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专题26.1 二次函数的概念（举一反三讲义）
【新教材人教版】
【题型1 二次函数的识别】....................................................................................................................................1
【题型2 根据二次函数的定义求参数】................................................................................................................2
【题型3 二次函数的一般形式】............................................................................................................................2
【题型4 二次函数的各项系数】............................................................................................................................3
【题型5 列二次函数关系式-面积类】...................................................................................................................4
【题型6 列二次函数关系式-利润类】...................................................................................................................5
【题型7 列二次函数关系式-增长率类】...............................................................................................................5
【题型8 列二次函数关系式-循环传播类】...........................................................................................................6
知识点1 二次函数的概念
1. 一般地，形如𝒚= 𝒂𝒙𝟐+𝒃𝒙+ 𝒄（a,b,c 是常数，a≠0）的函数，叫做二次函数.其中，𝒙是自变量，二次函
数的二次项系数、一次项系数分别是a,b，常数项是c .自变量的取值范围是全体实数.
2. 二次函数必须同时满足三个条件：（1）函数解析式为整式；（2）化简后自变量的最高次数是2；（3)
二次项系数不为0.
3. 二次函数的取值范围：一般情况下，二次函数中自变量的取值范围是全体实数，对于实际问题，自变量
的取值范围还需使实际问题有意义.
【题型1 二次函数的识别】
【例1】（25-26 八年级下·山东东营·期中）下列各式中，𝑦是𝑥的二次函数的是（ ）
考点1
二次函数的概念
题型归纳
一次项系数
常数项
二次项系数
（a 不为0）
b,c 没有
条件限制
必须化为一般形式，
方可判断各项的系数
𝑦= 𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥+ 𝑐
A．𝑦= 2𝑥−3
B．𝑦= 𝑥2−5𝑥+ 13
C．𝑦= 𝑎𝑥2 +𝑏𝑥+ 𝑐
D．𝑦= 𝑥2−
1
𝑥+2
【变式1-1】（25-26 九年级上·上海虹口·月考）函数𝑦= 𝑥(2𝑥−1)______二次函数．（填“是”或者“不是”）
【变式1-2】（24-25 九年级上·黑龙江大庆·期中）给出下列函数：①𝑦=
2𝑥2−1；②𝑦= 𝑥2−𝑥(1 + 𝑥)；
③𝑦= 𝑥2 +
1
𝑥；④𝑦= 𝑥(1−𝑥)．其中是二次函数的有______．
【变式1-3】（25-26 九年级上·安徽安庆·期末）在物理学中，物体由于运动而具有的能量，称为物体的动能，
其满足关系𝐸=
1
2𝑚𝑣2，则下列说法正确的是（ ）
A．当𝑚一定时，𝐸与𝑣满足一次函数关系
B．当𝑚一定时，𝐸与𝑣满足二次函数关系
C．当𝑣一定时，𝐸与𝑚不满足函数关系
D．当𝑣一定时，𝐸与𝑚满足二次函数关系
【题型2 根据二次函数的定义求参数】
【例2】如果函数𝑦= (𝑘−3)𝑥𝑘2−3𝑘+2 +𝑘𝑥+ 1是关于x 的二次函数，则𝑘= ________．
【变式2-1】（25-26 九年级上·江苏盐城·期末）若函数𝑦= 𝑥𝑚−1−𝑥+ 2是二次函数，那么𝑚的值为 （ ）
A．0
B．1
C．2
D．3
【变式2-2】（25-26 九年级上·河北保定·期末）已知二次函数𝑦= □𝑥2 +𝑥+ 3的开口向下，则□可能是（ ）
A．−2𝑥2
B．−2
C．−3𝑥
D．5
【变式2-3】（25-26 九年级上·广东江门·期中）若函数𝑦= (𝑚−3)𝑥|𝑚|−1 +2𝑥−1是关于𝑥的二次函数，则𝑚的
值为_____．
【题型3 二次函数的一般形式】
【例3】把二次函数y = −4(1 + 2x)(x−3)化为一般形式为：________．
【变式3-1】（24-25 九年级上·吉林·月考）将二次函数𝑦= 𝑥(𝑥−1) +3𝑥化为一般形式后，正确的是（ ）
A．𝑦= 𝑥2−𝑥+ 3
B．𝑦= 𝑥2−2𝑥+ 3
C．𝑦= 𝑥2−2𝑥
D．𝑦= 𝑥2 +2𝑥
【变式3-2】已知二次函数𝑦= 3(𝑥−1)2 +2．
(1)将二次函数化为一般形式，并指出相应的𝑎，𝑏，𝑐的值；
(2)当𝑥= 6时，求𝑦的值．
【变式3-3】（24-25 九年级上·宁夏固原·月考）如图所示，一个矩形的长为4cm，宽为3cm，如果将这个矩
形的长与宽都增加𝑥cm，那么这个矩形的面积增加𝑦cm2．
(1)求y 与x 之间的函数关系式；（整理成一般形式）
(2)计算当增加面积为8 时，x 的值是多少．
【题型4 二次函数的各项系数】
【例4】（2025 九年级·全国·专题练习）已知二次函数𝑦= 2𝑥2 +4𝑥−1，它的二次项系数为𝑎，一次项系数为
𝑏，常数项为𝑐，则𝑦= 𝑐𝑥2−𝑎𝑥+ 𝑏为______．
【变式4-1】指出下列二次函数的二次项系数、一次项系数和常数项．
函数解析式
二次项系数
一次项系数
常数项
（1）𝑦= −0.9𝑥2 +2𝑥−3
（2）𝑦= −2𝑥2−7
（3）𝑦= −𝑥2 +𝑥
（4）𝑦= (𝑥+ 1)(𝑥−1) +1
【变式4-2】（25-26 八年级上·安徽淮南·月考）二次函数𝑦= 2𝑥2−3的二次项系数、一次项系数、常数项的
和为（ ）
A．−1
B．1
C．5
D．−5
【变式4-3】（25-26 九年级上·山东德州·月考）已知函数𝑦= (𝑚2 + 𝑚)𝑥𝑚2−2𝑚−1 + (𝑚−3)𝑥+ 𝑚2−11是关
于x 的二次函数．
(1)求m 的值；
(2)写出二次项系数、一次项系数及常数项．
知识点1 列二次函数关系式
1.理解题意：找出实际问题中的已知量和変量（自变量，因变量），将文字或图形语言转化为数学语言；
2.分析关系：找到已知量和变量之间的关系，列出等量关系式；
3.列函数表达式：设出表示变量的字母，把等量关系式用含字母的式子替换，将表达式写成用自变量表示的
函数的形式.
【题型5 列二次函数关系式-面积类】
【例5】一个正方形的边长为5，如果边长增加x，那么面积增加y 与x 之间的函数表达式是：________．
【变式5-1】（25-26 九年级上·河北沧州·期中）用长为8m的铝合金条制成如图所示的矩形窗框，设𝐴𝐵为𝑥
（单位：米），则窗框的透光面积𝑦（单位：m2），关于𝑥（单位：m）的函数解析式为（铝合金条粗细忽
略不计）（ ）
A．𝑦= −𝑥2 +4𝑥
B．𝑦= −3𝑥2 +8𝑥
C．𝑦= −
3
2𝑥2 +4𝑥
D．𝑦= −𝑥2 +
8
3𝑥
【变式5-2】等边三角形的周长为𝐶，面积为𝑆，则面积𝑆关于周长𝐶的函数解析式为________．
【变式5-3】如图，正方形𝐴𝐵𝐶𝐷的边长是10cm，𝐸是𝐴𝐵上一点，𝐹是𝐴𝐷延长线上的一点，𝐵𝐸= 𝐷𝐹．四边
形𝐴𝐸𝐺𝐹是矩形，矩形𝐴𝐸𝐺𝐹的面积𝑦(cm2)与𝐵𝐸的长𝑥cm (0 < 𝑥≤10)的函数关系是______．
考点2
列二次函数关系式
【题型6 列二次函数关系式-利润类】
【例6】（25-26 九年级上·安徽安庆·月考）某商品的进货单价为30元/个，当销售单价为40元/个时，每天
能卖出40个，若销售单价每上涨1元/个，则每天的销量就减少1个．设该商品的销售单价为𝑥元/个，每天的
利润为𝑦元，则𝑦与𝑥之间的函数关系式为（ ）
A．𝑦= (𝑥−30) 40−(40−𝑥)
B．𝑦= (𝑥−40) 40−(𝑥−40)
C．𝑦= (10 + 𝑥)(40 + 𝑥)
D．𝑦= (𝑥−30) 40−(𝑥−40)
【变式6-1】（25-26 九年级上·安徽合肥·月考）某商店从厂家以每件21 元的价格购进一批商品，该商品在
不超过进价20%的情况下可以自行定价．若每件商品售价为x 元，可卖出(350−10𝑥)件商品，则商店所得利
润y（元）与售价x（元）的函数关系式是______，自变量x 的取值范围为______．
【变式6-2】某种品牌的服装进价为每件150元，当售价为每件210元时，每天可卖出20件，现需降价处理，
且经市场调查：每件服装每降价2元，每天可多卖出1件．在确保盈利的前提下，若设每件服装降价𝑥元，每
天售出服装的利润为𝑦元，则𝑦与𝑥的函数关系式为（ ）
A．𝑦= −
1
2𝑥2 +10𝑥+ 1200(0 < 𝑥< 60) B．𝑦= −
1
2𝑥2−10𝑥+ 1250(0 < 𝑥< 60)
C．𝑦= −
1
2𝑥2 +10𝑥+ 1250(0 < 𝑥< 60) D．𝑦= −
1
2𝑥2 +10𝑥+ 1250(𝑥≤60)
【变式6-3】某产品每件成本10 元，试销阶段每件产品的销售单价x（元/件）与日销售量y（件）之间的关
系如下表．
x（元/件）
15
18
20
22
…
y（件）
250
220
200
180
…
按照这样的规律可得，日销售利润w（元）与销售单价x（元/件）之间的函数关系式是________．
【题型7 列二次函数关系式-增长率类】
【例7】（25-26 九年级上·江苏徐州·期末）某化肥厂10 月份生产某种化肥200t，如果11、12 月的月平均增
长率为x，则12 月份化肥的产量𝑦(t)与x 之间的函数关系式为______．
【变式7-1】（24-25 九年级上·浙江温州·月考）某楼盘8 月份以每平方米20000 元的均价对外销售，受市场
经济影响，经过连续两个月降价，如果设平均每月降价的百分率为x，则10 月份楼盘出售均价y 元与平均
每月降价的百分率x 之间的函数关系式__________．
【变式7-2】（24-25 九年级上·湖南长沙·阶段检测）某工厂七月份生产零件50 万个，设该厂第三季度平均
每月的增长率为𝑥，如果第三季度共生产零件𝑦万个，那么𝑦与𝑥满足的函数关系式是（ ）
A．𝑦= 50(1 + 𝑥)2
B．𝑦= 50 + 50(1 + 𝑥)
C．𝑦= 50(1 + 𝑥) +50(1 + 𝑥)2
D．𝑦= 50 + 50(1 + 𝑥) +50(1 + 𝑥)2
【变式7-3】（24-25 九年级上·辽宁鞍山·月考）某厂今年十月份新产品的研发资金为8 万元，以后每月新产
品的研发资金与上个月相比增长率都是𝑥，则该厂今年十一、十二月份新产品的研发资金w（万元）关于x
的函数关系式为（ ）
A．𝑤= 8(1 + 𝑥)2
B．𝑤= 8 + 8(1 + 𝑥) + 8(1 + 𝑥)2
C．𝑤= 8(1 + 𝑥) + 8(1 + 𝑥)2
D．𝑤= 8(1 + 𝑥)3
【题型8 列二次函数关系式-循环传播类】
【例8】（25-26 九年级上·内蒙古赤峰·期中）2025 年的“蒙超足球联赛”燃遍全网，由于本年度比赛激烈程
度和网上关注度超乎想象，2026 年要增加参赛球队数，进行主客场双循环比赛（每两队之间都进行两场比
赛），设共有𝑥个队参加比赛，比赛总场数为𝑦，则𝑦关于𝑥的关系式为__________．
【变式8-1】（25-26 九年级上·安徽淮北·期中）在某种病毒的传播过程中，每轮传染平均1 人会传染x 个人，
若最初1 个人感染该病毒，经过两轮传染，共有y 人感染，则y 与x 的函数关系式为______．
【变式8-2】同学聚会，每两个人之间握手一次，试写出握手的总数m 与参加聚会的人数n 之间的函数关系
式_______________．
【变式8-3】n 个球队参加篮球比赛，每两队之间进行一场比赛，比赛的场次数m 与球队数𝑛(𝑛≥2)之间的
函数关系是______．
