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专题25.2 降次——解一元二次方程（举一反三讲义）
【新教材人教版】
【题型1 可化为x2 =p型的方程】..........................................................................................................................2
【题型2 可化为(mx +n)2 =p型的方程】...............................................................................................................3
【题型3 配方】........................................................................................................................................................3
【题型4 用配方法解方程】....................................................................................................................................3
【题型5 配方法的应用】........................................................................................................................................4
【题型6 判断根的情况】........................................................................................................................................6
【题型7 求参数的值或取值范围】........................................................................................................................6
【题型8 用公式法解方程】....................................................................................................................................6
【题型9 用因式分解法解方程】............................................................................................................................7
【题型10 换元法解方程】......................................................................................................................................8
【题型11 解含绝对值的一元二次方程】..............................................................................................................8
【题型12 运用根与系数的关系计算】..................................................................................................................9
【题型13 运用根与系数的关系求参数的值】....................................................................................................10
【题型14 根的判别式与根与系数的关系的综合运用】....................................................................................10
【题型15 方程的解和根与系数的关系的综合求值】........................................................................................11
知识点1 直接开平方法解一元二次方程
1. 非负数a 的算术平方根为𝑎，平方根为±
𝑎．
例如：144 的算术平方根为144 = 12，平方根为±
144 = ± 12．
2. 根据平方根的意义直接开平方来解一元二次方程的方法，叫做直接开平方法．
例如𝑥2 = 25，解得𝑥=± 5．
一般地，对于方程𝑥2 = p．
𝑝> 0
方程有两个不等的实数根𝑥1 =
𝒑，𝑥2 = −𝒑
𝑝= 0
方程有两个相等的实数根𝑥1 = 𝑥2 = 𝟎
𝑝< 0
方程无实数根
3. 直接降次解一元二次方程的步骤
(1)将方程化为𝑥2 = p 或(𝑚𝑥+ 𝑛)2 = 𝑝(𝑝≥0,𝑚≠0)的形式；
考点1
配方法
题型归纳
（2)直接开平方化为两个一元一次方程；
（3)解两个一元一次方程得到原方程的解．
知识点2 配方法解一元二次方程
1. 解一元二次方程时，先把常数项移到右边，再把它的左边配成含有未知数的完全平方式，即将方程化为
(𝑥+ 𝑎)2 = 𝑏的形式，如果右边是一个非负数，那么就可以利用直接开平方的方法求解．这种通过配成完全
平方形式来解一元二次方程的方法，叫做配方法．
2. 配方法解一元二次方程的一般步骤(示例)
一般步骤
方法
实例(9𝑦2−18𝑦−4 = 0)
一移
移项
将常数项移到方程的右边，含
未知数的项移到方程的左边
9𝑦2−18𝑦= 4
二化
二次项系数化为1
方程左、右两边同时除以二次
项系数
𝑦2−2𝑦= 4
9
三配
配方
方程左、右两边同时加上一次
项系数一半的平方
𝑦2−2𝑦+ 1 = 4
9 + 1
即(𝑦−1)2 = 13
9
四开
开平方
利用平方根的意义直接开平
方
(y−1) =±
13
3
五解
得出两个根
移项，合并同类项
y1 = 1 +
13
3 ，y2 = 1−13
3
归纳：当方程一边配成了关于未知数的完全平方式后，如果另一边是正数，那么这个方程就有两个不相等
的实数根；如果另一边是零，那么这个方程就有两个相等的实数根；如果另一边是负数，那么这个方程就
没有实数根．
3. 解题依据：(𝑎± 𝑏)2 = 𝑎2 ± 2𝑎𝑏+ 𝑏2，把公式中的𝑎看作未知数𝑥，并用𝑥代替，则(𝑥± 𝑏)2 = 𝑥2 ± 2𝑏𝑥+
𝑏2．
【题型1 可化为𝐱2 =𝐩型的方程】
【例1】（25-26 九年级下·江苏常州·期中）方程𝑥2−4 = 0的根是（ ）
A．𝑥1 = 𝑥2 = 2
B．x1 = 𝑥2 = −2
C．𝑥1 = 2，𝑥2 = −2
D．𝑥1 = 4，𝑥2 = −4
【变式1-1】（25-26 九年级上·北京·期末）方程3𝑥2−27 = 0的解是______．
【变式1-2】（25-26 九年级上·山西忻州·期末）方程25𝑥2−1 = 0的根为（ ）
A．𝑥=
1
5
B．𝑥= 5
C．𝑥1 =
1
5，𝑥2 = −
1
5
D．𝑥1 = 5，𝑥2 = −5
【变式1-3】（25-26 八年级上·上海浦东新·月考）已知关于x的方程𝑥2 = 3−𝑘没有实数根，那么k 的取值范
围是__________.
【题型2 可化为(mx +𝒏)2 =𝒑型的方程】
【例2】（25-26 九年级上·福建福州·期中）若一元二次方程（x﹣3）2＝16 可转化为两个一元一次方程，其
中一个一元一次方程是x﹣3＝4，则另一个一元一次方程是 ___．
【变式2-1】（25-26 九年级上·江苏南京·期末）方程(𝑥+ 3)2 = 4的根是（ ）
A．𝑥1 = −1，𝑥2 = −5
B．𝑥1 = 1，𝑥2 = −5
C．𝑥1 = 𝑥2 = −1
D．𝑥1 = −1，𝑥2 = 5
【变式2-2】（25-26 九年级上·全国·课后作业）将方程(2𝑥－1)2 = 9的两边同时开平方，
得2𝑥－1 = ________，
即2𝑥－1＝________或2𝑥－1＝________，
所以𝑥1＝________，𝑥2＝ ________．
【变式2-3】（25-26 八年级下·安徽亳州·月考）已知方程(𝑥+ 1)2 = 9的两个根为𝑥1，𝑥2，且𝑥1 > 𝑥2，则
𝑥1
𝑥2 =
________．
【题型3 配方】
【例3】（25-26 九年级上·山东青岛·单元测试）配方：𝑥2−
2
5𝑥+ ________ = (𝑥−________)2．
【变式3-1】（25-26 九年级上·海南·月考）配方：𝑥2−3𝑥+ ______=（𝑥−______）
2；2𝑥2−8𝑥+ 8 = 2
（______）
2．
【变式3-2】（2025·广东东莞·一模）方程x2+2x﹣1=0 配方得到（x+m）2=2，则m=_____．
【变式3-3】（25-26 九年级上·江苏盐城·月考）关于x 的代数式𝑥2 + (𝑚+ 1)𝑥+ (𝑚+ 1)中，当𝑚= ______
时，代数式为完全平方式．
【题型4 用配方法解方程】
【例4】（25-26 九年级上·全国·课后作业）（1）将一元二次方程3𝑥2−6𝑥+ 1 = 0配方后，得(𝑥−1)2 = ________．
（2）将一元二次方程5𝑥2 +2 = 8𝑥配方后，得𝑥−
4
5
2
= ________．
【变式4-1】（25-26 九年级上·山西朔州·月考）佳佳在解一元二次方程𝑥2 +6𝑥−4 = 0时出现错误，解答过程
如下：
解：𝑥2 +6𝑥−4 = 0
移项，得𝑥2 +6𝑥= 4．……①
配方，得𝑥2 +6𝑥+ 9 = 4．……②
即(𝑥+ 3)2 = 4．……③
解得𝑥1 = −1，𝑥2 = −5．……④
(1)上述解答过程中，从第______步开始出现了错误；（填序号）
(2)写出正确的解答过程．
【变式4-2】（25-26 八年级下·浙江杭州·期中）已知关于𝑥的方程𝑥2−𝑚𝑥+ 𝑛= 0通过配方可变形为𝑥−
1
4
2
=
15
16，则
𝑚
𝑛的值为_____．
【变式4-3】（25-26 九年级上·河南南阳·期中）已知方程x2－6x＋q＝0 配方后是（x－p）2＝7，那么方程x2
＋6x＋q＝0 配方后是（ ）
A．（x＋p）2＝7 B．（x＋p）2＝5
C．（x－p）2＝7
D．（x－p）2＝5
【题型5 配方法的应用】
【例5】（24-25 八年级上·北京·期末）通过配方，可以求得代数式𝑎2−6𝑎+ 10的最小值是（ ）
A．0
B．1
C．9
D．10
【变式5-1】（25-26 八年级下·浙江杭州·期中）已知𝐴= 2𝑥+ 𝑚，𝐵= 𝑥2 +𝑚+ 4，则比较代数式A 与B 的
值：A________B．（请用“ > ”、“ < ”、“ = ”表示）
【变式5-2】（25-26 八年级上·湖南邵阳·期末）已知𝑎+ 2𝑏+ 3𝑐= 6，则𝑎2 +2𝑏2 +3𝑐2的取值范围是___．
【变式5-3】阅读材料：把形如𝑎𝑥2 +𝑏𝑥+ 𝑐的二次三项式（或其一部分）配成完全平方式的方法叫配方
法．配方法的基本形式是完全平方公式的逆写，即𝑎2 ± 2𝑎𝑏+ 𝑏2 = (𝑎± 𝑏)2．请根据阅读材料解决下列问
题：
（1）填空：分解因式4𝑎2−4𝑎+ 1 = ；
（2）把𝑥2−10𝑥−1写成(𝑥+ ℎ)2 +𝑘后，求出ℎ+ 𝑘的值；
（3）若𝑎、𝑏、𝑐分别是△𝐴𝐵𝐶的三边，且𝑎2 +3𝑏2 + 𝑐2 +3 = 2𝑎𝑏+ 4𝑏+ 2𝑐，试判断△𝐴𝐵𝐶的形状，并说
明理由．
知识点3 一元二次方程根的判别式
1. 对于一元二次方程𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥+ 𝑐= 0(𝑎≠0)，通过配方可得(𝑥+ 𝑏
2𝑎)
2
=
𝑏2−4𝑎𝑐
4𝑎2 ，则方程根的情况由𝑏2−4𝑎𝑐
的符号决定．
一般地，式子𝒃𝟐−𝟒𝒂𝒄叫做一元二次方程𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥+ 𝑐= 0根的判别式，通常用希腊字母“∆”表示它，即∆= 𝒃𝟐
−𝟒𝒂𝒄．
2. 根的判别式∆的符号与一元二次方程根的情况
（1）∆> 0⟺一元二次方程有两个不相等的实数根；
（2）∆= 0⟺一元二次方程有两个相等的实数根；
（3）∆< 0⟺一元二次方程无实数根．
3. 应用
（1）不解方程判断一元二次方程根的情况；
（2）根据方程根的情况求字母系数的取值范围．
知识点4 公式法解一元二次方程
1. 当∆≥0时，方程𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥+ 𝑐= 0(𝑎≠0)通过配方，其实数根可写为𝒙=
−𝒃± 𝒃𝟐−𝟒𝒂𝒄
𝟐𝒂
的形式，这个式子
叫做一元二次方程𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥+ 𝑐= 0的求根公式．将各系数直接代入求根公式，这种解一元二次方程的方法
叫做公式法．
∆> 0
方程有两个不相等的实数根𝑥= −𝑏± 𝑏2−4𝑎𝑐
2𝑎
∆= 0
方程有两个相等的实数根𝑥1 = 𝑥2 = −𝑏
2𝑎
∆< 0
方程无实数根
2. 利用公式法解一元二次方程的一般步骤
（1）把方程化为一般形式，确定a，b，c 的值；
（2）求出∆= 𝑏2−4𝑎𝑐的值；
（3）若∆≥0，则将a，b，c 的值代人求根公式𝒙=
−𝒃± 𝒃𝟐−𝟒𝒂𝒄
𝟐𝒂
求出方程的根，若∆< 0，则方程无实数根．
考点2
公式法
【题型6 判断根的情况】
【例6】（25-26 八年级下·广西百色·期中）问题“解方程𝑥2−3𝑥+ 3 = 0”：小李说“其中一个解是𝑥= 1”；小
珍说“𝑏2−4𝑎𝑐< 0，此方程无实数根”；小邓说“方程有两个实数根，这两个实数根的和为−3”，判断下列结
论正确的是（ ）
A．小李说得对
B．小珍说得对
C．小邓说得对
D．三名同学说法都不对
【变式6-1】（25-26 九年级下·山东滨州·期中）关于x 的一元二次方程𝑥2−(2 + 𝑚)𝑥+ 𝑚= 0根的情况为
_____________．
【变式6-2】不解方程，判断方程2𝑥2−4𝑥−1 = 0的根的情况．
【变式6-3】定义运算：𝑚※𝑛= 𝑚𝑛2−𝑚𝑛−2．例如：4※1 = 4 × 12−4 × 1−2 = −2．则方程2※𝑥= 1的根
的情况为______．
【题型7 求参数的值或取值范围】
【例7】已知关于x 的方程(𝑘−1)𝑥2−2𝑥+ 1 = 0有实数根，则k 的取值范围是______．
【变式7-1】（25-26 八年级下·安徽合肥·期中）关于𝑥的一元二次方程(𝑚−2)𝑥2 +3𝑥+ 1 = 0有两个实数根，
则𝑚的取值范围是（ ）
A．𝑚≤
17
4 且𝑚≠0
B．𝑚≤
7
4
C．2 < 𝑚≤
17
4
D．𝑚≤
17
4 且𝑚≠2
【变式7-2】（25-26 八年级下·浙江绍兴·期中）已知等腰△𝐴𝐵𝐶中，𝐵𝐶= 4，𝐴𝐵，𝐴𝐶是关于𝑥的一元二次
方程𝑥2−6𝑥+ 𝑚= 0（𝑚是常数）的两实数根，则𝑚的值为_____．
【变式7-3】（25-26 八年级下·安徽合肥·期中）关于𝑥的一元二次方程𝑎𝑥2 +𝑏𝑥+ 𝑐= 0满足4𝑎−2𝑏+ 𝑐= 0，
且有两个相等的实数根，则下列结论正确的是（ ）
A．2𝑎−𝑐= 0
B．4𝑎+ 𝑏= 0
C．𝑏= 𝑐
D．𝑎+ 𝑏+ 𝑐= 0
【题型8 用公式法解方程】
【例8】（25-26 七年级上·广东中山·月考）𝑥=
−3± 32−4×2×1
2×2
是下列哪个一元二次方程的根（ ）
A．2𝑥2 +3𝑥+ 1 = 0
B．2𝑥2−3𝑥+ 1 = 0
C．2𝑥2 +3𝑥−1 = 0
D．2𝑥2−3𝑥−1 = 0
【变式8-1】（25-26 八年级上·上海徐汇·月考）一元二次方程𝑥2−𝑥−1 = 0的根是___________．
【变式8-2】解下列一元二次方程
(1)𝑥2 +3𝑥−4 = 0（公式法）
(2)2𝑥2−4𝑥−1 = 0（公式法）
【变式8-3】关于x 的一元二次方程𝑘𝑥2 +(𝑘+ 1)𝑥+
k
4 = 0．
(1)若该方程有两个不相等的实数根，求k 的取值范围；
(2)若该方程有两个相等的实数根，求该方程的解．
知识点5 因式分解法解一元二次方程
1. 先因式分解，使一元二次方程化为两个一次式的乘积等于0 的形式，再使这两个一次式分别等于0，从
而实现降次，这种解一元二次方程的方法叫做因式分解法．
2. 适合用因式分解法求解的一元二次方程的形式
3. 利用因式分解法解一元二次方程的一般步骤
一移
使方程的右边为0
二分
将方程的左边因式分解
三化
将方程化为两个一元一次方程
四解
写出方程的两个解
【题型9 用因式分解法解方程】
【例9】用因式分解法解一元二次方程𝑥(𝑥−3) = 𝑥−3时，原方程可化为（ ）
A．(𝑥+ 1)(𝑥−3) = 0
B．(𝑥−1)(𝑥−3) = 0
C．𝑥(𝑥−3) = 0
D．(𝑥−2)(𝑥−3) = 0
考点3
因式分解法
【变式9-1】已知关于x 的方程x2+kx－2＝0 的一个根是x＝2，则另外一个根为_____．
【变式9-2】（25-26 九年级上·吉林白城·月考）用因式分解方法解方程：𝑥(𝑥−2) + (𝑥−2) = 0．
【变式9-3】（25-26 九年级上·广东广州·期中）已知关于𝑥的一元二次方程𝑥2−(𝑘+ 5)𝑥+ 5𝑘= 0．
(1)求证：无论𝑘为何值，此方程总有一个根是定值；
(2)若直角三角形的一边为12，另两边恰好是这个方程的两根，求𝑘的值．
【题型10 换元法解方程】
【例10】（25-26 八年级下·安徽合肥·期中）已知实数x 满足𝑥4−4𝑥2−12 = 0，则代数式𝑥2 +1的值是（ ）
A．7
B．4
C．7 或−1
D．−5或3
【变式10-1】若x、y 为实数，且(𝑥2 + 𝑦2)(𝑥2 + 𝑦2−1) = 12，则(𝑥2 + 𝑦2) = _____
【变式10-2】（25-26 九年级上·江苏扬州·月考）关于𝑥的方程𝑎(𝑥+ 𝑚)2 +𝑏= 0的根是𝑥1 = 2024，𝑥2
= −2026，（𝑎，𝑏，𝑚均为常数，𝑎≠0），则关于𝑥的方程𝑎(𝑥+ 𝑚−3)2 +𝑏= 0的根是_____________________．
【变式10-3】（25-26 九年级上·贵州遵义·期中）【材料阅读】解方程：(𝑥2−1)2−5(𝑥2−1) +4 = 0
第一步：设𝑥2−1 = 𝑡，则原方程化为𝑡2−5𝑡+ 4 = 0①，解方程①得：𝑡1 = 1,𝑡2 = 4．
第二步：求解x 的方程，即𝑥2−1 = 1②𝑥2−1 = 4③，解②③得：𝑥1 =
2，𝑥2 = −2，𝑥3 =
5，𝑥4 = −
5
第三步：所以原方程的解是：𝑥1 =
2，𝑥2 = −2，𝑥3 =
5，𝑥4 = −5
上述解题方法，我们称之为“换元法”，换元法是数学学习中最常用的一种思想方法；在结构较复杂的数和式
的运算中，若把其中某些部分看成一个整体，并用新字母代替（即换元），则能使复杂的问题简单化．
【初步应用】（1）解方程：(𝑥2−1)2−5(𝑥2−1) +6 = 0
【提升应用】（2）若四个连续自然数的积为120，请按照材料的方法，求这四个连续自然数．
【题型11 解含绝对值的一元二次方程】
【例11】（24-25 九年级上·河南信阳·月考）阅读下面的材料，解答问题，
材料：解含绝对值的方程：𝑥2−3|𝑥|−10 = 0．
解：分两种情况：
①当𝑥≥0时，原方程化为：𝑥2−3𝑥−10 = 0解得𝑥1 = 5，𝑥2 = −2（舍去）；
②当𝑥< 0时，原方程化为𝑥2 +3𝑥−10 = 0，解得____________
综上所述，原方程的解是______
请参照上述方法解方程：𝑥2 +2|𝑥+ 2|−4 = 0．
【变式11-1】（24-25 九年级上·河南安阳·期中）解方程：𝑥2−|𝑥|−2 = 0．
【变式11-2】解方程𝑥2−|𝑥+1|−1=0．
【变式11-3】（25-26 九年级上·重庆万州·月考）解下列方程：
(1)𝑥2−2|𝑥| = 0；
(2)𝑥2−2𝑥−4|𝑥−1|−4 = 0．
知识点6 一元二次方程根与系数的关系
1. 由求根公式可得当∆≥𝟎时，一元二次方程𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥+ 𝑐= 0(𝑎≠0)的两根分别为𝑥1 =
−𝒃+ 𝒃𝟐−𝟒𝒂𝒄
𝟐𝒂
，𝑥2 =
−𝒃−𝒃𝟐−𝟒𝒂𝒄
𝟐𝒂
,则𝑥1 + 𝑥2 = −
𝒃
𝒂，𝑥1𝑥2 =
𝒄
𝒂．
例如：方程𝑥2 + 𝑝𝑥+ 𝑞= 0的两根为𝑥1，𝑥2，则𝑥1 + 𝑥2 = −𝒑，𝑥1𝑥2 = 𝒒．
2. 一元二次方程根与系数的关系的应用
（1）不解方程，求关于方程两根的代数式的值．
（2）已知方程一根，求方程的另一根及方程中字母的值．
（3）已知方程两根的关系，求方程中字母的值．
（4）与根的判别式相结合，解决一些综合题．
【题型12 运用根与系数的关系计算】
【例12】（25-26 九年级上·内蒙古赤峰·期末）若𝛼,𝛽是一元二次方程𝑥2−3𝑥−2 = 0的两个根，则𝛼+ 𝛽,𝛼𝛽的
值为（ ）
A．−3,2
B．3,−2
C．−3,−2
D．3,2
【变式12-1】（25-26 八年级下·浙江湖州·期中）若实数m，n 是一元二次方程𝑥2−5𝑥+ 6 = 0的两个根，则
多项式𝑚𝑛+ 𝑚+ 𝑛的值为______．
【变式12-2】（25-26 八年级下·江苏苏州·期中）若关于x 的一元二次方程𝑥2−2𝑥+ 2𝑘+ 1 = 0有两个不相等
的实数根𝑥1、𝑥2．
(1)求实数k 应满足的条件．
(2)当k 取最大整数时，求𝑥1 + 𝑥2−𝑥1 ⋅𝑥2的值．
【变式12-3】（25-26 八年级下·浙江金华·月考）设𝑥1，𝑥2为方程2𝑥2−7𝑥+ 2 = 0的两根，试求下列各式的
考点4
一元二次方程的根与系数的关系
值；
(1)
1
𝑥1 +
1
𝑥2
(2)
𝑥2
𝑥1 +
𝑥1
𝑥2
(3)
𝑥2
𝑥1 +
𝑥1
𝑥2
【题型13 运用根与系数的关系求参数的值】
【例13】（25-26 八年级下·安徽马鞍山·期中）已知关于𝑥的一元二次方程−𝑥2 + 𝑎2𝑥−1 + 𝑎= 0的两个实数
根为𝑥1，𝑥2，若𝑥1 + 𝑥2 = 1，则𝑎的值为（ ）
A．1
B．−1
C．1或−1
D．0
【变式13-1】（25-26 九年级下·四川成都·月考）若关于x 的一元二次方程𝑘𝑥2−2𝑥−1 = 0的两个实数根互为
倒数，则𝑘= ________________．
【变式13-2】（25-26 九年级上·江苏镇江·月考）若关于𝑥的一元二次方程𝑥2−(𝑘+ 3)𝑥+ 2𝑘+ 2 = 0有一根
小于1，一根大于1，则𝑘的取值范围是( )
A．𝑘≠0
B．𝑘< 0
C．𝑘< −1
D．𝑘＞0
【变式13-3】（25-26 九年级上·河北石家庄·期末）已知𝑥1,𝑥2是方程(𝑎−1)𝑥2−3(2−𝑎)𝑥+ 1 = 0的两个实数
根．若
1
𝑥1 +
1
𝑥2 = 6，求𝑎= （ ）
A．3
B．−3
C．4
D．0
【题型14 根的判别式与根与系数的关系的综合运用】
【例14】（25-26 九年级下·黑龙江·期中）已知等腰三角形𝐴𝐵𝐶中，𝐵𝐶= 8，𝐴𝐵，𝐴𝐶的长是关于𝑥的方程𝑥2
−10𝑥+ 𝑚= 0的两个实数根，则𝑚的值为_____．
【变式14-1】（25-26 八年级下·浙江金华·期中）已知关于x 的方程𝑥2−(𝑘+ 4)𝑥+ 2𝑘+ 4 = 0．
(1)求证：该方程总有两个实数根；
(2)记该方程的两个实数根为𝑥1，𝑥2，求代数式(𝑥1−2)(𝑥2−2)．
【变式14-2】（25-26 九年级上·江苏无锡·期末）已知一元二次方程𝑥2−2𝑥+ 𝑚= 0．
(1)若方程有两个实数根，求𝑚的范围；
(2)若方程的两个实数根为𝑥1，𝑥2，且𝑥1 +4𝑥2 = 3，求𝑚的值．
【变式14-3】（25-26 八年级下·安徽淮北·期中）已知关于𝑥的一元二次方程2𝑥2−𝑚𝑥= 1，其中𝑚为实数．
(1)求证：该方程有两个不相等的实数根；
(2)若该方程的一个根为−1，求另一个根；
(3)若该方程的一个根大于2，另一个根小于2，求𝑚的取值范围．
【题型15 方程的解和根与系数的关系的综合求值】
【例15】（25-26 九年级上·四川泸州·月考）已知 α、 β 是方程𝑥2−3𝑥−5 = 0的两根，则𝛼3 +14𝛽=
___________ .
【变式15-1】（25-26 八年级下·浙江金华·月考）如果𝑚，𝑛是一元二次方程𝑥2−𝑥= 5的两个实数根，那么多
项式𝑚2−𝑚𝑛+ 𝑛+ 1的值是（ ）
A．12
B．10
C．2
D．0
【变式15-2】（25-26 九年级上·四川宜宾·期末）若一元二次方程𝑥2 +𝑥−1 = 0的两根为𝛼、𝛽，则𝛼3 + 𝛼2
+𝛽+ 2026的值为______．
【变式15-3】（25-26 九年级上·广西南宁·月考）已知𝛼，𝛽是方程𝑥2 +2024𝑥+ 1 = 0的两个根，则
(1 + 2026𝛼+ 𝛼2) (𝛼𝛽+ 𝛽2)的值为（ ）
A．−4048
B．4048
C．−2024
D．2024
