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专题14.4 角的平分线（举一反三讲义）
【新教材人教版】
【题型1 尺规作角平分线】....................................................................................................................................2
【题型2 利用角平分线的性质求线段长度】........................................................................................................3
【题型3 利用角平分线的性质求三角形面积】....................................................................................................4
【题型4 利用角平分线的判定证明点在角平分线上】........................................................................................5
【题型5 与角平分线性质相关的角度计算】........................................................................................................6
【题型6 利用角平分线的性质求最值】................................................................................................................7
【题型7 角平分线性质的实际应用】....................................................................................................................8
【题型8 利用角平分线构造全等三角形】............................................................................................................9
【题型9 角平分线性质与判定综合应用】..........................................................................................................10
知识点1 作已知角的平分线
用尺规作已知角的平分线．已知：∠AOB，求作：∠AOB 的平分线．
作法：（1）以点O 为圆心，适当长为半径画弧，交OA 于点M，交OB 于点N．
（2）分别以点M，N 为圆心，大于
1
2MN的长为半径画弧，两弧在∠AOB 的内部相交于点C．
（3）画射线OC．射线OC 即为所求．
如图所示：
★作图依据：构造△OMC≌△ONC（SSS）．
知识点2 角的平分线的性质
考点1
角的平分线
题型归纳
1. 定义：角的平分线上的点到角的两边的距离相等．
2. 拓展：（1）这里的距离指的是点到角的两边垂线段的长；
（2）该性质可以独立作为证明两条线段相等的依据，不需要再用全等三角形；
（3）使用该结论的前提条件是图中有角平分线、有垂直；
（4）运用角的平分线时常添加的辅助线：由角的平分线上的已知点向两边作垂线段，利用其相等来推导其
他结论．
知识点3 角的平分线的判定
1. 定义：角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上．
2. 拓展：角的平分线的判定的前提条件是指在角的内部的点到角两边的距离相等时，它才是在角的平分线
上，角的外部的点不会在角的平分线上．
【题型1 尺规作角平分线】
【例1】（25-26 七年级下·江苏扬州·期末）如图，长方形𝐴𝐵𝐶𝐷．
(1)尺规作图：在𝐶𝐷边上找一点E，将长方形𝐴𝐵𝐶𝐷沿𝐵𝐸折叠，使得点𝐶关于直线𝐵𝐸的对称点𝐹落在边𝐴𝐷上，
并作出点𝐹（保留作图痕迹，写出必要的文字说明）；
(2)在（1）所作图形中，若∠𝐶𝐵𝐸= 20°，求∠𝐷𝐹𝐸的度数．
【变式1-1】（25-26 八年级下·陕西汉中·期末）如图，点A 在∠𝑀𝑂𝑁的边𝑂𝑁上，请用尺规作图法在∠𝑀𝑂𝑁
内部求作点P，连接𝑂𝑃，使点P 到𝑂𝑀和𝑂𝑁的距离相等，且𝑃𝑂= 𝑂𝐴．（保留作图痕迹，不写作法）
【变式1-2】（25-26 七年级下·广东佛山·期中）如图，已知△𝐴𝐵𝐶，∠𝐵= 90°．
(1)尺规作图：作∠𝐴的平分线，交𝐵𝐶于D．（不写作法，保留作图痕迹）．
(2)在第（1）题的前提下，若𝐴𝐶= 8，𝑆△𝐴𝐷𝐶= 12，求𝐵𝐷的长．
【变式1-3】（25-26 七年级下·黑龙江绥化·阶段检测）如图，在直线𝑀𝑁上求作一点P，使点P 到∠𝐴𝑂𝐵两边
的距离相等．（不写作法，保留作图痕迹）
【题型2 利用角平分线的性质求线段长度】
【例2】（25-26 七年级下·陕西咸阳·阶段检测）如图，在△𝐴𝐵𝐶中，𝐴𝐷是△𝐴𝐵𝐶的角平分线，𝐵𝐸是△𝐴𝐵𝐷
的中线，过点𝐷分别作𝐷𝐹⊥𝐴𝐵，𝐷𝐻⊥𝐴𝐶，垂足分别为点𝐹，𝐻，若△𝐵𝐸𝐷的面积为2，𝐴𝐵的长为4，则𝐷𝐻
的长为___________．
【变式2-1】（25-26 七年级下·陕西咸阳·阶段检测）如图，𝐴𝐷是△𝐴𝐵𝐶的角平分线，𝐷𝐸⊥𝐴𝐵于点E，𝐷𝐹⊥𝐴𝐶
于点F，𝐷𝐸= 2，则𝐷𝐹的长是（ ）
A．2
B．2.5
C．3
D．4
【变式2-2】（25-26 七年级下·陕西西安·阶段检测）如图，在△𝐴𝐵𝐶中，𝐶𝐷平分∠𝐴𝐶𝐵，𝐷𝐸⊥𝐵𝐶于点𝐸，△𝐴𝐵𝐶
的面积为28，𝐷𝐸= 4，𝐵𝐶= 9，则𝐴𝐶的长是（ ）
A．4
B．5
C．6
D．7
【变式2-3】（25-26 七年级下·四川成都·期中）已知△𝐴𝐵𝐶中，∠𝐴𝐶𝐵= 2∠𝐴𝐵𝐶，𝐴𝐷为∠𝐵𝐴𝐶的平分线．若
𝑆△𝐴𝐵𝐷:𝑆△𝐴𝐶𝐷= 3:2，则
𝐴𝐶+𝐷𝐶
𝐵𝐶的值为____________________．
【题型3 利用角平分线的性质求三角形面积】
【例3】如图，已知在△𝐴𝐵𝐶中，𝐶𝐷是𝐴𝐵边上的高线，𝐵𝐸平分∠𝐴𝐵𝐶，交𝐶𝐷于点E，𝐵𝐶= 5，𝐷𝐸= 2，则△𝐵𝐶𝐸
的面积等于__________．
【变式3-1】如图，𝐴𝐷是△𝐴𝐵𝐶的角平分线，若𝐴𝐵= 10，𝐴𝐶= 8，则𝑆△𝐴𝐵𝐷:𝑆△𝐴𝐷𝐶= （ ）
A．1:1
B．4:5
C．5:4
D．16:25
【变式3-2】（25-26 七年级上·山东烟台·期中）如图，在四边形𝐴𝐵𝐶𝐷中，∠𝐵𝐶𝐷= 90°，𝐵𝐷平分∠𝐴𝐵𝐶，
𝐴𝐵= 6，𝐵𝐶= 10，𝐶𝐷= 5，则四边形𝐴𝐵𝐶𝐷的面积是（ ）
A．40
B．42
C．46
D．48
【变式3-3】（25-26 七年级下·山东青岛·阶段检测）如图，若∠𝐴𝑂𝐵＝∠𝐴𝐶𝐵＝90°，𝑂𝐶平分∠𝐴𝑂𝐵，𝑂𝐶= 4，
则四边形𝐴𝑂𝐵𝐶的面积是_____ ．
【题型4 利用角平分线的判定证明点在角平分线上】
【例4】（25-26 八年级下·福建漳州·期中）已知：如图，在△𝐴𝐵𝐶中，角平分线𝐵𝑀与角平分线𝐶𝑁相交于点
P．求证：∠𝐴的平分线经过点P．
【变式4-1】（25-26 八年级下·辽宁锦州·期中）如图，在△𝐴𝐷𝐹中，∠𝐹= 90°，点𝐵、𝐶分别在边𝐴𝐹、𝐷𝐹上，
连接𝐴𝐶、𝐵𝐶，𝐶𝐵= 𝐶𝐷，∠𝐷= ∠𝐶𝐵𝐹，在边𝐴𝐷上截取𝐷𝐸= 𝐵𝐹，连接𝐶𝐸．求证：𝐴𝐶平分∠𝐷𝐴𝐵．
【变式4-2】（25-26 八年级下·山西运城·期中）如图，已知∠𝐴𝑂𝐵，王老师提出一个问题：能不能利用有刻
度的直尺作出∠𝐴𝑂𝐵的平分线？小宇同学利用两把完全相同的直尺，设计了一种独特的作一个角的平分线的
方法：在∠𝐴𝑂𝐵中，将两把直尺按照如图所示的方式摆放，则射线𝑂𝑃为∠𝐴𝑂𝐵的平分线．请你说明小宇的思
路有没有道理？请说明理由．
【变式4-3】（25-26 九年级下·山东聊城·阶段检测）如图，在△𝐴𝐵𝐶中，点D 在𝐵𝐶边上，∠𝐵𝐴𝐷= 100°，∠𝐴𝐵𝐶
的平分线交𝐴𝐶于点E，过点E 作𝐸𝐹⊥𝐴𝐵，垂足为F，且∠𝐴𝐸𝐹= 50°，连接𝐷𝐸．
(1)求∠𝐶𝐴𝐷的度数；
(2)求证：𝐷𝐸平分∠𝐴𝐷𝐶；
(3)若𝐴𝐵= 6，𝐴𝐷= 4，𝐶𝐷= 8，且𝑆△𝐴𝐶𝐷= 12，求△𝐴𝐵𝐸的面积．
【题型5 与角平分线性质相关的角度计算】
【例5】（25-26 八年级上·江苏南京·期中）如图，𝑂𝑀平分∠𝐴𝑂𝐵，𝑀𝐴⊥𝑂𝐴，垂足为A，𝑀𝐵⊥𝑂𝐵，垂足为
B．若∠𝑀𝐴𝐵= 15°，则∠𝐴𝑂𝐵的度数为______．
【变式5-1】（25-26 八年级上·江苏南京·阶段检测）如图，在△𝐴𝐵𝐶中，𝐶𝐷是∠𝐴𝐶𝐵的平分线，𝐵𝐸⊥𝐶𝐷，
垂足为点𝐸．若∠𝐶𝐵𝐸−∠𝐷𝐵𝐸 = 40°，则∠𝐵𝐴𝐶的度数为______．
【变式5-2】（24-25 八年级上·云南昭通·期中）如图，直线𝐴𝐵、𝐶𝐷交于点O，𝑀𝐸⊥𝐴𝐵于点E，𝑀𝐹⊥𝐶𝐷于
点F，若𝑂𝐸= 𝑂𝐹，且∠𝐴𝑂𝐶= 56°，则∠𝑂𝑀𝐸的度数为________．
【变式5-3】（25-26 八年级上·广东广州·期末）如图，𝑂𝐶为∠𝐴𝑂𝐵的角平分线，点P 为𝑂𝐶上一点，点D，E
分别为射线𝑂𝐴，𝑂𝐵上的点，且∠𝑃𝐸𝑂= 120°，若𝑃𝐷= 𝑃𝐸，则∠𝑃𝐷𝑂的度数为_______．
【题型6 利用角平分线的性质求最值】
【例6】如图，Rt △𝐴𝐵𝐶，∠𝐶= 90°，∠𝐴= 30°，𝐵𝐷平分∠𝐴𝐵𝐶，点𝑃为𝐴𝐵上的一动点，𝐴𝐶= 3，则𝑃𝐷的
最小值为______．
【变式6-1】（24-25 八年级上·河北邯郸·阶段检测）如图，在直角三角形𝐴𝐵𝐶中，∠𝐶= 90°．以A 为圆心，
任意长为半径画弧，分别交𝐴𝐶，𝐴𝐵于点D，E，再分别以D，E 为圆心、大于
1
2𝐷𝐸的长为半径画弧，两弧交
于点F，作射线𝐴𝐹交𝐵𝐶于点P．若𝑃𝐶= 3，点Q 为边𝐴𝐵上的一个动点，则
①∠𝑃𝐴𝐶______∠𝑃𝐴𝐵（填“ > ”“ = ”或“ < ”）；
②𝑃𝐵______𝑃𝐶（填“ > ”“ = ”或“ < ”）；
③线段𝑃𝑄的最小值为______．
【变式6-2】如图，在锐角三角形𝐴𝐵𝐶中，𝐴𝐵= 6，△𝐴𝐵𝐶的面积为18，𝐵𝐷平分∠𝐴𝐵𝐶，若E，F 分别是
𝐵𝐷，𝐵𝐶上的动点，则𝐶𝐸+ 𝐸𝐹的最小值为（ ）
A．5
B．6
C．7
D．8
【变式6-3】如图，∠𝑀𝑂𝑁= 60°，点A、B 分别是射线𝑂𝑀、射线𝑂𝑁上的动点，连接𝐴𝐵,∠𝑀𝐴𝐵的角平分线
与∠𝑁𝐵𝐴的角平分线交于点P．
(1)当𝑂𝐴= 𝑂𝐵时，求证：𝐴𝑃∥𝑂𝐵；
(2)在点A、B 运动的过程中，∠𝑃的大小是否发生改变？若不改变，请求出∠𝑃的度数；若改变请说明理由；
(3)连接𝑂𝑃，C 是线段𝑂𝑃上的动点，D 是线段𝑂𝐴上的动点，当𝑆△𝑂𝐴𝐵= 12,𝑂𝐵= 6时，求𝐴𝐶+ 𝐶𝐷的最小值．
【题型7 角平分线性质的实际应用】
【例7】（25-26 八年级上·上海·期末）如图，三条公路两两相交于点A、B、C，现在要在公路边建一所加
油站𝑃，要求加油站𝑃的位置到三条公路的距离都相等．
(1)符合要求的位置有__________个；
(2)请你找出所有加油站𝑃的位置（要求：尺规作图，保留作图痕迹，写出结论）；
(3)你的作图依据是__________．
【变式7-1】如图，某市区南北走向的解放路𝐴𝐵，龙潭路𝐶𝐷与东西走向的人民路交汇于B，C 两点，现想
建造一加油站P，使得加油站到三条公路的距离相等．请你用所学的知识确定P 点的位置（用直尺、圆规
作图，不写作法，保留作图痕迹）．
【变式7-2】如图，铁路𝑂𝐴和铁路𝑂𝐵交于O 处，河道𝐴𝐵与铁路分别交于A 处和B 处，试在河岸上建一座
水厂M，要求M 到铁路𝑂𝐴，𝑂𝐵的距离相等，则该水厂M 应建在图中什么位置？请在图中标出M 点的位置．
【变式7-3】如图，某个居民小区𝐶附近有三条两两相交的道路𝑀𝑁、𝑂𝐴、𝑂𝐵，拟在𝑀𝑁上建造一个大型超
市，使得它到𝑂𝐴、𝑂𝐵的距离相等，请确定该超市的位置𝑃．
【题型8 利用角平分线构造全等三角形】
【例8】（25-26 九年级上·湖北黄冈·期中）如图，△𝐴𝐵𝐶的角平分线𝐵𝐷，𝐶𝐸相交于点𝑃，∠𝐴= 60°，则
∠𝐵𝑃𝐶= ___________．若△ 𝐴𝐵𝐶的面积为16，四边形𝐴𝐸𝑃𝐷的面积为5，则△ 𝐵𝑃𝐶的面积为___________．
【变式8-1】（25-26 八年级上·湖北咸宁·期末）如图，在△𝐴𝐵𝐶中，𝐴𝐵= 4,𝐴𝐶= 7，𝐴𝐷是∠𝐵𝐴𝐶的平分线，
M 为𝐵𝐶的中点，𝑀𝐸∥𝐴𝐷交𝐵𝐴的延长线于E，交𝐴𝐶于F，则𝐵𝐸= ________．
【变式8-2】（25-26 八年级上·安徽合肥·期末）如图，在△𝐴𝐵𝐶中，
∠𝐶= 90°,𝐴𝐶= 6,𝐵𝐶= 8,𝐴𝐵= 10,∠𝐵𝐴𝐶,∠𝐴𝐵𝐶的平分线交于点D，𝐷𝐸⊥𝐵𝐶于点E，𝐷𝐹⊥𝐴𝐶于点F，则CE
的长为_______ ．
【变式8-3】（24-25 八年级上·湖北武汉·阶段检测）如图，四边形𝐴𝐵𝐶𝐷，𝐵𝐷平分∠𝐴𝐵𝐶，𝐶𝐷⊥𝐵𝐷，
𝐴𝐶= 6，𝐵𝐶−𝐴𝐵= 3，则△𝐴𝐷𝐶面积的最大值为（ ）
A．8
B．9
C．
9
2
D．10
【题型9 角平分线性质与判定综合应用】
【例9】（25-26 八年级上·福建厦门·期末）如图，在△𝐴𝐵𝐶中，𝐴𝐵= 5,𝐴𝐷⊥𝐵𝐶于点𝐷，𝐶𝐷= 2，
∠𝐵𝐴𝐷= 2∠𝐶𝐴𝐷，将△𝐴𝐵𝐶沿着𝐴𝐷折叠，若点𝐵恰好落在射线𝐵𝐶上的点𝐸处，则△𝐴𝐶𝐸的面积为_____．
【变式9-1】（25-26 八年级上·贵州遵义·阶段检测）如图，将△𝐴𝐵𝐶纸片沿𝐷𝐸折叠，点A 落在点𝐴′处，恰
好满足𝐴′𝐵平分∠𝐴𝐵𝐶，𝐴′𝐶平分∠𝐴𝐶𝐵，若∠1 = 125°，则∠2 + ∠𝐶𝐸𝐴′的值是________．
【变式9-2】（25-26 八年级上·福建泉州·阶段检测）如图，𝐴𝑃和𝐵𝑃分别是△𝐴𝐵𝐶的外角∠𝐵𝐴𝑀和∠𝐴𝐵𝑁的平
分线，𝐴𝑃和𝐵𝑃交于点𝑃，过点𝑃作𝑃𝐷∥𝐶𝑁交𝐴𝐶于点𝐷,𝐴𝐵于点𝐸，若𝐶𝐷= 8,𝐵𝐸= 5，点𝐴到𝐷𝑃的距离为4，
则△𝐴𝐷𝐸的面积为（ ）
A．5
B．6
C．7
D．8
【变式9-3】（25-26 八年级上·全国·寒假作业）如图，△𝐴𝐵𝐶中，∠𝐴𝐶𝐵= 100°，点D 在边𝐵𝐶延长线上，∠𝐴𝐵𝐶
的平分线交𝐴𝐷于点E，过点E 作𝐸𝐻⊥𝐵𝐷，垂足为H，且∠𝐶𝐸𝐻= 50°．
(1)求证：𝐴𝐸平分∠𝐶𝐴𝐹；
(2)若𝐴𝐶+ 𝐶𝐷= 16，𝐴𝐵= 10，且𝑆△𝐴𝐶𝐷= 24，则△𝐴𝐵𝐸的面积．
