +2|𝑥+ 2|−4 = 0．
【变式17-3】（25-26 九年级上·重庆万州·月考）解下列方程：
(1)𝑥2−2|𝑥| = 0；
(2)𝑥2−2𝑥−4|𝑥−1|−4 = 0．
【题型18 含绝对值的一元二次方程】
【例18】（25-26 八年级下·安徽安庆·期中）定义：若关于𝑥的一元二次方程𝑎𝑥2 +𝑏𝑥+ 𝑐= 0(𝑎≠0)有两个
实数根𝑥1，𝑥2(𝑥1 < 𝑥2)，分别以𝑥1 +1为横坐标、𝑥2−1为纵坐标得到点𝑁(𝑥1 + 1,𝑥2−1)，则称点𝑁为该一元
二次方程的根序点．
（1）直接写出方程𝑥2−2𝑥−8 = 0的根序点𝑃的坐标为_____；
（2）若关于𝑥的一元二次方程
1
𝑚𝑥2 +2𝑥−3 = 0(𝑚≠0)有根序点，且该根序点在直线𝑦= 𝑥+ 2上，则𝑚的值
为_____．
【变式18-1】在平面直角坐标系中，将直线𝑦= −2𝑥+ 2关于平行于𝑦轴的一条直线对称后得到直线𝐴𝐵，若
直线𝐴𝐵恰好过点6，2 ，则直线𝐴𝐵的表达式为______．
【变式18-2】直线𝑙：𝑦= 𝑘𝑥+ 𝑏(𝑘、𝑏为常数)分别与𝑥轴、𝑦轴交于点𝐴
3，0 、𝐵0，3 ，动点𝑃的坐标为
𝑚，−𝑚2 + 𝑎𝑚+ 1 （𝑎为常数）．
（1）当𝑎= ______ 时，有且仅有一个满足条件的𝑚的值，使得点𝑃在直线𝑙上；
（2）若有且仅有两个符合条件的𝑚的值，使得点𝑃到直线𝑙的距离为1，则𝑎的取值范围是______ ．
【变式18-3】（24-25 八年级下·浙江金华·月考）已知关于𝑥的方程
1
2𝑥2−(𝑎+ 2𝑏)𝑥+ 2 = 0有两个相等实数
根．若在直角坐标系中，点𝑃在直线𝑙:𝑦= −𝑥+
1
3上，点𝑄
1
2 𝑎,𝑏在直线𝑙下方，则𝑃𝑄的最小值为（ ）
A．
2
3 2
B．
2
3
C．
4
3
D．
6
3
【题型19 函数与一元二次方程综合】
【例19】（24-25 八年级上·上海·期中）若方程𝑥2 +𝑏𝑥+ 1 = 0与方程𝑥2−𝑥−𝑏= 0至少有一个相等的实数根，
那么实数𝑏的值为_______．
【变式19-1】假设方程𝑥2 +2𝑥−𝑘= 0至少有一个整数解，那么k 不可能是下列哪个数？（）
A．8
B．15
C．24
D．30
E．48
【变式19-2】（25-26 九年级上·四川南充·期末）已知关于x 的二次方程𝑎𝑥2 +2(2𝑎−1)𝑥+ 4(𝑎−3) = 0．
(1)若方程有两个实数根，求满足条件a 的最小整数值；
(2)若方程至少有一整数根，求正整数a 的值．
【变式19-3】（2025·江苏扬州·二模）定义：我们把一个整数𝑎平方后得到的数𝑎2称为完全平方数．例如：
32 = 9，02 = 0，(−5)2 = 25，我们就将9，0，25这些数都称为完全平方数．
(1)如果一个完全平方数𝑎2满足61 ≤𝑎2 ≤120，则满足条件𝑎的值为 （请写出所有满足条件的数）；
(2)𝑛是正整数，如果𝑛−20和𝑛+ 21都是完全平方数，求𝑛的值；
(3)如果关于𝑥的一元二次方程𝑎𝑥2 +2(2𝑎−1)𝑥+ 4(𝑎−3) = 0至少有一个整数解，请直接写出满足题意的正整
数𝑎的值．
【题型20 存在性与探索性问题】
【例20】（25-26 九年级上·四川·期末）任意给定一个矩形A，若存在另一个矩形B 的周长和面积分别是矩
形A 周长和面积的一半，则称矩形B 是矩形A 的“减半矩形”．已知某矩形的周长为36，面积为16，则它的
减半矩形的长和宽分别为________ ；原矩形的两边长分别为m 和2，若存在另一个矩形是它的“减半矩形”，
则m 满足的取值范围是__________．
【变式20-1】（25-26 九年级上·四川成都·月考）已知𝑦是关于𝑥的函数，若该函数的图象经过点𝑃(𝑡,𝑡)，则称
点𝑃为函数图象上的“圆满点”，例如：直线𝑦= 2𝑥−1上存在“圆满点”𝑃(1,1)．若函数𝑦= (𝑚−2)𝑥2−3𝑥+ 𝑚
的图象上存在唯一“圆满点”，则𝑚= _____．
【变式20-2】数学家对一元二次方程经过漫长的探索．我国数学家赵爽在他的著作《勾股圆方图注》对𝑥2
+𝑝𝑥+ 𝑞= 0(𝑝2−4𝑞> 0)给出两根和、积的关系．请你跟随他的脚步开始你的探索之旅．
(1)用𝑥1,𝑥2表示一元二次方程的两个实根，填写表格．
一元二次方程
𝑥1 + 𝑥2
𝑥1 ⋅𝑥2
4𝑥2−𝑝2 = 0(𝑝> 0)
0
①
𝑥2 + 𝑝𝑥+ 𝑞= 0(𝑝2−4𝑞> 0)
②
③
5𝑥2−6𝑥+ 1 = 0
6
5
1
5
(2)数学家韦达对规律进行归纳；对于𝑎𝑥2 +𝑏𝑥+ 𝑐= 0(𝑎≠0)，若𝑏2−4𝑎𝑐≥0，则𝑥1 + 𝑥2 = ；𝑥1 ⋅𝑥2
= ．（用含𝑎,𝑏,𝑐的代数式表示）．
(3)设𝛼,𝛽是方程2𝑥2−2𝑥−1 = 0的两个实根，利用上述结论求𝛼2𝛽+ 𝛼𝛽2的值．
(4)类比探索，若一元三次方程𝑎𝑥3 +𝑏𝑥2 +𝑐𝑥+ 𝑑= 0(𝑎≠0)可以转化为𝑎(𝑥−𝑥1)(𝑥−𝑥2)(𝑥−𝑥3) = 0，则𝑥1 + 𝑥2
+ 𝑥3 = ；𝑥1 ⋅𝑥2 ⋅𝑥3 = （用含𝑎,𝑏,𝑐,𝑑的代数式表示）．
【变式20-3】（25-26 九年级上·全国·寒假作业）综合与实践：计算器运用与功能探索
计算器运算快捷而又“不辞辛劳”，可以代替我们进行繁杂的运算，让我们腾出更多时间进行规律的探索．
【发现规律】
八年级数学兴趣小组借助计算器进行如下操作：任选一个小于1 的正数作为输入值，乘以-1，加上1，再开
平方，将计算器输出的值，作为输入值，不断执行上述操作…得到了如下运算记录表：
选定小于1 的正数
0.7
0.5
0.3
第1 次运算结果
0.547722558
0.707106781
0.836660027
第2 次运算结果
0.672515756
0.541196100
0.404153403
第3 次运算结果
0.572262390
0.677350648
0.771911003
…
…
…
…
第38 次运算结果
0.618061094
0.617997417
0.617932544
第39 次运算结果
0.618012059
0.618063575
0.618116054
第40 次运算结果
0.618051729
0.618010053
0.617967593
根据记录表的结果，小组成员发现一些规律：
①任选一个小于1 的正数作为输入值，运算结果最后都趋于一个常数： (保留3 位小数)．
②随着运算次数的增加，_______(从下列选项中选择)．
A．运算结果越来越大
B．运算结果越来越小
C．输入和输出的值越来越接近
【验证规律】
组长对规律进行如下分析：设多次运算后某次运算输入值为x，则输出值为 ，根据规律②可以构造一个
方程： (保留原始形式，不作变形)，规律①中的常数即为方程的解．
为验证组长对规律解释的正确性，小组尝试求出方程的精确解．某小组成员将方程转化成𝑥2 +𝑥= 1，构造
如图1 的图形，利用面积来解方程，计算4 块区域的面积：𝑆1 = ，𝑆2 + 𝑆3 = _______，𝑆4 = ，整个
正方形的面积𝑆= 𝑆1 + 𝑆2 + 𝑆3 + 𝑆4，所以（𝑥+
1
2）
2 = ，注意𝑥+
1
2＞0，开方后解得𝑥= ．
【应用规律】
若将操作改为“任选一个正数作为输入值，乘以2，加上1，再开平方”，不断执行上述操作，请求出经过足
够多次运算后，运算结果趋于的常数(必要的步骤：列出方程、构造图形解方程、结果保留3 位小数，参考
数据：2 ≈1.414，3 ≈1.732，5 ≈2.236)．
