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专题25.2 降次——解一元二次方程（举一反三讲义）
【新教材人教版】
【题型1 可化为x2 =p型的方程】..........................................................................................................................2
【题型2 可化为(mx +n)2 =p型的方程】...............................................................................................................4
【题型3 配方】........................................................................................................................................................5
【题型4 用配方法解方程】....................................................................................................................................7
【题型5 配方法的应用】........................................................................................................................................9
【题型6 判断根的情况】......................................................................................................................................12
【题型7 求参数的值或取值范围】......................................................................................................................14
【题型8 用公式法解方程】..................................................................................................................................16
【题型9 用因式分解法解方程】..........................................................................................................................19
【题型10 换元法解方程】....................................................................................................................................21
【题型11 解含绝对值的一元二次方程】............................................................................................................23
【题型12 运用根与系数的关系计算】................................................................................................................26
【题型13 运用根与系数的关系求参数的值】....................................................................................................29
【题型14 根的判别式与根与系数的关系的综合运用】....................................................................................31
【题型15 方程的解和根与系数的关系的综合求值】........................................................................................34
知识点1 直接开平方法解一元二次方程
1. 非负数a 的算术平方根为𝑎，平方根为±
𝑎．
例如：144 的算术平方根为144 = 12，平方根为±
144 = ± 12．
2. 根据平方根的意义直接开平方来解一元二次方程的方法，叫做直接开平方法．
例如𝑥2 = 25，解得𝑥=± 5．
一般地，对于方程𝑥2 = p．
𝑝> 0
方程有两个不等的实数根𝑥1 =
𝒑，𝑥2 = −𝒑
𝑝= 0
方程有两个相等的实数根𝑥1 = 𝑥2 = 𝟎
𝑝< 0
方程无实数根
3. 直接降次解一元二次方程的步骤
(1)将方程化为𝑥2 = p 或(𝑚𝑥+ 𝑛)2 = 𝑝(𝑝≥0,𝑚≠0)的形式；
考点1
配方法
题型归纳
（2)直接开平方化为两个一元一次方程；
（3)解两个一元一次方程得到原方程的解．
知识点2 配方法解一元二次方程
1. 解一元二次方程时，先把常数项移到右边，再把它的左边配成含有未知数的完全平方式，即将方程化为
(𝑥+ 𝑎)2 = 𝑏的形式，如果右边是一个非负数，那么就可以利用直接开平方的方法求解．这种通过配成完全
平方形式来解一元二次方程的方法，叫做配方法．
2. 配方法解一元二次方程的一般步骤(示例)
一般步骤
方法
实例(9𝑦2−18𝑦−4 = 0)
一移
移项
将常数项移到方程的右边，含
未知数的项移到方程的左边
9𝑦2−18𝑦= 4
二化
二次项系数化为1
方程左、右两边同时除以二次
项系数
𝑦2−2𝑦= 4
9
三配
配方
方程左、右两边同时加上一次
项系数一半的平方
𝑦2−2𝑦+ 1 = 4
9 + 1
即(𝑦−1)2 = 13
9
四开
开平方
利用平方根的意义直接开平
方
(y−1) =±
13
3
五解
得出两个根
移项，合并同类项
y1 = 1 +
13
3 ，y2 = 1−13
3
归纳：当方程一边配成了关于未知数的完全平方式后，如果另一边是正数，那么这个方程就有两个不相等
的实数根；如果另一边是零，那么这个方程就有两个相等的实数根；如果另一边是负数，那么这个方程就
没有实数根．
3. 解题依据：(𝑎± 𝑏)2 = 𝑎2 ± 2𝑎𝑏+ 𝑏2，把公式中的𝑎看作未知数𝑥，并用𝑥代替，则(𝑥± 𝑏)2 = 𝑥2 ± 2𝑏𝑥+
𝑏2．
【题型1 可化为𝐱2 =𝐩型的方程】
【例1】（25-26 九年级下·江苏常州·期中）方程𝑥2−4 = 0的根是（ ）
A．𝑥1 = 𝑥2 = 2
B．x1 = 𝑥2 = −2
C．𝑥1 = 2，𝑥2 = −2
D．𝑥1 = 4，𝑥2 = −4
【答案】C
【分析】把常数项移到方程右边，再把方程两边同时开平方即可得到答案．
【详解】解：∵𝑥2−4 = 0，
∴𝑥2 = 4，
解得𝑥1 = 2，𝑥2 = −2．
【变式1-1】（25-26 九年级上·北京·期末）方程3𝑥2−27 = 0的解是______．
【答案】𝑥1 = 3，𝑥2 = −3
【分析】本题考查了解一元二次方程.根据解一元二次方程的直接开平方法，进行计算即可解答．
【详解】解：3𝑥2−27 = 0
移项得：3𝑥2 = 27，
两边同时除以3得：𝑥2 = 9，
开平方得：𝑥=± 3，
故答案为：𝑥1 = 3，𝑥2 = −3．
【变式1-2】（25-26 九年级上·山西忻州·期末）方程25𝑥2−1 = 0的根为（ ）
A．𝑥=
1
5
B．𝑥= 5
C．𝑥1 =
1
5，𝑥2 = −
1
5
D．𝑥1 = 5，𝑥2 = −5
【答案】C
【分析】本题考查了解一元二次方程，通过直接解一元二次方程25𝑥2−1 = 0，得到两个根，再对比选项即
可．
【详解】解：∵25𝑥2−1 = 0，
∴25𝑥2 = 1，
∴𝑥2 =
1
25，
∴𝑥=±
1
5，即𝑥1 =
1
5，𝑥2 = −
1
5，
故选：C．
【变式1-3】（25-26 八年级上·上海浦东新·月考）已知关于x的方程𝑥2 = 3−𝑘没有实数根，那么k 的取值范
围是__________.
【答案】𝑘> 3
【详解】由题意可知3−𝑘< 0，
解得：𝑘> 3
故答案为𝑘> 3.
【点睛】此题考查的是完全平方的非负性和一元二次方程无实数根的关系.
【题型2 可化为(mx +𝒏)2 =𝒑型的方程】
【例2】（25-26 九年级上·福建福州·期中）若一元二次方程（x﹣3）2＝16 可转化为两个一元一次方程，其
中一个一元一次方程是x﹣3＝4，则另一个一元一次方程是 ___．
【答案】x-3＝−4
【分析】把方程（x﹣3）2＝16 两边开方即可得到答案．
【详解】解：∵（x﹣3）2＝16，
∴x-3＝4 或x-3＝−4．
故答案为x-3＝−4．
【点睛】本题考查了解一元二次方程−直接开平方法：形如x2＝p 或（nx＋m）2＝p（p≥0）的一元二次方程
可采用直接开平方的方法解一元二次方程．
【变式2-1】（25-26 九年级上·江苏南京·期末）方程(𝑥+ 3)2 = 4的根是（ ）
A．𝑥1 = −1，𝑥2 = −5
B．𝑥1 = 1，𝑥2 = −5
C．𝑥1 = 𝑥2 = −1
D．𝑥1 = −1，𝑥2 = 5
【答案】A
【分析】本题考查了解一元二次方程，通过直接开平方法解方程即可，掌握一元二次方程解法是解题的关
键．
【详解】解：(𝑥+ 3)2 = 4
𝑥+ 3 =±
4 =± 2，
𝑥+ 3 = 2 或𝑥+ 3 = −2 ，
∴ 𝑥1 = −1，𝑥2 = −5，
故选：A．
【变式2-2】（25-26 九年级上·全国·课后作业）将方程(2𝑥－1)2 = 9的两边同时开平方，
得2𝑥－1 = ________，
即2𝑥－1＝________或2𝑥－1＝________，
所以𝑥1＝________，𝑥2＝ ________．
【答案】
±3
3
－3
2
－1
【分析】依照直接开平方法解一元二次方程的方法及步骤,一步步解出方程即可
【详解】∵(2𝑥－1)2 = 9
∴2𝑥－1 = ±3
∴2𝑥－1＝3，2𝑥－1＝-3
∴𝑥1＝2，𝑥2＝-1
【点睛】此题考查解一元二次方程直接开平方法，掌握运算法则是解题关键
【变式2-3】（25-26 八年级下·安徽亳州·月考）已知方程(𝑥+ 1)2 = 9的两个根为𝑥1，𝑥2，且𝑥1 > 𝑥2，则
𝑥1
𝑥2 =
________．
【答案】−
1
2．
【分析】运用直接开平方法求出𝑥1 = 2，𝑥2 = −4，从而求出
𝑥1
𝑥2 = −
1
2．
【详解】解：∵(𝑥+ 1)2 = 9，
∴𝑥+ 1 =± 3
∵𝑥1 > 𝑥2，
∴𝑥1 = 2，𝑥2 = −4，
∴
𝑥1
𝑥2 = −
1
2．
【题型3 配方】
【例3】（25-26 九年级上·山东青岛·单元测试）配方：𝑥2−
2
5𝑥+ ________ = (𝑥−________)2．
【答案】
1
25
1
5
【分析】由于二次项的系数为1，所给式子组成完全平方式，所以常数项是一次项系数一半的平方．
【详解】∵所给代数式的二次项系数为1，一次项系数为−
2
5，等号右边正好是一个完全平方式，
∴常数项为−
2
5 ÷ 2
2
=
1
25，
∴ 𝑥2−
2
5𝑥+
1
25 = 𝑥−
1
5
2
．
故答案为：
1
25；
1
5
【点睛】本题考查了完全平方公式在配方法中的应用：若二次项的系数为1，常数项是一次项系数一半的平
方．
【变式3-1】（25-26 九年级上·海南·月考）配方：𝑥2−3𝑥+ ______=（𝑥−______）
2；2𝑥2−8𝑥+ 8 = 2
（______）
2．
【答案】
9
4
3
2
𝑥−2
【分析】本题考查完全平方公式．
根据完全平方公式进行配方即可．
【详解】解：𝑥2−3𝑥+
9
4 = 𝑥−
3
2
2
，
2𝑥2−8𝑥+ 8 = 2(𝑥2−4𝑥+ 4) = 2(𝑥−2)2，
故答案为：
9
4，
3
2，𝑥−2．
【变式3-2】（2025·广东东莞·一模）方程x2+2x﹣1=0 配方得到（x+m）2=2，则m=_____．
【答案】1
【详解】试题解析：x2+2x-1=0，
x2+2x=1，
x2+2x+1=2，
（x+1）2=2，
则m=1；
故答案为1．
【变式3-3】（25-26 九年级上·江苏盐城·月考）关于x 的代数式𝑥2 + (𝑚+ 1)𝑥+ (𝑚+ 1)中，当𝑚= ______
时，代数式为完全平方式．
【答案】−1或3
【分析】根据完全平方公式的特点可得关于m 的一元二次方程，解方程即可；注意完全平方式有两个，所
以一次项系数有两个．
【详解】解：由已知，关于x 的代数式𝑥2 + (𝑚+ 1)𝑥+ (𝑚+ 1)完全平方式，
∴配方得，𝑥2 + (𝑚+ 1)𝑥+
𝑚+1
2
2
−
𝑚+1
2
2
+ (𝑚+ 1)，
当−
𝑚+1
2
2
+ (𝑚+ 1) = 0时，原式为完全平方式，
解得，𝑚1 = −1,𝑚2 = 3，
故答案为：−1或3
【点睛】本题是完全平方公式的应用和一元二次方程的解法，解答关键是根据通过配方法得到一元二次方
程求解．
【题型4 用配方法解方程】
【例4】（25-26 九年级上·全国·课后作业）（1）将一元二次方程3𝑥2−6𝑥+ 1 = 0配方后，得(𝑥−1)2 = ________．
（2）将一元二次方程5𝑥2 +2 = 8𝑥配方后，得𝑥−
4
5
2
= ________．
【答案】
2
3
6
25
【分析】本题考查了用配方法把一元二次方程的左边化成完全平方式.
根据一元二次方程配方法的步骤解题.
（1）移项：先化把常数项移到右边；
（2）再化二次项系数为1；
（3）配方：左右两边加上一次项系数一半的平方，左边写成完全平方式即可得到答案.
【详解】解：（1）对3𝑥2−6𝑥+ 1 = 0，移项得：3𝑥2−6𝑥= −1，
方程两边同除3，得：𝑥2−2𝑥= −
1
3，
配方，得：𝑥2−2𝑥+ 12 = −
1
3 + 12即(𝑥−1)2 =
2
3.
故答案为：
2
3.
（2）对5𝑥2 +2 = 8𝑥，移项得：5𝑥2−8𝑥= −2，
方程两边同除5，得：𝑥2−
8
5𝑥= −
2
5，
配方，得：𝑥2−
8
5𝑥+
4
5
2
= −
2
5 +
4
5
2
即(𝑥−4)2 =
6
25.
故答案为：
6
25 ．
【变式4-1】（25-26 九年级上·山西朔州·月考）佳佳在解一元二次方程𝑥2 +6𝑥−4 = 0时出现错误，解答过程
如下：
解：𝑥2 +6𝑥−4 = 0
移项，得𝑥2 +6𝑥= 4．……①
配方，得𝑥2 +6𝑥+ 9 = 4．……②
即(𝑥+ 3)2 = 4．……③
解得𝑥1 = −1，𝑥2 = −5．……④
(1)上述解答过程中，从第______步开始出现了错误；（填序号）
(2)写出正确的解答过程．
【答案】(1)②
(2)见解析
【分析】本题考查解一元二次方程-配方法解，解题的关键是掌握用配方法解一元二次方程的一般步骤．
（1）观察解答过程可得答案；
（2）用配方法解方程即可．
【详解】（1）解：从第②步开始出现了错误，发生错误的原因是：等号右边没有加9；
故答案为：②；
（2）解：移项得：𝑥2 +6𝑥= 4，
配方得：𝑥2 +6𝑥+ 9 = 4 + 9，即(𝑥+ 3)2 = 13，
开平方，得𝑥+ 3 =±
13．
解得𝑥1 = −3 +
13，𝑥2 = −3−13．
【变式4-2】（25-26 八年级下·浙江杭州·期中）已知关于𝑥的方程𝑥2−𝑚𝑥+ 𝑛= 0通过配方可变形为𝑥−
1
4
2
=
15
16，则
𝑚
𝑛的值为_____．
【答案】−
4
7
【分析】将配方后的方程展开整理为一元二次方程的一般形式，与原方程对比系数得到m 和n 的值，代入
计算即可．
【详解】解：𝑥−
1
4
2
=
15
16，
∴𝑥2−
1
2𝑥+
1
16 =
15
16，
即𝑥2−
1
2𝑥−
7
8 = 0，
∵方程𝑥2−𝑚𝑥+ 𝑛= 0通过配方可变形为𝑥−
1
4
2
=
15
16，
∴𝑚=
1
2,𝑛= −
7
8，
∴
𝑚
𝑛=
1
2
−
7
8
= −
4
7．
【变式4-3】（25-26 九年级上·河南南阳·期中）已知方程x2－6x＋q＝0 配方后是（x－p）2＝7，那么方程x2
＋6x＋q＝0 配方后是（ ）
A．（x＋p）2＝7 B．（x＋p）2＝5
C．（x－p）2＝7
D．（x－p）2＝5
【答案】A
【分析】根据完全平方公式展开，求出p 的值，再代入求出即可．
【详解】解：∵方程x2−6x+q=0 配方后是（x−p）2=7，
∴x2−2px+p2=7，
∴−6=−2p，
解得：p=3，
即（x−3）2=7，
∴x2−6x+9−7=0，
∴q=2，
即（x+3）2=7，
即（x+p）2=7，
故选：A．
【点睛】本题考查了解一元二次方程，能够正确配方是解此题的关键．
【题型5 配方法的应用】
【例5】（24-25 八年级上·北京·期末）通过配方，可以求得代数式𝑎2−6𝑎+ 10的最小值是（ ）
A．0
B．1
C．9
D．10
【答案】B
【分析】本题考查了配方法的应用，将原式配方得出(𝑎−3)2 +1，结合(𝑎−3)2 ≥0即可得出答案．
【详解】解：∵ 𝑎2−6𝑎+ 10 = (𝑎2−6𝑎+ 9) +1 = (𝑎−3)2 +1，
又∵ (𝑎−3)2 ≥0，
∴(𝑎−3)2 +1 ≥1，
∴ 代数式𝑎2−6𝑎+ 10的最小值是1．
故选：B．
【变式5-1】（25-26 八年级下·浙江杭州·期中）已知𝐴= 2𝑥+ 𝑚，𝐵= 𝑥2 +𝑚+ 4，则比较代数式A 与B 的
值：A________B．（请用“ > ”、“ < ”、“ = ”表示）
【答案】<
【分析】利用作差法比较两个代数式的大小，对作差结果进行配方整理，根据完全平方的非负性判断差的
符号，即可得到A 与B 的大小关系．
【详解】解：𝐵−𝐴
= 𝑥2 +𝑚+ 4−2𝑥−𝑚
= 𝑥2−2𝑥+ 4
= (𝑥−1)2 + 3
∵(𝑥−1)2 ≥0，
∴(𝑥−1)2 +3 > 0，即𝐵−𝐴> 0，
∴𝐴< 𝐵．
【变式5-2】（25-26 八年级上·湖南邵阳·期末）已知𝑎+ 2𝑏+ 3𝑐= 6，则𝑎2 +2𝑏2 +3𝑐2的取值范围是___．
【答案】大于等于6
【分析】本题考查完全平方公式，配方法，掌握相关知识是解决问题的关键．根据已知得𝑎= 6−2𝑏−3𝑐，
代入𝑎2 +2𝑏2 +3𝑐2，即可求出𝑏，𝑐的式子，再利用配方法得出完全平方公式，即可得出答案．
【详解】解：∵𝑎+ 2𝑏+ 3𝑐= 6，
∴𝑎= 6−2𝑏−3𝑐，
∴𝑎2 +2𝑏2 +3𝑐2
= (6−2𝑏−3𝑐)2 +2𝑏2 +3𝑐2，
= 36 + 4𝑏2 +9𝑐2−24𝑏−36𝑐+ 12𝑏𝑐+ 2𝑏2 +3𝑐2，
= 6(𝑏2 + 2𝑐2−4𝑏−6𝑐+ 2𝑏𝑐+ 6)，
= 6[(𝑏2 + 2𝑏𝑐+ 𝑐2−4𝑏−4𝑐+ 4)+(𝑐2−2𝑐+ 1)+ 1]，
= 6[(𝑏+ 𝑐−2)2 + (𝑐−1)2 + 1]，
= 6(𝑏+ 𝑐−2)2 +6(𝑐−1)2 +6 ≥6，
∴ 𝑎2 +2𝑏2 +3𝑐2的取值范围是：大于等于6．
故答案为：大于等于6．
【变式5-3】阅读材料：把形如𝑎𝑥2 +𝑏𝑥+ 𝑐的二次三项式（或其一部分）配成完全平方式的方法叫配方
法．配方法的基本形式是完全平方公式的逆写，即𝑎2 ± 2𝑎𝑏+ 𝑏2 = (𝑎± 𝑏)2．请根据阅读材料解决下列问
题：
（1）填空：分解因式4𝑎2−4𝑎+ 1 = ；
（2）把𝑥2−10𝑥−1写成(𝑥+ ℎ)2 +𝑘后，求出ℎ+ 𝑘的值；
（3）若𝑎、𝑏、𝑐分别是△𝐴𝐵𝐶的三边，且𝑎2 +3𝑏2 + 𝑐2 +3 = 2𝑎𝑏+ 4𝑏+ 2𝑐，试判断△𝐴𝐵𝐶的形状，并说
明理由．
【答案】（1）(2𝑎−1)2；（2）ℎ+ 𝑘= −31；（3）△𝐴𝐵𝐶等边三角形，理由见解析
【分析】（1）直接利用完全平方公式变形得出答案；
（2）通过配方后，化为(𝑥−5)2−26的形式，再(𝑥−5)2−26=(𝑥+ ℎ)2 +𝑘，即可得出答案；
（3）直接利用完全平方公式将原式变形进而得出a，b，c 的关系，进而得出△ABC 的形状．
【详解】解：（1）4a2-4a+1=（2a-1）2；
故答案为：(2𝑎−1)2；
（2）解：𝑥2−10𝑥−1
= 𝑥2−10𝑥+ 52−52−1，
= (𝑥−5)2−26，
ℎ= −5，𝑘= −26
∴ℎ+ 𝑘= −31，
（3）解：∵𝑎2 +3𝑏2 + 𝑐2 +3 = 2𝑎𝑏+ 4𝑏+ 2𝑐
∴𝑎2 +3𝑏2 + 𝑐2−2𝑎𝑏−4𝑏−2𝑐+ 3 = 0，
𝑎2−2𝑎𝑏+ 𝑏2 +2𝑏2−4𝑏+ 2 + 𝑐2−2𝑐+ 1 = 0，
∴(𝑎−𝑏)2 +2(𝑏−1)2 + (𝑐−1)2 = 0，
∴𝑎−𝑏= 0，𝑏−1 = 0，𝑐−1 = 0，
即𝑎= 𝑏= 𝑐= 1．
∴△𝐴𝐵𝐶为等边三角形．
【点睛】本题主要考查了配方法的应用，正确应用完全平方公式是解题关键．
知识点3 一元二次方程根的判别式
1. 对于一元二次方程𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥+ 𝑐= 0(𝑎≠0)，通过配方可得(𝑥+ 𝑏
2𝑎)
2
=
𝑏2−4𝑎𝑐
4𝑎2 ，则方程根的情况由𝑏2−4𝑎𝑐
的符号决定．
一般地，式子𝒃𝟐−𝟒𝒂𝒄叫做一元二次方程𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥+ 𝑐= 0根的判别式，通常用希腊字母“∆”表示它，即∆= 𝒃𝟐
−𝟒𝒂𝒄．
2. 根的判别式∆的符号与一元二次方程根的情况
（1）∆> 0⟺一元二次方程有两个不相等的实数根；
（2）∆= 0⟺一元二次方程有两个相等的实数根；
考点2
公式法
（3）∆< 0⟺一元二次方程无实数根．
3. 应用
（1）不解方程判断一元二次方程根的情况；
（2）根据方程根的情况求字母系数的取值范围．
知识点4 公式法解一元二次方程
1. 当∆≥0时，方程𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥+ 𝑐= 0(𝑎≠0)通过配方，其实数根可写为𝒙=
−𝒃± 𝒃𝟐−𝟒𝒂𝒄
𝟐𝒂
的形式，这个式子
叫做一元二次方程𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥+ 𝑐= 0的求根公式．将各系数直接代入求根公式，这种解一元二次方程的方法
叫做公式法．
∆> 0
方程有两个不相等的实数根𝑥= −𝑏± 𝑏2−4𝑎𝑐
2𝑎
∆= 0
方程有两个相等的实数根𝑥1 = 𝑥2 = −𝑏
2𝑎
∆< 0
方程无实数根
2. 利用公式法解一元二次方程的一般步骤
（1）把方程化为一般形式，确定a，b，c 的值；
（2）求出∆= 𝑏2−4𝑎𝑐的值；
（3）若∆≥0，则将a，b，c 的值代人求根公式𝒙=
−𝒃± 𝒃𝟐−𝟒𝒂𝒄
𝟐𝒂
求出方程的根，若∆< 0，则方程无实数根．
【题型6 判断根的情况】
【例6】（25-26 八年级下·广西百色·期中）问题“解方程𝑥2−3𝑥+ 3 = 0”：小李说“其中一个解是𝑥= 1”；小
珍说“𝑏2−4𝑎𝑐< 0，此方程无实数根”；小邓说“方程有两个实数根，这两个实数根的和为−3”，判断下列结
论正确的是（ ）
A．小李说得对
B．小珍说得对
C．小邓说得对
D．三名同学说法都不对
【答案】B
【详解】解：对于一元二次方程𝑥2−3𝑥+ 3 = 0，
∵𝑎= 1，𝑏= −3，𝑐= 3，
∴𝑏2−4𝑎𝑐= (−3)2−4 × 1 × 3 = −3 < 0，
∴方程无实数根，
∴小李的说法错误，小邓说方程有两个实数根的说法也错误，只有小珍说得对．
【变式6-1】（25-26 九年级下·山东滨州·期中）关于x 的一元二次方程𝑥2−(2 + 𝑚)𝑥+ 𝑚= 0根的情况为
_____________．
【答案】有两个不相等的实数根
【分析】根据一元二次方程根的判别式，计算判别式的值，由判别式的符号即可判断方程根的情况．
【详解】解：∵𝑥2−(2 + 𝑚)𝑥+ 𝑚= 0，可得 𝑎= 1，𝑏= −(2 + 𝑚)，𝑐= 𝑚，
∴Δ = −(2 + 𝑚)
2
−4 × 1 × 𝑚，
= 4 + 4𝑚+ 𝑚2−4𝑚，
= 𝑚2 +4 > 0，
∴方程有两个不相等的实数根．
【变式6-2】不解方程，判断方程2𝑥2−4𝑥−1 = 0的根的情况．
【答案】有两个不相等的实数根
【分析】先求一元二次方程的判别式，由Δ与0 的大小关系来判断方程根的情况．
【详解】解：∵𝑎= 2，𝑏= −4，𝑐= −1
∴Δ = 𝑏2−4𝑎𝑐= (−4)2−4 × 2 × (−1) = 24 > 0
∴原方程有两个不相等的实数根．
【点睛】此题考查一元二次方程根的情况与判别式Δ的关系：（1）Δ > 0，方程有两个不相等的实数根；
（2）Δ = 0方程有两个相等的实数根；（3）Δ < 0方程没有实数根．
【变式6-3】定义运算：𝑚※𝑛= 𝑚𝑛2−𝑚𝑛−2．例如：4※1 = 4 × 12−4 × 1−2 = −2．则方程2※𝑥= 1的根
的情况为______．
【答案】有两个不相等的实数根
【分析】本题考查了一元二次方程𝑎𝑥2 +𝑏𝑥+ 𝑐= 0(𝑎≠0)根的判别式Δ=𝑏2−4𝑎𝑐与根的关系，熟练掌握根
的判别式与根的关系式解答本题的关键．当Δ > 0时，一元二次方程有两个不相等的实数根；当Δ = 0时，一
元二次方程有两个相等的实数根；当Δ < 0时，一元二次方程没有实数根．
根据定义列出一元二次方程，化为一般式，根据根的判别式作答即可.
【详解】解：∵𝑚※𝑛= 𝑚𝑛2−𝑚𝑛−2
∴2※𝑥= 2𝑥2−2𝑥−2 = 1
即2𝑥2−2𝑥−3 = 0
∴Δ = (−2)2−4 × 2 × (−3) = 28 > 0
∴方程2※𝑥= 1的根的情况为有两个不相等的实数根
故答案为：有两个不相等的实数根
【题型7 求参数的值或取值范围】
【例7】已知关于x 的方程(𝑘−1)𝑥2−2𝑥+ 1 = 0有实数根，则k 的取值范围是______．
【答案】𝑘≤2
【分析】本题需分类讨论方程为一元一次方程和一元二次方程两种情况，分别根据方程有实数根的条件确
定𝑘的取值范围，综合后即可解答．
【详解】解：当𝑘−1 = 0，即𝑘= 1时，原方程可化为−2𝑥+ 1 = 0，该一元一次方程有实数根，因此𝑘= 1
符合题意；
当𝑘≠1时，该方程为一元二次方程，方程有实数根，则根的判别式大于等于0，即(−2)2−4(𝑘−1) × 1 ≥0，
整理得4−4𝑘+ 4 ≥0，
解得𝑘≤2．
综上，𝑘的取值范围是𝑘≤2．
【变式7-1】（25-26 八年级下·安徽合肥·期中）关于𝑥的一元二次方程(𝑚−2)𝑥2 +3𝑥+ 1 = 0有两个实数根，
则𝑚的取值范围是（ ）
A．𝑚≤
17
4 且𝑚≠0
B．𝑚≤
7
4
C．2 < 𝑚≤
17
4
D．𝑚≤
17
4 且𝑚≠2
【答案】D
【分析】本题需要同时满足两个条件，一是一元二次方程要求二次项系数不为0，二是方程有两个实数根要
求根的判别式Δ ≥0，求解两个不等式后取交集即可得到𝑚的取值范围．
【详解】解：∵方程(𝑚−2)𝑥2 +3𝑥+ 1 = 0是关于𝑥的一元二次方程，
∴𝑚−2 ≠0，即𝑚≠2，
又∵方程有两个实数根，
∴Δ ≥0，即𝛥= 32−4 × (𝑚−2) × 1 = 17−4𝑚≥0，
解得：𝑚≤
17
4 ，
综上，𝑚的取值范围是𝑚≤
17
4 且𝑚≠2．
【变式7-2】（25-26 八年级下·浙江绍兴·期中）已知等腰△𝐴𝐵𝐶中，𝐵𝐶= 4，𝐴𝐵，𝐴𝐶是关于𝑥的一元二次
方程𝑥2−6𝑥+ 𝑚= 0（𝑚是常数）的两实数根，则𝑚的值为_____．
【答案】8或9
【分析】本题主要考查了一元二次方程根的定义、根的判别式以及三角形三边关系．分两种情况讨论，𝐵𝐶
为等腰△𝐴𝐵𝐶的腰，𝐵𝐶为等腰△𝐴𝐵𝐶的底，结合一元二次方程根的定义、根的判别式以及三角形三边关系，
即可求出𝑚的值．
【详解】解：分两种情况讨论：
①当𝐵𝐶为等腰△𝐴𝐵𝐶的腰时，
则𝐴𝐵= 4或𝐴𝐶= 4，
∵𝐴𝐵，𝐴𝐶是一元二次方程𝑥2−6𝑥+ 𝑚= 0的两实数根，
将𝑥= 4代入方程得：
42−6 × 4 + 𝑚= 0，
解得𝑚= 8，
此时原方程为𝑥2−6𝑥+ 8 = 0，
解得𝑥1 = 2，𝑥2 = 4，
三角形三边长为2，4，4，满足三角形三边关系，符合题意；
②当𝐵𝐶为等腰△𝐴𝐵𝐶的底时，
则𝐴𝐵= 𝐴𝐶，即一元二次方程𝑥2−6𝑥+ 𝑚= 0有两个相等的实数根，
∴根的判别式Δ = (−6)2−4 × 1 × 𝑚= 0，
即36−4𝑚= 0，
解得𝑚= 9，
此时方程的两根相等，均为3，三角形三边长为3，3，4，满足三角形三边关系，符合题意，
综上，𝑚的值为8或9．
【变式7-3】（25-26 八年级下·安徽合肥·期中）关于𝑥的一元二次方程𝑎𝑥2 +𝑏𝑥+ 𝑐= 0满足4𝑎−2𝑏+ 𝑐= 0，
且有两个相等的实数根，则下列结论正确的是（ ）
A．2𝑎−𝑐= 0
B．4𝑎+ 𝑏= 0
C．𝑏= 𝑐
D．𝑎+ 𝑏+ 𝑐= 0
【答案】C
【分析】本题考查一元二次方程根的判别式，先根据相等的实数根的性质得到判别式为0，结合已知条件整
理得到𝑎，𝑏，𝑐的关系，再判断选项．
【详解】解：∵关于𝑥的一元二次方程𝑎𝑥2 +𝑏𝑥+ 𝑐= 0有两个相等的实数根，
∴Δ = 𝑏2−4𝑎𝑐= 0，𝑎≠0，
∵4𝑎−2𝑏+ 𝑐= 0，
∴𝑐= 2𝑏−4𝑎，
将𝑐= 2𝑏−4𝑎代入Δ = 𝑏2−4𝑎𝑐= 0得
𝑏2−4𝑎(2𝑏−4𝑎) = 0，
整理得𝑏2−8𝑎𝑏+ 16𝑎2 = 0，即(𝑏−4𝑎)2 = 0，
∴𝑏= 4𝑎，
将𝑏= 4𝑎代入𝑐= 2𝑏−4𝑎得
𝑐= 2 × 4𝑎−4𝑎= 4𝑎，
∴𝑏= 𝑐= 4𝑎，即𝑏= 𝑐，故C 正确．
∴2𝑎−𝑐= 2𝑎−4𝑎= −2𝑎≠0，4𝑎+ 𝑏= 4𝑎+ 4𝑎= 8𝑎≠0，𝑎+ 𝑏+ 𝑐= 𝑎+ 4𝑎+ 4𝑎= 9𝑎≠0，故A 错误、B
错误、D 错误．
【题型8 用公式法解方程】
【例8】（25-26 七年级上·广东中山·月考）𝑥=
−3± 32−4×2×1
2×2
是下列哪个一元二次方程的根（ ）
A．2𝑥2 +3𝑥+ 1 = 0
B．2𝑥2−3𝑥+ 1 = 0
C．2𝑥2 +3𝑥−1 = 0
D．2𝑥2−3𝑥−1 = 0
【答案】A
【分析】本题考查了一元二次方程的定义，一元二次方程公式法求解，通过对比一元二次方程的求根公式，
直接确定系数a、b、c 的值，从而匹配对应方程
【详解】解：∵一元二次方程𝑎𝑥2 +𝑏𝑥+ 𝑐= 0，
∴𝑥=
−𝑏± 𝑏2−4𝑎𝑐
2𝑎
，
∵𝑥=
−3± 32−4×2×1
2×2
，
∴−𝑏= −3，即𝑏= 3；2𝑎= 4，即𝑎= 2；
∵𝑏2−4𝑎𝑐= 32−4 × 2 × 1 = 9−8 = 1，
∴𝑐= 1，
故方程为 2𝑥2 +3𝑥+ 1 = 0，
故选：A
【变式8-1】（25-26 八年级上·上海徐汇·月考）一元二次方程𝑥2−𝑥−1 = 0的根是___________．
【答案】𝑥1 =
1+ 5
2 ,𝑥2 =
1−5
2
【分析】本题主要考查一元二次方程的解法，熟练掌握一元二次方程的解法是解题的关键；对于一元二次
方程𝑥2−𝑥−1 = 0，由于无法直接因式分解，采用求根公式求解，先计算判别式，再代入公式求解即可．
【详解】解：方程𝑥2−𝑥−1 = 0中，𝑎= 1，𝑏= −1，𝑐= −1，
∴Δ = 𝑏2−4𝑎𝑐= (−1)2−4 × 1 × (−1) = 1 + 4 = 5，
∴𝑥=
−𝑏± Δ
2𝑎
=
−(−1)± 5
2×1
=
1± 5
2 ，
∴𝑥1 =
1+ 5
2 ,𝑥2 =
1−5
2 ；
故答案为𝑥1 =
1+ 5
2 ,𝑥2 =
1−5
2 ．
【变式8-2】解下列一元二次方程
(1)𝑥2 +3𝑥−4 = 0（公式法）
(2)2𝑥2−4𝑥−1 = 0（公式法）
【答案】(1)𝑥1 = −4，𝑥2 = 1；
(2)𝑥1 = 1 +
6
2 ，𝑥2 = 1−
6
2 ．
【分析】（1）先确定𝑎、𝑏、𝑐的值，求出Δ的值，确定能否用公式法计算，若Δ ≥0，即代入求根公式计算
即可；
（2）先确定𝑎、𝑏、𝑐的值，求出Δ的值，确定能否用公式法计算，若Δ ≥0，即代入求根公式计算即可；
本题考查了用公式法解一元二次方程，解题的关键是熟记求根公式，掌握用公式法解一元二次方程的步骤．
【详解】（1）𝑎= 1，𝑏= 3，𝑐= −4，
Δ＝9 + 4 × 1 × 4＝25 > 0，
∴𝑥=
−3± 25
2
=
−3±5
2 ，
∴𝑥1 = −4，𝑥2 = 1；
（2）𝑎= 2，𝑏= −4，𝑐= −1，
Δ = 16 + 4 × 2 = 24 > 0，
∴𝑥=
4± 24
4
=
4±2 6
4
= 1 ±
6
2 ，
∴𝑥1 = 1 +
6
2 ，𝑥2 = 1−
6
2 ．
【变式8-3】关于x 的一元二次方程𝑘𝑥2 +(𝑘+ 1)𝑥+
k
4 = 0．
(1)若该方程有两个不相等的实数根，求k 的取值范围；
(2)若该方程有两个相等的实数根，求该方程的解．
【答案】(1)𝑘> −
1
2且𝑘≠0
(2)𝑥1 = 𝑥2 =
1
2
【分析】（1）根据方程有两个不相等的实数根，令Δ > 0且𝑘≠0解不等式即可得出答案；
（2）根据方程有两个相等的实数根，令Δ = 0，求出𝑘的值，代入原方程，解方程即可得出答案．
【详解】（1）解：∵方程有两个不相等的实数根，
∴Δ > 0且𝑘≠0，即Δ = (𝑘+ 1)2−4𝑘×
k
4 > 0且𝑘≠0，
解得𝑘> −
1
2且𝑘≠0，
∴k 的取值范围为𝑘> −
1
2且𝑘≠0；
（2）解：∵方程有两个相等的实数根，
∴Δ = (𝑘+ 1)2−4𝑘×
k
4 = 0，
∴𝑘= −
1
2，
代入方程得，−
1
2𝑥2 +
1
2𝑥−
1
8 = 0，
解得𝑥1 = 𝑥2 =
1
2．
【点睛】本题考查一元二次方程根的判别式，掌握根的判别式与一元二次方程根的情况关系是解题的关键．
知识点5 因式分解法解一元二次方程
1. 先因式分解，使一元二次方程化为两个一次式的乘积等于0 的形式，再使这两个一次式分别等于0，从
而实现降次，这种解一元二次方程的方法叫做因式分解法．
2. 适合用因式分解法求解的一元二次方程的形式
考点3
因式分解法
3. 利用因式分解法解一元二次方程的一般步骤
一移
使方程的右边为0
二分
将方程的左边因式分解
三化
将方程化为两个一元一次方程
四解
写出方程的两个解
【题型9 用因式分解法解方程】
【例9】用因式分解法解一元二次方程𝑥(𝑥−3) = 𝑥−3时，原方程可化为（ ）
A．(𝑥+ 1)(𝑥−3) = 0
B．(𝑥−1)(𝑥−3) = 0
C．𝑥(𝑥−3) = 0
D．(𝑥−2)(𝑥−3) = 0
【答案】B
【详解】由x(x−3)=x−3，x(x−3)−(x−3)=0，(x−3）(x−1)=0，故选B.
【变式9-1】已知关于x 的方程x2+kx－2＝0 的一个根是x＝2，则另外一个根为_____．
【答案】−1.
【分析】把𝑥= 2代入原方程求𝑘，再解方程求另一根即可．
【详解】解：把𝑥= 2代入原方程：
∴4 + 2𝑘−2 = 0,
∴𝑘= −1,
∴𝑥2−𝑥−2 = 0,
∴(𝑥−2)(𝑥+ 1) = 0,
∴𝑥1 = 2,𝑥2 = −1.
∴ 方程的另一根是−1.
故答案为：−1.
【点睛】本题考查的是一元二次方程根的含义及解一元二次方程，掌握以上知识是解题的关键．
【变式9-2】（25-26 九年级上·吉林白城·月考）用因式分解方法解方程：𝑥(𝑥−2) + (𝑥−2) = 0．
【答案】𝑥1 = −1，𝑥2 = 2
【分析】本题考查了解一元二次方程，能选择适当的方法解一元二次方程是解此题的关键，注意：解一元
二次方程的方法有：直接开平方法、公式法、配方法、因式分解法．提取公因式分解因式，即可得出两个
一元一次方程，求出方程的解即可．
【详解】解：𝑥(𝑥−2) + (𝑥−2) = 0
解：(𝑥+ 1)(𝑥−2) = 0，
∴𝑥+ 1 = 0或𝑥−2 = 0，
∴𝑥1 = −1，𝑥2 = 2．
【变式9-3】（25-26 九年级上·广东广州·期中）已知关于𝑥的一元二次方程𝑥2−(𝑘+ 5)𝑥+ 5𝑘= 0．
(1)求证：无论𝑘为何值，此方程总有一个根是定值；
(2)若直角三角形的一边为12，另两边恰好是这个方程的两根，求𝑘的值．
【答案】(1)见解析
(2)𝑘=
119 或 𝑘= 13
【分析】本题考查了一元二次方程的解法，勾股定理，分类思想，解题的关键是熟练掌握一元二次方程的
解法及其应用．
（1）因式分解法解方程，从而可得到两个因式的积为0，从而可求解；
（2）由（1）求出方程的两个根为𝑥1 = 5，𝑥2 = 𝑘，然后分类进行讨论即可．
【详解】（1）证明：∵𝑥2−(𝑘+ 5)𝑥+ 5𝑘= 0，
∴(𝑥−5)(𝑥−𝑘) = 0，
解得𝑥1 = 5，𝑥2 = 𝑘，
∴无论k 为何值，此方程总有一个根是定值5；
（2）解：若斜边为12，则另两直角边分别为5 和k，
∴52 + 𝑘2 = 122，
解得𝑘=±
119，
∵边长𝑘> 0，
∴𝑘=
119；
若斜边为k，则另两直角边分别为5 和12，
∴𝑘2 = 52 + 122，
∴解得𝑘=± 13，
∵边长𝑘> 0，
∴𝑘= 13；
综上：𝑘=
119或𝑘= 13．
【题型10 换元法解方程】
【例10】（25-26 八年级下·安徽合肥·期中）已知实数x 满足𝑥4−4𝑥2−12 = 0，则代数式𝑥2 +1的值是（ ）
A．7
B．4
C．7 或−1
D．−5或3
【答案】A
【分析】本题把𝑥2看作整体，将原方程转化为一元二次方程，用因式分解法求解，再根据平方的非负性舍
去不合理的解，最后代入计算𝑥2 +1即可.
【详解】解：∵𝑥4−4𝑥2−12 = 0，
令𝑦= 𝑥2，由平方数的非负性得𝑦≥0，
原方程可化为𝑦2−4𝑦−12 = 0，
因式分解得(𝑦−6)(𝑦+ 2) = 0，
∴𝑦−6 = 0或𝑦+ 2 = 0，
解得𝑦= 6或𝑦= −2，
∵𝑦≥0，
∴𝑦= −2不符合题意舍去，得𝑥2 = 6，
∴𝑥2 +1 = 6 + 1 = 7．
【变式10-1】若x、y 为实数，且(𝑥2 + 𝑦2)(𝑥2 + 𝑦2−1) = 12，则(𝑥2 + 𝑦2) = _____
【答案】4
【分析】令𝑡= 𝑥2 + 𝑦2，代入得到关于𝑡的方程，利用因式分解法解方程，再根据𝑡= 𝑥2 + 𝑦2 ≥0，即可得
解．
【详解】解：令𝑡= 𝑥2 + 𝑦2，代入得𝑡(𝑡−1) = 12，
整理得：𝑡2−𝑡−12 = 0，
∴(𝑡−4)(𝑡+ 3) = 0，
∴𝑡−4 = 0或𝑡+ 3 = 0，
∴𝑡= 4或𝑡= −3，
∴𝑥2 ≥0，𝑦2 ≥0，
∴𝑡= 𝑥2 + 𝑦2 ≥0，
∴𝑡= 4，即𝑥2 + 𝑦2 = 4．
【变式10-2】（25-26 九年级上·江苏扬州·月考）关于𝑥的方程𝑎(𝑥+ 𝑚)2 +𝑏= 0的根是𝑥1 = 2024，𝑥2
= −2026，（𝑎，𝑏，𝑚均为常数，𝑎≠0），则关于𝑥的方程𝑎(𝑥+ 𝑚−3)2 +𝑏= 0的根是_____________________．
【答案】𝑥1 = 2027，𝑥2 = −2023
【分析】令𝑦= 𝑥−3，再利用换元法解一元二次方程即可．
【详解】解：令𝑦= 𝑥−3，则关于𝑥的方程𝑎(𝑥+ 𝑚−3)2 +𝑏= 0可化为𝑎(𝑦+ 𝑚)2 +𝑏= 0，
∵关于𝑥的方程𝑎(𝑥+ 𝑚)2 +𝑏= 0的根是𝑥1 = 2024，𝑥2 = −2026，
∴关于𝑦的方程𝑎(𝑦+ 𝑚)2 +𝑏= 0的根是𝑦1 = 2024，𝑦2 = −2026，
∴关于𝑥的方程𝑎(𝑥+ 𝑚−3)2 +𝑏= 0的根是𝑥1−3 = 2024，𝑥2−3 = −2026，即𝑥1 = 2027，𝑥2 = −2023．
【变式10-3】（25-26 九年级上·贵州遵义·期中）【材料阅读】解方程：(𝑥2−1)2−5(𝑥2−1) +4 = 0
第一步：设𝑥2−1 = 𝑡，则原方程化为𝑡2−5𝑡+ 4 = 0①，解方程①得：𝑡1 = 1,𝑡2 = 4．
第二步：求解x 的方程，即𝑥2−1 = 1②𝑥2−1 = 4③，解②③得：𝑥1 =
2，𝑥2 = −2，𝑥3 =
5，𝑥4 = −
5
第三步：所以原方程的解是：𝑥1 =
2，𝑥2 = −2，𝑥3 =
5，𝑥4 = −5
上述解题方法，我们称之为“换元法”，换元法是数学学习中最常用的一种思想方法；在结构较复杂的数和式
的运算中，若把其中某些部分看成一个整体，并用新字母代替（即换元），则能使复杂的问题简单化．
【初步应用】（1）解方程：(𝑥2−1)2−5(𝑥2−1) +6 = 0
【提升应用】（2）若四个连续自然数的积为120，请按照材料的方法，求这四个连续自然数．
【答案】（1）原方程的解为𝑥1 =
3，𝑥2 = −3，𝑥3 = 2，𝑥4 = −2；
（2）四个连续自然数是2，3，4，5．
【分析】本题考查了换元法的思想应用及一元二次方程的解法．
（1）利用换元法解方程即可；
（2）通过设第一个数，将乘积式转化为方程，再用换元法简化计算即可．
【详解】解：（1）设𝑥2−1 = 𝑦，
原方程可变为𝑦2−5𝑦+ 6 = 0，
则(𝑦−2)(𝑦−3) = 0，
∴𝑦−2 = 0或𝑦−3 = 0，
∴𝑦1 = 2,𝑦2 = 3，
当𝑦= 2时，𝑥2−1 = 2，
解得𝑥1 =
3，𝑥2 = −3，
当𝑦= 3时，𝑥2−1 = 3，
解得𝑥3 = 2，𝑥4 = −2，
∴原方程的解为𝑥1 =
3，𝑥2 = −3，𝑥3 = 2，𝑥4 = −2；
（2）解：设四个连续自然数为n，(𝑛+ 1)，(𝑛+ 2)，(𝑛+ 3)，
由题意得𝑛(𝑛+ 1)(𝑛+ 2)(𝑛+ 3) = 120，
整理得𝑛(𝑛+ 3) (𝑛+ 1)(𝑛+ 2) = 120，即(𝑛2 + 3𝑛)(𝑛2 + 3𝑛+ 2) = 120，
设𝑡= 𝑛2 +3𝑛，则方程化为𝑡(𝑡+ 2) = 120，
即𝑡2 +2𝑡−120 = 0，
因式分解得(𝑡+ 12)(𝑡−10) = 0，
𝑡1 = −12（舍去），𝑡2 = 10，
当𝑡= 10时，𝑛2 +3𝑛= 10，即𝑛2 +3𝑛−10 = 0，
因式分解得，(𝑛+ 5)(𝑛−2) = 0，
∴𝑛= 2，（𝑛= −5舍去），
∴四个连续自然数是2，3，4，5．
【题型11 解含绝对值的一元二次方程】
【例11】（24-25 九年级上·河南信阳·月考）阅读下面的材料，解答问题，
材料：解含绝对值的方程：𝑥2−3|𝑥|−10 = 0．
解：分两种情况：
①当𝑥≥0时，原方程化为：𝑥2−3𝑥−10 = 0解得𝑥1 = 5，𝑥2 = −2（舍去）；
②当𝑥< 0时，原方程化为𝑥2 +3𝑥−10 = 0，解得____________
综上所述，原方程的解是______
请参照上述方法解方程：𝑥2 +2|𝑥+ 2|−4 = 0．
【答案】𝑥1 = −5，𝑥2 = 2（舍去）；𝑥1 = 5，𝑥2 = −5；𝑥1 = 0，𝑥2 = −2
【分析】本题考查了解一元二次方程，分类讨论是解题的关键．
根据题意分两种情况讨论，化简绝对值，然后解一元二次方程即可求解．
【详解】解：②当𝑥< 0时，原方程化为𝑥2 +3𝑥−10 = 0，
(𝑥−2)(𝑥+ 5) = 0，
𝑥−2 = 0或𝑥+ 5 = 0
解得𝑥1 = −5，𝑥2 = 2（舍去）；
综上所述，原方程的解是𝑥1 = 5，𝑥2 = −5；
𝑥2 +2|𝑥+ 2|−4 = 0，
①当𝑥+ 2 ≥0时，即𝑥≥−2时，原方程化为：𝑥2 +2(𝑥+ 2)−4 = 0
∴𝑥2 +2𝑥= 0
𝑥(𝑥+ 2) = 0，
𝑥= 0或𝑥+ 2 = 0
解得𝑥1 = 0，𝑥2 = −2（舍去）；
②当𝑥+ 2 < 0时，即𝑥< −2时，原方程化为𝑥2−2(𝑥+ 2)−4 = 0
𝑥2−2𝑥−8 = 0，
𝑥2−2𝑥= 8，
𝑥2−2𝑥+ 1 = 8 + 1，
(𝑥−1)2 = 9，
𝑥−1 =± 3，
解得𝑥1 = −2，𝑥2 = 4（舍去）；
综上所述，原方程的解是𝑥1 = 0，𝑥2 = −2．
【变式11-1】（24-25 九年级上·河南安阳·期中）解方程：𝑥2−|𝑥|−2 = 0．
【答案】𝑥1 = 2，𝑥2 = −2
【分析】本题考查了解一元二次方程，绝对值方程，解题的关键是理解题意，学会利用分类讨论的思想思
考问题．
本题先分类讨论，将绝对值方程化为一元二次方程，进而求解一元二次方程，舍弃不符合条件的答案，即
可得到本题的答案；
【详解】解：分两种情况讨论
（1）当𝑥≥0时，原方程可化为𝑥2−𝑥−2 = 0，
解得：𝑥1 = 2，𝑥2 = −1（舍去）；
（2）当𝑥< 0时，原方程可化为𝑥2 +𝑥−2 = 0，
解得：𝑥1 = −2，𝑥2 = 1（舍去）；
∴综上所述，原方程的根是𝑥1 = 2，𝑥2 = −2．
【变式11-2】解方程𝑥2−|𝑥+1|−1=0．
【答案】𝑥1=2,𝑥2=−1
【分析】根据题意分两种情况讨论，化简绝对值，然后解一元二次方程即可求解．
【详解】解：分两种情况：
①当𝑥+1≥0，即𝑥≥−1时，原方程化为𝑥2−(𝑥+1)−1=0，解得𝑥1=2,𝑥2=−1；
②当𝑥+1<0，即𝑥<−1时，原方程化为𝑥2+(𝑥+1)−1=0，解得𝑥3=0（舍去），𝑥4=−1（舍去）．
综上所述，原方程的解是𝑥1=2,𝑥2=−1．
【点睛】本题考查了解一元二次方程，分类讨论是解题的关键．
【变式11-3】（25-26 九年级上·重庆万州·月考）解下列方程：
(1)𝑥2−2|𝑥| = 0；
(2)𝑥2−2𝑥−4|𝑥−1|−4 = 0．
【答案】(1)𝑥= −2或𝑥= 0或𝑥= 2
(2)𝑥= −4或𝑥= 6
【分析】本题主要考查了解一元二次方程，正确理解题意是解题的关键．
（1）分𝑥≥0和𝑥< 0两种情况，分别去绝对值，然后解方程即可；
（2）分𝑥≥1和𝑥< 1两种情况，分别去绝对值，然后解方程即可．
【详解】（1）解：当𝑥≥0时，原方程为𝑥2−2𝑥= 0，
∴𝑥(𝑥−2) = 0，
∴𝑥= 0或𝑥−2 = 0，
解得𝑥= 0或𝑥= 2；
当𝑥< 0时，原方程为𝑥2 +2𝑥= 0，
∴𝑥(𝑥+ 2) = 0，
∴𝑥= 0或𝑥+ 2 = 0，
解得𝑥= 0或𝑥= −2；
综上所述，原方程的解为𝑥= −2或𝑥= 0或𝑥= 2；
（2）解：当𝑥≥1时，原方程为𝑥2−2𝑥−4𝑥+ 4−4 = 0，即𝑥2−6𝑥= 0，
∴𝑥(𝑥−6) = 0，
∴𝑥= 0或𝑥−6 = 0，
解得𝑥= 6或𝑥= 0（舍去）；
当𝑥< 1时，原方程为𝑥2−2𝑥+ 4𝑥−4−4 = 0，即𝑥2 +2𝑥−8 = 0，
∴(𝑥+ 4)(𝑥−2) = 0，
∴𝑥+ 4 = 0或𝑥−2 = 0，
解得𝑥= −4或𝑥= 2（舍去）；
综上所述，原方程的解为𝑥= −4或𝑥= 6．
知识点6 一元二次方程根与系数的关系
1. 由求根公式可得当∆≥𝟎时，一元二次方程𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥+ 𝑐= 0(𝑎≠0)的两根分别为𝑥1 =
−𝒃+ 𝒃𝟐−𝟒𝒂𝒄
𝟐𝒂
，𝑥2 =
−𝒃−𝒃𝟐−𝟒𝒂𝒄
𝟐𝒂
,则𝑥1 + 𝑥2 = −
𝒃
𝒂，𝑥1𝑥2 =
𝒄
𝒂．
例如：方程𝑥2 + 𝑝𝑥+ 𝑞= 0的两根为𝑥1，𝑥2，则𝑥1 + 𝑥2 = −𝒑，𝑥1𝑥2 = 𝒒．
2. 一元二次方程根与系数的关系的应用
（1）不解方程，求关于方程两根的代数式的值．
（2）已知方程一根，求方程的另一根及方程中字母的值．
（3）已知方程两根的关系，求方程中字母的值．
（4）与根的判别式相结合，解决一些综合题．
【题型12 运用根与系数的关系计算】
【例12】（25-26 九年级上·内蒙古赤峰·期末）若𝛼,𝛽是一元二次方程𝑥2−3𝑥−2 = 0的两个根，则𝛼+ 𝛽,𝛼𝛽的
值为（ ）
A．−3,2
B．3,−2
C．−3,−2
D．3,2
【答案】B
【分析】根据一元二次方程𝑎𝑥2 +𝑏𝑥+ 𝑐= 0(𝑎≠0)的两根之和为−
𝑏
𝑎，两根之积为
𝑐
𝑎，即可得到结果.
【详解】解：∵𝛼,𝛽是一元二次方程𝑥2−3𝑥−2 = 0的两个根，且方程中𝑎= 1，𝑏= −3，𝑐= −2，
∴𝛼+ 𝛽= −
𝑏
𝑎= −
−3
1 = 3，𝛼𝛽=
𝑐
𝑎=
−2
1 = −2.
考点4
一元二次方程的根与系数的关系
【变式12-1】（25-26 八年级下·浙江湖州·期中）若实数m，n 是一元二次方程𝑥2−5𝑥+ 6 = 0的两个根，则
多项式𝑚𝑛+ 𝑚+ 𝑛的值为______．
【答案】11
【分析】根据一元二次方程根与系数的关系，直接得到𝑚+ 𝑛和𝑚𝑛的值，整体代入该多项式进行计算即可．
【详解】解：∵实数m，n 是一元二次方程 𝑥2−5𝑥+ 6 = 0的两个根，
∴ 𝑚+ 𝑛= 5，𝑚𝑛= 6，
∴ 𝑚𝑛+ 𝑚+ 𝑛= 6 + 5 = 11．
【变式12-2】（25-26 八年级下·江苏苏州·期中）若关于x 的一元二次方程𝑥2−2𝑥+ 2𝑘+ 1 = 0有两个不相等
的实数根𝑥1、𝑥2．
(1)求实数k 应满足的条件．
(2)当k 取最大整数时，求𝑥1 + 𝑥2−𝑥1 ⋅𝑥2的值．
【答案】(1)𝑘< 0
(2)3
【分析】（1）根据一元二次方程有两个不相等的实数根，可知其判别式大于0，据此列出关于k 的不等式，
求解不等式即可得到k 的取值范围；
（2）先根据（1）中k 的取值范围确定k 的最大整数值，再将其代入原方程，最后利用根与系数的关系求出
𝑥1 + 𝑥2−𝑥1 ⋅𝑥2的值．
【详解】（1）解：∵关于x 的一元二次方程𝑥2−2𝑥+ 2𝑘+ 1 = 0有两个不相等的实数根𝑥1，𝑥2，
∴𝑏2−4𝑎𝑐= (−2)2−4 × 1 × (2𝑘+ 1) > 0，
解得𝑘< 0．
（2）解：𝑘< 0的最大整数为−1，
∴𝑥2−2𝑥−1 = 0，
∴𝑥1 + 𝑥2 = −
𝑏
𝑎= −
−2
1 = 2，𝑥1 ⋅𝑥2 =
𝑐
𝑎= −1，
则𝑥1 + 𝑥2−𝑥1 ⋅𝑥2 = 2−(−1) = 3．
【变式12-3】（25-26 八年级下·浙江金华·月考）设𝑥1，𝑥2为方程2𝑥2−7𝑥+ 2 = 0的两根，试求下列各式的
值；
(1)
1
𝑥1 +
1
𝑥2
(2)
𝑥2
𝑥1 +
𝑥1
𝑥2
(3)
𝑥2
𝑥1 +
𝑥1
𝑥2
【答案】(1)
7
2
(2)
41
4
(3)
7
2
【分析】（1）先根据一元二次方程根与系数的关系，得到两根之和与两根之积的值，再将所求代数式通分
后代值计算即可．
（2）将所求代数式通分后代值计算即可．
（3）先对所求式子平方，结合第二问结果计算后再开方得到最终结果．
【详解】（1）解：∵𝑥1,𝑥2是方程2𝑥2−7𝑥+ 2 = 0的两根，
∴𝑥1 + 𝑥2 =
7
2,𝑥1𝑥2 =
2
2 = 1，
∴
1
𝑥1 +
1
𝑥2 =
𝑥1+𝑥2
𝑥1𝑥2 =
7
2
1 =
7
2．
（2）解：
𝑥2
𝑥1 +
𝑥1
𝑥2
=
𝑥2
1+𝑥2
2
𝑥1𝑥2 ，
=
(𝑥1+𝑥2)2−2𝑥1𝑥2
𝑥1𝑥2
，
=
7
2
2
−2×1
1
=
49
4 −2 =
41
4 ．
（3）解：∵𝑥1𝑥2 = 1 > 0,𝑥1 + 𝑥2 =
7
2 > 0，
∴𝑥1 > 0,𝑥2 > 0，
∴
𝑥2
𝑥1 +
𝑥1
𝑥2
2
=
𝑥2
𝑥1 +2
𝑥2
𝑥1 ⋅
𝑥1
𝑥2 +
𝑥1
𝑥2，
=
𝑥2
𝑥1 +
𝑥1
𝑥2 +2，
=
41
4 +2 =
49
4 ，
∴
𝑥2
𝑥1 +
𝑥1
𝑥2 =
49
4 =
7
2．
【题型13 运用根与系数的关系求参数的值】
【例13】（25-26 八年级下·安徽马鞍山·期中）已知关于𝑥的一元二次方程−𝑥2 + 𝑎2𝑥−1 + 𝑎= 0的两个实数
根为𝑥1，𝑥2，若𝑥1 + 𝑥2 = 1，则𝑎的值为（ ）
A．1
B．−1
C．1或−1
D．0
【答案】A
【分析】本题利用一元二次方程根与系数的关系求出𝑎的可能取值，再根据方程有两个实数根的要求，通过
判别式检验舍去不符合的解，得到最终结果．
【详解】解：将原方程整理为一般形式−𝑥2 + 𝑎2𝑥+ (𝑎−1) = 0，
对于一元二次方程𝐴𝑥2 +𝐵𝑥+ 𝐶= 0(𝐴≠0)，可得𝐴= −1,𝐵= 𝑎2,𝐶= 𝑎−1，
∵ 一元二次方程两根之和满足𝑥1 + 𝑥2 = −
𝐵
𝐴，且已知𝑥1 + 𝑥2 = 1，
∴−
𝑎2
−= 𝑎2 = 1，
解得𝑎= 1或𝑎= −1，
∵方程有两个实数根，
∴ 判别式Δ = 𝐵2−4𝐴𝐶≥0，
代入得Δ = 𝑎4 +4𝑎−4，
当𝑎= 1时，Δ = 1 + 4−4 = 1 > 0，符合要求，
当𝑎= −1时，Δ = 1−4−4 = −7 < 0，不存在两个实数根，舍去，
∴𝑎= 1．
【变式13-1】（25-26 九年级下·四川成都·月考）若关于x 的一元二次方程𝑘𝑥2−2𝑥−1 = 0的两个实数根互为
倒数，则𝑘= ________________．
【答案】−1
【分析】此题考查了根与系数的关系，熟练掌握两根之积与系数的关系是解题的关键．
根据倒数的定义得到两根乘积为1，再利用一元二次方程根与系数的关系建立关于𝑘的方程，得到𝑘的值．
【详解】解：设方程𝑘𝑥2−2𝑥−1 = 0的两个实数根为𝑥1，𝑥2
由题意，两个根互为倒数，因此𝑥1𝑥2 = 1．
根据一元二次方程根与系数的关系，得𝑥1𝑥2 =
𝑐
𝑎=
−1
𝑘
因此
−1
𝑘= 1，解得𝑘= −1．
当𝑘= −1时，方程为：−𝑥2−2𝑥−1 = 0，
整理得：𝑥2 +2𝑥+ 1 = 0．
𝛥= 22−4 × 1 × 1 = 0，符合题意．
故答案为：−1．
【变式13-2】（25-26 九年级上·江苏镇江·月考）若关于𝑥的一元二次方程𝑥2−(𝑘+ 3)𝑥+ 2𝑘+ 2 = 0有一根
小于1，一根大于1，则𝑘的取值范围是( )
A．𝑘≠0
B．𝑘< 0
C．𝑘< −1
D．𝑘＞0
【答案】B
【分析】构造不等式(𝑥1−1)(𝑥2−1) < 0，结合一元二次方程的根与系数关系转化为关于𝑘的不等式求解，同
时验证判别式保证方程有两个不相等的实数根．
【详解】解：设方程𝑥2−(𝑘+ 3)𝑥+ 2𝑘+ 2 = 0的两根为𝑥1、𝑥2，且𝑥1 < 1，𝑥2 > 1，
由根与系数的关系得𝑥1 + 𝑥2 = 𝑘+ 3，𝑥1𝑥2 = 2𝑘+ 2，
∵𝑥1 < 1，𝑥2 > 1，
∴(𝑥1−1)(𝑥2−1) < 0，即𝑥1𝑥2−(𝑥1 + 𝑥2) + 1 < 0，
∴2𝑘+ 2−(𝑘+ 3) + 1 < 0，解得𝑘< 0，
又判别式Δ = (𝑘+ 3)2−4(2𝑘+ 2) = 𝑘2−2𝑘+ 1 = (𝑘−1)2，
当𝑘< 0时，𝑘≠1，故Δ > 0，方程有两个不相等的实数根，满足条件；
综上，𝑘的取值范围是𝑘< 0．
【变式13-3】（25-26 九年级上·河北石家庄·期末）已知𝑥1,𝑥2是方程(𝑎−1)𝑥2−3(2−𝑎)𝑥+ 1 = 0的两个实数
根．若
1
𝑥1 +
1
𝑥2 = 6，求𝑎= （ ）
A．3
B．−3
C．4
D．0
【答案】D
【分析】本题考查一元二次方程根与系数的关系，由根与系数的关系，将条件转化为关于a 的方程求解即
可．
【详解】解：∵方程是(𝑎−1)𝑥2−3(2−𝑎)𝑥+ 1 = 0，
∴设𝐴= 𝑎−1，𝐵= −3(2−𝑎)，𝐶= 1，
则𝑥1 + 𝑥2 = −
𝐵
𝐴，𝑥1𝑥2 =
𝐶
𝐴，
∴
1
𝑥1 +
1
𝑥2 =
𝑥1+𝑥2
𝑥1𝑥2 =
−
𝐵
𝐴
𝐶
𝐴
= −
𝐵
𝐶，
代入𝐵= −3(2−𝑎)，𝐶= 1，
得
1
𝑥1 +
1
𝑥2 = −
−3(2−𝑎)
1
= 3(2−𝑎)，
给定
1
𝑥1 +
1
𝑥2 = 6，
∴3(2−𝑎) = 6，
解得2−𝑎= 2，
∴𝑎= 0，
当𝑎= 0时，方程为−𝑥²−6𝑥+ 1 = 0，其根的判别式𝛥= (−6)²−4 × (−1) × 1 = 40 > 0，满足题意
此时𝑎−1 = −1 ≠0，方程确为二次方程，符合条件．
故选：D．
【题型14 根的判别式与根与系数的关系的综合运用】
【例14】（25-26 九年级下·黑龙江·期中）已知等腰三角形𝐴𝐵𝐶中，𝐵𝐶= 8，𝐴𝐵，𝐴𝐶的长是关于𝑥的方程𝑥2
−10𝑥+ 𝑚= 0的两个实数根，则𝑚的值为_____．
【答案】25或16
【分析】应分两种情况进行讨论，分别利用根与系数的关系、三角形三边关系定理求得方程的两个根，进
而求得答案．
【详解】解：∵关于x 的方程𝑥2−10𝑥+ 𝑚= 0，
∴𝑎= 1，𝑏= −10，𝑐= 𝑚，
∴𝑥1 + 𝑥2 = −
𝑏
𝑎= 10，𝑥1𝑥2 =
𝑐
𝑎= 𝑚，
∵△𝐴𝐵𝐶是等腰三角形，𝐴𝐵、𝐴𝐶的长是关于x 的方程𝑥2−10𝑥+ 𝑚= 0的两根，
∴①当𝐵𝐶= 8为底时，则𝐴𝐵、𝐴𝐶均为等腰三角形的腰，有𝐴𝐵+ 𝐴𝐶= 𝑥1 + 𝑥2 = 10且𝐴𝐵= 𝐴𝐶，
∴𝐴𝐵= 𝐴𝐶= 5，此时等腰三角形的三边分别为5、5、8，根据三角形三边关系定理可知可以构成三角形，则
𝑚= 𝑥1𝑥2 = 𝐴𝐵⋅𝐴𝐶= 25；
②当𝐵𝐶= 8为腰时，则𝐴𝐵、𝐴𝐶中一个为腰一个为底，有𝑥1 + 𝑥2 = 8 + 𝑥2 = 10，即𝑥2 = 2，此时等腰三角
形的三边分别为2、8、8，根据三角形三边关系定理可知可以构成三角形，则𝑚= 𝑥1𝑥2 = 𝐴𝐵⋅𝐴𝐶= 16．
∴综上所述，𝑚的值为25或16．
【变式14-1】（25-26 八年级下·浙江金华·期中）已知关于x 的方程𝑥2−(𝑘+ 4)𝑥+ 2𝑘+ 4 = 0．
(1)求证：该方程总有两个实数根；
(2)记该方程的两个实数根为𝑥1，𝑥2，求代数式(𝑥1−2)(𝑥2−2)．
【答案】(1)见解析
(2)0
【分析】（1）求出Δ ≥0，即可得证；
（2）由一元二次方程根与系数的关系可得𝑥1 + 𝑥2 = 𝑘+ 4，𝑥1𝑥2 = 2𝑘+ 4，将所求代数式变形为𝑥1𝑥2−2
(𝑥1 + 𝑥2) +4，整体代入计算即可得出结果．
【详解】（1）证明：由题意可得：
Δ = −(𝑘+ 4)
2
−4 × 1 × (2𝑘+ 4)，
= 𝑘2 +8𝑘+ 16−8𝑘−16，
= 𝑘2，
∵𝑘2 ≥0，
∴Δ ≥0，
∴该方程总有两个实数根；
（2）解：∵该方程的两个实数根为𝑥1，𝑥2，
∴𝑥1 + 𝑥2 = 𝑘+ 4，𝑥1𝑥2 = 2𝑘+ 4，
∴(𝑥1−2)(𝑥2−2)
= 𝑥1𝑥2−2𝑥1−2𝑥2 +4，
= 𝑥1𝑥2−2(𝑥1 + 𝑥2) +4，
= 2𝑘+ 4−2(𝑘+ 4) +4，
= 2𝑘+ 4−2𝑘−8 + 4，
= 0．
【变式14-2】（25-26 九年级上·江苏无锡·期末）已知一元二次方程𝑥2−2𝑥+ 𝑚= 0．
(1)若方程有两个实数根，求𝑚的范围；
(2)若方程的两个实数根为𝑥1，𝑥2，且𝑥1 +4𝑥2 = 3，求𝑚的值．
【答案】(1)𝑚≤1
(2)𝑚=
5
9
【分析】本题主要考查了一元二次方程的根的判别式，根与系数的关系，熟知一元二次方程的根的判别式
和根与系数的关系是解题的关键．
（1）根据题意可得Δ = (−2)2−4 × 1 × 𝑚≥0，解之即可得到答案；
（2）根据根与系数的关系可得𝑥1 + 𝑥2 = 2，𝑥1𝑥2 = 𝑚，再由题意可得(𝑥1 + 𝑥2) +3𝑥2 = 3，据此求出𝑥1，𝑥2
的值即可得到答案．
【详解】（1）解：∵关于x 的一元二次方程𝑥2−2𝑥+ 𝑚= 0有两个实数根，
∴Δ = (−2)2−4 × 1 × 𝑚≥0，
∴𝑚≤1；
（2）解：∵关于x 的一元二次方程𝑥2−2𝑥+ 𝑚= 0的两个实数根为𝑥1，𝑥2，
∴𝑥1 + 𝑥2 = 2，𝑥1𝑥2 = 𝑚
∵𝑥1 +4𝑥2 = 3，
∴(𝑥1 + 𝑥2) +3𝑥2 = 3，
∴2 + 3𝑥2 = 3，
∴𝑥2 =
1
3，
∴𝑥1 = 2−
1
3 =
5
3，
∴𝑚= 𝑥1𝑥2 =
5
3 ×
1
3 =
5
9，
∵
5
9 < 1，
∴𝑚=
5
9符合题意．
∴𝑚=
5
9．
【变式14-3】（25-26 八年级下·安徽淮北·期中）已知关于𝑥的一元二次方程2𝑥2−𝑚𝑥= 1，其中𝑚为实数．
(1)求证：该方程有两个不相等的实数根；
(2)若该方程的一个根为−1，求另一个根；
(3)若该方程的一个根大于2，另一个根小于2，求𝑚的取值范围．
【答案】(1)见解析
(2)𝑥=
1
2
(3)𝑚>
7
2
【分析】（1）由根的判别式计算即可证明；
（2）将已知的方程根代入方程后可求得𝑚的值，再根据根与系数的关系得到𝑥1 + 𝑥2的值，进而可得另一个
根；
（3）方程2𝑥2−𝑚𝑥= 1的两个实数根为𝑎，𝑏，由根与系数的关系得到𝑎+ 𝑏，𝑎𝑏，再根据两个根的取值范围
得到(𝑎−2)(𝑏−2) < 0，然后解不等式即可．
【详解】（1）证明：一元二次方程2𝑥2−𝑚𝑥= 1化为一般形式为2𝑥2−𝑚𝑥−1 = 0，
∵𝛥= (−𝑚)2−4 × 2 × (−1) = 𝑚2 +8 > 0，
∴该方程有两个不相等的实数根；
（2）解：将𝑥= −1代入方程2𝑥2−𝑚𝑥= 1得，2 × (−1)2−𝑚× (−1) = 1，解得𝑚= −1，
∴此方程为2𝑥2 +𝑥−1 = 0，
∴𝑥1 + 𝑥2 = −
1
2，
∴另一根为𝑥= −
1
2−(−1) =
1
2；
（3）解：设方程2𝑥2−𝑚𝑥= 1的两个实数根为𝑎，𝑏，
∴𝑎+ 𝑏= −
−𝑚
2 =
𝑚
2，𝑎𝑏= −
1
2，
∵方程2𝑥2−𝑚𝑥= 1的一个根大于2，另一个根小于2，
∴(𝑎−2)(𝑏−2) < 0，
∴𝑎𝑏−2(𝑎+ 𝑏) +4 < 0，
∴−
1
2−2 ×
𝑚
2 +4 < 0，解得𝑚>
7
2．
【题型15 方程的解和根与系数的关系的综合求值】
【例15】（25-26 九年级上·四川泸州·月考）已知 α、 β 是方程𝑥2−3𝑥−5 = 0的两根，则𝛼3 +14𝛽=
___________ .
【答案】57
【分析】根据根与系数关系定理，方程根的定义解答即可．
本题考查了一元二次方程的根与系数关系定理，熟练掌握定理是解题的关键．
【详解】解：∵α、 β 是方程𝑥2−3𝑥−5 = 0 的两个根，
∴ 𝛼+ 𝛽= 3，𝛼2−3𝛼−5 = 0，
∴𝛼2 = 3𝛼+ 5，
∴𝛼3 +14𝛽= 𝛼(3𝛼+ 5) +14𝛽= 3𝛼2 +5𝛼+ 14𝛽
= 3(3𝛼+ 5) +5𝛼+ 14𝛽= 14𝛼+ 14𝛽+ 15 = 14(𝛼+ 𝛽) +15 = 42 + 15 = 57，
故答案为：57．
【变式15-1】（25-26 八年级下·浙江金华·月考）如果𝑚，𝑛是一元二次方程𝑥2−𝑥= 5的两个实数根，那么多
项式𝑚2−𝑚𝑛+ 𝑛+ 1的值是（ ）
A．12
B．10
C．2
D．0
【答案】A
【分析】利用一元二次方程的解的定义和根与系数的关系，对所求多项式进行整体代换计算，即可得到结
果．
【详解】解：将𝑥2−𝑥= 5整理为𝑥2−𝑥−5 = 0，
∵m、n 是方程𝑥2−𝑥−5 = 0的两个实数根，
∴由一元二次方程解的定义得𝑚2−𝑚−5 = 0，即𝑚2 = 𝑚+ 5，由根与系数的关系得𝑚+ 𝑛= 1，𝑚𝑛= −5，
∴𝑚2−𝑚𝑛+ 𝑛+ 1
= (𝑚+ 5)−𝑚𝑛+ 𝑛+ 1，
= (𝑚+ 𝑛)−𝑚𝑛+ 6，
= 1−(−5) +6，
= 12．
【变式15-2】（25-26 九年级上·四川宜宾·期末）若一元二次方程𝑥2 +𝑥−1 = 0的两根为𝛼、𝛽，则𝛼3 + 𝛼2
+𝛽+ 2026的值为______．
【答案】2025
【分析】本题考查了一元二次方程的解，一元二次方程根与系数的关系．先根据题意得到𝛼2 +𝛼−1 = 0，
𝛼+ 𝛽= −1，则𝛼3 = 𝛼−𝛼2，再整体代入即可求解．
【详解】解：∵一元二次方程𝑥2 +𝑥−1 = 0的两根为𝛼, 𝛽，
∴𝛼2 +𝛼−1 = 0，𝛼+ 𝛽= −1，
∴𝛼3 = 𝛼−𝛼2，
∴𝛼3 + 𝛼2 +𝛽+ 2026
= 𝛼−𝛼2 + 𝛼2 +𝛽+ 2026，
= 𝛼+ 𝛽+ 2026，
= −1 + 2026，
= 2025，
故答案为：2025．
【变式15-3】（25-26 九年级上·广西南宁·月考）已知𝛼，𝛽是方程𝑥2 +2024𝑥+ 1 = 0的两个根，则
(1 + 2026𝛼+ 𝛼2) (𝛼𝛽+ 𝛽2)的值为（ ）
A．−4048
B．4048
C．−2024
D．2024
【答案】A
【分析】利用一元二次方程根的定义对所求的代数式降次变形，再结合根与系数的关系得到两根乘积，代
入计算即可．
【详解】∵ 𝛼，𝛽是方程𝑥2 +2024𝑥+ 1 = 0的两个根，
∴由方程根的定义得𝛼2 +2024𝛼+ 1 = 0，𝛽2 +2024𝛽+ 1 = 0，
由一元二次方程根与系数的关系得𝛼𝛽= 1，
∵1 + 2026𝛼+ 𝛼2 = (𝛼2 + 2024𝛼+ 1) +2𝛼= 0 + 2𝛼= 2𝛼，
又∵𝛼𝛽= 1，
∴𝛼𝛽+ 𝛽2 = 1 + 𝛽2，
由𝛽2 +2024𝛽+ 1 = 0，得𝛽2 +1 = −2024𝛽，
∴ 𝛼𝛽+ 𝛽2 = −2024𝛽，
∴原式= 2𝛼× (−2024𝛽) = −4048𝛼𝛽，
将𝛼𝛽= 1代入得：原式= −4048 × 1 = −4048．
