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专题2.1 有理数的加法与减法（举一反三讲义）
【新教材人教版】
【题型1 有理数加法的基本运算】........................................................................................................................2
【题型2 有理数的加法中的符号判断】................................................................................................................2
【题型3 有理数的加法运算律的应用】................................................................................................................3
【题型4 有理数的加法在实际生活中的应用】....................................................................................................3
【题型5 有理数的加法与绝对值、数轴的综合】................................................................................................4
【题型6 有理数减法的基本运算】........................................................................................................................5
【题型7 有理数的减法概念的理解与辨析】........................................................................................................5
【题型8 有理数的减法在实际生活中的应用】....................................................................................................6
【题型9 有理数的减法与数轴的综合应用】........................................................................................................7
【题型10 有理数加减混合运算的基本计算】........................................................................................................8
【题型11 有理数加减混合运算中省略加号和括号的书写】................................................................................9
【题型12 有理数加减混合运算中的简便计算】....................................................................................................9
【题型13 有理数加减混合运算的实际应用】......................................................................................................10
【题型14 有理数加减混合运算中的规律】..........................................................................................................11
【题型15 有理数加减混合运算中的新定义】......................................................................................................12
知识点1 有理数加法法则
同号两数相加
和取相同的符号，且和的绝对值等
于加数的绝对值的和
绝对值不相等的异号两数相加，和
取绝对值较大的加数的符号，且和
的绝对值等于加数的绝对值中较
大者与较小者的差
异号两数相加
互为相反数的两个数相加得0
a，b 互为相反数，则𝑎+ 𝑏=
𝟎
一个数与0 相加
仍得这个数
0 + 𝑎= 𝑎
考点1
有理数的加法
题型归纳
知识点2 有理数加法运算律
1. 有理数的加法中，两个数相加，交换加数的位置，和不变．加法交换律：𝒂+ 𝒃= 𝒃+ 𝒂．
2. 在有理数的加法中，三个数相加，先把前两个数相加，或者先把后两个数相加，和不变．加法结合律：
(𝒂+ 𝒃) + 𝒄= 𝒂+ (𝒃+ 𝒄)．
【题型1 有理数加法的基本运算】
【例1】在−2，3，4，−5这四个数中，任取两个数相加，所得和最小的是（ ）
A．2
B．−2
C．−7
D．−1
【变式1-1】（25-26 七年级上·内蒙古赤峰·期末）计算(−10) + ( +6)的结果是（ ）
A．16
B．−16
C．−4
D．4
【变式1-2】（25-26 七年级上·湖北孝感·期末）进位制是人们为了记数和运算方便而约定的记数系统．约定
逢十进一就是十进制，逢二进一就是二进制，也就是说“逢几进一”就是几进制，几进制的基数就是几．在6
进制中，数位上能显示的最大数字与最小数字之和为______．
【变式1-3】（25-26 七年级上·安徽宿州·期末）如图所示的立方体的六个面分别标着连续的整数，则这六个
数的和为________．
【题型2 有理数的加法中的符号判断】
【例2】（25-26 七年级上·江西新余·期中）如果两个有理数的和是正数，那么一定有结论（ ）
A．两个加数都是正数
B．两个加数中至少一个是正数
C．一个加数为正数，另一个加数为零
D．两个加数同为负数
【变式2-1】+4 与－9 的和取______号,－8 与+12 的和取______号.（填“正”，“负”）
【变式2-2】m 是有理数，则𝑚+ |𝑚|（ ）
A．可以是负数
B．不可能是负数
C．一定是正数
D．可是正数也可是负数
【变式2-3】（24-25 七年级上·云南昭通·期中）如果𝑝+ 𝑞< 0，且𝑞> 0，那么p，q，−𝑝，−𝑞的大小关系
是（ ）
A．−𝑞< 𝑝< −𝑝< 𝑞
B．−𝑝< 𝑞< −𝑞< 𝑝
C．𝑝< 𝑞< −𝑝< −𝑞
D．𝑝< −𝑞< 𝑞< −𝑝
【题型3 有理数的加法运算律的应用】
【例3】（25-26 七年级上·湖北随州·期末）小慧同学解题时，先将式子−
1
5 +4 + −
4
5 变成4 +
−
1
5 + −
4
5
，再计算结果，则小慧同学运用了（ ）
A．加法交换律
B．加法结合律
C．加法交换律与结合律
D．分配律
【变式3-1】运用加法交换律和加法结合律填空：−1
1
4−3
1
3 +2
1
3−
3
4 = （___________）+（___________）．
【变式3-2】（25-26 七年级上·广东江门·期中）计算：1 + (−2) +3 + (−4) + ⋅⋅⋅+2011 + (−2012) +2013 +
(−2014) +2015 = _______．
【变式3-3】计算1﹣2+3﹣4+5﹣6+…+2015﹣2016 的结果是___________
【题型4 有理数的加法在实际生活中的应用】
【例4】（25-26 八年级上·福建三明·期末）某科技馆的数学史展厅内，当日WiFi 密码是一个动态8 位数，
它由当天的月份和日期通过特定规则编制而成．如：3 月14 日，将月份和日期均处理为两位数（即1 月至9
前补0），记为0314，然后再通过数位的四则运算编制成密码，以下是一些日期所对的密码：
日期
1 月5 日
3 月14 日
5 月17 日
10 月1 日
12 月27 日
记为
0105
0314
0517
1001
1227
密码
06010506
17031408
22051713
11100102
39122712
2025 年7 月21 日，小星在数学史展厅参观时，思索了一会儿，输入密码，顺利地连接到了网络，那么他输
入的密码是（ ）
A．28072121
B．28072110
C．28072128
D．07210721
【变式4-1】下列是我校初一年级5 名学生的体重情况，
姓名
小颖
小明
小刚
小京
小宁
体重（千克）
34
45
与平均体重
的差
−7
+3
−4
0
最重的与最轻的相差_________千克．
【变式4-2】（25-26 七年级上·安徽安庆·期末）手机支付给生活带来便捷，如图是王老师某日微信账单的收
支明细（正数表示收入，负数表示支出，单位：元）王老师当天微信收支的最终结果是________．
微信红包—来
自王某某：+19.00
某平台商户：
−8.00
扫二维码付给
某店：−9.00
【变式4-3】小丽和小彬按下列规则做游戏：在一副扑克牌（去掉大小王）中两人各抽取5 张，正面是红色
的牌面数字记为正数，正面是黑色的牌面数字记为负数，然后计算各自抽取的扑克牌数字和，结果大的为
获胜者．已知他们抽取的扑克牌如下表（红桃、方块为红色；黑桃、梅花为黑色）：
小丽抽取的扑克牌
红桃5
黑桃9
方块12
梅花11
红桃8
小彬抽取的扑克牌
黑桃6
红桃13
梅花12
方块10
黑桃2
请通过计算判断获胜的是谁？
【题型5 有理数的加法与绝对值、数轴的综合】
【例5】（25-26 七年级上·湖南衡阳·期中）我们知道，|𝑎|的几何意义是：数轴上表示数𝑎的点到原点的距离，
可以理解为|𝑎−0|，进一步地，数轴上，表示数𝑚的点到表示数𝑛的点的距离可以用|𝑚−𝑛|表示，例如：表示
2 和−3的两点之间的距离是|2−(−3)|．根据绝对值的几何意义，当|𝑎+ 4| + |𝑎−2|取最小值时，则所有满足
条件的整数𝑎的和为（ ）
A．−10
B．3
C．−7
D．−5
【变式5-1】如图，数轴上的点A 表示的数为有理数a，下列各数中在2，3 之间的是（ ）
A．|𝑎|
B．−𝑎+ 1
C．|𝑎|−1
D．𝑎+ 1
【变式5-2】（24-25 七年级上·江苏宿迁·月考）观察数轴，回答下列问题：
(1)数轴上点D、F 表示的数分别是______；
(2)数轴上距离原点1 个单位长度的点表示的数是______，表示数−(−2.5)的点是______，表示数−|−3|的点
是______；
(3)在数轴上分别画出表示+4.5和−4.5的点𝑀和点𝑁，它们与原点的位置关系是______．
(4)若整数𝑥满足|𝑥| ≤2，则满足条件的所有整数𝑥值的和为______．
【变式5-3】在数轴上，点M，N 分别表示数m，n，则点M，N 之间的距离为|𝑚−𝑛|．已知点A，B，C，D
在数轴上分别表示数a，b，c，d，且|𝑎−𝑐| = |𝑏−𝑐| =
2
3|𝑑−𝑎| = 2(𝑎≠𝑏)，则线段BD 的长度为______．
知识点3 有理数减法法则
1. 减去一个数，等于加这个数的相反数，即 𝑎−𝑏= 𝑎+ (−𝑏)．
2. 有理数的减法是有理数的加法的逆运算．
3. 减法转化为加法时，减数一定要改变符号．
【题型6 有理数减法的基本运算】
【例6】（25-26 七年级上·江苏扬州·期末）已知|𝑎| = 5，|𝑏| = 2，且𝑎𝑏< 0，𝑎+ 𝑏> 0，则𝑎−𝑏= ______．
【变式6-1】（25-26 九年级下·安徽芜湖·期中）计算：−5−(−4) = ______．
【变式6-2】（25-26 七年级上·四川广元·期中）定义：对于若干个有理数，先将每两个数作差(大数减小数，
相等的数的差为0)，再将这些差进行求和，这样的运算称为对这若干个数的“非负差值运算”，例如：对于
1，2，3 进行“非负差值运算”，(2−1) + (3−2) + (3−1) = 4，则对于−2，3，5，9 进行“非负差值运算”的结
果是_______．
【变式6-3】（25-26 七年级上·江苏南京·月考）已知|𝑎| = 4，|𝑏| = 6，且|𝑎−𝑏| = |𝑎| + |𝑏|，则𝑎−𝑏的值为______．
【题型7 有理数的减法概念的理解与辨析】
【例7】（25-26 七年级上·浙江台州·期末）有理数减法运算可以转化为加法运算．对(−3)−(−4)的运算进行
转化，正确的是（ ）
A．(−3) + ( +4)
B．(−3) + (−4)
C．(−3)−( +4)
D．( +3) + (−4)
【变式7-1】（24-25 六年级上·上海嘉定·期中）下列说法中，正确的是（ ）
A．两个有理数的和一定大于其中一个加数
B．两个有理数的和可能比这两个加数都小
考点2
有理数的减法
C．两个有理数的差一定小于被减数
D．一个较大的数减去一个较小的数结果可能为负数
【变式7-2】（2025·河北·模拟预测）下面是小李计算
1
5−−
2
3 的过程：
1
5−−
2
3
=
3
15−−
10
15 第一步
=
3
15−
10
15第二步
=
3−10
15 第三步
= −
7
15第四步
下列说法不正确的是（ ）
A．第一步正确，这一步进行了分数的通分
B．第一步到第二步正确，这一步进行了去括号
C．第二步到第三步正确，这一步进行了同分母分数的减法
D．第三步到第四步正确，这一步运用了有理数的减法法则
【变式7-3】（25-26 七年级上·重庆巫山·阶段检测）有4 个数：−6，−2，−1，3，任意取其中两个数求差
记为a，剩下的两个数求差记为b，再求a 与b 的差，这样的过程称之为“连差操作”．例如：(−6)−(−2)
= −4，3−(−1) = 4，(−4)−4 = −8即为一种“连差操作”．给出下列说法：
①不存在“连差操作”，使其结果为0
②至少存在一种“连差操作”，使其结果为10
③所有的“连差操作”，共有5 种不同的结果
以上说法正确的是（ ）
A．0 个
B．1 个
C．2 个
D．3 个
【题型8 有理数的减法在实际生活中的应用】
【例8】（25-26 七年级上·安徽亳州·期末）我县2026 年1 月19 日至22 日每天的最高气温与最低气温如下
表：
日期
1 月19 日
1 月20 日
1 月21 日
1 月22 日
最高气温
2℃
−2℃
−1℃
−1℃
最低气温
−7℃
−9℃
−10℃
−19℃
其中温差最大的一天是（ ）
A．1 月19 日
B．1 月20 日
C．1 月21 日
D．1 月22 日
【变式8-1】（25-26 七年级上·浙江金华·期末）立定跳远测试中以2.2m为标准，若小明跳出了2.3m，记作
+0.1m；小红跳出了2.15m，应记作（ ）
A．−0.5m
B．−0.05m
C．−0.15m
D．+0.15m
【变式8-2】（25-26 七年级上·江苏宿迁·期末）课本第4章《阅读》中介绍了关于古希腊数学家丢番图年龄
的有趣数学问题，关于我国著名数学家华罗庚也有个有趣的题目：2026年是我国数学事业的奠基者和引领
者华罗庚诞辰116周年，他的出生年份（这里只取后两位）、月份、日期恰好是3个从小到大连续自然数，
请写出华罗庚的生日：______月______日．
【变式8-3】（25-26 六年级上·山东烟台·期末）某食品厂计划每天生产1000 袋食品，实际每天生产量与计
划量相比有出入，下表是某周的生产情况（超产为正，减产为负）：
星期一
星期二
星期三
星期四
星期五
星期六
星期日
+50
−30
−60
+110
−90
+80
+90
(1)这周产量最多的一天比最少的一天多生产_________袋食品；
(2)已知本周生产的食品全部在本周售出，生产这些食品的总成本为30000 元，食品售价为8 元/袋，且需缴
纳本周销售总额10%的交易税，求本周的收益总额．
【题型9 有理数的减法与数轴的综合应用】
【例9】（25-26 七年级上·甘肃兰州·期末）如图，将一把刻度尺放在数轴上，若刻度尺上4cm和7cm对应数
轴上的点表示的数分别为−2和1，则刻度尺上1cm对应数轴上的点表示的数是_____．
【变式9-1】（24-25 七年级上·山东青岛·期末）数轴上表示−6和2 的两点之间的距离是（ ）
A．3
B．6
C．7
D．8
【变式9-2】（25-26 七年级上·河南南阳·期末）已知𝑎，𝑏在数轴上表示的点的大致位置如图所示，则下列等
式成立的是（ ）
A．𝑎+ 𝑏= −|𝑎|−|𝑏|
B．𝑎+ 𝑏= |𝑎| + |𝑏|
C．𝑎+ 𝑏= −|𝑏|−|𝑎|
D．𝑎−𝑏= |𝑎|−|𝑏|
【变式9-3】（25-26 七年级上·陕西西安·期末）如图所示，数轴上有四个点𝐴、𝐵、𝐶、𝐷，相邻两点之间的
距离均为𝑚（𝑚为正整数），点𝐵表示的数为−8．
(1)若𝑚= 4，则表示原点的是点_____，点𝐴表示的数是_____；
(2)若点𝐷表示的数是12，求𝑚的值．
知识点4 有理数加减混合运算
1. 有理数加减混合运算
（1）先将加减法统一成加法，再运用加法的交换律和结合律简化运算．
（2）运用加法交换律交换加数的位置时，要连同前面的符号一起交换．
2. 省略加号的和式及读法：统一成加法运算的算式，可以改写成省略加号和括号的形式，这种形式的算式
一般有两种读法．例如：−2−3 + 27−24，可读作负2、负3、正27、负24 的和，也可以读作负2 减3 加
27 减24．
3. 有理数加减混合运算的一般步骤
方法一：减法转化成加法
方法二：省略括号法
（1）减法变加法:𝑎+ 𝑏−𝑐= 𝑎+ 𝑏+ (−𝑐)
（1）省略括号
（2）运用加法交换律和结合律将同号的数分别相加
（2）同号的数相结合
（3）按有理数加法法则计算
（3）进行加减运算
【题型10 有理数加减混合运算的基本计算】
【例10】如图，方格表中每一行、每一列及两条对角线中所填数的和均相等，则x 的值为______．
1
x
−4
0
−3
【变式10-1】（25-26 七年级上·全国·期中）小明在做课外习题时遇到如下所示一道题：计算：−3 +
考点3
有理数的加减混合运算
−(−8)，其中
是被污损而看不清的一个数，他翻看答案后得知该题的计算结果为15，则
表
示的数是（ ）
A．10
B．−4
C．−10
D．10 或−4
【变式10-2】（25-26 七年级上·天津河北·期末）按图中程序运算，如果输入−1，则输出的结果是（ ）
A．4
B．3
C．0
D．－2
【变式10-3】（25-26 七年级上·广西崇左·期末）解答题：
(1)27−15−(−23) + (−35)．
(2)(−0.25) + (−3)−|−1
3
4|．
(3)
1
2 + −
3
4 +
5
6 + −
1
2 −
1
4．
(4)−
2
3−−
3
2 +
1
6 + −
1
2 ．
【题型11 有理数加减混合运算中省略加号和括号的书写】
【例11】把−(−3)−4 + (−5)写成省略加号和括号的形式，正确的是（ ）
A．3−4−5
B．−3−4−5
C．3−4 + 5
D．−3−4 + 5
【变式11-1】（24-25 七年级上·吉林长春·阶段检测）把9 + (−5)−(−7) + (−3)写成省略加号和括号的形式
______．
【变式11-2】将式子−( +
3
2)−(−5）+（−
2
3）−（−6）+（−10）写成省略加号的形式，正确的是（ ）
A．−
3
2 +5−
2
3 +6−10
B．−
3
2−5−
2
3 +6−10
C．
3
2−5−
2
3 +6−10 D．
3
2 +5−
2
3 +6−10
【变式11-3】（24-25 七年级上·广东肇庆·期中）把算式(−52)−( +37) + (−19)−(−24)写成省略括号和加号
的形式为_______．
【题型12 有理数加减混合运算中的简便计算】
【例12】式子1−2 + 3−4 + 5−6 + … + 2021−2022 + 2023的结果不可能是（ ）
A．奇数
B．正数
C．偶数
D．整数
【变式12-1】（25-26 七年级上·安徽芜湖·期末）先阅读理解第（1）小题的计算方法，再计算第（2）小题．
（1）计算：−205 + 400
3
4 +(−204
2
3) + (−1
1
2)
解：原式= −205 + (400 +
3
4) + (−204−
2
3) + (−1−
1
2)
= −205 + 400 +
3
4 +(−204) + (−
2
3) + (−1) + (−
1
2)
= [−205 + 400 + (−204) + (−1)] +
3
4 + (−
2
3 ) + (−
1
2 )
= −10 + (−
5
12)
= −10
5
12
上面的计算方法叫做拆项法．
（2）请用拆项法计算：−1
5
6 + −5
2
3 +24
3
4 + −3
1
2 ．
【变式12-2】（25-26 七年级上·湖北荆门·期中）计算：
(1)12−(−5) + (−7)；
(2) −3
3
7 +12.5 + −16
4
7 −(−2.5)．
【变式12-3】（25-26 七年级上·河南郑州·月考）计算：−4
1
3 −−2
1
6 + 1
2
3 + −
1
3 ．李华的做法如下：
解：原式= −4
1
3 +2
1
6 +1
2
3−
1
3（第一步）
= −4
1
3−
1
3 +2
1
6 +1
2
3（第二步）
= −4
2
3 +3
5
6（第三步）
= −1
1
6（第四步）
李华发现自己的答案和同学们的不一样
(1)请指出他从第_______步开始出现错误；
(2)写出正确的解题过程．
【题型13 有理数加减混合运算的实际应用】
【例13】（25-26 七年级上·甘肃兰州·期末）某巡警骑摩托车在一条南北大道上巡逻，某天他从岗亭出发，
晚上停留在A 处，规定向北方向为正，当天行驶情况记录如下（单位：千米）：+10，−8，+7，−15，
+6，−16，+4，−2
(1)A 处在岗亭何方？距离岗亭多远？
(2)若摩托车每行驶1 千米耗油0.2升，这一天共耗油多少升？
【变式13-1】（25-26 七年级上·广东珠海·期中）如图是一种转盘型密码锁，每次开锁时需要先把表示“0”的
刻度线与固定盘上的标记线对齐，再按顺时针或逆时针方向旋转带有刻度的转盘三次．例如，按逆时针方
向旋转5 个小格记为“ +5”，此时标记线对准的数是5，再顺时针旋转2 个小格记为“−2”，再逆时针旋转3
个小格记为“ +3”，锁可以打开，那么开锁密码就可以记为“ +5，−2，+3”，如果一组开锁密码为“−15，
+8，−3”，要想打开锁，旋转转盘，锁打开时标记线对准的刻度线表示的数为_____．
【变式13-2】（25-26 七年级上·安徽安庆·阶段检测）某公交车上原坐有22人，经过4个站点时，上下车人数
的变化情况如下（上车为正，下车为负）；( +4,−8),( +6,−5),( +2,−3),(−7, + 1)，则车上还有__________
人．
【变式13-3】（25-26 七年级上·湖北武汉·阶段检测）测量一座山的高度时，有时需要在若干个观测点中测
量两个相邻可视观测点的相对高度，如“𝐴−𝐶= 90m”表示“观测点A 比观测点C 高90m”，再用这些相对高
度计算出山的总高度．如表是某次测量数据的部分记录，根据这次测量的数据，可得𝐴−𝐵= （ ）
𝐴−𝐶
𝐶−𝐷
𝐷−𝐸
𝐸−𝐹
𝐹−𝐺
𝐺−𝐵
90m
75m
50m
−50m
70m
−60m
A． 150m
B． −150m
C． 175m
D． −175m
【题型14 有理数加减混合运算中的规律】
【例14】（25-26 七年级上·湖南岳阳·月考）符号“f”表示一种运算，它对一些数的运算结果如下：
（1）𝑓(1) = 0，𝑓(2) = 1，𝑓(3) = 2，𝑓(4) = 3，…
（2）𝑓
1
2 = 2，𝑓
1
3 = 3，𝑓
1
4 = 4，𝑓
1
5 = 5，…
利用以上规律计算𝑓
1
2024 +𝑓
1
2023 +𝑓
1
2022 +⋯+ 𝑓
1
2 −𝑓(1)−𝑓(2)−⋯−𝑓(2025)结果是（ ）．
A．−1
B．0
C．1
D．−2025
【变式14-1】观察图，找出规律
根据规律
（ ）
A．−6
B．−8
C．−7
D．−3
【变式14-2】（24-25 七年级上·江苏常州·期中）小明同学将2𝐵铅笔笔尖从原点𝑂开始沿数轴进行连续滑动，
先将笔尖沿正方向滑动1个单位长度完成第一次操作，再沿负方向滑动2个单位长度完成第二次操作；又沿
正方向滑动3个单位长度完成第三次操作；再沿负方向滑动4个单位长度完成第四次操作，…，以此规律继续
操作，经过第97次操作后笔尖停留在点𝑃处，则点𝑃对应的数是（ ）
A．−49
B．−10
C．50
D．49
【变式14-3】（25-26 七年级上·河南平顶山·月考）观察下列等式：
第1 个等式：
1
2−1 = −
1
2；第2 个等式
1
3−
1
2 = −
1
6；
第3 个等式：
1
4−
1
3 = −
1
12；……
请解答下列问题：
(1)按以上规律列出第4 个等式：____________________；
(2)计算：−
1
2−
1
6−
1
12−⋯−
1
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【题型15 有理数加减混合运算中的新定义】
【例15】（24-25 七年级上·天津·期末）若𝑎为有理数，定义运算符号“※”：当𝑎> −2时，※𝑎= −𝑎；当𝑎< −2
时，※𝑎= 𝑎；当𝑎= −2时，※𝑎= 0．则根据定义，※ 5 + ※(2−5) 的值为（ ）
A．2
B．−2
C．0
D．−8
【变式15-1】高斯被认为是历史上最杰出的数学家之一，享有“数学王子”之称．现有一种高斯定义的计算式，
已知[𝑥]表示不超过𝑥的最大整数，例如[−0.8] = −1．现定义{𝑥} = 𝑥+ [𝑥]，例如{1.5} = 1.5 + [1.5] = 2.5，
则{−3.7}−{2} = ______．
【变式15-2】（25-26 七年级上·陕西西安·期中）定义一种新运算：𝑎※𝑏=
𝑎+ 𝑏(𝑎≥𝑏)
𝑎−𝑏(𝑎< 𝑏)
，则当𝑥= −2时，
3※𝑥+ −4※𝑥的结果为___________．
【变式15-3】（25-26 七年级上·江苏扬州·月考）已知［𝑥］表示不超过x 的最大整数．如：[3.2] = 3,[−0.7]
= −1．现定义：{𝑥} = [𝑥]−𝑥，如{1.5} = [1.5]−1.5 = −0.5，则{−3.8}−
7
3 = ______．
