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专题25.1 一元二次方程的概念（举一反三讲义）
【新教材人教版】
【题型1 一元二次方程的识别】............................................................................................................................1
【题型2 由一元二次方程的定义求参数】............................................................................................................2
【题型3 化成一元二次方程的一般形式】............................................................................................................3
【题型4 求一元二次方程的各项系数】................................................................................................................3
【题型5 由一元二次方程各项系数的值求参数】................................................................................................3
【题型6 判断是否是一元二次方程的解】............................................................................................................4
【题型7 由一元二次方程的解求参数】................................................................................................................5
【题型8 由一元二次方程的解求代数式的值】....................................................................................................5
【题型9 已知一元二次方程的解求另一个方程的解】........................................................................................5
【题型10 根据实际问题列一元二次方程】............................................................................................................6
知识点1 一元二次方程的定义
1.定义：如果方程中只含有一个未知数，且含有未知数的式子都是整式，未知数的最高次数是2，这样的方
程叫作一元二次方程.
2.一元二次方程必须同时满足三个条件：是整式方程、只含有一个未知数、未知数的最高次数是2.
例如：
1
𝑥2 +𝑥=2，𝑥2 + 1，𝑥2 + 𝑦−3 = 0，𝑥3−3𝑥+ 8 = 0，(𝑥−1)(𝑥−2) = 𝑥2−1均不是一元二次方程.
【题型1 一元二次方程的识别】
【例1】（25-26 八年级下·浙江宁波·期中）下列方程中，关于𝑥的一元二次方程是（ ）
A．3(𝑥+ 1)2 = 2(𝑥+ 1)
B．
1
2 +
1
𝑥−2 = 0
C．𝑎𝑥2 +𝑏𝑥+ 𝑐= 0
D．2𝑥−3 = 1
【变式1-1】（25-26 九年级上·四川成都·期中）下列方程中，属于一元二次方程的是（ ）
A．2𝑥+ 1 = 0
B．𝑥2 +3𝑥= 1
C．
1
𝑥2 + 𝑥2 = 2
D．2𝑥+ 𝑦= 3
考点1
一元二次方程的定义
题型归纳
【变式1-2】（25-26 九年级上·江苏徐州·期中）下列方程中，是一元二次方程的是（ ）
A．𝑥2 +3𝑥−
1
𝑥= 0
B．𝑥2 =
1
2𝑥
C．𝑥2 +𝑥−4 = 𝑥2
D．𝑦2−2𝑥−1 = 0
【变式1-3】（25-26 八年级下·安徽合肥·期中）下列方程中，是关于𝑥的一元二次方程的是（ ）
A．𝑥2 = 0
B．
1
𝑥2 +
1
𝑥−2 = 0
C．𝑎𝑥2 +𝑏𝑥+ 𝑐= 0
D．𝑥2 +2𝑥= (𝑥+ 1)(𝑥−1)
【题型2 由一元二次方程的定义求参数】
【例2】（25-26 九年级上·云南昭通·期末）方程(𝑛−3)𝑥|𝑛|−1 +3𝑥+ 3𝑛= 0是关于x 的一元二次方程，n 满
足的条件是（ ）
A．𝑛> 3
B．𝑛= 3
C．𝑛< 3
D．𝑛= −3
【变式2-1】（25-26 九年级上·云南保山·期末）若关于x 的方程(𝑚−3)𝑥2−4𝑥+ 1 = 0是一元二次方程，则m
的取值范围是（ ）
A．𝑚≠3
B．𝑚= 3
C．𝑚≥3
D．𝑚≤3
【变式2-2】（25-26 九年级上·全国·期中）已知(𝑚−1)𝑥𝑚2+1 +4𝑥+ 2 = 0是关于𝑥的一元二次方程，则𝑚的
值为___．
【变式2-3】关于𝑥的方程(𝑚−3)𝑥𝑚2−7−𝑥= 5是一元二次方程，则𝑚的值为______．
知识点2 一元二次方程的一般形式
1.一元二次方程的一般形式是𝑎𝑥2 +𝑏𝑥+ 𝑐= 0(𝑎≠0)，其中𝒂𝒙𝟐是二次项，𝒂是二次项系数;𝒃𝒙是一次项，𝒃
是一次项系数；𝒄是常数项.
2.（1）𝐚≠𝟎是一元二次方程一般形式的重要条件，但是b，c 可以为0；（2）任何一个一元二次方程都可
以化成一般形式；（3）一元二次方程的各项都包含它前面的符号.
3.一元二次方程的特殊形式.
（1)当b=0 时，得𝒂𝒙𝟐+𝒄= 𝟎(𝒂≠𝟎)；
（2)当c=0 时，得𝒂𝒙𝟐+𝒃𝒙= 𝟎(𝒂≠𝟎)；
考点2
一元二次方程的一般形式
（3)当b=0 且c=0 时,得𝒂𝒙𝟐= 𝟎(𝒂≠𝟎).
【题型3 化成一元二次方程的一般形式】
【例3】（25-26 九年级上·甘肃庆阳·期末）一元二次方程𝑥(2𝑥−1) = 3𝑥+ 4化成一般形式为________．
【变式3-1】（25-26 九年级上·山西临汾·期末）将一元二次方程𝑥−2𝑥(𝑥−3) = 1化为一般形式，正确的是
（ ）
A．−2𝑥2 +7𝑥−1 = 0
B．2𝑥2−7𝑥= −1
C．7𝑥+ 2𝑥2−1 = 0
D．7𝑥−2𝑥2 = 1
【变式3-2】（25-26 九年级上·陕西渭南·期末）将一元二次方程(𝑥+ 𝑎)2 = 𝑏，化成𝑥2−8𝑥−5 = 0的形式，
则𝑎,𝑏的值分别是（ ）
A．−4,21
B．−4,11
C．4,21
D．−8,69
【变式3-3】（25-26 九年级上·山东临沂·月考）学校的劳动实践基地是一块长30m、宽16m的矩形土地．为
便于学生参与劳动，要在中间开辟一横两纵共三条等宽的小道（如图所示），使种植面积达到400m2，若
设小道的宽为𝑥m，则根据题意，列方程，并化为一般形式是________．
【题型4 求一元二次方程的各项系数】
【例4】（25-26 九年级上·陕西咸阳·月考）将一元二次方程𝑥2−4 = 9𝑥化为一般形式后，常数项为−4，则一
次项的系数为______．
【变式4-1】（25-26 九年级上·新疆塔城·月考）将一元二次方程
1
3𝑥(𝑥−2) = 5化为二次项系数为“1”的一般
形式，其中二次项系数是___________，一次项系数是___________，常数项是___________．
【变式4-2】（25-26 九年级上·广西钦州·期中）一元二次方程4𝑥2 +5𝑥= 81的常数项为_________．
【变式4-3】（25-26 九年级上·江西·期中）将一元二次方程𝑥(−𝑥+ 1) = 3化成一般形式后，若二次项的系数
为1，则一次项系数是（ ）
A．1
B．−1
C．3
D．−3
【题型5 由一元二次方程各项系数的值求参数】
【例5】（25-26 九年级上·河北廊坊·期中）关于𝑥的一元二次方程𝑥(𝑥+ □) = 0化成一般形式，其二次项系
数、一次项系数和常数项分别是1，4，0，则□表示的数为（ ）
A．−4
B．4
C．2
D．−2
【变式5-1】（25-26 九年级上·广东深圳·期末）若关于𝑥的一元二次方程(𝑥+ 2)2 = 𝑚(2𝑥+ 1)中不含𝑥的一
次项，则𝑚的值是___________．
【变式5-2】若关于𝑥的一元二次方程(𝑚−1)𝑥2 +5𝑥+ 𝑚2−3𝑚+ 2 = 0的常数项为0，则𝑚的值等于（ ）
A．1
B．0
C．1 或2
D．2
【变式5-3】（25-26 九年级上·河南南阳·期末）已知一个一元二次方程的二次项系数是3，常数项是−2，则
这个一元二次方程可能是（ ）
A．3𝑥−2 = 0
B．𝑥2 +2 = 0
C．3𝑥2−1 = 0
D．3𝑥2−𝑥= 2
知识点3 一元二次方程的解（根）
1.定义：使方程左右两边相等的未知数的值就是这个一元二次方程的解，一元二次方程的解也叫做一元二次
方程的根.
2.一元二次方程可能没有实数根，可能有两个相等的实数根，也可能有两个不相等的实数根.若𝑥1，𝑥2是一
元二次方程𝑎𝑥2 +𝑏𝑥+ 𝑐= 0(𝑎≠0)的两个实数根，则下列两个等式成立，并可利用这两个等式求解未知参
数：𝑎𝑥12 +𝑏𝑥1 +𝑐= 0(𝑎≠0)，𝑎𝑥22 +𝑏𝑥2 +𝑐= 0(𝑎≠0).
【题型6 判断是否是一元二次方程的解】
【例6】（25-26 九年级上·山西运城·期末）下列各数：−4，−3，−2，4，6，其中是一元二次方程𝑥2 +𝑥−12 = 0
的解是（ ）
A．−3
B．4
C．6
D．−4
【变式6-1】下列一元二次方程中，有一个根为1 的方程是（ ）
A．𝑥2−2𝑥+ 3 = 0B．𝑥2−3𝑥+ 2 = 0
C．𝑥2−2𝑥−3 = 0 D．𝑥2 +3𝑥−2 = 0
【变式6-2】（25-26 九年级上·河北保定·期末）下列数中，能使方程𝑥2−4 = 0成立的x 的值为（ ）
A．1
B．2
C．4
D．16
【变式6-3】（25-26 九年级上·贵州六盘水·期末）若关于𝑥的一元二次方程𝑎𝑥2 +𝑏𝑥+ 𝑐= 0(𝑎≠0)满足
𝑎+ 𝑏+ 𝑐= 0，𝑎−𝑏+ 𝑐= 0，则该一元二次方程的根是（ ）
考点3
一元二次方程的解
A．1，2
B．1，0
C．−1，0
D．1，−1
【题型7 由一元二次方程的解求参数】
【例7】（25-26 九年级上·湖北襄阳·期末）已知关于x 的一元二次方程𝑥2 +3𝑥−𝑚= 0的一个根是−1，则m
的值是（ ）
A．−2
B．2
C．−4
D．4
【变式7-1】（25-26 九年级上·福建泉州·期末）已知关于x 的方程𝑥+ 𝑚= (𝑥+ 1)(𝑚𝑥+ 1)有一个根是0，
则m 的值为____．
【变式7-2】（25-26 九年级上·重庆綦江·期中）若关于x 的一元二次方程𝑥2 +2𝑥+ 𝑚−1 = 0有一个根为−2，
则m 的值为（ ）
A．−2
B．−1
C．1
D．2
【变式7-3】（25-26 九年级上·全国·期末）已知𝑥= −1是关于x 的方程𝑥2−8𝑥+ 2𝑚−1 = 0的解，则m 的值
为___________．
【题型8 由一元二次方程的解求代数式的值】
【例8-1】方程3𝑥2−5𝑥+ 2 = 0的一个根是𝑎，则10𝑎−6𝑎2 +2019＝_____．
【例8-2】（25-26 九年级上·四川泸州·期末）若m 是方程𝑥2−𝑥−1 = 0的一个根，则𝑚3−3𝑚2 +𝑚+ 5的值为
______．
【变式8-1】（25-26 九年级上·河南驻马店·期末）若𝑥= 𝑚是一元二次方程𝑥2−2𝑥−15 = 0的解，则代数式
2𝑚2−4𝑚的值为______．
【变式8-2】（25-26 八年级下·重庆·期末）若a 是方程𝑥2 +𝑥−4 = 0的一个根，则𝑎3 +2𝑎2−3𝑎+ 7的值为
_________
【变式8-3】（2025·广东珠海·一模）设𝛼是方程𝑥2−2025𝑥+ 1 = 0的一个实根，则𝛼2−2024𝛼+
2025
𝛼2+1 = （ ）
A．2025
B．2024
C．2023
D．2022
【变式8-4】（25-26 九年级上·黑龙江牡丹江·期中）已知𝑚为方程𝑥2 +3𝑥−2023 = 0的根，那么𝑚3 +2𝑚2
−2026𝑚+ 2023的值为（ ）
A．-2022
B．2022
C．0
D．4044
【题型9 已知一元二次方程的解求另一个方程的解】
【例9】（25-26 九年级上·吉林长春·月考）若关于𝑥的一元二次方程𝑎𝑥2 +𝑏𝑥−8 = 0(𝑎≠0)有一个根为
𝑥= 2025，则一元二次方程𝑎(𝑥+ 3)2 +𝑏𝑥+ 3𝑏= 8(𝑎≠0)有一个根为（ ）
A．𝑥= 2022
B．𝑥= 2023
C．𝑥= 2025
D．𝑥= 2028
【变式9-1】（25-26 八年级下·浙江绍兴·期中）若关于𝑥的一元二次方程𝑎𝑥2 +𝑏𝑥−1 = 0(𝑎≠0)有一根为
2022，则一元二次方程𝑎(1−𝑥)2−𝑏(𝑥−1) = 1必有一根为_____________．
【变式9-2】（25-26 八年级下·浙江温州·期中）若关于𝑥的一元二次方程𝑎𝑥2 +𝑏𝑥+ 𝑐= 0(𝑎𝑐≠0)有一根为
𝑥= 𝑚，则关于𝑥的一元二次方程𝑐𝑥2−𝑏𝑥+ 𝑎= 0(𝑎𝑐≠0)必有一根为（ ）
A．−𝑚
B．
1
𝑚
C．𝑚
D．−
1
𝑚
【变式9-3】（25-26 八年级下·山东泰安·期末）若𝑥= 2025是关于x 的方程𝑎𝑥2 +𝑏𝑥+ 1 = 0的一个根，则关
于x 的方程𝑎(𝑥+ 1)2 +𝑏𝑥+ 𝑏= −1必有一个根为（ ）
A．2024
B．2025
C．2026
D．2027
【题型10 根据实际问题列一元二次方程】
【例10】（25-26 九年级上·河北张家口·期末）元代数学著作《四元玉鉴》中有题为：今有一匹锦，先卖掉
三尺，剩下的卖了二贯九百七十五文（1 贯= 1000文）．已知这匹锦的长度数比一尺锦的价格数少四十七，
求这匹锦的长和每尺锦的价格．设这匹锦的长为x 尺，则可列方程为（ ）
A．(𝑥−3)(𝑥+ 47) = 2975
B．(𝑥−3)(𝑥−47) = 2975
C．(𝑥+ 3)(𝑥−47) = 2975
D．(𝑥+ 3)(𝑥+ 47) = 2975
【变式10-1】（25-26 九年级上·甘肃张掖·期末）中国首款“甘肃造”养老机器人将于今年四季度量产，填补
了甘肃在机器人制造领域的空白．某公司“养老机器人”在10 月份产值达到1500 万元，预计12 月份产值将
增至3000 万元，设该公司11，12 两个月的月平均增长率为𝑥，则列出的方程为（ ）
A．1500(1 + 𝑥)2 = 3000
B．1500(1−𝑥2) = 3000
C．1500(1 + 2𝑥) = 3000
D．1500(1 + 2𝑥)2 = 3000
【变式10-2】（25-26 九年级上·云南西双版纳·期末）云南省城市足球联赛（滇超联赛）是云南历史上规模
最大的省级足球赛事，于2025 年11 月29 日在玉溪高原体育运动中心主体育场揭幕，小组赛每支球队与其
他球队各赛一场，采用单循环赛制，总计将进行120 场比赛．设有𝑥支球队参加比赛，可列方程为（ ）
A．𝑥(𝑥+ 1) = 120
B．𝑥(𝑥−1) = 120
C．
1
2𝑥(𝑥+ 1) = 120
D．
1
2𝑥(𝑥−1) = 120
【变式10-3】（25-26 九年级上·陕西西安·期末）一个两位数的个位数字与十位数字之和是9，且个位数字与
考点4
根据实际问题列一元二次方程
十位数字的积是20，设这个两位数的个位数字为𝑥，则根据题意可列方程为_____．
