文档文本内容
专题01 全等三角形的九大常见模型（举一反三专项训练）
【新教材人教版】
【模型1 平移模型】................................................................................................................................................1
【模型2 翻折(轴对称)模型】..................................................................................................................................2
【模型3 手拉手模型】............................................................................................................................................4
【模型4 半角模型】................................................................................................................................................5
【模型5 一线三等角模型】....................................................................................................................................7
【模型6 雨伞模型】................................................................................................................................................9
【模型7 角平分线模型】......................................................................................................................................11
【模型8 平行线中点模型】..................................................................................................................................13
【模型9 婆罗摩笈多模型】..................................................................................................................................17
模型一：平移模型
【模型1 平移模型】
【例1】（24-25 八年级上·重庆江津·期中）如图，将△𝐴𝐵𝐶沿射线𝐵𝐶方向平移得到△𝐷𝐶𝐸，连接𝐵𝐷交𝐴𝐶
于点𝐹．求证：△𝐴𝐹𝐵≌△𝐶𝐹𝐷．
【变式1-1】将Rt △𝐴𝐵𝐶沿直线𝐴𝐵向右平移2个单位得到Rt △𝐴′𝐵′𝐶′，若𝐴𝐵= 4，∠𝐴𝐵𝐶= 90°，且𝑆△𝐴𝐵𝐶
= 6，求𝑆四边形𝐵𝐵′𝐶′𝐻．
全等模型
模型解读
常见模型
解题思路
平移模型
沿同一直线平移的两个三角
形重合
①加(减)共线部分，得到一组对
应边相等；
②利用平行线性质找对应角相
等
题型归纳
【变式1-2】如图，已知在Rt△ABC 中，∠𝐴= 90°，将Rt△ABC 沿AC 所在直线平移得到Rt△FDE，使平移
的距离𝐴𝐹= 𝐴𝐵，连接BF，过点C 作𝐶𝐺⊥𝐵𝐹于点G，连接DG，EG．
求证：△𝐷𝐹𝐺≌△𝐸𝐶𝐺．
【变式1-3】（1）如图1，点A，F，E，C 在同一条直线上，𝐴𝐸= 𝐶𝐹，𝐴𝐷∥𝐶𝐵，𝐴𝐷= 𝐶𝐵，求证：△𝐴𝐷𝐹≌△𝐶𝐵𝐸．
（2）若将图1 中的△𝐵𝐸𝐶沿𝐶𝐴方向平移得到图2、图3，其他条件不变，△𝐴𝐷𝐹≌△𝐶𝐵𝐸还成立吗？为什
么？（选择一种情况说明理由）
模型二：翻折(轴对称)模型
全等模型
模型解读
常见模型
解题思路
翻折(轴对称)
模型
两个三角形过公共点所在的
直线或公共边折叠，两个三
角形重合
①通过公共角、垂直、对顶角、
等腰三角形等条件得对应角相
等；
②通过公共边、中点、等边等条
件得对应边相等
【模型2 翻折(轴对称)模型】
【例2】（2024·湖北武汉·二模）如图，将△𝐴𝐵𝐶的边𝐴𝐶沿𝐵𝐶边上的高𝐴𝐷折叠到𝐴𝐸．𝐸在边𝐵𝐶上，若
∠𝐵= 56°,∠𝐵𝐴𝐸= 22°，则∠𝐶的度数为（ ）
A．78°
B．56°
C．34°
D．22°
【变式2-1】如图所示的图形是关于𝑀𝑁所在的直线为对称轴的轴对称图形，则图中全等的三角形共有（ ）
A．1 组
B．2 组
C．3 组
D．4 组
【变式2-2】（24-25 八年级下·河北保定·期末）如图，将△𝐴𝐵𝐶折叠，使边𝐴𝐶落在边𝐴𝐵上，展开后得到折
痕𝑙．若𝑙⊥𝐵𝐶，则△𝐴𝐵𝐶一定是（ ）
A．锐角三角形
B．等腰三角形
C．直角三角形
D．等边三角形
【变式2-3】如图，△ABC，点D，E 在BC 边上，点F 在AC 边上．将△ABC 沿AD 折叠，恰好与△AED 重
合，将△CEF 沿EF 折叠，恰好与△AEF 重合．下列结论
①∠B=60°；②AB=EC；③AD=AF；④DE=EF；⑤∠B=2∠C，
正确的个数有（ ）
A．2 个
B．3 个
C．4 个
D．5 个
模型三：手拉手模型
全等模型
模型解读
常见模型
解题思路
手拉手模型
两个顶角相等的等腰三角形顶角
顶点重合，左底角顶点互连，右底
角顶点互连所组成的图形
加(减)共顶点的角的共角部
分，得到一组对应角相等
【模型3 手拉手模型】
【例3】如图，△𝐴𝐵𝐶为任意三角形，以边𝐴𝐵，𝐴𝐶为边分别向外作等边三角形𝐴𝐵𝐷和等边三角形𝐴𝐶𝐸，连
接𝐶𝐷，𝐵𝐸并且相交于点𝑃．
求证：
(1)𝐶𝐷= 𝐵𝐸；
(2)∠𝐵𝑃𝐶= 120°．
【变式3-1】（25-26 八年级上·四川资阳·期中）已知：如图，△𝐴𝐵𝐷和△𝐴𝐸𝐶都是等腰直角三角形，
𝐴𝐵= 𝐴𝐷，𝐴𝐶= 𝐴𝐸，∠𝐵𝐴𝐷= ∠𝐶𝐴𝐸= 90°，连结𝐶𝐷，𝐵𝐸相交于点F，𝐴𝐷与𝐵𝐸相交于点M．求证：𝐵𝐸⊥𝐶𝐷．
【变式3-2】如图，△ABC 和△EBD 都是等边三角形，连接AE，CD．求证：AE＝CD．
【变式3-3】在△𝐴𝐵𝐶中，𝐴𝐵= 𝐴𝐶，点D 是直线𝐵𝐶上一点，连接𝐴𝐷，以𝐴𝐷为边向右作△𝐴𝐷𝐸，使得
𝐴𝐷= 𝐴𝐸，∠𝐷𝐴𝐸= ∠𝐵𝐴𝐶，连接CE．
(1)①如图1，求证：△𝐴𝐵𝐷≌△𝐴𝐶𝐸；
②当点D 在𝐵𝐶边上时，请直接写出△𝐴𝐵𝐶，△𝐴𝐶𝐷，△𝐴𝐶𝐸的面积（𝑆△𝐴𝐵𝐶，𝑆△𝐴𝐶𝐷，𝑆△𝐴𝐶𝐸）所满足的
关系；
(2)当点D 在𝐵𝐶的延长线上时，试探究△𝐴𝐵𝐶，△𝐴𝐶𝐷，△𝐴𝐶𝐸的面积（𝑆△𝐴𝐵𝐶，𝑆△𝐴𝐶𝐷，𝑆△𝐴𝐶𝐸）所满足的
关系，并说明理由．
模型四：半角模型
全等模型
模型解读
常见模型
解题思路
半角模型
有公共顶点，锐角等于较大角的一
半，且组成这个较大角的两边相
等.通过作辅助线将角的倍分关
系 转化为角的相等关系，并进一
步构成全等三角形
延长一边，构造全等三角形，
从而得到线段之间的数量关
系
【模型4 半角模型】
【例4】（25-26 八年级上·山东济宁·阶段检测）如图，正方形𝐴𝐵𝐶𝐷中，M，N 分别在𝐶𝐷、𝐵𝐶上，连接
𝐴𝑀、𝐴𝑁、𝑀𝑁，∠𝑀𝐴𝑁= 45°．
(1)若将△𝐴𝐷𝑀绕点A 顺时针旋转90°，点D 与点B 重合，得到△𝐴𝐵𝐸；请你补全图形．
(2)直接写出线段𝐷𝑀、𝐵𝑁、𝑀𝑁之间的数量关系；
(3)根据（2）的结论，写出证明过程；
(4)如果正方形的边长是5，求△𝐶𝑀𝑁的周长．
【变式4-1】如图，在Rt△ABC 和Rt△BCD 中，∠BAC＝∠BDC＝90°，BC＝4，AB＝AC，∠CBD＝30°，M，N
分别在BD，CD 上，∠MAN＝45°，则△DMN 的周长为_____．
【变式4-2】如图，在𝑅𝑡△𝐴𝐵𝐶中，𝐴𝐵= 𝐴𝐶，∠𝐴𝐵𝐶= ∠𝐴𝐶𝐵= 45°，D、E 是斜边𝐵𝐶上两点，且
∠𝐷𝐴𝐸= 45°，若𝐵𝐷= 3，𝐶𝐸= 4，𝑆△𝐴𝐷𝐸= 15，则△𝐴𝐵𝐷与△𝐴𝐸𝐶的面积之和为（ ）
A．36
B．21
C．30
D．22
【变式4-3】如图，梯形ABCD 中，AD∥BC，AB = BC = DC，点E、F 分别在AD、AB 上，且∠𝐹𝐶𝐸=
1
2∠𝐵𝐶𝐷.
（1）求证：𝐵𝐹= 𝐸𝐹−𝐸𝐷；
（2）连结AC，若∠𝐵= 80°,∠𝐷𝐸𝐶= 70°，求∠𝐴𝐶𝐹的度数.
模型五：一线三等角模型
全等模型
模型解读
常见模型
解题思路
一线三等角
模型
左图，两个三角形有一条边共
线 ；
右图，同一直线上有三个相等的
角的顶点，∠1＝∠2＝∠3
利用三角形内角和为180°和
内、外角关系，通过等角代换
得到一组相等的角，利用
AAS 或ASA 证明三角形全
等
【模型5 一线三等角模型】
【例5】如图，在△ABC 中，AB＝AC＝9，点E 在边AC 上，AE 的中垂线交BC 于点D，若∠ADE＝∠B，CD
＝3BD，则CE 等于（ ）
A．3
B．2
C．
9
4
D．
9
2
【变式5-1】如图，在△𝐴𝐵𝐶中，∠𝐴𝐶𝐵= 90°，𝐴𝐶= 𝐵𝐶，𝐵𝐸⊥𝐶𝐸，于点𝐸，𝐴𝐷⊥𝐶𝐸于点𝐷．△𝐵𝐸𝐶与△𝐶𝐷𝐴
全等吗？请说明理由．
【变式5-2】（25-26 八年级上·湖北武汉·期末）如图，𝐷是线段𝐴𝐶的中点，𝐶𝐹∥𝐴𝐵，过点𝐷作直线交𝐴𝐵、𝐶𝐹
于点𝐸、𝐹．
(1)证明：𝐷𝐸= 𝐷𝐹；
(2)若𝐸𝐹⊥𝐴𝐵，𝐵𝐶的垂直平分线交线段𝐵𝐶、𝐸𝐷于点𝑁、𝑀，𝐵𝐶= 2𝑀𝑁，𝐴𝐵= 8，求线段𝐸𝐹的长．
【变式5-3】（25-26 八年级上·云南昆明·期末）一条直线经过直角三角形的直角顶点，过直角三角形的另外
两个顶点分别作这条直线的垂线，这样满足三个直角顶点都在同一条直线上的图形称之为“一线三垂直”模
型．
(1)如图1，在△𝐴𝐵𝐶中，∠𝐵𝐴𝐶= 90∘，𝐴𝐵= 𝐴𝐶，点𝐴在直线𝑀𝑁上，过点𝐵作𝐵𝐷⊥𝑀𝑁于点𝐷，过点𝐶作
𝐶𝐸⊥𝑀𝑁于点𝐸，由∠𝐷𝐴𝐵+ ∠𝐷𝐵𝐴= 90∘，∠𝐷𝐴𝐵+ ∠𝐶𝐴𝐸= 90∘得∠𝐷𝐵𝐴= ___________．又知道
∠𝐵𝐷𝐴= ∠𝐴𝐸𝐶，𝐴𝐵= 𝐴𝐶，可以推理得到△𝐴𝐵𝐷≌△𝐶𝐴𝐸，进而得到𝐴𝐷= 𝐶𝐸，𝐴𝐸= ___________．
(2)当图1 中的直线𝑀𝑁绕点𝐴旋转到图2 的位置时，求证：𝐷𝐸= 𝐵𝐷−𝐶𝐸．
(3)当图1 中的直线𝑀𝑁绕点𝐴旋转到图3 的位置时，请直接写出𝐷𝐸，𝐵𝐷，𝐶𝐸．之间的数量关系：___________．
(4)如图4，若将（1）中的条件改为：在△𝐴𝐵𝐶中，𝐴𝐵= 𝐴𝐶， D，A，E 三点都在直线𝑀𝑁上，且满足
∠𝐵𝐷𝐴= ∠𝐵𝐴𝐶= ∠𝐴𝐸𝐶= 𝛼，其中𝛼为任意锐角或钝角，请问结论△𝐴𝐵𝐷≌△𝐶𝐴𝐸是否成立？若成立，请
给出证明；若不成立，请说明理由．
模型六：雨伞模型
全等模型
模型解读
常见模型
解题思路
雨伞模型
通过延长线段与直线相交，从而构
造一对全等三角形，并将已知条件
中的线段和角进行转移
AP 平分∠BAC，BD⊥AP，垂足
为点D，延长BD 交AC 于点
C，证明△ABD≌△ACD，得到
AB＝AC，BD＝CD
【模型6 雨伞模型】
【例6】（25-26 八年级上·江苏南通·期中）如图，△𝐴𝐵𝐶中，𝐴𝐶= 𝐵𝐶，∠𝐴𝐶𝐵= 90°，𝐴𝐷平分∠𝐵𝐴𝐶交𝐵𝐶
于点D，过点B 作𝐵𝐸⊥𝐴𝐷，交𝐴𝐷延长线于点E，F 为𝐴𝐵的中点，连接𝐶𝐹，交𝐴𝐷于点G，连接𝐵𝐺．
(1)求证：△𝐵𝐸𝐺是等腰直角三角形；
(2)线段𝐵𝐸与线段𝐴𝐷有何数量关系？并说明理由．
【变式6-1】如图，在△𝐴𝐵𝐶中，𝐶𝑃平分∠𝐴𝐶𝐵，𝐴𝑃⊥𝐶𝑃于点P，已知△𝐴𝐵𝐶的面积为2，则阴影部分的面积
为_____．
【变式6-2】如图，四边形ABCD 中，E 是DC 的中点，连接AE，AE 平分∠DAB，∠D＝∠C＝90°，AD＝4BC
＝8，则线段AB 的长为__．
【变式6-3】【问题情境】
利用角平分线构造全等三角形是常用的方法，如图1，𝑂𝑃平分∠𝑀𝑂𝑁，点A 为𝑂𝑀上一点，过点A 作
𝐴𝐶⊥𝑂𝑃，垂足为𝐶，延长𝐴𝐶交𝑂𝑁于点B，易证Δ𝐴𝑂𝐶≌Δ𝐵𝑂𝐶，则𝐴𝐶= 𝐵𝐶．其分析过程如下：
在Δ𝐴𝑂𝐶和Δ𝐵𝑂𝐶中，
𝑂𝑃平分∠𝑀𝑂𝑁⇒∠𝐴𝑂𝐶= ∠𝐵𝑂𝐶
𝑂𝐶= 𝑂𝐶，𝐴𝐶⊥𝑂𝑃⇒∠𝑂𝐶𝐴= ∠𝑂𝐶𝐵= 90°
⇒ Δ𝐴𝑂𝐶≌Δ𝐵𝑂𝐶（___________）
在括号内填写全等判定方法字母简称
⇒𝐴𝐶= 𝐵𝐶（___________）
在括号内填写理由依据
【问题探究】
如图2，Δ𝐴𝐵𝐶中，𝐴𝐵= 𝐴𝐶，∠𝐵𝐴𝐶= 90°，𝐶𝐷平分∠𝐴𝐶𝐵，𝐵𝐸⊥𝐶𝐷，垂足𝐸在𝐶𝐷的延长线上．证明：
𝐶𝐷= 2𝐵𝐸；
【拓展延伸】
如图3，在Δ𝐴𝐵𝐶中，𝐴𝐵= 𝐴𝐶，∠𝐵𝐴𝐶= 90°，𝐷在线段𝐵𝐶上，向𝐵𝐶左侧作∠𝐵𝐷𝐸=
1
2∠𝐴𝐶𝐵，𝐵𝐸⊥𝐷𝐸于𝐸，
𝐷𝐸交𝐴𝐵于𝐹，试探究𝐵𝐸和𝐷𝐹之间的数量关系，并证明你的结论．
【模型7 角平分线模型】
【例7】在数学活动课上，小明提出这样一个问题：∠B＝∠C＝90°，E 是BC 的中点，DE 平分∠ADC，∠CED＝
35°，如图，则∠EAB 是多少度？大家一起热烈地讨论交流，小英第一个得出正确答案，是______．
【变式7-1】（25-26 八年级上·福建南平·期中）如图，在△𝐴𝐵𝐶中，∠𝐵= 90°，𝐴𝐷平分∠𝐵𝐴𝐶交𝐵𝐶于点D，
𝐶𝐸⊥𝐴𝐷，垂足为E，𝐵𝐷= 𝐸𝐷，求证：𝐶𝐷平分∠𝐴𝐶𝐸．
【变式7-2】（24-25 九年级上·重庆巴南·期末）在学习了四边形的相关知识后，奋进组进行了更深入的思考：
在对角互补的四边形中，若对角线平分其中一个内角，则被对角线平分所得的两个小角所对的边存在一定
的数量关系？通过讨论，奋进组的解决思路是利用构造三角形全等得出结论，根据他们的想法和思路，完
成以下作图和填空
．．．．．：
（1）如图，用尺规过点C 作𝐴𝐷的垂线，交𝐴𝐷于点F．（不写作法，保留作图痕迹）；
（2）已知：在四边形𝐴𝐵𝐶𝐷中，∠𝐵𝐴𝐷+ ∠𝐵𝐶𝐷= 180°，𝐴𝐶平分∠𝐵𝐴𝐷，𝐶𝐸⊥𝐴𝐵交𝐴𝐵的延长线于点E，
𝐶𝐹⊥𝐴𝐷，求证：𝐶𝐵= 𝐶𝐷．
证明：∵𝐴𝐶平分∠𝐵𝐴𝐷，𝐶𝐸⊥𝐴𝐵，𝐶𝐹⊥𝐴𝐷，
∴①，∠𝐶𝐸𝐵= ∠𝐶𝐹𝐷= 90°．
∵∠𝐵𝐴𝐷+ ∠𝐵𝐶𝐷= 180°，
∴∠𝐴𝐵𝐶+ ∠𝐴𝐷𝐶= 180°．
又∵∠𝐴𝐵𝐶+ ∠𝐸𝐵𝐶= 180°，
∴②．
∴△𝐵𝐶𝐸≌△𝐷𝐶𝐹（③）．
∴𝐶𝐵= 𝐶𝐷．
通过以上探究，请你帮助奋进组完成下面命题：在对角互补的四边形中，若对角线平分其中一个内角，则
被该对角线平分所得的两个相等小角④．
【变式7-3】（25-26 八年级上·山东潍坊·期中）工人师傅常用角尺平分一个任意角．做法：如图 1 ，∠𝐴𝑂𝐵
是一个任意角，在边𝑂𝐴， 𝑂𝐵上分别取𝑂𝑀= 𝑂𝑁，移动角尺使角尺两边相同的刻度分别与点M ， N 重合，
即𝑃𝑀= 𝑃𝑁．过角尺顶点 P 的射线𝑂𝑃便是∠𝐴𝑂𝐵的平分线，已知角尺的夹角𝑀𝑃𝑁= 90°．
(1)请解释工人师傅这样做能得到角平分线的原因；
(2)小明认为，当上𝐴𝑂𝐵= 90°时，工人师傅就不需要先在边𝑂𝐴,𝑂𝐵 上分别取𝑂𝑀= 𝑂𝑁，如图 2，直接移动
角尺，使角尺的两边分别与𝑂𝐴,𝑂𝐵相交于点M ，N ，且满足𝑃𝑀= 𝑃𝑁，便可以得到𝑂𝑃平分∠𝐴𝑂𝐵．你觉得
小明的观点对吗？并说明理由；
(3)如图 3 ， ∠𝐴𝑂𝐵= 90°， 𝑂𝑄平分∠𝐴𝑂𝐵．P 是射线𝑂𝑄上的一点，过点 P 作𝑃𝐸⊥𝑂𝐵于点 E ，
𝑂𝐸= 5．点 C 在射线𝑂𝐴上运动，过点 P 作𝑃𝐷⊥𝑃𝐶，与直线𝑂𝐵交于点 D．若𝑂𝐷= 2，请直接写出𝑂𝐶的
长．
模型八：平行线中点模型
全等模型
模型解读
常见模型
解题思路
平行线中点
模型
平行线之间夹中点，通过延长过中
点的线段与平行线相交，从而构造
一对全等三角形，并将已知条件中
的线段和角进行转移
如图，已知AB∥CD，点E，F 分
别在直线AB、CD 上，点O 为线
段EF 的中点，延长PO 交CD 于
点Q，证明△POE≌△QOF
【模型8 平行线中点模型】
【例8】（2026·江苏扬州·一模）综合与探究
学习材料：中线是三角形中的重要线段之一，在利用中线解决几何问题时，常常采用“倍长中线法”添加辅助
线．所谓倍长中线模型，就是将三角形的中线延长一倍，以便构造出全等三角形，从而运用全等三角形的
有关知识来解决问题的方法．
如图1，在Rt △𝐴𝐵𝐶中，取𝐵𝐶的中点O，连接𝐴𝑂并延长，使得𝐴𝑂= 𝑂𝐷，连接𝐵𝐷、𝐶𝐷，四边形𝐴𝐵𝐷𝐶为平
行四边形．
初步探究：
(1)如图2，数学活动课上，老师让同学们制作两张全等的直角三角形纸片并重合放置，将Rt △𝐴𝐵𝐶保持固
定，Rt △𝐴𝐷𝐸绕点A 按逆时针方向旋转，其中∠𝐴𝐶𝐵= ∠𝐴𝐸𝐷= 90°，若∠𝐴𝐵𝐶= 30°，当点E 落在AB 边上
时，连接𝐴𝐸并延长，使得𝐶𝐸= 𝐸𝐹，连接𝐴𝐹、𝐵𝐹，判断四边形𝐴𝐶𝐵𝐹的形状，并说明理由．
深入探究：
(2)如图3，当Rt △𝐴𝐷𝐸绕点A 按逆时针方向旋转90°时，连接𝐶𝐷、𝐵𝐸，取𝐵𝐸的中点P，连接𝐴𝑃交𝐶𝐷于点
Q，试判断𝐴𝑃和𝐶𝐷的数量关系和位置关系，并说明理由．
【变式8-1】如图，△𝐴𝐵𝐶是等边三角形，点𝐷、𝐸分别是射线𝐴𝐶、射线𝐵𝐶上的动点，点𝐷从点𝐴出发沿射线𝐴𝐶
移动，点𝐸从点𝐶出发沿射线𝐵𝐶移动，点𝐷、点𝐸同时出发并且运动速度相同．连接𝐵𝐷、𝐷𝐸．
(1)如图①，当点𝐷移动到线段𝐴𝐶的中点时，求∠𝐷𝐸𝐶度数．
(2)如图②，当点𝐷在线段𝐴𝐶上移动但不是中点时，试探索𝐷𝐸与𝐵𝐷之间的数量关系，并说明理由．
(3)如图③，当点𝐷移动到线段𝐴𝐶的延长线上时，（2）中的结论是否仍然成立？并说明理由．
【变式8-2】如图1，点𝐴是直线𝑀𝑁上一点，点𝐵是直线𝑃𝑄上一点，且MN//PQ．∠𝑁𝐴𝐵和∠𝐴𝐵𝑄的平分线交
于点𝐶．
（1）求证：𝐵𝐶⊥𝐴𝐶；
（2）过点𝐶作直线交𝑀𝑁于点𝐷（不与点𝐴重合），交𝑃𝑄于点E,
①若点𝐷在点𝐴的右侧，如图2，求证：𝐴𝐷+ 𝐵𝐸= 𝐴𝐵；
②若点𝐷在点𝐴的左侧，则线段𝐴𝐷、𝐵𝐸、𝐴𝐵有何数量关系？直接写出结论，不说理由．
【变式8-3】【问题初探】
（1）数学课上，李老师出示了这样一个问题：如图1，在△𝐴𝐵𝐶中，𝐴𝐵= 𝐴𝐶，点F 是𝐴𝐶上一点，点E 是
𝐴𝐵延长线上的一点，连接𝐸𝐹，交𝐵𝐶于点D，若𝐸𝐷= 𝐷𝐹，求证：𝐵𝐸= 𝐶𝐹．
①如图2，小乐同学从中点的角度，给出了如下解题思路：在线段𝐷𝐶上截取𝐷𝑀，使𝐷𝑀= 𝐵𝐷，连接𝐹𝑀，
利用两个三角形全等和已知条件，得出结论；
②如图3，小亮同学从平行线的角度给出了另一种解题思路：过点E 作𝐸𝑀∥𝐴𝐶交𝐶𝐵的延长线于点M，利
用两个三角形全等和已知条件，得出了结论；
请你选择一位同学的解题思路，写出证明过程；
【类比分析】
（2）李老师发现两位同学的做法非常巧妙，为了让同学们更好的理解这种转化的思想方法，李老师提出了
新的问题，请你解答，
如图4，在△𝐴𝐵𝐶中，点E 在线段𝐴𝐵上，D 是𝐵𝐶的中点，连接𝐶𝐸，𝐴𝐷，𝐶𝐸与𝐴𝐷相交于点N，若
∠𝐸𝐴𝐷+ ∠𝐴𝑁𝐶= 180°，求证：𝐴𝐵= 𝐶𝑁；
【学以致用】
（3）如图5，在Rt △𝐴𝐵𝐶中，∠𝐵𝐴𝐶= 90°，∠𝐶= 30°，𝐴𝐹平分∠𝐵𝐴𝐶，点E 在线段𝐵𝐴的延长线上运动，
过点E 作𝐸𝐷∥𝐴𝐹，交𝐴𝐶于点N，交𝐵𝐶于点D，且𝐵𝐷= 𝐶𝐷，请直接写出线段𝐴𝐸，𝐶𝑁和𝐵𝐶之间的数量关系．
模型九：婆罗摩笈多模型
全等模型
模型解读
常见模型
解题思路
向外作双等腰
直角三角形（知
中点，证垂直）
条件：AB⊥AD，AC⊥AE，AB＝
AD，AC＝AE，F 是BC 的中点
方法：倍长中线AF
结论：AF⊥DE，DE＝2AF
向外作双等腰
直角三角形（知
垂直，证中点）
条件：AB⊥AD，AC⊥AE，AB＝
AD，AC＝AE，AF⊥BC
方法：作DM⊥AF，EN⊥AF
结论：G 是DE 的中点，BC＝
2AG
向内作双等腰
直角三角形（知
中点，证垂）
条件：AB⊥AD，AC⊥AE，AB＝
AD，AC＝AE，F 是BC 的中点
方法：倍长中线AF
结论：AF⊥DE，DE＝2AF
向内作双等腰
直角三角形（知
垂直，证中点）
条件：AB⊥AD，AC⊥AE，AB＝
AD，AC＝AE，AF⊥BC
方法：作DM⊥AF，EN⊥AF
结论：G 是DE 的中点，BC＝
2AG
【模型9 婆罗摩笈多模型】
【例9】婆罗摩笈多（Brahmagupta）约公元598 年生，约660 年卒，在数学、天文学方面有所成就． 婆罗
摩笈多是印度印多尔北部乌贾因地方人，原籍可能为巴基斯坦的信德． 婆罗摩笈多的一些数学成就在世界
数学史上有较高的地位． 例如下列模型就被称为“婆罗摩笈多模型”：如图1，2，3，△ABC 中，分别以
AB，AC 为边作Rt△ABE 和Rt△ACD，AB＝AE，AC＝AD，∠BAE＝∠CAD＝90°，则有下列结论：
①图1 中S△ABC＝S△ADE；
②如图2 中，若AM 是边BC 上的中线，则ED＝2AM；
③如图3 中，若AM⊥BC，则MA 的延长线平分ED 于点N．
（1）上述三个结论中请你选择一个感兴趣的结论进行证明，写出证明过程；
（2）能力拓展：将上述图形中的某一个直角三角形旋转到如图4 所示的位置：△ABC 与△ADE 均为等腰直
角三角形，∠BAC＝∠DAE＝90°，连接BD，CE，若F 为BD 的中点，连接AF，求证：2AF＝CE．
【变式9-1】如图，在Rt △𝐴𝐵𝐶中，∠𝐴𝐵𝐶= 90°，𝐴𝐵= 6，𝐵𝐶= 3，分别以𝐴𝐶、𝐵𝐶为一直角边作等腰直角
△𝐴𝐶𝐸、△𝐵𝐶𝐷，连接𝐷𝐸交𝐵𝐶的延长线于F，则△𝐶𝐸𝐹的面积为___________．
【变式9-2】已知如图，𝐴𝐶= 𝐴𝐸，𝐴𝐷= 𝐴𝐵，∠𝐴𝐶𝐵= ∠𝐷𝐴𝐵= 90°，𝐴𝐸∥𝐶𝐵，𝐴𝐶、𝐷𝐸交于点𝐹．
(1)求证：∠𝐷𝐴𝐶= ∠𝐵；
(2)猜想线段𝐴𝐹、𝐵𝐶的关系．
【变式9-3】（25-26 八年级上·湖北武汉·阶段检测）通过对如图数学模型的研究学习，解决下列问题：
(1)如图1，∠𝐵𝐴𝐷= 90°，𝐴𝐵= 𝐴𝐷，过点𝐵作𝐵𝐶⊥𝐴𝐶于点𝐶，过点𝐷作𝐷𝐸⊥𝐴𝐶于点𝐸．由
∠1 + ∠2 = ∠2 + ∠𝐷= 90°，得∠1 = ∠𝐷．又∠𝐴𝐶𝐵= ∠𝐴𝐸𝐷= 90°，可以推理得到△𝐴𝐵𝐶≌△𝐷𝐴𝐸．进而得
到𝐴𝐶= ，𝐵𝐶= ，𝐵𝐶+ 𝐷𝐸= ，我们把这个数学模型称为“K 字”模型或“一线三等角”模型；
(2)如图2，∠𝐵𝐴𝐷= ∠𝐶𝐴𝐸= 90°，𝐴𝐵= 𝐴𝐷，𝐴𝐶= 𝐴𝐸，连接𝐵𝐶，𝐷𝐸，且𝐵𝐶⊥𝐴𝐹于点𝐹，𝐷𝐸与直线𝐴𝐹交
于点𝐺．求证：点𝐺是𝐷𝐸的中点；我们把这个数学模型称为“婆罗摩笈多”模型．
(3)如图3，∠𝐴𝐷𝐶= ∠𝐸𝐷𝐹= 90°，𝐴𝐷= 𝐷𝐶，𝐷𝐸= 𝐷𝐹，连接𝐴𝐶，𝐸𝐹，△𝐴𝐹𝐷的面积为𝑆1，△𝐷𝐶𝐸的面积
为𝑆2，𝑆1 + 𝑆2 = 2025，求𝑆2的值．
